metodos quantitativos

Prévia do material em texto

Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Unidade 1
Tópicos Elementares De Matemática
Aula 1
Operações Com Números Reais
Operações com números reais
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Para começarmos nossos estudos, pense em situações em que podemos utilizar
a ideia de fração. Por exemplo, quando seguimos alguma receita culinária, muitas vezes nos deparamos com
instruções como: adicione 
As frações podem ser interpretadas como o resultado de uma divisão entre dois números, a razão e a
proporção entre o total de pessoas vacinadas e o total da população de uma cidade, ou os problemas que
envolvem medidas de grandezas, como a quantidade de ingredientes necessários para fazer um bolo.
Nesta aula, exploraremos o conceito de frações e de algumas operações matemáticas. Estudaremos as
propriedades envolvendo a potenciação e a radiciação de números reais. Atente-se às propriedades e
de�nições nesta aula, pois elas serão necessárias durante toda a disciplina para resolver diferentes
problemas matemáticos.
1
4
3
4
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u1a1_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, pense na seguinte situação: a idade de
João é 
Bons estudos!
Vamos Começar!
Para iniciar nossa jornada de estudo, é fundamental compreender as propriedades dos conjuntos numéricos
que empregamos.
Quando vamos contar quantidades, utilizamos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 etc. Qual característica
esses números têm em comum? Todos são inteiros e positivos. O conjunto que reúne elementos com essa
característica é denominado conjunto dos números naturais, representado pelo símbolo ; além disso, esse
conjunto é in�nito. Você pode perguntar: e os números inteiros negativos? A qual conjunto pertencem? Os
números inteiros negativos pertencem ao conjunto dos números inteiros, representado por . Podemos dizer,
ainda, que esse conjunto é a união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos, isto é, o
conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e negativos. Já o conjunto dos
números racionais, , reúne os números que pertencem ao conjunto dos números inteiros e os números
decimais que podem ser representados em forma de fração:
E aqueles números que não podemos representar em forma de fração? Estes compõem o conjunto dos
números irracionais e têm como característica o fato de serem números cuja parte decimal é in�nita e não
periódica, isto é, não são dízimas periódicas, como o número 
1
4
3
9
Q = {x,x = a
b ,  com a ∈ Z e b ∈ Z e b ≠ 0}
π = 3,141592654 …
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Representação dos conjuntos numéricos. Fonte: elaborada pela autora.
Agora que você já conhece os conjuntos numéricos, vamos nos aprofundar nos conceitos de fração,
potenciação e radiciação.
 
Fração
Como vimos, o conjunto dos números racionais é composto de todos os números inteiros que podem ser
representados em forma de fração. Mas o que é uma fração? Uma fração pode ser de�nida como uma
maneira de representar partes iguais de um todo.
Imagine que uma barra de chocolate foi dividida em 18 pedaços iguais e que você comeu 6 desses pedaços;
podemos representar essa quantidade da seguinte forma:
O 18, chamado de denominador, representa o número de partes iguais em que o todo foi dividido; e o 6,
chamado de numerador, indica o número considerado dessas partes. Representamos uma fração da seguinte
maneira:
em que a é o numerador e b, o denominador. O denominador tem que ser diferente de 0.
Um conceito importante relacionado às frações é o de equivalência. Observe as duas frações que seguem:
6
18
a
b
3
4  e  12
16
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Essas duas frações têm numeradores diferentes, porém representam a mesma quantidade, conforme ilustra
a Figura 2.
Figura 2 | Frações equivalentes. Fonte: elaborada pela autora.
Quando duas ou mais frações representam a mesma parte do todo, dizemos que elas são frações
equivalentes. Para encontrar uma fração equivalente, podemos utilizar a seguinte propriedade: ao multiplicar
o numerador e o denominador por um mesmo número natural não nulo, sempre obteremos uma fração
equivalente à inicial (Hazzan, 2021). Vamos encontrar algumas frações equivalentes a 
De acordo com a propriedade, basta que multipliquemos tanto o numerador quanto o denominador pelo
mesmo número natural:
Uma consequência dessa propriedade é que se dividirmos o numerador e o denominador de qualquer fração
por um mesmo número natural, o resultado será uma fração equivalente à original, por exemplo:
Podemos concluir que, para uma fração qualquer, existem in�nitas frações equivalentes a ela. Vamos analisar
o seguinte exemplo:
O conceito de fração equivalente é essencial para compreendermos como funcionam os procedimentos que
envolvem operações com frações. Dadas duas ou mais frações, podemos realizar as operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão.
 
Adição e subtração 
Para as operações de adição e subtração, temos que nos atentar ao denominador das frações.
Se as frações possuem o mesmo denominador, devemos conservá-los e somar os numeradores. Por
exemplo:
1
2
1
2 = 3
6   pois,   {
1 ⋅ 3 = 3
2 ⋅ 3 = 6
15
10 = 3
2   pois,   {
15 ÷ 5 = 3
10 ÷ 5 = 2
1
2 = 2
4 = 4
8 = 8
16 = 16
32 = 32
64
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Se as frações possuem denominadores diferentes, temos que fazer a redução ao mesmo denominador e
depois passar à adição ou subtração dos numeradores. Mas como reduzir as frações ao mesmo
denominador? Precisamos encontrar frações equivalentes que têm o mesmo denominador. Uma forma de
fazer isso é utilizando o mínimo múltiplo comum (MMC), que corresponde ao menor número natural,
diferente de zero, múltiplo dos denominadores. Para encontrar o MMC, você pode utilizar o método da
fatoração; ou seja, decompor os números em fatores primos. Vamos resolver a seguinte adição:
Veja que os denominadores são diferentes, logo temos que reduzir as frações a um mesmo denominador. O
primeiro passo é encontrar o MMC de 32 e 15 (Figura 3).
1
2 + 3
2 = 1+3
2 = 4
2 = 2
5
4 − 3
4 = 2
4 = 1
2
7
32 + 6
15 =
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | MMC. Fonte: elaborada pela autora.
Após encontrar o MMC, temos que determinar as frações equivalentes, o que requer o procedimento
apresentado na Figura 4.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 4 | Método de resolução de soma de frações com denominadores diferentes. Fonte: elaborada pela autora.
Multiplicação e divisão
Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação de frações não depende que os denominadores
sejam iguais. Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador; por exemplo:
Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda; por exemplo:
Tendo em vista o que você estudou até o momento, vamos resolver o seguinte problema: a família de João
mora em uma chácara onde a construção de sua casa ocupa 
O primeiro passo é encontrar a quanto corresponde a parte sem a construção da casa:
Desses 
10
7 ⋅ 6
5 = 10⋅6
7⋅5 = 60
35 = 12
7
1
2 ÷ 3 = 1
2 ⋅ 1
3 = 1
6
3
7
1
4
1
9
1 − 3
7 = 7
7 − 3
7 = 4
7
4
7
1
4
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Essa fração é referente a 
 
Essa fração corresponde à área ocupada. Para descobrirmos a área que não tem utilização, precisamos
subtrair 
Logo, a fração que representa a área do terreno sem nenhuma utilização especí�ca é
Siga em Frente...
Potenciaçãode uma pesquisa sobre um tema especí�co. A disciplina matemática que se
concentra na condução de pesquisas e na análise dos dados obtidos é conhecida como Estatística. Nesta
aula, exploraremos o signi�cado da Estatística e sua relevância em diversas áreas. Além disso, abordaremos
os principais conceitos da Estatística Descritiva, como amostragem, população e variáveis. Esses conceitos
formam a base para a compreensão de outros tópicos relacionados à Estatística.
Com o intuito de ilustrar como esses conceitos podem ser aplicados, considere o seguinte cenário: imagine
que uma empresa de telefonia contratou você para conduzir uma pesquisa de satisfação entre os clientes em
relação aos serviços prestados. A empresa conta com um total de 650 mil clientes, dos quais 45% são
mulheres, e o restante são homens. Sua tarefa é desenvolver um guia para a coleta de dados, levando em
consideração que você pretende realizar a pesquisa por meio de uma amostragem estrati�cada proporcional,
com amostra de composta de 150 mil clientes.
Como podemos realizar essa coleta de dados? Como podemos de�nir quantos homens e quantas mulheres
participarão da pesquisa?
Vamos começar nossos estudos!
Vamos Começar!
Você pode se indagar: o que exatamente é a Estatística? Por que é importante estudar Estatística? De que
maneira a Estatística pode bene�ciar minha carreira? Segundo Larson e Farber (2015, p. 3), a “Estatística é a
disciplina que coleta, organiza, analisa e interpreta dados para embasar a tomada de decisões”. Esses dados
representam informações que adquirimos por meio de observações, experimentos, pesquisas e outros
meios. Podemos a�rmar que a Estatística tem como propósito investigar fenômenos coletivos, permitindo-
nos efetuar julgamentos informados e tomar decisões em face de incertezas e variações. Devore (2018)
enfatiza que, na ausência dessas incertezas e variações inerentes a diversos fenômenos, haveria uma
escassa necessidade de empregar métodos estatísticos.
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u2a1_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Os métodos estatísticos são fundamentais para a determinação de diferentes indicadores, como indicadores
de desenvolvimento sustentável. Estes são publicados pelo Instituto Brasileiro de Geogra�a e Estatística
(IBGE) e fornecem informações que possibilitam o acompanhamento da sustentabilidade do padrão de
desenvolvimento brasileiro em diferentes dimensões, dentre elas a ambiental. Nesse sentido, os indicadores
oferecem “um panorama abrangente de informações necessárias ao conhecimento da realidade do País, ao
exercício da cidadania e ao planejamento e formulação de políticas públicas para o desenvolvimento
sustentável” (IBGE, 2015, p. 9). Perceba que a Estatística desempenha uma função signi�cativa na tomada de
decisões, portanto pode ser uma ferramenta valiosa para você na condução de pesquisas e na investigação
de fenômenos em sua futura carreira.
Quando nos referimos à Estatística, podemos dividi-la em dois ramos: Estatística Descritiva e Estatística
Inferencial. O primeiro tem como objetivo descrever os dados observados, enquanto o segundo busca obter e
generalizar conclusões para a população com base em uma amostra. Inicialmente, direcionaremos nossa
atenção para os princípios associados à Estatística Descritiva. Entre os conceitos essenciais incluem-se
população, amostra, rol de dados, parâmetros e estimadores.
Podemos dizer que a população é o conjuntos de todos os dados que interessam no estudo e têm alguma
característica em comum. Já a amostra é uma parte dessa população, é um subconjunto. Para ilustrarmos
como diferenciarmos uma população de uma amostra, considere o exemplo a seguir.
Exemplo 1
Uma empresa de educação encomendou uma pesquisa de opinião para saber qual seria a área do
conhecimento mais requisitada na região metropolitana de São Paulo, em 2015.
A pesquisa foi feita com jovens sem nenhuma formação universitária. A empresa de educação pediu que
fossem entrevistadas pelo menos 4 mil pessoas. Dos entrevistados, 55% tinham curso universitário, por isso
não responderam à pergunta. Ao restante foi feita a seguinte pergunta: Qual é a área de conhecimento que
você gostaria de estudar em 2015?
(  ) Exatas      (  ) Humanas    (  ) Saúde       (  ) Gestão
Nesse exemplo, o tamanho da população são os 4 mil entrevistados, e a amostra é composta apenas
daqueles que responderam à pergunta; isto é, 45% das 4 mil pessoas, o que corresponde a 1,8 mil pessoas.
Dentre os conceitos estatísticos temos que o parâmetro é uma característica numérica estabelecida para
toda a população, enquanto o estimador é uma característica numérica estabelecida para a amostra. Os
dados representam todas as informações coletadas. Quando se trata de um conjunto de dados numéricos
não ordenados, ou seja, aqueles dados obtidos diretamente da observação de fenômenos, referimo-nos a
eles como dados brutos. Por sua vez, quando ordenamos esses dados brutos de maneira crescente ou
decrescente, temos o que denominamos rol de dados.
Ao realizarmos uma pesquisa, estamos interessados apenas em determinadas características da população;
por exemplo, o número de �lhos de uma família. A essas características da população damos o nome de
variável. É importante salientar que a característica pode mudar de um objeto para outro na população. De
acordo com Devore (2018), os dados são resultantes da observação de uma variável ou de duas ou mais
variáveis. Chamamos de conjunto de dados univariado aquele resultante da observação de uma única
variável. Quando o conjunto de dados resulta da observação de duas variáveis, é denominado bivariado.
Dependendo da natureza dessas características, é possível classi�car uma variável como qualitativa ou
quantitativa. As variáveis qualitativas são aquelas que fornecem dados de natureza não numérica, como cor
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
dos olhos ou raça de um animal. Esse tipo de variável pode ser nominal ou ordinal. As variáveis qualitativas
ordinais representam categorias ou grupos de dados que apresentam uma ordem intrínseca, mas a diferença
entre os valores não é uniforme ou mensurável. Em outras palavras, as categorias em uma variável qualitativa
ordinal têm uma relação de ordem, mas não é possível determinar com precisão a magnitude das diferenças
entre elas. Um exemplo desse tipo de variável é o nível de escolaridade: ensino fundamental, ensino médio,
ensino superior, pós-graduação. Já as variáveis qualitativas nominais são aquelas sem nenhuma ordenação,
como cor dos olhos ou estado civil.
Por outro lado, as variáveis quantitativas são aquelas que podem ser mensuradas por valores numéricos;
podem ser de dois tipos: contínuas ou discretas. O primeiro grupo é composto daquelas cujos possíveis
valores pertencem a um intervalo de números reais e resultam de uma mensuração, como peso e altura. Já
as variáveis quantitativas discretas são aquelas cujos possíveis valores formam um conjunto �nito ou
enumerável de números e que resultam, frequentemente, de uma contagem, como número de �lhos ou
número de espécies que vivem em determinado hábitat. A Figura 1 resume os tipos de variáveis.
Figura 1 | Tipos de variáveis. Fonte: elaborada pela autora.
Siga em Frente...
Um fato importante a se destacar é que grande parte das pesquisas estatísticas são feitas com base em
amostras. A utilização de amostras em pesquisas estatísticas oferece algumas vantagens, como a economia
de tempo e recursos, visto que coletar dados de toda a população pode ser demorado e dispendioso e usar
amostras permite que os pesquisadores coletem informações representativas de maneira mais e�ciente e
econômica.
É crucial que a amostragem seja realizada de maneira adequada, com um método que minimize o viés e
represente de forma precisa a população de interesse. Caso contrário, os resultados da pesquisa podem ser
tendenciosos e pouco con�áveis.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Podemos classi�car a amostragem como probabilísticaou não probabilística. A amostragem é considerada
probabilística quando todos os elementos da população têm uma probabilidade conhecida, não nula, de
serem selecionados para a amostra. Caso contrário, quando essa probabilidade não é conhecida ou é igual a
zero, a amostragem é considerada não probabilística (Costa Neto, 2006).
Dentre os métodos de amostragem probabilística, encontramos:
Amostragem aleatória simples: realizada por meio de sorteio. Nesse tipo de amostragem, todos os
elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras
têm também igual probabilidade de ocorrer.
Amostragem sistemática: quando os elementos da população estão dispostos em uma ordem
especí�ca e a seleção dos elementos da amostra é realizada de maneira periódica. Um exemplo disso é
quando, em uma linha de produção, a cada dez itens fabricados, um é retirado para compor uma
amostra da produção diária. Para retirar uma amostra sistemática de tamanho   de uma população
com elementos, ordenados de 1 até  , seguimos os seguintes passos:
Dividimos a população em  subgrupos de tamanho  .
No primeiro subgrupo, conduzimos um sorteio (amostragem aleatória simples) para escolher o
primeiro elemento que fará parte da amostra. Vamos supor que esse elemento esteja na posição 
.
A partir do sorteio do passo anterior, os demais   elementos pertencentes à amostra �cam
determinados. Serão aqueles que estiverem nas posições:  ,  ,  ,  , 
.
Amostragem aleatória estrati�cada: a população é dividida em subgrupos distintos, chamados estratos,
com base em características compartilhadas. Em seguida, uma amostra é selecionada aleatoriamente
em cada estrato, de modo que todos os estratos estejam representados na amostra �nal. Geralmente,
na amostragem aleatória estrati�cada, o tamanho da amostra retirada de cada estrato é
correspondente ao percentual que o estrato representa em relação à população.
Amostragem por conglomerados: divide a população em subgrupos cujos elementos sejam
heterogêneos. Cada subgrupo de�nido nesse tipo de amostragem, denominado conglomerado (ou
cluster), será semelhante à população, o que implica a semelhança entre os conglomerados. Após a
identi�cação dos conglomerados (primeira etapa), geralmente se recorre à amostragem aleatória
simples para determinar quais deles serão incluídos na amostra (segunda etapa). Posteriormente, é
realizado um censo em cada conglomerado selecionado (terceira etapa).
Dentre as técnicas de amostragem não probabilística, temos:
Amostragem a esmo: o amostrador, para tornar o processo mais simples, busca introduzir um elemento
de aleatoriedade, embora não necessariamente execute um sorteio com o auxílio de algum dispositivo
aleatório con�ável.
Amostragem intencional ou por conveniência: o amostrador deliberadamente escolhe certos elementos
para pertencer à amostra, por julgá-los bem representativos da população.
Quando conduzimos uma pesquisa, é essencial de�nir se examinaremos toda a população ou uma amostra,
identi�car os tipos de dados analisados e reconhecer os tipos de variáveis em estudo. Ter clareza dessas
informações é de suma importância, pois isso determina os métodos estatísticos aplicados na análise dos
conjuntos de dados.
Vamos Exercitar?
n
N
k = N
n
p ≤  k
n – 1
p  +  k p  +  2k p  +  3k …
p  + (n – 1)k
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma das etapas mais importantes de toda coleta de dados é o planejamento. Geralmente, ele pode ser feito
por meio da determinação de um roteiro ou checklist. Para ter e�ciência, esse roteiro deve ser elaborado e
revisado a �m de evitar falhas. Ao �nal, o pesquisador deve conferir se todas as etapas previstas no roteiro
foram concluídas. Veja a seguir um possível roteiro para a coleta de dados de nossa pesquisa na empresa de
telefonia.
1. De�nir o objetivo da pesquisa: determinar a satisfação dos clientes acerca do serviço prestado pela
companhia telefônica.
2. De�nir as variáveis e a população de interesse: a empresa quer saber apenas a satisfação de seus
clientes (variável de interesse), sem outras informações agregadas. A população corresponde a 650 mil
clientes da companhia.
3. De�nir o sistema de coleta de dados: a técnica de amostragem a ser utilizada é a amostragem
estrati�cada. Para isso, temos que determinar o número de pessoas em cada estrato. Como 45% da
população são mulheres, temos que 45% da amostra devem ser mulheres; ou seja, 45% de 150 mil, que
correspondem a 67,5 mil mulheres. Por sua vez, 55% da amostra devem ser homens; isto é, 55% de 150
mil, que correspondem a 82,5 mil homens. Posteriormente, retira-se uma amostra em cada estrato,
procedimento que pode ser realizado por amostragem aleatória simples. Resta determinar o que será
perguntado aos clientes. Assumiremos que será feita pergunta como “Em uma escala de 0 a 10, sendo
0 ruim e 10 ótimo, qual nota o(a) senhor(a) atribuiria ao serviço prestado por esta companhia?”.
4. Coletar os dados: é preciso que os funcionários sejam devidamente capacitados para conduzir os
contatos por telefone. É relevante destacar que o treinamento dos entrevistadores desempenha um
papel crucial, pois pode in�uenciar na introdução de vieses.
5. Revisar os dados coletados: se houver particularidades nos dados coletados, é possível revisá-los com
base nas gravações telefônicas das entrevistas, sempre que esse recurso estiver acessível.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre os conceitos iniciais da estatística, sugerimos a
leitura do capítulo 1 do livro Estatística aplicada. Não deixe de selecionar alguns exercícios desse capítulo e
resolvê-los!
Para que você possa resolver exercícios relacionados ao conceito de amostragem, sugerimos a leitura da
seção 2.3 (Amostragem) do livro Estatística fácil. Não deixe de selecionar alguns exercícios dessas seções e
resolvê-los!
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
IBGE. Coordenação de Recursos Naturais e Estudos Ambientais [e] Coordenação de Geogra�a. Indicadores
de desenvolvimento sustentável. Rio de Janeiro: IBGE, 2015.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
Aula 2
Organização dos Dados
Organização dos dados
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Quando realizamos uma pesquisa estatística, coletamos um conjunto de dados
que posteriormentedevem ser organizados para análise.
Nesta aula, estudaremos formas de organizar um conjunto de dados; por exemplo, em tabelas e grá�cos
estatísticos. Veremos as tabelas de frequência, observando o que são frequências absoluta, relativa e
acumulada. Além disso, discorreremos sobre como construir as tabelas de frequência (com e sem classe),
bem como os diferentes tipos grá�cos, explicitando suas principais características.
Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, pense na seguinte situação: suponha
que uma pesquisa foi realizada para analisar a altura e a idade das árvores de determinada região. Utilizando
os instrumentos adequados, foram coletados dados de 40 árvores, conforme mostra a Tabela 1.
Bloco 1
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
1 1 6 5,9
1 1,2 6 6,2
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u2a2_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2 3,2 6 6,7
2 3,3 7 6,9
3 3,4 7 7
3 3,5 7 7,1
4 4,3 8 7,8
4 4,7 8 7,9
5 4,9 9 8,9
5 5,1 9 9,5
Bloco 2
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
10 9,9 13 13,5
10 10,2 13 13,6
10 10,9 14 14
11 11,1 15 15,3
11 11,4 15 15,7
12 12,5 15 15,9
12 12,7 18 17,9
12 12, 8 19 18,9
12 12,9 20 19,9
12 13 20 21
Tabela 1 | Dados referentes à altura e à idade de árvores. Fonte: elaborada pela autora.
Com base nesses dados, construa:
a. Tabela de frequência com classe para a variável altura.
b. Histograma e polígono de frequência para a variável altura.
Para resolver esse problema, precisamos entender os conceitos de frequência absoluta, frequência relativa e
como podemos construir um histograma.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Quando conduzimos uma pesquisa, estamos em busca de respostas para um problema especí�co. Para isso,
coletamos informações, e é crucial que os dados coletados sejam organizados de maneira a facilitar sua
análise e compreensão por parte do leitor. Um modo de organizar esses dados é em uma tabela. É
importante destacar, ainda, que tabelas e quadros são representações distintas. As tabelas são compostas
de linhas dispostas verticalmente e apresentam bordas laterais abertas; normalmente, são usadas para
representar dados quantitativos. Por outro lado, os quadros têm suas bordas laterais fechadas e são mais
apropriados para representar dados qualitativos.
A tabela de distribuição de frequência ou tabela de frequência é muito utilizada na Estatística e é uma
representação tabular que contém as variáveis, a frequência absoluta, a frequência relativa e, em alguns
casos, a frequência acumulada. A frequência absoluta ou frequência simples, denotada por 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Observe que uma tabela de frequências apresenta os valores observados da variável em estudo e suas
respectivas frequências, que podem representar tanto o valor individual quanto valores agrupados. Quando se
trata de variáveis quantitativas discretas, geralmente utilizamos tabelas de distribuição de frequência sem
agrupamentos; e, quando os dados são contínuos, utilizamos uma tabela de distribuição de frequência com
classe. A Tabela 2 mostra um exemplo.
Bloco 1
Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4
1 2 3 1
Bloco 2
Dia 5 Dia 6 Dia 7 Dia 8
1 2 2 2
Bloco 3
Dia 9 Dia 10
3 3
Tabela 2 | Número de acidentes em uma rodovia no período de dez dias. Fonte: elaborada pela autora.
 
Note que são dados discretos, então é possível construir uma tabela de frequência sem agrupar os dados em
classes. Considerando que a variável estudada é o número de acidentes que ocorrem por dia, veja a Tabela 3.
 
Número de acidentes Frequência absoluta 
 
Frequência relativa 
 
Frequência acumulada 
1 3
2 4
3 3
Tabela 3 | Tabela de frequência para o número de acidentes na rodovia. Fonte: elaborada pela autora.
 
fa
fr
fr = fa
n
fac
fa fr
fac
3
10 ⋅ 100 = 30% 30%
4
10 ⋅ 100 = 40% 40% + 30% = 70%
3
10 ⋅ 100 = 30% 30% + 70% = 100%
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Por outro lado, quando temos dados contínuos, podemos utilizar uma tabela de frequência com classe. Para
isso é preciso:
Determinar o número de classes, ou intervalos  . Esse número é dado pela raiz quadrada da
quantidade de dados  , isto é,  . O resultado dessa raiz di�cilmente dará um número inteiro,
assim a quantidade de classes será o maior valor inteiro mais próximo de 
Determinar a amplitude total do rol de dados  . Essa amplitude é dada pela diferença entre o maior
e o menor valor do conjunto de dados.
Determinar a amplitude do intervalo de classe  . Esse tamanho será dado pela razão entre a
amplitude total e o número de classes, isto é,  .
Determinar o limite das classes. O limite inferior será o valor mínimo do conjunto de dados, e o limite
superior será o limite inferior mais a amplitude do intervalo de classe. Repete-se esse processo até a
construção da última classe. Comumente utilizamos os seguintes símbolos para representar a classe: 
ou  . O símbolo   indica que o número à esquerda do traço está incluído no intervalo e o da direita,
não. Por sua vez, o símbolo  indica que o número à direita do traço está incluído no intervalo e o da
esquerda, não.
Determinar frequência absoluta, relativa e acumulada. Para determinar a frequência absoluta, temos
que contar quantos são os dados que pertencem ao intervalo de classe.
Siga em Frente...
Essas tabelas de frequência podem ser representadas gra�camente por meio dos histogramas. Para sua
construção, é necessário considerar se a distribuição de frequência é com ou sem classe. Se a distribuição é
sem classe, o histograma é um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordenadas
cartesianas, cuja base são os valores das variáveis e altura são valores proporcionais às frequências simples
correspondentes desses dados. A Figura 1 ilustra um histograma para uma distribuição de frequência sem
classe que consta na Tabela 3.
(k)
(n) k = √n
√n.
(AT )
(h)
h = AT
K
⊢ ⊣ ⊢
⊣
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Histograma. Fonte: elaborada pela autora.
Por outro lado, quando a distribuição de frequência é com classe, as hastes do histograma são justapostas,
isto é, não há espaço entre uma haste e outra. Além disso, as bases dessas hastes são os intervalos de
classe e a altura, a frequência absoluta relacionada a esses intervalos. O polígono de frequência é construído
a partir dos pontos médios de cada classe. Temos que considerar o espaçamento inicial e o �nal como sendo
classes �ctícias com frequência zero e unir os pontos médios das bases superiores desses retângulos,
obtendo assim um polígono de frequência.
Organizar os dados em tabelas de frequências e grá�cos é uma prática fundamental na análise de dados,
pois torna as informações mais claras, acessíveis e úteis para a tomada de decisões e uma comunicação
e�caz.
Vamos Exercitar?
Vamos retornar à nossa situação inicial e construir uma tabela de frequência com classes. Os dados
encontram-se na Tabela 4.
Bloco 1
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
1 1 6 5,9
1 1,2 6 6,2
2 3,2 6 6,7
2 3,3 7 6,9
3 3,4 7 7
3 3,5 7 7,1
4 4,3 8 7,8
4 4,7 8 7,9
5 4,9 9 8,9
5 5,1 9 9,5
Bloco 2
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
Idade
(em anos)
Altura
(em metros)
10 9,9 13 13,5
10 10,2 13 13,6
10 10,9 14 14
11 11,1 15 15,3
11 11,4 15 15,7
12 12,5 15 15,9
12 12,7 18 17,9
12 12, 8 19 18,9
12 12,9 20 19,9
12 13 20 21
Tabela 4 | Dados referentes à altura e à idade de árvores. Fonte: elaborada pela autora.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
Antes de começar a construir a tabela de frequência, é necessário veri�car se os dados estão organizados
em ordem crescente. Caso não estejam, organize-os antes de construir sua tabela de frequência.
a) A �m de elaborarmos nossa tabela de frequência, é essencial determinar o número de classes, a amplitude
de cada intervalo de classe, os limites inferiores e superiores de cada intervalo e, por último, calcular as
frequências absoluta, relativa e acumulada. O númerode classes será de�nido como a raiz quadrada da
quantidade total de dados. Como há 40 dados no exemplo, o número de classes será 
Bloco 1
  Classe 1 Classe 2 Classe 3
Limite Inferior
Limite superior
Bloco 2
Classe 4 Classe 5 Classe 6 Classe 7
Tabela 5 | Construção dos limites superiores e inferiores das classes. Fonte: elaborada pela autora.
 
Para os intervalos, utilizaremos o símbolo 
Altura Frequência absoluta 
 
Frequência relativa 
 
Frequência acumulada 
6
7
7
6
8
3
3
Tabela 6 | Tabela de frequência para a variável altura. Fonte: elaborada pela autora.
 
√40 ≅6,32
AT = 21 − 1 = 20
h = 20
7 ≅2,9
1 3,9 6,8
1 + 2,9 = 3,9 3,9 + 2,9 = 6,8 6,8 + 2,9 = 9,7
9,7 12,6 15,5 18,4
9,7 + 2,9 = 12,6 12,6 + 2,9 = 15,5 15,5 + 2,9 = 18,4 18,4 + 2,9 = 21,3
⊢
fa fr
fac
1 ⊢ 3,9 6
40 ⋅ 100 = 15% 15%
3,9 ⊢ 6,8 7
40 ⋅ 100 = 17,5% 32,5%
6,8 ⊢ 9,7 7
40 ⋅ 100 = 17,5% 50%
9,7 ⊢ 12,6 6
40 ⋅ 100 = 15% 65%
12,6 ⊢ 15,5 8
40 ⋅ 100 = 20% 85%
15,5 ⊢ 18,4 3
40 ⋅ 100 = 7,5% 92,5%
18,4 ⊢ 21,3 3
40 ⋅ 100 = 7,5% 100%
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
b) Como temos uma tabela de frequência com classe, as hastes que compõem o histograma devem estar
justapostas. Além disso, perceba que a altura começa a partir de 1, então a primeira haste não pode estar
colada no eixo y. O histograma para essa tabela de frequência está ilustrado na Figura 2.
Figura 2 | Histograma para a variável altura. Fonte: elaborada pela autora.
O polígono de frequência será construído a partir do ponto médio de cada classe, conforme ilustra a Figura 3.
Observe que a linha que forma o polígono deve começar e �nalizar no eixo x.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Polígono de frequência. Fonte: elaborada pela autora.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a construção de tabelas de frequência e
histogramas, sugerimos a leitura do capítulo 2 do livro Estatística. Ao �nal do capítulo, selecione alguns
exercícios e os resolva!
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
Aula 3
Medidas De Tendência Central
Medidas de tendência central
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! A condução de um estudo estatístico exige não apenas a coleta e a estruturação
dos dados, mas também a avaliação dessas informações, a qual pode ser realizada por meio da computação
de medidas de tendência central.
As três medidas de tendência central mais comuns são a média (ou média aritmética), a mediana e a moda, e
cada uma delas tem suas próprias aplicações e interpretações em contextos diferentes. Em resumo, essas
medidas desempenham um papel fundamental na análise estatística, ajudando a extrair informações
importantes dos dados e a tomar decisões informadas.
Com o intuito de ilustrar como esses conceitos podem ser aplicados, considere que você realizou uma
pesquisa em sua turma da faculdade a �m de analisar a altura dos colegas. Os resultados dessa pesquisa
encontram-se na Tabela 1.
Bloco 1
164 156 165 178
168 176 175 165
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u2a3_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Bloco 2
165 180 155 190
166 167 155 165
Bloco 3
167 169
170 178
Tabela 1 | Dados referentes à altura (cm). Fonte: elaborada pela autora.
 
Com base nesses dados, você quer determinar a altura média dos alunos da turma, bem como a altura
mediana e a moda das alturas. Para isso, precisamos entender como calcular essas medidas.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Sabemos que a organização de dados por meio de tabelas e grá�cos é fundamental em uma pesquisa
estatística. Agora, estudaremos uma forma suplementar de apresentar esses dados por meio das medidas
da tendência central.
Segundo Larson e Farber (2015, p. 55), “uma medida da tendência central é um valor que representa uma
entrada típica ou central do conjunto de dados”. As medidas mais utilizadas são a média, a moda e a
mediana. O cálculo dessas medidas pode auxiliar o pesquisador na análise dos dados, pois permite localizar
a maior concentração de valores de uma distribuição, ou seja, se os dados se concentram mais no início, no
meio ou no �nal. Logo, essas medidas viabilizam comparações entre conjuntos de dados.
A média aritmética, ou média simples, de um conjunto de dados (não agrupados) é o quociente entre a soma
de todos os dados, 
 
A notação utilizada anteriormente representa a média de uma amostra. Caso estejamos trabalhando com
uma população e precisemos determinar a média aritmética, utilizamos o mesmo cálculo, porém a média
populacional é representada da seguinte maneira:
Agora, exploraremos o processo de cálculo da média por meio do exemplo a seguir.
 
xi
n
−
x = 1
n ∑n
i=1 xi
μ = 1
n
∑n
i=1 xi
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Exemplo 1
Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente,
sempre no mesmo horário, durante 16 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de
procedimento é frequente, visto que os dados coletados servem de referência para estudos e veri�cação de
tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições desse período estão indicadas na Tabela 2.
Dia do mês Temperatura °C
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
31 21
Tabela 2 | Dados referentes à temperatura do ambiente. Fonte: elaborada pela autora.
 
Vamos determinar a temperatura média. Sabendo que a média é determinada pelo quociente entre a soma de
todos os valores e a quantidade total de dados, temos:
Logo, a temperatura média é de 17,25 °C.
Sabemos que a média aritmética de dados não agrupados pode ser calculada dividindo-se a soma de todos
os valores pelo número total de dados. É relevante destacar que se houver um valor extremamente
discrepante dos demais, a média simples será in�uenciada por esse valor atípico.
A média aritmética não é o único tipo de média que podemos calcular. Há, por exemplo, a média ponderada,
que considera que cada valor tem um peso diferente. Denotando o pesopor, 
−
x = 1
n
∑n
i=1 xi
−
x = 1
16 (15,5 + 14 + 13,5 + 18 + 19,5 + 20 + 13,5 + 13,5 + 18 + 20 + 18,5 + 13,5 + 21,5 + 20 +
−
x = 1
16 (276) = 276
16 = 17,25
p
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Esse tipo de média é muito utilizada no cálculo de notas, conforme mostra o exemplo a seguir.
 
Exemplo 2
Consideremos que um professor decida que haverá dois exames parciais, valendo cada um 30% da nota, e
um exame �nal, valendo 40%. Se um estudante obtém desempenho 70 na primeira avaliação, 65 na segunda
e 80 no exame �nal, a média ponderada das notas será:
Siga em Frente...
A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados e é denominado valor modal. Um
conjunto de dados pode ter mais de uma moda (multimodal) ou nenhuma moda (amodal). Para ilustrar o
cálculo da moda, consideraremos os dados do exemplo 1, que constam na Tabela 2. A moda é o valor que
mais se repete, logo a temperatura modal é 13,5 °C, pois essa aparece 4 vezes no conjunto de dados.
Por sua vez, a mediana é o valor que divide o conjunto de dados em duas partes iguais, ou seja, é o valor tal
que se encontra no centro do conjunto de dados. É importante lembrar que, para determinar a mediana, é
necessário que o conjunto de dados esteja ordenado. Se esse conjunto tem um número ímpar de dados, a
mediana é o valor central; porém, se o conjunto tem um número par de dados, a mediana é a média dos dois
valores centrais.
Considerando os dados do exemplo 1, vamos determinar a mediana desses dados. Para encontrarmos a
mediana, é necessário primeiro que ordenemos o conjunto de dados:
Bloco 1
13,5 13,5 13,5 13,5
Bloco 2
14 15,5 16 18
Bloco 3
18 18,5 19,5 20
Bloco 4
20 20 21 21,5
Tabela 3 | Conjunto de dados. Fonte: elaborada pela autora.
 
−
xp = ∑n
i=1 (xi⋅pi)
∑n
i=1 pi
−
xppond = 70⋅0,30+65⋅0,30+80⋅0,40
0,30+0,30+0,40 = 72,50
1,00 = 72,50
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Após ordenar os dados, temos que identi�car o valor os dois valores que se encontram no meio, visto que há
um número par de dados. Assim, a temperatura mediana será a média aritmética dos valores que se
encontram na oitava e na nona posição, isto é 
Quando se trata de um conjunto de dados unimodal, ou seja, com apenas uma moda, podemos utilizar as
medidas de tendência central para analisar se a distribuição de dados é assimétrica ou simétrica. Uma
distribuição é simétrica se o valor da média é igual ao da moda e igual ao da mediana; caso contrário, essa
distribuição é assimétrica. Se a média é maior que a mediana, e a mediana é maior que a moda, temos uma
distribuição assimétrica positiva. Se a média é menor que a mediana, e a mediana é menor que a moda,
temos uma distribuição assimétrica negativa, conforme ilustrado na Figura 1.
Figura 1 | Assimetria e simetria. Fonte: elaborada pela autora.
A correta determinação dessas medidas de tendência central ajuda o pesquisador a compreender os dados
de modo mais preciso. Com conhecimento da média, da mediana e da moda dos dados, é possível embasar
as decisões em informações concisas e pertinentes.
Vamos Exercitar?
Vamos retornar à nossa situação inicial e calcular as medidas de tendência central referentes às alturas da
turma. O primeiro passo é organizar os dados da Tabela 1 em ordem crescente (Tabela 3).
Bloco 1
155 155 156 164
18+18
2 = 18 °C
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
167 168 169 170
Bloco 2
165 165 165 165
175 176 178 178
Bloco 3
166 167
180 190
Tabela 3 | Dados ordenados referentes à altura (cm). Fonte: elaborado pela autora.
 
A média aritmética será dada pelo quociente entre a soma de todos os valores e a quantidade total de dados:
Logo, a altura média é 168,7 centímetros.
Agora, temos que determinar a mediana dos dados. Como há um número par de dados, a mediana é a média
aritmética dos dois dados que dividem o conjunto de dados em duas partes de mesmo tamanho, isto é, a
média aritmética entre os valores que se encontram nas posições 10 e 11:
Portanto, a mediana é 167 centímetros.
A moda é o dado que mais aparece no conjunto de dados; nesse caso, a moda é 165 centímetros, visto que
esse dado aparece 4 vezes no conjunto dos dados.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as medidas de tendência central, recomendamos
que você leia o capítulo 3 do livro Estatística. Ao �nal do capítulo, selecione alguns exercícios e os resolva!
 
−
x = 1
n
∑n
i=1 xi
−
x = 1
20 (155 + 155 + 156 + 164 + 165 + 165 + 165 + 165 + 166 + 167 + 167 + 168 + 169 + 170
−
x = 1
20 (3374) = 168,7
167+167
2 = 167
167+167
2 = 167
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023. 
Aula 4
Medidas De Dispersão
Medidas de dispersão
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Já estudamos as medidas de tendência central, que nem sempre conseguem
fornecer uma imagem completa de conjuntos de dados. Por exemplo, suponha que tenhamos três conjuntos
de dados, todos com uma média de 10. A questão é: essa média é representativa para todos esses conjuntos
de dados? Quando podemos considerar uma média como representativa em um conjunto de dados? Além
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u2a4_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
disso, quais ferramentas podem ser empregadas para complementar as medidas de tendência central na
descrição de um conjunto de dados?
Para auxiliar as medidas de tendência central na descrição de um conjunto, utilizamos também as medidas
de dispersão, voltadas a analisar a variabilidade dos dados no entorno da média aritmética. Veremos mais
detalhes sobre a amplitude, a variância, o desvio-padrão, o desvio médio e o coe�ciente de variação.
Com o intuito de ilustrar como esses conceitos podem ser aplicados, considere que uma pesquisa foi
realizada para analisar o salário anual de professores de escolas públicas e privadas. A Tabela 1 apresenta
uma amostra desses salários.
Bloco 1
Escolas privadas
Escolas públicas
Bloco 2
Bloco 3
Tabela 1 | Salários anuais dos professores. Fonte: elaborada pela autora.
 
Com basenesses dados, veri�que a amplitude de cada uma das amostras e qual amostra de salário é mais
homogênea.
Para determinarmos a amostra de salário mais homogênea, precisamos encontrar o desvio-padrão e a média
aritmética.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Você já estudou as medidas de tendência central: média aritmética, moda e mediana. Mas será que essas
medidas apenas são su�cientes para caracterizar um conjunto de dados? Para respondermos a essa
pergunta, vamos analisar os seguintes conjuntos de dados:
Bloco 1
Conjunto 1 1 2
Conjunto 2 5 5
Conjunto 3 10 10
Bloco 2
5 9
R$ 38.600 R$ 38.100 R$ 38.700
R$ 21.800 R$ 18.400 R$ 20.300
R$ 36.800 R$ 34.800 R$ 35.900 R$ 39.900
R$ 17.600 R$ 19.700 R$ 18.300 R$ 19.400
R$ 36.200
R$ 20.800
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
5 5
10 10
Bloco 3
9 10
7 10
10 10
Bloco 4
11 15
10 10
10 10
Bloco 5
15 17
10 10
10 10
Bloco 6
17 20
10 13
10 10
Bloco 7
   
13 13 15
10 10
Bloco 8
 
15 17  
10    
Tabela 2 | Conjunto de dados. Fonte: elaborada pela autora.
 
Observe que esses três conjuntos de dados têm média aritmética 10, porém apresentam características
diferentes no que se refere à variabilidade dos dados. No conjunto 3, não existe variabilidade dos dados, visto
que ele é formado apenas pelo valor 10. No conjunto 1, há muitos elementos diferentes da média 10 e, no
conjunto 2, a média 10 representa bem o conjunto de dados, mas existem elementos levemente
diferenciados. Assim, podemos concluir que a média 10 representa otimamente o conjunto de dados 3,
representa bem o conjunto de dados 2, porém não representa bem o conjunto de dados 1. Nesse sentido, faz-
se necessário conhecermos medidas que avaliem a representatividade da média.
Para tal, estudaremos as medidas de dispersão, que analisam a variabilidade dos dados no entorno da média.
Retomando nosso exemplo inicial, perceba que no conjunto 1 os dados estão dispersos em relação à média.
Já no conjunto 2, os dados se encontram nas proximidades da média e, no conjunto 3, não há dados
dispersos. Logo, temos conjuntos de dados com mesma média, mas com variabilidade diferentes.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
As principais medidas de dispersão são a amplitude total, a variância, o desvio-padrão e o coe�ciente de
variação.
A amplitude, 
Ao contrário da amplitude, as demais medidas de dispersão utilizam todos os dados do conjunto. Dentre
essas medidas, temos o desvio médio e o desvio-padrão. Segundo Silva et al. (2018, p. 68), “o conceito
estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância”. Podemos analisar a dispersão dos
dados no entorno da média por meio dos desvios de cada elemento do conjunto de dados em relação à
média desse conjunto. O desvio médio, , é de�nido como uma média aritmética dos desvios de cada
elemento do conjunto de dados. O desvio médio é dado por:
em que, 
Note que o desvio médio é in�uenciado por todos os elementos do conjunto de dados, o que o torna uma
medida estatística altamente sensível, uma vez que a alteração de um único valor no conjunto de dados
resulta em uma mudança no desvio médio. Apesar disso, uma das desvantagens de trabalhar com o desvio
médio é a necessidade de lidar com valores absolutos, visto que a diferença 
Siga em Frente...
A variância é uma média aritmética calculada com base nos quadrados dos desvios obtidos entre os
elementos do conjunto e sua média. Ao calcular a variância, é crucial considerar se o conjunto de dados
representa uma amostra ou uma população, uma vez que isso tem impacto direto no procedimento de
cálculo. A variância populacional é denotada por 
At
DMS =
∑n
i=0 xi−
−
x
n∣ ∣−
x
xi −
−
x
(xi −
−
x)
2
xi −
−
x∣ ∣(xi −
−
x)
2
σ2
σ2 = ∑n
i=0 (xi−μ)2
n
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Já a variância amostral é denotada por  e é dada por:
Quando calculamos a variância, elevamos ao quadrado a diferença 
E o desvio amostral é dado por:
Podemos dizer que quanto maior o desvio-padrão, maior a dispersão dos dados. Segundo Larson e Farber
(2015), a regra empírica nos mostra a importância do desvio-padrão, visto que com ele podemos analisar
distribuições aproximadamente simétricas e com curva em forma de sino. No caso de distribuições
simétricas com formato de curva de sino, o desvio-padrão apresenta as seguintes características:
Em torno de  dos dados estão dentro de um desvio-padrão em relação à média.
Em torno de  dos dados estão dentro de dois desvios-padrão em relação à média.
Em torno de  dos dados estão dentro de três desvios-padrão em relação à média.
A Figura 1 ilustra as características citadas anteriormente.
S 2 =
∑n
i=0 (xi−
−
x)
2
n−1
xi −
−
x
σ = √σ2 = √ ∑n
i=0 (xi−μ)2
n
S = √S 2 = √ ∑n
i=0 (xi−
−
x)
2
n−1
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Regra empírica para distribuição em forma de sino. Fonte: Larson e Farber (2015, p. 73).
Outra medida de dispersão é o coe�ciente de variação, que pode ser interpretado como a variabilidade dos
dados em relação à média e permite expressar a variabilidade dos dados sem a in�uência da ordem de
grandeza da variável. O coe�ciente de variação, 
No caso de lidarmos com uma população, ele será dado por:
O coe�ciente de variação é considerado uma medida de dispersão relativa, pois permite que se compare a
dispersão de diferentes distribuições, como diferentes médias e desvio-padrão. Quanto menor for o valor do
coe�ciente de variação, mais homogêneo é o conjunto de dados, isto é, os dados estão mais concentrados
em torno da média. Podemos dizer que se o coe�ciente de variação for menor que 
CV
CV = S
−
x
⋅ 100
CV = σ
μ ⋅ 100
15%
15%
30%
30%
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
As medidas estudadas nesta aula têm aplicações especí�cas e são úteis em diferentes situações, ajudando a
complementar as medidas de tendência central na análise estatística completa de um conjunto de dados. Em
resumo, as medidas de dispersão desempenham um papel fundamental na descrição e na interpretação de
dados estatísticos. 
Vamos Exercitar?
Vamos retornar à nossa situação inicial, calcular a amplitude de cada amostra da Tabela 1 (Tabela 3) e
analisar qual delas é mais homogênea.
Bloco 1
Escolas privadas
Escolas públicas
Bloco 2
Bloco 3
Tabela 3 – Salários anuais dos professores. Fonte: elaborada pela autora.
 
Denominaremos a amostra das escolas privadas AM1 e a das escolas públicas, AM2. A amplitude total de
cada amostra será dada pela diferença entre o menor e o maior valor. Assim teremos:
A �m de determinarmos qual amostra de dados é mais homogênea, temos que calcular o coe�ciente de
variação. Para tal, será necessário calcular o desvio-padrão amostral e a média amostral.
Passo 1: calcular a média aritmética de cada amostra.
 
R$ 38.600 R$ 38.100 R$ 38.700
R$ 21.800 R$ 18.400 R$ 20.300
R$ 36.800 R$ 34.800 R$ 35.900 R$ 39.900
R$ 17.600 R$ 19.700 R$ 18.300 R$ 19.400
R$ 36.200
R$ 20.800
AAM1 = 39900 − 34800 = 5100
AAM2 = 21800 − 17600 = 4200
= ∑xi
n
= 38600+38100+38700+36800+34800+35900+39900+36200
8xAM1
xAM1
= 299000
8 = 37375
= ∑xi
n
= 21800+18400+20300+17600+19700+18300+19400+20800
8xAM2
= 156300
8 = 19537,50xAM2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
AM2
R$ 21.800,00 R$ 2.262,50 5118906
R$ 18.400,00 -R$ 1.137,50 1293906
R$ 20.300,00 R$ 762,50 581406,3
R$ 17.600,00 -R$ 1.937,50 3753906
R$ 19.700,00 R$ 162,50 26406,25
R$ 18.300,00 -R$ 1.237,50 1531406
R$ 19.400,00 -R$ 137,50 18906,25
R$ 20.800,00 R$ 1.262,50 1593906
Passo 2 e 3: encontrar o quadrado dos desvios.
Para a amostra 1, temos:
AM1
R$ 38.600,00 R$ 1.225,00 1500625
R$ 38.100,00 R$ 725,00 525625
R$ 38.700,00 R$ 1.325,00 1755625
R$ 36.800,00 -R$ 575,00 330625
R$ 34.800,00 -R$ 2.575,00 6630625
R$ 35.900,00 -R$ 1.475,00 2175625
R$ 39.900,00 R$ 2.525,00 6375625
R$ 36.200,00 -R$ 1.175,00 1380625
Tabela 4 | Amostra 1. Fonte: elaborada pela autora.
 
Para a amostra 2, temos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi − xAM1 (xi − )
2
xAM1
xi − xAM2 (xi − )
2
xAM2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
 
Tabela 5 | Amostra 2. Fonte: elaborada pela autora.
 
Passo4: determinar o somatório dos quadrados dos desvios.
Para a amostra 1, temos:
Para a amostra 2, temos:
Passo 5: determinar a variância amostral.
Passo 6: determinar o desvio padrão amostral.
Agora temos que encontrar o coe�ciente de variação de cada amostra.
Observe que as duas amostras reúnem dados homogêneos, uma vez que os coe�cientes de variação são
menores do que 
∑(xi − )
2
= 1500625 + 525625 + 1755625 + 330625 + 6630625 + 2175625 + 6375625xAM1
∑(xi − )
2
= 5118906 + 1293906 + 581406,3 + 3753906 + 26406,25 + 1531406 + 18906xAM2
S 2
AM1 =
∑(xi− )
2
8−1 = 20675000
7 = 2953571,43
xAM1
S 2
AM2 =
∑(xi− )
2
8−1 = 13918550
7 = 1988392,86
xAM2
SAM1 = √S 2
AM1 = √2953571,43 = 1718,60
SAM2 = √S 2
AM2 = √1988392,86 = 1410,10
CVAM1 = SAM1 ⋅ 100 = 1718,60
37375 ⋅ 100 = 4,60%
xAM1
CVAM2 = SAM2 ⋅ 100 = 1410,1
19537,50 ⋅ 100 = 7,22%
xAM2
15%
CVAM1amostra.
120 120 125 126 129
130 135 145 145 150
150 150 155 158 159
160 170 189 200 201
210 210 215 218 219
230 235 240 250 270
Tabela 1 | Valores da amostra 1 (cm). Fonte: elaborada pela autora.
 
A Tabela 2 apresenta os valores da segunda amostra.
125 130 131 132 132
135 138 138 146 155
155 160 165 168 169
170 175 180 195 210
215 215 220 225 230
235 240 245 255 260
Tabela 2 | Valores da amostra 2 (cm). Fonte: elaborado pela autora.
 
Seu trabalho é elaborar um relatório preliminar sobre esses dados. É importante que você apresente os dados
de forma organizada e forneça medidas estatísticas a �m de embasar alguns resultados iniciais sobre o
experimento. Pensando nisso, você decidiu que seu relatório deveria conter:
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Tabelas de distribuição de frequência com classe das duas amostras.
Histogramas das tabelas de distribuição de frequência.
Medidas de tendência central das amostras sem agrupar os dados.
Medidas de dispersão das amostras sem agrupar os dados.
Determinação de qual amostra apresenta a maior variabilidade dos dados.
A elaboração desse relatório demandará a utilização de diferentes conceitos estatísticos; então, antes de
começar, re�ita sobre quais conceitos você utilizará.
Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados nesta unidade podem ser
aplicados, convidamos você a re�etir sobre duas questões:
a. De que maneira a estatística descritiva pode ser bené�ca para solucionar desa�os em seu campo de
atuação?
b. De que forma a análise e a interpretação de dados provenientes de pesquisas estatísticas podem
contribuir para o processo de tomada de decisão?
Vamos iniciar a elaboração do relatório construindo a tabela de distribuição de frequência com classe, o
histograma e as medidas de tendência central e as medidas de dispersão para cada uma das amostras.
 
Amostra 1
Para a construção da tabela de distribuição de frequência, precisamos encontrar a quantidade de classes, a
amplitude de cada intervalo de classe, os limites inferiores e superiores de cada intervalo e, por �m, as
frequências absoluta, relativa e acumulada.
Ambas as tabelas terão 6 classes, visto que  . Considerando esse número de classes e que a
amplitude total da amostra 1 é  , a amplitude de cada classe para a amostra 1 será 
. A Tabela 3 mostra a distribuição de frequência para a amostra 1.
Altura
Frequência
absoluta 
 
Frequência
relativa 
 
Frequência
acumulada 
7
9
2
7
3
2
Tabela 3 | Tabela de frequência para a amostra 1. Fonte: elaborada pela autora.
 
A Figura 1 mostra o histograma para a amostra 1.
√30 ≅5,5
270 − 120 = 150
h = 150
6 = 25
fa fr fac
120 ⊢ 145 23,3% 23,3%
145 ⊢ 170 30% 53,3%
170 ⊢ 195 6,7% 60%
195 ⊢ 220 23,3% 83,3%
220 ⊢ 245 10% 93,3%
245 − 270 6,7% 100%
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Histograma para a amostra 1. Fonte: elaborada pela autora.
Agora, é necessário calcular as medidas de tendência central. A média aritmética será determinada pela
divisão da soma das alturas, de acordo com a Tabela 1, pela quantidade total de dados, que, nesse caso,
corresponde a 30. Logo, a média será:
A moda da amostra 1 é a altura de 150 centímetros, visto que essa altura aparece 3 vezes no conjunto de
dados. Como temos uma quantidade par de dados, a mediana será a média aritmética entre os valores que
ocupam as posições 15 e 16:
Falta calcularmos as medidas de dispersão. Para isso, precisamos do quadrado dos desvios (Tabela 4).
Altura    
120 -57,13 3264,22
120 -57,13 3264,22
125 -52,13 2717,88
126 -51,13 2614,62
129 -48,13 2316,82
130 -47,13 2221,55
135 -42,13 1775,22
145 -32,13 1032,55
145 -32,13 1032,55
150 -27,13 736,22
150 -27,13 736,22
150 -27,13 736,22
155 -22,13 489,88
−
x1 = ∑xi
n
= 5314
30 = 177,14
md = 159+160
2 = 319
2 = 159,5
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
158 -19,13 366,08
159 -18,13 328,82
160 -17,13 293,55
170 -7,13 50,88
189 11,87 140,82
200 22,87 522,88
201 23,87 569,62
210 32,87 1080,22
210 32,87 1080,22
215 37,87 1433,88
218 40,87 1670,08
219 41,87 1752,82
230 52,87 2794,88
235 57,87 3348,55
240 62,87 3952,22
250 72,87 5309,55
270 92,87 8624,22
Tabela 4 | Quadrado dos desvios da amostra 1. Fonte: elaborada pela autora.
 
A variância amostral será dada por:
O desvio-padrão amostral será:
O coe�ciente de variação será:
Amostra 2
A tabela de distribuição de frequência da amostra 2 tem 6 classes, e sua amplitude total é 
. A amplitude de cada classe para a amostra 1 será  . Assim, a Tabela 5 mostra a
distribuição de frequência para a amostra 2.
Altura
Frequência
absoluta 
 
Frequência
relativa Frequência
acumulada 
9
6
3
2
6
4
Tabela 5 | Tabela de frequência para a amostra 2. Fonte: elaborada pela autora.
 
 
A Figura 2 mostra o histograma para a amostra 2.
S 2
1 =
∑(xi−
−
x1)
2
30−1 = 562257,47
29 = 1939,91
S1 = √S 2
1 = √1939,91 = 44,04
CV1 = S1
−
x1
⋅ 100 = 44,04
177.14 ⋅ 100 = 37,60%
260 − 125 = 135
h = 135
6 = 22,5
fa
fr
fac
125 ⊢ 147,5 30% 30%
147,5 ⊢ 170 20% 50%
170 ⊢ 192,5 10% 60%
192,5 ⊢ 215 6,7% 66,7%
215 ⊢ 237,5 20% 86,7%
237,5 − 260 13,3% 100%
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 2 | Histograma para a amostra 2. Fonte: elaborada pela autora.
Agora, é necessário calcular as medidas de tendência central. A média aritmética será determinada pela
divisão da soma das alturas, de acordo com a Tabela 2, pela quantidade total de dados, que, nesse caso,
corresponde a 30. Logo, a média será:
A amostra 2 tem mais de uma moda, visto que os valores aparecem duas vezes no conjunto de dados. As
modas são 132 centímetros, 138 centímetros, 155 centímetros e 215 centímetros. Como temos uma
quantidade par de dados, a mediana será a média aritmética entre os valores que ocupam as posições 15 e
16:
Falta calcularmos as medidas de dispersão. Para isso, precisamos do quadrado dos desvios (Tabela 6).
Altura    
125 -56,63 3207,33
130 -51,63 2666,00
131 -50,63 2563,73
132 -49,63 2463,47
132 -49,63 2463,47
135 -46,63 2174,67
138 -43,63 1903,87
138 -43,63 1903,87
146 -35,63 1269,73
155 -26,63 709,33
155 -26,63 709,33
160 -21,63 468,00
−
x2 = ∑xi
n
= 5449
30 = 181,63
md = 169+170
2 = 339
2 = 169,5
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
165 -16,63 276,67
168 -13,63 185,87
169 -12,63 159,60
170 -11,63 135,33
175 -6,63 44,00
180 -1,63 2,67
195 13,37 178,67
210 28,37 804,67
215 33,37 1113,33
215 33,37 1113,33
220 38,37 1472,00
225 43,37 1880,67
230 48,37 2339,33
235 53,37 2848,00
240 58,37 3406,67
245 63,37 4015,33
255 73,37 5382,67
260 78,37 6141,33
Tabela 6 | Quadrado dos desvios da amostra 2. Fonte: elaborada pela autora.
 
A variância amostral será dada por:
O desvio-padrão amostral será:
O coe�ciente de variação será:
Comparando os coe�cientes de variação, temos que os dados da amostra 1 são mais dispersos que os da
amostra 2, visto que,  ; ou seja, os dados da amostra 2 são mais homogêneos do que os da
amostra 1.
Com base na análise das médias das duas amostras, podemos dizer que as plantas cultivadas com o
componente químico apresentam uma altura média maior do que as plantas que não receberam esse
componente.
Ao explorar o campo da estatística descritiva, é essencial que você tenha um domínio dos principais
conceitos envolvidos. A Figura 3 ilustra quais são esses conceitos.
S 2
2 =
∑(xi−
−
x2)
2
30−1 = 54002,97
29 = 1862,17
S2 = √S 2
2 = √1862,17 = 43,15
CV2 = S2
−
x2
⋅ 100 = 43,15
181,63 ⋅ 100 = 23,76%
CV1 > CV2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Conceitos da estatística descritiva. Fonte: elaborada pela autora.
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acessoem: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023. 
,
Unidade 3
Probabilidade
Aula 1
Introdução à Probabilidade
Introdução à probabilidade
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Qual é a probabilidade de ser atingido por um raio em comparação com a de
ganhar na Mega Sena? Embora possa soar como uma piada, a realidade é que o primeiro evento é mais
provável do que o segundo. As chances de acertar as seis dezenas na Mega Sena são aproximadamente uma
em 50 milhões, enquanto as chances de ser atingido por um raio ao longo da vida são uma em 1 milhão, de
acordo com o Grupo de Eletricidade Atmosférica (ELAT).
A chance de ocorrência de determinado evento é mensurada pela probabilidade. Trata-se de uma área
fundamental da matemática e da estatística que se concentra em quanti�car e entender a incerteza em
situações que envolvem aleatoriedade. A teoria da probabilidade é amplamente usada em diversas áreas,
como estatística, ciências naturais, engenharia, economia, jogos de azar, previsão do tempo e muito mais,
para tomar decisões informadas em face de incertezas. Ela fornece uma estrutura matemática para lidar com
a aleatoriedade e é essencial para a modelagem e a análise de eventos e processos estocásticos.
Nesta aula, estudaremos as noções básicas que envolvem a probabilidade. A �m de entender como podemos
aplicar esse conceito, suponha uma empresa de peças automobilística esteja realizando um teste de
qualidade; para isso, selecionou um lote formado por 100 peças boas, 8 com defeitos e 3 com defeitos
graves. Sabendo que uma peça é escolhida aleatoriamente, indique a probabilidade de que:
a. Ela não tenha defeitos graves.
b. Ela não tenha defeitos.
c. Ela seja boa ou tenha defeitos graves.
Se retirarmos duas peças ao acaso, indique a probabilidade de que:
a. Ambas sejam perfeitas.
b. Pelo menos uma seja perfeita.
c. Nenhuma tenha defeito grave.
d. Nenhuma seja perfeita.
Para estabelecer essas probabilidades, é necessário examinar como calcular a probabilidade da ocorrência
de um evento especí�co.
Bons estudos!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u3a1_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Vamos Começar!
O estudo da probabilidade como ramo da matemática tem raízes que remontam a mais de três séculos, e sua
origem está ligada a problemas relacionados a jogos de azar. O conceito de probabilidade diz respeito à
análise da aleatoriedade e da incerteza. Sempre que estamos diante de uma situação que envolve múltiplos
desfechos, a teoria de probabilidade fornece ferramentas para quanti�car as probabilidades ou as
possibilidades ligadas a esses diferentes desfechos (Devore, 2018).
Por exemplo, ao jogar um dado não viciado, a probabilidade de cair a face com o número 2 é de
aproximadamente 0,17%. Como podemos determinar esse valor? Antes precisamos entender alguns
conceitos. A ação de jogar o dado é denominada experimento. Segundo Larson e Farber (2015, p. 125, grifo
nosso), “um experimento probabilístico é uma ação, ou tentativa sujeita à lei do acaso, pela qual resultados
especí�cos (contagens, medições ou respostas) são obtidos”.
Ao lançar um dado não viciado, as opções para as faces que �carão voltadas para cima são: a face com o
número 1, a face com o número 2, a face com o número 3, a face com o número 4, a face com o número 5 e a
face com o número 6. Em outras palavras, ao lançar um dado, temos 6 possibilidades de faces voltadas para
cima. A todas essas possibilidades damos o nome de espaço amostral, descrito por Larson e Farber (2015, p.
125) como “o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico”. Geralmente
denotamos o espaço amostral pela letra grega 
Quando expressamos o desejo de calcular a probabilidade de que a face com o número 2 seja a que apareça,
estamos examinando uma das seis possibilidades existentes no espaço amostral. Nesse contexto,
consideramos que a ocorrência da face com o número 2 constitui um evento. “Um evento é um subconjunto
do espaço amostral. Ele pode consistir em um ou mais resultados” (Larson; Farber, 2015, p. 125, grifo nosso).
A abordagem empregada para calcular uma probabilidade está relacionada ao tipo especí�co de
probabilidade em questão. Existem três categorias principais: probabilidade clássica, probabilidade empírica
e probabilidade subjetiva. A probabilidade de um evento A é representada como P(A) e pronunciada como
“probabilidade do evento A” (Larson; Farber, 2015). Vamos direcionar nossa atenção para a probabilidade
clássica, também conhecida como probabilidade teórica, aplicada quando todos os resultados em um
espaço amostral têm a mesma probabilidade de ocorrência. A probabilidade clássica para um evento A é
dada por:
No caso do exemplo do dado, temos que 
Ou, em porcentagem, 17%.
Ω
P(A) = número  de   resultado   do   evento  A
número  total   de   resultados   do  espaço  amostral = n(A)
n(Ω)
n(Ω) = 6
n(A) = 1
P(A) = 1
6 ≈ 0,17
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
É importante notar que a probabilidade não pode assumir valores negativos nem superar 1. Em outras
palavras, a probabilidade de ocorrência de um evento A deve estar no intervalo de 0 a 1, 
A soma das probabilidades de todos os eventos em um espaço amostral resulta em 1 ou 100%. Um aspecto
relevante disso é que, quando temos a probabilidade de um evento A, podemos calcular a probabilidade do
complemento desse evento. O complemento do evento A corresponde ao conjunto de todos os resultados no
espaço amostral que não fazem parte do evento A.
Por exemplo, se jogarmos um dado e o evento A for “o número é menor que 5”, o complemento desse evento
será “o número é maior ou igual a 5”. Em símbolos, temos: 
Utilizando o fato de que a soma das probabilidades de todos os eventos é 1, podemos determinar a
probabilidade de 
Siga em Frente...
Com base nos conceitos vistos até o momento, vamos resolver o exemplo 1.
 
Exemplo 1
Três cavalos (A, B e C) estão em uma corrida. A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar que B, e B
tem duas vezes mais probabilidades de ganhar que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um?
Temos os seguintes eventos:
A = o cavalo A vencer.
B = o cavalo B vencer.
C = o cavalo C vencer.
0 ≤ P(A) ≤ 1
0 ≤ P(A) ≤ 100%
A = {1,2, 3,4}
A' = {5,6}
A'
P(A) + P(A') = 1
P(A') = 1 − P(A)
P(A') = 1 − 4
6 = 2
6 = 1
3
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Sabemos que A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar que B, isto é, 
Logo, 
No contexto da probabilidade, existem axiomas fundamentais que desempenham um papel crucial quando se
trata de assegurar a coerência e o respeito às propriedades matemáticas fundamentais das probabilidades
calculadas. Esses axiomas estabelecem o alicerce teórico indispensável para a aplicação da teoria da
probabilidade em contextos práticos, tais como previsões de eventos, avaliação de riscos e processos
decisórios. São axiomas da probabilidade:
Se dois eventossão mutuamente exclusivos, ou seja, não apresentam nenhuma dependência, então a
probabilidade de um ou outro acontecer é a soma de suas probabilidades individuais: 
.
Com base nesses axiomas, podemos estabelecer os seguintes teoremas:
A probabilidade do conjunto vazio é zero: 
A probabilidade do complementar é dada por 
A probabilidade da reunião de dois eventos é dada por 
P(A) = 2P(B)
P(B) = 2P(C)
P(C)
P(C) = x
P(B) = 2P(C) = 2x
P(A) = 2P(B) = 2 ⋅ 2x = 4x
P(A) + P(B) + P(C) = 1
4x + 2x + x = 1
7x = 1
x = 1
x
P(C) = 1
7
P(B) = 2
7
P(A) = 4
7
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(∅) = 0
P(A') = 1 − P(A)
(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Quando lidamos com dois eventos, eles podem ser categorizados como independentes ou dependentes.
Eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles não tem impacto na ocorrência
do outro. Por exemplo, lançar uma moeda ao ar pode resultar em cara em uma ocasião, e esse resultado não
está relacionado ao resultado anterior. Dois eventos, quando são mutuamente exclusivos, dependem um do
outro para ocorrer, portanto são denominados eventos dependentes. Tomando como exemplo um jogo de
cartas de baralho, se você retirar um rei de espadas na primeira tentativa, a probabilidade de retirar um rei de
espadas na segunda tentativa será nula, uma vez que não há mais reis de espadas no baralho. Portanto, a
probabilidade de retirar uma carta especí�ca na segunda tentativa está condicionada à carta retirada na
primeira tentativa, tornando esses eventos dependentes.
A probabilidade condicional é frequentemente confundida com a probabilidade de ocorrência de eventos
dependentes. A diferença é que nos eventos dependentes estuda-se a probabilidade de ocorrências de
ambos e os eventos são mutuamente exclusivos, como no exemplo anterior (Virgillito, 2017). A probabilidade
condicional também estuda a ocorrência de ambos os eventos, mas desde que um deles tenha ocorrido e
será dada por:
Lê-se: a probabilidade de o evento A acontecer se o evento B já tiver ocorrido. Quando lidamos com dois
eventos independentes e desejamos calcular a probabilidade de ambos ocorrerem simultaneamente,
podemos aplicar a regra da multiplicação, que estabelece que 
Vamos analisar um problema em que é necessário empregar a probabilidade condicional.
 
Exemplo 2
Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Desses alunos, 100 são homens e
150 são mulheres, 110 cursam Física e 140 cursam Química. A Tabela 1 sintetiza a distribuição dos alunos.
Sexo Física Química Total
Homem 40 60 100
Mulher 70 80 150
Total 110 140 250
Tabela 1 | Informações dos alunos. Fonte: elaborada pela autora.
 
Considerando que um aluno é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de que esteja cursando Física e seja
mulher?
Vamos considerar que A seja o evento “cursar Física” e B seja o evento “ser mulher”. Assim, para encontrar a
probabilidade de que um aluno esteja cursando Física e seja uma mulher, você pode usar a fórmula da
probabilidade condicional:
P(A/B) = P(A∩B)
P(B)             ou     P(A ∩ B) = P(A/B) ⋅ P(B)
(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Primeiramente temos que determinar a probabilidade de cursar Física e ser mulher. De acordo com a Tabela
1, há 70 mulheres cursando Física. Agora, precisamos analisar a probabilidade de um aluno ser mulher, que é
150. Assim, a probabilidade de escolher um aluno que cursa Física e seja mulher é:
Observe que o estudo da probabilidade condicional é crucial para lidar com a incerteza e a dependência entre
eventos em uma ampla variedade de contextos, desde a ciência até a vida cotidiana, e é uma ferramenta
fundamental para a tomada de decisões informadas.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conheceu os princípios básicos da probabilidade e da probabilidade condicional, vamos
retomar nossa situação inicial. Considerando um lote de peças formado por 111 peças — 100 boas, 8 com
defeitos e 3 com defeitos graves —, temos que determinar a probabilidade de alguns eventos. Sabendo que
uma peça é escolhida aleatoriamente, vamos determinar a probabilidade de que:
a) Ela não tenha defeitos graves.
Queremos determinar a probabilidade de que uma peça não tenha defeito grave (evento A), ou seja, a peça
pode ser boa ou ter defeitos, logo são 108 peças possíveis dentre as 111 peças do lote. Assim, a
probabilidade será:
Ou seja, a probabilidade de que a peça não tenha defeitos graves é de aproximadamente 97%.
b) Ela não tenha defeitos.
Queremos determinar a probabilidade de que uma peça não tenha defeito (evento B), ou seja, a peça deve ser
boa, logo são 100 peças possíveis dentre as 111 peças do lote. Assim, a probabilidade será:
Ou seja, a probabilidade de que a peça não tenha defeitos é de aproximadamente 90%.
c) Ela seja boa ou tenha defeitos graves.
Nesse caso, temos duas opções: a peça ser boa (evento B) ou ter defeitos graves (evento C). A probabilidade
de um dos dois eventos ocorrer será dada pela soma de cada um dos eventos, visto que são eventos
mutuamente exclusivos.
P(A/B) = P(A∩B)
P(B)
P(A/B) = P(A∩B)
P(B) = 70
150 = 7
15 ≈ 0,47      ou   47%
P(A) = 108
111 = 36
37
P(A) = 108
111 = 36
37
P(B) = 100
111
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) = 100
111 + 3
111 = 103
111
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Ou seja, a probabilidade de que a peça seja boa ou tenha defeitos graves é de aproximadamente 93%.
Agora vamos considerar que sejam retiradas duas peças ao acaso, para determinar a probabilidade de que:
a) Ambas sejam perfeitas.
Temos que determinar a probabilidade de que tanto a primeira peça quanto a segunda sejam perfeitas. Um
ponto importante que devemos considerar é que ao, retirarmos a primeira peça, nosso espaço amostral
diminui uma unidade, visto que não há reposição de peças. Sabemos que a probabilidade de a peça ser
perfeita, ou seja, ser boa, é 
Ou seja, a probabilidade de que ambas as peças sejam perfeitas é de aproximadamente 81%.
b) Pelo menos uma seja perfeita.
Queremos a probabilidade de que pelo menos uma peça seja perfeita, o que nos leva às seguintes
possibilidades:
A primeira peça é boa e a segunda peça é boa:
A primeira peça é boa e a segunda peça tem defeito (evento D): 
A primeira peça é boa e a segunda tem defeito grave:
A primeira peça tem defeito grave e a segunda peça é boa:
A primeira peça tem defeito e a segunda peça é boa: 
Somando essas probabilidades, teremos a probabilidade de que pelo menos uma seja perfeita:
Ou seja, a probabilidade que pelo menos uma peça seja perfeita é de aproximadamente 99%.
P(B) = 100
111
P(B e B) = 100
111 ⋅ 99
110 = 9900
12210 = 30
37
P(B e B) = 100
111 ⋅ 99
110 = 9900
12210 = 30
37
P(B e D) = 100
111 ⋅ 8
110 = 800
12210 = 80
1221
P(B e C) = 100
111 ⋅ 3
110 = 300
12210 = 10
407
P(C e B) = 3
111 ⋅ 100
110 = 300
12210 = 10
407
P(D e B) = 8
111 ⋅ 100
110 = 800
12210 = 80
1221
30
37 + 80
1221 + 10
407 + 10
407 + 80
1221 = 110
111
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
c) Nenhuma tenha defeito grave.
Queremos a probabilidade de que nenhuma peça tenha defeito grave, o que nos leva às seguintes
possibilidades:
A primeira peça é boa e a segunda peça é boa:
A primeira peça é boa e a segunda peça tem defeito (evento D):
A primeira peça tem defeito e a segunda peça é boa:
A primeira peça tem defeito e a segunda peça tem defeito: 
Somando essas probabilidades teremos a probabilidade de nenhuma peça ter defeito grave:
Ou seja, a probabilidade de que nenhuma peça tenha defeito grave é de aproximadamente 95%.
d) Nenhuma seja perfeita.
Queremos a probabilidade de que nenhuma peça seja boa, o que nos leva às seguintes possibilidades:
A primeira peça tem defeito a segunda peça tem defeito (evento D): 
A primeira peça tem defeito e a segunda peça tem defeito grave: 
A primeira peça tem defeito grave e a segunda peça tem defeito:
A primeira peça tem defeito grave a segunda peça tem defeito grave:
P(B e B) = 100
111 ⋅ 99
110 = 9900
12210 = 30
37
P(B e D) = 100Em linhas gerais, a potenciação é uma operação matemática em que multiplicamos um número por ele
mesmo sucessivas vezes.
De modo abreviado, podemos escrever essa multiplicação da seguinte forma (lemos: três elevado à oitava
potência, ou três elevado a oito). Chamamos o número 3 de base e o número 8 de expoente.
Por de�nição, temos que: dado um número real a e um número natural , chamamos de potência de base a e
expoente n o número , sendo o expoente o número de vezes que a base é multiplicada por ela mesma
(Hazzan, 2021). Observe a Figura 5.
1
9
1
4 + 1
9 = 13
36
4
7
13
36   de   4
7
13
36 ⋅ 4
7 = 13
63
13
63
4
7
4
7 − 13
63 = 23
63
23
63
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 5 | Potenciação. Fonte: elaborada pela autora.
Por exemplo,
Vimos até o momento potências com a base positiva, porém pela de�nição a base pode ser um número real;
logo, a base pode ser um número inteiro negativo. Vamos analisar os seguintes exemplos:
Perceba que o resultado da potenciação cuja base é negativa e cujo expoente é par é um valor positivo
(Figura 6).
45 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 1024
23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
(−4)2 = +16
(−4)3 = −64
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 6 | Exemplo de potenciação. Fonte: elaborada pela autora.
Quando a base é negativa e o expoente é ímpar, temos um resultado negativo (Figura 7).
Figura 7 | Exemplo de potência. Fonte: elaborada pela autora.
Assim, em uma potência cuja base é um número inteiro, temos que:
Se a base é positiva, o resultado é um número positivo.
Se a base é negativa, o resultado é positivo quando o expoente é par, e negativo quando o expoente é
ímpar.
Quando estiver resolvendo uma potência de base negativa, �que atento aos parênteses, pois isso altera o
resultado. Vamos analisar o seguinte exemplo:
Quando escrevemos -5², a base é 5; isto é, o número que está sendo multiplicado por ele mesmo é o 5, logo
Agora, quando estamos realizando a operação (-5)², a base é o número -5, logo
Você pode se perguntar: e quando a base é uma fração? A operação segue as mesmas propriedades de
quando a base é um número inteiro. Lembre-se que o expoente indica quantas vezes a base é multiplicada
por ela mesma, e nesse caso a base é uma fração, logo teremos que utilizar a operação de multiplicação de
frações. Veja os exemplos:
−52 ≠ (−5)2
−52 = −(5 ⋅ 5) = −25
(−5)2 = (−5) ⋅ (−5) = 25
( 1
2 )
3
= 1
2 ⋅ 1
2 ⋅ 1
2 = 1
8
(− 2
3 )
3 = − 2
3 ⋅ − 2
3 ⋅ − 2
3 = − 8
27
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Conforme vimos, o expoente de uma potência deve ser um número natural, logo ele pode assumir os valores
1 e 0. Nesses casos, temos que:
Toda potência cuja base é um número inteiro e o expoente é 1, o resultado é igual à própria base.
Toda potência cuja base é um número inteiro não nulo e o expoente é 0, o resultado é igual a 1.
 
Propriedades da potenciação
Quando falamos em potenciação, não podemos deixar de explorar as propriedades que envolvem esse
conceito. Para isso considere que m e n são dois números naturais e a e b, dois números reais diferentes de
zero (Quadro 1).
Nome da propriedade Propriedade Exemplo
Multiplicação de potência de mesma
base
Divisão de potência de mesma base
 
 
Potência de uma potência
Potência de um produto
Potência de um quociente
Potência de expoente inteiro
 
 
Quadro 1 | Propriedades da potenciação. Fonte: elaborado pela autora.
Radiciação
A raiz de um número real a que tenha como índice um número natural n > 1 pode ser representada como
mostra a Figura 8.
Figura 8 | Radiciação. Fonte: elaborada pela autora.
Por de�nição, temos que:
am ⋅ an = am+n 23 ⋅ 25 = 23+5 = 28
am
an
= am−n
45
44 = 45−4 = 41 = 4
(am)n = am⋅n (23)
2 = 23⋅2 = 26 = 64
(a ⋅ b)n = an ⋅ bn (2 ⋅ 5)3 = (2)3 ⋅ (5)3 = 8 ⋅ 125
(a ÷ b)n = an ÷ bn ( 5
4 )
3 = (5)3
(4)3 = 125
64
a−n = 1
an = ( 1
a )
n
2−3 = 1
23
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Logo, quando vamos calcular a raiz enésima de um número a, buscamos um número b que quando elevado
ao índice n resulta no radicando a.
Por exemplo:
Ao falarmos em radiciação, temos que nos atentar para um caso especial, em que o índice da raiz é um
número par e o radicando é um número inteiro negativo. Nesses casos, a operação de radiciação não é
de�nida, pois estamos trabalhando no conjunto dos números reais, e nesse conjunto não é possível encontrar
um valor b de tal forma que quando elevado ao índice par resulte em um radical negativo. Quando temos um
índice ímpar, conseguimos calcular normalmente a raiz mesmo o radicando sendo um número negativo; por
exemplo:
Propriedades da radiciação
Vamos conhecer algumas propriedades que podem auxiliar nos cálculos que envolvem essa operação. Para
isso, considere n um número natural maior que 1 a um número real positivo (Quadro 2).
Nome da
propriedade Propriedade Exemplo
Raiz de uma
potência
Potência de uma
raiz
Quadro 2 | Propriedades da radiciação. Fonte: elaborado pela autora.
Simpli�cação de radicais por meio da fatoração
Podemos utilizar a decomposição em números primos para simpli�car e, em alguns casos, até mesmo
eliminar radicais. Para isso, primeiro decompomos o radical em fatores primos utilizando a fatoração e,
depois, simpli�camos os expoentes divisíveis pelo índice da raiz. Vamos calcular a raiz quadrada do número
512. O primeiro passo é decompor o número em fatores primos (Figura 9).
n√a = b ⟺ bn = a
√9 = 3,   pois  32 = 9
3√27 = 3,   pois  33 = 27
4√16 = 2,   pois  24 = 16
3√−8 = −2  pois  (−2)3 = −8
5√−3125 = −5  pois  (−5)5 = −3125
n√am = a
m
n
4√25 = 2
5
4
( n√a)
m
= n√am(√4)
3
= √43
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 9 | Fatoração do número 512. Fonte: elaborada pela autora.
Agora vamos reescrever nossa raiz e utilizar as propriedades:
√512 = √29 = √28 ⋅ 2 = √28 ⋅ √2 = 2
8
2 ⋅ √2
= 24√2 = 16√2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
O entendimento das propriedades associadas à potenciação e à radiciação é de extrema importância para
solucionar uma variedade de problemas matemáticos. Portanto, é fundamental que você esteja familiarizado
com todas essas propriedades.
Vamos Exercitar?
Como você já adquiriu conhecimento acerca das propriedades de frações, potenciação e radiciação,
podemos agora resolver nossa situação inicial, que consiste em encontrar a idade do pai de João sabendo
que a idade de João é 
A �m de encontrarmos a idade de João, primeiramente temos que determinar qual é a raiz quadrada de 1024,
isto é, 
1
4
3
9
√1024
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 10 | Fatoração do número 1024. Fonte: elaborada pela autora.
Reescrevendo a raiz, temos:
√1024 = √210 = 2
10
2 = 25 = 32
√1024 = √210 = 2
10
2 = 25 = 32
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
A idade de João é dada por 
 de 
, ou seja:
Portanto, João tem 8 anos. A idade de seu pai é igual ao inverso do cubo de 
 mais a idade de João. Primeiramente, temos que encontrar o cubo de 
, isto é:
O inverso de 
 é 27. Assim, a idade do pai de João é 
anos.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de fração, indicamos a leitura do capítulo 1
(Operações com números naturais e fracionários) do livro Matemática básica: para administração, economia,
1
4
 √1024
1
4
 √1024
1
4   de  32 = 1
4 ⋅  32 = 32
4 = 8
1
4   de  32 = 1
4 ⋅  32 = 32
4 = 8
3
9
3
9
3
9
3
9
( 3
9 )
3
= 33
93 = 27
729 = 1
27
( 3
9 )
3
= 33
93 = 27
729 = 1
27
1
27
27 + 8 = 35 
1
27
27 + 8 = 35 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
contabilidade e negócios. Selecione alguns exercícios das seções 1.3 e 1.4 e os faça. Ao �nal da seção, você
pode encontrar as respectivas respostas.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos111 ⋅ 8
110 = 800
12210 = 80
1221
P(D e B) = 8
111 ⋅ 100
110 = 800
12210 = 80
1221
P(D e D) = 8
111 ⋅ 7
110 = 56
12210 = 28
6105
30
37 + 80
1221 + 80
1221 + 28
6105 = 1926
2035
P(D e D) = 8
111 ⋅ 7
110 = 56
12210 = 28
6105
P(D e C) = 8
111 ⋅ 3
110 = 24
12210 = 4
2035
P(C e D) = 3
111 ⋅ 8
110 = 24
12210 = 4
2035
P(C e C) = 3
111 ⋅ 2
110 = 6
12210 = 1
2035
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Somando essas probabilidades, teremos a probabilidade de nenhuma peça ser perfeita:
Ou seja, a probabilidade de que nenhuma peça seja perfeita é de aproximadamente 0,90%.
É importante notar que os problemas de probabilidade frequentemente requerem uma interpretação
cuidadosa. Portanto, ao enfrentar esses problemas, é fundamental ler com atenção as informações
apresentadas e ser cauteloso ao efetuar os cálculos.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o cálculo de probabilidades, recomendamos que
você leia o capítulo 8 do livro Estatística. Em seguida, escolha alguns exercícios para resolver. Fique tranquilo,
pois as respostas para esses exercícios estão disponíveis ao �nal de cada lista de problemas.
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023. 
Aula 2
Distribuição Binomial
Distribuição binomial
28
6105 + 4
2035 + 4
2035 + 1
2035 = 1
111
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! A aplicação das distribuições de probabilidade desempenha um papel
fundamental em estatística, probabilidade e uma variedade de disciplinas cientí�cas e de engenharia por
várias razões. Por exemplo, as distribuições de probabilidade são essenciais para conduzir a inferência
estatística, que compreende a estimativa de parâmetros desconhecidos, a realização de testes de hipóteses
e a construção de intervalos de con�ança com base em amostras de dados. Em muitos casos, a forma da
distribuição da estatística de amostra é conhecida, o que permite realizar inferências precisas.
Em resumo, as distribuições de probabilidade são ferramentas poderosas para compreender, modelar e
enfrentar a incerteza e a variabilidade em uma ampla gama de aplicações, abrangendo desde análises
estatísticas até previsões e o processo de tomada de decisões.
Nesta aula, estudaremos o que é uma distribuição de probabilidade e exploraremos as características da
distribuição binomial. Para entender melhor como podemos aplicar esse conceito, imagine um experimento
com uma moeda não viciada. Considerando que ela seja jogada 10 vezes, vamos determinar a probabilidade:
a. De ocorrerem 6 caras.
b. De ocorrerem pelo menos 2 caras.
c. De não ocorrer coroa.
d. De ocorrerem pelo menos uma coroa.
Para isso, é fundamental compreender o conceito de variável aleatória e saber calcular uma distribuição
binomial.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Considere o espaço amostral de um lançamento de um dado e a observação da face superior, representado
por S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esse espaço amostral é composto de números reais. Agora, considere o espaço
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u3a2_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
amostral de um lançamento de uma moeda e a observação da face superior, representado por S = {cara,
coroa}. Nesse caso, o espaço amostral não é composto de números reais.
Observe que, no espaço amostral do lançamento de um dado, podemos aplicar recursos estatísticos, como
média, variância e desvio-padrão, conceitos da Estatística Descritiva. No entanto, no caso do lançamento de
uma moeda, não faz sentido estabelecer média, variância e desvio-padrão, uma vez que os elementos do
espaço amostral não são valores numéricos. De maneira geral, quando o espaço amostral de um experimento
não é composto de números reais, não é possível utilizar diretamente os recursos da Estatística Descritiva.
Para que esses recursos possam ser aplicados, é necessário de�nir uma função que mapeie o espaço
amostral não numérico em um espaço amostral numérico. Esse é o objetivo da de�nição de variável aleatória
(Silva et al., 2018).
Seja em um experimento cujo espaço amostral é dado por 
As probabilidades relacionadas a diferentes resultados em um espaço amostral se traduzem em
probabilidades especí�cas associadas aos valores de qualquer instância particular da variável aleatória 
De acordo com o tipo de variável aleatória, existem diferentes distribuições de probabilidade. Quando a
variável aleatória é discreta, temos as distribuições discretas de probabilidade, e quando as variáveis
aleatórias são contínuas, temos as distribuições contínuas de probabilidade. Neste momento, nosso foco é a
distribuição binomial, um exemplo de distribuição discreta.
Ω = {a1,  a2,  a3 … ,  an}
a1,  a2,  a3 … ,  an
X
X = 0
X = 1
X
X
X
X
X
p(0) = probabilidade   de  X  valer  0 = P(X = 0)
p(1) = probabilidade   de  X  valer  1 = P(X = 1)
p(2) = probabilidade   de  X  valer  2 = P(X = 2)
⋮
p(x) = probabilidade   de  X  valer  x = P(X = x)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Siga em Frente...
A distribuição binomial é provavelmente a distribuição teórica mais simples possível. É aplicada a cenários
em que pode haver dois resultados. Tradicionalmente, esses dois resultados são rotulados como “sucesso” e
“fracasso”, embora essa designação seja arbitrária. De forma mais ampla, um dos eventos, chamado
“sucesso”, é representado pelo número 1, enquanto o outro evento, chamado “fracasso”, é representado pelo
número zero. A variável aleatória de interesse, denotada como 
A probabilidade de o evento ocorrer não mudar de tentativa para tentativa.
As saídas ou os resultados das n tentativas serem mutuamente independentes.
A distribuição de probabilidade binomial será dada por:
em que:
Quando lidamos com uma distribuição discreta de probabilidade, é possível calcular a média (esperança)e o
desvio-padrão da distribuição. No contexto da distribuição binomial, temos o seguinte:
Com base nos conceitos que discutimos até agora, vamos explorar um exemplo.
 
Exemplo
X
n
X
n
n
n + 1
X
P (x) = P (X = x) = C x
n ⋅ px ⋅ qn−x
P(x)
C x
n = n!
x!(n−x)!
p
q = 1 − p 
μ(x) = n ⋅ p
σ = √n ⋅ p ⋅ q
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Consideremos que certo time de voleibol tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se esse time
jogar 5 partidas, qual é a probabilidade de esse time vencer pelo menos duas partidas?
Observe que são realizadas 5 tentativas, em cada uma das quais apenas um sucesso ou fracasso é possível,
e essas tentativas são independentes umas das outras. Dadas essas características, podemos aplicar a
distribuição binomial. É importante destacar que a questão requer a probabilidade de vencer pelo menos
duas partidas, o que implica vencer 2, 3, 4 ou 5 partidas. Portanto, precisamos calcular a probabilidade para
cada uma dessas situações e, em seguida, somar essas probabilidades.
A variável aleatória “vencer a partida” será denotada por 
A probabilidade de vencer ao menos 2 partidas será:
Ou seja, aproximadamente 95%.
Esse problema pode ser abordado considerando o princípio de que a soma total das probabilidades é igual a
1. Se desejamos calcular a probabilidade de vencer pelo menos duas partidas, isso signi�ca que não estamos
interessados na probabilidade de vencer nenhuma partida ou apenas uma partida. Subtraindo a soma das
probabilidades de vencer nenhuma partida ou uma partida de 1, obteremos a probabilidade de vencer pelo
menos duas partidas, ou seja, 
X
n = 5
p = 2
3
q = 1 − p = 1 − 2
3 = 1
3
P (x) = P (X = x) = C x
n ⋅ px ⋅ qn−x
P(2) = P(X = 2) = C 2
5 ⋅ ( 2
3 )
2
⋅ ( 1
3 )
5−2
= 5!
2!(5−2)! ⋅ ( 2
3 )
2
⋅ ( 1
3 )
3
= 10 ⋅ 4
9 ⋅ 1
27 = 40
243
P(3) = P(X = 3) = C 3
5 ⋅ ( 2
3 )
3
⋅ ( 1
3 )
5−3
= 5!
3!(5−3)! ⋅ ( 2
3 )
3
⋅ ( 1
3 )
2
= 10 ⋅ 8
27 ⋅ 1
9 = 80
243
P(4) = P(X = 4) = C 4
5 ⋅ ( 2
3 )
4
⋅ ( 1
3 )
5−4
= 5!
4!(5−4)! ⋅ ( 2
3 )
4
⋅ ( 1
3 )
1
= 5 ⋅ 16
81 ⋅ 1
3 = 80
243
P(5) = P(X = 5) = C 5
5 ⋅ ( 2
3 )
5
⋅ ( 1
3 )
5−5
= 5!
5!(5−5)! ⋅ ( 2
3 )
5
⋅ ( 1
3 )
0
= 1 ⋅ 32
243 ⋅ 1 = 32
243
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
P(X ≥ 2) = 40
243 + 80
243 + 80
243 + 32
243 = 232
243 ≈ 0,95
P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)]
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Vamos Exercitar?
Agora que você já conheceu os princípios relacionados à distribuição de probabilidade binomial, vamos
retomar nossa situação inicial. Nela, jogamos uma moeda 10 vezes e queremos determinar algumas
probabilidades. Se considerarmos a variável aleatória “ocorrer cara”, há apenas duas possibilidades: ou
ocorre cara ou ocorre coroa. Além disso, o experimento foi realizado em 10 tentativas, e essas tentativas são
independentes umas das outras. Dadas essas características, podemos aplicar a distribuição binomial.
Considerando que a variável aleatória seja 
Com base nessas informações, vamos calcular as probabilidades solicitadas:
a) De ocorrerem 6 caras.
Queremos a probabilidade de que ocorram 6 caras:
Ou seja, aproximadamente 21%.
b) De ocorrerem pelo menos 2 caras.
A probabilidade de ocorrerem menos duas caras requer o cálculo da probabilidade de ocorrerem 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 ou 10 caras. Uma opção é calcular a probabilidade para cada uma das possibilidades e depois somar.
Mas perceba que isso seria trabalhoso. Esse problema pode ser abordado considerando-se o princípio de que
a soma total das probabilidades é igual a 1. Se desejamos calcular a probabilidade de ocorrerem pelo menos
duas caras, isso signi�ca que não estamos interessados na probabilidade de não ocorrer nenhuma cara ou de
ocorrer apenas uma cara. Subtraindo a soma das probabilidades de não ocorrer cara e ocorrer uma cara de 1,
obteremos a probabilidade de ocorrerem pelo menos duas caras, ou seja, 
. Vamos calcular essas probabilidades:
X =  
P(X = x) = C x
n ⋅ px ⋅ qn−x     
⎧⎪⎨⎪⎩p = 1
2                 
q = 1 − p = 1
2
n = 10
P(6) = P(X = 6) = C 6
10 ⋅ ( 1
2 )
6 ⋅ ( 1
2 )
10−6 = 10!
6!(10−6)! ⋅ ( 1
2 )
6 ⋅ ( 1
2 )
4 = 210 ⋅ 1
64 ⋅ 1
16 = 210
1024 ≈ 0,21
(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)]
(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)]
P(0) = P(X = 0) = C 0
10 ⋅ ( 1
2 )
0 ⋅ ( 1
2 )
10−0 = 10!
0!(10−0)! ⋅ ( 1
2 )
0 ⋅ ( 1
2 )
10 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1
1024 = 1
1024
P(0) = P(X = 0) = C 0
10 ⋅ ( 1
2 )
0 ⋅ ( 1
2 )
10−0 = 10!
0!(10−0)! ⋅ ( 1
2 )
0 ⋅ ( 1
2 )
10 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1
1024 = 1
1024
P(1) = P(X = 1) = C 1
10 ⋅ ( 1
2 )
1 ⋅ ( 1
2 )
10−1 = 10!
1!(10−1)! ⋅ ( 1
2 )
1 ⋅ ( 1
2 )
9 = 10 ⋅ 1
2 ⋅ 1
512 = 10
1024
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Ou seja, aproximadamente 99%.
c) De não ocorrer coroa.
Nossa variável aleatória é a “ocorrência de cara", portanto a ausência de coroa só ocorrerá quando
obtivermos 10 caras.
Ou seja, aproximadamente 0,098%.
d) De ocorrer pelo menos uma coroa.
Nossa variável aleatória é a “ocorrência de cara”. Logo, para ocorrer pelo menos uma coroa, temos que excluir
a possibilidade de não ocorrer nenhuma coroa, que nesse caso é a ocorrência de 10 caras. Assim, a
probabilidade de ocorrer pelo menos uma coroa será:
Ou seja, aproximadamente 99%.
Para resolver problemas que envolvem a distribuição binomial, é possível empregar diferentes estratégias,
dependendo da interpretação do problema. Leia as questões com cuidado e tenha em mente que a soma de
todas as probabilidades sempre será igual a 1.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as distribuições discretas de probabilidade, mais
especi�camente, a distribuição binomial, sugerimos a leitura da seção 4.2 do livro 
. Após concluir a leitura do capítulo, escolha alguns exercícios para resolver!
P(1) = P(X = 1) = C 1
10 ⋅ ( 1
2 )
1
⋅ ( 1
2 )
10−1
= 10!
1!(10−1)! ⋅ ( 1
2 )
1
⋅ ( 1
2 )
9
= 10 ⋅ 1
2 ⋅ 1
512 = 10
1024
P(X ≥ 2) = 1 − [ 1
1024 + 10
1024 ] = 1 − 11
1024 = 1013
1024 ≈ 0,99
P(X ≥ 2) = 1 − [ 1
1024 + 10
1024 ] = 1 − 11
1024 = 1013
1024 ≈ 0,99
P(10) = P(X = 10) = C 10
10 ⋅ ( 1
2 )
10
⋅ ( 1
2 )
10−10
= 10!
0!(10−0)! ⋅ ( 1
2 )
10
⋅ ( 1
2 )
0
= 1 ⋅ 1
1024 ⋅ 1 = 1
1024 ≈ 0
P(X ≤ 9) = 1 − P(X = 10)
P(X ≤ 9) = 1 − P(X = 10)
= 1 − 1
1024 = 1023
1024 ≈ 0,99
= 1 − 1
1024 = 1023
1024 ≈ 0,99
https : //plataforma. bvirtual. com. br/Acervo/Publicacao/36874
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
Aula 3
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, estavideoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
https : //plataforma. bvirtual. com. br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u3a3_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Você já estudou a distribuição de probabilidade binominal, utilizada quando um
experimento envolve eventos independentes que podem ser classi�cados como sucesso ou fracasso e
estamos interessados em calcular a probabilidade de certo número de sucessos em um número �xo de
tentativas.
Nesta aula, exploraremos outro tipo de distribuição discreta de probabilidade: a distribuição de Poisson. Essa
distribuição é utilizada em experimentos nos quais estamos interessados não no número de sucessos em
certo número de tentativas, mas sim no número de sucessos ao longo de um intervalo contínuo, que pode ser
de�nido em termos de tempo, espaço ou outros parâmetros.
Para ilustrar como podemos aplicar esse conceito, suponha que o engenheiro encarregado da produção em
uma fábrica de pneus decidiu testar a qualidade dos pneus fabricados. Para esse �m, conduziu testes na
pista e constatou que, em média, um pneu estourava a cada 5 mil quilômetros. Com base nesses dados,
responda:
a. Qual é a probabilidade de que um carro ande 5 mil quilômetros sem nenhum pneu estourar?
b. Qual é a probabilidade de que, em um teste de 3 mil quilômetros, haja dois pneus estourados?
Para isso, é essencial compreender as características da distribuição de Poisson e saber como realizar seu
cálculo.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Imagine que você tenha acabado de chegar em uma parada de ônibus e ser informado de que os ônibus para
o destino que você deseja passam a cada intervalo de 15 minutos. Agora, você se pergunta sobre a
probabilidade de um ônibus se aproximar nos próximos 10 minutos. Se alguém lhe disser que o último ônibus
passou há apenas um minuto, suas expectativas são baixas, mas se o último ônibus passou há mais de 12
minutos, suas expectativas são consideravelmente mais elevadas. À medida que o tempo decorrido desde a
última ocorrência aumenta, a expectativa de uma nova ocorrência também aumenta.
A variável aleatória que permite calcular a probabilidade desse tipo de ocorrência tem distribuição de
Poisson. A distribuição de Poisson é utilizada em estudos nos quais o enfoque não reside na contagem de
sucessos em um número especí�co de tentativas, como é o caso da distribuição binomial, mas sim na
quanti�cação dos sucessos ocorridos durante um período contínuo, que pode ser um intervalo de tempo,
espaço, entre outros. É uma distribuição de probabilidade discreta utilizada para descrever a ocorrência de
eventos em intervalos especí�cos. A variável aleatória representa o número de vezes que o evento ocorre
nesse intervalo (Silva et al., 2018). A distribuição de Poisson é dada por:
em que 
 é o número médio de ocorrências por intervalo unitário de referência.
P (x) = P (X = x) = e−λ⋅λx
x!
P (x) = P (X = x) = e−λ⋅λx
x!
λ
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
No caso da distribuição de Poisson, a média (esperança) e o desvio-padrão são dados por:
Com base nos conceitos que discutimos até agora, vamos abordar um exemplo.
 
Exemplo
Considere que uma máquina apresenta, em média, uma peça com defeito a cada 100 peças fabricadas. Com
base nessas informações, determine:
a. A probabilidade de, em um lote de 100 peças fabricadas por essa máquina, não existir nenhuma peça
defeituosa.
b. A probabilidade de, em um lote de 200 peças fabricadas por essa máquina, não existir nenhuma peça
defeituosa.
c. A probabilidade de, em um lote de 50 peças fabricadas por essa máquina, não existir nenhuma peça
defeituosa.
d. A probabilidade de, em um lote de 100 peças fabricadas por essa máquina, existirem 3 ou mais peças
defeituosas.
 
Solução
a) Inicialmente, é necessário determinar a média de ocorrências por unidade de referência, que, nesse caso, é
de 1 peça defeituosa a cada 100 peças. É importante notar que o problema busca a probabilidade de não
haver nenhuma peça defeituosa em um lote de 100 peças e, como o intervalo de referência é igual ao
apresentado no problema, temos que 
Ou seja, aproximadamente 37%.
λ
μ(X) = λ
μ(X) = λ
σ(X) = √λ
σ(X) = √λ
λ = 1
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
P(0) = P(X = 0) = e−1⋅(1)0
0! = e−1⋅1
1 ≈ 0,37
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
b) O desa�o consiste em calcular a probabilidade de que, em um lote de 200 peças, nenhuma delas seja
defeituosa. É importante notar que o intervalo de referência difere do intervalo mencionado no enunciado.
Para encontrar a média de peças defeituosas no novo intervalo, podemos empregar uma regra de três:
Portanto, 
Ou seja, aproximadamente 14%.
c) Temos que determinar a probabilidade de que, em um lote de 50 peças, nenhuma seja defeituosa. Nesse
exemplo, o intervalo de referência também difere do intervalo mencionado no enunciado, então primeiro
temos que determinar o número médio de peças defeituosas nesse intervalo.
Logo, 
Ou seja, aproximadamente 61%.
d) É necessário calcular a probabilidade de que, em um lote de 100 peças, existam 3 ou mais peças
defeituosas. Não é prático calcular a probabilidade de exatamente 3, 4, ..., 100 peças defeituosas e somá-las.
Em vez disso, podemos adotar a abordagem de que a probabilidade de existirem 3 ou mais peças
defeituosas é igual a 1 menos a probabilidade de existirem menos de 3 peças defeituosas. Portanto:
1 peça − − − − − − − − − 100 peças
z peças − − − − − − − −200 peças
z ⋅ 100 = 1 ⋅ 200
z = 200
100 = 2
λ = 2
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
P(0) = P(X = 0) = e−2⋅(2)0
0! = e−2⋅1
1 ≈ 0,14
1 peça − − − − − − − − − 100 peças
z peças − − − − − − − −50 peças
z ⋅ 100 = 1 ⋅ 50
z = 50
100 = 0,5
λ = 0,5
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
P(0) = P(X = 0) = e−0,5⋅(0,5)0
0! = e−0,5⋅1
1 ≈ 0,61
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Ou seja, aproximadamente 8%.
Siga em Frente...
Você já foi apresentado às duas distribuições discretas de probabilidade mais importantes. Saberia destacar
as diferenças fundamentais entre essas distribuições?
Na distribuição de Poisson, a variável aleatória representa o número de eventos em um intervalo de
tempo ou espaço contínuo. Na distribuição binomial, a variável aleatória representa o número de
sucessos (ou fracassos) em um número �xo de tentativas independentes.
Na distribuição de Poisson, é de�nida apenas uma taxa média   que representa a taxa de ocorrência
média do evento no intervalo de interesse. Na distribuição binomial, são necessários dois parâmetros: o
número de tentativas   e a probabilidade de sucesso em cada tentativa  .
Na distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória   compreendem  ,
enquanto a distribuição de Poisson inclui os valores de   a partir de   sem um limite
superior especí�co.
Na distribuição de Poisson, o número de ensaios (ou tentativas) não é �xo e pode ser qualquer número
positivo, enquanto na distribuição binomial o número de ensaios é �xo e prede�nido.
A distribuição de Poisson é frequentemente usada para modelar eventos raros, como acidentes de
trânsito em uma cidade. A distribuição binomial é aplicada quando se deseja calcular a probabilidade
de um número especí�co de sucessos em um número �xo de ensaios independentes, como lançar uma
moeda várias vezes.
Em resumo, as principais diferenças entre as distribuições de Poisson e binomial estão relacionadas à
natureza das variáveis aleatórias, aos parâmetros envolvidose à aplicação em diferentes cenários.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conheceu os princípios relacionados à distribuição de probabilidade de Poisson, vamos
retomar nossa situação inicial. Esta consiste em determinar a probabilidade de estouro de pneus
considerando-se que, em um teste, contatou-se que, em média, um pneu estoura a cada 5 mil quilômetros. É
importante notar que o problema nos fornece a taxa média de ocorrência do evento no intervalo de 5 mil
quilômetros, um parâmetro fundamental na caracterização da distribuição de Poisson.
a) O primeiro item solicita que determinemos a probabilidade de que um carro ande 5 mil quilômetros sem
nenhum pneu estourar. Observe que o intervalo de referência é o mesmo informado no enunciado do
problema. Sabemos que um pneu estourava a cada 5 mil quilômetros, assim 
, e a probabilidade será:
P(X ≥ 3) = 1 − (P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0))
P(X ≥ 3) = 1 − [
e−1⋅(1)2
2! + e−1⋅(1)1
1! + e−1⋅(1)0
0! ]
P(X ≥ 3) = 1 − [0,18 + 0,37 + 0,37]
P(X ≥ 3) = 1 − 0,92 = 0,08
(λ)
(n) (p)
X 0,  1,  2, ⋯ ,  n
X 0,  1,  2,   …
λ = 1
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Ou seja, a probabilidade de que, em 5 mil quilômetros, nenhum pneu estoure é de aproximadamente 37%.
b) No segundo item, temos que calcular a probabilidade de que, em um teste de 3 mil quilômetros, haja dois
pneus estourados. Observe que o intervalo de referência difere do intervalo do enunciado. Para encontrar a
média de pneus estourados no novo intervalo, podemos empregar uma regra de três:
Portanto, 
Ou seja, a probabilidade é de aproximadamente 9,9%.
Ao resolver problemas que envolvem a distribuição de Poisson, é importante ter cuidado com a ordem das
operações. Lembre-se de que a potenciação deve ser resolvida primeiro, seguida pela multiplicação e, por �m,
a divisão. Isso é fundamental para garantir cálculos precisos e corretos ao lidar com essa distribuição de
probabilidade.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a distribuição de Poisson, sugerimos que leia a
λ = 1
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
P(0) = P(X = 0) = e−1⋅(1)0
0! = e−1⋅1
1 ≈ 0,37
P(0) = P(X = 0) = e−1⋅(1)0
0! = e−1⋅1
1 ≈ 0,37
1 pneu − − − − − − − − − 5000 km
z pneus − − − − − − − −3000 km
z ⋅ 5000 = 1 ⋅ 3000
z = 3000
5000 = 0,6
λ = 0,6
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
P(2) = P(X = 2) = e−0,6⋅(0,6)2
2! ≈ 0,099
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
seção 10.4 do livro Estatística. Após concluir a leitura do capítulo, escolha alguns exercícios para resolver.
Fique tranquilo, pois as respectivas respostas estão disponíveis ao �nal de cada lista de problemas.
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023. 
Aula 4
Distribuição Normal
Distribuição normal
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u3a4_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Você já teve a oportunidade de explorar duas distribuições de probabilidade
cruciais: a distribuição binomial e a distribuição de Poisson, ambas caracterizadas por variáveis aleatórias
discretas. Agora, é o momento de se familiarizar com outra distribuição igualmente relevante, porém
contínua: a distribuição normal.
Também conhecida como distribuição gaussiana, a distribuição normal é, incontestavelmente, a distribuição
contínua mais fundamental. Por esse motivo, dedicaremos tempo a seu estudo. Sua importância advém de
diversos fatores; um deles é o Teorema Central do Limite. Esse teorema é um resultado fundamental em
aplicações práticas e teóricas, pois estabelece que, mesmo quando os dados não seguem uma distribuição
normal, a média deles tende a convergir para uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra
aumenta.
Para visualizar como podemos aplicar esse conceito, suponha que certa empresa de celulares fez um estudo
a respeito da vida útil de suas baterias e constatou uma duração com distribuição normal com média de 8
horas e desvio-padrão de 2 horas. Escolhendo aleatoriamente um celular produzido por essa empresa,
determine:
a. A probabilidade de a bateria durar menos que 7 horas.
b. A probabilidade de a bateria durar mais que 7 horas.
c. A probabilidade de a bateria durar entre 7 e 10 horas.
Para calcular essas probabilidades, é essencial compreender as características da distribuição normal padrão
e saber como realizar seu cálculo.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Uma variável aleatória discreta é aquela cujo conjunto de valores possíveis é �nito ou in�nito, o que signi�ca
que a variável pode assumir apenas um número especí�co de valores distintos. Por outro lado, uma variável
aleatória contínua é aquela cujo conjunto de valores possíveis forma um intervalo contínuo de números reais.
Os valores possíveis de uma variável aleatória contínua podem assumir qualquer valor em um intervalo
especí�co e geralmente incluem números decimais. Por exemplo, a altura de indivíduos em uma população, o
tempo para concluir uma tarefa e a temperatura em determinado local em dado momento.
Uma distribuição contínua de probabilidade, ou simplesmente uma distribuição contínua, descreve o
comportamento de uma variável aleatória contínua. Uma distribuição contínua é caracterizada por sua
função de densidade de probabilidade (FDP), uma função matemática que atribui probabilidades a diferentes
valores da variável aleatória contínua. A função de densidade de probabilidade é de�nida de modo que a área
sob a curva da função em um intervalo especí�co corresponde à probabilidade de que a variável aleatória
esteja nesse intervalo.
Dentro da variedade de distribuições contínuas, encontramos a distribuição normal. A distribuição normal é
uma distribuição de probabilidade contínua aplicada a uma variável aleatória cuja representação grá�ca é
caracterizada por uma curva normal, satisfazendoas propriedades listadas a seguir:
A média, a mediana e a moda são iguais.
Uma curva normal tem forma de sino e é simétrica em torno da média (Figura 1).
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
A área total sob a curva normal é igual a 1.
A variável aleatória   pode assumir todo e qualquer valor real.
A probabilidade de a variável aleatória   ter valores maiores que a média é igual à probabilidade de ter
valores menores que a média (ambas as probabilidades são 0,5).
À medida que a curva normal se distancia da média, ela se aproxima do eixo  , mas sem o tocar
(Larson; Farber, 2015).
Figura 1 | Curva normal. Fonte: elaborada pela autora.
A probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor em determinado intervalo é dada por:
Em que a função densidade de probabilidade é 
.
Com o objetivo de simpli�car o cálculo dessa integral, foi desenvolvida uma abordagem que a transforma um
único caso de uma função de distribuição normal 
 em uma função de distribuição normal padrão, na qual 
 e o desvio-padrão 
. Essa função de distribuição normal padronizada é denotada como 
.
X
X
x
P(x1 ≤ X ≤ x2) = ∫ x2
x1
1
σ√2π
e− 1
2 (
x−μ
σ
)
2
dx
P(x1 ≤ X ≤ x2) = ∫
x2
x1
1
σ√2π
e− 1
2 (
x−μ
σ )
2
dx
1
σ√2πσ2
e− 1
2 (
x−μ
σ
)
2
1
σ√2πσ2
e− 1
2 (
x−μ
σ )
2
N(μ,σ)
μ = 0
σ = 1
N(0,1)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma vez que é possível padronizar qualquer distribuição normal, você pode empregar o z-escore e a curva
normal padrão para calcular áreas (e, por consequência, probabilidades) sob qualquer curva normal (Larson;
Farber, 2015). O z-escore será dado pela fórmula:
Após encontrar o z-escore, você deve encontrar a área referente a esse valor; para isso, você pode utilizar
uma Tabela da Distribuição Normal Padrão (ou tabela Z – Tabela 1). Vamos apresentar a tabela z acumulada,
isto é, a tabela fornece a área menor que o z-escore encontrado, conforme ilustra a Figura 2.
Figura 2 | Probabilidade de Z ser menor ou igual ao z-escore. Fonte: elaborado pela autora.
Bloco 1
z 0,0 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,5040 0,5080
0,1 0,5398 0,5438 0,5478
0,2 0,5793 0,5832 0,5871
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
0,4 0,6554 0,6591 0,6628
0,5 0,6915 0,6950 0,6985
N(μ,σ)
μ = 0
σ = 1
N(0,1)
z = valor−média
desvio padrão
z = valor−média
desvio padrão
z = x−μ
σ
z = x−μ
σ
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,6 0,7257 0,7291 0,7324
0,7 0,7580 0,7611 0,7642
0,8 0,7881 0,7910 0,7939
0,9 0,8159 0,8186 0,8212
1,0 0,8413 0,8438 0,8461
1,1 0,8643 0,8665 0,8686
1,2 0,8849 0,8869 0,8888
1,3 0,9032 0,9049 0,9066
1,4 0,9192 0,9207 0,9222
1,5 0,9332 0,9345 0,9357
1,6 0,9452 0,9463 0,9474
1,7 0,9554 0,9564 0,9573
1,8 0,9641 0,9649 0,9656
1,9 0,9713 0,9719 0,9726
2,0 0,9772 0,9778 0,9783
2,1 0,9821 0,9826 0,9830
2,2 0,9861 0,9864 0,9868
2,3 0,9893 0,9896 0,9898
2,4 0,9918 0,9920 0,9922
2,5 0,9938 0,9940 0,9941
2,6 0,9953 0,9955 0,9956
2,7 0,9965 0,9966 0,9967
2,8 0,9974 0,9975 0,9976
2,9 0,9981 0,9982 0,9982
3,0 0,9987 0,9987 0,9987
3,1 0,9990 0,9991 0,9991
3,2 0,9993 0,9993 0,9994
3,3 0,9995 0,9995 0,9995
3,4 0,9997 0,9997 0,9997
3,5 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000
Bloco 2
0,03 0,04 0,05 0,06
0,5120 0,5160 0,5199 0,5239
0,5517 0,5557 0,5596 0,5636
0,5910 0,5948 0,5987 0,6026
0,6293 0,6331 0,6368 0,6406
0,6664 0,6700 0,6736 0,6772
0,7019 0,7054 0,7088 0,7123
0,7357 0,7389 0,7422 0,7454
0,7673 0,7704 0,7734 0,7764
0,7967 0,7995 0,8023 0,8051
0,8238 0,8264 0,8289 0,8315
0,8485 0,8508 0,8531 0,8554
0,8708 0,8729 0,8749 0,8770
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,8907 0,8925 0,8944 0,8962
0,9082 0,9099 0,9115 0,9131
0,9236 0,9251 0,9265 0,9279
0,9370 0,9382 0,9394 0,9406
0,9484 0,9495 0,9505 0,9515
0,9582 0,9591 0,9599 0,9608
0,9664 0,9671 0,9678 0,9686
0,9732 0,9738 0,9744 0,9750
0,9788 0,9793 0,9798 0,9803
0,9834 0,9838 0,9842 0,9846
0,9871 0,9875 0,9878 0,9881
0,9901 0,9904 0,9906 0,9909
0,9925 0,9927 0,9929 0,9931
0,9943 0,9945 0,9946 0,9948
0,9957 0,9959 0,9960 0,9961
0,9968 0,9969 0,9970 0,9971
0,9977 0,9977 0,9978 0,9979
0,9983 0,9984 0,9984 0,9985
0,9988 0,9988 0,9989 0,9989
0,9991 0,9992 0,9992 0,9992
0,9994 0,9994 0,9994 0,9994
0,9996 0,9996 0,9996 0,9996
0,9997 0,9997 0,9997 0,9997
0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Bloco 3
0,07 0,08 0,09
0,5279 0,5319 0,5359
0,5675 0,5714 0,5753
0,6064 0,6103 0,6141
0,6443 0,6480 0,6517
0,6808 0,6844 0,6879
0,7157 0,7190 0,7224
0,7486 0,7517 0,7549
0,7794 0,7823 0,7852
0,8078 0,8106 0,8133
0,8340 0,8365 0,8389
0,8577 0,8599 0,8621
0,8790 0,8810 0,8830
0,8980 0,8997 0,9015
0,9147 0,9162 0,9177
0,9292 0,9306 0,9319
0,9418 0,9429 0,9441
0,9525 0,9535 0,9545
0,9616 0,9625 0,9633
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,9693 0,9699 0,9706
0,9756 0,9761 0,9767
0,9808 0,9812 0,9817
0,9850 0,9854 0,9857
0,9884 0,9887 0,9890
0,9911 0,9913 0,9916
0,9932 0,9934 0,9936
0,9949 0,9951 0,9952
0,9962 0,9963 0,9964
0,9972 0,9973 0,9974
0,9979 0,9980 0,9981
0,9985 0,9986 0,9986
0,9989 0,9990 0,9990
0,9992 0,9993 0,9993
0,9995 0,9995 0,9995
0,9996 0,9996 0,9997
0,9997 0,9997 0,9998
0,9998 0,9998 0,9998
0,9999 0,9999 0,9999
0,9999 0,9999 0,9999
0,9999 0,9999 0,9999
1,0000 1,0000 1,0000
Tabela 1 | Tabela da distribuição normal padrão acumulada (valores positivos do z-escore). Fonte: adaptada
de Larson e Farber (2015).
 
Bloco 1
z 0,0 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,4960 0,4920
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000
Bloco 2
0,03 0,04 0,05 0,06
0,4880 0,4840 0,4801 0,4761
0,4483 0,4443 0,4404 0,4364
0,4090 0,4052 0,4013 0,3974
0,3707 0,3669 0,3632 0,3594
0,3336 0,3300 0,3264 0,3228
0,2981 0,2946 0,2912 0,2877
0,2643 0,2611 0,2578 0,2546
0,2327 0,2296 0,2266 0,2236
0,2033 0,2005 0,1977 0,1949
0,1762 0,1736 0,1711 0,1685
0,1515 0,1492 0,1469 0,1446
0,1292 0,1271 0,1251 0,1230
0,1093 0,1075 0,1056 0,1038
0,0918 0,0901 0,0885 0,0869
0,0764 0,0749 0,0735 0,0721
0,0630 0,0618 0,0606 0,0594
0,0516 0,0505 0,0495 0,0485
0,0418 0,0409 0,0401 0,0392
0,0336 0,0329 0,0322 0,0314
0,0268 0,0262 0,0256 0,0250
0,0212 0,0207 0,0202 0,0197
0,0166 0,0162 0,0158 0,0154
0,0129 0,0125 0,0122 0,0119
0,0099 0,0096 0,0094 0,0091
0,0075 0,0073 0,0071 0,0069
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,0057 0,0055 0,0054 0,0052
0,0043 0,0041 0,0040 0,0039
0,0032 0,0031 0,0030 0,0029
0,0023 0,0023 0,0022 0,0021
0,0017 0,0016 0,0016 0,0015
0,0012 0,0012 0,0011 0,0011
0,0009 0,0008 0,0008 0,0008
0,0006 0,0006 0,0006 0,0006
0,0004 0,0004 0,0004 0,0004
0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Bloco 3
0,07 0,08 0,09
0,4721 0,4681 0,4641
0,4325 0,4286 0,4247
0,3936 0,3897 0,3859
0,3557 0,3520 0,3483
0,3192 0,3156 0,3121
0,2843 0,2810 0,2776
0,2514 0,2483 0,2451
0,2206 0,2177 0,2148
0,1922 0,1894 0,1867
0,1660 0,1635 0,1611
0,1423 0,1401 0,1379
0,1210 0,1190 0,1170
0,1020 0,1003 0,0985
0,0853 0,0838 0,0823
0,07080,0694 0,0681
0,0582 0,0571 0,0559
0,0475 0,0465 0,0455
0,0384 0,0375 0,0367
0,0307 0,0301 0,0294
0,0244 0,0239 0,0233
0,0192 0,0188 0,0183
0,0150 0,0146 0,0143
0,0116 0,0113 0,0110
0,0089 0,0087 0,0084
0,0068 0,0066 0,0064
0,0051 0,0049 0,0048
0,0038 0,0037 0,0036
0,0028 0,0027 0,0026
0,0021 0,0020 0,0019
0,0015 0,0014 0,0014
0,0011 0,0010 0,0010
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,0008 0,0007 0,0007
0,0005 0,0005 0,0005
0,0004 0,0004 0,0003
0,0003 0,0003 0,0002
0,0002 0,0002 0,0002
0,0001 0,0001 0,0001
0,0001 0,0001 0,0001
0,0001 0,0001 0,0001
0,0000 0,0000 0,0000
Tabela 2 | Tabela da distribuição normal padrão acumulada (valores negativos do z-escore). Fonte: adaptada
de Larson e Farber (2015).
 
Quando utilizamos essas tabelas para calcular a probabilidade, é importante observar que, se desejamos
uma probabilidade maior do que o valor do z-escore, então devemos subtrair o valor encontrado na tabela da
probabilidade total, ou seja, 
Siga em Frente...
Com base nos conceitos que discutimos até agora, vamos abordar um exemplo.
 
Exemplo
O tempo gasto no exame vestibular de certa universidade tem distribuição normal com média de 120 minutos
e desvio-padrão de 15 minutos.
a. Qual é a probabilidade de que o tempo gasto seja menor que 90 minutos?
b. Qual é a probabilidade de que o tempo gasto seja maior que 130 minutos?
Para determinarmos a probabilidade de que o tempo gasto seja menor que 90 minutos, o primeiro passo é
encontrar o z-escore.
Nesse sentido, temos que 
P(Z ≥ z) = 1 − P(P ≤ z).
z = x−μ
σ
z = 90−120
15 = −2
P(X ≤ 90) = P(Z ≤ −2)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Curva normal para z- escore menor ou igual a -2. Fonte: elaborada pela autora.
Utilizando a Tabela 2, encontre a área que corresponde 
Bloco 1
z 0,0 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,4960 0,4920
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102
Bloco 2
0,03 0,04 0,05 0,06
z = −2
z  =   − 2 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,4880 0,4840 0,4801 0,4761
0,4483 0,4443 0,4404 0,4364
0,4090 0,4052 0,4013 0,3974
0,3707 0,3669 0,3632 0,3594
0,3336 0,3300 0,3264 0,3228
0,2981 0,2946 0,2912 0,2877
0,2643 0,2611 0,2578 0,2546
0,2327 0,2296 0,2266 0,2236
0,2033 0,2005 0,1977 0,1949
0,1762 0,1736 0,1711 0,1685
0,1515 0,1492 0,1469 0,1446
0,1292 0,1271 0,1251 0,1230
0,1093 0,1075 0,1056 0,1038
0,0918 0,0901 0,0885 0,0869
0,0764 0,0749 0,0735 0,0721
0,0630 0,0618 0,0606 0,0594
0,0516 0,0505 0,0495 0,0485
0,0418 0,0409 0,0401 0,0392
0,0336 0,0329 0,0322 0,0314
0,0268 0,0262 0,0256 0,0250
0,0212 0,0207 0,0202 0,0197
0,0166 0,0162 0,0158 0,0154
0,0129 0,0125 0,0122 0,0119
0,0099 0,0096 0,0094 0,0091
Bloco 3
0,07 0,08 0,09
0,4721 0,4681 0,4641
0,4325 0,4286 0,4247
0,3936 0,3897 0,3859
0,3557 0,3520 0,3483
0,3192 0,3156 0,3121
0,2843 0,2810 0,2776
0,2514 0,2483 0,2451
0,2206 0,2177 0,2148
0,1922 0,1894 0,1867
0,1660 0,1635 0,1611
0,1423 0,1401 0,1379
0,1210 0,1190 0,1170
0,1020 0,1003 0,0985
0,0853 0,0838 0,0823
0,0708 0,0694 0,0681
0,0582 0,0571 0,0559
0,0475 0,0465 0,0455
0,0384 0,0375 0,0367
0,0307 0,0301 0,0294
0,0244 0,0239 0,0233
0,0192 0,0188 0,0183
0,0150 0,0146 0,0143
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,0116 0,0113 0,0110
0,0089 0,0087 0,0084
Tabela 3 | z-escore para z ≤ -2. Fonte: elaborada pela autora.
 
Portanto, a probabilidade de que o tempo gasto seja menor que 90 minutos é 0,0228, ou seja, 2,28%.
Agora vamos determinar a probabilidade de que o tempo gasto seja maior que 130 minutos. O z-escore será:
Nesse sentido, temos que 
, conforme ilustra a Figura 4.
Figura 4 | Curva normal para z- escore maior ou igual a 0,67. Fonte: elaborado pela autora.
Utilizando a Tabela 1, encontre a área que corresponde 
Bloco 1
z 0,0 0,01 0,02
z = x−μ
σ
z = x−μ
σ
z = 130−120
15 = 0,67
z = 130−120
15 = 0,67
P(X ≥ 130) = P(Z ≥ 0,67)
P(X ≥ 130) = P(Z ≥ 0,67)
z = 0,67
z  =  0,67
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
0,0 0,5000 0,5040 0,5080
0,1 0,5398 0,5438 0,5478
0,2 0,5793 0,5832 0,5871
0,3 0,6179 0,6217 0,6255
0,4 0,6554 0,6591 0,6628
0,5 0,6915 0,6950 0,6985
0,6 0,7257 0,7291 0,7324
0,7 0,7580 0,7611 0,7642
0,8 0,7881 0,7910 0,7939
0,9 0,8159 0,8186 0,8212
1,0 0,8413 0,8438 0,8461
1,1 0,8643 0,8665 0,8686
Bloco 2
0,03 0,04 0,05 0,06
0,5120 0,5160 0,5199 0,5239
0,5517 0,5557 0,5596 0,5636
0,5910 0,5948 0,5987 0,6026
0,6293 0,6331 0,6368 0,6406
0,6664 0,6700 0,6736 0,6772
0,7019 0,7054 0,7088 0,7123
0,7357 0,7389 0,7422 0,7454
0,7673 0,7704 0,7734 0,7764
0,7967 0,7995 0,8023 0,8051
0,8238 0,8264 0,8289 0,8315
0,8485 0,8508 0,8531 0,8554
0,8708 0,8729 0,8749 0,8770
Bloco 3
0,07 0,08 0,09
0,5279 0,5319 0,5359
0,5675 0,5714 0,5753
0,6064 0,6103 0,6141
0,6443 0,6480 0,6517
0,6808 0,6844 0,6879
0,7157 0,7190 0,7224
0,7486 0,7517 0,7549
0,7794 0,7823 0,7852
0,8078 0,8106 0,8133
0,8340 0,8365 0,8389
0,8577 0,8599 0,8621
0,8790 0,8810 0,8830
Tabela 4 | z-escore para z ≤ 0,67. Fonte: elaborada pela autora.
 
Essa não é a probabilidade que queremos. Queremos a área à direita de 
z = 0,67
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 então temos que diminuir o valor encontrado de 1:
Logo, a probabilidade de que o tempo gasto seja maior que 130 minutos é 0,2514, ou seja, 25,14%.
Vale destacar que existem várias tabelas disponíveis, e, ao resolver um problema de distribuição normal, é
crucial estar ciente de qual tabela está sendo utilizada. Uma interpretação equivocada da tabela pode resultar
em erros na resolução do problema.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conheceu os princípios relacionados à distribuição de probabilidade normal padronizada,
vamos retomar nossa situação inicial. Nessa situação, certa empresa de celulares fez um estudo a respeito
da vida útil das baterias dos celulares e constatou que elas têm uma duração com distribuição normal com
média de 8 horas e desvio-padrão de 2 horas. Com base nessas informações, temos que determinar algumas
probabilidades:
a) Para determinarmos a probabilidade de a bateria durar menos que 7 horas, primeiro devemos encontrar o
z-escore:
Nesse sentido, temos que 
Figura 5 | Curva normal para z- escore menor ou igual a -0,5. Fonte: elaborada pela autora
Utilizando a Tabela 2, encontre a área que corresponde 
z = 0,67
P(Z ≥ 0,67) = 1 − P(Z ≤ 0,67) = 1 − 0,7486 = 0,2514
P(Z ≥ 0,67) = 1 − P(Z ≤ 0,67) = 1 − 0,7486 = 0,2514
z = x−μ
σ
z = 7−8
2 = −0,5
P(X ≤ 7) = P(Z ≤ −0,5)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Bloco 1
z 0,0 0,01 0,02
0,0 0,5000 0,4960 0,4920
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676
Bloco 2
0,03 0,04 0,05 0,06
0,4880 0,4840 0,4801 0,4761
0,4483 0,4443 0,4404 0,4364
0,4090 0,4052 0,4013 0,3974
0,3707 0,3669 0,3632 0,3594
0,3336 0,3300 0,3264 0,3228
0,2981 0,2946 0,2912 0,2877
0,2643 0,2611 0,2578 0,2546
Bloco 3
0,07 0,08 0,09
0,4721 0,4681 0,4641
0,4325 0,4286 0,4247
0,3936 0,3897 0,3859
0,3557 0,3520 0,3483
0,3192 0,3156 0,3121
0,2843 0,2810 0,2776
0,2514 0,2483 0,2451
Tabela 5 | z-escore para z ≤ -0,5. Fonte: elaborada pela autora.
 
Portanto, a probabilidade de que a bateria dure menos que 7 horas é de 
 ou seja, 30,85%.
Caso você não tenha acesso à tabela com valores negativos do z-escore, você pode utilizar o fato de que a
curva normal é simétrica. Assim, a probabilidade de z ser menor que -0,5 é a mesma de que z seja maior que
0,5, ou seja 
z = −0,5
z  =   − 0,5
0,3085
0,3085
P(Z ≤ −0,5) = P(Z ≥ 0,5) = 1 − P(Z ≤ 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOSb) Como já encontramos o z-escore considerando a duração da bateria de 7 horas, só precisamos interpretar
o problema. Foi solicitado que determinemos a probabilidade de a bateria durar mais que 7 horas, ou seja 
c) Para calcular a probabilidade de que a bateria dure entre 7 e 10 horas, inicialmente devemos calcular os z-
escores associados aos valores 7 e 10. Como já sabemos o z-escore relacionado a 7, vamos calcular o z-
escore de 10.
 
Nesse sentido, temos que 
Figura 6 | Curva normal para z-escore menor que -0,5 e menor que 1. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, para determinarmos a área da região colorida, primeiro devemos encontrar a área
correspondente a cada z-escore nas tabelas e, depois, realizar uma subtração entre a área maior e a área
menor. Portanto,
Assim, a probabilidade de que a bateria dure entre 7 e 10 horas é de 
, isto é, de 53,28%. 
Saiba mais
P(Z ≥ −0,5) = 1 − P(Z ≤ −0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
z = x−μ
σ
z = 10−8
2 = 1
P(7 ≤ X ≤ 10) = P(−0,5 ≤ Z ≤ 1)
P(7 ≤ X ≤ 10) = P(−0,5 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) − P(Z ≤ −, 05) = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328
P(7 ≤ X ≤ 10) = P(−0,5 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) − P(Z ≤ −, 05) = 0,8413 − 0,3085 = 0,5328
 0, 5328
 0, 5328
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a distribuição normal padronizada, sugerimos que
leia as seções 5.1 e 5.2 do livro Estatística aplicada. Após concluir a leitura do capítulo, escolha alguns
exercícios para resolver!
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023. 
Aula 5
Encerramento da Unidade
Métodos quantitativos
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u3enc_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Ponto de Chegada
Olá, estudante!
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os princípios básicos da probabilidade e
identi�car as características dos diferentes tipos de distribuição de probabilidade, você precisa saber
reconhecer quais são esses princípios.
A probabilidade é uma medida numérica que descreve a chance de um evento acontecer. Ela é usada para
quanti�car a incerteza em situações em que múltiplos resultados possíveis são possíveis. A probabilidade é
expressa como um número entre 0 e 1, onde 0 indica a certeza de que um evento não ocorrerá, e 1 indica a
certeza de que um evento ocorrerá. A probabilidade de que um evento A ocorra será dada por:
 
Normalmente empregamos porcentagem para representar probabilidades, de modo que, após efetuar o
cálculo, é su�ciente multiplicar o valor obtido por 100 para obter a probabilidade em forma percentual.
Um conceito fundamental é o da probabilidade condicional, que consiste em uma medida de probabilidade
com enfoque na ocorrência de um evento, levando em consideração que outro evento já aconteceu. Em
termos simples, ela representa a probabilidade de um evento A acontecer, levando em consideração que um
evento B já se concretizou. A probabilidade condicional desempenha um papel crucial na estatística e na
teoria da probabilidade, sendo aplicada em diversas áreas, tais como análise de risco, inferência estatística,
tomada de decisões e modelagem estatística. Ela permite que avaliemos a probabilidade de um evento com
base em informações anteriores ou condicionantes, tornando-se uma ferramenta valiosa para lidar com
cenários de incerteza.
É importante lembrar que uma variável aleatória pode ser categorizada como discreta quando seus valores
possíveis formam um conjunto �nito ou contável. Por outro lado, ela será considerada contínua quando
abranger um conjunto in�nito e incontável de valores em um intervalo contínuo. Saber diferenciar o tipo de
variável aleatória que o problema trata é fundamental para nos direcionar ao tipo de distribuição de
probabilidade que podemos utilizar. Na distribuição de probabilidade, as probabilidades associadas a
diferentes resultados em um espaço amostral são transformadas em probabilidades especí�cas
relacionadas aos valores individuais da variável aleatória 
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade que apresenta as seguintes
características:
Cada tentativa ou ensaio é considerado independente, com apenas dois resultados possíveis: sucesso
(S) e fracasso (F).
Pressupõe um número �xo de tentativas ou ensaios, geralmente denotado como .
A probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante e denotada como 
P(A) = número  de   resultado   do   evento  A
número  total   de   resultados   do  espaço  amostral = n(A)
n(Ω)
X
X
X
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Cada tentativa é independente das outras, o que signi�ca que o resultado de uma tentativa não afeta o
resultado das tentativas subsequentes.
A variável aleatória associada à distribuição binomial é o número de sucessos  em  tentativas.
A probabilidade binomial é dada por:
A distribuição de Poisson também é uma distribuição discreta e apresenta as seguintes características:
É aplicada a situações em que os eventos ocorrem em um contexto discreto.
Assume que os eventos são independentes uns dos outros, o que signi�ca que a ocorrência de um
evento não afeta a probabilidade de ocorrência de outros eventos.
É de�nida por um único parâmetro,   (lambda), que representa a taxa média de ocorrência dos eventos
no intervalo considerado.
A probabilidade será dada por:
A distribuição normal padronizada é uma distribuição contínua de probabilidade e tem papel fundamental na
estatística inferencial. São características dessa distribuição:
É contínua e abrange todos os números reais de menos in�nito a mais in�nito. Não há valores
especí�cos de   que sejam impossíveis na distribuição normal.
Tem uma forma de sino, com uma curva simétrica em relação a seu ponto médio. Isso signi�ca que a
maioria dos valores está próxima da média, e os valores extremos são menos frequentes.
A distribuição normalé completamente caracterizada por dois parâmetros: a média    e o desvio-
padrão  . A média determina o centro da distribuição, enquanto o desvio-padrão controla a dispersão
dos valores em relação à média.
A distribuição normal padronizada tem média zero e desvio padrão 1, e a representamos como  .
Para padronizarmos nossa variável aleatória, é necessário determinar o z-escore, dado por:
A probabilidade será de�nida ao encontrar a área referente ao z-escore. Para isso, utilizamos uma
tabela de distribuição normal acumulada.
Compreender esses conceitos é muito importante, uma vez que eles desempenham um papel fundamental
na probabilidade e na estatística inferencial.
É Hora de Praticar!
P (x) = P (X = x) = C x
n ⋅ px ⋅ qn−x
λ
P (x) = P (X = x) = e−λ⋅λx
x!
x
(μ)
(σ)
N(0,1)
z = x−μ
σ
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você esteja participando de um processo seletivo para
ingressar em um programa de iniciação cientí�ca. Esse programa tem como objetivo estudar o papel da
estatística no campo pro�ssional. A primeira parte do processo seletivo consiste em uma prova de
conhecimentos gerais, que englobam os conceitos relacionados às diferentes disciplinas de seu curso. Com
o objetivo de se preparar para essa primeira etapa, você decidiu realizar uma pesquisa sobre os conceitos
mais recorrentes nas provas anteriores. Como resultado, constatou que conceitos relacionados à
probabilidade eram recorrentes em todas as provas. Após analisar as provas, você selecionou algumas
questões com o objetivo de realizar um simulado para essa primeira etapa do processo seletivo. Sua tarefa,
então, é resolver as questões que compõem esse simulado, conforme apresentado a seguir.
 
Questão 1
Com o objetivo de avaliar a e�cácia de um medicamento especí�co na redução dos níveis de colesterol na
corrente sanguínea, conduziu-se um ensaio clínico envolvendo 100 participantes que passaram a utilizar esse
medicamento. Após a conclusão do teste, observou-se que os dados se distribuem normalmente e que a
média de colesterol desses indivíduos foi de 120 mg/dl, com um desvio-padrão de 4 mg/dl. Qual é a
probabilidade de que uma pessoa tenha o colesterol superior a 125 mg/dl?
 
Questão 2
Considera-se que 30% dos residentes nas proximidades de uma extensa indústria siderúrgica são afetados
por alergias devido aos poluentes liberados na atmosfera. Supondo que essa taxa de alergia seja precisa
(verídica), qual é a probabilidade de que, ao selecionar 10 moradores ao acaso, pelo menos 3 tenham alergia?
 
Questão 3
Uma estação de rádio recebe, em média, 15 pedidos de músicas clássicas por hora. Qual é a probabilidade de
receber exatamente 5 pedidos de músicas clássicas em um período de 30 minutos?
Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem ser
aplicados, convidamos à re�exão sobre estas duas questões:
a. De que maneira os conceitos relacionados à probabilidade podem ser utilizados em sua área de
atuação?
b. De que forma os conceitos probabilísticos podem auxiliar na tomada de decisão? 
Solução da questão 1
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Observe que, nesse problema, os dados são distribuídos normalmente e sabemos dois parâmetros: a média
de 120 mg/dl e o desvio-padrão de 4 mg/dl. Para determinarmos a probabilidade de que uma pessoa tenha o
colesterol superior a 125 mg/dl, vamos utilizar a distribuição normal padrão. O primeiro passo é
determinarmos o z-escore:
Nesse sentido, temos que  , conforme a Figura 1.
Figura 1 | Probabilidade de que z seja maior que 1,25. Fonte: elaborada pela autora.
Utilizando a uma tabela da distribuição normal padrão acumulada, encontraremos a área que corresponde 
buscando 1,2 na coluna à esquerda e, depois, seguindo a linha até a coluna sob 0,05. O número
naquela linha e coluna é 0,8944. Então, a área à esquerda de  0,8944 (Tabela 1).
z = x−μ
σ
z = 125−120
4 = 1,25
P(X ≥ 1250) = P(Z ≥ 1,25)
z = 1, 25 
z  =  1, 25 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Tabela 1 | Distribuição normal padrão acumulada. Fonte: elaborada pela autora.
Essa não é a probabilidade que queremos. Queremos a área à direita de  , então temos que diminuir
o valor encontrado de 1:
Logo, a probabilidade de que uma pessoa tenha o colesterol superior a 125 mg/dl é de 0,1056, ou seja,
10,56%.
 
Solução da questão 2
No problema foi informado que 30% dos residentes nas proximidades de uma extensa indústria siderúrgica
são afetados por alergias. Devemos determinar a probabilidade de que, ao selecionar 10 moradores ao acaso,
pelo menos 3 tenham alergia.
Podemos utilizar a distribuição binomial, uma vez que só temos dois resultados possíveis: ou a pessoa tem
alergia ou não tem. Além disso, foi selecionado um número �xo de pessoas. É importante destacar que a
questão requer a probabilidade de que pelo menos 3 moradores tenham alergia, então precisamos calcular a
probabilidade de que 3, 4, …, 10 moradores tenham alergia e depois somá-la. Mas perceba que teríamos que
fazer muitos cálculos. Esse problema pode ser abordado considerando-se o princípio de que a soma total das
probabilidades é igual a 1. Se desejamos calcular a probabilidade de que pelo menos 3 pessoas tenham
alergia, isso signi�ca que não estamos interessados na probabilidade de que nenhuma pessoa tenha alergia
ou de que apenas uma pessoa tenha ou de que duas pessoas tenham alergia. Subtraindo a soma das
probabilidades de não ter alergia, de ter 1 pessoa com alergia e ter 2 pessoas com alergia de 1, obteremos a
probabilidade de que pelo menos 3 pessoas tenham alergia, ou seja, 
. Vamos calcular essas probabilidades:
Portanto, a probabilidade de que, ao selecionar 10 moradores ao acaso, pelo menos 3 moradores tenham
alergia é de aproximadamente 61,8%.
 
Solução da questão 3
Inicialmente, é necessário determinar a média de pedidos de músicas por unidade de referência, que, nesse
caso, é de 15 pedidos de músicas clássicas por hora. O problema busca a probabilidade de receber
exatamente 5 pedidos de músicas clássicas em um período de 30 minutos; observe que o intervalo de
referência difere da informação inicial do problema. Para encontrar o número de pedidos no novo intervalo,
podemos empregar uma regra de três:
Portanto,  . Agora vamos calcular a probabilidade de que sejam pedidas exatamente 5 músicas:
z = 1,25
P(Z ≥ 01,25) = 1 − P(Z ≤ 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
P(x) = P(X = x) = C x
n ⋅ px ⋅ qn−x  {
p = 30% = 0,3 
q = 1 − p = 1 − 0,3 = 0,7
P(0) = P(X = 0) = C 0
10 ⋅ (0,3)0 ⋅ (0,7)10−0 = 10!
0!(10−0)! ⋅ (0,3)0 ⋅ (0,7)10 ≈ 0,028
P(1) = P(X = 1) = C 1
10 ⋅ (0,3)1 ⋅ (0,7)10−1 = 10!
1!(10−1)! ⋅ (0,3)1 ⋅ (0,7)9 ≈ 0,121
P(2) = P(X = 2) = C 2
10 ⋅ (0,3)2 ⋅ (0,7)10−2 = 10!
2!(10−2)! ⋅ (0,3)2 ⋅ (0,7)8 ≈ 0,233
P(X ≥ 2) = 1 − [0,028 + 0,121 + 0,233] = 1 − 0,382 ≈ 0,618
15 pedidos − − − − − − − − − 1 hora
z pedidos − − − − − − − −0,5 hora
z ⋅ 1 = 0,5 ⋅ 15
z = 7,5 pedidos
λ = 7,5
P(x) = P(X = x) = e−λ⋅λx
x!
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Portanto, a probabilidade de a rádio receber exatamente 5 pedidos de músicas clássicas em um período de
30 minutos é de aproximadamente 10,9%.
Ao se aventurar no campo da probabilidade, é fundamental ter o conhecimento dos variados métodos
disponíveis para abordar problemas, escolhendo aquele mais adequado de acordo com as características
especí�cas de cada situação. A Figura 2 ilustra os principais conceitos da probabilidade.
Figura 2 | Conceitos da probabilidade. Fonte: elaborada pela autora. 
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/. Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
,
P(5) = P(X = 5) = e−7,5⋅(7,5)5
5! ≈ 0,109
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Unidade 4
Estatística Inferencial
Aula 1
Estimativas de Con�ança
Estimativas de con�ança
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Nossas decisões são fundamentadas em conhecimentos anteriores e
experiências similares, visando otimizar benefícios e reduzir possíveis impactos adversos. No entanto,
devemos reconhecer que a margem de erro está sempre presente. Nesse contexto, a estatística inferencial,
como um campo da estatística, procura quanti�car as probabilidades de ocorrência de erros e acertos nas
escolhas que fazemos.
A estatística inferencial é uma área da estatística que desempenha um papel importante na avaliação e na
mensuração desses erros e acertos na tomada de decisões. Ela utiliza métodos estatísticos para fazer
inferências pautadas em amostras de dados e estender essas conclusões para populações maiores. A
estatística inferencial permite quanti�car a incerteza associada a uma decisão ou conclusão com base em
dados limitados, o que ajuda a avaliar as chances de erros e acertos.
Nesta aula, iniciaremos nossos estudos sobre a estatística inferencial, discutindo o teorema do limite central
e os intervalos de con�ança. Para entender como podemos aplicar esse conceito, considere que um
fabricante pretende investigar a longevidade das baterias utilizadas em relógios de pulso. Uma amostra de
diversos lotes produzidos pela mesma empresa foi sujeita a testes de aceleração, e os resultados para a
durabilidade em anos foram os seguintes: 1,2 – 1,4 – 1,7 – 1,3 – 1,2 – 2,3 – 2,0 – 1,5 – 1,8 – 1,4 – 1,6 – 1,5 –
1,7 – 1,5 – 1,3. Assumindo que a durabilidade das baterias segue uma distribuição normal e que tenha
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u4a1_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
desvio-padrão 1, qual é o intervalo de con�ança para a média do tempo de duração dessas baterias, com 90%
de con�ança?
Para con�rmar isso, precisamos aprender como realizar o cálculo de um intervalo de con�ança.
Bons estudos!
Vamos Começar!
A estatística inferencial, às vezes denominada estatística indutiva, abrange um conjunto de métodos que
possibilitam a obtenção de conclusões sobre uma população (estimando valores desconhecidos da
população) com base na análise de dados amostrados. Ao examinarmos uma amostra de indivíduos com
pressão arterial elevada por meio de testes inferenciais, podemos inferir que um indivíduo típico dessa
população tem, por exemplo, uma probabilidade de 60% de sofrer um ataque cardíaco. É importante notar
que essa análise é realizada em uma amostra, já que seria impraticável examinar toda a população de
pessoas com pressão arterial elevada. No entanto, com base nos resultados obtidos dessa amostra, fazemos
inferências que se aplicam à totalidade da população em questão.
Um resultado importante utilizado na estatística inferencial é o Teorema do Limite Central (TLC), que
estabelece a conexão entre a distribuição amostral da média e a população da qual as amostras são
extraídas. Essa teoria é uma ferramenta essencial, pois fornece as informações necessárias quando são
realizadas inferências estatísticas sobre a média de determinada população (Larson; Farber, 2015). De
acordo com o Teorema do Limite Central:
Quando amostras aleatórias de tamanho 
Se as amostras aleatórias de tamanho 
n
n ≥  30
μ
σ
n
n
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Teorema do limite central. Fonte: Werkema (2014, p. 22).
Em ambos os cenários citados, a média da distribuição amostral da média é equivalente à média da
população. Além disso, a variância da distribuição amostral da média é igual a 
Um resultado importante relacionado ao TLC refere-se à probabilidade de uma média amostral: “A
distribuição da média amostral 
σ2
n
σ2
σ
√n
n
x
n
μ
σ
μ
σ
√n
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
É aproximadamente normal com média 0 e variância 1, isto é 
Siga em Frente...
Com base nos conceitos que discutimos até agora, vamos abordar dois exemplos.
 
Exemplo 1
Suponha que você esteja realizando um estudo sobre a média de tempo que motoristas dirigem por dia. Para
isso, você selecionou uma amostra de 50 motoristas que, em média, dirigem 25 minutos por dia.
Considerando que o desvio-padrão é 
Dado que o tamanho da amostra excede 30, podemos empregar o teorema do limite central para inferir que a
distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal com média 
Assim, queremos 
z = −μ
σ/√n
x
N(0, 1)
σ = 1, 5
μ = 25
1,5
√50
z1 = 24,6−25
1,5
√50
≈ −1, 88
z2 = 25,7−25
1,5
√50
≈ 3, 30
P(24, 6 ≤ x  ≤ 25, 7)
P(−1, 88 ≤ Z ≤ 3, 30)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 2 | z-escore da distribuição dada. Fonte: elaborada pela autora.
Com o auxílio de uma tabela da distribuição normal padrão (Tabela 1), devemos encontrar a área
correspondente a cada z-escore e, depois, realizar uma subtração entre a área maior e a área menor. Para
determinar a área relacionada ao z-escore negativo, lembre-se de que a curva normal é simétrica, então 
P(Z ≤ z) = P(Z ≥ z)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Tabela 1 | Distribuição normal padrão acumulada. Fonte: elaborada pela autora.
Logo, 
Uma técnica essencial na estatística inferencial é a estimação de parâmetros, na qual utilizamos estatísticas
amostrais para calcular o valor de um parâmetro populacional desconhecido. Essas estimativas podem
assumir a forma de estimadores pontuais, representando um único valor estimado para o parâmetro, ou
estimadores intervalares, que consistem em um intervalo de valores usados para estimar o referido
parâmetro. Vamos direcionar nosso enfoque para os estimadores intervalares, pois, ao contrário dos
estimadores pontuais, que fornecem apenas um valor único como estimativa, os estimadores intervalares
adotam uma abordagem mais abrangente, reconhecendo a incerteza associada à estimativa.
A proposta consiste em estabelecer um intervalo que, com um nível de con�ança conhecido (denominado 
(24, 6 ≤ x  ≤ 25, 7) = P(−1, 88 ≤ Z ≤ 3, 30) = P(Z ≤ 3, 30) − [1 − P(Z ≥ 1, 88)] = 0, 9995 −
1 − α
1 − α
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
O nível de con�ança 
Figura 3 | Intervalo de con�ança. Fonte: elaborada pela autora.
A �m de obtermos os valores críticos, é necessário consultar uma tabela da distribuição normal padrão para
encontrar o z-escore correspondente à área fornecida. Por exemplo, ao considerarmos um nível de con�ançade 95%, ou seja, 
α
1 − α
−z1−a
z1−α
1 − α
−z1−α
z1−α
α
α
2
1 − α = 0, 95
α
−z1−α
z1−α
z1−α
1 − 0, 025 = 0, 975
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Tabela 2 | Tabela da distribuição normal padrão. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que o z-escore que tem área igual a 0,9750 é 1,96. Utilizando a propriedade de simetria da curva
normal, observamos que os valores críticos são 
Figura 4 | Região entre -1,96 e 1,96. Fonte: elaborada pela autora.
−z1−α = −1, 96
z1−α = 1, 96
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
É normal utilizarmos os níveis de con�ança de 90%, 95% e 99%. Os z-escores correspondentes a esses
valores são apresentados na Tabela 3.
Nível de con�ança
90% 1,64
95% 1,96
99% 2,57
Tabela 3 | z-escore para alguns níveis de con�ança. Fonte: elaborada pela autora.
 
Com base no nível de con�ança, 
Ressalta-se que a aplicação dessa fórmula para calcular o erro é viável apenas quando a amostra é aleatória
e a distribuição da população é normal, ou quando 
. Com base no erro e em uma estimativa pontual, podemos construir um intervalo de con�ança. O intervalo de
con�ança para a média, quando a variância populacional é conhecida, é dado por:
Ou
Note que, com base no tipo de erro e na estimativa pontual, podem surgir diferentes categorias de intervalos
de con�ança. O apresentado aqui é apenas um dos exemplos de intervalo de con�ança.
 
Exemplo 2
O diretor de uma faculdade busca estimar a idade média de todos os estudantes atualmente matriculados.
Em uma amostra aleatória de 30 estudantes, a idade média observada é de 22,9 anos. Com base em estudos
z1−α
1 − α
E = z1−α ⋅ σ
√n
E = z1−α ⋅ σ
√n
n ≥ 30
n ≥ 30
IC =   − Esobre potenciação e radiciação, sugerimos a leitura das
seções 1.8 (Potências) e 1.9 (Raízes) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. 
Referências
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17
out. 2023.
HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo
GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em:
17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo:
Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023.
Aula 2
Equação
Equação
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Como podemos representar matematicamente a seguinte frase: “O dobro de um
número menos seu triplo é igual 10”? Geralmente utilizamos a letra 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u1a2_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
A �m de que você perceba como podemos aplicar o conceito de equações e logaritmos para solucionar
problemas, analise a situação a seguir.
Imagine que você esteja poupando dinheiro para uma viagem e decidiu realizar uma aplicação com um valor
que você tinha. Após pesquisar diferentes tipos de investimentos, você �cou indeciso entre dois deles. O
primeiro é uma aplicação em regime de juros simples, com uma taxa de 2,5% ao mês, enquanto o segundo é
um investimento em regime de juros compostos, com uma taxa de 2% ao mês. Suponha que o valor total no
�nal de um período da aplicação em regime de juros simples seja dado por 
, onde 
 é o capital inicial investido e 
 é o tempo em que o dinheiro está aplicado. Além disso, o montante ao �nal do período da aplicação em
regime de juros compostos é dado por 
, onde 
 é o capital inicial investido e 
 é o tempo em que o dinheiro está aplicado. Com um investimento inicial de R$ 2.000,00, você deseja saber
em quanto tempo alcançará um montante de R$ 7.000,00 em cada um dos tipos de aplicação.
Para resolvermos esse problema, precisamos entender os conceitos de equação e logaritmo.
Bons estudos!
 
Vamos Começar!
Como podemos representar matematicamente a seguinte frase: “O dobro de um número menos o seu triplo”?
Se considerarmos que o número possa ser representado pela letra 
x
2 ⋅ x + 3x = 10
M   =  C(1  +  0,025t)
C
t
M   =  C(1  +  0,02)t
C
t
M   =  C(1  +  0,025t)
C
t
M   =  C(1  +  0,02)t
C
t
x
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma expressão algébrica pode ser considerada o conjunto de letras e números ligados entre si por operações
quaisquer, como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação (Silva; Silva; Silva, 2018).
O elemento fundamental de uma expressão algébrica é o termo, composto de um número, denominado
coe�ciente, e de uma incógnita, denominada parte literal. A Figura 1 mostra exemplos de termos algébricos.
Figura 1 | Exemplos de termos de uma expressão algébrica. Fonte: elaborada pela autora.
Denominamos valor numérico de uma expressão algébrica o número que se obtém quando atribuímos
valores às incógnitas e efetuamos as operações indicadas; por exemplo, o valor numérico da expressão
algébrica 
é
Um conceito importante relacionado ao de expressões algébricas é o de termos semelhantes. Dizemos que
dois termos ou mais são semelhantes quando as partes literais são as mesmas. 
Por exemplo, 
2x – 3x
z + 3z
2
√t − 2
3x2 + 2x + 5x
2x – 3y
x = 1 e y = 2
2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = 2 − 6 = −4
3x
4x
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Agora que você adquiriu certo entendimento sobre o conceito de expressões algébricas, estamos prontos
para explorar o tema das equações e suas soluções.
 
Equação e inequação do primeiro grau
Quando existe uma igualdade entre duas expressões algébricas, denominamos equação. Em particular, a
equação será de uma incógnita quando as expressões algébricas tiverem apenas uma incógnita; por
exemplo:
Ao escrevermos equações, temos como objetivo encontrar o valor desconhecido, isto é, o valor da incógnita
que torne a igualdade válida. Chamamos esse valor de raiz ou solução da equação. Vamos veri�car se 
x
7x²
7x
x²
x
2x + 3 = 4x − 5
x2 + 3x = 16x − 5
x  =   − 5 
x  =  3 
x²  +  2x  − 15  =  0
x2 + 2x − 15 = 0 (equação  original)
x2 + 2x − 15 = 0 (equação  original)
(−5)2 + 2(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 (quando   fazemos  x = −5)
(−5)2 + 2(−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 (quando   fazemos  x = −5)
(3)2 + 2(3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 (quando   fazemos  x = 3)
(3)2 + 2(3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 (quando   fazemos  x = 3)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Como em ambos os casos conseguimos uma igualdade válida, temos que 
 e 
são soluções da equação.
Ao lidar com a resolução de uma equação, o passo inicial é o que chamamos de simpli�cação. Geralmente,
isso é alcançado ao eliminarmos os denominadores e agruparmos termos semelhantes. A simpli�cação
baseia-se em dois princípios que não alteram o valor de cada uma das raízes.
Princípio da adição ou subtração (princípio da transposição): em toda equação, podemos adicionar um
mesmo termo a ambos os seus membros, assim como subtrair (Hazzan, 2021).
Princípio da multiplicação ou divisão: em toda equação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos
dois membros de uma equação por um número diferente de zero (Hazzan, 2021).
Utilizando essas propriedades, vamos resolver a equação 
Com isso, obtemos uma equação mais simples. Agora, para isolar o  utilizaremos o princípio da divisão e
dividiremos todos os termos da equação por 12:
Você provavelmente já ouviu a orientação “passa para o outro lado” quando o assunto é resolver uma
equação. Por exemplo, quando é preciso eliminar um termo que aparece somado ou subtraído de um dos
lados de uma equação, é comum “passar o termo para o outro lado com o sinal trocado”.
É preciso ter cuidado com essa indicação, pois é muito comum utilizá-la quando estamos tratando de um
termo envolvido em um produto ou uma divisão. Então, em vez de dizermos que para isolar a incógnita
devemos “passar o termo para o outro lado com o sinal trocado”, podemos dizer que devemos “passar o
termo para o outro lado com a operação inversa”.
A depender das características das equações, podemos classi�cá-las. Chamamos de equação do primeiro
grau com uma incógnita, ou equação linear, toda equação que, após simpli�cação, se reduz à forma (Hazzan,
2021)
x  =   − 5
x  =  3 
x  =   − 5
x  =  3 
12x – 26  =  34
x
12x − 26 + 26 = 34 + 26
12x − 0 = 60
12x = 60
12x = 60
12x
12 = 60
12
x = 5
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Observe que o grau da incógnita é 1 e, para resolvermos esse tipo de equação, utilizamos os princípios
citados anteriormente.
Agora, abordaremos um problema em que as equações lineares podem ser aplicadas: “o dobro de um
número menos seu triplo é igual ao número somados 16”. O primeiro passo é escrever esse problema em
termos matemáticos; para isso representaremos o número desconhecido com y:
Trata-se de uma equação do primeirovocê aprendeu sobre o Teorema do Limite Central (TLC) e suas
implicações. Esse teorema desempenha um papel crucial na estatística inferencial e pode ser aplicado em
várias situações; uma delas é o teste estatístico de hipóteses. Trata-se de um procedimento estatístico
utilizado para tomar decisões ou fazer inferências sobre uma população com base em uma amostra de
dados. Ele envolve a formulação de duas hipóteses opostas: a hipótese nula (H0) e a hipótese alternativa
(H1). O resultado do teste ajuda a determinar se há evidências estatísticas su�cientes para rejeitar a hipótese
nula em favor da hipótese alternativa.
Os testes de hipótese são comumente usados em pesquisas cientí�cas, experimentos, estudos clínicos e
várias áreas em que os pesquisadores desejam fazer inferências sobre populações com base em amostras
limitadas de dados.
Nesta aula, estudaremos o teste de hipótese para média de uma amostra com a variância populacional
conhecida. Para entender como podemos aplicar esse conceito, considere que determinada máquina é
responsável por cortar barras de metal, com comprimento médio de 50 centímetros, sendo a variável 
Para responder a essa pergunta, é fundamental compreender o que é um teste de hipótese, bem como os
procedimentos envolvidos em sua execução.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Os testes estatísticos de hipóteses constituem técnicas utilizadas na inferência estatística. Em outras
palavras, ao conduzir um teste de hipóteses com dados amostrais, é possível realizar inferências sobre a
X
X ~ (μ, 25 cm)
n  =  36
x   =  52 cm
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u4a2_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
população. O processo básico de um teste estatístico envolve a formulação de uma hipótese em relação ao
valor de um parâmetro. Utilizando os elementos amostrais e as técnicas estatísticas, conclui-se pela
aceitação ou rejeição da hipótese formulada.
Uma a�rmação relativa a um parâmetro é denominada hipótese estatística. Ao testar um parâmetro, é crucial
de�nir de forma precisa um par de hipóteses: uma que expresse a proposição e outra que expresse sua
negação. Quando uma dessas hipóteses é falsa, a outra deve ser verdadeira (Larson; Farber, 2015).
Denominamos essas hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula, H0, é uma hipótese estatística que contém
uma informação de igualdade como 
Por outro lado, a hipótese alternativa, H1, é o complemento da hipótese nula e deve conter uma desigualdade
estrita, tal como 
A hipótese alternativa é verdadeira quando H0 é falsa.
Independentemente de qual das hipóteses represente a a�rmação, em um teste de hipóteses, sempre se
inicia assumindo que a condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira. Durante a realização de um
teste de hipóteses, uma das duas decisões é tomada:
1. Rejeitar a hipótese nula.
2. Não rejeitar a hipótese nula.
Devido ao fato de que a decisão é pautada em uma amostra, e não na população inteira, existe sempre a
possibilidade de tomar uma decisão incorreta (Larson; Farber, 2015). Em relação à nossa decisão de aceitar
ou rejeitar H0, podemos ter quatro resultados (Tabela 1).
  Veracidade de H0
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeita H0 Decisão correta Erro do tipo II
Rejeita H0 Erro do tipo I Decisão correta
Tabela 1 | Resultados possíveis de um teste de hipóteses. Fonte: Larson e Farber (2015, p. 351).
 
Dependendo do tipo de parâmetro que examinamos, podemos empregar distintos tipos de testes. Nesse
contexto, nosso interesse se concentra nos testes relacionados à média de uma população. Inicialmente,
concentraremos nosso estudo na execução de um teste para a média quando a variância populacional é
conhecida. A seguir, observe o passo a passo de como realizar esse tipo de teste.
 
=, ≥
≤
≠, 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
1º Passo: formular as hipóteses
Já estudamos que um teste de hipótese é composto de dois tipos de hipóteses: uma hipótese nula e uma
hipótese alternativa.
Ao formular as hipóteses nula e alternativa, é necessário expressar a proposição relativa ao parâmetro como
uma sentença matemática e, em seguida, redigir sua negação. Por exemplo, se a alegação sobre o parâmetro
é representada por 
                                 
                
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
É a probabilidade máxima de rejeitar a hipótese nula, 
 
3º Passo: de�nição da região crítica
A região em que os valores das estatísticas de teste conduzem à rejeição da hipótese nula é denominada
região crítica (RC). Sua extensão é equivalente ao nível de signi�cância, e sua orientação segue a mesma
direção da hipótese alternativa. Assim, considerando o tipo de hipótese alternativa, podemos ter três tipos de
regiões: unilateral à direita, unilateral à esquerda e bilateral.
A Figura 1 ilustra a região crítica para um teste bilateral.
r
μ
{
H0 : μ = r
H1 : μ ≠ r
{
H0 : μ = r
H1 : μ > r
{
H0 : μ = r
H1 : μ r
H0
H0
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Região crítica para um teste bilateral. Fonte: elaborada pela autora.
Para determinarmos a região crítica nesse caso, primeiro temos que dividir o nível de signi�cância 
A Figura 2 ilustra a região crítica para um teste unilateral à esquerda.
Figura 2 | Região crítica para um teste unilateral à esquerda. Fonte: elaborada pela autora.
(α)
−z α
2
z α
2
1 − 0,025 = 0,975
z = 1,96
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Observe que, ao adotarmos uma hipótese alternativa do tipo “menor que”, a área crítica se encontra na cauda
esquerda da distribuição. Nesse cenário, é su�ciente determinar o z-escore associado à área dessa cauda.
Por exemplo, considere um teste unilateral à esquerda com um nível de signi�cância de 10%. Precisamos
identi�car o valor de z cuja área à esquerda é 0,1. Nota-se que 0,1 corresponde à área da região crítica. A
Tabela 2 mostra que o z-escore cuja área é aproximadamente 0,10 é 
Tabela 2 | Distribuição normal. Fonte: elaborada pela autora.
A Figura 3 ilustra a região crítica para um teste unilateral à direita.
Figura 3 | Região crítica para um teste unilateral à direita. Fonte: elaborado pela autora.
Ao adotarmos uma hipótese alternativa do tipo “maior que”, a região crítica se encontra à direita da
distribuição. Assim, para determinarmos o z-escore referente a essa área crítica, fazemos 
zα = −1,28
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 
4º Passo: calcular a estatística do teste
Como o objetivo é testar a média populacional da variável  
Em que
 
5º Passo: tomar a decisão
Se o valor encontrado para 
1 − α
1 − 0,05 = 0,95
zα = 1,64
X~ N  (μ,σ2)
−
x~N(μ, σ2
n )
Zcalc
Z
z =
−
x−μ
σ
√n
μ =  
σ =  
−
x =  
Zcalc
Zcalc 
Ztab
Zcalc ≠
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Siga em Frente...
Com base nesse passo a passo, vamos resolver o exemplo a seguir.
 
Exemplo
Vamos considerar que uma indústria adquire parafusos de determinado fabricante, e a carga média de
ruptura por tração especi�cada é de 50 quilos, com um desvio-padrão das cargas de ruptura igual a 4 quilos.
O comprador realiza uma amostragem de 30 parafusos e encontra uma média de ruptura de 49 quilos. Com
um nível de signi�cância de 5%, há evidências que apoiem a suspeita do comprador de que a carga média de
ruptura dos parafusos seja inferior a 50 quilos?
1º Passo: formular as hipóteses
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
O nível de signi�cância foi informado como 
 3º Passo: de�nição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “menor que”, logo temos um teste unilateral à esquerda. A área crítica se
encontra na cauda esquerda da distribuição, assim é su�ciente determinar o z-escore associado à área dessa
cauda. Como temos um nível de signi�cância de 5%, precisamos identi�car o valor de z cuja área à esquerda
é 0,05, e esse valor é 
Ztab
H0 : μ = 50
H0 : μ = 50
H1 : μnormal. Fonte: elaborada pela autora.
Assim, temos a região crítica conforme a Figura 4.
Figura 4 | Região crítica. Fonte: elaborada pela autora.
4º Passo: calcular a estatística com base na amostra
Como o objetivo é testar a média populacional da variável 
X~ N  (μ,σ2)
−
x~N(50, 42
30 )
 x  ~N(50; 0, 53)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
5º Passo: tomar a decisão
Temos que 
, ou seja, 
 encontra-se na região de aceitação, logo podemos aceitar a hipótese nula. Isso signi�ca que não há
evidências que apoiem a suspeita do comprador de que a carga média de ruptura dos parafusos seja inferior
a 50 quilos.
Vamos Exercitar?
Agora, que você já sabe todos os procedimentos para realizar um teste de hipótese para média populacional
quando a variância populacional é conhecida, vamos retornar à nossa situação inicial. Nela, consideramos
que determinada máquina é responsável por cortar barras de metal, com comprimento médio de 50
centímetros, sendo a variável 
Sabemos que se a média dos comprimentos for diferente de 50 centímetros, a empresa enfrentará prejuízo e
que alguns funcionários têm suspeitas de que a máquina esteja desregulada. Para veri�car isso, eles
realizaram uma amostragem de tamanho 
1º Passo: formular as hipóteses
Sabemos que se a média dos comprimentos for diferente de 50 centímetros, há prejuízos. Assim, nossas
hipóteses serão:
Zcalc
z =
−
x−μ
σ
√n
z = 49−50
4
√30
= −1,36
Zcalc > Ztab
Zcalc
Zcalc > Ztab
Zcalc
X
X ~ (μ,  25 cm)
n  =  36 
  =  52 cmx
H0 : μ = 50
H1 : μ ≠ 50
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
O nível de signi�cância foi informado como 
.
3º Passo: de�nição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “diferente”, portanto é um teste bilateral. Para determinarmos a região
crítica nesse caso, primeiro temos que dividir o nível de signi�cância 
Figura 5 | Região crítica relacionada ao problema. Fonte: elaborada pela autora.
4º Passo: calcular a estatística com base na amostra
Como o objetivo é testar a média populacional da variável 
α = 5%
α = 5%
(α)
−z α
2
z α
2
z α
2
1 − 0,025 = 0,975
z = 1,96
X~ N  (μ, 25)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Considerando que a variância populacional é 25, lembre-se de que o desvio-padrão será a raiz quadrada da
variância; assim, 
 5º Passo: tomar a decisão
Sabemos que 
, ou seja, 
 encontra-se na região crítica, logo rejeitamos a hipótese nula. Assim, em um nível de signi�cância de 5%, há
indícios estatísticos para con�rmar a suspeita dos funcionários em relação à média dos comprimentos (que
é diferente de 50 centímetros) e, consequentemente, à possibilidade de prejuízo para a empresa.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o teste de hipótese, sugerimos a leitura das seções
7.1 e 7.2 do livro Estatística aplicada. Em seguida, escolha alguns exercícios para resolver!
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
−
x~N(50, 25
36 )
−
x~N(50; 0,69)
Zcalc
z =
−
x−μ
σ
√n
z = 52−50
√25
√36
= 2,4
Zcalc > Ztab
Zcalc
Zcalc > Ztab
Zcalc
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
Aula 3
Outro Teste De Hipótese Para A Média De Uma População
Outro teste de hipótese para a média de uma população
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Você já se familiarizou com a execução de um teste de hipótese para a média
quando a variância populacional é conhecida. No entanto, surge uma situação distinta quando apenas a
variância amostral é conhecida e a amostra contém menos de 30 elementos. Nesse caso, utilizamos a
distribuição t de Student para realizar o teste de hipótese.
Nesta aula, exploraremos as propriedades relacionadas à distribuição t de Student e executaremos testes de
hipóteses para média quando a variância populacional é desconhecida. Para entender como podemos aplicar
esse conceito, considere que uma máquina é projetada para cortar barras de metal com um comprimento
médio de 50 centímetros, sendo o comprimento dessas barras uma variável aleatória 
X
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u4a3_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Para responder a essa pergunta, é fundamental compreender como podemos realizar um teste de hipótese
para média quando a variância populacional é desconhecida.
Bons estudos!
Vamos Começar!
A distribuição t de Student é um modelo de probabilidade desenvolvido pelo químico britânico W.S. Gosset,
que publicou seus trabalhos, em 1908, sob o pseudônimo “Student”. Gosset trabalhava em uma cervejaria e
aparentemente não desejava que seus concorrentes descobrissem que sua equipe de pro�ssionais estava
utilizando técnicas estatísticas para o aprimoramento de seus processos produtivos (Werkema, 2014).
A distribuição t surgiu da necessidade de lidar com a incerteza introduzida ao estimar a variância de uma
população com base em uma amostra pequena. Enquanto a distribuição normal é usada quando a variância
populacional é conhecida, a distribuição t é mais apropriada quando a variância populacional é desconhecida
e precisa ser estimada com base nos dados da amostra.
A estatística t, com 
Em que 
A necessidade de utilizar a quali�cação com 
Ao contrário da distribuição z, que tem uma única tabela abrangente, a distribuição t exigiria uma variedade
considerável de tabelas, uma para cada grau de liberdade. No entanto, para nosso propósito, não é
X~(μ,  σ2)
n = 28 
= 52, 04 x
S 2 = 25
n − 1
t =
−
x−μ
√ S2
n
S 2
n − 1
n
n − 1
z =
−
x−μ
σ
√n
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
necessário ter uma tabela tão abrangente quanto a tabela Z. Uma tabela que inclua probabilidades-chave,
amplamente utilizadas, é su�ciente, conforme ilustrado na Tabela 1. Seu cabeçalho apresenta os níveis de
signi�cância. A coluna à esquerda lista os graus de liberdade, enquanto ocorpo da tabela fornece os valores
de 
Bloco 1
Grau de liberdade
Nível de signi�cância  unilateral
0,1% 0,2% 0,5%
1 318,309 159,153 63,657
2 22,327 15,764 9,925
3 10,215 8,053 5,841
4 7,173 5,951 4,604
5 5,893 5,030 4,032
6 5,208 4,524 3,707
7 4,785 4,207 3,499
8 4,501 3,991 3,355
9 4,297 3,835 3,250
10 4,144 3,716 3,169
11 4,025 3,624 3,106
12 3,930 3,550 3,055
13 3,852 3,489 3,012
14 3,787 3,438 2,977
15 3,733 3,395 2,947
16 3,686 3,358 2,921
17 3,646 3,326 2,898
18 3,610 3,298 2,878
19 3,579 3,273 2,861
20 3,552 3,251 2,845
21 3,527 3,231 2,831
22 3,505 3,214 2,819
23 3,485 3,198 2,807
24 3,467 3,183 2,797
25 3,450 3,170 2,787
26 3,435 3,158 2,779
27 3,421 3,147 2,771
28 3,408 3,136 2,763
29 3,396 3,127 2,756
30 3,385 3,118 2,750
Bloco 2
Nível de signi�cância  unilateral
2% 2,5% 5%
31,821 15,895 12,706 6,314
ttab
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
6,965 4,849 4,303 2,920
4,541 3,482 3,182 2,353
3,747 2,999 2,776 2,132
3,365 2,757 2,571 2,015
3,143 2,612 2,447 1,943
2,998 2,517 2,365 1,895
2,896 2,449 2,306 1,860
2,821 2,398 2,262 1,833
2,764 2,359 2,228 1,812
2,718 2,328 2,201 1,796
2,681 2,303 2,179 1,782
2,650 2,282 2,160 1,771
2,624 2,264 2,145 1,761
2,602 2,249 2,131 1,753
2,583 2,235 2,120 1,746
2,567 2,224 2,110 1,740
2,552 2,214 2,101 1,734
2,539 2,205 2,093 1,729
2,528 2,197 2,086 1,725
2,518 2,189 2,080 1,721
2,508 2,183 2,074 1,717
2,500 2,177 2,069 1,714
2,492 2,172 2,064 1,711
2,485 2,167 2,060 1,708
2,479 2,162 2,056 1,706
2,473 2,158 2,052 1,703
2,467 2,154 2,048 1,701
2,462 2,150 2,045 1,699
2,457 2,147 2,042 1,697
Tabela 1 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte: elaborada pela autora.
 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Área correspondente ao nível de signi�cância a. Fonte: elaborada pela autora.
 
O passo a passo para realizar o teste de hipótese para média quando a variância populacional é
desconhecida é análogo ao teste quando a variância populacional é conhecida. A seguir, observe o passo a
passo de como realizar o teste.
1º Passo: formular as hipóteses
Sabemos que um teste de hipótese é composto de dois tipos de hipóteses: uma hipótese nula e uma
hipótese alternativa. Se considerarmos que a alegação sobre o parâmetro é representada por 
 e o parâmetro populacional é 
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
É a probabilidade máxima de rejeitar a hipótese nula, 
3º Passo: de�nição dos graus de liberdade 
É o número de desvios em relação à média que não estão relacionados entre si. Para calcular os graus de
liberdade, efetuamos 
.
r
r
μ
{
H0 : μ = r
H1 : μ ≠ r
{
H0 : μ = r
H1 : μ > r
{
H0 : μ = r
H1 : μ r
H0
α
(v) 
v  =  n – 1
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
4º Passo: de�nição da região crítica
A zona em que os valores das estatísticas de teste levam à rejeição da hipótese nula é chamada de região
crítica (RC). Dependendo do tipo de hipótese alternativa, existem três categorias de regiões: unilateral à
direita, unilateral à esquerda e bilateral.
Para determinar os valores críticos que delimitam a região crítica em um teste bilateral, primeiro temos que
dividir o nível de signi�cância 
Figura 2 | Região crítica para um teste bilateral. Fonte: elaborada pela autora.
Utilizando uma tabela da distribuição t de Student, podemos encontrar os valores críticos correspondentes ao
nível de signi�cância, dividido por 2 em cada extremidade, considerando os 
Bloco 1
Grau de liberdade Nível de signi�cância   unilateral
0,1% 0,2% 0,5%
1 318,309 159,153 63,657
2 22,327 15,764 9,925
3 10,215 8,053 5,841
v  =  n – 1
(α)
n − 1 
t α
2 ,v
v = n − 1 → 20 − 1 = 19
t α
2 ,v = 1,729
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
4 7,173 5,951 4,604
5 5,893 5,030 4,032
6 5,208 4,524 3,707
7 4,785 4,207 3,499
8 4,501 3,991 3,355
9 4,297 3,835 3,250
10 4,144 3,716 3,169
11 4,025 3,624 3,106
12 3,930 3,550 3,055
13 3,852 3,489 3,012
14 3,787 3,438 2,977
15 3,733 3,395 2,947
16 3,686 3,358 2,921
17 3,646 3,326 2,898
18 3,610 3,298 2,878
19 3,579 3,273 2,861
Bloco 2
Nível de signi�cância   unilateral
2% 2,5% 5%
31,821 15,895 12,706 6,314
6,965 4,849 4,303 2,920
4,541 3,482 3,182 2,353
3,747 2,999 2,776 2,132
3,365 2,757 2,571 2,015
3,143 2,612 2,447 1,943
2,998 2,517 2,365 1,895
2,896 2,449 2,306 1,860
2,821 2,398 2,262 1,833
2,764 2,359 2,228 1,812
2,718 2,328 2,201 1,796
2,681 2,303 2,179 1,782
2,650 2,282 2,160 1,771
2,624 2,264 2,145 1,761
2,602 2,249 2,131 1,753
2,583 2,235 2,120 1,746
2,567 2,224 2,110 1,740
2,552 2,214 2,101 1,734
2,539 2,205 2,093 1,729
Tabela 2 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte: elaborada pela autora.
 
Para determinar o limite da região crítica quando o teste é unilateral, basta identi�car o nível de signi�cância e
o grau de liberdade correspondente na tabela.
5º Passo: calcular a estatística do teste
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
A estatística do teste t, com 
Em que 
6º Passo: tomar a decisão
Se o valor encontrado para 
Uma abordagem alternativa para a tomada de decisão é a comparação entre o valor tabelado de t (chamado
de 
Siga em Frente...
Com base nesse passo a passo, vamos resolver o exemplo a seguir.
 
Exemplo
Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se normalmente em torno de 
n − 1
tcalc = t =
−
x−μ
√ S2
n
S 2
tcalc
tcalc
ttab
tcalc
tcalc 
ttab
tcalc ≠
ttab
12 cm3/min
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
1º Passo: formular as hipóteses
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
O nível de signi�cância foi informado como 
3º Passo: de�nição dos graus de liberdade 
Grau de liberdade 
4º Passo: de�nição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “diferente”, então temos um teste bilateral. Para determinarmos os
limites da região de aceitação, precisamos dividir o nível de signi�cância por dois. Assim, na tabela, devemos
buscar a interseção entre a coluna correspondente ao nível de signi�cância de 0,5% e a linha dos graus de
liberdade 
Bloco 1
Grau de liberdade Nível de signi�cância   unilateral
0,1% 0,2% 0,5%
1 318,309 159,153 63,657
2 22,327 15,764 9,925
3 10,215 8,053 5,841
4 7,173 5,951 4,604
5 5,893 5,030 4,032
6 5,208 4,524 3,707
7 4,785 4,207 3,499
Bloco 2
Nível de signi�cância   unilateral
2% 2,5% 5%
31,821 15,895 12,706 6,314
6,965 4,849 4,303 2,920
4,541 3,482 3,182 2,353
3,747 2,999 2,776 2,132
H0 : μ = 12
H1 : μ ≠ 12
α = 1%.
α = 1%.
(v)
v = n − 1 → v = 5 − 1 = 4
v = 4
t α
2 ,v = 4,604
(α)
(α)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
3,365 2,757 2,571 2,015
3,143 2,612 2,447 1,943
2,998 2,517 2,365 1,895
Tabela 3 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte: elaborada pela autora.
 
A Figura 3 ilustra a região crítica.
Figura 3 | Região crítica. Fonte: elaborada pela autora.
5º Passo: calcular a estatística do teste
A estatística do teste t, com  graus de liberdade, é denotada por:
6º Passo: tomar a decisão
Temos que 
tcalc = t =
−
x−μ
√ S2
n
tcalc = 13,90−12
√0,665
√5
≈ 5,21
tcalc > ttab
tcalc
H0
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Ao realizar um teste de hipótese, é crucial atentar-se para a formulação da hipótese alternativa, pois ela
orientará qual será o tipo de região crítica (unilateral ou bilateral). Adicionalmente, a interpretação dos
resultados é fundamental, visto que é preciso explicitar o signi�cado de aceitar ou rejeitar a hipótese nula.
Vamos Exercitar?
Agora, que você já sabe todos os procedimentos para realizar um teste de hipótese para média populacional
quando a variância populacional é desconhecida, vamos retomar nossa situação inicial. Nela, consideramos
que determinada máquina é responsável por cortar barras de metal, com um comprimento médio de 50
centímetros, sendo a variável 
Sabemos que se a média dos comprimentos for maior de 50 centímetros, isso representa prejuízo para a
empresa. Suspeitando que a máquina pode estar desregulada e causando prejuízo, alguns funcionários
decidiram investigar. Eles coletaram uma amostra de tamanho 
Vamos seguir os passos elencados anteriormentepara realizar o teste de hipótese.
1º Passo: formular as hipóteses
Sabemos que se a média dos comprimentos for maior que 50 centímetros, há prejuízos. Assim, nossas
hipóteses são:
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
O nível de signi�cância foi informado como 
3º Passo: de�nição dos graus de liberdade 
Como temos uma amostra de 28 elementos, o grau de liberdade é 
4º Passo: de�nição da região crítica
X
X~(μ,  σ2)
n = 28
−
x = 52,04
S 2 = 25 
H0 : μ = 50
H1 : μ > 50
α = 5%
(v)
v = n − 1 → v = 28 − 1 = 27
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Como temos uma hipótese alternativa do tipo “maior que”, trata-se de um teste unilateral à direita. Na tabela,
buscaremos a interseção entre a coluna correspondente ao nível de signi�cância de 5% e a linha dos graus de
liberdade 
Bloco 1
Grau de liberdade
Nível de signi�cância  unilateral
0,1% 0,2% 0,5%
1 318,309 159,153 63,657
2 22,327 15,764 9,925
3 10,215 8,053 5,841
4 7,173 5,951 4,604
5 5,893 5,030 4,032
6 5,208 4,524 3,707
7 4,785 4,207 3,499
8 4,501 3,991 3,355
9 4,297 3,835 3,250
10 4,144 3,716 3,169
11 4,025 3,624 3,106
12 3,930 3,550 3,055
13 3,852 3,489 3,012
14 3,787 3,438 2,977
15 3,733 3,395 2,947
16 3,686 3,358 2,921
17 3,646 3,326 2,898
18 3,610 3,298 2,878
19 3,579 3,273 2,861
20 3,552 3,251 2,845
21 3,527 3,231 2,831
22 3,505 3,214 2,819
23 3,485 3,198 2,807
24 3,467 3,183 2,797
25 3,450 3,170 2,787
26 3,435 3,158 2,779
27 3,421 3,147 2,771
Bloco 2
Nível de signi�cância  unilateral
2% 2,5% 5%
31,821 15,895 12,706 6,314
6,965 4,849 4,303 2,920
4,541 3,482 3,182 2,353
3,747 2,999 2,776 2,132
3,365 2,757 2,571 2,015
3,143 2,612 2,447 1,943
2,998 2,517 2,365 1,895
2,896 2,449 2,306 1,860
v = 27
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2,821 2,398 2,262 1,833
2,764 2,359 2,228 1,812
2,718 2,328 2,201 1,796
2,681 2,303 2,179 1,782
2,650 2,282 2,160 1,771
2,624 2,264 2,145 1,761
2,602 2,249 2,131 1,753
2,583 2,235 2,120 1,746
2,567 2,224 2,110 1,740
2,552 2,214 2,101 1,734
2,539 2,205 2,093 1,729
2,528 2,197 2,086 1,725
2,518 2,189 2,080 1,721
2,508 2,183 2,074 1,717
2,500 2,177 2,069 1,714
2,492 2,172 2,064 1,711
2,485 2,167 2,060 1,708
2,479 2,162 2,056 1,706
2,473 2,158 2,052 1,703
Tabela 4 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte: elaborada pela autora.
 
Com base nesse valor, nossa região de aceitação compreende todos os valores menores que 1,703,
conforme ilustra a Figura 4.
Figura 4 | Região crítica. Fonte: elaborada pela autora.
5º Passo: calcular a estatística do teste
A estatística do teste t, com graus de liberdade, é denotada por:
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
6º Passo: tomar a decisão
Temos que 
, ou seja, 
 encontra-se na região crítica, logo rejeitamos 
. Portanto, podemos concluir que a evidência amostral indica, ao nível de 5% de signi�cância, que a média
populacional é maior que 50 centímetros, con�rmando assim a suspeita dos funcionários.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre os testes de hipóteses, sugerimos a leitura da seção
7.3 do livro Estatística aplicada. Após concluir a leitura da seção, escolha alguns exercícios para resolver! 
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
tcalc = t =
−
x−μ
√ S2
n
tcalc = 52,04−50
√25
√28
≈ 2,16
tcalc > ttab
tcalc
H0
tcalc > ttab
tcalc
H0
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer conclusões com con�ança no giro do PDCA e DMAIC.
Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/. Acesso em: 10 nov. 2023.
Aula 4
Regressão Linear
Regressão linear
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Realizamos inúmeras pesquisas e investigações com o objetivo de examinar as
relações entre diversas variáveis. Um exemplo evidente é a conexão entre oferta e demanda. A motivação
central para o estudo da interação entre duas variáveis está na habilidade de prever resultados futuros ou
inferir valores não amostrados de uma população.
A regressão linear, uma técnica estatística, desempenha um papel crucial nesse contexto, permitindo a
modelagem da relação entre duas variáveis. Essa capacidade é de suma importância em diversas áreas,
incluindo economia, ciências sociais e engenharia.
Nesta aula, direcionaremos nossos esforços para compreender as características fundamentais da regressão
linear. A �m de entender como podemos aplicar esse conceito, imagine que você é um gerente de uma loja de
eletrônicos e está interessado em prever as vendas mensais com base em fatores especí�cos. Para
simpli�car, suponha que você tenha dados históricos de vendas mensais (em unidades) e o gasto mensal em
publicidade (em reais) para os últimos 6 meses, conforme ilustra a Tabela 1.
Bloco 1
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u4a4_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Gasto com publicidade
(multiplicar por R$
1.000,00)
10 11 12,2
Unidades vendidas
(multiplicar por 10000) 9,8 9,7 12,6
Bloco 2
13,8 14,4 15,5
14,4 13,6 16,2
Tabela 1 | Dados referentes à venda e ao gasto com publicidade. Fonte: elaborada pela autora.
 
É possível prever as vendas mensais futuras com base no gasto com publicidade? Se você gastar R$
18.000,00 em publicidade, qual será a previsão de vendas?
Para responder a essas perguntas, é necessário saber reconhecer a correlação entre duas variáveis e
compreender como podemos conectá-las por meio de uma função.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Até agora, dedicamos considerável atenção ao tratamento individual de cada variável, analisando-as em uma
população especí�ca. Essas análises, caracterizadas por esse enfoque, são chamadas de univariadas. No
entanto, nem sempre nosso interesse reside na análise de uma única variável de cadavez, mas sim em
estudar duas ou mais variáveis e compreender a relação entre elas. Essas análises são denominadas
multivariadas. Nessa disciplina, restringiremos nosso estudo ao caso bivariado, ou seja, à análise simultânea
de duas variáveis.
Suponha que um técnico em segurança esteja interessado em analisar se o número de horas de treinamento
está relacionado com o número de acidentes de uma empresa. Como ele pode determinar se existe uma
relação entre essas variáveis? É preciso encontrar o coe�ciente de correlação. Uma correlação refere-se à
relação entre duas variáveis, na qual os dados podem ser expressos como pares ordenados (x, y). Aqui, x
representa a variável independente, enquanto y é a variável dependente (Larson; Farber, 2015). Se essa
relação puder ser expressa por meio de função linear, temos uma correlação linear.
Um recurso visual que podemos empregar para examinar a correlação entre duas variáveis é o grá�co de
dispersão, ou diagramas de dispersão. Essa ferramenta revela a presença, ou ausência, de relações entre as
variáveis de um processo, mostrando sua intensidade ao representar duas ou mais variáveis, uma em relação
à outra. Recomenda-se seu uso sempre que for necessário visualizar como uma variável responde às
mudanças em outra, permitindo identi�car potenciais relações de causa e efeito entre elas. Para a construção
de um grá�co de dispersão, você deve localizar todos os pares ordenados (x, y) no plano cartesiano; o eixo
horizontal representa os valores da variável independente x e o eixo vertical, os valores da variável
dependente y. Na Figura 1, utilizamos os diagramas de dispersão para ilustrar algumas possibilidades de
correlação.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Diagramas de dispersão e correlação linear. Fonte: Larson e Farber (2015, p. 439).
Analisar a correlação por meio de um grá�co de dispersão pode ser interpretativo. Uma abordagem
apropriada para determinar a direção e medir a intensidade de uma correlação linear entre duas variáveis é
calcular o coe�ciente de correlação, também denominado coe�ciente de correlação de Pearson. Para
encontrarmos esse coe�ciente, podemos utilizar a fórmula:
O valor do coe�ciente de correlação varia entre -1 e 1, e temos que se:
r = n⋅∑xy−(∑x)(∑ y)
√(n⋅∑x2−(∑x)2)(n⋅∑ y2−(∑ y)2)
r = n⋅∑xy−(∑x)(∑ y)
√(n⋅∑x2−(∑x)2)(n⋅∑ y2−(∑ y)2)
r = 1
r > 0
rx ⋅ y
∑xy = 1004,08
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
O coe�ciente de correlação é dado por:
Logo, podemos concluir que as variáveis x (gastos com propaganda) e y (unidades vendidas) estão
correlacionadas linear e positivamente. Podemos ainda calcular o coe�ciente de determinação, obtido pelo
quadrado do coe�ciente de correlação, ou seja, 
Isso signi�ca que 92% da variação de y podem ser explicadas pela relação entre x e y.
Agora vamos determinar qual é a reta de regressão. Sabemos que o coe�ciente angular da reta é dado por:
E o coe�ciente linear da reta é:
Assim, a reta de regressão correspondente é 
Lembre-se de que esse valor deve ser multiplicado por 10000. Então, se forem gastos R$ 18.000,00 em
publicidade, há uma previsão de que sejam vendidas 187.300 unidades. 
Saiba mais
r = n⋅∑xy−(∑x)(∑ y)
√(n⋅∑x2−(∑x)2)(n⋅∑ y2−(∑ y)2)
r = 6⋅1004,08−76,9⋅76,3
√(6⋅1007,89−(76,9)2)(6⋅1003,59−(76,3)2)
= 157,01
√26725,9405
= 0,96
r2 = (0,96)2 = 0,92
a = n⋅∑xy−(∑x)(∑ y)
n⋅∑x2−(∑x)2
a = 6⋅1004,08−76,9⋅76,3
6⋅1007,89−(76,9)2 = 157,01
133,73 ≈ 1,17
b =
(∑x2)(∑ y)−(∑xy)(∑x)
n⋅∑x
2−(∑x)2
b = 1007,89⋅76,3−1004,08⋅76,9
6⋅1007,89−(76,9)2 = −311,745
133,73 ≈ −2,33
y = 1,17x − 2,33
y = 1,17x − 2,33
y = 1,17 ⋅ 18 − 2,33
y = 21,06 − 2,33 = 18,73
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a regressão linear, sugerimos a leitura da seção 9.2
do livro Estatística aplicada. Após concluir a leitura da seção, escolha alguns exercícios para resolver!
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer conclusões com con�ança no giro do PDCA e DMAIC.
Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/. Acesso em: 10 nov. 2023.
Aula 5
Encerramento da Unidade
Estatística inferencial
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Chegada
Olá, estudante!
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender a importância e os princípios da
inferência estatística, bem como distinguir os diferentes tipos de testes de hipóteses, você precisa
primeiramente ser capaz de reconhecer as características relacionadas aos conceitos da estatística
inferencial.
A estatística inferencial desempenha um papel crucial na análise e na interpretação de dados em diversas
áreas, incluindo ciência, negócios, medicina, economia, entre outras. A estatística inferencial:
Permite fazer inferências sobre uma população com base em uma amostra representativa dessa
população.
Fornece métodos para avaliar a probabilidade de certos eventos ocorrerem e ajuda na tomada de
decisões mais informadas.
É usada para testar hipóteses sobre parâmetros populacionais.
É usada para prever tendências econômicas, avaliar o desempenho de investimentos e calcular riscos.
Um conceito fundamental para abordar problemas é o teorema do limite central, que fornece as informações
necessárias para realizar inferências estatísticas sobre a média de determinada população. De acordo com
esse teorema, quando amostras aleatórias de tamanho 
Na estatística inferencial, a estimação de parâmetros emerge como uma técnica fundamental, empregando
estatísticas amostrais para calcular o valor de um parâmetro populacional desconhecido. Essas estimativas
podem adotar a forma de estimadores intervalares, delineando um intervalo de valores utilizado para estimar
n
n ≥ 30
μ
σ
−
x
n
μ
σ
μ
σ
√n
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u4enc_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
o mencionado parâmetro. A ideia é estabelecer um intervalo que, com um nível de con�ança conhecido
(denominado 
Outro princípio essencial na estatística inferencial é o teste de hipótese, um procedimento estatístico
utilizado para tomar decisões ou realizar inferências sobre uma população com base em uma amostra de
dados. No teste de hipótese, duas hipóteses opostas são de�nidas: a hipótese nula (H0) e a hipótese
alternativa (H1). O resultado do teste auxilia a determinar se existem evidências estatísticas su�cientes para
rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa. A hipótese nula deve expressar uma igualdade,
enquanto a hipótese alternativa, complementar à nula, deve conter uma desigualdade estrita.
O teste de hipótese é construído com base no parâmetro da população em análise. Um dos testes tem como
parâmetro a média populacional. Se a população tem média e variância populacional conhecidas, aplica-se o
teste z para a média. Por outro lado, se a variância populacional não é conhecida, utiliza-se o teste t para a
média.
Em situações que envolvem a previsão de dados populacionais com base em conjuntos de dados bivariados,
a regressão linear emerge como uma ferramenta valiosa da estatística inferencial. Essa técnica possibilita
modelar a relação entre duas variáveis, oferecendo insights signi�cativos sobre a natureza da
interdependência entre esses fenômenos. Para aplicarmos a regressão linear de maneira e�caz e derivar
conclusões con�áveis, é necessário seguir alguns passos fundamentais.
Primeiramente, devemos identi�car as variáveis de interesse e coletar um conjunto representativo de dados
bivariados que envolvam essas variáveis. Em seguida, procedemos à análise estatística para determinar a
reta de regressão. Além disso, é vital avaliar a qualidade do ajuste do modelo por meio de medidas como o
coe�ciente de determinação (r²). Essas avaliações proporcionam uma visão mais abrangente sobre a e�cácia
do modelo na representação da variabilidade nos dados.
Em síntese, é crucial adquirir um sólido entendimento de todos os princípios da estatística inferencial, dado
que esses fundamentos desempenham um papel vital na abordagem e na solução de problemasnas mais
diversas áreas. Ao dominar os princípios da estatística inferencial, você estará capacitado a realizar
inferências valiosas e tomar decisões informadas com base em dados amostrais, contribuindo
signi�cativamente para a resolução e�caz de questões em contextos diversos. Esse conhecimento não
apenas aprimora a capacidade de análise estatística, mas também amplia a aplicabilidade dessas
habilidades em uma variedade de cenários, fortalecendo assim sua aptidão para enfrentar desa�os analíticos
em diferentes campos de estudo e prática pro�ssional.
1 − α
α
μ
σ2
IC =
−
x − z1−α ⋅ σ
√n
 30
H0 : μ = 80
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2º Passo: nível de signi�cância de um teste
O nível de signi�cância foi informado como  .
3º Passo: de�nição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “maior que”, logo temos um teste unilateral à direita. A região crítica se
encontra à direita da distribuição; então, para determinar o z-escore referente a essa área crítica, fazemos 
e encontramos a área à esquerda do z-escore. Precisamos identi�car o valor de z cuja área à esquerda
é  , e esse valor é  . A Figura 1 mostra a região crítica e a região de aceitação.
Figura 1 | Região crítica. Fonte: elaborada pela autora.
4º Passo: calcular a estatística com base na amostra
Como o objetivo é testar a média populacional da variável  , pelo teorema do limite central
sabemos que a média amostral tem comportamento aproximadamente normal da forma  , ou
seja,  .   (ou Z calculado) será dado por:
5º Passo: tomar a decisão
Temos que  , ou seja,   encontra-se na região de aceitação, logo podemos aceitar a hipótese
nula. Isso signi�ca que não há evidências estatísticas para a�rmar que houve aumento na média das notas.
Agora temos que realizar um teste de hipótese para veri�car se houve mudança na quantidade de horas
estudadas por dia. Temos as seguintes informações:
.
Amostra de 16 estudantes.
.
.
.
Perceba que temos uma amostra pequena, com  , e o desvio-padrão populacional é desconhecido,
portanto precisamos aplicar um teste t para a média. 
1º Passo: formular as hipóteses
H1 : μ > 80
α = 5%
1 − α 
1 − 0,05 = 0,95 zα = 1,64
X~ N  (μ,σ2)
−
x~N(80, 102
60 )
−
x~N(80; 1,67) Zcalc
z =
−
x−μ
σ
√n
z = 78−80
10
√60
= −1,55
Zcalc ttab tcalc H0
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Princípios da estatística inferencial. Fonte: elaborada pela autora.
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/ . Acesso em: 24 out.
2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer conclusões com con�ança no giro do PDCA e DMAIC.
Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponívelem:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/. Acesso em: 10 nov. 2023. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/grau, visto que a incógnita possui grau 1. Para resolvê-la, temos que
aplicar os princípios vistos anteriormente:
E se, em vez do sinal de igualdade, estivéssemos diante de um sinal de desigualdade? Qualquer sentença de
duas expressões algébricas, com uma incógnita, separadas por um dos símbolos de desigualdade é
denominada inequação. Os símbolos de desigualdade estão listados na Tabela 1.
Símbolo Signi�cado
  Menor que
Menor ou igual
  Maior que
Maior ou igual
Tabela 1 | Sinais de desigualdade. Fonte: elaborada pela autora.
São exemplos de inequações:
Para veri�carmos se um número real é solução de uma inequação, basta substituí-lo nas expressões
envolvidas e analisar se a desigualdade é satisfeita. Ocorre que geralmente não queremos saber apenas se
um número é solução de uma desigualdade, mas sim resolvê-la, ou seja, encontrar todos os valores da
incógnita que fazem com que a desigualdade seja verdadeira. Para encontrarmos a solução de uma
inequação, podemos simpli�cá-la utilizando duas propriedades, assim como as equações (Hazzan, 2021).
a ⋅ x = b,    em   que  a e b são  constantes  e a ≠ 0
2y − 3y = 16 + y
2y − 3y = 16 + y
−y = 16 + y
−y − y = 16 + y − y
−2y = 16
−2y
−2 = 16
−2
y = −8
≥
x + 3 > 2
x2 + 5x ≤ 3
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Princípio da transposição: em toda inequação, podemos adicionar um mesmo termo a ambos os seus
membros, assim como subtrair.
Princípio da multiplicação ou divisão: em toda inequação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos
dois membros por um número positivo, mantendo o sinal da desigualdade. Além disso, em toda
inequação, podemos multiplicar ou dividir os termos dos dois membros por um número negativo
invertendo o sentido da desigualdade.
Vamos aplicar essas propriedades para simpli�car a inequação 
Quando a incógnita possui grau 1 e a inequação pode ser simpli�cada no tipo 
5(x – 6)  >  3(x – 8)
5(x − 6) > 3(x − 8)
5x − 30 > 3x − 24
5x − 30 − 3x > 3x − 24 − 3x
2x − 30 > −24
2x − 30 + 30 > −24 + 30
2x > 6
2x
2 > 6
2
x > 3
ax  >  b
ax  0
a ≠ 1
b > 0
b
a
x
a
b
loga b = x ⟺ ax = b
log2 1024
log2 1024 = x⟺ 2x = 1024
2x = 210 → x = 10
log 100 = log10 100
(e)
loge b = ln b
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Propriedade Exemplo
 ou 
Quadro 1 | Propriedades de logaritmos. Fonte: elaborado pela autora.
Embora seja possível de�nir o logaritmo em qualquer base maior que zero e diferente de 1, calculadoras
geralmente exibem apenas dois tipos de logaritmos: o logaritmo decimal e o logaritmo natural. Dado que as
calculadoras oferecem logaritmos apenas nas bases 10 e 
, é necessário desenvolver uma estratégia para calcular logaritmos em bases diferentes (Gomes, 2018).
Utilizando a propriedade de mudança de base, podemos escrever um logaritmo em qualquer base que nos
convenha. Sejam 
, 
 e 
 números reais maiores que zero, e suponha que 
e 
, então
a
a  >  0
a  ≠  1
d
b  >  0
c  >  0
loga 1 = 0 log3 1 = 0
loga a = 1 log2 2 = 1
loga(ax) = x log3(3x) = x
aloga x = x eloge 4 = 4 eln 4 = 4
loga(b ⋅ c) = loga b + loga c log2(2 ⋅ 8) = log2 2 + log2 8
loga(
b
c ) = loga b − loga c log2(8 ⋅ 2) = log2 8 − log2 2
loga(b
d) = d loga b log2(84) = 4 log2 8
e
a
b
c
a  ≠  1
c  ≠  1
e
a
b
c
a  ≠  1
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Por exemplo, considerando que 
 e que 
, vamos determinar 
. Observe que temos o valor do logaritmo de 3 e de 2 na base 10, assim podemos mudar a base 2 para a base
10:
Como mencionado anteriormente, ressaltamos que os logaritmos podem ser empregados na resolução de
certos tipos de equações exponenciais. Agora, vamos observar um exemplo de como podemos aplicá-los. A
equação 
 pode ser resolvida com a aplicação de logaritmos em ambos os lados. Você pode aplicar logaritmo de
qualquer base nessa equação, mas recomendamos que opte pelo logaritmo na base 10 ou na base 
, visto que a calculadora inclui essas bases. Assim, teremos:
Vamos agora resolver a equação 
c  ≠  1
loga b = logc b
logc a
loga b = logc b
logc a
log 3 ≈ 0,477
log 2 ≈ 0,301
log2 3
log 3 ≈ 0,477
log 2 ≈ 0,301
log2 3
log2 3 = log 3
log 2 = 0,477
0,301 ≈ 1,58
log2 3 = log 3
log 2 = 0,477
0,301 ≈ 1,58
4x = 5
e
4x = 5
e
4x = 5
log 4x = log 5
x log 4 = log 5
x = log 5
log 4 ≈ 1,16
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Familiarize-se com essas propriedades de logaritmo, pois elas desempenham um papel fundamental na
resolução de problemas, como aqueles relacionados a juros compostos e outros.
Vamos Exercitar?
Como você já adquiriu conhecimento acerca de equações, estamos preparados para resolver nossa situação
inicial, que consiste em saber em quanto tempo você alcançará um montante de R$ 7.000,00 em cada um
dos tipos de aplicação.
A primeira aplicação é em regime de juros simples, com uma taxa de 2,5% ao mês; o montante ao �nal de um
período é dado pela expressão 
, onde 
 é o capital inicial investido e 
 é o tempo em que o dinheiro está aplicado. O problema informa o montante �nal (R$ 7.000,00) e o valor
inicial investido (R$ 2.000,00). Substituindo esses valores na equação:
6x−1 + 3 = 7
6x−1 + 3 = 7
6x−1 = 7 − 3
6x−1 = 4
log 6x−1 = log 4
(x − 1) log 6 = log 4
x − 1 = log 4
log 6
x = log 4
log 6 + 1
x ≈ 1,77
M   =  C(1  +  0,025t)
C
t
M   =  C(1  +  0,025t)
C
t
M   =  C(1  +  0,025t)
M   =  C(1  +  0,025t)
7000 = 2000(1 + 0,025t)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Portanto, nesse tipo de aplicação seriam necessários 100 meses para obter R$ 7.000,00.
A segunda aplicação é em regime de juros compostos, com uma taxa de 2% ao mês; o montante ao �nal de
um período é dado pela expressão 
, onde 
 é o capital inicial investido e 
é o tempo em que o dinheiro está aplicado. Substituindo os valores informados na expressão:
7000 = 2000(1 + 0,025t)
7000 = 2000 + 50t
7000 = 2000 + 50t
7000 − 2000 = 50t
7000 − 2000 = 50t
5000 = 50t
5000 = 50t
t = 5000
50 = 100
t = 5000
50 = 100
M =  C(1  +  0,02)t
C
 t 
M =  C(1  +  0,02)t
C
 t 
M   =  C(1  +  0,02)t
M   =  C(1  +  0,02)t
7000  =  2000(1,02)t
7000  =  2000(1,02)t
7000
2000 = 1,02t
7000
2000 = 1,02t
3,5 = 1,02t
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Como estamos trabalhando com o tempo em meses, seriam necessários aproximadamente 63 meses para
obter R$ 7.000,00 nesse tipo de aplicação. Seria mais vantajoso, para você, escolher o segundo tipo de
aplicação.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversaspropriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de equações, indicamos a leitura da seção 2.1
do capítulo 2 (Equações) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre inequação, sugerimos a leitura da seção 2.8 do
capítulo 2 (Inequações) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria.
A �m de aperfeiçoar seu entendimento acerca de logaritmos, recomendamos a leitura do capítulo 8
(Logaritmos) do livro Matemática básica para cursos superiores.
 
Referências
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17
out. 2023.
HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo
GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em:
17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo:
Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023.
3,5 = 1,02t
ln 3,5 = ln 1,02t
ln 3,5 = ln 1,02t
ln 3,5 = t ⋅ ln 1,02
ln 3,5 = t ⋅ ln 1,02
t = ln 3,5
ln 1,02 ≈ 63,26
t = ln 3,5
ln 1,02 ≈ 63,26
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Aula 3
Porcentagem
Porcentagem
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Para iniciarmos nossos estudos, pense em situações em que temos que usar
porcentagem e em situações em que podemos empregar a regra de três.
O conceito de porcentagem é amplamente utilizado na vida cotidiana: �nanças pessoais, compras, negócios,
estatísticas, ciências e muitos outros campos. Compreender como calcular e interpretar porcentagens é
fundamental para tomar decisões informadas em várias situações.
Já a regra de três é uma técnica matemática empregada em situações em que temos três valores conhecidos
e desejamos encontrar um quarto valor relacionado. Funciona inclusive para resolver problemas que
envolvem porcentagens.
Nesta aula, abordaremos os conceitos de razão e proporção, fundamentais para compreender a regra de três.
Além disso, exploraremos o tópico de porcentagem. Para ilustrar como esses conceitos podem ser aplicados,
considere a seguinte situação: você está pensando em comprar um novo celular e encontrou duas ofertas:
Opção A: o celular custa R$ 2.500,00, mas está com desconto de 20%. Sem desconto adicional para
pagamento à vista.
Opção B: o celular custa R$ 2.000,00. Há desconto de 5% somente para pagamento à vista.
Para decidirmos qual é a melhor opção a �m de economizar dinheiro, precisamos entender de razão e
proporção, regra de três e porcentagem.
Bons estudos!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u1a3_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Vamos Começar!
Para solucionar nosso problema inicial, é crucial que compreendamos os conceitos de razão, proporção e
porcentagem e saibamos como empregar a regra de três na resolução de problemas.
 
Razão e proporção
De modo geral, temos que dados dois números  e  com  diferente de zero, chamamos de razão entre a e b, ou
razão de a para b o quociente 
O valor 
Vamos supor que um investidor tenha ganhado R$ 5.000,00 após um ano por meio de uma aplicação
�nanceira, na qual o valor investido foi de R$ 15.000,00. Se quisermos saber o quanto esse ganho representa
em relação ao valor investido, podemos dividir esse ganho pelo valor investido, obtendo a razão entre o
ganho e o valor investido, que será dada por:
Quando estabelecemos uma igualdade entre duas razões, chamamos isso de proporção. Dizemos que os
números 
em que se lê: "
a  ÷  b
a
b
a
b
5000
15000 = 1
3
a, b, c 
d
b
d
c
d
a
b = c
d
a
b
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
As proporções têm uma importante propriedade:
 
Isso signi�ca que em toda proporção os produtos dos termos cruzados são iguais (Figura 1).
Figura 1 | Proporção. Fonte: elaborada pela autora.
Vamos analisar alguns exemplos que ilustram como podemos aplicar os conceitos de razão e proporção.
Exemplo 1
Uma família tem uma renda líquida de R$ 12.000,00 mensais. Dessa renda, a família consome (gasta) R$
8.000,00 e poupa o restante. Com base nessas informações, podemos dizer que a razão entre o que a família
gasta (consumo) e a renda é dada por:
Eles poupam R$ 4.000,00, então a razão entre o que é poupado e a renda é dada por:
c
d
a
b
= c
d
⇒ a ⋅ d = b ⋅ c
8000
12000 = 8
12 = 2
3
4000
12000 = 4
12 = 1
3
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Exemplo 2
Qual é o valor de x na proporção a seguir?
Como se trata de uma proporção, sabemos que os produtos dos termos cruzados são iguais, logo:
Perceba que a aplicação da propriedade resulta em uma equação do primeiro grau, logo aplicaremos os
métodos de resolução desse tipo de equação.
Portanto, o valor de x na proporção é 
Quando falamos em razão e proporção, não podemos deixar de nos referir aos conceitos de grandezas
diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Grandeza é tudo aquilo que pode ser
medido e possibilita que tenhamos características pautadas em informações numéricas e/ou geométricas.
São exemplos de grandezas: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o
tempo, entre outras.
Suponha que um automóvel percorre em 1 hora 80 km, em 2 horas 160 km e em 3 horas 240 km. Perceba que
nessa situação, enquanto o tempo (horas) aumenta, a distância percorrida também aumenta. Então, dizemos
que o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são diretamente
proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou diminui) na mesma
razão da primeira (Hazzan, 2021).
Agora suponha que um automóvel faz um percurso em 1 hora com uma velocidade de 100 km/h e em 2
horas com uma velocidade de 50 km/h. Observe que, enquanto a velocidade diminui, o tempo aumenta.
Nesse caso, dizemos que o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais. Duas
grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão
da primeira, e vice-versa (Hazzan, 2021).
Siga em Frente...
x+5
3 = 1
6
x+5
3 = 1
6
(x + 5) ⋅ 6 = 3 ⋅ 1
6x + 30 = 3
6x + 30 = 3
6x = 3 − 30
6x = −27
x = − 27
6 = − 9
2
− 9
2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Regra de três simples
A regra de três simples é um método prático para solucionar problemas que implicam quatro valores, com
três deles conhecidos e um desconhecido. Esse procedimento envolve dois tipos de grandezas, exigindo a
identi�cação do tipo de relação entre elas. Portanto, é fundamental determinar se as grandezas são
diretamente ou inversamente proporcionais, uma vez que essa distinção afeta a abordagem dos cálculos.
Para resolver um problema com regra de três simples, o primeiro passo é identi�car as grandezas envolvidas.Depois você pode construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo
na linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida, veri�que se as grandezas são
diretamente ou inversamente proporcionais, monte a proporção e resolva a equação.
 
Exemplo 1
Um trem demora 2 horas para percorrer 120 km. Qual é a distância percorrida em 4 horas?
O primeiro passo é identi�car as grandezas envolvidas no problema, que nesse caso são o tempo e a
distância. Representaremos a distância percorrida em 4 horas pela incógnita x. De posse dessas
informações, montamos a tabela 1
Tempo Distância
2h 120 km
4h x
Tabela 1 | Tempo e distância. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que se aumentarmos as horas, consequentemente aumentaremos a distância percorrida, logo essas
duas grandezas são diretamente proporcionais. Quando se trata desse tipo de grandeza, basta montar a
proporção e resolver a equação resultante. Montando a proporção, temos:
Logo, em 4 horas o trem percorre uma distância de 240 km.
 
Exemplo 2
2
4 = 120
x
2x = 120 ⋅ 4
2x = 480
x = 480
2
x = 240
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Um carro a 60 km/h percorre em 1 hora uma distância de 80 km. Se a velocidade aumentar para 90 km/h, em
quanto tempo será percorrida a mesma distância?
Perceba que as grandezas envolvidas nesse problema são o tempo e a velocidade. Considerando x a
incógnita que representa o tempo gasto para percorrer a distância dada quando a velocidade é 90 km/h,
teremos a seguinte tabela 2:
Velocidade Tempo
60 km/h 1 h
90 km/h x
Tabela 2 | Velocidade e tempo. Fonte: elaborada pela autora.
 
Observe que se aumentarmos a velocidade, gastaremos menos tempo para percorrer a mesma distância,
logo essas grandezas são inversamente proporcionais. Para solucionarmos o problema, basta montar as
proporções, invertendo uma delas, e resolver a equação. Sem invertermos nenhuma das razões, teríamos:
Porém, como no caso de grandezas inversamente é preciso inverter uma das razões, teríamos:
Logo, o carro gastaria aproximadamente 0,67h, que corresponde a 40 minutos e 12 segundos, para percorrer
80 km.
Mantenha-se atento ao solucionar um problema de regra de três simples com grandezas inversamente
proporcionais. Lembre-se de que é necessário inverter uma das razões.
 
Porcentagem
A porcentagem é um tipo de especial de fração, cujo denominador é 100, isto é, um tipo de fração centesimal.
O símbolo  é usado para indicar a porcentagem. Por exemplo:
É crucial ressaltar que devemos basear o cálculo de porcentagem em uma quantidade especí�ca; em outras
palavras, a porcentagem é determinada em relação a uma quantidade particular. Por exemplo, 40% de 200
signi�cam 40 por cento da quantidade de 200. Como descobrir a quanto equivale essa porcentagem? Uma
forma seria representar assim:
60
90 = 1
x
60
90 = x
1
60 = 90x
x = 60
90 = 2
3 ≅0,67
30% = 30
100
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Sabemos que o todo é a quantidade de 200 e que o denominador indica em quantas partes iguais esse todo
foi dividido. Assim, temos que 200 foi dividido em 10 partes iguais, cujo tamanho é 20. Sabemos que 40%
correspondem a quatro partes desse todo; como cada parte é 20 e temos 4, 40% de 200 é 80. A Figura 2
mostra esse raciocínio de uma forma mais prática.
Figura 2 | Cálculo de porcentagem. Fonte: elaborada pela autora.
Outro raciocínio que pode ser utilizado é transformar a porcentagem em número decimal e depois multiplicar
o decimal pela quantidade:
Você também pode utilizar regra de três para encontrar a porcentagem. Considerando que 200 equivale a
100%, teremos a seguinte regra:
200 100%
x 40%
Montando a proporção, temos:
Quando abordamos o conceito de porcentagem, é essencial também considerar a ideia de desconto e
aumento. É fundamental lembrar que o desconto representa uma redução em relação à quantidade original,
enquanto o aumento signi�ca um acréscimo em relação à quantidade original. Ao compreender esses
signi�cados e saber como calcular a porcentagem de determinada quantidade, você estará apto a
desenvolver uma estratégia e�caz para resolver problemas relacionados a essas situações.
 
Exemplo 1
40% = 40
100 = 4
10
40
100  de 200 = 0,4 ⋅ 200 = 80
200
x = 100
40
100x = 8000
x = 8000
100 = 80
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Uma loja vende uma máquina de lavar roupas por R$ 1.500,00, porém, devido a aumentos impostos pela
fábrica, teve que repassar 6% de acréscimo para o consumidor. Quanto a máquina passará a custar?
Segundo o problema, houve um aumento nos preços, logo o valor inicial sofrerá um acréscimo de 6%. Assim,
temos que encontrar o valor do aumento:
Portanto, o aumento foi de R$ 90,00. Para descobrirmos o novo preço, temos que somar o aumento com o
preço inicial; ou seja, R$ 1.500,00 + R$ 90,00, que é igual a R$ 1.590,00.
Alguns problemas que envolvem porcentagem exigem que sejam calculadas uma sucessão de porcentagens
sobre determinado valor; para determinar a porcentagem equivalente, devemos multiplicar todas essas
porcentagens.
 
Exemplo 2
No início de março, uma loja teve um aumento de 15% nos preços de sua linha de eletrodomésticos em
relação a fevereiro, e em abril os preços tiveram uma queda de 10% em relação a março. De quanto foi o
aumento dos preços de abril em relação a fevereiro?
Sabe-se que em março houve um acréscimo de 15% em relação ao preço de fevereiro. Portanto, o valor de
março equivale ao valor de fevereiro (100%) acrescido de 15%, totalizando 115% do valor de fevereiro. Em
abril, por outro lado, houve uma diminuição de 10% em relação ao preço de março, o que implica que os
produtos custarão 90% do valor de março. Isso equivale a:
Como os produtos em fevereiro custavam 100% do valor e em abril 103,5%, tivemos um aumento de 3,5%.
É importante notar que não há uma única estratégia para realizar cálculos de porcentagem. Você pode utilizar
a abordagem com a qual se sentir mais con�ante! 
Vamos Exercitar?
Como você já adquiriu conhecimento acerca de porcentagem, estamos preparados para resolver nossa
situação inicial, que consiste em escolher a melhor opção para economizar dinheiro na compra de um celular.
Na opção A, o celular custa R$ 2.500,00, mas está com desconto de 20%, sem desconto adicional por
pagamento à vista. Como o celular está com 20% de desconto, temos que o preço a ser pago corresponde a
80% do valor inicial. Utilizando a regra de três, temos:
 2500 100%
x 80%
6% de 1500 = 6
100 ⋅ 1500 = 0,06 ⋅ 1500 = 90
90% de 115% = 90
100 ⋅ 115
100 = 0,9 ⋅ 1,15 = 1,035 = 103,5%
2500
x
= 100
80
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Portanto, o celular na opção A custará R$ 2.000,00, independentemente da forma de pagamento.
Na opção B, não há desconto no pagamento a prazo, então o celular sairá por R$ 2.000,00. Porém, caso o
pagamento seja à vista, existe um desconto de 5% sobre o valor. Então, o preço a ser pago corresponde a
95% do valor inicial. Utilizando a regra de três, temos:
 2000 100%
x 95%
Portanto, o celular na opção B custará R$ 2.000,00 se o pagamento a prazo e R$ 1.900,00 se for à vista.
Sua decisão deve levar em consideração a forma de pagamento. Se a opção for pagar a prazo, ambos os
celulares terão o mesmo preço, e você deve considerar outros fatores ao fazer sua escolha. No entanto, se
você optar por pagar à vista, a escolha recomendada é a opção B, uma vez que o celular custa R$ 100,00 a
menos do que na opção A.
Lembre-se de que nesse caso optamos por usar a regra de três para resolver o problema, mas você pode
escolher outras estratégias para calcular a porcentagem, dependendo do que for mais conveniente para você.
 
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a resolução de exercícios, pois essa
abordagem permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos conteúdos discutidos. Portanto,
recomendamos a leitura e a realização de alguns exercícios com os temas abordados durante a aula. 
Para que você possa resolver exercícios referentes ao conceito de porcentagem, indicamosa leitura do
capítulo 5 (Porcentagens) do livro Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e
negócios. Selecione alguns exercícios das seções 5.1 e 5.4 e os faça. Ao �nal da seção, você encontra as
respectivas respostas.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre regra de três simples, sugerimos a leitura da seção
2.2 (Proporções e a regra de três) do livro Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. Não
deixe de selecionar alguns exercícios dessa seção e resolvê-los!
 
Referências
100x = 208000
x = 200000
100 = 2000
2000
x
= 100
95
100x = 190000
x = 190000
100 = 1900
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
GOMES, F. M. Pré-cálculo: operações, equações, funções e trigonometria. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/. Acesso em: 17
out. 2023.
HAZZAN, S. Matemática básica: para administração, economia, contabilidade e negócios. São Paulo: Grupo
GEN, 2021. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/. Acesso em:
17 out. 2023.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática básica para cursos superiores. 2. ed. São Paulo:
Grupo GEN, 2018. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/.
Acesso em: 17 out. 2023.
Aula 4
Função
Função
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender conteúdos
importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? 
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Bons estudos!
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Vamos iniciar nossos estudos sobre o conceito de função. A ideia de função está
presente em uma variedade de situações; podemos percebê-la como um tipo especí�co de relação entre
duas variáveis, independentemente do contexto. Por exemplo, em um posto de combustível, o valor a ser
pago pela gasolina está relacionado à quantidade com a qual você pretende abastecer. Nesta aula,
estudaremos as características de uma função, bem como as propriedades de funções polinomiais de
primeiro grau.
Para demonstrar a aplicação desses conceitos, imagine a seguinte situação: você está buscando um plano
de telefone e, após uma extensa pesquisa, encontra-se indeciso entre duas opções. Os valores a serem
pagos por mês em cada plano são:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522127900/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597027501/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597016659/
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/METODOS_QUANTITATIVOS/PPT/u1a4_met_qua.pdf
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Plano A: valor �xo de R$ 30,00 mais R$ 0,50 por minuto de ligação.
Plano B: valor �xo de R$ 10,00 mais R$ 1,00 por minuto de ligação.
Levando em consideração que você terá que realizar várias ligações demoradas nos próximos meses, qual
plano seria mais vantajoso? Essa escolha continuaria a mesma se você não tivesse que realizar muitas
ligações?
Para resolvermos esse problema, precisamos entender os conceitos de função, função do primeiro grau e
suas propriedades.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Podemos de�nir uma função 
O conjunto 
f
x
D
f(x)
E
f : D → E
D
E
D
f
D(f)
x
E
f(x)
x
E
f
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Diagrama de setas para a função f. Fonte: elaborada pela autora.
É fundamental destacar que, normalmente, os conjuntos usados na representação de domínios e
contradomínios são conjuntos de números reais ( ). Contudo, podemos utilizar subconjuntos de 
dependendo do tipo de problema em análise. Em algumas situações, é necessário restringirmos o domínio da
função de tal forma que ela possa ser de�nida.
Por exemplo, considere a função
Não existe divisão por zero.
Im(f)
f
f(x) = 1
x
x
x = 0
f
x = 0
x = 0
R*
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Não existe raiz de índice par de número negativo.
Não existe logaritmo de número negativo ou zero.
Logo, valores de 
Além do diagrama de setas, é possível representar as funções por meio de grá�cos, que possibilitam a
análise do comportamento da função e a relação entre as variáveis. Podemos de�nir o grá�co de uma
função 
Por exemplo, vamos representar a função 
Tabela 1 | Valores correspondente à função 
x
f(x) = √(x + 2)
 x ∈ R
x ≥ −2
f : D → E
(x,  y)
y  =  f (x)
x
D
f
f (x)
y
x
f : R → R
f(x) = x + 4
(x, f(x))
x
x f(x) = x + 4 (x, y)
−1 f(−1) = −1 + 4 = 3 (−1, 3)
0 f(0) = 0 + 4 = 4 (0, 4)
1 f(1) = 1 + 4 = 5 (1, 5)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Agora, identi�camos esses pontos no plano cartesiano e depois traçamos uma linha que ligue esses pontos,
conforme ilustra a Figura 2. Só podemos traçar essa linha, porque a função está de�nida no conjuntos dos
números reais.
Figura 2 | Grá�co da função f (x) = x+4. Fonte: elaborada pela autora.
No exemplo anterior, 
Em uma empresa de componentes eletrônicos, o custo de produção de determinado produto está
relacionado a um custo �xo e ao custo unitário desse produto. Sabendo que a empresa tem um custo �xo de
R$ 4.000,00 e que o custo de produção unitário para o produto é de R$ 2,00, determine a lei de formação
dessa função.
O primeiro passo é identi�car as variáveis do problema; lembre-se que elas são parte fundamental da
de�nição de função! Nesse problema, podemos representar a quantidade produzida de produtos por , e o
custo total da produção por 
. Sabemos que o custo total é a soma do custo �xo com o custo unitário, assim a lei de formação será 
. É importante notar que esse problema apresenta restrições no domínio da função, uma vez que não é
possível ter uma quantidade negativa de produtos produzidos, e a quantidade de produtos deve ser um
f
f(x) = x + 4
y  =  f(x) =  x + 4
f : R  → R
C(x)
C(x) = 4000 + 2x
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
número inteiro. Portanto, essa função está de�nida no conjunto dos números naturais, isto é, 
, cuja lei de formação é 
.
A depender das características da lei de formação, podemos classi�car as funções como polinomiais,
racionais, exponenciais, entre outras. Nosso foco agora serão as funções polinomiais, mais especi�camente
a função polinomial de primeiro grau.
Siga em Frente...
Função a�m
Uma função 
Por exemplo, a função 
C : N → R
C(x) = 4000 + 2x
C(x)
C(x) = 4000 + 2x
C : N → R
C(x) = 4000 + 2x
f :  R → R
a
b
 f(x) = ax + b
x ∈ R
a
b
f : R → R
f(x) = 2x + 6
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Grá�co da função f (x) = 2x + 6. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que a reta intercepta o eixo 
x
x = −3
x = −3
f(−3) = 0
x = −3
f : R → R
f(x) = ax + b
a
b
r
f(r) = 0
ax + b = 0
2x + 6 = 0
2x = −6
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Assim como podemos esboçar o grá�co de uma função a�m com base em sua lei de formação, também é
possível determinar sua lei de formação com base em seu grá�co. Para executar essa tarefa, é necessário
determinar 
Figura 4 | Grá�co de uma função f. Fonte: elaborado pela autora.
Observe que a reta passa pelos pontos 
Substituindo o ponto 
x = − 6
2 = −3
a
b
f(x)  =  ax  +  b
(0, 2)
(3, 4)
f(x) = ax + b
(0, 2)
f(0) = a ⋅ 0 + b = 2
b = 2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Portanto, a lei de formação será 
Uma característica interessante de ser observada em uma função a�m é se ela é crescente ou decrescente. O
estudo do crescimento e do decrescimento de funções a�ns pode ser realizado com base no coe�ciente
angular associado.
Função a�m crescente: o coe�ciente angular é positivo 
Função a�m decrescente: o coe�ciente angularé negativo  .
No conjunto das funções a�ns, é possível destacar o caso particular da função linear, representada pela lei de
formação 
É altamente recomendável que você se familiarize com todas as características de uma função e, mais
especi�camente, com as funções a�ns, pois elas podem ser aplicadas em diversos contextos que
demandam o estabelecimento de relações entre variáveis. Além disso, o conceito de função será
fundamental em outros momentos desta disciplina e de seu curso, proporcionando uma base sólida para a
compreensão de conceitos matemáticos mais avançados.
Vamos Exercitar?
Agora que você está familiarizado com as propriedades das funções a�ns, estamos prontos para voltar à
nossa situação inicial. Nosso problema consiste em você se decidir entre dois planos de telefone,
considerando que precisará realizar muitas ligações nos próximos meses.
O primeiro passo é determinar a lei de formação para as funções que descrevem o valor a ser pago em cada
um dos planos. Para ambos os planos, vamos considerar que a variável 
(3, 4)
f(3) = a ⋅ 3 + 2 = 4
3a + 2 = 4
3a = 4 − 2
3a = 2
a = 2
3
f(x) = 2
3  x + 2
(a > 0).
(aproporcionais. Quando as grandezas são inversamente
proporcionais, é necessário inverter uma das razões para encontrar a resposta correta. Essa inversão é uma
parte fundamental do processo de resolução de problemas de regra de três, garantindo que a relação entre as
grandezas seja adequadamente considerada.
É importante lembrar que, ao resolver problemas que envolvem porcentagem, você tem à disposição diversas
estratégias. Esteja atento às propriedades e relações envolvidas nesse cálculo, pois a escolha da estratégia
certa pode simpli�car o processo e garantir resultados precisos. Conhecer as propriedades e regras das
porcentagens é fundamental para lidar e�cazmente com esses tipos de problemas.
Compreender que uma função é uma relação entre dois conjuntos e segue certas características é a base
para lidar com problemas mais complexos. Lembre-se de que uma função a�m é da forma 
 e, geralmente, seu domínio e contradomínio são de�nidos no conjunto dos números reais. No entanto, em
situações especí�cas, podemos restringir esse domínio. Para determinar a imagem de uma função, basta
substituir valores da variável 
 na lei de formação. Além disso, convém lembrar que o zero de uma função é o valor de 
 para o qual a função é igual a zero. Gra�camente, você pode identi�car o zero da função como o ponto em
que a reta intercepta o eixo 
. Esses conceitos são fundamentais para entender e resolver problemas que envolvem funções e grá�cos.
Os conceitos matemáticos que estudamos, incluindo funções, equações, porcentagem e muitos outros,
servem de base para nossa formação e são aplicáveis a uma ampla variedade de problemas em nosso
cotidiano e em situações matemáticas mais complexas. Ter uma compreensão sólida desses conceitos não
apenas ajuda a resolver problemas do dia a dia, mas também é essencial para o desenvolvimento de
habilidades analíticas e tomada de decisões.
É Hora de Praticar!
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou pelo
aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo sem
conexão à internet.
f(x)  =  ax  +  b
x
x
x
f(x)  =  ax  +  b
x
x
x
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
A matemática desempenha um papel fundamental na tomada de decisões em uma ampla variedade de
contextos. Vamos examinar uma situação para demonstrar como os conceitos matemáticos vistos nesta
unidade podem ser aplicados.
Uma empresa foi contratada por uma comissão de formatura para organizar a festa de formatura de uma das
turmas da Universidade. Uma das atribuições dessa empresa é contratar uma banda ou um DJ para animar a
festa. Após diversas pesquisas, obteve os seguintes orçamentos:
Um DJ cobra uma taxa �xa de R$ 3.000,00 acrescidos de 10% do valor da taxa �xa por hora (ou fração
de hora) de trabalho.
Uma banda cobra uma taxa �xa de R$ 1.000,00 acrescidos de 40% do valor da taxa �xa por hora (ou
fração de hora) de trabalho.
Analisando os orçamentos apresentados, responda:
a) Se a turma deseja que a festa tenha a duração de 10 horas, considerando apenas o critério �nanceiro, qual
é a melhor opção?
b) Com base nos orçamentos e somente no critério �nanceiro, qual deve ser a duração da festa para que seja
mais vantajoso contratar o DJ, em vez da banda.
Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na unidade podem ser
aplicados, convidamos à re�exão sobre estas três questões:
Em que tipos de situações de sua área de atuação você pode aplicar o conceito de função?
Em que tipo de situações cotidianas você pode utilizar o conceito de porcentagem e de frações na
resolução de problemas?
Quando você vai ao supermercado e �ca na dúvida entre dois produtos da mesma marca, porém com
quantidades diferentes, costuma usar análises matemáticas para determinar qual deles oferece a
melhor relação custo-benefício? Como você faz essa análise?
Para resolvermos o problema, o primeiro passo é determinar as leis de formação para o valor a ser pago em
cada caso.
Função para o valor a ser pago para o DJ
Antes de determinarmos a lei de formação, precisamos calcular quanto é 10% do valor da taxa �xa, visto que
o valor a ser pago depende disso.
Assim, além da taxa �xa são cobrados R$ 300,00 por hora de trabalho. Considerando o valor a ser pago
denominado por  , em que   é o tempo medido em horas, temos que:
Função para o valor a ser pago para a banda
Primeiramente, vamos determinar quanto é 40% do valor da taxa �xa.
Considerando o valor a ser pago denominado por  , em que   é o tempo medido em horas, temos que:
Com base nessas funções, podemos analisar o que se pede em cada item.
a) Nesse item devemos escolher a melhor opção caso a festa tenha a duração de 10 horas. Para isso, temos
que calcular o valor pago nas duas opções para uma quantidade de 10 horas:
Assim, considerando apenas o fator �nanceiro, a melhor opção para 10 horas de música é contratar a banda.
b) Agora é necessário analisarmos as duas funções de modo a identi�car em que momentos uma função é
maior que a outra e em que ponto elas são iguais. Assim teremos:
10% de 3000 = 10
100 ⋅ 3000 = 0, 1 ⋅ 3000 = 300
C(x) x
C(x) = 3000 + 300x
40% de 1000 = 40
100 ⋅ 1000 = 0, 4 ⋅ 1000 = 400
V (x) x
V (x) = 1000 + 400x
C(10) = 3000 + 300 ⋅ (10) = 3000 + 3000 = 6000
V (10) = 1000 + 400 ⋅ (10) = 1000 + 4000 = 5000
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Isso quer dizer que para   temos o mesmo valor a ser pago nas duas opções. Para veri�carmos em
que intervalos as funções são maiores, temos:
Logo, para   o valor a ser cobrado na contratação do DJ é menor do que o valor na contratação da
banda. Assim, para   o valor a ser cobrado na contratação da banda é menor. A Figura 1 ilustra esses
intervalos.
Figura 1 | Representação grá�ca das funções do problema. Fonte: elaborada pela autora.
As propriedades apresentadas na Figura 2 serão fundamentais para resolver uma variedade de problemas ao
longo de seu curso. Portanto, é crucial que você as mantenha em mente e esteja preparado para aplicá-las
quando necessário. Elas servirão como ferramentas valiosas para a resolução de desa�os matemáticos.
C(x) = V (x)
3000 + 300x = 1000 + 400x
400x − 300x = 3000 − 1000
100x = 2000
x = 2000
100 = 20
x = 20
−100x 2000
x > 20
x > 20
x