TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
 CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 	CÁLCULO I
	 
 ASSUNTO: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
 
 
 
1. INTEGRAÇÃO POR PARTES
Até o momento não tínhamos condições para calcular integrais do tipo 
A fórmula a seguir possibilita calcular estes tipos de integrais como também outros tipos.
Se 
 e 
 e se 
 e
 são contínuas, então 
Pela regra do produto
Integrando ambos os membros obtemos:
Como 
 e 
 podemos escrever
Exemplo: Calcular 
Solução: Fazendo 
 integrando obtemos 
 e 
 derivando temos 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Substituindo em 
 isto é, integrando por partes temos:
1.1 FÓRMULA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
 
	
Se 
, e se 
 são contínuas, então
EXERCÍCIOS:
 
2. INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
 
Integrais do tipo pedem ser calculadas sem recorrer à integração por partes
Se n é inteiro positivo impar , podemos escrever
Como o inteiro n – 1 é par, podemos utilizar a identidade trigonométrica para chegar uma forma fácil de integrar conforme o exemplo abaixo
�� EMBED Equation.DSMT4 
Substituindo 
, 
, obtemos
, voltando à variável temos:
Caso análogos, para potências ímpares de cos x escrevemos
2.1 DIRETRIZES PARA CALCULAR 
Se m é inteiro ímpar: Escrevemos a integral como 
 e expressamos 
 em termos de 
 mediante a identidade trigonométrica 
. Fazemos a substituição
 
, 
 e calculamos a integral resultante.
 
 2. Se n é inteiro ímpar: Escrevemos a integral como 
 e expressamos 
 em termos de 
 mediante a identidade trigonométrica 
. Fazemos a substituição
 
, 
 e calculamos a integral resultante.
 
Se m e n são pares: Utilizaremos fórmulas de ângulo metade para 
 e 
 para 
 reduzir os expoentes em um meio
2.2 DIRETRIZES PARA CALCULAR 
Se m é inteiro ímpar: Escrevemos a integral como 
 e expressamos 
 em termos de 
 mediante a identidade trigonométrica 
. Fazemos a substituição
 
, 
 e calculamos a integral resultante.
 
Se n é inteiro par: Escrevemos a integral como 
 e expressamos 
 em termos de 
 mediante a identidade trigonométrica 
. Fazemos a substituição
 
, 
 e calculamos a integral resultante.
 
3. Se m e n são pares: Não há método padrão de cálculo. A integração por partes pode servir.
Para integrandos nas formas 
, 
 ou 
, utiliza-se uma forma de produto-soma para facilitar o cálculo da integral, conforme exemplo a seguir.
	
Exemplo: Calcular 
	
	
	
Exercícios:
 
3. SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
A expressão 
 pode ser expressa em termos de uma função trigonométrica.
Fazendo 
 para a > 0
Esta técnica é útil para eliminar radicais de certos tipos de integrando.
Substituições:
	
Expressão do integrando
	
Substituição trigonométrica
	
�� EMBED Equation.DSMT4 
	
Se 
 aparece em um denominador, acrescentamos a restrição 
 ou, equivalentemente 
Exemplo: Calcule 
Solução: 
 
=
Voltando a variável original temos:
 
 4
 x 
	
	
 
 
Se o integrando contém 
, com 
 e 
. Faça 
 
 
 	
 
Exemplo: 
	
	x 
	
Solução: 
 
	3
 
 
Voltando a variável temos: 
Se o integrando contém 
, faça 
 
 ou 
; 
 
Exemplo: Calcule 
 
Solução: x 
 
 
 a
Voltando a variável temos:
	
Podemos também usar substituições trigonométricas para calcular integrais que envolvam 
 , 
 ou 
 , nos casos em que 
Exemplo: Calcular 
Solução: Sugere 
 
 
 
 Voltando a variável temos:
	1	 x
 	 	
 
 
 			
 	
 
 
CALCULE AS INTEGRAIS
4. INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS
Se f(x) e g(x) são polinômios e se o grau de f(x) é inferior ao grau de g(x) então pode-se provar que 
 de tal forma que cada termo 
 da soma tenha uma das formas 
 ou 
4.1 Diretrizes para a decomposição de 
 em frações parciais
Se o grau de f(x) não é inferior ao grau de g(x) use a divisão para chegar a forma adequada
Expresse g(x) como produto de fatores lineares 
 ou fatores quadráticos irredutíveis da forma 
, e agrupe os fatores repetidos de modo que g(x) seja o produto de fatores diferentes da forma 
 ou 
para n inteiro não negativo.
Aplique as seguintes regras.
Regra a. Para cada fator 
 com 
 a decomposição em frações parciais contém uma soma de n frações parciais da forma.
, onde cada numerador 
 é um número real
Regra b. para cada fator 
 com 
 e com 
 irredutível a decomposição em frações parciais é da forma.
, onde cada 
 e 
 é um número real.
Exemplo: Calcule 
Solução: Fatorando, 
Para 
 temos 
Para 
 temos 
Para 
 temos 
EXERCÍCIOS
5. TÉCNICAS QUE ENVOLVEM EXPRESSÕES QUADRÁTICAS
Integrando que contém uma expressão quadrática com 
. Se 
 é necessário as vezes completar quadrado.
Exemplo. Calcular 
Solução: 
 
 
 
 
 
		
		
	
 
Calcular 
 
 
	
Solução: 
	
	
	
	
	 
	 3
 
 
 
 
 
=
EXERCÍCIOS
6. SUBSTITUIÇÕES DIVERSAS
Se uma integral contém uma expressão da forma 
 , então uma das substituições 
 ou 
 podem ser usada
Exemplo: 
Solução: 
 , 
 
Se o integrando é uma expressão racional em senx e cosx então a substituição 
 para 
, transformará o integrando em uma expressão racional(algébrica) em u
Conseqüentemente,
Além disso como 
, temos 
 e assim 
Teorema. Se um integrando é uma expressão racional em senx e cosx, obtemos uma expressão racional em u mediante a seguinte substituição, 
,
 onde 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Exemplo. Calcule 
Solução. 
Para 
 temos 
Para 
 temos 
Calcular 
Solução. 
Exemplo. 
Solução: Determine o mmc dos índices das raízes e faça a substituição da forma 
 , onde 
 é o m.m.c. dos índices.
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
		
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: 
 SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1.São Paulo: Makron Books do 
 Brasil, 1994.
 ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 2000
GUIDORIZZI, HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo. V. 1 5ª ed. Rio de Janeiro. LTC. Editora – 2003. 
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