1BHYV mais ou menos 1BHYV

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Resposta: A) 
Explicação: A fatoração de \( a^3 + b^3 \) é \( (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). Se \( p \) divide \( a^3 
+ b^3 \), então \( p \) deve dividir pelo menos um dos fatores. 
 
Questão 15: Se \( n \) é um número inteiro tal que \( n^2 + 5n + 6 = 0 \), quantas soluções 
inteiras existem para essa equação? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Infinitas 
Resposta: C) 
Explicação: A equação pode ser fatorada como \( (n+2)(n+3) = 0 \), resultando em duas 
soluções inteiras: \( n = -2 \) e \( n = -3 \). 
 
Questão 16: Um número inteiro \( n \) é tal que \( n^2 \equiv 1 \mod 8 \). Qual das 
seguintes afirmações é verdadeira sobre \( n \)? 
A) \( n \) é par. 
B) \( n \) é ímpar. 
C) \( n \equiv 0 \mod 8 \) 
D) \( n \equiv 4 \mod 8 \) 
Resposta: B) 
Explicação: Os quadrados de números ímpares são congruentes a 1 módulo 8, enquanto 
os quadrados de números pares são congruentes a 0 ou 4. 
 
Questão 17: Se \( n \) é um número inteiro positivo tal que \( n^2 + 3n + 2 \) é um número 
primo, qual das seguintes afirmações é verdadeira? 
A) \( n = 1 \) 
B) \( n = 2 \) 
C) \( n = 3 \) 
D) \( n = 4 \) 
Resposta: A) 
Explicação: Para \( n = 1 \), temos \( 1^2 + 3(1) + 2 = 6 \), que não é primo. Para \( n = 2 \), 
temos \( 2^2 + 3(2) + 2 = 12 \), que não é primo. Para \( n = 3 \), temos \( 3^2 + 3(3) + 2 = 20 
\), que não é primo. Para \( n = 4 \), temos \( 4^2 + 3(4) + 2 = 30 \), que não é primo. 
Portanto, não existem valores que satisfaçam a condição. 
 
Questão 18: Se \( n \) é um número inteiro tal que \( n^2 + 4n + 4 \) é um quadrado perfeito, 
qual das seguintes afirmações é verdadeira? 
A) \( n \) é um número par. 
B) \( n \) é um número ímpar. 
C) \( n \) é um número negativo. 
D) \( n \) é um número não negativo. 
Resposta: D) 
Explicação: A expressão pode ser reescrita como \( (n+2)^2 \), que é sempre um quadrado 
perfeito para qualquer \( n \). 
 
Questão 19: Se \( n \) é um número inteiro tal que \( n^2 - 5n + 6 = 0 \), quantas soluções 
inteiras existem para essa equação? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Infinitas 
Resposta: C) 
Explicação: A equação pode ser fatorada como \( (n-2)(n-3) = 0 \), resultando em duas 
soluções inteiras: \( n = 2 \) e \( n = 3 \). 
 
Questão 20: Um número inteiro \( n \) é tal que \( n^3 - n \) é divisível por 12. Qual das 
seguintes afirmações é verdadeira? 
A) \( n \) é par. 
B) \( n \) é ímpar. 
C) \( n \) é múltiplo de 3. 
D) \( n \) é múltiplo de 2 ou 3. 
Resposta: D) 
Explicação: A expressão \( n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) \) é o produto de três números 
consecutivos, que sempre contém um múltiplo de 2 e um múltiplo de 3, garantindo que 
seja divisível por 12. 
 
Questão 21: Se \( n \) é um número inteiro tal que \( n^2 + 2n + 1 \) é um quadrado perfeito, 
qual das seguintes afirmações é verdadeira? 
A) \( n \) é um número par. 
B) \( n \) é um número ímpar. 
C) \( n \) é um número negativo. 
D) \( n \) é um número não negativo. 
Resposta: D) 
Explicação: A expressão pode ser reescrita como \( (n+1)^2 \), que é sempre um quadrado 
perfeito para qualquer \( n \). 
 
Questão 22: Se \( n \) é um número inteiro tal que \( n^2 + n + 1 \) é divisível por 3, qual das 
seguintes afirmações é verdadeira? 
A) \( n \equiv 0 \mod 3 \) 
B) \( n \equiv 1 \mod 3 \) 
C) \( n \equiv 2 \mod 3 \) 
D) Nenhuma das anteriores. 
Resposta: C) 
Explicação: Testando os valores de \( n \mod 3 \), encontramos que apenas \( n \equiv 2 
\mod 3 \) faz com que \( n^2 + n + 1 \equiv 0 \mod 3 \). 
 
Questão 23: Se \( p \) é um número primo e \( p \) divide \( a^3 + b^3 \), qual das seguintes 
condições deve ser verdadeira? 
A) \( p \) divide \( a + b \) 
B) \( p \) divide \( a - b \) 
C) \( p \) divide \( a^2 - ab + b^2 \) 
D) Nenhuma das anteriores. 
Resposta: A) 
Explicação: A fatoração de \( a^3 + b^3 \) é \( (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). Se \( p \) divide \( a^3 
+ b^3 \), então \( p \) deve dividir pelo menos um dos fatores. 
 
Questão 24: Se \( n \) é um número inteiro tal que \( n^2 + 3n + 2 = 0 \), quantas soluções 
inteiras existem para essa equação? 
A) 0 
B) 1