MLVI linguagem 2

Prévia do material em texto

**Explicação:** Para descobrir se a função possui um máximo ou um mínimo, precisamos 
analisar a forma da função. Como se trata de uma função quadrática na forma \( f(x) = ax^2 
+ bx + c \), onde \( a = 3 \), \( b = -6 \) e \( c = 4 \), sabemos que: 
 
1. Se \( a > 0 \), a parábola se abre para cima, o que significa que a função terá um mínimo. 
Se \( a 0 \), então a função tem um mínimo. 
 
2. Para encontrar o valor do mínimo, precisamos encontrar o vértice da parábola. A 
coordenada x do vértice de uma função quadrática é dada pela fórmula: 
 
\[ 
x_v = -\frac{b}{2a} 
\] 
 
Substituindo os valores de \( b \) e \( a \) na fórmula: 
 
\[ 
x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 
\] 
 
3. Agora, substituímos \( x_v \) na função \( f(x) \) para encontrar o valor do mínimo: 
 
\[ 
f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 
\] 
 
Assim, o valor mínimo da função \( f(x) \) é \( 1 \) e ocorre quando \( x = 1 \). Portanto, a 
resposta correta é **mínimo: 1** (alternativa b). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual dos seguintes valores de \( 
x \) apresenta um ponto de máximo local para essa função? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = 0 \) 
b) \( x = 1 \) 
c) \( x = 2 \) 
d) \( x = 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** 
Para encontrar os pontos de máximo ou mínimo local de uma função, calculamos a derivada 
da função e buscamos os pontos críticos onde essa derivada é igual a zero. 
 
1. Primeiramente, encontramos a derivada de \( f \): 
 \[ 
 f'(x) = 3x^2 - 6x 
 \] 
 
2. Em seguida, igualamos a derivada a zero para descobrir os pontos críticos: 
 \[ 
 3x^2 - 6x = 0 
 \] 
 \[ 
 3x(x - 2) = 0 
 \] 
 Isso resulta em: 
 \[ 
 x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2 
 \] 
 
3. Agora, para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, aplicamos o 
teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de \( f \): 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 6 
 \] 
 
4. Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{negativo, portanto, ponto máximo local}) 
 \] 
 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{positivo, portanto, ponto mínimo local}) 
 \] 
 
5. A partir da análise, \( x = 0 \) é um ponto de máximo local, e \( x = 2 \) é um ponto de 
mínimo local. Porém, a questão solicita o valor que apresenta um ponto de máximo local. 
Portanto, a opção correta se torna: