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EXA 382 - Álgebra Linear II
Fab́ıola Pedreira
Universidade Estadual de Feira de Santana
April 3, 2024
Fab́ıola Pedreira EXA 382 - Álgebra Linear II
Programa da Disciplina
Ementa
Matriz de uma transformação linear. Mudança de base.
Autovetores e autovalores. Diagonalização. Espaço vetorial com
produto interno. Adjunta de uma transformação linear. Teorema
Espectral. Cônicas e quádricas.
Avaliação
A avaliação de aprendizagem se dará mediante prova escrita,
resolução de exerćıcios por parte dos alunos e prova oral ou
seminários.
Fab́ıola Pedreira EXA 382 - Álgebra Linear II
Programa da Disciplina
Ementa
Matriz de uma transformação linear. Mudança de base.
Autovetores e autovalores. Diagonalização. Espaço vetorial com
produto interno. Adjunta de uma transformação linear. Teorema
Espectral. Cônicas e quádricas.
Avaliação
A avaliação de aprendizagem se dará mediante prova escrita,
resolução de exerćıcios por parte dos alunos e prova oral ou
seminários.
Fab́ıola Pedreira EXA 382 - Álgebra Linear II
Referências
ANTON, H., RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações.
Porto Alegre: Bookman, 2001.
HEFEZ, A.; FERNANDEZ, C.S. Introdução à algebra linear.
SBM, 2016 (Coleção PROFMAT).
STEINBRUCH, A. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 1987.
http://www.ime.unicamp.br/ pulino/ALESA/
Metodologia
O curso será ministrado pelo professor de forma presencial com o
uso do quadro, e aux́ılio de slides, projetor.
Fab́ıola Pedreira EXA 382 - Álgebra Linear II
Cronograma
1 Transformações Lineares(revisão); Matriz de uma
transformação linear; Operadores Lineares em R2 e R3;
Mudança de Base e matrizes simétricas.
2 Espaços com produto interno; Norma, distância, propriedades;
Ângulos entre vetores, ortogonalidade; Bases ortonormais,
processo de Gram-Schmidt; Complemento Ortogonal;
Operador ortogonal e adjunto.
3 Autovalores e autovetores; Polinômio caracteŕıstico, polinômio
minimal; Teorema de Cayley-Hamilton; Diagonalização de
operadores; Teorema Espectral para operadores simétricos.
4 Cônicas; Quádricas.
Fab́ıola Pedreira EXA 382 - Álgebra Linear II
Espaços Vetoriais - Revisão
Def.
Um conjunto V 6= ∅ será dito um espaço vetorial real (sobre R),
se estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar,
∀u, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V
∀α ∈ R, ∀u ∈ V ⇒ α.u ∈ V
De modo que valem as seguintes propriedades:
Em relação à adição, para quaisquer u, v ,w ∈ V temos:
A1 (u + v) + w = u + (v + w),
A2 u + v = v + u,
A3 ∃0 ∈ V , tal que v + 0 = v ,
A4 para todo v ∈ V , ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
Fab́ıola Pedreira EXA 382 - Álgebra Linear II
Espaços Vetoriais - Revisão
Def.
Um conjunto V 6= ∅ será dito um espaço vetorial real (sobre R),
se estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar,
∀u, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V
∀α ∈ R, ∀u ∈ V ⇒ α.u ∈ V
De modo que valem as seguintes propriedades:
Em relação à adição, para quaisquer u, v ,w ∈ V temos:
A1 (u + v) + w = u + (v + w),
A2 u + v = v + u,
A3 ∃0 ∈ V , tal que v + 0 = v ,
A4 para todo v ∈ V , ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
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Espaços Vetoriais
E em relação à multiplicação por escalar, para quaisquer u, v ∈ V
e quaisquer α, β ∈ R temos:
M1 α.(u + v) = αu + αv ,
M2 (α + β).v = αv + βv ,
M3 (α.β).v = α.(βv),
M4 1.v = v .
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Subespaços Vetoriais
Proposição
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V .
Então W é um subespaço vetorial de V se, e somente se, as
seguintes condições são satisfeitas:
1 se u, v ∈W , então u + v ∈W ;
2 se α ∈ R e u ∈W , então αu ∈W .
Obs: 0 ∈W .
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Subespaços Vetoriais
Alternativa
Corolário
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V .
Temos que W é um subespaço vetorial de V se, e somente se,
u + αv ∈W , para todo α ∈ R e para todos u, v ∈W .
Base e dimensão de espaço vetorial
{v1, ..., vn} ⊂ V é uma base de V se:
{v1, ..., vn} é L.I.
[v1, ..., vn] = V (gera o espaço ).
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Subespaços Vetoriais
Alternativa
Corolário
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V .
Temos que W é um subespaço vetorial de V se, e somente se,
u + αv ∈W , para todo α ∈ R e para todos u, v ∈W .
Base e dimensão de espaço vetorial
{v1, ..., vn} ⊂ V é uma base de V se:
{v1, ..., vn} é L.I.
[v1, ..., vn] = V (gera o espaço ).
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Transformações Lineares
Def.
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V
em W é uma função que associa a cada vetor v ∈ V um único
vetor T (v) ∈W , tal que:
1 T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V ;
2 T (αu) = αT (u), ∀u ∈ V , e α ∈ R.
Obs:
T (0) = 0.
L(V ,W ) denota o conj. de todas as transf. lineares de V em
W .
Se W = R, L(V ,R) é dito Espaço Dual de V e T ∈ L(V ,R)
é chamado funcional linear.
Se W = V , T : V → V é operador linear.
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Transformações Lineares
Def.
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V
em W é uma função que associa a cada vetor v ∈ V um único
vetor T (v) ∈W , tal que:
1 T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V ;
2 T (αu) = αT (u), ∀u ∈ V , e α ∈ R.
Obs:
T (0) = 0.
L(V ,W ) denota o conj. de todas as transf. lineares de V em
W .
Se W = R, L(V ,R) é dito Espaço Dual de V e T ∈ L(V ,R)
é chamado funcional linear.
Se W = V , T : V → V é operador linear.
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Conhecendo os valores das imagens nos vetores de uma base, a
transformação fica bem determinada.
Teorema
Seja B = {v1, ..., vn} uma base de V , e w1, ...,wn vetores
quaisquer em W . Então existe uma única transformação linear
T : V →W tal que T (vj) = wj para todo 1 ≤ j ≤ n.
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Conhecendo os valores das imagens nos vetores de uma base, a
transformação fica bem determinada.
Teorema
Seja B = {v1, ..., vn} uma base de V , e w1, ...,wn vetores
quaisquer em W . Então existe uma única transformação linear
T : V →W tal que T (vj) = wj para todo 1 ≤ j ≤ n.
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Exemplos
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Exemplos
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Núcleo e Imagem
Def.
Seja T : V →W uma transformação linear.
O núcleo de T , denotado por KerT , é o conjunto de vetores de
V , que são transformados em 0 ∈W .
KerT = {v ∈ V ; T (v) = 0}
Obs: dim(KerT ) = nulidade(T ).
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Núcleo e Imagem
Def.
Seja T : V →W uma transformação linear.
A imagem de T , denotado por ImT , é o conjunto dos pontos
imagens em W .
ImT = {u ∈W ; T (v) = u para algum v ∈ V } = T (V )
Obs: dim(ImT ) = posto(T ).
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Resultados
Teorema
Seja T : V → U uma transformação linear. Então KerT e ImT
são subespaços de V e U, respectivamente.
Teorema
Uma transformação linear T : V → U é injetora se, e somente se
KerT = {0}.
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Resultados
Teorema
Seja T : V → U uma transformação linear. Então KerT e ImT
são subespaços de V e U, respectivamente.
Teorema
Uma transformação linear T : V → U é injetora se, e somente se
KerT = {0}.
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Resultados
Proposição
Seja T : V → U uma transformação linear. Se {v1, ..., vn} gera V ,
então {Tv1, ...,Tvn} gera ImT . Em particular dim ImT ≤ dimV .
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Exemplo
Seja T : R4 → R3 tal que
T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1)
T (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1)
T (0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3)
T (0, 0, 0, 1) = (1,−1,−3). Determinar Im(T ).
Como [e1, e2, e3, e4] = R4, temos que
Im(T ) = [(1, 1, 1), (−1, 0, 1), (1, 2, 3),(1,−1,−3)] e
1 1 1
−1 0 1
1 2 3
1 −1 −3
 ∼

1 1 1
0 1 2
0 0 0
0 0 0

Então Im(T ) = [(1, 1, 1), (0, 1, 2)]
⇒ Im(T ) = {(x , x + y , x + 2y); x , y ∈ R}.
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Exemplo
Seja T : R4 → R3 tal que
T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1)
T (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1)
T (0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3)
T (0, 0, 0, 1) = (1,−1,−3). Determinar Im(T ).
Como [e1, e2, e3, e4] = R4, temos que
Im(T ) = [(1, 1, 1), (−1, 0, 1), (1, 2, 3), (1,−1,−3)] e
1 1 1
−1 0 1
1 2 3
1 −1 −3
 ∼

1 1 1
0 1 2
0 0 0
0 0 0

Então Im(T ) = [(1, 1, 1), (0, 1, 2)]
⇒ Im(T ) = {(x , x + y , x + 2y); x , y ∈ R}.
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Exemplo
Seja T : R4 → R3 tal que
T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, 1)
T (0, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1)
T (0, 0, 1, 0) = (1, 2, 3)
T (0, 0, 0, 1) = (1,−1,−3). Determinar Im(T ).
Como [e1, e2, e3, e4] = R4, temos que
Im(T ) = [(1, 1, 1), (−1, 0, 1), (1, 2, 3), (1,−1,−3)] e
1 1 1
−1 0 1
1 2 3
1 −1 −3
 ∼

1 1 1
0 1 2
0 0 0
0 0 0

Então Im(T ) = [(1, 1, 1), (0, 1, 2)]
⇒ Im(T ) = {(x , x + y , x + 2y); x , y ∈ R}.
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Questão
Encontrar uma transformação linear T : R3 → R4 cujo núcleo seja
gerado por (1, 2,−1) e (−1, 1, 0).
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Questão
Encontrar uma transformação linear T : R3 → R3 cuja imagem
seja gerada por (1, 2, 3) e (0, 1,−1).
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Teorema do Núcleo e da Imagem
Teorema
Seja T : V →W uma transformação linear, onde V tem dimensão
finita. Então
dimKer(T ) + dim Im(T ) = dimV .
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Consequências TNI
Corolário 1
Se dimV = dimW , então T linear é injetora se e somente se T é
sobrejetora.
Obs: T : V →W transf. linear bijetiva ⇒ ∃T−1 : W → V a
inversa de T que é também linear.
Def
T : V →W linear bijetiva é chamada isomorfismo. E os espaços
V e W são chamados isomorfos.
Corolário 2
Se T : V →W transf. linear injetiva e dimV = dimW , então T
leva base em base.
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Consequências TNI
Corolário 1
Se dimV = dimW , então T linear é injetora se e somente se T é
sobrejetora.
Obs: T : V →W transf. linear bijetiva ⇒ ∃T−1 : W → V a
inversa de T que é também linear.
Def
T : V →W linear bijetiva é chamada isomorfismo. E os espaços
V e W são chamados isomorfos.
Corolário 2
Se T : V →W transf. linear injetiva e dimV = dimW , então T
leva base em base.
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Consequências TNI
Corolário 1
Se dimV = dimW , então T linear é injetora se e somente se T é
sobrejetora.
Obs: T : V →W transf. linear bijetiva ⇒ ∃T−1 : W → V a
inversa de T que é também linear.
Def
T : V →W linear bijetiva é chamada isomorfismo. E os espaços
V e W são chamados isomorfos.
Corolário 2
Se T : V →W transf. linear injetiva e dimV = dimW , então T
leva base em base.
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Consequências TNI
Corolário 1
Se dimV = dimW , então T linear é injetora se e somente se T é
sobrejetora.
Obs: T : V →W transf. linear bijetiva ⇒ ∃T−1 : W → V a
inversa de T que é também linear.
Def
T : V →W linear bijetiva é chamada isomorfismo. E os espaços
V e W são chamados isomorfos.
Corolário 2
Se T : V →W transf. linear injetiva e dimV = dimW , então T
leva base em base.
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Exemplo
R4 é isomorfo à M(2, 2)
Teorema
Dois espaços de mesma dimensão são isomorfos.
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Exemplo
R4 é isomorfo à M(2, 2)
Teorema
Dois espaços de mesma dimensão são isomorfos.
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