modulo2-trelia_Modo_de_Compatibilidade (1)

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TRELIÇAS
Sistema estrutural composto por elementos lineares (barras) ligados 
por meio de nós, que só resistem à esforços axiais (esforços normais 
de tração ou compressão).
Treliças para Pontes e PassarelasTreliças para Pontes e Passarelas
a) Exemplos de esquemas estáticosa) Exemplos de esquemas estáticos
b) Exemplos de pontes treliçadas
Treliças Planas para Coberturas: tesourasTreliças Planas para Coberturas: tesouras
Treliça plana
Esquema estático
Exemplos:
a)
Treliça plana
Pilar que serve de apoio 
para a treliça
b)
Ligação de várias tesouras com um pilar
Exemplos de Estruturas Treliçadas
Cobertura em treliça espacial de aço
EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS SOBRE 2 APOIOS
EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS EM BALANÇO
EXEMPLOS DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS 
TRIARTICULADAS
ARTICULAÇÃO A: articulação de ligação das 2 partes da estrutura
EXEMPLOS DE VIGAS GERBER TRELIÇADAS 
ARTICULAÇÃO A: dente Gerber
SOLUÇÃO DA VIGA GERBER TRELIÇADA 
Calculam-se as reações de apoio através da viga Gerber abaixo:
Com os valores das reações de apoio, calculam-se as forças 
normais nas barras
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS DA TRELIÇA 
PLANA
NÓ (articulação)
Treliça conjunto de barras 
biarticuladas
Se as forças são aplicadas nos nós articulados: o esforço cortante e o 
momento fletor são nulos nas barras: há apenas o esforço normal:
 
P1 
N 
Rv =P1 
N 
P2 
Rv =P2
Barra bi-articulada:: Qs = 0 Ms = 0
Simplificação: o peso próprio da barra (carga uniformemente distribuída) 
provocaria momento fletor e esforço cortante, porém o peso da barra é 
substituído por duas forças concentradas aplicadas nas extremidades
 
pL/2 pL/2 
 
p 
L 
Transferências das cargas do telhado para os nós da treliça (tesoura)
Esquema estático das 
terças
tesoura
terça terças
Esquema estático das Esquema estático das 
treliças
Ligação entre as barras através de um pino, 
sem atrito: as barras ficam articuladas nas 
Exemplo de como se faz uma articulação:
sem atrito: as barras ficam articuladas nas 
extremidades, isto é, as barras ficam livres 
para girar.
Normalmente a ligação não é feita dessa forma e quando se faz, 
é difícil garantir a condição de atrito nulo no pino.
Em geral, os nós não são articulados. Exemplos: 
Barras interligadas por meio de 
cordões de solda
Barras interligadas nos nós por meio 
de chapas e rebites 
Se o nó não é articulado O nó impede a rotação das barras nas 
extremidades surgem momentos fletores e forças cortantes
Obs: se na ligação, as barras tiverem seus eixos no mesmo plano e se esses 
eixos se encontrarem num único ponto em cada nó, pode-se considerar a 
ligação como articulação, os erros são pequenos.
O cálculo que leva em conta essa rigidez dos 
nós é um problema da hiperestática. Porém, em 
muitos casos a rigidez dos nós não influi 
consideravelmente no dimensionamento das 
barras, podendo-se então calcular a treliça 
adotando-se os nós articulados.
Seja: n = nº de nós
b = nº de barras
A treliça é geometricamente 
indeformável se: 32 −≥ nb
32 −> nbSe diz-se que a treliça possui barras superabundantes
A condição é necessária para a t reliça ser 32 −≥ nbA condição é necessária para a t reliça ser 
geometricamente indeformável, mas não suficiente, p ois mesmo 
que essa condição seja verificada a treliça pode se r 
geometricamente deformável dependendo das disposiçã o das 
barras. Exemplos:
32 −≥ nb
 
 
32 −= nb
treliça geometricamente 
32 −> nb
treliça geometricamente 
indeformável, c/ barras 
3323 −= x
3426 −> x
 
32 −= nb
treliça geometricamente 
indeformável
treliça geometricamente 
indeformável
indeformável, c/ barras 
superabundantes
32 −= nb
treliça geometricamente 
deformável
Trecho deformável
3425 −= x 3629 −= x
Treliça simples: é aquela que obedece á seguinte lei de formação: a 
cada nó acrescentado à treliça devem-se acrescentar 2 novas barras 
(não-colineares), que partindo de 2 nós já existente vão se encontrar 
no novo nó.
Exemplos:
Treliça composta: é aquela que resulta da associação 
de 2 ou mais treliças simples e que não podem ser 
obtidas através da lei de formação das treliças 
simples
Treliça complexa: é aquela que não pode ser definida 
como treliça simples nem treliça composta
PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:
HIPÓTESE: os nós são perfeitamente articulados barras são 
sujeitas apenas ao esforço normal
P1
P2 P4
3
4 8
7
P3
1
2
3
6
5
7
Por simplificação será considerado que todas as barras estão 
tracionadas. Cortando, por exemplo, as barras 4, 5, 7 e 8 nas suas 
extremidades aparecerão os seguintes esforços normais de tração:
 
F F4 
 
F F8 
 
F4 F4 4 F8 F8 8 
 
F7 
F7 
7 
O nó que interliga essas 
barras estará sujeito as 
seguintes forças:
 
F4 F8 
P1 
F5 F7 
 
F5 
F5 
5 
 
P1
P2 P4
P3
1
2
3
4
6
8
5
7
x
y
Cada nó fica sujeito à ação das forças normais das barras que no 
nó se interligam, além das forças externas nele aplicadas:
0∑ =xF
0∑ =yF
Para o nó estar em equilíbrio deve-se verificar:
Têm-se 2 equações de equilíbrio por nó.
Incógnitas do problema: forças normais nas barras e reações de 
apoio
ESTRUTURA ISOSTÁTICA: 
Nº de incógnitas = Nº de equações de equilíbrio
Seja:
n = nº de nós
b = nº de barras
v = nº de vínculos (reações incógnitas)v = nº de vínculos (reações incógnitas)
Portanto: nº de incógnitas = b+v; 
nº de equações = 2n
A estrutura será isostática se b+v = 2n
A condição b+v = 2n é necessária para a treliça se r isostática, mas 
não suficiente, pois mesmo que essa condição seja v erificada a 
treliça pode ser geometricamente deformável ou os v ínculos podem 
estar dispostos de forma incorreta formando um meca nismo (a 
estrutura pode se deslocar em determinada direção)
32 −= nb 32 −= nb3629 −= x
Vínculos colocados de forma 
correta, mas a treliça é 
geometricamente deformável
32 −= nb
treliça geometricamente 
indeformável, mas os vínculos estão 
dispostos de forma incorreta (há 
deslocamento vertical no apoio 
móvel).
b+v = 2n
b+v = 2n
9+3= 2x6
móvel).
Isostática e geometricamente 
indeformável
32 −= nb
b+v > 2n 17+4> 2x10
310217 −= x
Treliça hiperestática
32 −= nb 310217 −= x32 −= nb
b+v = 2n 17+3= 2x10
310217 −= x
Treliça isostática
Treliças isostáticas
a b
b
Treliça b) foi obtida da treliça a), 
tirando a barra inferior e 
acrescentando 1 vínculo externo
b+v = 2n 15+3= 2x9
b+v = 2n 14+4= 2x9
a
32 −> nb
b+v > 2n 21+3 > 2x10
310221 −> x
Isostática externamente (com as equações de equilíbrio consegue 
Geometricamente indeformável c/ 
barras superabundantes
Isostática externamente (com as equações de equilíbrio consegue 
obter as reações de apoio), mas é hiperestática internamente 
(aplicando as 2n equações nos nós,não se consegue obter as 
normais em todas as barras
b+v > 2n 21+4 > 2x10
Hiperestática interna e externamente Hiperestática interna e externamente 
(com as equações de equilíbrio não 
se consegue determinar as reações 
de apoio nem as normais nas barras)
PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:
1.Calculam-se as reações de apoio considerando-se as equações de 
equilíbrio:
0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M
Aplica em qualquer ponto 
da estrutura
2. Calculam-se as normais nas barras, aplicando as 2 equações de 
equilíbrio em cada nó:
Obs: se aplicar as equações nos nós numa seqüência adequada, as 
normais nas barras são obtidas após a solução de vários sistemas de 
2 equações e 2 incógnitas facilita o cálculo (no equilíbrio de cada 
nó, obtêm-se 2 incógnitas). 
0∑ =xF 0∑ =yF
Obs: na montagem do sistema de equações consideram todas as 
normais de tração; após a solução do sistema se o valor obtido para a 
normal for negativo, quer dizer que é compressão; se for positivo é 
tração.
P1
P2 P4
P3
1
2
3
4
6
8
5
7
x
y
Exemplo:
A
C
D EB
1. Cálculo das 
G
F
I
H
K
J
M
L
N
A C
DB
0∑ =F 0=+ FR
1. Cálculo das 
reações de apoio: 
RHA, RVA e RVM
RvA
RHA
0∑ =F 0cos=+ FF α
αααα
0∑ =xF
0∑ =yF
2. Nó A:
02 =+ FRHA
01 =+ FRVA
0∑ =xF
0∑ =yF
3. Nó B:
0cos 43 =+ FF α
013 =−− FsenF α
0∑ =xF
0∑ =yF
4. Nó C:
0cos 632 =+−− FFF α
053 =+ FsenF α
5. Nó D ......, nó N 
TRELIÇAS COMPOSTAS
É a associação de duas ou mais treliças simples através de um sistema 
de ligação isostático (sistema que restringe os três graus de liberdade de 
uma treliça simples em relação à outra). Se o nº de barras de liga uma 
treliça a outra for maior que o necessário para restringir esses 3 graus 
de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática.de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática.
Há 2 formas de se obter uma treliça composta isostática:
a)Ligando as 2 treliças através 
de 3 barras não paralelas nem 
concorrentes no mesmo ponto
b)Ligando as 2 treliças através de 1 nó 
e 1 barra não concorrente nesse nó.
MÉTODO DAS SEÇÕES
É mais usado quando se quer o esforço N em apenas 1 barra ou 
poucas barras
Exemplo: calcular a normal na barra DE:
- Corta a barra DE, onde se quer calcular N, formando uma 
estrutura triarticulada composta de 2 reticulados geometricamente estrutura triarticulada composta de 2 reticulados geometricamente 
indeformáveis ligados por meio da articulação em F. 
-Para a estrutura triarticulada, tem-se:
ΣMF(considerando o reticulado da esquerda)=0
ΣMF(considerando o reticulado da direita)=0
ΣMF(considerando o 
reticulado da esquerda)=0
-2991x8-NDEx3+1000x4=0
NDE=-6443kg
Reticulado da esquerda: 7=2x5-3
Obs: Para ser geometricamente indeformável: b=2n-3
Reticulado da direita: 9=2x6-3
Exemplo: calcular a normal nas barras 1, 2 e 3: corta as 3 barras de 
uma só vez, formando 2 reticulados separados e geometricamente 
indeformáveis
Quando rompe a treliça nessas barras, nada se alterará sob o ponto 
de vista estático se substituirmos as barras rompidas pelos esforços 
normais nelas atuantes. Cada reticulado formado deve estar em 
equilíbrio, pois pertence a uma peça que está em equilíbrio.equilíbrio, pois pertence a uma peça que está em equilíbrio.
b=2xn-3: 
3=2x3-3
1
2
5=2x4-3
Para os reticulados 1 e 2, deve-se ter:
0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M
Aplicando essas equações a um dos reticulados:
3 equações e 3 incógnitas: obtém N1, N2 e N3
Obs: pode acontecer de ao cortar várias barras ao mesmo tempo 
resulte em um dos reticulados geometricamente deformável. Quando 
acontece isso, deve-se analisar a deformabilidade do reticulado 
deformável, o que pode ser complicado. Se não for simples analisar 
essa deformabilidade, é melhor cortar menos barras e ir calculando as 
normais através de cortes sucessivos em várias barras.
Cálculo das treliças compostas: para facilitar a solução, primeiro 
aplica o método das seções para achar as normais nas barras de 
ligação. Conhecidas essas normais, aplica-se o método do equilíbrio 
dos nós normalmente. Exemplo:
Corta a barra 1 e calcula N1, depois faz o 
equilíbrio dos nós começando pelo nó D
N1D
Treliças simples conectadas 
pela barra 1 e articulação C
N1
1m
D
E F
Treliça Composta
ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0
Cortando a barra 1, obtém 2 reticulados geometricamente 
indeformáveis (7=2x5-3) unidos pela articulação C
Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0
-3x6+2x3+N1x4=0 N1=3t
Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: D, A, E, F
F H
I
J
Treliça Composta
Treliças simples 
conectadas pela 
barra DE e 
articulação C
NDE
ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0
Cortando a barra DE, obtém 2 reticulados geometricamente 
indeformáveis (13=2x8-3) unidos pela articulação C
F
G
H
ΣMC(considerando o reticulado da direita)=0
Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0
-14x10+4x(7,5+5+2,5)+NDEx6=0 NDE=13,3t
Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: A, F, G, D, H, I, J
Na outra metade da treliça os resultados são simétricos
Cortando as barra BF e AF, 
Treliça Composta
Treliças simples conectadas 
pela barra FG e articulação C
Cortando as barra BF e AF, 
obtém 2 reticulados unidos 
pela articulação C
Considerando o reticulado da 
esquerda:
ΣM (pelo lado AB)=0ΣMB(pelo lado AB)=0
acha NAF
ΣMC(pelo lado ABC)=0
acha NBF
Barras de ligação:
DE, AB e GI
Treliça Composta
Cortando as barras DE, AB e GI, obtém 2 reticulados separados, que 
devem estar em equilíbrio
Impondo as equações de 
equilíbrio a um dos 
reticulados, obtém as 
0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M
reticulados, obtém as 
normais NDE, NAB e NGI
Através do equilíbrio dos nós acham-se as outras normais (nó G, F, E).
Treliça Composta
Barras de ligação:
DE, HI e GJ
Cortando as barras DE, HI e GJ, obtém 2 reticulados separados, que 
devem estar em equilíbrio
Impondo as equações de equilíbrio a um 
dos reticulados, obtém as normais N , 
0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =M
dos reticulados, obtém as normais NDE, 
NGJ e NHI
Através do equilíbrio dos nós acham-se as 
outras normais (nó D, C, A, I e G).