vetores cartesianos

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Mecânica Técnica
Aula 4 – Adição e Subtração de 
Vetores Cartesianos
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Tópicos Abordados Nesta Aula
� Operações com Vetores Cartesianos.
� Vetor Unitário.
� Ângulos Diretores Coordenados.
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Componentes retangulares de um vetor
� Um vetor A pode ter um, dois ou três 
componentes ao longo dos eixos de 
coordenadas x, y e z.
� A quantidade de componentes 
depende de como o vetor está
orientado em relação a esses eixos.
� Sistema de coordenadas utilizando a 
regra da mão direita.
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Vetor Unitário
� A direção de A é especificada usando-se 
um vetor unitário, que possui esse nome 
por ter intensidade igual a 1.
� Em três dimensões, o conjunto de 
vetores unitários é usado para 
designar as direções dos eixos x, y e z
respectivamente.
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kji
rrr
,,
A
A
uA
r
r
=
F
F
uF
r
r
=
Para um vetor A: Para um vetor Força:
Representação de um Vetor Cartesiano
� Um vetor cartesiano é escrito 
sob a forma de suas 
componentes retangulares.
� As componentes representam a 
projeção do vetor em relação 
aos eixos de referência.
� Quando se escreve um vetor na 
forma cartesiana suas 
componentes ficam separadas 
em cada um dos eixos e facilita 
a solução da álgebra vetorial.
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kAjAiAA zyx
rrrr
++=
222
zyx AAAA ++=
Módulo do vetor cartesiano:
Vetor cartesiano:
Ângulos Diretores Coordenados
� A orientação de um vetor no espaço é definida pelos ângulos 
diretores coordenados α, β, e γ medidos entre a origem do vetor e os 
eixos positivos x, y e z. 
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A
Ax
r
=αcos
A
Ay
r
=βcos
A
Az
r
=γcos
Determinação dos Ângulos 
Diretores Coordenados
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k
A
Aj
A
A
i
A
A
A
A
u z
yx
A
rrr
r
r
++==
kjiuA
rrrr γβα coscoscos ++=
1coscoscos 222 =++ γβα
Sistemas de Forças Concorrentes
� Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de várias 
forças concorrentes, a força resultante será a soma de todas as 
forças do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:
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∑∑∑ ∑ ++== kFjFiFFF zyxR
rrrrr
Exercício 1
� 1) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da
força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.
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N N
Solução do Exercício 1
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∑ +== 21 FFFFR
rrrr
)8060()10010050( kjkjiFR
rrrrrr
+++−=
)1804050( kjiFR
rrrr
+−=
191=RF N
Módulo da força resultante:
Vetor força resultante:
N
N
222 1804050 ++=RF
Solução do Exercício 1
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k
F
Fj
F
F
i
F
F
F
F
u
R
Rz
R
Ry
R
Rx
R
R
FR
rrr
r
r
++==
kjiu
RF
rrrr
191
180
191
40
191
50
+−=
kjiu
RF
rrrr 942,0209,0261,0 +−=
R
Rx
F
F
r
=αcos 261,0cos =α
)261,0arccos(=α °= 8,74α
R
Ry
F
F
r
=βcos
209,0cos −=β
)209,0arccos(−=β °= 102β
R
Rz
F
F
r
=γcos
942,0cos =γ
)942,0arccos(=γ °= 6,19γ
Vetor unitário da força resultante:
Ângulos diretores:
Exercício 2
� 2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique 
os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força 
resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 
800N.
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Solução do Exercício 2
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21 FFFR
rrr
+=
kFjFiFF
rrrr
1111111 coscoscos γβα ⋅+⋅+⋅=
kjiF
rrrr
°⋅+°⋅+°⋅= 120cos30060cos30045cos3001
kjiF
rrrr
1501502,2121 −+=
21501502,212800 Fkjij
rrrrr
+−+=
kjijF
rrrrr
1501502,2128002 +−−=
kjiF
rrrr
1506502,2122 ++−=
222
2 1506502,212 ++=F
7002 =F
Determinação de F2:
Módulo de F2:
N
N
Força Resultante:
N
Determinação de F1:
jFR
rr
800= N
Solução do Exercício 2
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





=
2
2
2 arccos F
F xα





 −
=
700
2,212
arccos2α
°=1082α






=
2
2
2 arccos F
F zγ






=
700
150
arccos2γ
°= 6,772γ






=
2
2
2 arccos F
F yβ






=
700
650
arccos2β
°= 8,212β
Ângulos Diretores de F2:
Exercícios Propostos
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� 1) Expresse a força F como um vetor cartesiano.
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Exercícios Propostos
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� 2) A peça montada no torno está sujeita a uma força de 60N. 
Determine o ângulo de direção β e expresse a força como um vetor 
cartesiano.
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Exercícios Propostos
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� 3) O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os 
ângulos diretores α1, β1, e γ1 de F1, de modo que a força resultante 
que atua sobre o mastro seja N
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)350( iFR
rr
=
Exercícios Propostos
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� 4) Os cabos presos ao olhal estão submetidos as três forças 
mostradas. Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e 
determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força 
resultante.
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Exercícios Propostos
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� 5) O suporte está sujeito as duas forças mostradas. Expresse cada 
força como um vetor cartesiano e depois determine a força resultante, 
a intensidade e os ângulos coordenados diretores dessa força.
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Próxima Aula
� Vetores Posição.
� Vetor Força Orientado ao Longo de uma 
Reta.
� Produto Escalar Aplicado na Mecânica.
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