TP1-2012-1

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Trabalho Prático 1 - Cálculo III - 2012/1
Nome: Turma:
Nome: Turma:
Nome: Turma:
Nome: Turma:
O trabalho deve ser entregue por um dos integrantes do grupo ao monitor, na sala
2034, no dia 12 de abril de 2012, em um dos seguintes horários: de 11h30 até 13h
ou de 16h40 até 18h10. Esta deve ser a folha de rosto do trabalho. Ela deve ter a
identi…cação da turma e a assinatura de cada integrante.
1. A seguinte integral é a área de uma região D descrita em coordenadas polares:
A(D) =
Z �
0
Z � sen �+psen 2�+16 cos2 �
2 cos2 �
1
rdrd�:
Transforme esta integral em coordenadas cartesianas e calcule A(D):
2. Seja DR = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � Rg o disco de raio R e centro na origem. Mostre que
lim
R!1
Z Z
DR
e�(x
2+y2)dxdy = �
e conclua que Z +1
�1
e�t
2
dt =
p
�:
3. Calcule a integral Z 1
0
Z 1
y
Z pz2�y2
0
zex
2+y2dxdzdy:
4. Considere o sólido E interior ao cilindro x2+ y2 = 2y; limitado pelos planos z� y = 2 e x = 0
e pela semi-esfera z =
p
4� x2 � y2: Calcule a integral tripla R R R
E
2zxdV:
5. Considere a região D no primeiro quadrante, limitada pelas retas x = 0 e y = 0 e pela
hipociclóide de equação x
2
3 + y
2
3 = 1 (veja …gura abaixo). Calcule a área de D utilizando a
mudança de variáveis: x = r cos3 � e y = r sen3 �:
0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
x
y
Região D: