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Resposta: B) \(X\) não pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos 
não vazios. Explicação: A definição de um espaço conexo é que ele não pode ser dividido 
em dois subconjuntos abertos disjuntos. 
 
20. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é um subconjunto de \(X\), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a interseção \(A \cap B\)? 
A) Se \(A\) e \(B\) são ambos fechados, então \(A \cap B\) é aberto. 
B) Se \(A\) e \(B\) são ambos abertos, então \(A \cap B\) é fechado. 
C) Se \(A\) é aberto e \(B\) é fechado, então \(A \cap B\) é aberto. 
D) A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado. 
Resposta: D) A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado. 
Explicação: Esta é uma propriedade básica da topologia: a interseção de conjuntos 
fechados é sempre um conjunto fechado. 
 
21. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico \(X\) que é 
Hausdorff? 
A) Todo conjunto compacto em \(X\) é aberto. 
B) Todo conjunto aberto em \(X\) é compacto. 
C) Todo conjunto compacto em \(X\) é fechado. 
D) Todo espaço Hausdorff é também conexo. 
Resposta: C) Todo conjunto compacto em \(X\) é fechado. Explicação: Em um espaço 
Hausdorff, os conjuntos compactos são sempre fechados. 
 
22. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é um subconjunto de \(X\), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a aderência de \(A\), denotada por \(\overline{A}\)? 
A) \(\overline{A}\) é sempre um conjunto aberto. 
B) \(\overline{A}\) é sempre um conjunto fechado. 
C) \(A \subseteq \overline{A}\). 
D) \(\overline{A} = A\) se e somente se \(A\) é aberto. 
Resposta: C) \(A \subseteq \overline{A}\). Explicação: A aderência de um conjunto \(A\) 
sempre contém \(A\) e pode incluir pontos limites que não estão em \(A\). 
 
23. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico \(X\) que é 
metrizável? 
A) Todo subconjunto de \(X\) é compacto. 
B) Todo espaço metrizável é Hausdorff. 
C) Todo espaço metrizável é conexo. 
D) Todo espaço metrizável é compacto. 
Resposta: B) Todo espaço metrizável é Hausdorff. Explicação: Um espaço metrizável 
possui uma métrica que garante a separação de pontos, o que implica que é Hausdorff. 
 
24. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é um subconjunto de \(X\), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a interior de \(A\), denotada por \(A^\circ\)? 
A) \(A^\circ\) é sempre um conjunto fechado. 
B) \(A^\circ\) é sempre um conjunto aberto. 
C) \(A^\circ\) é igual a \(A\) se e somente se \(A\) é fechado. 
D) \(A^\circ\) é igual a \(A\) se e somente se \(A\) é aberto. 
Resposta: D) \(A^\circ\) é igual a \(A\) se e somente se \(A\) é aberto. Explicação: O interior 
de um conjunto \(A\) é o maior conjunto aberto contido em \(A\), portanto, se \(A\) é 
aberto, seu interior é igual a \(A\). 
 
25. Considere o espaço topológico \(X = \mathbb{R}^2\) e o conjunto \(A = \{(x, y) \in 
\mathbb{R}^2 : xy = 1\}\). Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre \(A\)? 
A) \(A\) é um conjunto aberto em \(X\). 
B) \(A\) é um conjunto fechado em \(X\). 
C) \(A\) é um conjunto conexo. 
D) \(A\) é um conjunto compacto. 
Resposta: B) \(A\) é um conjunto fechado em \(X\). Explicação: O conjunto \(A\) é a pré-
imagem de um conjunto fechado sob a função contínua \(f(x, y) = xy - 1\), portanto, é 
fechado. 
 
26. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) e \(B\) são subconjuntos de \(X\), qual das 
seguintes afirmações é verdadeira sobre a união \(A \cup B\)? 
A) Se \(A\) e \(B\) são ambos fechados, então \(A \cup B\) é aberto. 
B) Se \(A\) e \(B\) são ambos abertos, então \(A \cup B\) é fechado. 
C) Se \(A\) é aberto e \(B\) é fechado, então \(A \cup B\) é aberto. 
D) A união de dois conjuntos abertos é sempre um conjunto aberto. 
Resposta: D) A união de dois conjuntos abertos é sempre um conjunto aberto. 
Explicação: Esta é uma propriedade básica da topologia: a união de conjuntos abertos é 
sempre um conjunto aberto. 
 
27. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico \(X\) que é 
conexo? 
A) Todo subconjunto de \(X\) é conexo. 
B) \(X\) não pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios. 
C) Todo conjunto fechado em \(X\) é conexo. 
D) A interseção de dois conjuntos conexos em \(X\) é sempre não vazia. 
Resposta: B) \(X\) não pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos 
não vazios. Explicação: A definição de um espaço conexo é que ele não pode ser dividido 
em dois subconjuntos abertos disjuntos. 
 
28. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é um subconjunto de \(X\), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a interseção \(A \cap B\)? 
A) Se \(A\) e \(B\) são ambos fechados, então \(A \cap B\) é aberto. 
B) Se \(A\) e \(B\) são ambos abertos, então \(A \cap B\) é fechado. 
C) Se \(A\) é aberto e \(B\) é fechado, então \(A \cap B\) é aberto. 
D) A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado. 
Resposta: D) A interseção de dois conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado. 
Explicação: Esta é uma propriedade básica da topologia: a interseção de conjuntos 
fechados é sempre um conjunto fechado. 
 
29. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico \(X\) que é 
Hausdorff? 
A) Todo conjunto compacto em \(X\) é aberto. 
B) Todo conjunto aberto em \(X\) é compacto. 
C) Todo conjunto compacto em \(X\) é fechado. 
D) Todo espaço Hausdorff é também conexo. 
Resposta: C) Todo conjunto compacto em \(X\) é fechado. Explicação: Em um espaço 
Hausdorff, os conjuntos compactos são sempre fechados. 
 
30. Se \(X\) é um espaço topológico e \(A\) é um subconjunto de \(X\), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a aderência de \(A\), denotada por \(\overline{A}\)? 
A) \(\overline{A}\) é sempre um conjunto aberto. 
B) \(\overline{A}\) é sempre um conjunto fechado.