binario ks5E7

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7. **Limites em \( -\infty \) e \( +\infty \)**: 
 - Quando \( x \to -\infty \): \( f(x) \) tende a \( -\infty \). 
 - Quando \( x \to +\infty \): \( f(x) \) tende a \( +\infty \). 
 
Dado que \( f(x) \) começa negativo, se torna positivo, e a análise dos pontos críticos indica 
que não há uma mudança de sinal que sugira a presença de mais de uma raiz, podemos 
concluir que \( f(x) \) possui exatamente uma raiz real. 
 
Portanto, a resposta correta é **b) 1**. 
 
**Questão:** Em um espaço vetorial V, considere os vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, 3) \), \( 
\mathbf{v} = (4, 5, 6) \) e \( \mathbf{w} = (7, 8, 9) \). Qual dos seguintes conjuntos de 
vetores é linearmente independente? 
 
Alternativas: 
a) \( \{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} \) 
b) \( \{\mathbf{u}, \mathbf{w}\} \) 
c) \( \{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} \) 
d) \( \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} \) 
 
**Resposta:** d) \( \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} \) 
 
**Explicação:** Para determinar se um conjunto de vetores é linearmente independente, 
precisamos verificar se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor nulo é 
a trivial, ou seja, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. 
 
Por definição, os vetores \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \) são linearmente 
dependentes se houver coeficientes \( a, b, c \) tais que: 
 
\[ a \mathbf{u} + b \mathbf{v} + c \mathbf{w} = \mathbf{0} \] 
 
Consideramos a matriz cujas linhas são formadas pelos vetores \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, 
\mathbf{w} \): 
 
\[ 
A = \begin{bmatrix} 
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6 \\ 
7 & 8 & 9 
\end{bmatrix} 
\] 
 
Calculamos o determinante dessa matriz para verificar a independência linear dos vetores: 
 
\[ 
\text{det}(A) = 1(5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) 
\] 
\[ 
= 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) 
\] 
\[ 
= 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) 
\] 
\[ 
= -3 + 12 - 9 = 0 
\] 
 
Como o determinante é zero, concluímos que os vetores \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \text{ e } 
\mathbf{w} \) são linearmente dependentes. 
 
Agora, vamos verificar cada uma das alternativas: 
 
- a) \( \{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} \): possui determinante não nulo, portanto, é 
independente. 
- b) \( \{\mathbf{u}, \mathbf{w}\} \): também depende do mesmo modo e é linearmente 
dependente. 
- c) \( \{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} \): igualmente, é linearmente dependente. 
 
Portanto, todos os conjuntos que não contêm os três vetores são linearmente 
independentes, mas \( \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} \) é a única resposta 
correta que se refere aos três vetores. 
 
A resposta correta é a alternativa **d)**. 
 
**Questão:** Um estudante tem uma coleção de livros que consiste em 3 livros de 
matemática, 4 de física e 2 de química. Quantas maneiras diferentes ele pode escolher 3 
livros para levar para a biblioteca, se ele deve escolher pelo menos um livro de cada 
disciplina? 
 
**Alternativas:** 
a) 14 
b) 16