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1. Considere o espaço topológico \( X = \{ a, b, c \} \) com a topologia \( \tau = \{ \emptyset, 
\{ a \}, \{ a, b \}, X \} \). Qual das seguintes afirmações é verdadeira? 
 a) \( \{ b \} \) é um conjunto aberto. 
 b) \( \{ c \} \) é um conjunto fechado. 
 c) \( \{ a, b \} \) é um conjunto fechado. 
 d) \( \{ a \} \) é um conjunto fechado. 
 **Resposta: d) \( \{ a \} \) é um conjunto fechado.** 
 Explicação: O complemento de \( \{ a \} \) é \( \{ b, c \} \), que não está na topologia, mas 
\( \{ a \} \) é um conjunto fechado por definição. 
 
2. Se \( f: X \to Y \) é uma função contínua entre espaços topológicos, qual das seguintes 
afirmações é verdadeira? 
 a) A imagem de um conjunto fechado em \( X \) é sempre fechada em \( Y \). 
 b) A imagem de um conjunto aberto em \( X \) é sempre aberta em \( Y \). 
 c) A pré-imagem de um conjunto aberto em \( Y \) é sempre aberta em \( X \). 
 d) A pré-imagem de um conjunto fechado em \( Y \) é sempre fechada em \( X \). 
 **Resposta: c) A pré-imagem de um conjunto aberto em \( Y \) é sempre aberta em \( X 
\).** 
 Explicação: A continuidade de \( f \) garante que a pré-imagem de conjuntos abertos em 
\( Y \) é aberta em \( X \). 
 
3. Qual das seguintes propriedades é verdadeira para um espaço topológico \( X \) que é 
Hausdorff? 
 a) Todo conjunto compacto em \( X \) é fechado. 
 b) Todo conjunto aberto em \( X \) é denso. 
 c) Todo conjunto fechado em \( X \) é compacto. 
 d) Todo espaço Hausdorff é conexo. 
 **Resposta: a) Todo conjunto compacto em \( X \) é fechado.** 
 Explicação: Em um espaço Hausdorff, conjuntos compactos são sempre fechados. 
 
4. Se \( A \) e \( B \) são subconjuntos de um espaço topológico \( X \), qual das seguintes 
afirmações é verdadeira sobre a interseção \( A \cap B \)? 
 a) Se \( A \) é aberto e \( B \) é fechado, então \( A \cap B \) é aberto. 
 b) Se \( A \) e \( B \) são ambos fechados, então \( A \cap B \) é fechado. 
 c) Se \( A \) é denso e \( B \) é fechado, então \( A \cap B \) é denso. 
 d) Se \( A \) é aberto e \( B \) é aberto, então \( A \cap B \) é fechado. 
 **Resposta: b) Se \( A \) e \( B \) são ambos fechados, então \( A \cap B \) é fechado.** 
 Explicação: A interseção de conjuntos fechados é sempre fechada. 
 
5. O que caracteriza um espaço topológico como conexo? 
 a) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos abertos disjuntos. 
 b) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos fechados disjuntos. 
 c) Todo conjunto aberto é denso. 
 d) Todo conjunto fechado é compacto. 
 **Resposta: a) Não pode ser representado como a união de dois conjuntos abertos 
disjuntos.** 
 Explicação: Um espaço é conexo se não pode ser dividido em duas partes abertas 
disjuntas. 
 
6. Qual das seguintes afirmações sobre o espaço topológico \( \mathbb{R} \) com a 
topologia usual é verdadeira? 
 a) \( \mathbb{R} \) é compacto. 
 b) \( \mathbb{R} \) é conexo. 
 c) \( \mathbb{R} \) é discreto. 
 d) \( \mathbb{R} \) é finito. 
 **Resposta: b) \( \mathbb{R} \) é conexo.** 
 Explicação: \( \mathbb{R} \) não pode ser dividido em dois conjuntos abertos disjuntos. 
 
7. Se \( X \) é um espaço topológico e \( A \subseteq X \) é um conjunto denso, qual das 
seguintes afirmações é verdadeira? 
 a) O fechamento de \( A \) é igual a \( A \). 
 b) A interseção de \( A \) com qualquer conjunto aberto é não vazia. 
 c) \( A \) é compacto. 
 d) \( A \) é fechado. 
 **Resposta: b) A interseção de \( A \) com qualquer conjunto aberto é não vazia.** 
 Explicação: Um conjunto denso intersecta qualquer conjunto aberto. 
 
8. O que é um espaço topológico totalmente desconexo? 
 a) Todo subconjunto é aberto. 
 b) Cada conjunto com mais de um ponto é desconexo. 
 c) Não contém conjuntos abertos não vazios. 
 d) É um espaço com exatamente dois pontos. 
 **Resposta: b) Cada conjunto com mais de um ponto é desconexo.** 
 Explicação: Em um espaço totalmente desconexo, não existem conjuntos conexos com 
mais de um ponto. 
 
9. Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a topologia discreta em um conjunto 
\( X \)? 
 a) Todos os subconjuntos são fechados. 
 b) Todos os subconjuntos são abertos. 
 c) O conjunto vazio é o único conjunto fechado. 
 d) O conjunto \( X \) não é conexo. 
 **Resposta: b) Todos os subconjuntos são abertos.** 
 Explicação: Na topologia discreta, todos os subconjuntos são considerados abertos. 
 
10. Se \( f: X \to Y \) é uma função contínua e \( Y \) é compacto, qual das seguintes 
afirmações é verdadeira? 
 a) A imagem de \( f \) é sempre compacta. 
 b) A imagem de \( f \) é sempre aberta. 
 c) A pré-imagem de um conjunto fechado em \( Y \) é sempre fechada em \( X \). 
 d) A imagem de \( f \) é sempre conexa. 
 **Resposta: a) A imagem de \( f \) é sempre compacta.** 
 Explicação: A imagem de um conjunto compacto sob uma função contínua é compacta. 
 
11. Qual das seguintes propriedades é verdadeira para um espaço topológico que é 
metrizável? 
 a) É sempre compacto. 
 b) É sempre Hausdorff.