Trabalho Probabilidade Estatistica

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Análise Exploratória: 
2. Série estatística: consistem na apresentação das informações (variáveis estatísticas) 
em formas de tabelas, objetivando sintetizar os dados estatísticos observados e 
tornando-os mais compreensivos. Podendo ser dividida em; 
 
• Série Histórica ou temporal 
É a série estatística em que os dados são observados segundo a época de ocorrência. O 
tempo é variável e o fato e o local são fixos. 
 
Exemplo 
 
Tabela: xx: Área de extração ilegal de ouro na Amazônia, em diferentes anos 
 
Fonte: Dados MapBiomas 
 
 
• Série Geográfica 
É a série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de 
ocorrência. O local varia e o tempo e o fato são fixos. 
 
Exemplo: 
 
Tabela: xx: Exploração de minério de ferro no ano de 2019, em diferentes cidades. 
Cidades 
Média de Exploração 
(milhões de toneladas em 2019) 
Parauapebas (PA) 110 
Canaã dos Carajás (PA) 85 
Itabira (MG) 36 
Mariana (MG) 32 
Congonhas (MG) 28 
 Fonte: Dados ANM 
Ano Área de Extração Ilegal de Ouro (km²) 
2015 120 
2016 140 
2017 160 
2018 200 
2019 250 
2020 280 
• Série Específica 
 
Os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. Fato variável, tempo e 
local fixos. 
 
Exemplo 
Tabela xx: Número de Inspeções de Segurança em Diferentes Minas em MG (2019) 
 
Fonte: Dados Revista Brasileira de Estudos Urbanos e Regionais 
 
 
Esta tabela exibe o número de inspeções de segurança realizadas em diferentes minas 
de Minas Gerais durante o ano de 2019. Cada mina pertence a uma empresa específica, 
e o número de inspeções reflete as verificações de conformidade com os padrões de 
segurança exigidos pela Agência Nacional de Mineração (ANM) e outros órgãos 
reguladores 
 
 
• Série Mista 
É uma combinação de duas ou mais dos 3 tipos de séries anteriores. 
 
Tabela: xx: Regiões produtoras de minério de ferro no Brasil, entre 2018 e 2022 
 (milhões de toneladas) 
 Fonte: Dados ANM e CFEM 
 
Mina Número de Inspeções 
Mina de Brucutu 25 
Mina de Germano 18 
Mina de Fábrica 22 
Mina de Casa de Pedra 15 
Mina de Alegria 20 
Regiões 2018 2019 2020 2021 2022 
Sudeste (MG) 300 290 280 275 290 
Norte (PA) 200 210 215 220 225 
Centro-Oeste 45 40 42 43 44 
Nordeste 25 23 22 24 25 
Sul 15 14 13 14 15 
Outras Regiões 15 8 9 10 11 
Teoria das Probabilidades: 
 
Teorema de Bayes é uma fórmula matemática usada para o cálculo da probabilidade de 
um evento dado que outro evento já ocorreu, o que é chamado de probabilidade 
condicional. 
Para o entendimento melhor do teorema é necessário inicialmente o entendimento da 
partição do espaço amostral; 
 
Partição de um Espaço Amostral: Dizemos que os eventos A1, A2 ,…, An formam 
uma partição do espaço amostral Ω se as seguintes propriedades são satisfeitas: 
 
• 𝐴𝑖 ≠ ∅, i = 1 … , n significa que nenhum evento pode ser igual ao conjunto 
vazio; 
• 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, para i ≠ j significa que os eventos são disjuntos; 
• 𝐴𝑖 𝑈𝑖=1 
𝑛 𝐴𝑖 = 𝛺 significa que a união (ou reunião) de todos os eventos totaliza 
o espaço amostral. 
 
A classe de eventos do espaço amostral Ω, também chamada de classe de subconjuntos 
do espaço amostral Ω, ou Conjunto das partes de Ω, é o conjunto que contém todos os 
subconjuntos de Ω e é representado por P(Ω). 
 
 
Figura 1: Representação Gráfica 
de partição de um espaço amostral 
 
 Figura 2: Representação gráfica do 
teorema da probabilidade total 
 
 
 
Fonte: https://rpubs.com/liamorita/bayes_aula2 
 
 
 
Veja o exemplo sobre partição do espaço amostral 
 
 
Exemplo: Falhas de Equipamentos na Mineração 
 
Uma empresa de mineração utiliza três tipos de equipamentos para a extração de 
minério em uma mina. Por razões operacionais, os três equipamentos são usados 
aleatoriamente. Dados históricos mostram que os equipamentos E1, E2 e E3 são usados 
em 25%, 40% e 35% das operações, respectivamente. A taxa de falha é diferente para 
os três equipamentos, sendo que 15% das operações realizadas com o equipamento E1 
resultam em falha, enquanto para E2 e E3, essas proporções são de 8% e 3%, 
respectivamente. Se uma falha é observada aleatoriamente na mina, qual é a 
probabilidade de que ela tenha ocorrido durante o uso do equipamento E2? 
 
 
Dados fornecidos: 
• P(E1) = 0,25 (probabilidade de usar E1) 
• P(E2) = 0,40 (probabilidade de usar E2) 
• P(E3) = 0,35 (probabilidade de usar E3) 
 
Taxas de falha: 
• P (F ∣ E1) = 0,15 (probabilidade de falha dado o uso de E1) 
• P (F ∣ E2) = 0,08 (probabilidade de falha dado o uso de E2) 
• P (F ∣ E3) = 0,03 (probabilidade de falha dado o uso de E3) 
 
Queremos encontrar P (E2|F), ou seja, a probabilidade de que o equipamento E2 
tenha sido usado, dado que uma falha F ocorreu 
 
Aplicação do Teorema de Bayes 
 
𝑃(𝐸2|𝐹 =
𝑃(𝐹|𝐸2) . 𝑃(𝐸2)
𝑃(𝐹)
 
 
 
Onde P(F) é a probabilidade total de uma falha ocorrer, que podemos calcular usando a 
regra da soma das probabilidades condicionais: 
𝑃(𝐹) = 𝑃 (𝐹|𝐸1) . 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐹|𝐸2). 𝑃 (𝐸2) + 𝑃(𝐹|𝐸3) . 𝑃 (𝐸3) 
Substituindo os valores: 
P(F) = (0,15 . 0,25) + (0,08 . 0,40) + (0,03 . 0,35) 
P(F)= 0,0375 + 0,032 + 0,0105 = 0,08 
 
 
Agora podemos calcular 𝑃(𝐸2|𝐹) 
 
 
𝑃(𝐸2|𝐹) =
0,08 . 0,40
0,08
 
 
 
 
𝑃(𝐸2|𝐹) =
0,032
0,08
= 0,40 
 
 
probabilidade total de uma falha ocorrer 0,40 
 
 
Variáveis Aleatórias: 
 
Função de probabilidade → v.a discreta 
 
Variável aleatória discreta 
 É o tipo de variável que assume um número finito de valores possíveis ou número 
infinito enumerável. De um modo geral, os valores de X pertencem ao conjunto dos 
inteiros. Uma variável aleatória discreta está bem definida se pudermos indicar os 
possíveis valores x1, x2, ..., xn que ela pode assumir e as respectivas probabilidades 
p(x1), p(x2),..., p(xn). Se conhecermos a os pares (xi; p(xi)), para todo i, conhecemos a 
distribuição de probabilidades da variável aleatória X. 
 
Condições: 
 
a) 𝑝(𝑥𝑖) ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛 
 
b) ∑ 𝑝(𝑥𝑖) = 1𝑛
𝑖=1 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
Número de falhas de caminhões fora-de-estrada em mina de ferro em Minas Gerais, o 
gestor deseja modelar o número de falhas dos caminhões fora-de-estrada durante um 
mês. Baseado nos dados históricos da empresa, é conhecido que a quantidade de falhas 
por caminhão segue uma distribuição discreta. 
 
Definição do Problema: 
 
• Os valores possíveis para o número de falhas XXX são 0,1,2,3. 
• A empresa coleta dados e determina que as probabilidades associadas a cada 
número de falhas são: 
 
 
Número de falhas (X) Probabilidade P (X=x) 
0 0,4 
1 0,3 
2 0,2 
3 0,1 
 
A função de probabilidade para esta variável aleatória discreta X, que representa o número de 
falhas em um caminhão durante um mês, seria: 
 
P(X=0) = 0.4 (Probabilidade de nenhuma falha) 
P(X=1) = 0.3 (Probabilidade de uma falha) 
P(X=2) = 0.2 (Probabilidade de duas falhas) 
P(X=3) = 0.1 (Probabilidade de três falhas) 
 
Propriedades: 
1. Cada probabilidade é não-negativa, ou seja, P(X=x) ≥ 0 
2. A soma das probabilidades é igual a 1: 
𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 
0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1 
 
 
 
 
 
Aplicação: 
Com essa função de probabilidade, pode calcular a probabilidade de ocorrer um 
determinado número de falhas em um mês. 
 
A probabilidade de não ocorrer nenhuma falha em um caminhão durante o mês é 0.4, 
ou 40%. 
A probabilidade de ocorrer até duas falhas (soma das probabilidades de 0, 1 e 2 falhas) 
seria: 
 
𝑃 (𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 
 0,4 + 0,3 + 0,2 = 0,9 
 
Ou seja, há uma chance de 90% de que o caminhão tenha no máximo duas falhas no 
mês. 
 
Esses dados são usados para planejar a manutenção preventiva e reduzir o tempo de 
inatividade dos equipamentos.