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Espaço de Sinais (2) 
 De uma forma geral podemos dizer que a performance de um sistema de comunicação 
está diretamente relacionada à energia do sinal recebido, (quanto maior a energia do sinal 
transmitido/detectado, menor sua suscetibilidade a erros durante o processo de transmissão). 
 
Densidade Espectral 
 A densidade espectral de um sinal caracteriza sua a distribuição de potência ou energia 
no domínio da frequência. 
Densidade Espectral de Energia 
 A energia de um sinal , expressa no domínio do tempo pode ser relacionada a 
sua energia expressa no domínio da frequência. (Teorema de Parseval). 
 
 
 
 
 
 
 
onde é a transformada de Fourier do sinal. A quantidade é 
definida como a densidade espectral de energia do sinal. 
 Se no entanto o sinal não é um sinal de energia (também chamado de sinal de 
potência), isto é possui energia infinita 
 
 
 , então uma outra 
quantidade precisa ser definida. Neste ponto lançamos mão do conceito de densidade 
espectral de potência. 
 
Densidade Espectral de Potência 
 Seja sinal um sinal de potência. Definindo como a sua versão 
truncada, ou seja: 
 
 
 
 
Então a sua potência média pode ser calculada como o limite quanto . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A quantidade 
 
 
 
 
, é definida como a densidade espectral de 
potência do sinal. 
 A função de autocorrelação de um sinal de potência real é ainda definida como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim observamos que a função de autocorrelação para é igual a 
potência média do sinal. (Este resultado será importante quando falarmos de ruído 
gaussiano). 
 
Ruido Gaussiano Branco 
 Um ruído caracterizado através um processo estocástico , pode 
normalmente ser classificado como um sinal de potência. Uma fonte de ruído térmico 
gaussiano gera uma potência de ruído igualmente distribuída em todas as frequência 
(DC até teraHertz). Assim um modelo simples do ruído gaussiano branco assume que a 
sua densidade espectral de potência é plana para todas as frequências. ( O adjetivo 
"branco" é usado com a mesma conotação de que a luz branca contém também 
contém uma quantidade igualmente distribuída de frequências dentro de todo o 
espectro visível). Assim temos para o ruído branco : 
 
 
 
 
 
Onde o fator 2 é incluído para indicar que , representa o a densidade espectral bilateral 
do ruído (frequências positivas e negativas). 
A função de autocorrelação do ruído branco é dada por: 
 
 
 
 
 
Note que se , o que nos diz que duas amostras de ruído são totalmente 
descorrelacionadas (o conhecimento de uma não traz qualquer informação da outra), não 
importa o quão próximas elas estejam no tempo. Aqui temos um importante resultado: como 
visto anteriormente, o valor da função de autocorrelação para , representa o valor da 
potência média do ruído ou seja 
 
 
. 
 
 
Decomposição do Ruído Branco na base Ortonormal 
 O Ruído Aditivo Gaussiano Branco (AWGN) pode ser expresso através de uma 
combinação linear sobre as funções da base ortonormal utilizada para a representação dos 
sinais de transmissão. Desta forma note que teremos as contribuições de ruído para cada uma 
das componentes do sinal nas funções da base. 
 O ruído pode ser escrito como a soma de duas componentes, 
 
onde representa a componente do ruído que possui componentes nas funções da base 
(interferem com o sinal), e representa a parcela que não possui componentes nas funções 
da base, e desta forma não interferem no sinal ( pode ser pensada como parcela do ruído 
que é suprimida no detector). 
 
 
 
 
ou seja, 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 Então podemos expressar a parcela de de interesse para análise no espaço de 
sinais, de forma similar a representação de . Desta forma, temos 
 
 Podemos reescrever em função de uma vez que 
 
 
 , pois: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
Média e Variância das componentes de ruído 
Assim a média e variância de para qualquer pode ser calculada como, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a média é zero, a variância será dada diretamente pelo cálculo do segundo momento 
(lembrando que 
 
 . Então temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se mostrar que 
 
 
 
 
 
 
Mas representa a própria potência média do ruído 
 
 
 
então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Concluindo, é um vetor de variáveis aleatórias gaussianas independentes de média 
zero e variância 
 
 
 (potência média do ruído). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
0 
 
Métricas de desempenho em Sistemas de Telecomunicações 
 Vimos na aula anterior que o nosso sinal de transmissão era da forma: 
 
 Vimos também que para o nosso caso, a energia do sinal era dada por , e que 
o módulo do sinal no espaço de sinais era dado por , ou seja a raiz quadrada da energia do 
sinal ( intervalo 
de um período temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim podemos dizer que, energia do sinal pode calculada como a potência média do 
sinal vezes o período de duração do símbolo, ou seja 
 
 Em telecomunicações uma figura de mérito bastante utilizada em sistemas analógicos 
é a razão entre a potência média do sinal a potência média do ruído (SNR). Em comunicações 
digitais no entanto, é mais comum o uso da versão normalizada da SNR (Energia de 
símbolo pela densidade espectral do ruído), ou ainda , onde representa a energia de 
bit ( sendo o número de bits por símbolo. representa a densidade 
espectral de potência, que pode ser escrita como a potência média do ruído dividida pela 
banda ocupada , então podemos relacionar as duas expressões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma das mais importantes métricas de desempenho em sistemas de comunicação 
digital é o gráfico da Taxa de erro de bit em função de (BER). 
 
 
Antes de acabar... 
 Note que na representação de espaço de sinais (Espaço Euclidiano) o módulo do vetor 
de sinal representa a raiz quadrada da energia do símbolo, e que a potência do vetor de ruído 
possui valor 
 
 
. Assim o Espaço Euclidiano nos fornece uma importante ferramenta de análise 
relacionada a esta importante medida de desempenho de um sistema de telecomunicações.