Aula 4 - Introdução às funções

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Aula 4 - Introduc¸a˜o a`s Func¸o˜es
Jose´ Crisanto
Jose´ Crisanto UFRN-ECT Matema´tica Ba´sica 1 / 1
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. Genson Iezzi. Fundamentos de Matema´tica Elementar. Vol.
1. 7a ed, Sa˜o Paulo: Atual, 1993. (Cap´ıtulo 5).
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Relembrando...
Sejam A e B dois conjuntos na˜o vazios.
(a) O produto cartesiano A× B = {(a, b)|a ∈ A e b ∈ B} e´ o
conjunto dos pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B.
(b) Os eixos de valores reais x e y , perpendiculares em 0, da´ origem ao
sistema de eixos cartesianos representado por xOy .
(c) No par ordenado (a, b), o valor real a e´ denominado abscissa e e´
representado no eixo x e o valor real b e´ denominado ordenada e e´
representado no eixo y .
(d) Denomina-se relac¸a˜o a um subconjunto de A× B.
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Exemplo 1
Se A = {(1, 2, 3)} e B = {1, 2}, temos
A× B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Exemplo 2
Sejam A = {(1, 2, 3)}, B = {1, 2} e
A× B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Abaixo temos
alguns exemplos de relac¸o˜es entre A e B:
(a) R1 = A× B
(b) R2 = {(1, 1)}
(c) R3 = {(2, 1), (3, 1), (3, 3)}
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Definic¸a˜o 1
Sejam A e B conjuntos na˜o vazios. Uma func¸a˜o f de A em B e´ uma relac¸a˜o que
para todo x ∈ A associa um so´ y ∈ B, tal que (x , y) ∈ f . Simbolicamente,
f : A→ B e´ uma func¸a˜o cuja lei de correspondeˆncia e´ f (x) = y.
Na definic¸a˜o acima, temos:
O dom´ınio de f , denotado por D(f ), e´ o conjunto das abscissas x , tais que
f (x) = y . Isto, e´ D(f ) = A.
O contra-dom´ınio de f , denotado por CD(f ), e´ o conjunto B.
A imagem de f , denotada por Im(f ), e´ o conjunto das ordenadas y ∈ B,
tais que f (x) = y .
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Uma relac¸a˜o f na˜o e´ func¸a˜o se na˜o satisfaz pelo menos uma das condic¸o˜es
da definic¸a˜o. Isto e´:
(a) se existir um elemento de A sem correspondente em B;
(b) se existir pelo menos um elemento de A com mais de um
correspondente em B.
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Podemos verificar pela representac¸a˜o cartesiana da relac¸a˜o f de A em B se
f e´ ou na˜o func¸a˜o: basta verificarmos se as retas parelelas ao eixo y
passando por (x , 0), onde x ∈ A, interceptam o gra´fico de f em um u´nico
ponto. Veja os exemplos abaixo:
(a) A relac¸a˜o f de A em R representada abaixo, onde
A = {x ∈ R| − 1 ≤ x ≤ 3}, e´ func¸a˜o.
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(b) A relac¸a˜o f de A em R representada abaixo, onde
A = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 2}, na˜o e´ func¸a˜o.
(c) A relac¸a˜o f de A em R representada abaixo, onde
A = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 4}, na˜o e´ func¸a˜o.
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Exemplo 3
Veja abaixo o dom´ınio e a imagem das func¸o˜es representadas graficamente:
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Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
As func¸o˜es que apresentam maior interesse na Matema´tica sa˜o as
aquelas em que o dom´ınio A e o contradom´ınio B sa˜o subconjuntos
de R.
E´ comum nos referirmos a` uma func¸a˜o f apenas pela sentenc¸a aberta
y = f (x). Nesse caso, o dom´ınio e´ o subconjunto dos nu´meros reais
para os quais a func¸a˜o esta´ definida.
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Apresentamos abaixo algumas func¸o˜es e seus respectivos dom´ınios.
(a) f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . . + anx
n esta´ definida para todo
x ∈ R. Logo, D(f ) = R.
(b) f (x) =
g(x)
h(x)
na˜o esta´ definida em x , tal que h(x) = 0.
Logo, D(f ) = {x ∈ R|h(x) 6= 0}.
(c) f (x) =
√
g(x) na˜o esta´ definida em x , tal que g(x) < 0.
Logo, D(f ) = {x ∈ R|g(x) ≥ 0}.
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(d) f (x) = 2n
√
g(x) na˜o esta´ definida em x , tal que g(x) < 0.
Logo, D(f ) = {x ∈ R|g(x) ≥ 0}.
(e) f (x) = 3
√
g(x) esta´ definida para todo x ∈ R. Logo,
D(f ) = R.
(f) f (x) = 2n+1
√
g(x) esta´ definida para todo x ∈ R. Logo,
D(f ) = R.
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(g) f (x) =
g(x)
2n
√
h(x)
na˜o esta´ definida para x , tal que h(x) = 0 e
h(x) < 0. Logo, D(f ) = {x ∈ R|h(x) > 0}.
(h) f (x) =
g(x)
2n+1
√
h(x)
na˜o esta´ definida para x , tal que h(x) = 0.
Logo, D(f ) = {x ∈ R|h(x) 6= 0}.
(i) f (x) =
2n
√
g(x)
h(x)
na˜o esta´ definida para x , tal que g(x) < 0 e
h(x) = 0. Logo, D(f ) = {x ∈ R|(g(x) ≥ 0) ∩ (h(x) 6= 0)}.
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Exemplo 4
Determine o dom´ınio das func¸o˜es abaixo:
(b) f (x) = x2
Soluc¸a˜o: Como x2 ∈ R para todo x ∈ R, temos D(f ) = R
(c) y = 1x
Soluc¸a˜o: D = R∗
(d) g(x) =
√
x
Soluc¸a˜o: D(g) = {x ∈ R|x ≥ 0} = R+
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(e) y = 3
√
x
Soluc¸a˜o: D = R)
(f) f (x) = 1x+2
Soluc¸a˜o: D(f ) = {x ∈ R|x 6= −2}
(g) f (x) =
√
x+2
x−2
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f esta´ definida para os valores de x que satisfazem
simultaneamente x + 2 ≥ 0 e x − 2 6= 0. Isto e´,
D(f ) = {x ∈ R|x ≥ −2 e x 6= 2}
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Func¸o˜es iguais
Definic¸a˜o 2
Duas func¸o˜es f : A→ B e g : C → D sa˜o iguais se, e somente se,
apresentarem:
(a) dom´ınios iguais (A = C )
(b) contradom´ınios iguais (B = D)
(c) f (x) = g(x) para todo x do dom´ınio.
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Exemplo 5
Sejam f : R→ R e g : R→ R func¸o˜es definidas por
f (x) = x − 1 e g(x) = x
2 − 1
x + 1
Note que ambas as func¸o˜es esta˜o definidas para os mesmos valores, isto e´,
para todo x ∈ R. Ale´m disso, podemos reescrever a func¸a˜o g da seguinte
forma:
g(x) =
x2 − 1
x + 1
=
(x + 1)(x − 1)
x + 1
= x − 1 = f (x)
Neste caso e´ correto pensarmos em reescrever a func¸a˜o g(x) =
x2 − 1
x + 1
de uma maneira mais
simples, isto e´, f (x) = x − 1.
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Exemplo 6
Sejam f : R→ R e g : R− {1} → R func¸o˜es definidas por
f (x) = x + 1 e g(x) =
x2 − 1
x − 1
Note que as func¸o˜es f e g na˜o possuem o mesmo dom´ınio. Isto e´, D(f ) = R e
D(g) = R− {1}. Apesar de ser va´lida a equivaleˆncia abaixo:
x2 − 1
x − 1 =
(x + 1)(x − 1)
x − 1 = x + 1
na˜o podemos dizer que as func¸o˜es f e g sa˜o iguais. O gra´fico de gdifere do de f
por ser aberto em x = 1.
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Exemplos Gerais
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Exemplo 7
Para f (x) = x3, temos:
(a) D(f ) = R
(b) f (−1) = (−1)3 = −1; f (0) = 03 = 0; f (1) = 13 = 1
(c) O gra´fico de f e´:
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Exemplo 8
Para f (x) =
√
x, temos:
(a) D(f ) = {x ∈ R|x ≥ 0}
(b) f (0) =
√
0 = 0; f (4) =
√
4 = 2; f (t2) =
√
t2 = |t|
(c) O gra´fico de f e´:
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Exemplo 9
Para f (x) = 1
x
, temos:
(a) D(f ) = {x ∈ R|x 6= 0}
(b) Gra´fico de f :
Para x > 0, a` medida que x vai aumentando, y = 1
x
vai se aproximando de
zero (x = 10⇒ y = 1
10
, x = 100⇒ y = 1
100
, etc). Por outro lado, a` medida
que x vai se aproximando de zero, y = 1
x
vai se tornando cada vez maior
(x = 1
10
⇒ y = 10, x = 1
100
⇒ y = 100, etc). Para x < 0, o racioc´ınio e´
ana´logo.
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Exemplo 10
Dada a func¸a˜o f (x) = −x2 + 2x, simplifique as expresso˜es:
(a)
f (x)− f (1)
x − 1 (b)
f (x + h)− f (x)
h
Soluc¸a˜o:
(a)
f (x)− f (1)
x − 1 =
(−x2 + 2x)− 1
x − 1 =
−(x − 1)2
x − 1 = −(x − 1), x 6= 1.
(b)
f (x + h)− f (x)
h
=
[−(x + h)2 + 2(x + h)]− [−x2 + 2x]
h
=
−x2 − 2xh − h2 + 2x + 2h + x2 − 2x
h
=
−2xh − h2 + 2h
h
= −2x−h+2, h 6= 0
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