Proposições e Tabelas Verdade

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Introdução 
20:21:33 
Proposição: 
Proposição - é um conjunto de palavras ou símbolos que exprime um 
pensamento de sentido completo, de modo que se possa atribuir, 
dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos 
possíveis: verdadeiro ou falso. 
 
A lógica matemática se assenta em dois princípios fundamentais: 
 
Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo; 
 
Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou 
falsa, excluindo-se qualquer outro valor. 
20:21:34 
Proposição: 
As proposições classificam-se em simples ou atômicas e 
compostas ou moleculares. 
 
•Proposição simples — É um pensamento singular sem integrar 
qualquer outra proposição. 
 
Exemplos: 
 
•Antônio é estudante. 
•José é solteiro. 
 
•Proposição composta — É formada pela combinação de duas ou 
mais proposições simples. Exemplos: 
 
•Maria é professora e Pedro é mecânico. 
•Se o carro é novo, então está em boa condição de uso. 
20:21:34 
Proposição: 
Tabelas verdade 
 
A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores 
lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os 
possíveis valores lógicos das proposições simples componentes. 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
20:21:34 
Proposição: 
Exemplos de proposições 
 
simples: 
 
p : um triângulo têm três lados. 
 
q : Blumenau é um país. 
 
 
V(p) = V V(q) = F (Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) 
 
e de q é igual a F (falso)) 
Exemplo de proposição 
 
composta: p : o sol é uma estrela ou 
q : a terra é uma estrela. 
Valor lógico da proposição 
 
Notação: O valor lógico de uma proposição simples indica-se por 
V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula). 
 
20:21:34 
Proposição: 
Operações lógicas 
 
Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas 
Negação (~) "~p" ou p’ lê-se "não p". 
p ~p 
V F 
F V 
20:21:34 
Proposição: 
Conjunção (^) "p ^ q" lê-se "p e q". 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
20:21:34 
Proposição: 
Disjunção (v) "p v q" lê-se "p ou q". 
p q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
20:21:34 
Proposição: 
Condicional (—>) "p —> q" lê-se "se p então q" ("—>" símbolo de 
implicação). 
P q p —> q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
20:21:37 
Proposição: 
Bicondicional (—>) "p <—> q" lê-se "se p então q" (“<—>" símbolo de 
implicação). 
P q p <—> q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
20:21:37 
Proposição: 
Construção de tabelas verdade 
 
Construir a tabela verdade da seguinte proposição: 
P(p,q) = ~(p ^ ~q). 
P q ~q p ^ ~q ~(p ^ ~q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
20:21:37 
Proposição: 
Exemplos: 
 
1.Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: 
 a. ~(p v ~q) 
 
P q ~q p v ~q ~(p v ~q) 
V V F V F 
V F V V F 
F V F F V 
F F V V F 
20:21:37 
Proposição: 
Exemplos: 
 
1.Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: 
 a. ~(p v ~q) 
 
 b. (p ^ q) —> (p v q) 
 
2. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são 
respectivamente F e V, determinar o valor lógico da proposição: 
a. (p ^ (~q v p)) 
 
b. ~(p v ~q) —> (q v ~p) 
20:21:38 
Proposição: 
Exemplos: 
 
1.Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: 
 b. (p ^ q) —> (p v q) 
P q p ^ q p v q (p ^ q) —> (p v q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
20:21:38 
Proposição: 
Exemplos: 
 
2. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são 
respectivamente F e V, determinar o valor lógico da proposição: 
 
p ^ (~q v p) 
 
 
 
 
 
 
 
(p v ~q) —> (q v ~p) 
P q ~q ~q v p p ^ (~q V P) 
F V F F F 
P q ~q p v ~q q v ~p (p v ~q) —> (q v ~p) 
F V F F V V 20:21:38 
20:21:38 
Tautologia e Contradições 
Tautologia: 
 
É dita tautologia a proposição que apresentar como resultado final, o resultado 
verdadeiro. 
 
 
Exemplo: 
 
p v ~p 
p ~p p v ~p 
VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO 
FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO 
20:21:39 
Álgebra das proposições 
Contradição: 
 
É dito contradição, a proposição que apresentar como resultado final, o resultado 
falso. 
 
 
Exemplo: 
 
p ^ ~p 
p ~p p ^~p 
VERDADEIRO FALSO FALSO 
FALSO VERDADEIRO FALSO 
20:21:39 
Álgebra das proposições 
Contingências 
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade 
figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. 
 Em outros termos, é toda proposição composta P (p, q, r,…) que 
não é tautologia e nem contradição. 
20:21:39 
Expressões que formam cadeias válidas são chamadas de fórmulas bem-
formuladas fbf’s ou wffs (de well-formed formulas). Para reduzir o número de 
parênteses necessários em uma wff, estipulamos uma ordem na qual os 
conectivos são aplicados. Esta "ordem de precedência" é: 
Podemos encadear sentenças, seus conectivos e os parênteses (ou colchetes) 
para obtermos novas expressões, tal como: 
 
𝑨 → 𝑩 ^ (𝑩 → 𝑨) 
Precedência dos conectivos: 
1. ~ (negação); 
2. ^, v (E, OU); 
3. → Se, então; 
4. ↔ se e somente se. 
Fbf’s 
20:21:39 
Equivalência Lógica 
Duas proposições P(p, q,...) e Q(p, q,...) são ditas logicamente equivalentes ou, 
simplesmente, equivalentes ou iguais, se: 
P(p, q, …) Ξ Q(p, q, …). 
Ou seja, se elas apresentam tabelas verdades idênticas. 
 
Exemplo: 
~(p ^ q) Ξ ~p v ~q 
p q p ^q ~(p ^q) 
VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO 
VERDADEIRO FALSO FALSO VERDADEIRO 
FALSO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO 
FALSO FALSO FALSO VERDADEIRO 
~p ~q ~p v ~q 
FALSO FALSO FALSO 
FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO 
VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO 
VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
Negativa da proposição: 
EXEMPLO 
Se A é a sentença "Vai chover amanhã", a sentença A' é? 
 "Não é verdade que vai chover amanhã", 
que pode ser reescrita como "Não vai chover amanhã". 
Achar a negativa de uma sentença composta pode exigir algum esforço. 
Se P for a sentença "Peter é alto e magro", então a sentença P' será? 
 "É falso que Peter seja alto e magro", que pode ser reformulada como 
"Peter não é alto ou não é magro". Perceba que esta sentença não é a 
mesma que "Peter é baixo e gordo". 
20:21:39 
21:11:30 
Leis da álgebra das proposições 
Álgebra das proposições 
1. Leis de idempotência 
 p v p Ξ p p ^ p Ξ p 
2. Leis de associatividade 
 (p v q) v r Ξ p v (q v r) (p ^ q) ^ r Ξ p ^ (q ^ r) 
3. Leis de comutatividade 
 p v q Ξ q v p p ^ q Ξ q ^ p 
4. 𝑨 → 𝑩 ^ (𝑩 → 𝑨) 
5. Leis de distributividade 
 p v (q ^ r) Ξ (p v q) ^ (p v r) p ^ (q v r) Ξ (p ^ q) v (p ^ r) 
20:21:39 
Álgebra das proposições 
5. Leis de identidade 
 p v F = p p ^ F = F 
 p v V = V p ^ V = p 
6. Leis dos complementares 
 p v ~p = V p ^ ~p = F 
 ~V = F ~ F = V 
7. Leis de involução 
 ~~p = p … verificar 
8. Leis de DeMorgan 
 ~(p v q) = ~p ^ ~q ~(p ^ q) = ~p v ~q 
Leis da álgebra das proposições 
p F p v F p F p ^ F 
VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO FALSO 
FALSO FALSO FALSO FALSO FALSO FALSO 
p V p v V p V p ^ V 
VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO 
p ~p p v ~p p ^ ~p 
VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO 
FALSO VERDADEIROVERDADEIRO FALSO 
p q p v q ~(p v q) ~p ~q ~p v ~q 
VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO FALSO FALSO FALSO 
VERDADEIRO FALSO FALSO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO 
FALSO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO 
FALSO FALSO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
20:21:40 
Álgebra das proposições 
Exemplo: 
Verificar se a declaração é verdadeira: 
p → q = ~p v q 
p q P -> q ~p ~p v q 
VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO 
VERDADEIRO FALSO FALSO FALSO FALSO 
FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
FALSO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
20:21:44 
Álgebra das proposições 
Implicação lógica 
Diz-se que uma proposição P(p, q,…) implica logicamente uma proposição 
Q(p, q,…), escrevendo: 
P(p, q,…) => Q(p, q,…) 
 
Se Q(p, q,…) é verdade sempre que P(p,q,…) for verdade, então o argumento: 
P(p,q,…) Ⱶ Q(p, q,…) é válido e a recíproca é verdadeira. 
P Ⱶ Q é válido se p -> q for verdadeiro. 
 
Teorema 4-4: para quaisquer proposições P(p, q, …) e Q(p, q, …) as três 
afirmações são equivalentes: 
1. P(p,q,…) implica logicamente em Q(p, q, …); 
2. O argumento P(p,q,…) Ⱶ Q(p,q,…) é válido; 
3. A proposição P(p,q,…) -> Q(p,q,…) é uma tautologia. 
20:21:44 
Álgebra das proposições 
Exemplo: 
Verificar se a declaração é verdadeira: 
Se p implica q e q implica r, então p implica r 
(p -> q ^ q -> r) -> (p -> r ) 
p q r p -> q q -> r p -> q ^ q -> r p -> r (p -> q ^ q -> r) -> (p -> r ) 
VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
VERDADEIRO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO FALSO FALSO VERDADEIRO 
VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO 
VERDADEIRO FALSO FALSO FALSO VERDADEIRO FALSO FALSO VERDADEIRO 
FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
FALSO VERDADEIRO FALSO VERDADEIRO FALSO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO 
FALSO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
FALSO FALSO FALSO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO VERDADEIRO 
Qual das frases a seguir representa A' se A é a sentença "Julie adora manteiga 
e detesta nata"? 
a. Julie detesta manteiga e nata. 
b. Julie não gosta de manteiga ou nata. 
c. Julie não gosta de manteiga mas adora nata. 
d. Julie detesta manteiga ou adora nata. 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
Calcule a tabela-verdade para a fbf A B. 
20:21:45 
fbf 
Expressões que formam cadeias válidas são chamadas de fórmulas bem-
formuladas fbf’s ou wffs (de well-formed formulas). Para reduzir o número de 
parênteses necessários em uma wff, estipulamos uma ordem na qual os 
conectivos são aplicados. Esta "ordem de precedência" é: 
20:21:45 
fbf 
Isto significa que a expressão A v B' significa A v (B') e não (A v B)'. 
Analogamente, A v B → C significa (A v B) → C e não A v (B → C). 
fbfs compostas de letras representativas de sentenças e conectivos têm valores-
verdade que dependem dos valores-verdade atribuídos aos símbolos 
proposicionais. Escrevemos as tabelas-verdade para qualquer fbf montando as 
partes que as compõem, como fizemos para (A → B) ^ (B → A). 
20:21:45 
fbf 
Exemplo: 
Construa a tabela-verdade para a fbf : A v B’ →(A v B)' 
20:21:45 
fbf 
20:21:46 
fbf 
20:21:46 
p q r q ^r p v (q ^r) p v q p v r (p v q) ^(p v r) p v (q ^r) <-> (p v q) ^(p v r) 
v v v v v v v v v 
v v f f v v v v v 
v f v f v v v v v 
v f f f v v v v v 
f v v v v v v v v 
f v f f f v f f v 
f f v f f f v f v 
f f f f f f f f v 
20:21:46 
Exemplo: 
 
A fórmula possui 3 proposições atômicas. 
Observe que a fórmula atômica F é constante, não sendo considerada no cálculo 
no número de Linhas. 
 
𝒑 ^ ~𝒒 → 𝑭 
p q ~q p ^ ~q F 
 
v v f f f v 
v f v v f f 
f v f f f v 
f f v f f v 
Tautologia 
 
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade 
encerra somente a letra V (verdade). 
 Em outros termos, é toda proposição composta P(p, q, r, …) cujo 
valor lógico é sempre V (verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições simples componentes p, q, r, … 
• É imediato que as proposições p  p e p  p são tautológicas 
(Princípio de Identidade para as proposições). 
Tautologia 
20:21:46 
20:21:47 
Contradições 
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade 
encerra somente a letra F (falsidade). 
 Em outros termos, é toda proposição composta P (p, q, r,…) cujo 
valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições simples componentes p, q, r, … 
• Como a tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma 
tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-
versa. 
Tautologia - Exemplos 
1. A proposição “~(p ^ ~p)” (Princípio da não contradição) é tautologia, 
conforme mostra a sua tabela-verdade: 
p ~p p ^ ~p ~(p ^ ~p) 
F 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
V 
Portanto, dizer que uma proposição 
não pode ser simultaneamente 
verdadeira e falsa é sempre verdadeiro. 
2. A proposição “p v ~p” (Princípio do terceiro excluído) é tautologia, 
conforme se vê pela sua tabela-verdade: 
p ~p p v ~p 
F 
V 
V 
F 
V 
V 
Portanto, dizer que uma proposição 
ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. 
20:21:48 
20:21:48 
1. A proposição “p ^ ~p” é uma contradição, conforme mostra a sua 
tabela-verdade: 
p ~p p ^ ~p 
F 
V 
V 
F 
F 
F 
Portanto, dizer que uma proposição 
pode ser simultaneamente verdadeira 
e falsa é sempre falso. 
2. A proposição “p  ~p” é uma contradição, conforme se vê pela 
sua tabela- 
 verdade: 
p ~p p  ~p 
F 
V 
V 
F 
F 
F 
Contradições 
Tautologia 
3. Vejrifique se a proposição “p v ~(p ^ q)” é tautologia. Mostre a sua 
tabela-verdade: 
p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
20:21:49 
4. Verifique se a proposição “p ^ q  (p  q)” é tautologia. Constua a 
tabela-verdade: 
p q p ^ q p  q p ^ q  (p  q) 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
V 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
20:21:49 
5. Verifique se a proposição “p v (q ^ ~q)  p” é tautologia. Mostre a 
sua tabela-verdade: 
p q ~q q ^ ~q p v (q ^ ~q) p v (q ^ ~q)  p 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
F 
V 
F 
F 
F 
F 
F 
V 
V 
F 
F 
V 
V 
V 
V 
20:21:48 
20:21:48 
3. Verifique se a proposição “(p ^ q) ^ ~(p v q)” é uma contradição. 
Mostre a sua tabela-verdade: 
p q p ^ q p v q ~(p v q) (p ^ q) ^ ~(p v q) 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
F 
F 
F 
F 
F 
20:21:48 
6. Verifique se a proposição “p ^ r  ~q v r” é tautologia. Mostre a sua 
tabela-verdade: 
p q r ~q p ^ r ~q v r p ^ r  ~q v r 
V 
V 
V 
V 
F 
F 
F 
F 
V 
V 
V 
F 
V 
F 
F F 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
F F 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F F 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
20:21:48 
4. Verifique se a proposição “~p ^ (p ^ ~q)” é uma contradição. Mostre a 
sua tabela-verdade: 
p q ~p ~q p ^ ~q ~p ^ (p ^ ~q) 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
F 
F 
V 
V 
V 
F 
V 
F 
VF 
F 
F 
F 
F 
F 
F 
20:21:48 
7. Verifique se a proposição “((p  q)  r)  (p  (q  r))” é tautologia. 
Mostre a sua tabela-verdade: 
p q r p  q (q  r) (p  q)  r p  (q  r) Prop 
V 
V 
V 
V 
F 
F 
F 
F 
V 
V 
F 
F 
V 
F 
F F 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
F F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
F F 
F 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
20:21:48 
Exercício: 
 Identifique o exemplo de tautologia: 
a) Se David é bonito, então David é bonito e o céu é azul. 
b) Se David é bonito, então David é bonito ou o céu é azul. 
c) Se David é bonito ou o céu é azul, então o céu é azul. 
d) Se David é bonito ou o céu é azul, então David é bonito e o céu é 
azul. 
20:21:48 
Contingências 
É toda proposição composta cuja a última coluna da sua tabela-verdade 
figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. 
 Em outros termos, é toda proposição composta P (p, q, r,…) que 
não é tautologia e nem contradição. 
20:21:48 
1. A proposição “p  ~p” é uma contigência, conforme mostra a sua 
tabela-verdade: 
p ~p p  ~p 
F 
V 
V 
F 
V 
F 
20:21:48 
2. A proposição “p v q  p” é uma contingência, conforme mostra a 
sua tabela-verdade: 
p q p v q p v q  p 
V 
V 
F 
F 
F 
V 
F 
V 
V 
V 
F 
V 
V 
V 
V 
F 
fbf 
Tautologias 
Uma fbf, cujos valores-verdade são sempre verdadeiros. ------------------ 1 
Contradição 
Uma fbf, cujos valores-verdade são sempre falsos. -------------------------- 0 
 
Quando 
uma fbf composta na forma `p e q é uma tautologia, os valores-verdade de p e q 
conferem para todas as colunas da tabela-verdade. Neste caso, p e q são 
chamadas de fbfs equivalentes e denotadas por P Q. 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
1. A v B  B v A 
2. A v 0  A 
3. A v A’  1 
4. A ^ B  B ^ A 
5. A ^ 1  A 
6. A ^ A’  0 
7. (A v B) v C  A v (B v C) 
8. A v (B ^ C)  (A v B) ^ (A v C) 
9. (A ^ B) ^ C  A ^(B ^ C) 
10. A ^ (B v C)  (A ^ B) v (A ^ C) 
Exemplo: 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
A v B  B v A 
P Q 
A B A v B B v A P <--> Q 
V V V V V 
V F V V V 
F V V V V 
F F F F V 
A v B  B v A 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
A v 0  A 
P Q 
A 0 A v 0 A P <--> Q 
V F V V V 
V F V V V 
F F F F V 
F F F F V 
A v 0  A 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
A v A’  1 
A v A'  1 
A A' A v A' 1 P <--> Q 
V F V V V 
V F V V V 
F V V V V 
F V V V V 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
A ^ B  B ^ A 
A ^ B  B ^ A 
P Q 
A B A ^ B B ^ A P <--> Q 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F F V 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
A ^ 1  A 
A ^ 1  A 
P Q 
A 1 A ^ 1 A P <--> Q 
V V V V V 
V V V V V 
F V F F V 
F V F F V 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
1. A ^ A’  0 
A ^ A'  0 
A A' A ^ A' 0 P <--> Q 
V F F F V 
V F F F V 
F V F F V 
F V F F V 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
(A v B) v C  A v (B v C) 
(A v B) v C  A v (B v C) 
P Q R S 
A B C A v B B v C P v C A v Q R <--> S 
V V V V V V V V 
V V F V V V V V 
V F V V V V V V 
V F F V F V V V 
F V V V V V V V 
F V F V V V V V 
F F V F V V V V 
F F F F F F F V 
20:21:48 
Tautologia e Contradição 
A v (B ^ C)  (A v B) ^ (A v C) 
A v (B ^ C)  (A v B) ^ (A v C) 
P S Q R T 
A B C B ^ C A v P A v B A v C Q ^ R S <--> T 
V V V V V V V V V 
V V F F V V V V V 
V F V F V V V V V 
V F F F V V V V V 
F V V V V V V V V 
F V F F F V F F V 
F F V F F F V F V 
F F F F F F F F V 20:21:48 
Tautologia e Contradição 
 (A ^ B) ^ C  A ^(B ^ C) 
(A ^ B) ^ C  A ^(B ^ C) 
P Q R S 
A B C A ^ B B ^ C P ^ C A ^ Q R <--> S 
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
V F V F F F F V 
V F F F F F F V 
F V V F V F F V 
F V F F F F F V 
F F V F F F F V 
F F F F F F F V 
20:21:48 
A ^ (B v C)  (A ^ B) v (A ^ C) 
Tautologia e Contradição 
P S Q R T 
A B C B ^ C A v P A v B A v C Q ^ R S <--> T 
V V V V V V V V V 
V V F F V V V V V 
V F V F V V V V V 
V F F F V V V V V 
F V V V V V V V V 
F V F F F V F F V 
F F V F F F V F V 
F F F F F F F F V 
20:21:48 
1. Sejam as proposições p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz. Traduzir 
para linguagem corrente as seguintes proposições: 
 
 a) p ν ~q 
 b) ~p → q 
 c) q ↔ ~p; 
a) Jorge é rico ou Carlos não é feliz 
b) se Jorge não é rico então Carlos é feliz 
c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não for rico 
20:21:48 
02. Sejam as proposições p: O livro é interessante e q: O livro é de lógica. 
Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições: 
 a) ~p 
 b) p ν q 
c) p ^ ~q 
d) ~(p ν q) 
 
e) q ↔ ~p; 
 
a) O livro não é interessante 
b) O livro é interessante ou o livro é de lógica 
c) O livro é interessante e o livro não é de lógica 
d) Não é verdade que o livro seja interessante ou que 
seja de lógica 
e) O livro é de lógica se e somente se o livro não for 
interessante 
20:21:48 
03. Traduzir para a linguagem simbólica, considerando 
p = Josefa é rica, q = Josefa é feliz, r = Josefa é estudante. 
a) Josefa é rica ou infeliz. 
b) Se Josefa é estudante e rica então é estudante e feliz. 
c) Josefa é pobre, mas feliz. 
d) Josefa é pobre e infeliz. 
e) Josefa é pobre ou rica, mas é infeliz. 
f) Se Josefa é pobre então é feliz. 
g) Josefa é rica se e somente se não for pobre. 
h) Josefa é pobre, infeliz, estudante ou rica. 
i) Josefa estuda, mas é feliz se e somente não for pobre. 
 
a) p v ~q 
b) r ^p -> r ^ p 
c) ~p ^ q 
d) ~p ^ ~q 
e) ~p v p ^ ~q 
f) ~p -> q 
g) p <-> ~p 
h) ~p ^ ~q ^ r v p 
i) r ^ q <-> ~~p 
20:21:48 
04. Indicar as proposições simples abaixo por letras minúsculas e traduzir as 
sentenças para notação simbólica: 
a) Se Janet vencer ou perder, ela estará cansada; 
 Exemplo: p: Janet vence, q: Janet perde, t: Janet está cansada; 
 Notação simbólica: (p ν q) → t; 
b) Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos; 
c) Se os preços subirem, as construções ficarão mais caras, mas se as 
construções não forem caras, elas serão muitas; 
d) Ou Janet irá vencer ou, se perder, ficará cansada; 
e) Se a quantidade de água é suficiente então o crescimento das plantas é 
sadio; 
 
20:21:48 
05. Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando as seguintes 
proposições: 
 p: Paula vai à festa. q: Quincas vai à festa. 
 r: Ricardo vai à festa. s: Sara vai à festa. 
a) Paula não vai a festa. 
b) Paula vai, mas Quincas não vai. 
c) Se Paula for, então Quincas também irá. 
e) Paula irá se e somente se Quincas for. 
g) Paula e Quincas não irão. 
h) Paula não irá, se Quincas for. 
j) Se nem Ricardo nem Quincas forem, então Paula irá. 
k) Se Ricardo ou Quincas forem, então Paula irá e Sara não irá. 
l) Se Sara for, então Ricardo ou Paula irão, e se Sara não for, então Paula e 
Quincas irão. 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as 
seguintes proposições: 
1. p: Está frio e q: Está Chovendo. 
 
 
a) ~p 
b) p ^ q 
c) p v q 
d) q <-> p 
e) p -> ~q 
f) p v ~q 
g) ~p ^ ~q 
h) p <-> ~q 
i) p ^ ~q -> p 
 
Respostas:Não está frio 
Está frio e está chovendo 
Está frio ou está chovendo 
Está chovendo se e somente se está frio 
Se está frio, então não está chovendo 
Está frio ou não está chovendo 
Não está frio e não está chovendo 
Está frio se e somente se não está chovendo 
Se está frio e não está chovendo, então está frio 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as 
seguintes proposições: 
 
2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz. 
 
a) q -> p 
b) p v ~q 
c) q <-> ~p 
d) ~p -> q 
e) ~~p 
f) ~p ^ q -> p 
a) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico 
b) Jorge é rico ou Carlos não é feliz 
c) Carlos é feliz se e somente se Jorge não é rico 
d) Se Jorge não é rico, então Carlos é feliz 
e) Não é verdade que Jorge não é rico 
f) Se Jorge não é rico, e Carlos é feliz, então Jorge é rico 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as 
seguintes proposições: 
3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão. 
 
a) q v p 
b) p ^ q 
c) p ^ ~q 
d) ~p ^ ~q 
e) ~~p 
f) ~(~p ^ ~q) 
a) Cláudio fala alemão ou inglês 
b) Cláudio fala inglês e alemão 
c) Cláudio fala inglês, mas não alemão 
d) Não é verdade que Cláudio fala inglês e alemão 
e) Não é verdade que Cláudio não fala inglês 
f) Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as 
seguintes proposições: 
4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista. 
 
a) ~(~p ^ ~q) 
b) ~~p 
c) ~(~p v ~q) 
d) p ® ~q 
e) ~p <-> ~q 
f) ~(~q -> p) 
 
a) Não é verdade que João não é gaúcho e Jaime não é paulista 
b) Não é verdade que João não é gaúcho 
c) Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista 
d) Se João não é gaúcho, então Jaime não é paulista 
e) Se João não é gaúcho se e somente se Jaime não é paulista 
f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as 
seguintes proposições: 
5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. 
 
a) Marcos é alto e elegante 
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante 
d) Marcos não é nem alto e nem elegante 
e) Marcos é alto ou é baixo e elegante 
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante 
a) p ^ q 
b) ~(~p v q) 
c) ~p ^ ~q 
d) p v (~p ^ q) 
e) ~(~p v ~q) 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as 
seguintes proposições: 
 
6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz. 
a) Suely é pobre, mas feliz 
b) Suely é rica ou infeliz 
c) Suely é pobre e infeliz 
d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz 
 
a) ~p ^ q 
b) p ^ v ~q 
c) ~p ^ ~q 
d) (~p v p) ^ ~q 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as 
seguintes proposições: 
 
7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão. 
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão 
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão 
c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão 
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não 
fala francês 
a) (p v q) ^ ~r 
b) (p v q) v ~(p ^ r) 
c) ~(p ^ ~r) 
d) ~((q v r) ^ ~p) 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as 
seguintes proposições: 
 a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0 
b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0) 
c) x ≠ 0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0) 
d) x + y = 0 e z > 0) ou z = 0 
a) (x + y = 0 ^ z > 0) v z = 0 
b) x = 0 ^ (y + z > x v z = 0) 
c) x ≠ 0 v (x = 0 ^ y < 0) 
d) (x + y = 0 ^ z > 0) v (z = 0) 
20:21:48 
Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as 
seguintes proposições: 
 
 a) Se x > 0 então y = 2 
b) Se x + y = 2 então z > 0 
c) x = 1 ou z = 2 então y > 1 
d) Se z > 5 então x ¹ 1 e x ¹ 2 
e) Se x ¹ y então x + z > 5 e y + z < 5 
f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1 
g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0 
h) Se y = 4 e se x < y então x < 5 
a) x > 0 -> y = 2 
b) x + y = 2 -> z > 0 
c) x = 1 v z = 2 -> y > 1 
d) z > 5 -> x¹ 1 ^ x¹ 2 
e) x ¹ y -> x + z > 5 ^ y + z < 5 
f) (x + y > z ^ z = 1) -> x + y > 1 
g) x < 2 -> x = 1 v x = 0 
h) y = 4 ^(x < y -> x < 5) 
20:21:48 
20:21:48 
Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, repararam que seu pai, 
quando chegou em casa, colocou em cima da mesa quatro bombons. Logo ao 
retornar à sala o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou 
às crianças quem tinha sido o autor do delito. 
 
André disse: - Não fui eu. 
Bernardo disse: - Foi Carlos quem pegou o bombom. 
Carlos disse: - Daniel é o ladrão do bombom. 
Daniel disse: - Bernardo não tem razão. 
 
Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então: 
 
a. André pegou o bombom. 
b. Bernardo pegou o bombom. 
c. Carlos pegou o bombom. 
d. Não é possível saber quem pegou o bombom. 
e. Daniel pegou o bombom. 
Solução: observando o que 
os meninos disseram, 
observamos que: ou o 
Bernardo ou o Carlos estão 
mentindo. 
Como o Daniel falou a 
verdade, então o que 
mentiu foi o Bernardo e o 
Daniel pegou o bombom. 
20:21:48 
Uma aldeia tem 1000 índios, todos vestidos da mesma forma, mas numerados de 
1 a 1000. Todos só falam a verdade, mas, para qualquer pergunta, só podem 
responder sim ou não. Uma pessoa chega à aldeia e, para saber quem é o chefe, 
deve fazer perguntas a qualquer índio, já sabendo quais são as duas únicas 
respostas possíveis. 
O número mínimo de perguntas que devem ser feitas para que se tenha a 
certeza de conhecer o chefe da aldeia é: 
 
a. 500. 
b. 20. 
c. 10. 
d. 100. 
e. 50. 
Solução: 
Como as respostas só podem ser “sim” ou “não” a pergunta 
deve ser tal que, a cada resposta dada, seja eliminado o 
maior número possível de índios candidatos a ser o chefe. 
É um problema cuja a solução é dada por pesquisa binária. 
Neste caso, a pergunta pertinente é: o número do chefe é 
maior que o seu?. Se a resposta for sim, eliminamos todos os 
índios que tiverem números menor que o número do índio 
intermediário. 
O número de perguntas N é o menor inteiro que satisfaz 
2𝑛 > 1000. 
Então a resposta é N=10, pois 29 = 512 𝑒 210 = 1024. 
20:21:48 
Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma é azul, o de outra é 
preto e o da outra é branco. Elas calçam sapatos dessas mesmas cores, mas 
somente Ana está com vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido nem o 
sapato de Júlia são brancos e Márcia está com os sapatos azuis. Desse modo: 
 
a. O vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. 
b. O vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. 
c. O vestido de Márcia é preto e os sapatos de Ana são brancos. 
d. Os sapatos de Júlia são pretos e o vestido de Márcia é branco. 
e. O vestido de Ana é azul e os sapatos de Júlia são brancos. 
20:21:48 
Em um bosque há 180 árvores. Sabe-se que cada árvore tem pelo menos 30 
folhas e que nenhuma tem mais de 200 folhas. Podemos concluir que: 
 
A. Existe pelo menos uma árvore com 200 folhas. 
B. Existem pelo menos duas árvores com o mesmo número de folhas. 
C. Existe alguma árvore com 115 folhas. 
D. O número total de folhas é certamente maior que 6000. 
E. O número médio de folhas por árvore é 115.