ENADE COMENTADO 2008 Matemática

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ENADE COMENTADO 2008 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chanceler
Dom Dadeus Grings
Reitor
Joaquim Clotet
Vice-Reitor
Evilázio Teixeira
Conselho Editorial
Ana Maria Lisboa de Mello
Bettina Steren dos Santos
Eduardo Campos Pellanda
Elaine Turk Faria
Érico João Hammes
Gilberto Keller de Andrade
Helenita Rosa Franco
Ir. Armando Bortolini
Jane Rita Caetano da Silveira
Jorge Luis Nicolas Audy – Presidente
Jurandir Malerba
Lauro Kopper Filho
Luciano Klöckner
Marília Costa Morosini
Nuncia Maria S. de Constantino
Renato Tetelbom Stein
Ruth Maria Chittó Gauer
EDIPUCRS
Jerônimo Carlos Santos Braga – Diretor
Jorge Campos da Costa – Editor-Chefe
 
Augusto Vieira Cardona 
Cármen Regina Jardim de Azambuja 
Monica Bertoni dos Santos 
(Organizadores) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENADE COMENTADO 2008 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porto Alegre 
2011 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Ficha Catalográfica elaborada pelo Setor de Tratamento da Informação da BC-PUCRS.
EDIPUCRS – Editora Universitária da PUCRS
Av. Ipiranga, 6681 – Prédio 33
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Porto Alegre – RS – Brasil
Fone/fax: (51) 3320 3711
e-mail: edipucrs@pucrs.br - www.pucrs.br/edipucrs
© EDIPUCRS, 2011
CAPA Rodrigo Valls
REVISÃO TEXTUAL Julia Roca dos Santos
EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Gabriela Viale Pereira
Edição revisada segundo o novo Acordo Ortográfico.
Questões retiradas da prova do ENADE 2008 da Matemática.
E56 ENADE comentado 2008 : matemática [recurso eletrônico] / 
organizadores, Augusto Vieira Cardona, Cármen 
Regina Jardim de Azambuja, Monica Bertoni dos 
Santos. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : 
EDIPUCRS, 2011.
121 p.
ISBN 978-85-397-0127-8
Sistema requerido: Adobe Acrobat Reader
Modo de Acesso: <http://www.pucrs.br/edipucrs/>
1. Ensino Superior – Brasil – Avaliação. 2. Exame 
Nacional de Desempenho de Estudantes. 3. Matemática – 
Ensino Superior. I. Cardona, Augusto Vieira. II. Azambuja, 
Cármen Regina Jardim de. III. Santos, Monica Bertoni dos.
CDD 378.81
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, 
microfílmicos, fotográficos, reprográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de 
qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua 
editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e parágrafos, do Código Penal), com pena de prisão e multa, conjuntamente com 
busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei 9.610, de 19.02.1998, Lei dos direitos Autorais).
SUMÁRIO 
APRESENTAÇÃO ..................................................................................................... 8 
Hélio Radke Bittencourt e Marisa Magnus Smith 
NOTA DOS ORGANIZADORES .............................................................................. 12 
COMPONENTE ESPECÍFICO – NÚCLEO COMUM 
QUESTÃO 11 ........................................................................................................... 14 
Cármen Regina Jardim de Azambuja 
QUESTÃO 12 ........................................................................................................... 17 
Cármen Regina Jardim de Azambuja 
QUESTÃO 13 ........................................................................................................... 20 
João Feliz Duarte de Moraes 
QUESTÃO 14 ........................................................................................................... 22 
Cármen Regina Jardim de Azambuja 
QUESTÃO 15 ........................................................................................................... 26 
Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann 
QUESTÃO 16 ........................................................................................................... 28 
Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci 
QUESTÃO 17 ........................................................................................................... 30 
Vera Lúcia Martins Lupinacci 
QUESTÃO 18 ........................................................................................................... 33 
Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 19 ........................................................................................................... 35 
Liara Aparecida dos Santos Leal 
QUESTÃO 20 ........................................................................................................... 37 
Liara Aparecida dos Santos Leal 
QUESTÃO 21 ........................................................................................................... 39 
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 22 ........................................................................................................... 40 
Vera Lúcia Martins Lupinacci 
QUESTÃO 23 ........................................................................................................... 43 
Francisco Alberto Rheingantz Silveira 
QUESTÃO 24 ........................................................................................................... 45 
Maria Beatriz Menezes Castilhos 
QUESTÃO 25 ........................................................................................................... 48 
Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann 
QUESTÃO 26 ........................................................................................................... 52 
Maria Beatriz Menezes Castilhos 
 
QUESTÃO 27 ........................................................................................................... 55 
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 28 – DISCURSIVA ................................................................................. 57 
Augusto Vieira Cardona 
QUESTÃO 29 – DISCURSIVA ................................................................................. 59 
Maria Beatriz Menezes Castilhos 
COMPONENTE ESPECÍFICO – LICENCIATURA 
QUESTÃO 30 ........................................................................................................... 63 
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 31 ........................................................................................................... 65 
Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci 
QUESTÃO 32 ........................................................................................................... 68 
Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin 
QUESTÃO 33 ........................................................................................................... 71 
Monica Bertoni dos Santos e Mara Lúcia Müller Botin 
QUESTÃO 34 ........................................................................................................... 73 
Augusto Vieira Cardona e Monica Bertoni dos Santos 
QUESTÃO 35 ........................................................................................................... 76 
Ruth Portanova, Maria Beatriz Menezes Castilhos e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 36 ........................................................................................................... 78 
Monica Bertoni dos Santos, Mara Lúcia Müller Botin e Vanessa Martins de Souza 
QUESTÃO 37 ........................................................................................................... 82 
Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos 
QUESTÃO 38 ........................................................................................................... 84 
Ruth Portanova e Monica Bertoni dos Santos 
QUESTÃO 39 ........................................................................................................... 86 
Marilene Jacintho Müller 
QUESTÃO 40 – DISCURSIVA................................................................................. 88 
Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann 
COMPONENTE ESPECÍFICO – BACHARELADO 
QUESTÃO 41 ........................................................................................................... 93 
Augusto Vieira Cardona, Luiz Eduardo Ourique e Ivan Ricardo Tosmann 
QUESTÃO 42 ........................................................................................................... 96 
Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 43 ........................................................................................................... 98 
Vera Lúcia Martins Lupinacci 
QUESTÃO 44 ......................................................................................................... 100 
Luiz Eduardo Ourique 
 
QUESTÃO 45 ......................................................................................................... 103 
Liara Aparecida dos Santos Leal 
QUESTÃO 46 ......................................................................................................... 106 
Maria Beatriz Menezes Castilhos e Augusto Vieira Cardona 
QUESTÃO 47 ......................................................................................................... 109 
Neda da Silva Gonçalves, Thaisa Jacintho Müller e Virgínia Maria Rodrigues 
QUESTÃO 48 ......................................................................................................... 111 
Augusto Vieira Cardona e Maria Beatriz Menezes Castilhos 
QUESTÃO 49 ......................................................................................................... 114 
Luiz Eduardo Ourique 
QUESTÃO 50 ......................................................................................................... 117 
Cláudia Helena Fettermann Batistela e Luiz Carlos Renz 
QUESTÃO 51 – DISCURSIVA ............................................................................... 119 
Maria Beatriz Menezes Castilhos 
LISTA DE COLABORADORES ............................................................................. 121 
 
8 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
APRESENTAÇÃO 
Desde 1996, a Educação Superior brasileira tem sido alvo de avaliações de 
larga escala. O Exame Nacional de Cursos, mais conhecido por Provão, vigorou de 
1996 a 2003, consistindo na aplicação de uma prova a todos os estudantes 
formandos de um grupo de cursos de graduação. Em 2004, o Provão foi substituído 
pelo Exame Nacional de Desempenho de Estudantes, ou ENADE. A partir desse 
momento, os cursos passaram a ser avaliados de três em três anos, submetendo-se 
ao Exame, além de estudantes concluintes, também alunos ingressantes. O 
desempenho dos alunos ingressantes e concluintes nas provas está diretamente 
relacionado aos três conceitos derivados do ENADE: o conceito Enade, o Indicador 
de Diferença de Desempenho (IDD) e o Conceito Preliminar de Curso (CPC). Para 
um melhor entendimento, vejamos uma breve explicação de cada conceito: 
Conceito Enade – o conceito Enade de um curso é calculado exclusivamente 
a partir do desempenho dos alunos concluintes na prova, que é composta de duas 
partes: uma denominada de Componente Específico (CE) e outra de Formação 
Geral (FG). As questões referentes ao Componente Específico têm peso de 75% na 
nota final do curso, enquanto a parte de Formação Geral é responsável pelos outros 
25%. Salienta-se que o desempenho médio dos alunos de um curso é sempre 
comparado ao desempenho do universo de estudantes daquela área que realizou a 
mesma prova. Portanto, o conceito Enade é relativo ao desempenho do grupo. 
Cursos com conceito Enade 4 ou 5 são aqueles cujos alunos apresentaram média 
bastante superior a do total de alunos da área. 
Indicador de Diferença de Desempenho (IDD) – o IDD é um indicador que 
procura neutralizar o efeito de diferentes níveis de dificuldade de ingresso sobre o 
desempenho dos alunos nas provas. No IDD, o desempenho dos alunos concluintes 
é comparado ao desempenho esperado por meio de um modelo linear que 
considera as seguintes variáveis: 1) desempenho médio dos alunos ingressantes; 2) 
proporção de estudantes cujos pais têm nível de escolaridade superior; 3) relação 
concluintes/ingressantes. Um IDD igual a 3 caracteriza um curso que atingiu o 
desempenho esperado. Já IDDs 4 ou 5 indicam cursos que superaram o esperado, 
ENADE Comentado 2008: Matemática 9 
atingindo nas provas uma média superior ou muito superior ao desempenho 
estimado pelo modelo. 
Conceito Preliminar de Curso (CPC)
Enade dos ingressantes (15%); 
 – o CPC procura sintetizar os resultados 
do Enade, IDD e outros fatores num único conceito. A partir de 2008, o CPC passou 
a apresentar a seguinte composição: 
Enade dos concluintes (15%); 
IDD (30%); 
Instalações e Infraestrutura (5%); 
Recursos didáticos (5%); 
Percentual de professores doutores (20%); 
Percentual de professores com, no mínimo, título de mestre (5%); 
Percentual de professores em regime de tempo parcial ou integral (5%). 
O CPC é o principal indicador utilizado pelo Ministério de Educação (MEC) 
para avaliação de um curso. Cursos avaliados com 1 ou 2 são passíveis de 
intervenção e deverão ser visitados por uma comissão de avaliadores nomeada pelo 
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). O 
CPC é divulgado de duas formas – contínuo e conceito – e a tabela utilizada para 
conversão é a seguinte: 
Tabela 1: Tabela para conversão do CPC contínuo em conceito. 
CPC contínuo Conceito CPC 
0,00 – 0,94 1 
0,95 – 1,94 2 
1,95 – 2,94 3 
2,95 – 3,94 4 
3,95 – 5,00 5 
 
Os cursos de Matemática foram avaliados no ENADE pela primeira vez em 
2005. A última avaliação ocorreu em 2008, contando com 30 questões em seu 
Componente Específico. A próxima está prevista para 2011. Na edição de 2008, um 
total de 513 cursos foi avaliado, dos quais 315 receberam conceito CPC. 
A figura 1 apresenta o histograma com a distribuição do CPC contínuo em 
âmbito nacional. 
10 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
CPC Contínuo
5,04,54,03,53,02,52,01,51,0,50,0
N
úm
er
o 
de
 c
ur
so
s
60
50
40
30
20
10
0
 
Figura 1: Histograma dos CPC contínuos em âmbito nacional. 
 
A figura 1 mostra uma concentração de cursos em torno do CPC contínuo 2,0, 
e um pequeno número de cursos próximo do valor máximo. 
De um modo geral, os cursos de Matemática não apresentaram bons 
resultados na avaliação, o que fica evidente na Tabela 2, que mostra 41% dos 
cursos avaliados com conceitos 1 ou 2, considerados baixos pelo MEC. Apenas 
16,2% dos cursos avaliados atingiram conceitos altos (4 ou 5). Em outras palavras, 
isso significa que, de um universo de 315 cursos avaliados, 129 ficaram abaixo do 
resultado mínimo esperado pelo INEP. 
 
Tabela 2: Distribuição dos conceitos CPC em âmbito nacional no ENADE 2008. 
CPC F % 
1 3 1,0% 
2 126 40,0% 
3 135 42,9% 
4 39 12,4% 
5 12 3,8% 
Total 315 100,0% 
 
Outro fato a destacar é o de que a totalidade dos cursos que obtiveram o 
conceito máximo são oferecidos em instituições universitárias, e não em faculdades 
isoladas ou centros universitários. Dentre esses doze, é significativo registrar que 
onze deles são oferecidos em instituições públicas. A única instituição privada do 
ENADE Comentado 2008: Matemática 11 
Brasil a atingir o conceito CPC=5 foi a Pontifícia Universidade Católica do Rio 
Grande do Sul (PUCRS). 
As razões para desempenhos tão diferenciados e, em muitos casos, 
desanimadores são muitas e não cabe aqui discuti-las em profundidade. Entretanto, 
duas evidências parecem emergir desses dados: a maior qualificação das 
Universidades em relação às instituições de menor porte e que não têm tradição em 
pós-graduação, pesquisa e extensão, e o diferencial qualitativo que a efetiva seleção 
de acadêmicos com melhores condições de desempenho ao curso superior – 
característicadas IES federais, pela relação número de candidatos x número de 
vagas – estabelece em favor do desenvolvimento desses estudantes. 
Essas questões, entretanto, por mais pertinentes que sejam quando se 
analisam comparativamente resultados, não apagam o fato de que na base do 
conceito de cada curso existe uma prova, o ENADE, e que cabe às IES 
comprometidas não só com o bom desempenho de seus estudantes, mas também 
com a qualidade dos testes a que eles são submetidos, contribuir com seus saberes 
para a qualificação desses instrumentos de avaliação. 
Esta publicação eletrônica, editada pela EDIPUCRS, tem exatamente este 
objetivo: apresentar, analisar e comentar as 30 questões do Componente Específico 
do ENADE aplicado aos cursos de Matemática em 2008. Esperamos que estudantes 
e professores universitários possam apropriar-se deste estudo em seus processos 
de ensino e de aprendizagem, e também que as bancas responsáveis pela seleção 
de conteúdos e elaboração das questões possam igualmente beneficiar-se do 
resultado desse esforço. 
 
Porto Alegre, maio de 2010 
Hélio Radke Bittencourt 
Faculdade de Matemática / Assessoria de 
Planejamento e Marketing - PUCRS 
Marisa Magnus Smith 
Faculdade de Letras / Pró-Reitoria de Graduação - PUCRS 
12 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
NOTA DOS ORGANIZADORES 
Para dar subsídios aos alunos que realizarão o ENADE 2011, um grupo de 
professores, alunos e diplomados da Faculdade de Matemática, deu sua 
contribuição, comentando as questões específicas e discursivas da edição 2008. 
Chegou-se ao consenso de que, ao comentar as questões, seriam 
apresentados alguns conceitos básicos fundamentais para a sua compreensão e 
indicada bibliografia de apoio ao estudante que quisesse aprofundar seus estudos. 
Na resolução das questões, em geral, não se optou pela apresentação 
matematicamente mais elegante, mas pela simplicidade e pelo fácil entendimento 
por parte de alunos, ingressantes ou concluintes, de Cursos de Licenciatura. 
O enunciado das questões foi o mais fiel possível ao ENADE 2008, sendo que 
gráficos e figuras foram fielmente reproduzidos deste documento. 
Tendo em vista que a prova será realizada por alunos ingressantes e 
concluintes, fizemos para cada questão uma classificação quanto ao seu grau de 
dificuldade, considerando tanto a realidade do ensino de Matemática na Educação 
Básica, constatada nas observações de estágio e nas sondagens aplicadas a alunos 
de 1º semestre, quanto nos currículos dos Cursos de Licenciatura em Matemática. 
A resolução das questões desta prova permitiu-nos analisar se os conteúdos 
abordados no ENADE 2008 eram condizentes com o que se trabalha nessa 
Instituição, ajudou-nos a avaliar a formação oferecida aos graduados em Matemática 
e na elaboração do Projeto Pedagógico de nosso Curso. 
Agradecemos a colaboração de docentes, discentes e diplomados da 
Faculdade de Matemática da PUCRS na elaboração deste trabalho e ao apoio 
incondicional da EDIPUCRS e da Pró-Reitoria de Graduação de nossa Universidade. 
Esperamos que este trabalho ajude o leitor na sua formação matemática e 
que ele considere a leitura prazerosa e elucidativa. 
 
Porto Alegre, junho de 2011 
Augusto Vieira Cardona 
Cármen Regina Jardim de Azambuja 
Monica Bertoni dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPONENTE ESPECÍFICO 
NÚCLEO COMUM 
14 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 11 
Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta 
é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da 
bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, 
a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. 
 
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir 
o gol? 
 
(A) m
2
3 
(B) m
3
4 
(C) 1 m 
(D) 2 m 
(E) m
3
5 
 
Gabarito: E 
Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja 
Comentário: 
Diversos fenômenos são descritos por funções polinomiais de 2º grau, como é 
o caso do problema apresentado. Uma função polinomial de 2º grau, ou função 
quadrática, com variável independente x tem o modelo: 
0,)( 2 ≠++= acbxaxxf (1) 
e sua representação gráfica é uma parábola com eixo de simetria passando pelo seu 
vértice e paralelo ao eixo das ordenadas y y’ . 
gol parábola
posição da falta
barreira
Q
P
3
12
x
y
8
O
R
ENADE Comentado 2008: Matemática 15 
No ensino médio, sabe-se que, para determinar a abscissa do vértice
a
bxv 2
−
=
 da 
parábola pode-se utilizar a fórmula . No ensino superior, usando o conceito 
de derivada, sabe-se que a reta tangente à parábola em seu vértice é paralela ao 
eixo das abscissas e, portanto, tem coeficiente angular nulo. Fazendo 0)( =′ xf , isto 
é 02 =+ bax , chega-se à mesma fórmula 
a
bxv 2
−
= . 
No problema apresentado, se for colocado um sistema de eixos na 
barreira, tem-se que: 
a) o vértice da parábola é o ponto (0,3), então xv = 0 e 002
=⇒=
−
= b
a
bxv . Como 
3)0( == cf , substituindo b por zero e c por 3 no modelo de função de segundo grau 
visto em (1), tem-se: 
0,3)( 2 ≠+= aaxxf ; (2) 
b) um dos zeros da função é 12=x , isto é, 0)12( =f . Levando este dado em (2), 
resulta 
48
1
144
303144 −=−=⇒=+⋅ aa . Substituindo o valor de a em (2), a lei da 
função fica bem determinada, ou seja: 
3
48
1)( 2 +−= xxf ; (3) 
c) como o gol está 8 metros à esquerda da barreira, considera-se 8−=x e a altura 
que a bola está ao atingir o gol, é dada por )8(−f , então, por (3): 
f(-8) = 
3
538
48
1 2 =+⋅− . 
Como todas as unidades de medida estão em metros, a resposta correta é 
apresentada no item E, m
3
5 . 
Esta questão é de nível de dificuldade médio por ser um problema de 
aplicação da função quadrática, conteúdo trabalhado tanto em nível de ensino 
médio, como na Licenciatura de Matemática. 
16 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
Referências Bibliográficas: 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. 
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. 
FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 
6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 17 
QUESTÃO 12 
No plano cartesiano xOy, as equações x2 + y2 + y = 0 e x2 - y - 1 = 0 representam 
uma circunferência Γ e uma parábola P, respectivamente. Nesse caso, 
 
(A) a reta de equação y = -1 é tangente às curvas Γ e P. 
(B) as curvas Γ e P têm mais de um ponto em comum. 
(C) existe uma reta que passa pelo centro de Γ e que não intercepta a parábola P. 
(D) o raio da circunferência Γ é igual a 1. 
(E) a parábola P tem concavidade voltada para baixo. 
 
Gabarito: Alternativa A 
Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja 
Comentário: 
Esta questão envolve as equações da circunferência e da parábola. 
A fórmula da distância entre dois pontos
22 )()( byaxd −+−=
 é muitas vezes usada para achar a 
equação de uma curva cuja definição geométrica depende de uma ou mais 
distâncias. A distância entre os pontos (x,y) e (a,b) é dada por: 
. 
A circunferência é o conjunto de todos os pontos do plano que equidistam de 
um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência e a distância 
de qualquer de seus pontos ao centro é o raio
r
 dessa circunferência. Se o centro é o 
ponto (a,b), o raio é o número positivo e ),( yx é um ponto qualquer da 
circunferência, a definição acima se traduz pela equação rbyax =−+− 22 )()( , ou 
equivalentemente: 
222 )()( rbyax =−+− . (1) 
Para colocar a equação dada, 022 =++ yyx , na forma apresentada acima, 
primeiro, agrupam-se os termos em x e em y , 0)()( 22 =++ yyx e, a seguir, 
adiciona-se a constante apropriada a cada conjunto de parênteses para completar 
um quadrado e subtrai-se a mesma constante fora do parêntese para manter a 
igualdade. A constante apropriada, nesse caso, é 
4
1, e isto resulta na equação 
18 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
0
4
1)
4
1( 22 =−+++ yyx , da qual se obtém 
4
1)
4
1( 22 =+++ yyx , ou 
2
22
2
1)
2
1()0( 




=++− yx , e, por (1), determina-se o centro 




 −
2
1,0C e raio 
2
1 da 
circunferência, o que elimina a alternativa D. 
A equação 012 =−− yx pode ser colocada na forma 12 −= xy , que define 
uma função polinomial do segundo grau, cujo gráfico é uma parábola
)1,0( −
 de vértice em 
 e com concavidade
Para decidir entre as outras três alternativas, qual é a correta, pode-se fazer 
uma solução algébrica ou geométrica. 
 voltada para cima, o que elimina a alternativa E. 
Algebricamente, determina-se a intersecção das duas curvas, isto é, resolve-se 
a equação 1222 −−=++ yxyyx ou equivalentemente a equação 0122 =++ yy , 
cuja solução é 1−=y e, portanto, as curvas possuem um único ponto de intersecção, 
(0,-1). Como a reta de equação 1−=y é uma reta paralela ao eixo dos x e passa por 
este ponto, ela tangencia as duas curvas nesse ponto, levando à escolha da 
alternativa A. 
Geometricamente, a questão pode ser resolvida com a construção, no mesmo 
sistema de eixos, dos gráficos da circunferência, da parábola e da reta que 
representam as equações dadas. 
 
Figura 1: Gráfico das curvas x2 + y2 + y = 0, y = -1 e x2 - y - 1 = 0. 
 
Pela figura 1, observa-se que as curvas são tangentes
1−=y
 no ponto (0,-1). A reta 
de equação é paralela ao eixo dos x e passa no ponto de tangência das 
duas curvas, o que leva à escolha da alternativa A. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 19 
Esta questão é considerada fácil, pois pode ser resolvida tanto graficamente, 
como algebricamente e utiliza equações da circunferência e da parábola, curvas das 
mais simples, muito trabalhadas tanto no ensino médio, como na Licenciatura em 
Matemática. 
Referências Bibliográficas: 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1. 
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. 
FLEMMING, D.; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 
6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
20 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 13 
Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem 
gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para 
serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam 
sorteados? 
(A) 
45
1 
(B) 
20
1 
(C) 
10
1 
(D) 
5
1 
(E) 
2
1
 
 
Gabarito: Alternativa A 
Autoria: João Feliz Duarte de Moraes 
Comentário: 
Pode-se resolver esta questão de duas formas diferentes: 
Solução 1: Utilizando a definição de probabilidade
P(A) = 
 de ocorrência de um evento A, 
tem-se que: 
)(
)(
Sn
An ; A ⊆ S, 
onde n(A) é o número de elementos do evento A e n(S) representa o número de 
elementos do espaço amostral S. 
O espaço amostral, definido como o conjunto dos resultados do experimento 
aleatório, tem 45 elementos que podem ser obtidos por meio da combinação
)!(!
!
xnx
n
−
 dos 
dez postos (n = 10), tomados dois a dois (x = 2), isto é, = 
!8!2
!10 = 45. 
Sendo o evento A o subconjunto de S formado pelos dois postos infratores, 
ou seja, n(A) = 1, tem-se, então, que P(A) = 
45
1 . Assim, a alternativa correta é A. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 21 
Solução 2: Supondo que os dois postos foram sorteados sucessivamente e 
sem reposição, pode-se utilizar o chamado Teorema do Produto
Sejam A (primeiro sorteado) e B (segundo sorteado) os dois postos que 
adulteram a gasolina entre os dez da cidade, tem-se, então, que a probabilidade de 
sortear o posto A é P(A) = 
, 
P(A ∩ B) = P (A) P(B/A). 
10
2 , isto é, tem-se duas chances em dez de sortear um 
posto infrator na primeira tentativa. Sabendo-se que o posto A já foi sorteado, a 
chance de retirar, na segunda tentativa, o posto B, que também adultera a gasolina, 
fica P(B/A) = 
9
1 . 
Então, tem-se P(A ∩ B) = P (A) P(B/A) = 
10
2 x 
9
1 = 
45
1 , ou seja, a alternativa 
correta é A. 
Esta questão é considerada fácil, pois trata da aplicação direta de conceitos 
trabalhados no ensino médio. 
Referências Bibliográficas: 
JULIANELLI, J. R.; et al. Curso de análise combinatória e probabilidade. Rio de 
Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2009. 
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010. 
22 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 14 
Assinale a opção que contém o sistema de inequações que determina a região 
triangular PQR desenhada abaixo. 
 
(A) 





>+
<−
<−
3
02
02
xy
xy
xy
 
(B) 





>+
>−
>−
3
02
02
xy
xy
xy
 
(C) 





<+
<−
<−
3
02
02
xy
xy
xy
 
(D) 





>+
<−
>−
3
02
02
xy
xy
xy
 
(E) 





<+
>−
<−
3
02
02
xy
xy
xy
 
 
Gabarito: Alternativa E 
Autoria: Cármen Regina Jardim de Azambuja 
Comentário: 
Uma inequação linear x em e y determina um subconjunto do plano (região) 
em que a condição dada é satisfeita somente pelos pontos dessa região e por 
y
Q
R
1
2
21O xP
ENADE Comentado 2008: Matemática 23 
nenhum outro. Observando a figura dada na questão, vê-se que a região assinalada 
é a intersecção de três semiplanos
Considerando a reta que passa por Q e R, de equação 
 determinados por três retas. 
3+−= xy , a 
representação gráfica da inequação 3<+ xy é o semiplano assinalado na figura 1. 
 
Figura 1: Representação gráfica da inequação 3<+ xy . 
 
Considerando a reta que passa por P e Q, de equação xy 2= , a 
representação gráfica da inequação 02 <− xy é o semiplano assinalado na figura 2. 
 
Figura 2: Representação gráfica da inequação 02 <− xy . 
 
Considerando a reta que passa por P e R, de equação xy
2
1
= , a 
representação gráfica da inequação 02 >− xy é o semiplano assinalado na figura 3. 
 
Figura 3: Representação gráfica da inequação 02 >− xy . 
24 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
Assim, fazendo a intersecção destas três regiões, obtém-se a região 
assinalada no gráfico da figura 4: 
 
Figura 4: Intersecção das três regiões do plano. 
 
que é a representação gráfica da solução do sistema: 





<+
>−
<−
3
02
02
xy
xy
xy
 e, portanto, a 
alternativa correta é a E. 
Esta questão pode, também, ser resolvida da seguinte maneira: considerando 
que um ponto da região assinalada deve satisfazer simultaneamente as três 
inequações de cada sistema apresentado, tomando-se um ponto pertencente a essa 
região, por exemplo, o ponto (1,1), e testando-o em cada inequação do sistema, 
aquele que apresentar todas as desigualdades verdadeiras será a solução da 
questão. Substituindo (1,1) no sistema apresentado na alternativa A, obtém-se: 



<−
<−
,012
021
F
V
 
o que já elimina esta alternativa. 
Procedendo de maneira análoga nos outros sistemas, observa-se que, 
somente no da alternativa E, conforme verificado a seguir: 





<+
>−
<−
,311
012
021
V
V
V
 
todas as desigualdades são verdadeiras, sendo, portanto, esta alternativa a correta. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 25 
Esta questão tem grau médio de dificuldade, pois gráficos de desigualdades 
são pouco explorados no ensino médio e na Licenciatura de Matemática, eles, 
muitas vezes, são feitos com a utilização de softwares, como apoio à resolução de 
questões em que o objetivo não é a construção do gráfico, mas o cálculo de áreas, 
volumes, etc. 
Referência Bibliográfica: 
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2006. 
26 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 15 
Uma professora do ensino fundamental resolveu utilizar, em 
suas aulas, a construção de um avião de papel para explorar 
alguns conceitos e propriedades da geometria plana. 
Utilizando uma folha de papel retangular, os estudantes 
deveriam começar fazendo as dobras na folha ao longo dossegmentos de reta indicados na figura ao lado. 
As seguintes condições, segundo instruções da professora, devem ser satisfeitas: 
 a reta determinada por M e U é a mediatriz do segmento AB; 
 AC, BD e AB são segmentos congruentes; 
 PT e TQ são segmentos congruentes; 
 PD e BD são segmentos congruentes. 
A partir da análise da figura, um estudante afirmou o seguinte: 
O triângulo PQD é obtusângulo 
porque 
o triângulo PQT é equilátero. 
Com relação ao que foi afirmado pelo estudante, assinale a opção correta. 
(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. 
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. 
(E) Ambas as asserções são proposições falsas. 
 
Gabarito: Alternativa C 
Autoria: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann 
Comentário: 
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de conceitos e 
propriedades da geometria, tais como: segmentos congruentes, mediatriz de um 
segmento, retângulo, triângulo obtusângulo e triângulo equilátero. Para melhor 
entender a resolução desta questão, é importante observar que: 
(1) Mediatriz de um segmento num plano dado é a reta perpendicular ao segmento, 
passando pelo seu ponto médio; 
BA
C D
M
Q
R
P
T
S
U 
ENADE Comentado 2008: Matemática 27 
(2) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o; 
(3) Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Logo, por (2), 
se o ângulo oposto à base mede 90o, tem-se que os ângulos da base medem 45o 
cada um; 
(4) Os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes e, portanto, medem 
60o cada um. 
Analisando a figura dada e considerando as instruções da professora, tem-se: 
(a) O triângulo CAB é isósceles, pois os segmentos AC e AB são congruentes por 
construção, e o ângulo BAC ˆ é reto, porque é um dos ângulos do retângulo, logo, 
por (3), BCA ˆ e CBA ˆ medem 45°. De maneira análoga, no triângulo ABD, os 
ângulos DAB ˆ e BDA ˆ medem 45º. 
(b) Considerando o triângulo ATB, sabendo, de (a), que os ângulos TBA ˆ e TAB ˆ 
medem 45°, por (2), pode-se afirmar que BTA ˆ mede 90°. 
(c) No triângulo PQT, por (b), QTP ˆ mede 90º e, portanto, por (4), este triângulo não 
é equilátero, o que torna falsas as opções A, B e D. Este triângulo é isósceles, pois 
os segmentos PT e TQ são congruentes por construção, portanto, por raciocínio 
análogo ao apresentado em (a), os ângulos TPQ ˆ e TQP ˆ medem 45º. 
Pelo visto em (a), (b) e (c), o triângulo PQD é obtusângulo, pois: DPQ ˆ mede 
45º, PDQ ˆ é menor do que 45º (pois é menor que DAB ˆ ), então DQP ˆ é maior do que 
90º. Isto mostra que a opção E é falsa e que a opção C é verdadeira. 
Esta questão é de nível médio de dificuldade, pois, para a sua resolução, é 
necessário o uso de diferentes conceitos de geometria plana que, muitas vezes, são 
pouco trabalhados na Educação Básica e vistos pela primeira vez no Curso de 
Licenciatura em Matemática. 
Referências Bibliográficas: 
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática, 2000, (Coleção do Professor de Matemática). 
RESENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria euclidiana plana e 
construções geométricas. Campinas: UNICAMP, 2000. 
28 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 16 
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada 
pela fórmula: 
( )
0,
1
10)( 2 ≥+
= t
t
tty . 
Em qual intervalo essa função é crescente? 
(A) 0≥t 
(B) 10>t 
(C) 1>t 
(D) 10 <≤ t 
(E) 10
2
1
<< t 
 
Gabarito: Alternativa D 
Autoria: Marilene Jacintho Müller e Vera Lúcia Martins Lupinacci 
Comentário: 
Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de função 
crescente, do teorema relativo ao crescimento de uma função e de regras de 
derivação. 
Uma função f definida em um intervalo I é crescente
)()( 21 xfxf <
 em I, quando 
 para 21 xx < , sendo 1x e 2x pontos desse intervalo I. Para determinar 
os intervalos onde uma função é crescente ou decrescente, usa-se o seguinte 
teorema: 
Seja uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no 
intervalo aberto (a,b). 
(a) Se 0)(' >xf para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a,b]. 
(b) Se 0)(' <xf para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a,b]. 
Esse teorema é aplicável a qualquer intervalo I no qual f seja contínua e 
dentro do qual ela seja diferenciável. 
Para identificar o intervalo onde a função citada na questão é crescente, é 
necessário obter sua derivada e, para tanto, será usada a regra de derivação de um 
quociente. Assim, 
ENADE Comentado 2008: Matemática 29 
34
2
'
)1(
1010
)1(
)1.(2010.)1()(
+
+−
=
+
+−+
=
t
t
t
tttty . 
Como a função y(t) está definida para 0≥t , vem que 0)1( 3 >+t , tem-se que 
0)(' >ty , quando 01010 >+− t , isto é, .10 <≤ t Então, conclui-se que a alternativa 
correta é a D, excluindo-se as demais alternativas. 
Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir a aplicação da regra 
de derivação de um quociente e a análise do sinal da função derivada nos valores 
de t que estão no domínio da função. 
Referência Bibliográfica: 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v.1 
30 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 17 
No plano complexo, a área do triângulo de vértices 2i, 4
πie e 4
3πie é 
(A) 
2
1 
(B) 2 
(C) 
2
12 − 
(D) 222 − 
(E) 




 −
2
12
2
1 
 
Gabarito: Alternativa C 
Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci 
Comentário: 
Para resolver esta questão, é necessário o conhecimento das diversas formas 
de apresentar um número complexo, da fórmula para calcular a área de um triângulo 
e das operações algébricas com números reais. 
Um número complexo yix + é um número da forma , com x e y reais e 
1−=i . Fixado um sistema de coordenadas no plano, este complexo é 
representado pelo ponto P(x, y), chamado de imagem do complexo z. Como a 
correspondência entre os números complexos e suas imagens é biunívoca, 
identificam-se os complexos e suas imagens escrevendo yixyxz +== ),( . 
Cada complexo yixz += , pode ser representado também pelo vetor OP , 
sendo O(0,0) e P(x, y). Indicando-se por 22 yxzr +== , o comprimento 
(módulo OP) do vetor , 0≠r , e por θ o ângulo que o vetor OP forma com o sentido 
positivo do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENADE Comentado 2008: Matemática 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Forma polar de um número complexo z. 
 
Usando relações trigonométricas em um triângulo retângulo, obtém-se que 
r
x
=θcos e 
r
ysen =θ , daí, yixz += = )(cos)(cos θθθθ senirisenrr +=+ , que é 
chamada forma trigonométrica
Para representar um número complexo na forma exponencial complexa, usa-
se a fórmula de Euler: 
 do complexo z. 
=θie θθ seni+cos . Pode-se, então, escrever o complexo 
θθθ ireseniryixz =+=+= )(cos . 
Por último, deve-se lembrar que a área de um triângulo é igual à metade do 
produto do comprimento de qualquer uma de suas bases pelo comprimento da 
altura correspondente. 
Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que: 
a) No plano complexo, os vértices 2i, 4
πie e 4
3πie do triângulo identificam-se com os 
pontos A(0, 2), B(
2
2,
2
2 ) e C( -
2
2,
2
2 ), respectivamente. 
b) Os vértices B e C estão sobre a reta de equação 
2
2
=y , paralela ao eixo x. A 
medida do lado BC é 2
2
2
2
2
=







−−=BC . 
c) A intersecção do segmento BC com o eixo yy’ é o ponto D(0, )
2
2 . Portanto, o 
segmento AD é perpendicular ao lado BC e é a altura do triângulo relativa ao lado 
BC, medindo 
2
22 − . 
 
r 
z = P(x,y) = x+yi 
y 
 
x 
O 
θ
32 Augusto Vieira Cardona et al.(Orgs.) 
d) Assim, a área do triângulo de vértices A, B e C será: 
.
2
12
2
1
2
22
2
122
2
)
2
22(2
2
.
−=−=
−
=
−
=
ADBC 
Logo, a alternativa correta é a C. 
Esta questão é de grau médio de dificuldade, por exigir o conhecimento da 
fórmula de Euler para números complexos e o domínio das operações com 
números reais. 
Referências Bibliográficas: 
HALLET, D. H.; et al. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A., 1997. v. 2. 
LIMA, E. L. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 
1985. 
LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática, 1998, (Coleção do Professor de Matemática) v.3. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 33 
QUESTÃO 18 
No anel dos inteiros módulo 12, R = /12, 
(A) não há divisores de zero. 
(B) todo elemento não-nulo é inversível. 
(C) o subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R. 
(D) a multiplicação não é comutativa. 
(E) há exatamente 4 elementos inversíveis. 
 
Gabarito: Alternativa E 
Autoria: Neda da Silva Gonçalves, Thaísa Jacintho Müller e Virgínia Maria 
Rodrigues 
Comentário: 
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos: 
operações em um conjunto e suas propriedades; anéis e subanéis; máximo divisor 
comum de inteiros, domínios de integridade; o anel dos inteiros módulo n, 
simbolizado por n ou /n cujos elementos são denotados por 1,....,2,1,0 −n . 
Esses conhecimentos são desenvolvidos com detalhes em Gonçalves (2003), 
Santos (1998) ou Garcia e Lequain (2002). 
Ao iniciar o estudo de Estruturas Algébricas, os anéis
Entre os conhecimentos envolvidos nessa questão, pode-se salientar a 
propriedade a seguir que é aplicada diretamente na solução: 
 surgem com 
naturalidade através dos conjuntos numéricos que são trabalhados desde o 
ensino fundamental e médio. Um dos primeiros anéis que se apresenta com 
características “diferentes” daquelas que fazem parte do cotidiano é o dos inteiros 
módulo n. Tem-se mais de uma maneira de definir esse anel: restos da divisão 
por um inteiro fixo n, o anel resultante do quociente do anel dos inteiros pelo ideal 
dos múltiplos de n, o anel quociente dos inteiros por uma relação de equivalência, 
etc. Conceitos que, apesar de diferentes, levam ao mesmo conjunto. 
Sejam x e n inteiros onde n 1≥ . O mdc( x , n) = 1 se e somente se x 
possui inverso multiplicativo em /n. 
Como justificativa desta afirmação e usando ideias da bibliografia citada, 
pode-se observar que: se mdc( x ,n) =1 então, escrevendo-o como combinação 
34 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
linear, existem inteiros r, s tais que x r+n.s = 1. Sabe-se, então, que ,1=+ nsxr ou 
seja, como ns é múltiplo de n, temos 10 =+xr e, portanto, 1. =rx , demonstrando 
que x é inversível. No entanto, se existe r tal que 1. =rx , tem-se que existe um 
inteiro k tal que xr = nk + 1, isto é, xr + nq = 1, onde q = -k. Assim, qualquer divisor 
de x e de n será divisor de 1, o que implica que mdc( x , n) =1. 
Feitas essas considerações, concluiu-se que a alternativa A é falsa, pois 
sabe-se que, por exemplo, 2 e 6 são divisores de zero em R. Como existem 
inteiros que são divisores de 12, pela propriedade acima, tem-se elementos não 
inversíveis em R, o que elimina a alternativa B. A alternativa C também não é válida, 
pois 0 não é inversível e, portanto, não fará parte do conjunto citado, o que significa 
que este conjunto não é um subanel de R. O anel dos inteiros módulo n é comutativo 
com unidade, pois suas operações, como são definidas, herdam essas propriedades 
de , o que torna a alternativa D inválida. No entanto, pela propriedade acima, 
sabe-se que apenas os inteiros 1, 5, 7 e 11 são inversíveis em R, o que torna correta 
a alternativa E. 
A questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, apesar de 
exigir conhecimento de diversos conceitos, pois os mesmos são amplamente 
trabalhados nos Cursos de Licenciatura em Matemática. 
Referências Bibliográficas: 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. 
SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 35 
QUESTÃO 19 
Considere g:  →  uma função com derivada 
dt
dg contínua e f a função definida 
por ∫=
x
dtt
dt
dgxf
0
)()( para todo x ∈ . 
Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem. 
I A função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b ∈ , a < b. 
II A função f é derivável e sua derivada é a função g. 
II A função diferença f - g é uma função constante. 
É correto o que se afirma em 
(A) I, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) I e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
Gabarito: Alternativa C 
Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal 
Comentário: 
A questão envolve conhecimentos sobre Integral de Riemann e trata, 
especificamente, de um importante resultado da Matemática: o Teorema 
Fundamental do Cálculo (TFC). A importância deste teorema, provado 
independentemente por Newton e Leibniz no século XVII, está na unificação dos 
dois conceitos fundamentais estudados em Cálculo Diferencial Integral, 
estabelecendo a relação inversa entre as operações de integração e derivação. 
O problema inverso da derivação consiste em: 
Dada uma função f:[a, b]→ , procurar uma função F:[a, b]→ , que seja 
derivável em [a, b] e tal que )()( xfxF =′ , para todo ],[ bax ∈ . 
Seja f:[a, b] →  uma função integrável. Define-se F:[a, b]→  por: 
∫=
x
a
dttfxF )()( , para todo ],[ bax ∈ . 
A função F assim definida é sempre contínua no intervalo [a, b], sendo f 
integrável (limitada), podendo apresentar um número finito de descontinuidades. No 
entanto, se a função f for contínua, então F será derivável no ponto ],[ bac∈ e 
36 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
)()( cfcF =′ . Neste caso, F é dita uma primitiva de f. O processo de passar de f para 
F melhora, ou “amacia” as qualidades da função. 
Em vista do exposto e após análise das afirmações, tem-se que: 
Afirmação I: Verdadeira. 
Justificativa: Sendo a derivada )(t
dt
dg contínua, por hipótese, ela será limitada no 
intervalo fechado [0,x], para todo ],[ bax ∈ , pelo Teorema de Weierstrass: 
Toda função contínua definida em um conjunto compacto (fechado e 
limitado) é limitada e atinge seus extremos (máximo e mínimo). 
Assim, a função ∫=
x
dtt
dt
dgxf
0
)()( está bem definida e é sempre continua, em 
qualquer intervalo [a,b]. Logo, sendo f contínua, ela é integrável em todo intervalo [a,b]. 
Afirmação II: Falsa. 
Justificativa: Embora f seja derivável, pelo TFC tem-se que )()( t
dt
dgt
dt
df
= e não 
)()( tg
dt
tdf
= , como afirmado. 
Afirmação III: Verdadeira. 
Justificativa: Como )()( t
dt
dgt
dt
df
= , ambas as funções f e g são primitivas de )(t
dt
dg . 
Portanto, as funções f e g diferem por uma constante, isto é: 
Cgf
dt
tgfd
dt
tdg
dt
tdf
dt
tdg
dt
tdf
=−⇒=
−
⇒=−⇒= 0))((0)()()()( , com C constante. 
Conclui-se que é correto o que se afirma em I e III, apenas, o que indica que a 
resposta certa corresponde à alternativa C. 
O grau de dificuldade da questão é considerado médio, já que envolve 
conceitos bem conhecidos do Cálculo Diferencial ainda que numa abordagem de 
Análise Matemática. 
Referências Bibliográficas: 
FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e 
Aplicada – IMPA; Brasília: Ed. Universidade de Brasília, 1975. 
LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e 
Aplicada – IMPA, 1987. v.1. 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.1. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 37 
QUESTÃO 20 
Para cada número real x, considere o conjunto Cx formado por todos os números 
obtidos somando-se a x um número racional, isto é, 
Cx = {x + r : r ∈ }. 
Sob essas condições, conclui-seque 
(A) o número π pertence ao conjunto C1. 
(B) o conjunto C4 ∩ C5 possui um único elemento. 
(C) o número 2 pertence ao conjunto 3C . 
(D) os conjuntos C3 e C1/3 são iguais. 
(E) o número zero pertence ao conjunto ππ −∪CC . 
 
Gabarito: Alternativa D 
Autoria: Liara Aparecida dos Santos Leal 
Comentário: 
A compreensão da questão implica no conhecimento da Teoria dos Conjuntos e, 
principalmente, das propriedades básicas dos números racionais, irracionais e reais. 
Segundo Ripoll, Ripoll e Silveira (2006), enquanto no Ensino Médio os 
números naturais, inteiros e racionais são bastante estudados, os irracionais são 
tratados de forma muito superficial e, muitas vezes, de forma errônea. Na opinião 
dos autores, “o estudo dos irracionais é essencial e, sob alguns aspectos, até muito 
mais importante do que o estudo dos racionais” (p. 174). 
Em breve introdução sobre a Teoria dos Conjuntos, Ávila (2006) apresenta as 
ideias desenvolvidas por Cantor, por volta de 1872, estabelecendo a superioridade 
dos números irracionais em relação aos números racionais, pelo menos em termos 
de “quantidade”. Cantor provou que a infinitude dos números irracionais é muito 
maior que aquela dos racionais, já que estes admitem uma correspondência 
biunívoca com os números naturais, enquanto que não é possível definir uma 
bijeção entre o conjunto dos irracionais e o dos naturais, comprovando que o infinito 
dos números irracionais é maior do que o dos números racionais. 
Considerando o conjunto Cx = {x + r : r ∈ }, para cada número real x, pode-se 
afirmar que: 
38 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
(1) Cx = , para cada número racional x. Com efeito, Cx ⊂ , pois, sendo x racional, 
os elementos de Cx serão todos racionais, ou seja, (x + r) ∈ , ∈∀r ;  ⊂ Cx, pois 
todo número racional pode ser escrito na forma (x + r), ∈∀r . 
(2) Se x não for racional, os elementos de Cx serão todos irracionais, pois 
(x + r) ∉ , ∈∀r . 
Em vista disso, pode-se afirmar que: 
a) a alternativa A é falsa: C1 consiste apenas de elementos racionais, pois C1 é igual 
a  e π é um número irracional. 
b) a alternativa B é falsa: o conjunto C4C5 possui infinitos elementos, pois cada 
conjunto é igual a . 
c) a alternativa C é falsa: o número 32 C∉ , pois )3(2 r+≠ , ∈∀r . 
d) a alternativa D é verdadeira: os conjuntos C3 e C1/3 são ambos iguais a . 
e) a alternativa E é falsa: tem-se que )(0 ππ −+= e, portanto, o número 0 não 
pertence a πC , nem a π−C . 
Conclui-se, então, que apenas a alternativa D é verdadeira. 
Embora o assunto seja objeto de estudo desde o ensino fundamental, 
considera-se médio o grau de dificuldade desta questão, pois a forma como ela está 
formulada, a linguagem formal e a compreensão da estrutura dos conjuntos 
numéricos, exigem um nível de conhecimento mais elaborado. 
Referências Bibliográficas: 
ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para a licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2006. 
RIPOLL, J. B.; RIPOLL, C. C.; SILVEIRA, J. F. P. Números racionais, reais e 
complexos. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 2006. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 39 
QUESTÃO 21 
Para que valores de k e m o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + kx + m é múltiplo de 
Q(x) = x2 – 4? 
(A) k = -4 e m = 12 
(B) k = -3 e m = -4 
(C) k = -3 e m = -12 
(D) k = -4 e m = -3 
(E) k = -2 e m = 2 
 
Gabarito: Alternativa A 
Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues 
Comentário: 
Como os polinômios apresentados, P(x) e Q(x), têm coeficientes reais, para 
resolver esta questão, são necessários os conhecimentos de anel de polinômios sobre 
um corpo e sistemas lineares. Um trabalho mais aprofundado sobre polinômios pode 
ser encontrado em Gonçalves (2003) ou Garcia e Lequain (2002). Os sistemas 
lineares de duas variáveis são trabalhados a partir do Ensino Fundamental. 
Como P(x) é um polinômio múltiplo de Q(x) = x2 - 4 e Q(x) tem raízes -2 e 2 
em , então P(-2) = 0 e P(2) = 0. Assim, ao efetuar a substituição do -2 e do 2 nesse 
polinômio, chega-se às equações: 
2k + m = 4, 
-2k + m = 20, 
o que leva, facilmente, ao resultado k = -4 e m = 12. Portanto, a alternativa A é 
a correta. 
A questão pode ser considerada fácil, pois envolve um assunto bastante 
trabalhado desde o ensino fundamental e, também, em diversas disciplinas do curso 
de Licenciatura em Matemática. 
Referências Bibliográficas: 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. 
40 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 22 
Uma transformação linear T: 2 → 2 faz uma reflexão em relação ao eixo 
horizontal, conforme mostrado na figura a seguir. 
 
Essa transformação T 
(A) é dada por T(x, y) = (-x, y). 
(B) tem autovetor (0, -1) com autovalor associado igual a 2. 
(C) tem autovetor (2, 0) com autovalor associado igual a 1. 
(D) tem autovalor de multiplicidade 2. 
(E) não é inversível. 
 
Gabarito: Alternativa C 
Autoria: Vera Lúcia Martins Lupinacci 
Comentário: 
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de 
transformação linear, operador linear e suas propriedades, matriz de uma 
transformação linear e suas propriedades, operador linear inversível e, ainda, 
autovalores e autovetores de um operador linear. 
Se T: V → W é uma função de um espaço vetorial V em outro espaço vetorial 
W, então T é chamada uma transformação linear
a. T(u + v) = T(u) + T(v), 
 de V em W se, para quaisquer 
vetores u e v em V e qualquer escalar c valem: 
b. T(cv) = cT(v). 
No caso especial em que V = W, a transformação linear é chamada um 
operador linear de V. Em particular, considere os operadores lineares no plano 
y
2
0
u
6
T u( )
2
2 x2
ENADE Comentado 2008: Matemática 41 
2 = {(x, y); x, y ∈ }, ou seja, as transformações lineares T: 2 → 2. Como 
exemplo, tem-se a reflexão em torno do eixo dos x. Essa transformação linear leva 
cada ponto (x, y) para a sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos xx’ e é 
a transformação linear apresentada nesta questão. A matriz deste operador linear na 
base canônica é 
[ ] 





−
=
10
01
T , 
pois 
[ ] ),(
10
01
),( yx
y
x
y
x
y
x
TyxT −=





−
=





⋅





−
=





⋅= . 
O operador linear T: V → V , que associa a cada v ∈ V um vetor T(v) ∈ V, é 
dito inversível
Tem-se, também que um vetor não nulo v ∈ V é 
, se existir outro operador linear S: V → V , que a cada vetor 
transformado T(v), associe o vetor de partida v. O operador inverso é indicado por 
T-1. Um operador linear será inversível, se sua matriz for inversível. 
autovetor do operador linear 
T: V → V , se existir α ∈  tal que T(v) = α v. O número real α é denominado 
autovalor
Considerando os conceitos apresentados acima e o conhecimento de 
algumas propriedades que se referem a eles, conclui-se que: 
 de T associado ao autovetor v. 
a) A alternativa A não é verdadeira. O operador linear T: 2 → 2 apresentado na 
questão indica que T(4,2) = (4,-2), enquanto que o operador dado na alternativa A, 
T(x,y) = (-x,y) resultaria em T(4,2) = (-4,2). 
b) A alternativa E é falsa. A matriz [ T ] é inversível e sua inversa é igual a [ T ], ou 
seja, o operador linear T é inversível e seu operador inverso é ele mesmo. 
c) Para identificar dentre as alternativas B, C e D qual é a verdadeira, é necessário 
obter os autovalores e autovetores de T. De acordo com a definição de autovetor, 
tem-se: T(x, y) = α(x, y), para (x, y) ≠ (0, 0) , o que implica (x, - y) = (α x, α y). Por 
comparação, tem-se o sistema x – α x = 0 e -y - α y = 0. Usando a forma matricial 
para escrever esse sistema, obtém-se 






=











−−
−
0
0
10
01
y
x
α
α
. 
42 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
Como o sistema é homogêneo, para obter uma solução não nula, é 
necessário que o determinante da matriz dos coeficientes 




−−
−
α
α
10
01
seja igual 
a zero, ou seja, 
0
10
01
det =











−−
−
α
α
, 
e, consequentemente, 0)1)(1( =−−− αα , obtendo-se α = 1 ou α = -1, que são os 
únicos autovalores de T de multiplicidade 1. Portanto, justifica-se que as alternativas 
B e D são falsas. 
d) A alternativa correta é a C, pois o conjunto dos autovetores de T associados ao 
autovalor 1 é formado pelos vetores que satisfazem a condição (x, -y) = (x, y), ou 
seja, os vetores da forma (x, 0), para x ≠ 0 . Tem-se que o vetor (2,0) é autovetor 
associado a autovalor 1. 
Esta questão pode parecer difícil, por exigir conhecimento de diversos 
conceitos e propriedades dos operadores lineares, principalmente os conceitos de 
autovalores e autovetores e resolução de sistemas homogêneos. No entanto, 
observa-se que, se o candidato souber calcular autovalores e autovetores de um 
operador linear no plano, imediatamente escolhe a alternativa correta, sem a análise 
das alternativas A e E, que apresentam outros conceitos referentes às 
transformações lineares. Além disso, com o entendimento da reflexão de vetores e 
do conceito de autovalores e autovetores, por eliminação, é possível chegar à 
alternativa correta. 
Referências Bibliográficas: 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2001. 
WINTERLE, P.; STEINBRUCH, A. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 1987. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 43 
QUESTÃO 23 
Considere o sistema de equações a seguir. 





=++
=++
=++
5433
4222
1
zyx
zyx
zyx
 . 
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações 
lineares. 
 
O sistema não tem solução 
porque 
o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero. 
 
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta. 
(A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. 
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. 
(E) Ambas as asserções são proposições falsas. 
 
Gabarito: Alternativa B 
Autoria: Francisco Alberto Rheingantz Silveira 
Comentário: 
Para analisar a questão, é necessário o conhecimento de matrizes e técnicas 
para resolver sistemas de equações lineares. 
Para resolver o sistema proposto 





=++
=++
=++
5433
4222
1
zyx
zyx
zyx
, usa-se a Regra de Cramer
A solução de um sistema de equações lineares com n equações e n 
incógnitas A X = B, em que A representa a matriz dos coeficientes, B a matriz dos 
termos independentes e X a matriz das variáveis (incógnitas) é dada pela fórmula 
. 
44 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
∆
∆
= ii
Xx , sendo )det(A=∆ (determinante iX∆ da matriz A) e é o determinante da 
matriz Xi obtida pela substituição da i-ésima coluna de A pelos valores do vetor-
coluna B. Sabe-se que: 
a. Se 0≠∆ , o sistema é possível e determinado. 
b. Se 0=∆ e 0=∆ iX para todo i = 1, ... , n, o sistema é possível e indeterminado. 
c. Se 0=∆ e 0≠∆ iX para algum i, i = 1, ... , n, o sistema é impossível. 
 
Desta forma: 
A matriz 










=
433
222
111
A tem ∆ = det (A) = 0. 
A matriz










=
435
224
111
1X tem 041 ≠−=∆X . 
De acordo com o item 3, o sistema não tem solução e a resposta correta é a 
da alternativa B: as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda 
não é uma justificativa correta da primeira. 
Esta questão é considerada fácil, pois sua elaboração envolve conceitos 
trabalhados desde a Educação Básica. 
Referências Bibliográficas: 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2001. 
CARAKUSHANSKY, M. S.; LAPENHA, G. Introdução à álgebra linear. São Paulo: 
McGraw-Hill do Brasil, 1976. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 45 
QUESTÃO 24 
Considere que Q1 = {r1, r2, r3, ...} seja uma enumeração de todos os números 
racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i ≥ 1, Ii 
denote o intervalo aberto 




 +− ++ 22 2
1,
2
1
iiii rr , cujo comprimento é li. Qual é a soma 
da série ∑
∞
=1i
il ? 
(A) 
3
1 
(B) 
2
1 
(C) 
3
2 
(D) 
4
3 
(E) 
4
5 
 
Gabarito: Alternativa B 
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos 
Comentário: 
Apesar de, no enunciado inicial da questão, ser sugerido um conhecimento 
sobre conjuntos enumeráveis e a densidade do conjunto dos racionais em , 
para resolvê-la, bastam os conceitos relativos a comprimento de um intervalo e a 
série geométrica. 
Ao usar-se a linguagem geométrica, um intervalo [a,b] pode ser 
interpretado como o segmento de reta cujos extremos são os pontos a e b. 
Portanto, o comprimento do intervalo [a,b] é o comprimento do segmento 
ab, b – a. Igualmente, o comprimento do intervalo (a, b) é b – a, uma vez que, ao 
serem retiradas as duas extremidades do intervalo, está-se subtraindo um 
conjunto de dimensão zero. 
46 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
A série geométrica ...2
1
1 +++=∑
∞
=
− araraar
n
n é convergente se |r| < 1 e sua 
soma é 
r
aar
n
n
−
=∑
∞
=
−
11
1 . 
É solicitado que se calcule a soma ∑
∞
=1i
il , sendo li o comprimento do intervalo 
)
2
1,
2
1( 22 ++ +− iiii rr . Considerando-se os conceitos apresentados acima, chega-se a 
12222222 2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1)
2
1()
2
1( ++++++++ ==+=+−+=−−+= iiiiiiiiiiiii rrrrl 
de forma que: 
...
2
1.
2
1
2
1.
2
1
2
1
...
2
1.
2
1
2
1.
2
1
2
1...
2
1
2
1
2
1
2
1
2
222
2222432
1
1
1
+




+




+=
=+++=+++== ∑∑
∞
=
+
∞
= i
i
i
il
 
é uma série geométrica de razão r = 
2
1 e primeiro termo a = 
4
1
2
1
2 = . Como a razão 
tem módulo menor do que um, sua soma pode ser calculada por: 
2
1
24
1
2
11
4
1
2
1
1
1
1
=
−
=
−
== ∑∑
∞
=
+
∞
= i
i
i
il . 
A soma ainda pode ser obtida de forma muito rápida, se, uma vez sabendo-se 
que a série é convergente, o fator 1/4 for posto em evidência, resultando em: 
2
12.
4
1.)..
2
1
2
11(
4
1...
2
1
2
1
2
1
2
1
2432
1
1
1
==+++=+++== ∑∑
∞
=
+
∞
= i
i
i
il , 
em que a soma dos infinitos termos de ...
2
1
2
11 2 +++ é de fácil obtenção, podendo-
se, para isso, utilizar uma interpretação geométrica, sendo que cada parcela 
adicionada é metade do que falta para o total chegar a dois. Considera-se 
importante, na resolução de problemas, a habilidade de visualizar um caminho mais 
simples de chegar à solução. Entretanto, a definição do conjunto Q1 como uma 
enumeração dos racionais do intervalo [0, 1], confunde o resolutor, remetendo-o a 
assuntos que não serão necessários para a escolha da alternativa correta. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 47 
Assim, conclui-se que a alternativa B está correta e que: 
a) a alternativa A está errada, mas este valor seria obtido se o valor da razão fosse 
considerado, indevidamente, igual a 1/4; 
b) a alternativa C está errada, mas este valor seria obtido se, erroneamente, fossem 
trocados os valores da razão e do primeiro termo; 
c) as alternativas D e E estão erradas, mas poderiam ter sido escolhidas, pelo 
denominador da soma ser 4, que é divisor dos denominadores de todos os termos 
da série; 
d) a alternativa B está correta. 
Entende-se que esta questão é razoavelmente fácil, por exigir, basicamente, o 
conhecimento de dois conceitos: comprimento de um intervalo e soma da série 
geométrica. 
Referências Bibliográficas: 
LIMA, E. L. Curso de análise. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA,1982. 
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
48 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 25 
O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um 
software geométrico que permite interceptar um tetraedro regularcom planos. A figura 
a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção. 
 
Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que 
o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações. 
I O volume da pirâmide SMNP é igual 1/2. 
II A interseção do plano α com o tetraedro é um paralelogramo. 
III As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas. 
É correto o que se afirma em 
(A) I, apenas. 
(B) III, apenas. 
(C) I e II, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
Gabarito: Alternativa B 
Autores: Augusto Vieira Cardona e Gertrudes Regina Todeschini Hoffmann 
Comentário: 
Para analisar esta questão, necessita-se de conceitos básicos de geometria, 
tais como retas perpendiculares e reversas, triângulo, paralelogramo, pirâmide, 
tetraedro regular, volume e aresta, bem como as propriedades que os envolvem. 
Estes conceitos e propriedades são encontrados em livros da Educação Básica ou 
de Geometria, dentre os quais podem ser citados: Hemmerling (1971), Jurgensen, 
Donnely e Dolciani (1985) e Moise e Downs Jr. (1966). 
R
M
U
T
N
P
S
ENADE Comentado 2008: Matemática 49 
Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Um 
polígono é dito regular, se todos os seus lados e todos os seus ângulos são 
congruentes. Uma pirâmide é um poliedro com uma face, chamada base, que é um 
polígono e as outras faces são triângulos que se encontram em um ponto comum, 
chamado vértice da pirâmide. A altura da pirâmide é o comprimento da 
perpendicular baixada do vértice ao plano que contém a base. Uma pirâmide é dita 
regular, se tem como base um polígono regular e a altura desde o vértice é 
perpendicular à base em seu centro. Uma pirâmide cuja base também é um 
triângulo, como mostra a figura acima, chama-se tetraedro. O volume
h
 de uma 
pirâmide é igual a um terço do produto de sua altura pela área da base bA , isto é 
3
bhAV = (1). A altura de um tetraedro regular é igual a 6 multiplicada por um terço 
do comprimento da aresta a , isto é 
3
6ah = (2). A área de um triângulo equilátero
3
 
(base do tetraedro) é igual a multiplicada por um quarto do quadrado do 
comprimento da aresta a , isto é 
4
3 2aA = (3). Desta forma, sendo a a medida da 
aresta de um tetraedro regular, por (1), (2) e (3) seu volume será igual a 3
12
2 aV = . 
Duas pirâmides regulares são ditas semelhantes, se suas bases são 
polígonos semelhantes e se suas alturas estão na mesma razão que as arestas 
correspondentes das bases. Dois polígonos são semelhantes,
Quando duas retas no espaço não estão contidas no mesmo plano (o que 
necessariamente implica em que elas não têm ponto comum), elas são chamadas 
de 
 se seus ângulos 
correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. 
retas reversas
Considerando os conceitos apresentados acima, conclui-se que: 
. 
a) As pirâmides RSTU e SMNP são semelhantes, pois os triângulos da base, SNP e 
SUT, são semelhantes (
2
1
==
ST
SP
SU
SN e TSUPSN ˆˆ = ), pelo teorema: 
50 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
Seja dada uma correspondência entre dois triângulos. Se dois pares de 
lados correspondentes são proporcionais e os ângulos compreendidos 
são congruentes, então estes triângulos são semelhantes. 
E suas alturas estão na mesma razão do que as arestas das bases 
















=
2
1
3
2
6
3
6
a
a
. 
Sendo o volume da pirâmide RSTU igual a 1, e as arestas da pirâmide SMNP 
medindo a metade das arestas da pirâmide RSTU, então, pelo teorema: 
Os volumes de duas pirâmides regulares semelhantes estão na mesma 
razão que os cubos das arestas de suas bases ou de suas alturas, 
o volume do tetraedro SMNP é 1/8, ou seja, a afirmação I é falsa. 
Este resultado, também, poderia ser obtido utilizando a fórmula do volume 
de um tetraedro regular, apresentada acima. Como o volume do tetraedro RSTU 
é igual a 1, tem-se que: 
333 32261
12
2
=⇒=⇒= aaa 
e, como a aresta a1 de SMNP é a metade de a, ou seja, 
2
32 3
1 =a , tem-se que o 
volume de SMNP será igual a ( ) ( )
8
1
812
34
)2(12
32
2
32
12
2
12
2
3
334
3
3
3
1 ===







=
x
xa , 
mostrando, também, que a afirmação I é falsa. 
b) A intersecção do plano α com o tetraedro RSTU é o triângulo MNP e não 
um paralelogramo, portanto a afirmação II é falsa. Para demonstrar isto, usa-se o 
seguinte teorema: 
Toda seção transversal de uma pirâmide triangular, entre a base e o vértice, 
é uma região triangular semelhante à base, 
sendo que uma seção transversal de uma pirâmide é a intersecção desta pirâmide com 
um plano paralelo ao plano que contém a sua base. Resta mostrar que o plano α é 
ENADE Comentado 2008: Matemática 51 
paralelo ao plano β, que contém os pontos R, U e T. Para tanto, consideram-se os 
seguintes teoremas, que garantem o paralelismo destes dois planos: 
O segmento entre os pontos médios de dois lados de um triângulo é 
paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento, 
resultando que NP e NM são paralelos a UT e UR, respectivamente; 
Um plano α e uma reta r não contida em α são paralelos se, e somente 
se, existe uma reta s paralela a r e contida em α, 
resultando que as retas que contém NP e NM são paralelas ao plano β; 
Se um plano α é paralelo a duas retas concorrentes contidas em um 
plano β, então α e β são planos paralelos, 
resultando que os planos α e β são paralelos. 
c) Como foi mostrado acima, o plano α é paralelo ao plano β. As retas que contém as 
arestas MP e RU estão contidas nos planos α e β, respectivamente. Portanto, as retas 
que contém as arestas MP e RU são reversas, sendo a afirmação III verdadeira. 
Com base no exposto acima, a alternativa correta é a B, pois, apenas a 
afirmação III é verdadeira. 
Esta questão pode ser considerada de nível de dificuldade médio, pois 
envolve diversos conceitos e teoremas de geometria plana e espacial e, para 
justificar a veracidade das afirmações, é necessário relacioná-los. 
Referências Bibliográficas: 
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Ao livro técnico, 1982. 
HEMMERLING, E. M. Geometria elemental. Buenos Aires: Ed. Limusa Wiley, 1971. 
JURGENSEN, R. C.; DONNELY, A. J.; DOLCIANI, M. P. Geometria moderna: 
estructura y método. México: Publicaciones Cultural, 1985. 
MOISE, E. E.; DOWNS Jr., F. L. Geometría moderna. Reading: Addison – Wesley, 
1966. 
52 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
QUESTÃO 26 
Analisando a função f(x, y) = x2(x - 1) + y(2x - y), definida no domínio 
D = {(x, y) ∈ 2; -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}, um estudante de cálculo diferencial escreveu 
o seguinte: 
 
A função f tem um ponto de mínimo global em D 
porque 
o ponto (0, 0) é um ponto crítico de f. 
 
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta. 
(A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
(B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
(C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. 
(D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira. 
(E) Ambas as asserções são proposições falsas. 
 
Gabarito: Alternativa B 
Autoria: Maria Beatriz Menezes Castilhos 
Comentário: 
A resolução da questão implica no conhecimento de derivadas parciais e sua 
aplicação na determinação de extremos de uma função. Além disso, é necessário ter 
noções de topologia e do Teorema de Weierstrass para funções de duas variáveis. 
Os conceitos de topologia envolvidos na questão incluem as definições de 
conjunto fechado, aquele que inclui todos os seus pontos de fronteira, e de conjunto 
limitado, aquele que está contido em algum disco. Um disco
O conjunto D, da questão, é fechado, pois contém sua fronteira, constituída 
pelos segmentos 
 de centro em (a,b) e raio 
r > 0 é o conjunto dospontos (x,y) de 2, cuja distância até (a,b) é menor do que r. 
[x = -1 , -1 < y < 1], [x = 1 , -1 < y < 1], [y = -1 , -1 < x < 1] e [y = 1 , -1 < x < 1]. 
Também podemos afirmar que D é limitado, pois está contido no disco de centro na 
origem e raio 2, por exemplo. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 53 
Uma função real f de duas variáveis atinge um mínimo local, em um ponto 
(a,b) de seu domínio, se f(a,b) < f(x,y) para todo ponto (x,y) do domínio de f que 
estiver em um disco de centro em (a,b). Por outro lado, se a desigualdade vale para 
todos os pontos (x,y) do domínio de f, a função atinge o mínimo global (ou absoluto) 
em (a,b). Um ponto (x0,y0) é um ponto crítico
A função f(x,y) da questão é polinomial, portanto é contínua e tem derivadas 
parciais contínuas, sendo 
 de f se fx(x0, y0) = 0 e fy(x0, y0) = 0, ou 
se uma das derivadas parciais não estiver definida em (x0,y0). 
fx(x,y) = 2x(x – 1) + x2 + 2y = 2x2 – 2x + x2 + 2y = 3x2 – 2x + 2y 
e 
fy(x,y) = (2x – y) – y = 2x – 2y. 
Como fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0, tem-se que (0,0) é um ponto crítico de f, o que 
mostra que a segunda asserção é verdadeira. Porém, uma vez que não é válida a 
recíproca do teorema: 
Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas 
parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então fx(a,b) = 0 e 
fy(a,b) = 0 
essa asserção não justifica a primeira. 
Por outro lado, um subconjunto K de n (em particular de 2) é compacto, 
quando ele é limitado e fechado. Como já foi constatado que 
D = {(x, y) ∈ 2; -1 < x < 1, -1 < y < 1} é fechado e limitado, então ele é compacto. 
Juntando-se a isso o fato de f ser contínua, tem-se as hipóteses do teorema de 
Weierstrass
Toda função real contínua f: K → , definida, num compacto K ⊂ n, 
atinge seu máximo e seu mínimo em K, isto é, existem pontos x0, x1 ∈ K 
tais que f(x0) < f(x) < f(x1) para qualquer x ∈ K 
: 
que garante que f atinge o mínimo (e o máximo) global em D. Isso mostra que a 
primeira asserção é verdadeira. 
Considerando os conceitos e resultados apresentados acima, e a afirmação: a 
função f tem um ponto de mínimo global em D, porque o ponto (0, 0) é um ponto 
crítico de f, conclui-se que: 
54 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
a) a alternativa A está errada, pois, embora sejam verdadeiras as duas asserções, o 
que justifica a primeira é o teorema de Weierstrass e não a segunda asserção; 
b) a alternativa C está errada porque a segunda asserção é verdadeira; 
c) a alternativa D está errada, porque a primeira asserção é verdadeira; 
d) a alternativa E está errada porque as asserções são ambas verdadeiras; 
e) a alternativa B está correta. 
Entende-se que esta questão é de nível de dificuldade médio, pois envolve 
dois tipos de habilidades, a aplicação de conceitos e a relação entre eles. Além de 
conhecer as definições de mínimo global e ponto crítico, o resolvente precisa 
reconhecer propriedades, tanto na função quanto no conjunto apresentados, para, 
apropriado dos resultados a respeito do assunto, decidir qual deles – neste caso, o 
teorema de Weierstrass – se aplica à situação apresentada. Porém, o trabalho com 
otimização é muito enfatizado nas disciplinas de Cálculo, o que torna o aluno 
familiarizado com o tema. 
Referências Bibliográficas: 
LIMA, E. L. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1981. 
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 55 
QUESTÃO 27 
Qual é o resto da divisão de 2334 por 23? 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 16 
(E) 20 
 
Gabarito: Alternativa D 
Autoria: Neda da Silva Gonçalves e Virgínia Maria Rodrigues 
Comentário: 
Para analisar a questão, são necessários os seguintes conceitos: congruência 
módulo n, anel dos inteiros módulo n e o Pequeno Teorema de Fermat. 
Considerando as operações em /n, será usada na resolução da questão, 
a seguinte propriedade: 
Sejam a e b dois números inteiros tais que a ≡ b (mod n) e k um número 
natural não nulo. Então ak ≡ bk (mod n). 
A prova dessa propriedade é feita a seguir, usando indução matemática e 
também a propriedade: a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ⇒ ac ≡ bd (mod n), 
∈∀ dcba ,,, . 
Observa-se que se k = 1 a afirmação é óbvia. 
Supõe-se, então, que a afirmação seja válida para algum inteiro 1≥q , isto é: 
se a ≡ b (mod n) então aq ≡ bq (mod n). Assim decorrendo, se a ≡ b (mod n), obtém-
se aq ≡ bq (mod n) e, consequentemente, aqa ≡ bq b (mod n). Portanto, 
aq+1 ≡ bq+1 (mod n), demonstrando a validade do resultado. 
Usa-se, também, o Pequeno Teorema de Fermat: 
Seja p um número primo. Então ∈∀≡− xpx p ),(mod11  – (p) ou, 
equivalentemente, ∈∀≡− xx p ,11 p - }.0{ 
Pode-se encontrar uma prova detalhada deste teorema em Garcia e Lequain 
(2002, p. 101 e 134) ou Santos (1998, p. 41). 
Observe que 334 = 15. 22 + 4. 
56 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
Procura-se o resto da divisão por 23, que é um número primo. Assim, como 
02 ≠ em 23, pelo Pequeno Teorema de Fermat, obtém-se que 222 ≡ 1(mod 23). 
Aplicando a propriedade acima tem-se (222)15 ≡ 115(mod 23), isto é, 2330 ≡ 1(mod 23). 
Pode-se, então, concluir que 2330.24 ≡ 1.24(mod 23) e, portanto, 2334 ≡ 16(mod 23). 
Então, o resto solicitado será 16 e a alternativa correta é a D. 
Esta questão apresenta um grau de dificuldade médio, já que pode ser 
resolvida por tentativas uma vez que se pode chegar ao número 22 sem usar o 
teorema. No entanto, se esse número fosse maior, a solução por tentativa 
apresentaria uma dificuldade bem maior. 
Referências Bibliográficas: 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. 
SANTOS, J. P. Introdução à teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 1998. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 57 
QUESTÃO 28 – DISCURSIVA 
Os gráficos abaixo mostram informações a respeito da área plantada e da 
produtividade das lavouras brasileiras de soja com relação às safras de 2000 a 2007. 
 
Com base nessas informações, resolva o que se pede nos itens a seguir e transcreva 
suas respostas para o Caderno de Respostas, nos locais devidamente indicados. 
a) Considerando I = área plantada (em milhões de ha), II = produtividade (em kg/ha) 
e III = produção total de soja (em milhões de toneladas), preencha a tabela abaixo. 
 
ano I II III 
2000 
2001 
2002 
2003 
2004 
2005 
2006 
2007 
 
b) Faça o esboço do “gráfico de linhas” que representa a quantidade de quilogramas de 
soja produzidos no Brasil, em milhões de toneladas, no período de 2000 a 2007. Nomeie 
as variáveis nos eixos de coordenadas e dê um título adequado para seu gráfico. 
 
Autoria: Augusto Vieira Cardona 
Comentário: 
a) Analisando a figura acima, os valores da coluna I e II são retirados, respectivamente, 
dos gráficos localizados à esquerda e à direita. Os valores da coluna III são obtidos, 
58 Augusto Vieira Cardona et al. (Orgs.) 
multiplicando-se os valores das colunas I e II, para cada ano, resultando a produção 
total de soja (em milhões de kg), e dividindo este resultado por mil. 
 
Tabela 1: A área plantada, produtividade e produção total de soja. 
ano I II III 
2000 13,6 2.400 32.640 
2001 14 2.700 37.800 
2002 16,4 2.500 41.000 
2003 18,5 2.800 51.800 
2004 21,5 2.300 494.50 
2005 23 2.200 50.600 
2006 22 2.500 55.000 
2007 21 2.800 58.800 
 
b) O gráfico ilustrado na figura 1 apresenta alguns valores da tabela acima, sendo 
que no eixo das abscissas tem-se os anos, e no eixo das ordenadas são colocados 
os valores da coluna III para o ano respectivo. 
 
Figura 1: Produção anual de soja no Brasil. 
 
Esta questão é fácil, já que pode ser resolvida a partir da leitura de gráficos e 
de operações elementares. 
Referência Bibliográfica: 
IMENES, L. M.; LELLIS, M. Matemática: 6ª Série. São Paulo: Ed. Scipione, 1997. 
ENADE Comentado 2008: Matemática 59 
QUESTÃO 29 – DISCURSIVA 
Considere a seqüência numérica definida por 
aa =1 
nn aaa