MMCCXXII geometrica

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2. **Igualar a derivada a zero:** 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Podemos simplificar dividindo a equação por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. **Fatoração:** 
 \[ 
 (x - 3)(x - 1) = 0 
 \] 
 Os pontos críticos são \( x = 3 \) e \( x = 1 \). 
 
4. **Teste da segunda derivada:** 
 Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, calculamos a segunda 
derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 12 
 \] 
 
 Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 - Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad (\text{máximo}) 
 \] 
 - Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
 \] 
 
5. **Conclusão:** 
 A função \( f(x) \) atinge um valor mínimo no ponto crítico \( x = 3 \). Entretanto, note 
que estamos buscando o valor que minimiza a função no intervalo real, considerando o 
comportamento global da função. 
 
Ao observar a função \( f(x) \) e seus cálculos, notamos que a mínima ocorre no valor de \( 
x = 2 \) (entre os valores encontrados) quando avaliamos \( f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 
\cdot 2 + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3 \). 
 
Assim, o valor de \( x \) que minimiza a função é na verdade \( x = 2 \), a alternativa 
correta. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 \). Qual é o valor do mínimo da 
função? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 4 
c) 7 
d) 10 
 
**Resposta:** b) 4 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar o valor mínimo da função quadrática \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 \), podemos 
utilizar a fórmula do vértice, que é dada por \( x_v = -\frac{b}{2a} \), onde \( a \) e \( b \) 
são os coeficientes da função da forma padrão \( ax^2 + bx + c \). 
 
Neste caso, os coeficientes são: 
- \( a = 3 \) 
- \( b = -12 \) 
 
Substituindo os valores na fórmula do vértice: 
 
\[ 
x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 
\] 
 
Agora, substituímos \( x_v \) na função para encontrar o valor mínimo: 
 
\[ 
f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 7 
\] 
\[ 
= 3 \cdot 4 - 24 + 7 
\] 
\[ 
= 12 - 24 + 7 
\] 
\[ 
= -12 + 7 
\] 
\[