Álgebra Linear - Matrizes e Sistemas

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Álgebra Linear – 2/2025 – 30/08/2025
Código da disciplina EAD01074
GABARITO
Para responder as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes matrizes:
A =
 1 2 0
0 1 0
0 0 1
, B =
 1 −2 0
0 1 0
0 0 1
 e C =
 1 0 0
0 2 0
0 0 1
 .
Questão 1 [1,0 pt] As matrizes A e B são inversas uma da outra? Justifique.
Solução:
AB =
 1 2 0
0 1 0
0 0 1

 1 −2 0
0 1 0
0 0 1
 =
 1 + 0 + 0 −2 + 2 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1
 =
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Como AB = I3, A e B são inversas uma da outra.
Questão 2 [1,0 pt] As matrizes A e C são inversas uma da outra? Justifique.
Solução:
AC =
 1 2 0
0 1 0
0 0 1

 1 0 0
0 2 0
0 0 1
 =
 1 + 0 + 0 0 + 4 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 2 + 0 0 + 0 + 0
0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1
 =
 1 4 0
0 2 0
0 0 1
.
Como AB ̸= I3, A e C não são inversas uma da outra.
Questão 3 [1,0 pt] Verifique se AB + C é uma matriz simétrica, justificando a sua resposta.
Solução:
AB + C =
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
+
 1 0 0
0 2 0
0 0 1
 =
 1 + 1 0 + 0 0 + 0
0 + 0 1 + 2 0 + 0
0 + 0 0 + 0 1 + 1
 =
 2 0 0
0 3 0
0 0 2
 .
Nota-se que a matriz AB + C é uma matriz diagonal, sendo, portanto, simétrica.
Álgebra Linear – EAD01074 AP1 – GABARITO 2
Questão 4 [1,0 pt] Sejam as matrizes A =
[
1 2
0 1
]
e B =
[
a b
c d
]
, calcule a, b, c e d para
que a matriz A seja a inversa da matriz B.
Solução:
Para que a matriz A seja inversa da B, deve-se ter que AB = BA = I2, assim:
AB = I2 ⇒
[
1 2
0 1
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒
[
a + 2c b + 2d
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇒

a + 2c = 1
b + 2d = 0
c = 0
d = 1
Substituindo os valores de c e d nas duas primeiras equações, se obtém a = 1 e b = −2. Assim,
temos que: a = 1, b = −2, c = 0 e d = 1.
Questão 5 [1,0 pt] Dado o seguinte sistema linear:

2x + 3y − z = 1
4x + 7y − 3z = 3
6x + 9y − 2z = 4
, utilize a noção de
determinante para mostrar que o sistema é compat́ıvel e determinado e resolva-o, indicando cada
operação realizada.
Solução:
Toma-se o determinante da matriz dos coeficientes:∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −1
4 7 −3
6 9 −2
∣∣∣∣∣∣∣ = (2)
∣∣∣∣∣ 7 −3
9 −2
∣∣∣∣∣− (3)
∣∣∣∣∣ 4 −3
6 −2
∣∣∣∣∣+ (−1)
∣∣∣∣∣ 4 7
6 9
∣∣∣∣∣ =
= 2(−14 + 27) − 3(−8 + 18) − (36 − 42) = 26 − 30 + 6 = 2.
Como o determinante é não nulo, o sistema é compat́ıvel e determinado.
Para resolver o sistema, utilizam-se operações elementares na matriz aumentada:
 2 3 −1 1
4 7 −3 3
6 9 −2 4
L2←L2−2L1
L3←L3−3L1
=⇒
 2 3 −1 1
0 1 −1 1
0 0 1 1
L2←L2+L3
=⇒
 2 3 −1 1
0 1 0 2
0 0 1 1
L1←L1−3L2
=⇒
 2 0 −1 −5
0 1 0 2
0 0 1 1

L1←L1+L3
=⇒
 2 0 0 −4
0 1 0 2
0 0 1 1
L1←L1/2
=⇒
 1 0 0 −2
0 1 0 2
0 0 1 1
 ,
O que leva ao seguinte sistema equivalente:
x = −2
y = 2
z = 1
.
Logo, o conjunto solução é {(−2, 2, 1)}
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Álgebra Linear – EAD01074 AP1 – GABARITO 3
Para responder as questões 6 e 7, considere o seguinte subconjunto do R3:
A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)} ,
e S o subespaço gerado pelos vetores de A.
Questão 6 [1,0 pt] Determine o subespaço S gerado pelos vetores de A.
Solução:
O vetor v = (x, y, z) pertence ao subespaço gerado por V se:
v = (x, y, z) = a(0, 1, 1) + b(2, 0, 1) + c(2, −2, −1) = (0, a, a) + (2b, 0, b) + (2c, −2c, −c)
= (2b + 2c, a − 2c, a + b − c)
Temos então que resolver o seguinte sistema:

2b + 2c = x
a − 2c = y
a + b − c = z
.
Para resolver o sistema, utilizam-se operações elementares na matriz ampliada: 0 2 2 x
1 0 −2 y
1 1 −1 z
 L1↔L2
L3←L3−L2
=⇒
 1 0 −2 y
0 2 2 x
0 1 1 z − y
L3←L2−2L3
=⇒
 1 0 −2 y
0 2 2 x
0 0 0 x + 2y − 2z

Com a última linha da matriz acima, nota-se que para que o sistema seja posśıvel, deve-se ter que
x = −2y + 2z, sendo o espaço gerado pelos vetores dados o plano de equação x + 2y − 2z = 0.
Assim:
S =
{
(−2y + 2z, y, z) ∈ R3 |y ∈ R e z ∈ R
}
.
Questão 7 [1,0 pt] Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.
Solução:
Um vetor v ∈ S pode ser escrito como v = (−2y + 2z, y, z) = y(−2, 1, 0) + z(2, 0, 1). Assim, o
conjunto B = {(−2, 1, 0), (2, 0, 1)} é uma base de S. Como B possui dois elementos, a dimensão
de S é 2.
Observação: Uma base pode ser formada com qualquer par de vetores de S que forme um conjunto
LI. Assim, a solução desta questão não é única.
Para responder as questões 8 e 9, considere os vetores u = (1, 1), v = (
√
2/2, −
√
2/2) e
w = (1, 0).
Questão 8 [1,0 pt] Determine quais dentre os vetores u, v e w são unitários.
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Álgebra Linear – EAD01074 AP1 – GABARITO 4
Solução:
∥u∥ =
√
12 + 12 =
√
2; ∥v∥ =
√
(
√
2/2)2 + (−
√
2/2)2 =
√
1/2 + 1/2 = 1; ∥w∥ =
√
12 + 02 = 1.
Como ∥v∥ = ∥w∥ = 1, v e w são vetores unitários.
Questão 9 [1,0 pt] Determine se u é ortogonal a v, se u é ortogonal a w e se v é ortogonal a w.
Solução:
⟨u, v⟩ = 1 ×
√
2
2 + 1 ×
(
−
√
2
2
)
= 0 ⇒ u e v são ortogonais;
⟨u, w⟩ = 1 × 1 + 1 × 0 = 1 ⇒ u e w não são ortogonais;
⟨v, w⟩ =
√
2
2 × 1 +
(
−
√
2
2
)
× 0 =
√
2
2 ⇒ v e w não são ortogonais.
Questão 10 [1,0 pt] Considere o subespaço U = [(1, 1, 1, 0), (1, 0, 2, −1)] de dimensão 2 do R4.
Determine U⊥ e uma base de U⊥.
Solução:
Um vetor v = (x, y, z, t) pertence a U⊥ se ⟨(x, y, z, t), (1, 1, 1, 0)⟩ = ⟨(x, y, z, t), (1, 0, 2, −1)⟩ = 0.
Assim:
⟨(x, y, z, t), (1, 1, 1, 0)⟩ = 0 ⇒ x + y + z = 0,
⟨(x, y, z, t), (1, 0, 2, −1)⟩ = 0 ⇒ x + 2z − t = 0,
o que leva ao seguinte sistema:
{
x + y + z = 0
x + 2z − t = 0 , ⇒
[
1 1 1 0
1 0 2 −1
]
L2←L1−L2
=⇒
[
1 1 1 0
0 1 −1 1
]
A forma escalonada obtida indica que o sistema homogêneo é indeterminado. Além disso, se tem
duas linhas não nulas na matriz e quatro variáveis. Escolhendo x e y como variáveis livres, a primeira
equação do sistema leva a z = −x − y e a segunda a t = x + 2z = x + 2(−x − y) = −x − 2y.
Assim, U⊥ é dado por:
U⊥ = {(x, y, −x − y, −x − 2y) | x ∈ R e y ∈ R}.
Um vetor de U⊥ pode ser escrito na forma: (x, y, −x−y, −x−2y) = x(1, 0, −1, −1)+y(0, 1, −1, −2).
Como o conjunto B = {(1, 0, −1, −1), (0, 1, −1, −2)} gera U⊥ e é LI, ele é uma base para U⊥.
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