Cap 06 - Movimento Vertical no Vácuo

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CAPÍTULO
6Movimento vertical 
no vácuo
Movimento vertical no vácuo 111
1. Queda livre
2. Lançamento vertical para 
cima
3. Gráfi cos do movimento 
vertical no vácuo
1. Queda livre
Um dos exemplos mais comuns de movimento com aceleração (aproximadamen-
te) constante é o da queda de um corpo atraído pela força gravitacional da terra. A 
qu eda de uma xícara na cozinha, de um parafuso na ofi cina, de uma bolinha de aço 
no laboratório são exemplos do nosso cotidiano.
em condições ideais, em que possa ser desprezada a resistência do ar, bem como 
qualquer outro tipo de resistência, esse movimento é chamado queda livre.
o movimento de queda de um corpo sempre despertou a atenção de físicos e 
fi lósofos desde o século IV a.c. Várias teorias não consistentes surgiram na tentativa 
de explicá-lo, mas somente por volta de 1590 o físico galileu galilei apresentou, 
pela primeira vez, uma teoria satisfatória sobre a queda dos corpos. ele afi rmou 
que um corpo cai com aceleração constante, independentemente de seu peso. Para 
demonstrar sua teoria, galileu abandonou dois corpos de pesos diferentes de um 
mesmo local, e eles chegaram juntos ao solo. conta a lenda que galileu teria usado 
a torre de Pisa para fazer seus experimentos, aproveitando-se de sua inclinação.
o experimento de galileu pode ser realizado num 
laboratório de Física usando-se um tubo cilíndrico 
oco. com uma bomba de vácuo, o ar é extraído do 
tubo, obtendo-se um bom vácuo. colocando o tubo 
na posição vertical, deixam-se cair, a partir de sua base 
superior, simultaneamente, dois objetos, que chegam 
juntos à base inferior (fi g. 1). eles foram igualmente 
acelerados pela força gravitacional e adquiriram um 
movimento de queda livre. o fato de chegarem juntos 
ao fi nal do tubo comprova que as acelerações adqui-
ridas foram iguais.
A aceleração constante de um corpo em queda livre denomina-se aceleração da 
gravidade, e o seu módulo representa-se pela letra g.
o valor de g varia de um local para outro, de acordo com a latitude e com 
a altitude. No nível do mar, na latitude de 45°, a aceleração da gravidade é: 
g = 9,80665 m/s². Devido a essa variação, usaremos apenas dois algarismos 
signifi cativos: g = 9,8 m/s². Na resolução de exercícios costuma-se considerar 
g = 10 m/s².
Equacionamento da queda livre
como vimos, o movimento de um corpo em queda livre tem aceleração constan-
te, sua trajetória é retilínea e vertical e ele é uniformemente acelerado. o corpo po-
derá ser abandonado ou lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial v
0
. 
DICA
Como g é o módulo 
de uma grandeza 
vetorial, ele sempre 
será um número 
positivo.
Figura 1. Queda livre de dois 
objetos no tubo de vácuo.
Z
A
P
t
Capítulo 6112
Vamos convencionar que, se o corpo foi abandonado, isso já significa que sua veloci-
dade inicial é nula.
Para equacionarmos o movimento de queda livre precisamos orientar a sua trajetória 
e adotar uma origem. Na figura 2, a trajetória está orientada para baixo e a origem foi 
tomada junto ao ponto de lançamento. A aceleração escalar será positiva e as velocida-
des durante a queda serão positivas.
Equação horária da velocidade
Usaremos a equação do MUV: v = v
0
 + α · t, sendo que α = +g.
A equação da velocidade fica:
v = v
0
 + g · t
Equação horária das ordenadas ou das posições
Usaremos a equação horária do MUV e faremos as seguintes substituições:
s
0
 = 0
s = y
α = +g
s = s
0
 + v
0
 · t + 
α
2
 · t2
y = 0 + v
0
 · t + 
g
2
 · t2 ⇒ y = v
0
 · t + 
g
2
 · t2
 
Na maioria dos exercícios, o corpo é abandonado em queda livre, isto é, parte 
do repouso e sua velocidade escalar inicial é nula (v
0 
= 0). As equações acima se 
simplificam:
v = g · t y = 
g
2
 · t2
1. Um corpo é abandonado em queda livre e em 
3,0 s atinge o solo. No local, a aceleração da gra-
vidade é constante e tem módulo g = 10 m/s². 
Determine:
a) a altura inicial de onde foi abandonado o 
corpo;
b) a velocidade com que ele atingiu o solo.
Resolução:
a) Vamos orientar a trajetória para baixo, como 
na figura a seguir, e teremos:
•	 α =+g = +10 m/s²
•	 v
0
 = 0 (o corpo ter 
sido abandonado signi-
fica que ele partiu do 
repouso)
y = 
g
2
 t2 ⇒ 
⇒ H = 
10
2
 (3,0)2 ⇒		
⇒ H = 45 m
Figura 2. Orientação da 
trajetória na queda livre.
0
1
2
y
solo
+
v
0
 = 0
y
0
 = 0
α = g
y
H
(+)
solo
Exercícios de Aplicação
b) Para o cálculo da velocidade com que o corpo 
atinge o solo, faremos:
 v = g · t ⇒ v = 10 · 3,0 ⇒	 v = 30 m/s
2. Uma bolinha de ferro foi lançada verticalmente 
para baixo com velocidade de módulo 4,0 m/s, 
atingindo o solo em 2,0 s. Sendo g = 10 m/s² 
e orientando a trajetória para baixo, determine:
a) as equações horárias da velocidade e da orde-
nada (posição);
b) o módulo da velocidade da bolinha ao atingir 
o solo;
c) a altura inicial do lançamento.
3. Uma bala de canhão, de forma esférica, foi lança-
da verticalmente para baixo da sacada de um dos 
anéis da Torre de Pisa e adquiriu um movimento 
de queda livre. Sendo de 10 m/s a velocidade 
escalar inicial e adotando g = 10 m/s², determi-
ne a altura do anel em relação ao solo, sabendo 
que o movimento durou apenas 2,0 s.
Il
U
st
r
A
ç
õ
es
: 
ZA
Pt
Movimento vertical no vácuo 113
Resolução:
Orientando a trajetória para baixo, temos: 
v
0
 = 10 m/s; α = g = 10 m/s2
y = v
0
t + 
α
2
 · t2
y = 10t + 
10
2
 · t2 ⇒ y = 10t + 5,0t2
Substituindo o tempo dado, t = 2,0 s, e fazendo 
y = H (altura do anel), obtemos:
H = 10 · 2,0 + 5,0 · (2,0)2 
H = 20 + 20 ⇒ H = 40 m
O anel da torre está a 40 m do solo. Apenas por 
curiosidade, a Torre de Pisa tem aproximadamen-
te 52 m de altura.
4. Uma criança deixa cair, a partir do repouso, 
um pequeno brinquedo pesado da janela de um 
edifício a 20 m de altura em relação à calçada. 
O brinquedo adquire um movimento retilíneo 
vertical de queda livre. Oriente a trajetória para 
baixo, tome a janela como origem das ordenadas, 
admita que o brinquedo caiu da janela no instan-
te t = 0 e adote g = 10 m/s².
a) Escreva as equações horárias do movimento.
b) Determine o instante em que o brinquedo 
atingiu a calçada.
c) Determine a velocidade com que ele chegou 
ao solo.
5. Um helicóptero desce verticalmente em movimen-
to uniforme com velocidade de módulo 36 km/h. 
Quando se encontrava a uma altura H do solo, esca-
pou de sua “lataria” uma porca de aço. Em 6,0 s ela 
chegou ao solo. Sendo g = 10 m/s² e sendo des-
prezível a resistência do ar, determine a altura H.
v = 36 km/h
porca
H
(+)
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6. Abandona-se uma bolinha de tênis em queda 
livre com a intenção de que ela caia exatamente 
dentro de um pequeno vaso sobre um carrinho. 
Este se desloca para a direita em MRU, aproxi-
mando-se da reta vertical (trajetória da bolinha) 
com velocidade escalar v = 4 m/s. Admita que a 
figura nos mostre a posição dos corpos no instan-
te t = 0. 
D
v
1 m
H = 21 m
Adotando g = 10 m/s², determine:
a) o instante T em que o vaso deve chegar à reta 
vertical, que compõe a trajetória da bolinha;
b) a distância D indicada.
Resolução:
Orientemos a trajetória da bolinha para baixo.
posição inicial
H = 21 m – 1 m = 20 m
v
1 m t = T
y
(+)
a) A equação horária das posições da bolinha é 
dada por:
 y = v
0
t + 
α
2
 · t2
 Temos: α = g = 10 m/s²; v
0
 = 0
 y = 0 + 
10
2 · t2 ⇒ y = 5t2
A bolinha deverá percorrer apenas 20 m 
para que se tenha sucesso total no evento. 
Portanto, façamos na equação horária y = 20 m 
e chamaremos o instante final de T:
 20 = 5T2
 T2 = 
20
5 = 4 ⇒ T = 4 ⇒	 T = 2 s
b) O carrinho está em MRU com velocidade esca-
lar v = 4 m/s:
 D = v · T ⇒ D = 4 · 2 ⇒	 D = 8 m
7. Um garoto, de cima de uma ponte, por brincadei-
ra, deixa cair um pedregulho bem no instante em 
que a proa do barco aponta por baixo da ponte, 
na vertical que passa pela sua mão. O barco está 
em movimento retilíneo uniforme,numa trajetória 
ortogonal ao beiral da ponte. A altura da ponte é de 
20 m acima da proa do barco, e o pedregulho caiu 
dentro do barco a 180 cm do ponto visado. Sendo 
g = 10 m/s², determine a velocidade do barco.
 
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Capítulo 6114
8. Um lixeiro empurra o seu carrinho em movimento 
retilíneo uniforme, de trajetória paralela à parede 
de um edifício, aproximando-se da vertical que 
passa pelas janelas dos apartamentos. Pedrinho, 
morador do terceiro andar, em vez de descer até 
a calçada e levar o seu saquinho de lixo até o 
carrinho, resolveu testar os seus conhecimentos 
de Física e, da sua janela, acertar a boca do car-
rinho que se aproximava, largando-o em queda 
livre. O carrinho tem 80 cm de altura e a janela 
de Pedrinho fica a 17 m do chão. Sabemos que a 
velocidade escalar do carrinho é 1,5 m/s. Despreze 
a resistência do ar e também a largura da boca do 
carrinho. Para que Pedrinho tenha sucesso em seu 
experimento, a distância d, entre o carrinho e a 
vertical que passa pelas janelas, deverá ser apro-
ximadamente de:
a) 3,0 m
b) 2,7 m 
c) 2,2 m
d) 1,8 m
e) 1,2 m
Dado: g = 10 m/s2
9. Uma pequena esfera de aço foi lançada verti-
calmente para baixo, com velocidade de módulo 
4,0 m/s, num local onde se pode desprezar a 
resistência do ar. Tendo percorrido uma distância 
h, medida a partir do ponto de lançamento, sua 
velocidade passou a ter módulo de 8,0 m/s. O 
módulo da aceleração da gravidade é g = 10 m/s². 
Determine a distância h.
Resoluç‹o:
Como não foi fornecido o tempo, vamos usar a 
equação de Torricelli:
v2 = v2
0
 + 2α · Δy
Sendo α = g, a equação fica:
v2 = v2
0
 + 2g · Δy
v
0
 = 4,0 m/s; v = 8,0 m/s; g = 10 m/s2; Δy = h
8,02 = 4,02 + 2 · 10 · h
64 = 16 + 20h ⇒ 64 – 16 = 20h ⇒
⇒ h = 
48
20 ⇒	 h = 2,4 m
h
y
v = 8,0 m/s
v
0
 = 4,0 m/s
g
(+)
10. Uma partícula está em queda livre vertical. Num 
dado instante t
1
 sua velocidade tem módulo 
v
1
 = 6,0 m/s e num instante t
2
 o módulo é v
2
, 
tendo percorrido nesse intervalo de tempo uma 
distância Δy = 5,4 m. Sendo g = 10 m/s², deter-
mine v
2
.
Exercícios de Reforço
11. (UF-PE) Uma esfera de aço de 300 g e uma esfe-
ra de plástico de 60 g de mesmo diâmetro são 
abandonadas, simultaneamente, do alto de uma 
torre de 60 m de altura. Qual a razão entre os 
tempos que levarão as esferas até atingirem o 
solo? (Despreze a resistência do ar.)
a) 5,0 c) 1,0 e) 0,2
b) 3,0 d) 0,5
12. (PUC-RJ) Queremos calcular a altura de um edi-
fício tal que, se uma pedra é deixada cair do seu 
topo, ela terá a velocidade de módulo 72 km/h 
ao atingir o solo, desprezados os efeitos da resis-
tência do ar. Se cada andar é aproximadamente 
equivalente a 2,5 m, o número de andares deste 
edifício deve ser (g = 10,0 m/s²):
a) 104 c) 26 e) 8
b) 52 d) 13
13. Um estudante de Física queria medir o pé-direito 
de seu apartamento e, como não possuía uma 
trena, fez o seguinte experimento: deixou cair, 
a partir do teto, uma bolinha de borracha maci-
ça, a qual atingiu o solo em aproximadamente 
0,8 s (tempo estimado). Em seguida, realizou 
um segundo experimento para descobrir em 
que andar ele se encontrava: debruçou-se no 
parapeito da janela e abandonou a sua bolinha 
de borracha em queda livre, medindo o tempo 
de queda até o solo, obtendo aproximadamente 
3,2 s. Adotando g = 10 m/s², determine:
a) a medida do pé-direito do apartamento;
b) o andar em que se encontrava, sabendo que 
a contagem se faz assim: térreo, 1°. andar, 2°. 
andar, etc. Admita que todos os andares têm 
o mesmo pé-direito.
(Observação dos autores: pé-direito é a altura de 
um cômodo, medida do piso ao teto.)
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Movimento vertical no vácuo 115
14. Do alto da Torre de Pisa, Galileu abandonou da 
sacada de altura H uma bala de canhão B
1
, a 
qual despencou em queda livre até o solo. Nesse 
mesmo instante, o seu aluno Adamo também 
abandonou, de uma segunda sacada da torre, 
de altura h, uma outra bala de canhão B
2
, a 
qual também despencou em queda livre. Entre a 
queda da bala B
1
 e a queda da bala B
2
 foi consta-
tada uma diferença de tempo de 0,60 s. 
 
Sabendo que h = 0,64H e g = 10 m/s2, podemos 
afirmar que os tempos de queda das balas B
1
 e B
2
 
são, respectivamente:
a) 3,0 s e 2,4 s d) 2,4 s e 3,0 s
b) 3,0 s e 0,6 s e) 2,4 s e 2,8 s
c) 2,4 s e 2,0 s
15. Uma bolinha de aço é abandonada em queda livre 
na boca de um poço por um físico que pretende 
determinar a sua profundidade. Entre o início 
do movimento da bolinha e o retorno do som 
decorreu um intervalo de tempo de 9,0 s. Sendo 
conhecidos o módulo da aceleração da gravida-
de (g = 10 m/s²) e a velocidade do som no ar 
(320 m/s), determine a profundidade do poço.
Resolu•‹o:
Vamos supor que a bolinha esteja percorrendo 
um eixo de ordenadas (y) orientado para baixo. 
A origem do eixo está na boca do poço. A linha- 
d'água corta o eixo na ordenada y = H.
H
y = 0
y = H
y(+)
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P
t
1°. ) Para a queda livre da bolinha, temos:
 y = 
g
2 · t2
Sendo T o instante em que a bolinha atinge 
a água, temos:
 t = T ⇒ y = H
 H = 
g
2
 · T2
Sendo g = 10 m/s² e substituindo-se na 
equação obtida:
 H = 
10
2 · T2 ⇒ H = 5,0T2 (1)
2°. ) O retorno do som é um MRU de velocidade 
v = 320 m/s. O intervalo de tempo gasto 
pelo som para retornar à boca do poço é 
Δt = 9,0 – T.
	 Δy = v
s
 · Δt
 H = 320 · (9,0 – T) (2)
 Igualando as equações (1) e (2), temos:
 5,0T2 = 320 · (9,0 – T)
 5,0T2 = 2 880 – 320T
 5,0T2 + 320T – 2 880 = 0
 Essa equação admite uma raiz positiva 
(T = 8,0 s) e outra negativa.
 Substituindo esse valor na equação (2), 
temos:
 H = 320 · (9,0 – 8,0) ⇒	 H = 320 m
16. Lançamos verticalmente para o fundo de um poço 
uma pedrinha com velocidade escalar v
0
 = 20 m/s. 
Admita que ela tenha queda livre durante o seu 
movimento e que o som retorne em MU com veloci-
dade de 320 m/s. Tendo o poço uma profundidade 
de 160 m e sendo conhecido o módulo da acelera-
ção da gravidade g = 10 m/s², determine:
a) o tempo de queda da pedrinha;
b) o intervalo de tempo gasto pelo som para 
chegar à boca do poço;
c) o intervalo de tempo total decorrido entre o 
lançamento da pedrinha e o retorno do som.
17. Um corpo é abandonado em queda livre do topo 
de um edifício de 205 m de altura. Supondo a 
aceleração da gravidade constante, de módulo 
g = 10 m/s², e desprezando a resistência do ar, a 
distância percorrida pelo corpo durante o quinto 
segundo é:
a) 125 m d) 5 m 
b) 80 m e) 45 m
c) 205 m
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Capítulo 6116
18. (Fuvest-SP) Numa filmagem, no exato instante em 
que um caminhão passa por uma marca no chão, 
um dublê se larga de um viaduto para cair dentro 
de sua caçamba. A velocidade v do caminhão é 
constante e o dublê inicia sua queda a partir do 
repouso, de uma altura de 5 m da caçamba, que 
tem 6 m de comprimento. A velocidade ideal do 
caminhão é aquela em que o dublê cai bem no 
centro da caçamba (C), mas a velocidade real v do 
caminhão poderá ser diferente e ele cairá mais à 
frente ou mais atrás do centro da caçamba. 
v
C
Para que o dublê caia dentro da caçamba, v 
pode diferir da velocidade ideal, em módulo, no 
máximo:
a) 1 m/s c) 5 m/s e) 9 m/s
b) 3 m/s d) 7 m/s
19. (Udesc-SC) Um programa de computador simula o 
movimento de corpos em queda livre. Uma bola 
é solta de uma ponte 80,0 m acima da superfície 
da água. Um segundo depois, uma segunda bola é 
lançada verticalmente para baixo, com uma velo-
cidade inicial v
0
. Ambas as bolas tocam a água ao 
mesmo tempo. Adote g = 10,0 m/s². Com relação 
a essa descrição, determine:
a) o tempo de queda de cada bola;
b) a velocidade escalar da primeira bola, no ins-
tante em que toca a água;
c) uma terceira bola é lançada verticalmente 
para baixo, a partir da mesma ponte, com 
velocidadeescalar inicial v
3i
 e toca a água em 
2,0 s. Qual a velocidade escalar inicial v
3i
 da 
terceira bola?
20. (UF-AL) Uma pequena esfera de aço é abando-
nada, a partir do repouso, da altura de 180 m, 
caindo livremente sob a ação da gravidade, com 
aceleração de módulo 10 m/s². A distância per-
corrida pela esfera na segunda metade do tempo 
de queda é, em metros,
a) 45 d) 135
b) 90 e) 150
c) 120
Leitura
Galileu – A queda livre e a lenda da torre inclinada de Pisa
Relata-nos a história da Física que Aristóteles teria sido o primeiro a enunciar uma lei para a queda livre 
dos corpos: “os objetos pesados caem mais depressa que os mais leves”. Por mais de dois mil anos prevaleceu a 
ideia de Aristóteles, ainda que alguns pensadores começassem a discordar dela. Galileu foi um deles.
Nascido na cidade de Pisa, na Itália, em 1564, Galileu Galilei foi um dos mais importantes cientistas do 
Renascimento. Fez o curso de Medicina na Universidade de Pisa, atendendo à vontade do pai, mas dedicou-se 
à sua vocação: Matemática e Física.
Entre as suas diversas contribuições às Ciências, destacamos a criação do método científico, segundo o qual 
toda teoria, para ter validade, precisaria ser testada experimentalmente e acompanhada de uma demonstração. 
Qualquer contraexemplo invalidaria a teoria. Galileu foi defensor do sistema heliocêntrico, no qual os planetas 
giram em torno do Sol, e não em torno da Terra. Ficou famoso pela construção de suas lunetas (não foi 
o inventor, apenas aperfeiçoou-as). Reorganizou e demonstrou o estudo da queda livre e dos movimentos 
uniformemente acelerados. Escreveu um tratado intitulado Diálogo sobre duas novas ciências, no qual apresenta 
seus estudos sobre movimento. Esse livro de Galileu é considerado o marco zero para o estudo da Dinâmica, 
que veremos a partir do capítulo 12. Todo o acervo de Galileu está guardado no Museu de História da Ciência, 
na cidade de Florença, na Itália.
No entanto, o que tornou Galileu bastante conhecido foi a associação de seu nome à Torre de Pisa. Conta-se 
que Galileu teria se valido da inclinação da Torre (fig. a) para realizar alguns experimentos de queda livre. O local 
era um verdadeiro laboratório a céu aberto. Galileu teria usado balas de canhão (bolas de ferro), deixando-as 
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Movimento vertical no vácuo 117
cair do alto da torre, praticamente em queda livre, para estudar o seu 
movimento. Ao comparar os seus tempos de queda, verificou que eles 
eram iguais. Como Galileu não tinha meios de medir o tempo com 
precisão, soltava duas bolas de cada vez, as quais chegavam sempre 
juntas ao solo, o que demonstrava essa propriedade.
Provavelmente, a história da Torre de Pisa não passe de uma lenda, 
pois não temos nenhum documento oficial que a comprove.
Por que Galileu usava bolas de ferro? Na época de Galileu não havia 
meios de realizar os experimentos no vácuo, então ele contornou esse 
problema usando objetos pesados (balas de canhão, esféricas, de ferro), 
de tal modo que a resistência do ar praticamente não interferia na 
aceleração do movimento. Podemos considerar o movimento vertical 
de uma dessas bolas como sendo uma queda livre.
Como a medição de tempo na queda livre era muito complicada, 
devido à velocidade do corpo, ele construiu um plano inclinado no 
qual a bola descia com menor velocidade, facilitando então a medida 
do tempo.
Através de seus experimentos com o plano inclinado, Galileu descobriu que, em movimentos de aceleração 
constante, tendo o móvel partido do repouso, as distâncias percorridas em intervalos de tempo iguais e 
consecutivos eram proporcionais aos números ímpares: (1), (3), (5), (7), …, etc. Isso é uma progressão 
aritmética (PA) de números ímpares e razão 2.
Por outro lado, medindo essas distâncias a partir da posição inicial, verificou que elas eram proporcionais 
a (1), (4), (9), (16), … (veja na fig. b):
(1) = 1
(1 + 3) = 4
(1 + 3 + 5) = 9
(1 + 3 + 5 + 7) = 16
A sequência (1), (4), (9), (16)… é equivalente a (1)², (2)², (3)², (4)²…
Por outro lado, (1), (2), (3), (4)… representa o tempo naquela posição.
Com isso, Galileu concluiu que, no movimento de aceleração escalar constante, partindo do repouso, a 
distância percorrida pelo móvel é proporcional ao quadrado do tempo: d = k · t2.
Embora Galileu tivesse usado o plano inclinado para chegar a essa conclusão, ela também foi estendida 
para a queda livre.
Figura d. Galileu Galilei.Figura c. O plano inclinado de Galileu.
5
31
4
9
t=0
P
0 t=1
t=2
t=3
Figura b.
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Figura a. Torre de Pisa.
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Capítulo 6118
solo
pico
y = 0
y
Figura 5. Orientação 
da trajetória.
movimento
acelerado
solo
pico
Figura 4. Movimento 
de descida.
movimento
retardado
solo
pico
Figura 3. Movimento 
de subida.
2. Lançamento vertical para cima 
lançando-se verticalmente para cima um corpo, num local onde se possa desprezar 
a resistência do ar, próximo da superfície terrestre, ele adquirirá um movimento retilíneo 
e uniformemente variado. sua aceleração terá módulo g (aceleração da gravidade). o 
meio ideal para se fazer esse lançamento é o vácuo.
Verifica-se que, independentemente de qualquer orientação que se 
dê à trajetória:
1º. ) durante a subida o movimento é retardado devido à ação da gra-
vidade (fig. 3). Ao atingir o pico da trajetória, o corpo vai parar 
instantaneamente; no entanto, a força gravitacional continuará 
atuando sobre ele, o que o faz retornar ao seu ponto de partida. 
Portanto, no pico da trajetória, temos: v = 0 e |α| = g.
2º. ) na descida, ajudado pela força gravitacional, o movimento é 
acelerado, e o corpo cai em queda livre (fig. 4).
Equacionamento e discussão dos sinais algébricos da 
velocidade e da aceleração
Para entender melhor estes sinais, vamos recorrer ao capítulo 9 e pedir emprestados 
os vetores velocidade e aceleração. Vamos usá-los apenas para mostrar os seus respec-
tivos sentidos em cada um dos movimentos. Isso vai simplificar bastante a compreensão 
do texto.
Vamos orientar a trajetória para cima (fig. 5) e essa orientação será mantida na su-
bida e na descida. Não podemos mais alterar a orientação do eixo y.
Sinais algébricos da velocidade escalar
Nas figuras 6 e 7 mostramos o vetor velocidade acompanhando o 
sentido do movimento. Na subida o sentido do movimento concorda 
com o do eixo y e, portanto, ele é progressivo; a velocidade escalar é 
positiva. Na descida o movimento tem sentido oposto ao do eixo y e, 
portanto, ele é retrógrado; a velocidade escalar é negativa. Assim, temos:
•	 na subida ⇒ v > 0
•	 na descida ⇒ v 0
(+)
solo
y
Figura 6. Movimento 
de subida.
vque o corpo seja apenas um ponto material e que sua posição seja 
definida, em cada instante, pelo valor da ordenada y.
A ordenada inicial é denominada altura inicial do lançamento. Assim, y
0 
= h
0
.
y = y
0
 + v
0
t + αt2
2
substituindo também α = – g, a equação horária das posições fica:
y = h
0
 + v
0
t – 
gt2
2
A equação horária da velocidade é:
v = v
0
 + αt
Fazendo α = – g, obtemos:
v = v
0
 – gt
temos também a equação de torricelli, que assim se escreve:
v2 = v2
0
 – 2g · Δy
Propriedades do lançamento vertical livre
1ª. ) No pico da trajetória (fig. 9) temos:
•	 Máxima altura atingida pelo móvel, a qual denominaremos H. Assim, a ordena-
da máxima é: y
máx
 = h
•	 Velocidade instantânea nula: v = 0
•	 Aceleração escalar não nula: α = – g
2ª. ) Num ponto qualquer da trajetória, de ordenada yCapítulo 6122
v
0
g
75 m
solo
Determine, a contar do instante de lançamento:
a) o instante T
1 
em que a bolinha passa pelo 
ponto inicial de lançamento;
b) o instante T
2
 em que a bolinha atinge o solo;
c) a ordenada do pico da trajetória.
Resolu•‹o:
Vamos adotar um eixo de ordenadas e colocá-lo 
sobre a trajetória da bolinha. Sua origem será 
fixada no solo. Este será o nosso referencial e não 
poderá mais ser alterado até o final da resolução 
do exercício. Veja a figura. A bolinha atingirá um 
pico de sua trajetória e retornará para o solo.
g
pico
v
0
 = 10 m/s
posição inicial
y
0
 = 75 m
origem (y = 0)
(t = 0)
y (+)
solo
Il
U
st
r
A
ç
õ
es
: 
ZA
Pt
a) Vamos começar escrevendo a equação horária 
das ordenadas das posições ocupadas pela 
bolinha:
 y = y
0
 + v
0
t – 
gt2
2
 Temos: y
0
 = 75 m; v
0
 = +10 m/s; g = 10 m/s²
 A equação fica:
 y = 75 + 10t – 
10
2 · t2
 y = 75 + 10t – 5,0t2 (unidades do SI)
 Quando a bolinha estiver passando pelo ponto 
inicial de lançamento, ela estará na posição 
y = 75 m.
 75 = 75 + 10t – 5,0t2
 75 – 75 = 10t – 5,0t2
 5,0t2 – 10t = 0
 1,0t2 – 2,0t = 0
 t(t – 2,0) = 0
 Uma das soluções é t = 0 (denominada 
solução trivial) e corresponde ao instante do 
lançamento. A outra solução é t = 2,0 s, que 
é o instante procurado. Logo:
T
1
 = 2,0 s
b) Ao atingir o solo, a ordenada fica y = 0:
 y = 75 + 10t – 5,0t2
 0 = 75 + 10t – 5,0t2
 5,0t2 – 10t – 75 = 0
 1,0t2 – 2,0t – 15 = 0
 t
1, 2
 = 
–b ± b2 – 4ac
2a
 t
1, 2
 = 
–(–2,0) ± (–2,0)2 – 4 · (1,0) · (–15)
2 · (1,0)
 t
1, 2
 = 
2,0 ± 8,0
2,0
 Uma das raízes é negativa e não faz parte 
da solução do problema. A raiz positiva é a 
solução:
T
2
 = 5,0 s
c) Para determinar a posição do pico, vamos usar 
a equação de Torricelli.
 v2 = v2
0
 – 2g · Δy
 Lembrando que no pico a velocidade é nula: 
v = 0
 02 = 102 – 2 · 10 · Δy
 20 · Δy = 100 ⇒ Δy = 5,0 m 
 A ordenada do pico será:
 y
pico
 = 75 m + 5,0 m = 80 m
y
pico
 = 80 m
31. Do topo de um edifício, atira-se uma pedra ver-
ticalmente para cima com velocidade escalar de 
20 m/s. A posição de lançamento está a uma 
altura de 60 m do solo. Considere g = 10 m/s². 
Despreze os efeitos do ar.
a) Determine os instantes em que a pedra passa 
por um ponto situado a 75 m do solo.
b) Determine as respectivas velocidades escala-
res ao passar pelo ponto anterior.
c) Determine o instante em que ela toca o solo.
32. (PUC-MG) Uma bolinha de borracha é solta do 
alto de um prédio de 40,0 m de altura e choca- 
se com o solo em uma superfície rígida e lisa. 
Movimento vertical no vácuo 123
Figura 11. Diagramas horá-
rios da queda livre.
v
0
v
0 t
g
α
0 t
parábola
s
0 t
Observa-se que, quando a bolinha se choca com o 
solo, ela sempre sobe a uma altura, que é metade 
da altura anterior. O módulo da velocidade com 
que a bolinha abandona o solo, imediatamente 
após o terceiro toque no solo, vale aproximada-
mente, em m/s: (Dado: g = 10,0 m/s². Despreze 
os efeitos do ar.)
a) 5,0 c) 10,0 e) 25,0
b) 7,0 d) 20,0
3. Gráficos do movimento vertical no vácuo
Queda livre
No movimento de queda livre, com a trajetória orientada para baixo, as equações 
horárias são:
y = v
0
t + 
1
2
 gt2
v = v
0
 + gt
α = g (constante positiva)
o diagrama horário das ordenadas (posição × tempo) é um arco de parábola de 
concavidade para cima, pois α = +g; o da velocidade escalar é uma reta oblíqua ao eixo 
do tempo; e o da aceleração escalar é uma reta paralela ao eixo do tempo (pois trata-se 
de uma função constante) (fig. 11).
Lançamento vertical para cima
No lançamento vertical, com a trajetória orientada positivamente de baixo para cima 
e com origem no solo, as equações horárias são:
y = h
0
 + v
0
t – 
1
2
 gt v = v
0
 – gt α = –g (constante negativa)
o diagrama posição × tempo é um arco de parábola, de concavidade para baixo, 
pois α = – g (fig. 12a), o da velocidade escalar é uma reta oblíqua ao eixo do tempo 
(fig. 12b), e a função é decrescente pelo mesmo motivo. o da aceleração escalar é uma 
reta paralela ao eixo do tempo (fig. 12c).
Figura 12. Diagrama horário do lançamento vertical para cima.
y
0
h
0
H
V (vértice)
t
sub
t
tot t
–g
t0
αv
v
0
t
sub
t
tot
+
– t0
No diagrama horário das posições (fig. 12a), o vértice V da parábola corresponde ao 
pico da trajetória. observemos pelos diagramas b e c que, nesse ponto, a velocidade 
escalar é nula (v = 0) e a aceleração escalar não é nula (α = – g).
33. (UF-TO) Uma pessoa atira uma pedra verticalmen-
te para cima, com velocidade inicial de módulo 
5,0 m/s, da beira de um penhasco. Considerando-
se que o módulo da aceleração da gravidade é de 
10 m/s², em quanto tempo a pedra irá passar 
por um ponto situado a 30 m abaixo do ponto de 
onde foi lançada? Despreze a resistência do ar.
a) 0,5 s c) 2,0 s e) 3,5 s
b) 1,0 s d) 3,0 s
(a) (b) (c)
Capítulo 6124
v (m/s)
0
0,5
4,9
–4,9
1,0
t (s)
y (m)
H
0 1,0 2,0 t (s)
10
8
6
4p
o
si
çã
o
 (
m
)
2
0
1 2 3
tempo (s)
4 5 6
Exercícios de Aplicação
34. (Fuvest-SP) A figura representa o gráfico (posi-
ção-tempo) do movimento de um corpo lançado 
verticalmente para cima com velocidade inicial v
0 
, 
na superfície de um planeta.
a) Qual o valor da velocidade inicial v
0
?
b) Qual o valor da aceleração da gravidade na 
superfície do planeta?
Resolução:
a) A equação horária do movimento do móvel é:
y = h
0
 + v
0
t – 
1
2 gt2
Do gráfico tiramos os seguintes valores:
t = 0 → h
0
 = 0 (altura inicial nula)
t = 1 s → y
1
 = 5 m
t = 2 s → y
2
 = 8 m
Substituímos esses valores na equação horária:
5 = 0 + v
0
 · 1 – 
1
2 g · 12
5 = v
0
 – 
1
2 g
10 = 2v
0
 – g 1
8 = 0 + v
0
 · 2 – 
1
2 g · 22
8 = 2v
0
 – 2g
4 = v
0
 – g 2
As duas equações formam um sistema:
10 = 2v
0
 – g 1
4 = v
0
 – g 2
Subtraindo membro a membro a equação 
2 
da 
1 :
–
10 = 2v
0
 – g 1
4 = v
0
 – g 2
6 = v
0
 + 0
v
0
= 6 m/s
b) Voltando em 
2 :
4 = 6 – g
g = 2 m/s²
35. Em um local onde a resistência do ar é despre-
zível e a aceleração da gravidade tem módulo 
g = 10 m/s², uma pequena pedra é lançada ver-
ticalmente para cima por uma pessoa. A pedra 
adquire um movimento retilíneo vertical e, em 
seguida, retorna às mãos do lançador. O gráfico 
ordenadas × tempo está representado na figura. 
Determine:
a) o módulo da velocidade escalar inicial;
b) a altura máxima (H) atingida pela pedra.
36. Em uma determinada região em que a aceleração 
da gravidade é constante, um garoto fez um expe-
rimento de Física com a finalidade de determinar 
o módulo da aceleração da gravidade local que 
consistiu no seguinte: lançou verticalmente para 
cima uma bolinha de aço e conseguiu obter o grá-
fico velocidade × tempo a seguir. A resistência do 
ar pode ser desprezada no experimento.
Determine:
a) o módulo da aceleração da gravidade;
b) a altura máxima (H) atingida pela bolinha.
Resolução:
a) Do gráfico, tiramos:
v
0
 = 4,9 m/s
v = 0, quando t = 0,5 s
Utilizemos a equação horária das velocidades:
v = v
0 
 – g · t
0 = 4,9
 
 – g · 0,5
g = 
4,9
0,5
 ⇒ g = 9,8 m/s²
Movimento vertical no vácuo 125
b) Para obter a altura máxima vamos usar a 
equação de Torricelli. 
Temos: v = 0 no pico da trajetória; 
g = 9,8 m/s²; v
0 
= 4,9 m/s
v2 = v2
0
 – 2g · Δy
02 = (4,9)2 – 2 · (9,8) · H
H = 1,2 m
37. Lançamos verticalmente para cima uma esfe-
rinha de aço e conseguimos levantar os dados 
do módulo de sua velocidade. Com esses dados 
construímos o gráfico a seguir. A resistência do 
ar é desprezível. 
mento verificou-se que a resistência do ar não 
influenciou o movimento e a bolinha subiu em 
movimento retilíneo uniformemente variado. O 
gráfico mostra as posições em função do tempo 
para uma trajetória orientada de baixo para cima.
y (m)
H
0 4,5 9,0 t (s)
v (m/s)
0
19,8
–19,8
4,0
t (s)
Determine:
a) a máxima altura atingida pela esferinha;
b)o módulo da aceleração da gravidade local.
38. Num local onde a aceleração da gravidade tem 
módulo g = 10 m/s², lançou-se uma bolinha 
de gude verticalmente para cima. No experi-
Analise as afirmativas a seguir e indique falso ou 
verdadeiro para cada uma delas.
I. Para tbolinha 
atinge sua altura máxima, em relação ao piso 
do térreo.
A
H = 180 m
B
Il
U
st
r
A
ç
õ
es
: 
ZA
Pt
Movimento vertical no vácuo 127