Cap 24 - Gravitação

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CAPÍTULO
24Gravitação
Gravitação 465
Na sua obra máxima, o Principia, além das três leis do movimento, Newton apre-
sentou também outra lei de enorme importância, que fi cou conhecida como Lei 
da Gravitação Universal. O objetivo principal deste capítulo é o estudo dessa lei. 
Porém, antes de apresentá-la, vamos fazer alguns comentários sobre o assunto que 
foi a inspiração de Newton para a obtenção dessa lei: os movimentos dos planetas.
1. Os primeiros modelos de mundo
As primeiras tentativas de explicar o Universo de maneira racional foram reali-
zadas pelos primeiros fi lósofos gregos. Aristóteles (384-322 a.C.) — fi lósofo antigo 
que tratou do maior número de assuntos — propôs um modelo para explicar os 
movimentos da Lua, do Sol e dos cinco planetas então conhecidos: mercúrio, Vênus, 
marte, Júpiter e Saturno (para ele a Terra não era um planeta). Segundo esse mode-
lo, a Terra estaria imóvel no centro do Universo, enquanto a Lua, o Sol e os planetas 
girariam em órbitas circulares em torno da Terra. Por isso esse modelo é chamado 
geocêntrico (Terra no centro).
Porém, já na Antiguidade os astrônomos perceberam que os planetas apresen-
tavam movimentos estranhos, como ilustra a fi gura 1. Em certos momentos o pla-
neta retorna (movimento retrógrado), sua trajetória parece dar um laço para depois 
retomar o movimento progressivo. O modelo de Aristóteles não explicava esse fato.
 
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G
r
A
f
Figura 1. O movimento retrógrado de um planeta, com desta-
que para as posições 1, 2, 3 e 4.
Outros modelos foram propostos por vários fi lósofos. Heráclides do Ponto 
(c. 388-310 a.C.) propôs o movimento de rotação da Terra, e Aristarco de Samos 
(c. 310-230 a.C.) propôs um modelo em que o Sol estaria imóvel no centro do Uni-
verso (modelo heliocêntrico), enquanto os outros corpos girariam em torno dele. 
Porém, nenhuma dessas duas propostas foi aceita, pois era mais fácil aceitar a ideia 
de uma Terra imóvel e, desse modo, os modelos continuaram a ser geocêntricos.
1. Os primeiros modelos 
de mundo
2. O modelo de Kepler
3. Lei da Gravitação 
Universal
4. Corpos em órbitas 
circulares
5. Aceleração da 
gravidade e campo 
gravitacional
6. Energia potencial
7. Marés
Capítulo 24466
O modelo de Ptolomeu
Vários astrônomos tentaram fazer alterações no 
modelo de Aristóteles, para que fossem explicadas as 
observações astronômicas. Essas tentativas culmina-
ram na obra de Cláudio Ptolomeu (c. 100-178 d.C.).
A primeira modificação proposta por Ptolomeu 
está ilustrada na figura 2. Cada planeta teria uma 
órbita circular (epiciclo) em torno de um ponto P 
(epicentro), o qual giraria ao longo de outra circun-
ferência (deferente), cujo centro estaria no centro da 
Terra. Na figura 3 apresentamos o modelo (ou siste-
ma) completo, com a Lua, o Sol e os cinco planetas 
então conhecidos.
Cada planeta teria uma velocidade angular diferente e, ajustando es-
sas velocidades, seria possível explicar as trajetórias com movimentos re-
trógrados, como exemplifica a figura 1 da página anterior. Houve, porém, 
necessidade de outras alterações, entre as quais apresentamos a que está 
ilustrada na figura 4: o centro da deferente não seria o centro da Terra, mas, 
sim, um ponto E, chamado excêntrico, que estaria próximo da Terra.
O modelo de Copérnico
O modelo de Ptolomeu reinou absoluto até o início do século XVI, quan-
do o polonês Nicolau Copérnico (fig. 5) propôs um modelo heliocêntrico. 
Inicialmente ele pensou num modelo em que a Lua giraria em torno da Terra 
e os planetas, incluindo a Terra, girariam em torno do Sol em órbitas circu-
lares; além disso, a Terra teria um movimento diário de rotação. Porém essa 
proposta não conseguia explicar perfeitamente o que era observado e, assim, 
Copérnico foi obrigado a acrescentar epiciclos e excêntricos, tornando o seu 
modelo tão complexo quanto o de Ptolomeu. Essa complexidade dificultou a 
aceitação do seu modelo, que já despertava a condenação tanto por católi-
cos quanto por protestantes, pelo fato de tirar a Terra do centro do Universo.
Tycho Brahe
O dinamarquês Tycho Brahe (fig. 6) passou vinte anos efetuando me-
didas muito precisas das posições dos planetas e estrelas. Ele não aceitou 
nem o modelo de Ptolomeu nem o de Copérnico, propondo um modelo 
geocêntrico, com a Lua e o Sol girando em torno da Terra. Os planetas 
girariam em torno do Sol.
Galileu e Copérnico
Galileu foi um grande defensor do sistema (modelo) de Copérnico e, 
por isso, foi condenado pela Inquisição católica. Sua defesa do modelo 
copernicano foi apresentada em uma obra, publicada em 1632, com o 
seguinte título: Diálogo sobre os dois máximos sistemas. Os dois máximos 
sistemas do título são o de Ptolomeu e o de Copérnico, pois Galileu não le-
vou a sério o sistema de Tycho Brahe. Para conhecer os argumentos usados 
por Galileu e a história de sua condenação pela Inquisição, recomendamos 
os livros citados no final deste capítulo, nas Sugestões de Leitura.
Figura 5. Nicolau Copérnico 
(1473-1543).
Figura 2. Modificação proposta 
por Ptolomeu para um planeta 
qualquer em um sistema geo-
cêntrico.
Figura 6. Tycho Brahe 
(1546-1601).
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Figura 3. Sistema geocêntrico 
completo de Ptolomeu.
Figura 4. Modificação adicional no 
modelo de Ptolomeu.
Gravitação 467
2. O modelo de Kepler
O alemão Johannes kepler (1571-1630) foi quem apresentou o modelo defi nitivo 
para explicar os movimentos dos planetas. Essa explicação veio na forma de três leis, as 
duas primeiras publicadas em 1609 e a terceira em 1619.
kepler foi assistente de Tycho Brahe. Com a morte deste, kepler foi nomeado para 
o seu posto (matemático imperial). A partir daí, analisando as anotações de Brahe e 
fazendo suas próprias observações, conseguiu chegar às suas três leis.
No modelo de kepler, todos os planetas (inclusive a Terra) giram em torno do Sol. Po-
rém, ele introduziu uma grande novidade, tendo a coragem de abandonar uma tradição 
de mais de dois mil anos: a obsessão pelo movimento circular. Ele percebeu que todas as 
observações astronômicas podiam ser explicadas admitindo-se que a trajetória de um pla-
neta é uma elipse. Com isso não havia necessidade de recorrer a epiciclos e excêntricos.
Na fi gura 7 temos dois exemplos de elipses. Por enquanto, vamos apresentar alguns 
de seus elementos:
• F
1
 e F
2
 são os focos da elipse;
•	 f
1
f
2
 é a distância focal;
•	 A
1
A
2
 é o eixo maior;
• C é o centro;
•	 A
1
C (ou CA
2
) é o semieixo maior;
•	 e = excentricidade = 
f
1
f
2
A
1
A
2
.
A excentricidade (e) é uma medida do achatamento da elipse. Observe na fi gura 7 
que a elipse I é mais achatada que a elipse II. Isso signifi ca que e
I
 > e
II
.
A circunferência é considerada um caso particular de elipse em que os focos coinci-
dem com o centro e, portanto, para a circunferência temos e = 0.
Quanto à Lua, no modelo de kepler ela tem movimento elíptico em torno da Terra.
Passemos agora à apresentação das três leis de kepler.
Primeira Lei de Kepler
Cada planeta move-se em trajetória elíptica, 
com o Sol em um dos focos da elipse.
O ponto da órbita (trajetória) que está mais próximo 
do Sol é chamado periélio e o que está mais afastado é 
chamado afélio (fi g. 8).
As órbitas dos planetas estão aproximadamente conti-
das em um mesmo plano, sendo o plano da órbita da Terra 
chamado plano da eclíptica. Sabe-se também que essas 
órbitas são elipses de pequenas excentricidades, isto é, são 
quase circunferências. Na fi gura 9 representamos os oito 
planetas hoje conhecidos e o movimento que fazem em tor-
no do Sol. Todos os planetas movem-se no mesmo sentido e 
a sequência, em ordem crescente de distância ao Sol, é: mer-
cúrio, Vênus, Terra, marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.
Vale ressaltar que no tempo de kepler não se sabia da 
existência dos planetas Urano e Netuno.E, até o ano de 
2006, admitia-se Plutão como o nono planeta do Sistema 
Solar. Porém, em um congresso da União Astronômica In-
Figura 7. Exemplos de elipses.
F
1
A
1
A
2
A
1
A
2
F
1
C F
2
C
I
II
F
2
Figura 8.
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PT
Figura 9. Ordem dos planetas em relação ao Sol. 
SUGeSTÃO de LeITUrA
Veja, no CD, a 
defi nição de 
elipse.
Capítulo 24468
Figura 10. A rotação do planeta tem 
sentido oposto ao da translação.
Figura 11.
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r
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ternacional realizado naquele ano, ficou decidido que, por ter características bem dife-
rentes das dos outros planetas, Plutão passaria à categoria de planeta-anão.
Na tabela 1 fornecemos algumas informações sobre os oito planetas.
Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno
Inclinação da 
órbita em relação 
à eclíptica
7° 3°24' 0° 1°51' 1°18' 2°30' 48' 1°48'
Excentricidade 
da órbita (e)
0,206 0,007 0,017 0,093 0,048 0,056 0,046 0,010
Distância máxima 
ao Sol (109 m)
69,9 109 152,1 249,1 815,7 1 507 3 004 4 537
Distância mínima 
ao Sol (109 m)
45,9 107,4 147,1 206,7 740,9 1 347 2 735 4 456
Distância média 
ao Sol (109 m)
57,9 108,2 149,6 227,9 778,3 1 427 2 870 4 497
Período de 
translação (T ) em 
anos terrestres
0,241 0,615 1,000 1,881 11,86 29,46 84,04 164,8
Período de 
rotação (dias)
59 –243 1,00 1,03 0,41 0,43 – 0,75 0,80
Velocidade 
orbital média 
(103 m/s)
47,9 35 29,8 24,1 13,1 9,6 6,8 5,4
Raio equatorial 
(km)
2 439 6 100 6 378 3 393 71 492 60 268 25 554 24 769
Massa em 
relação à Terra
0,055 0,815 1,00 0,107 317,9 95,2 14,6 17,2
Tabela 1. Dados dos planetas do Sistema Solar.
Na tabela 1, os períodos de rotação de Vênus e Urano aparecem com 
sinal negativo para indicar que a rotação desses planetas tem sentido oposto 
ao do movimento de translação (fig. 10). Para os outros planetas a rotação e 
a translação têm o mesmo sentido.
Segunda Lei de Kepler
kepler imaginou uma linha ligando o Sol a um planeta (fig. 11). Conside-
rando o movimento do planeta de uma posição P para uma posição P ' num 
intervalo de tempo Δt, ele calculou a área A, “varrida pela linha”. fazendo 
isso para vários intervalos de tempo, kepler chegou à sua Segunda Lei:
A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais em 
intervalos de tempo iguais.
Gravitação 469
A Segunda Lei de kepler pode ser ainda enunciada de outro modo. 
Na figura 12, a linha que liga o Sol ao planeta varreu a área A
1
, no in-
tervalo de tempo Δt
1
, e a área A
2
, no intervalo de tempo Δt
2
. Podemos 
dizer que as áreas varridas são proporcionais aos intervalos de tempo 
gastos para varrê-las:
A
1
Δt
1
 = 
A
2
Δt
2
A razão A
Δt
 é chamada velocidade areolar.
Essa lei tem uma consequência importante, que pode ser consta-
tada pela observação da figura 13. Comparemos a área A
1
 com a área 
A
2
. Para que essas áreas sejam iguais, o arco BC deve ser maior do que 
o arco DE. Porém, esses arcos foram percorridos no mesmo intervalo 
de tempo. Isso significa que, no trecho BC, o planeta se moveu mais 
rápido que no trecho DE. Portanto:
A velocidade de um planeta é variável. Ela aumenta 
à medida que o planeta se aproxima do Sol e diminui à 
medida que ele se afasta.
Isso pode ser dito de outro modo: quando um planeta vai do afélio 
para o periélio, seu movimento é acelerado, e, quando vai do periélio 
para o afélio, seu movimento é retardado. Por essa lei, é fácil perceber 
que, se a trajetória fosse circular, o movimento seria uniforme.
No periélio a velocidade é máxima e no afélio a velocidade é mínima.
Terceira Lei de Kepler
kepler calculou o período (T ) de cada planeta, isto é, o tempo que 
cada planeta leva para executar uma volta completa em torno do Sol. 
Em seguida procurou uma relação entre o período (T ) e a medida do 
semieixo maior (R) da elipse, que é a distância média do planeta ao 
centro do Sol (também chamada raio médio da órbita) e também 
pode ser calculada por:
r = d + D
2
A relação obtida foi:
R3
T2
 = constante
Assim, a Terceira Lei de kepler pode ser enunciada do seguinte modo:
O cubo da medida do semieixo maior e o quadrado do 
período do planeta são diretamente proporcionais.
No caso de a trajetória ser circular, a distância média será o raio da 
circunferência.
Figura 13.
Figura 12.
Figura 14. O semieixo maior (R) é a distân-
cia média do planeta ao Sol.
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Capítulo 24470
exercícios de Aplicação
3. Na figura, representamos a trajetória de um pla-
neta em torno do Sol.
a) Represente os vetores de velocidade do plane-
ta, nas posições A, B, C e D.
b) Em qual posição a velocidade do planeta tem 
módulo máximo?
c) Em qual posição a velocidade do planeta tem 
módulo mínimo?
d) No trecho CDA o movimento é acelerado ou 
retardado?
e) No trecho ABC o movimento é acelerado ou 
retardado?
1. Calcule a velocidade areolar de um planeta que 
descreve, em torno do Sol, uma órbita pratica-
mente circular, de raio R, com período T.
Resolu•‹o:
Chamando de K a velocidade areolar, sua defini-
ção é:
K = 
área varrida
intervalo de tempo
 = 
A
Δt
Em uma volta completa do planeta em torno do 
Sol, teremos:
A = πR2 e Δt = T
Portanto: K = 
πR2
T
2. Na figura a seguir representamos o percurso de 
um planeta em torno do Sol. As áreas A
1
 e A
2
 
valem 8,8 · 1024 m2 e 26,4 · 1024 m2, respectiva-
mente. Sabendo que o percurso BC é efetuado 
em 62,15 anos, em quanto tempo é feito o per-
curso DE?
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Na tabela 2 apresentamos os valores de R, T e r3
T2
 
para os oito planetas do Sistema Solar.
Como podemos observar, o valor de r3
T2
 é pratica-
mente o mesmo para todos os planetas.
É interessante notar que as leis de kepler valem 
para qualquer sistema semelhante ao Sistema So-
lar. Ou seja, elas valem sempre que em torno de um 
corpo de massa "grande" giram corpos de massas 
"pequenas", como, por exemplo, na situação de um 
planeta e seus satélites.
A Terra tem apenas um satélite natural, que é a 
Lua. mas o planeta Saturno tem vinte satélites que 
giram em torno dele, obedecendo aproximadamente 
às três leis de kepler. Essas leis aplicam-se também à 
Terra e aos satélites artifi ciais que giram em torno dela. 
Nesse caso, supõe-se geralmente que as órbitas são 
circulares e, assim, o semieixo maior coincide com o 
raio R da trajetória.
Planeta R (1010 m) T (anos)
R3
T2
 
(1033 m3/ano2)
mercúrio 5,79 0,241 3,34
Vênus 10,8 0,615 3,33
Terra 15,0 1,00 3,37
marte 22,8 1,88 3,35
Júpiter 77,8 11,9 3,33
Saturno 142 29,5 3,36
Urano 287 84,0 3,35
Netuno 449 165 3,35
Tabela 2. Dados da Terceira Lei de kepler para os 
planetas do Sistema Solar.
Gravitação 471
4. Um planeta P gira em 
torno do Sol de modo 
que sua distância máxi-
ma ao centro do Sol 
é D = 8,16 · 1011 m e 
a distância mínima é 
d = 7,41 · 1011 m. 
Qual é a distância média do planeta ao Sol?
5. Os semieixos maio-
res da órbita da 
Terra e da órbita de 
Marte em torno do 
Sol medem cerca 
de 1,5 · 1011 m 
e 2,3 · 1011 m, 
respectivamente. 
Calcule o período de translação de Marte, isto 
é, o tempo que ele gasta para dar uma volta em 
torno do Sol.
Resolução:
Resumindo as informações apresentadas acima:
T
T
 = período de translação da Terra = 1 ano
T
M
 = período de translação de Marte = ?
R
T
 = medida do semieixo maior da órbita da Terra
R
M
 = medida do semieixo maior da órbita de Marte
Pela Terceira Lei de Kepler temos:
R3
M
T
2
M
 = 
R3
T
T
2
T
 ⇒ 
T
M
TT
2
 = 
R
M
RT
3 
⇒
⇒ 
T
M
1
2
 = 
2,3 · 1011
1,5 · 1011
3
 ⇒ T ≅ 1,61 ano
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6. Um cometa gira em torno do Sol em órbita elíp-
tica de modo que sua distância mínima ao Sol é 
2,5 · 1011 m e sua distância máxima ao Sol 
é 9,5 · 1011 m. Determine o período de translação 
desse cometa, sabendo que a distância média da 
Terra ao Sol é 1,5 · 1011 m. 
7.Dois satélites artificiais, 
A e B, estão girando em 
torno da Terra, em órbi-
tas circulares de raios 
r e R, respectivamente, 
tais que R = 4r. Calcule 
o período do satélite B, 
sabendo que o período 
de A é igual a 3 horas.
8. Um satélite geoestacionário é um satélite colo-
cado a girar em torno da Terra, de modo que 
sua órbita está no mesmo plano do equador e 
seu período de translação é aproximadamente 
24 horas, que é igual ao período de rotação da 
Terra. Desse modo, o satélite estará sempre em 
repouso para um observador fixo na Terra. Há um 
grande número de satélites desse tipo girando 
em torno da Terra, os quais são utilizados para 
transmissões de televisão e telefonia a grandes 
distâncias.
Sabendo que o período de translação da Lua em 
torno da Terra é 27,3 dias, a distância entre os 
centros da Terra e da Lua é aproximadamente de 
380 000 km e o raio da Terra é aproximadamente 
6 370 km, calcule:
a) o valor aproximado do raio da órbita de um 
satélite geoestacionário;
b) o valor aproximado da altitude do satélite 
acima da superfície da Terra.
AR
Terra
r
B
Z
A
P
T
exercícios de reforço
9. A figura representa a tra-
jetória elíptica da Terra em 
torno do Sol. Sabendo que 
a área da região sombrea-
da na figura é igual a um 
quinto da área total da 
elipse, pode-se afirmar que 
o tempo gasto pela Terra 
para percorrer o trecho 
ABC é aproximadamente igual a:
a) 1,8 mês. c) 2 meses. e) 4 meses.
b) 2,4 meses. d) 3 meses. 
10. (U. F. Viçosa-MG) Um 
satélite artificial orbi-
ta em torno da Terra 
(T ), como representa-
do no esquema. 
Considerando as leis de 
Kepler, podemos afir-
mar que as velocidades do satélite nos pontos a, b, 
c e d de sua órbita obedecem às seguintes relações:
a) v
b
 > v
a
 > v
c
 > v
d
 d) v
b
 = v
a
 > v
c
 = v
d
b) v
b
 > v
a
 = v
c
 > v
d
 e) v
b
 = v
a
pé, 
separadas por uma distância de aproximada-
mente 3 metros. Calcule o valor aproximado da 
intensidade da força de atração gravitacional 
entre elas.
Resolução:
Vamos usar a equação 1 . Porém, como nesse 
caso não podemos considerar as pessoas como 
partículas, a equação 1 nos dará apenas o valor 
aproximado das intensidades das forças.
F = G 
m
A
 · m
B
d2 = (6,673 · 10–11) 
(70)(60)
(3)2 =
= 
(6,673)(7)(6) · 10–11 · 102
9
 ≅ 31 · 10–9 =
= 0,000000031
Assim:
F ≅ 0,000000031 N
Como vemos, é uma força de intensidade muito 
pequena, de modo que seu efeito é desprezível 
no dia a dia; ela não consegue superar a força 
de atrito estático entre os pés das pessoas e 
o solo.
15. Um corpo esférico de massa m = 5 kg está 
próximo da superfície da Terra, cuja massa é 
M = 6,0 · 1024 kg. Sabendo que o raio da Terra 
é aproximadamente R = 6,4 · 106 m, calcule o 
valor aproximado das forças de atração entre a 
Terra e o corpo.
F
d ≅ R
Terra
R m
–F
16. As massas da Terra e da Lua são aproxima-
damente iguais a 6 · 1024 kg e 7,4 · 1022 kg, 
respectivamente. Calcule o valor aproximado da 
intensidade das forças de atração entre a Terra e 
a Lua, sabendo que a distância entre seus centros 
é aproximadamente igual a 380 000 km.
17. Duas partículas de massas m
1
 e m
2
, quando sepa-
radas por uma distância d, atraem-se com força 
de intensidade 180 N. Se a distância for multipli-
cada por 3, qual será a nova intensidade da força 
gravitacional?
18. Supondo que nas proximidades da superfície 
da Terra tenhamos g = 10 m/s2 e saben-
do que a constante de gravitação universal é 
G = 6,673 · 10–11 
N · m2
kg2 , calcule o valor apro-
ximado da massa da Terra.
(Dado: raio da Terra = 6,37 · 106 m.)
19. A massa da Terra é 81 vezes maior que a massa da 
Lua, e a distância entre os centros da Terra e da 
Lua é 380 000 km. Uma nave espacial está em um 
ponto P entre a Terra e a Lua. Determine a distân-
cia entre o ponto P e o centro da Terra, sabendo 
que a força de atração da Lua (FL) sobre a nave tem 
a mesma intensidade da força de atração da Terra 
(FT) sobre a nave.
F
T
F
L
P
380 000 km
x = ?
Lua
Terra
Z
A
P
T
Z
A
P
T
A
L
B
E
r
T
O
 D
E
 S
T
E
f
A
N
O
Gravitação 475
20. Na situação representada na questão anterior, 
a nave colocada no ponto P está em equilíbrio 
estático. Esse equilíbrio é estável?
21. A intensidade (F ) da força de atração entre duas 
partículas de massas M e m é dada por F = G 
Mm
d2 . 
Copie a figura ao lado em 
seu caderno e obtenha os 
valores da força para d = 1, 
d = 2, d = 3 e d = 4, e a 
seguir esboce o gráfico de F 
em função de d (mantendo 
M e m constantes).
exercícios de reforço
22. (Uneb-BA) O planeta Netuno tem massa apro-
ximadamente 18 vezes maior que a da Terra, e 
sua distância ao Sol é aproximadamente 30 vezes 
maior que a da Terra ao Sol. Se o valor da força 
de atração gravitacional entre o Sol e a Terra é 
F, a força de atração gravitacional entre o Sol e 
Netuno é:
a) 0,02F c) 1,67F e) 30F
b) 0,60F d) 18F
23. Três esferas (X, Y e Z) estão fixas em uma haste, 
como se representa na figura. A esfera Y é equi-
distante de X e Z. O módulo da força de atração 
gravitacional entre X e Y é igual a F. 
X Y
D D
Z
Qual é o módulo da resultante das forças de atra-
ção gravitacional que X e Y exercem sobre Z? (As 
massas das três esferas são iguais.)
a) 
5
4
 F c) 2F e) 
3
2
 F
b) 
4
5
 F d) 
F
2
24. (UF-RS) O módulo da força de atração gravita-
cional entre duas pequenas esferas de massa m, 
iguais, cujos centros estão separados por uma 
distância d, é F. Substituindo-se uma das esferas 
por outra de massa 2m e reduzindo-se a separa-
ção entre os centros das esferas para 
d
2
, resulta 
uma força gravitacional de módulo:
a) F d) 8F
b) 2F e) 16F
c) 4F
25. (Fuvest-SP) A razão entre as massas de um pla-
neta e de um satélite é 81. Um foguete está a 
uma distância R do planeta e a uma distância r 
do satélite. Qual deve ser o valor da razão 
R
r
 para 
que as duas forças de atração sobre o foguete se 
equilibrem?
a) 1 d) 27
b) 3 e) 81 
c) 9 
26. (UE-PA) No dia 04 de julho de 1997, chegou ao 
planeta Marte a sonda Mars Pathfinder, que levou 
o robô Sojourner, em uma viagem de 7 meses, 
cuja trajetória é representada na figura. Para 
lançar a nave, foguetes poderosos são usados 
para impulsioná-la a fim de vencer a gravidade 
terrestre. Esses foguetes rapidamente esgotam 
seus combustíveis e são ejetados. A nave segue, 
então, sozinha em sua trajetória.
Considerando o movimento da nave desde o 
momento em que os foguetes são descartados até 
antes de atingir a atmosfera de Marte, é correto 
afirmar que a força resultante sobre ela:
a) é nula durante todo o movimento.
b) é nula apenas no ponto médio entre as órbi-
tas da Terra e de Marte.
c) é constante e igual ao peso da sonda.
d) não é nula em nenhum momento.
e) é sempre no mesmo sentido de seu movimento.
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Z
A
P
T
d0
GMm
GMm
2
F
1 2 3 4
Capítulo 24476
4. Corpos em órbitas circulares
Vamos considerar um caso de dois corpos de massas M e m, tais que 
m > > m (M é muito maior que m). É o caso, por exemplo, do Sol e um planeta 
ou de um planeta e um satélite. Desse modo, é possível que o corpo de massa 
m gire em órbita aproximadamente circular em torno do corpo de massa M 
(fig. 18), isto é, a força –F tem efeito pequeno em comparação com o efeito de F. 
A força F é uma força centrípeta, e sua intensidade pode ser calculada pela Lei 
da Gravitação de Newton:
f = m v
2
r
 = G m · m
r2
 ⇒ v2 = Gm
r
 ⇒ v = GM
R
 2
Imponderabilidade
Como podemos observar na equação 2 , a velocidade não 
depende da massa m do corpo que está girando, mas apenas 
da massa do corpo central (M) e do raio da órbita (R). Portan-
to, qualquer corpo que gire na órbita do raio R terá a mesma 
velocidade v (desde que sua massa seja muito menor que a 
massa M do corpo central): uma nave espacial, um astronauta 
ou uma maçã (fig. 19). É isso que dá a sensação de ausência 
de peso para um astronauta que está dentro de uma nave 
espacial (fig. 20). Tanto faz o astronauta estar dentro ou fora 
da nave: sua velocidade será a mesma; ele terá a sensação de 
flutuar, e os corpos dentro da nave também parecerão flutuar. 
Se o astronauta soltar uma maçã, ela não “cairá”, mas, sim, 
parecerá flutuar, pois estará girando junto com o astronauta e 
a nave, todos com a mesma velocidade. Esse efeito é chamado 
imponderabilidade, o qual nós já comentamos nos capítulos 
13 e 14.
A Terceira Lei de Kepler e a órbita circular
Vamos demonstrar a Terceira Lei de kepler para o caso par-
ticular da órbita circular (o caso geral precisa do Cálculo Dife-
rencial e Integral). Vimos no capítulo 11 que o período (T ) do 
movimento circular é dado por:
T = 2πr
v
 
Introduzindo o valor de v dado pela equação 2 :
T = 2πr
v
 = 2πr
Gm
r
 ⇒ T2 = 4π2r2
Gm
r
 = 4π
2r3
Gm
 ⇒ 
R3
T2
 = 
GM
4π2
O quociente Gm
4π2
 depende apenas da massa M do corpo central, e assim será o 
mesmo para qualquer corpo em trajetória circular em torno do corpo de massa M.
Figura 18.
Figura 20. A imponderabilidade pode ser observada em 
alguns objetos que flutuam no interior do ônibus espa-
cial Endeavour.
F
v
R
m
M
–F
R
M
JO
H
N
SO
N
 S
PA
C
E 
C
EN
TE
r
 m
ED
IA
 A
r
C
H
IV
E/
N
A
SA
 
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
PT
Figura 19.
Gravitação 477
exercícios de Aplicação
30. Suponha que os planetas tenham trajetórias 
circulares em torno do Sol. O planeta Urano tem 
período de translação de 84 anos. Se a massa do 
Sol fosse multiplicada por 4, qual seria o novo 
período de translação de Urano, supondo que o 
raio da órbita não se alterasse?
31. Uma nave espacial gira em torno da Terra em 
movimento circular e uniforme de raio 12 000 km. 
Uma bola de massa m = 2 kg está presa ao dina-
mômetro que está fixado no “teto” da nave. Qual 
é a marcação do dinamômetro?
32. Um corpo é lançadohorizontalmente, com velo-
cidade v
r
, de modo que descreve uma trajetória 
circular rasante em torno da Terra. 
v
r
Calcule o valor de v
r
. São dados: 
G = 6,67 · 10–11 N · m2/kg2; R
Terra
 = 6,38 · 106 m; 
M
Terra
 = 5,98 · 1024 kg.
27. As massas da Terra e da Lua são aproximadamen-
te iguais a 6,0 · 1024 kg e 7,4 · 1022 kg, respec-
tivamente. Suponha que a Lua tenha movimento 
circular e uniforme, de raio R = 3,82 · 108 m, 
em torno da Terra. Em relação a um referencial 
na Terra, qual é o módulo da velocidade da Lua? 
(Adote G = 6,7 · 10–11 N · m2/kg2.)
Resolu•‹o:
Sendo M = 6,0 · 1024 kg; G = 6,7 · 10–11 (SI) e 
R = 3,82 · 108 m, vem:
v = 
GM
R
v = 
(6,7 · 10–11) (6,0 · 1024)
3,82 · 108 
v ≅ 1,0 · 103 m/s
28. Um satélite artificial gira em torno da Terra em 
órbita circular a uma altitude de 3 700 km acima 
da superfície da Terra. São dados: raio da Ter-
ra = 6 300 km; massa da Terra = 6,0 · 1024 kg; 
G = 6,7 · 10–11 (SI). Calcule:
a) a velocidade escalar do satélite em relação à 
Terra;
b) a velocidade angular do satélite;
c) o período do movimento do satélite.
29. No exercício 8 calculamos a altitude de um 
satélite geoestacionário usando a Terceira Lei de 
Kepler, comparando com o movimento da Lua. 
Calcule agora essa altitude usando a equação 
v = 
GM
R
. São dados: massa da Terra = 6,0 · 1024 kg; 
raio da Terra = 6,3 · 106 m; G = 6,7 · 10–11 (SI).
Z
A
P
T
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
exercícios de reforço
33. (UF-PA) Um corpo de massa m é lançado com 
velocidade horizontal v
0
 de um ponto situado a 
uma distância r do centro da Terra. 
v
0
r
M
T
Sabendo que M
T
 é a massa da Terra e G é a 
constante de gravitação universal, qual deve ser 
o valor de v
0
 para que o corpo descreva órbita 
circular em torno da Terra?
a) 
GM
T
r
1
2 c) 
GM
T
r3
1
2 e) 
GM
T
r2
b) 
GM
T
r2
1
2 d) 
GM
T
r
2 
34. (UF-PE) Dois satélites artificiais A e B, em órbitas 
circulares em torno da Terra, têm raios orbitais 
satisfazendo a relação 
R
A
R
B
 = 
1
4
 . Qual a razão 
v
A
v
B
 
entre as suas velocidades escalares orbitais?
Z
A
P
T
Capítulo 24478
35. (UF-MT) A massa da Terra pode ser medida por 
meio de observações astronômicas. Isso pode ser 
feito sabendo-se que a Lua move-se em torno da 
Terra num período de 27 dias e está a uma dis-
tância média da Terra de 3,8 · 105 km. Considere 
que a constante gravitacional universal é igual 
a 6,7 · 10–11 m3 · s–2 · kg–1. Calculando, em kg, 
o valor da massa da Terra e expressando-o em 
notação científica, qual o valor do expoente da 
potência de dez?
36. (Vunesp-SP) Depois de anos de interrupção, 
ocorreu em 2005 a retomada de lançamentos do 
ônibus espacial pela Nasa, desta vez com sucesso. 
Nas imagens divulgadas do dia a dia no ônibus 
espacial girando em torno da Terra, pudemos ver 
os astronautas realizando suas atividades, tanto 
fora da nave como no seu interior. Considerando 
que as órbitas da nave e dos astronautas sejam 
circulares, analise as afirmações seguintes:
I. Não há trabalho realizado pela força gravita-
cional para manter um astronauta em órbita 
ao redor da Terra.
II. A aceleração de um astronauta girando ao 
redor da Terra deve-se exclusivamente à ação 
da força gravitacional.
5. Aceleração da gravidade e 
campo gravitacional
No capítulo 6 obtivemos o valor da aceleração da gravidade experimentalmente. 
Agora poderemos calculá-la usando a Lei da Gravitação de Newton.
Inicialmente vamos supor que a Terra seja rigorosamente esférica, que sua massa 
esteja distribuída de modo simétrico e que não haja movimento de rotação. 
Vamos considerar um corpo de massa m e dimensões desprezíveis colocado a uma 
distância d do centro da Terra (fig. 21). A força que a Terra exerce no corpo tem inten-
sidade dada pela Lei da Gravitação de Newton:
f = G mm
d2
mas essa força é o peso do corpo; portanto, devemos ter também:
f = P = mg
Assim:
f = G mm
d2
 = mg ⇒ g = 
GM
d2 3
É importante ressaltar que a equação 3 não leva em conta as atrações de outros 
corpos celestes como, por exemplo, o Sol e a Lua.
Figura 21.
III. A velocidade vetorial do astronauta ao redor 
da Terra é constante.
Estão corretas as afirmações:
a) II, somente. d) II e III, somente.
b) III, somente. e) I, II e III.
c) I e II, somente.
37. (Fuvest-SP) Dentro de um satélite em órbita em 
torno da Terra, a tão falada “ausência de peso”, 
responsável pela flutuação de um objeto dentro 
do satélite, é devida ao fato de que:
a) a órbita do satélite se encontra no vácuo e a 
gravidade não se propaga no vácuo.
b) a órbita do satélite se encontra fora da atmos-
fera, não sofrendo assim os efeitos da pressão 
atmosférica.
c) a atração lunar equilibra a atração terrestre e, 
consequentemente, o peso de qualquer objeto 
é nulo.
d) a força de atração terrestre, centrípeta, é 
muito menor que a força centrífuga dentro do 
satélite.
e) o satélite e o objeto que flutua têm a mesma 
aceleração, produzida unicamente por forças 
gravitacionais.
C
O
N
C
EI
TO
G
r
A
f
Gravitação 479
g
0
g
0
g
0g
0
g
0
g
0
g
0
g
0
equador
Suponhamos que a Terra seja um corpo esférico, homogêneo, de massa M = 5,98 · 1024 kg, raio R = 6,37 · 106 m e que 
não tenha movimento de rotação. Para calcular a aceleração da gravidade em pontos próximos à superfície (g
s
) podemos usar 
a equação 3 fazendo d = R:
g
s
 = 
GM
R2 = 
(6,67 · 10–11)(5,98 · 1024)
(6,37 · 106)2 = 
(6,67)(5,98)
(6,37)2 · 
10–11 · 1024
1012 ⇒ g
s
 ≅ 9,83 m/s2
Calculemos agora a aceleração da gravidade num ponto P situado a uma 
altitude de 130 km. Nesse caso temos:
h = 130 km = 0,13 · 106 m
R = 6,37 · 106 m
d = R + h = (0,13 + 6,37) · 106 m = 6,50 · 106 m
Aplicando a fórmula 3 :
g = 
GM
R2 = 
(6,67 · 10–11)(5,98 · 1024)
(6,5 · 106)2 ⇒ g ≅ 9,44 m/s2
exemplo 
Figura 22.
Nas condições em que a fórmula 3 foi deduzida (Terra esférica, sem ro-
tação, com massa distribuída simetricamente), o gráfi co de g em função da 
distância ao centro da Terra tem o aspecto da fi gura 23, e na tabela 3 temos 
alguns valores de g em função da altitude. A altitude de 35 700 km é a de 
um satélite estacionário, e a altitude de 380 000 km é a da Lua.
Acontece, porém, que a Terra não é perfeitamente esférica; ela é achata-
da nos polos. Além disso, ela não é um corpo homogêneo (a densidade da 
crosta é aproximadamente 2,5 g/cm3, enquanto no seu interior há regiões 
em que a densidade chega a 15 g/cm3). Isso faz com que a aceleração da 
gravidade seja maior nos polos do que no equador.
Infl uência da rotação da Terra
Suponhamos novamente que a Terra seja esférica, homogênea e que 
não tenha movimento de rotação. Nesse caso, a aceleração da gravidade 
teria o mesmo valor g
0
 em qualquer ponto próximo da superfície da Terra 
(fi g. 24a). Consideremos agora a Terra girando com velocidade angular ω 
(fi g. 24b); desse modo, ela passa a ser um referencial não inercial. Para nós, 
que estamos fi xos na Terra, aparecerá uma aceleração centrífuga em cada 
ponto, dada por:
a
cf
 = ω2 · R
em que R é o raio da trajetória.
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Figura 24.
(a)
ω
r'
g
0
g
0
g
0
B
ω
2r'
A
polo
ω
2r
g
r
equador
(b)
Z
A
P
T
Altitude (km) g (m/s2)
0 9,83
100 9,53
400 8,70
35 700 0,225
380 000 0,0027
Tabela 3. Valores de g em função 
da altitude.
Figura 23.
Capítulo 24480
Assim, quando fazemos um experimento qualquer para obter o valor 
da aceleração da gravidade, o que obtemos é a resultante g entre g
0
 e a
cf
.
g = g
0
 + a
cf
Na figura 24b, o ponto A tem trajetória cujo raio é o próprio raio da 
Terra; já o ponto B tem trajetória de raio r'. Nos polos não há influência da 
rotação da Terra. Neles a gravidade medida é g
0
 (fig. 25c). Desse modo, 
temos dois motivos para que a aceleração da gravidade (medida) seja maior 
nos polos que no equador: a rotação e o achatamento da Terra.
PrOCUre nO Cd
Veja esta demonstração 
noCD!
Latitude g (m/s2)
0° 9,78039
10° 9,78195
20° 9,78641
30° 9,79329
40° 9,80171
45° 9,80665
50° 9,81071
60° 9,81918
70° 9,82608
80° 9,83059
90° 9,83217
Tabela 4. Valores de g em função 
da latitude.
g
0
a
cf
g
A
(a) Ponto A.
g
0
a
cf
B
g
(b) Ponto B.
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
: 
ZA
PTg
0
g
0
polo
(c) Polos.
Figura 25.
Depois dessas considerações, torna-se necessário fazer uma pequena 
alteração na nossa linguagem:
•	 A aceleração dada pela equação 3 g
0
 = Gm
d2
 é resultado apenas 
da força de atração gravitacional, e seu nome é campo gravitacional.
•	 O valor medido (g), que leva em conta a rotação da Terra, as influên-
cias de outros astros e também a distribuição irregular de massa no 
interior da Terra, é denominado acelera•‹o da gravidade. Na ta-
bela 4 temos os valores de g para diversas latitudes, ao nível do mar.
É importante observar que a discussão que fizemos sobre a influência 
da rotação foi apenas para que você tomasse conhecimento do fato; nos 
exercícios, não levaremos em conta a distinção entre campo gravitacional e 
aceleração da gravidade.
Aceleração da gravidade no interior da Terra
Suponhamos agora que a Terra seja esférica e homogênea, isto é, que a densidade 
seja a mesma em todos os seus pontos. Nesse caso é possível demonstrar que nos pon-
tos interiores à Terra, o campo gravitacional tem intensidade proporcional à distância d 
do ponto considerado ao centro da Terra. Desse modo, para pontos interiores à Terra, o 
gráfico de g em função de d é o segmento de reta da figura 26. 
Figura 26.
d
g
g
x0 R
g
s
Dado um ponto interior à Terra, situado à distância x do centro, o valor de g nesse 
ponto pode ser obtido do gráfico da figura 26:
g
x
 = 
g
s
r
 ⇒ g = 
x
R
 g
s
Gravitação 481
exercícios de Aplicação
38. Admitindo que a Terra seja esférica, homogênea 
e sem movimento de rotação, calcule a aceleração 
da gravidade a uma altitude h = 2 600 km. São 
dados: massa da Terra = 6 · 1024 kg; raio da Ter- 
ra = 6 400 km; G = 6,7 · 10–11 N · m2/kg2.
39. Sabendo que o raio da Terra é 6,3 · 106 m e sendo 
g
s
 o valor da aceleração da gravidade na super-
fície da Terra, determine a altitude do ponto em 
que a aceleração da gravidade vale metade de g
s
.
40. Seja g
0
 a aceleração da gravidade na superfície de 
um planeta. Qual é a aceleração da gravidade na 
superfície de outro planeta que possui metade da 
massa e raio igual a 
1
3
 do primeiro planeta?
Resolução:
Seja, para o primeiro planeta:
M, sua massa; R, seu raio; g
0
 = G 
M
R2 .
Para o segundo planeta, teremos:
M' = 
M
2
, sua massa; R' = 
R
3
, seu raio; g'
0
 a acele-
ração da gravidade na sua superfície.
g'
0
 = G 
M'
(R')2 , então:
g'
0
 = G 
M
2
R
3
2 
g'
0
 = G 
M
R2 · 
9
2
 ⇒ g'
0
 = 
9
2
 · g
0
41. Admitindo que a aceleração da gravidade na 
superfície da Terra seja 10 m/s2, calcule a acele-
ração da gravidade em outro planeta cuja massa 
é 12 vezes maior que a da Terra e cujo raio seja 
o dobro do raio da Terra.
42. O planeta Vênus tem aproximadamente o dobro 
do raio da Terra e massa aproximadamente igual 
a 80% da massa da Terra. Um determinado corpo 
tem peso 100 N próximo da superfície da Terra. 
Qual é o peso aproximado desse mesmo corpo 
quando próximo à superfície de Vênus?
43. Suponhamos que a Terra seja homogênea e 
esférica, com raio R = 6,37 · 106 m. Supondo 
que nos polos a aceleração da gravidade seja 
9,83 m/s2, determine a aceleração da gravidade 
no equador, considerando a rotação da Terra. 
44. Supondo que nos polos a aceleração da gravidade 
seja 9,83 m/s2, calcule qual deveria ser o período 
de rotação da Terra para que no equador a acele-
ração da gravidade se anulasse. (Considere o raio 
da Terra igual a 6,37 · 106 m.)
45. Suponha que a Terra seja um planeta homogê-
neo, esférico de raio R e desprovido de rotação. 
Sendo g
0
 a aceleração da gravidade na sua super-
fície, determine o valor da aceleração da gravida-
de num ponto situado à distância 
2R
3
 do centro 
da Terra.
Resolução:
Vimos que a aceleração da gravidade em um 
ponto P interno à Terra é diretamente propor-
cional à distância d entre P e o centro da Terra, 
isto é, 
g = k · d
sendo k uma constante. Assim:
g = k · d = k · 
2R
3
g
0
 = k · R
 ⇒ 
g
g
0
 = 
2
3
 ⇒ g = 
2
3
 g
0
46. Considere a Terra como um corpo homogêneo e 
esférico de raio R = 6 400 km. Imagine que fosse 
construído um túnel ligando o polo Norte ao polo 
Sul que passasse pelo centro da Terra. 
Um objeto, no polo Sul, tem peso 50 kgf. 
Determine o seu peso:
a) no polo Norte;
b) no centro da Terra (ponto O) ;
c) no ponto M, médio entre o centro da Terra e 
o polo Sul.
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Capítulo 24482
exercícios de reforço
47. (UF-BA) Considere os seguintes dados a respeito 
de três planetas do Sistema Solar:
Planeta
Raio médio da órbita 
(em milhões de km)
Massa 
(em kg)
Mercúrio 58 3,3 · 1023
Vênus 108 4,9 · 1024
Terra 150 6,0 · 1024
Considere a constante de gravitação universal 
como igual a 6,67 · 10–11 unidades do SI e ana-
lise as sentenças a seguir. Dê como resposta a 
soma dos números que antecedem as sentenças 
verdadeiras:
(01) A massa da Terra é cerca de 18 vezes maior 
que a massa de Mercúrio.
(02) O movimento dos planetas em torno do Sol 
obedece à trajetória que todos os corpos 
tendem a seguir por inércia.
(04) A constante de gravitação universal, expres-
sa em unidades do Sistema Internacional, é 
igual a 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2.
(08) O período de revolução da Terra é maior que 
o de Vênus.
(16) A aceleração da gravidade na superfície de 
Mercúrio é nula.
(32) O ponto de equilíbrio de um objeto entre a 
Terra e a Lua, sob a ação exclusiva de forças 
gravitacionais desses corpos, localiza-se 
mais próximo da Lua.
48. (UF-PR) Os astrônomos têm anunciado com fre-
quência a descoberta de novos sistemas plane-
tários. Observações preliminares em um desses 
sistemas constataram a existência de um planeta 
com massa 50 vezes maior que a massa da Terra 
e com diâmetro 5,0 vezes maior que o da Terra. 
Sabendo que o peso de uma pessoa é igual à 
força gravitacional exercida sobre ela, determine 
o valor da aceleração da gravidade a que uma 
pessoa estaria sujeita na superfície desse plane-
ta, em m/s2. (Dado: A aceleração da gravidade na 
superfície da Terra é 10 m/s2.)
49. (Vunesp-SP) Para demonstrar que a aceleração 
da gravidade na superfície de Marte é menor que 
na superfície terrestre, um jipe-robô lança um 
pequeno corpo verticalmente para cima, a partir 
do solo marciano. Em experimento idêntico na 
Terra, onde g = 10,0 m/s2, utilizando o mesmo 
corpo e a mesma velocidade de lançamento, a 
altura atingida foi 12,0 m. A aceleração da gra-
vidade na superfície de um planeta de raio R e 
massa M é dada por g = 
GM
R2 , sendo G a cons-
tante de gravitação universal. Adotando o raio de 
Marte igual à metade do raio da Terra e sua massa 
dez vezes menor que a da Terra, calcule, despre-
zando a atmosfera e a rotação dos planetas:
a) a aceleração da gravidade na superfície de 
Marte.
b) a altura máxima atingida pelo corpo no expe-
rimento em Marte.
50. (PUC-SP) O peso de um corpo:
a) medido ao longo de um meridiano e ao nível 
do mar permanece constante.
b) medido ao longo de um paralelo e ao nível do 
mar varia sensivelmente.
c) não varia com a altitude.
d) é maior no equador que nos polos.
e) varia com a latitude.
51. (UFF-RJ) Um corpo de massa m é pendurado em 
uma balança de mola, de alta precisão, de modo 
que seu peso aparente possa ser medido em duas 
posições de latitudes distintas L
1
 e L
2
, conforme 
ilustrado na figura.
Levando-se em conta os efeitos de rotação da Terra 
em torno do seu próprio eixo, o corpo terá, em 
princípio, acelerações diferentes: a
1
 em L
1
 e a
2
 em 
L
2
. Considerando que a Terra seja esférica e que P
1
 
e P
2
 sejam as duas medidas registradas, respectiva-mente, na balança, é correto prever que:
a) P
1
 = P
2
 porque o peso aparentemente não 
depende da aceleração.
b) P
1
 > P
2
 porque a
1
 > a
2
.
c) P
1
 > P
2
 porque a
1
 a
2
.
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Gravitação 483
52. (Fuvest-SP) O gráfico da figura representa a 
aceleração da gravidade g da Terra em função da 
distância d ao seu centro.
0
2
4
6
8
10
12
16
18
g (m/s2)
d (106 m)
14
2 4 6 8 101214161820
Considere uma situação hipotética em que o 
valor do raio R
T
 da Terra seja diminuído para 
R', sendo R' = 0,8R
T
, e em que seja mantida 
(uniformemente) sua massa total. Nessas condi-
ções, os valores aproximados das acelerações da 
gravidade g
1
 à distância R' e g
2
 a uma distância 
igual a R
T
 do centro da “Terra Hipotética” são, 
respectivamente:
g
1
 (m/s2) g
2
 (m/s2)
a) 10 10
b) 8 6,4
c) 6,4 4,1
d) 12,5 10
e) 15,6 10
6. energia potencial
No capítulo 19 vimos que a força peso é uma força conservativa e que, portanto, 
existe uma energia potencial correspondente a ela. Para calcular essa energia potencial, 
primeiramente escolhemos um plano de referência (fig. 27). Em seguida, a energia 
potencial de um corpo de massa m num ponto A (EPA) foi definida como o trabalho 
realizado pelo peso quando o corpo vai de A até o referencial.
A partir daí obtivemos: E
PA
 = mgh
A
. Porém, essa fórmula só é válida para uma re-
gião próxima da superfície da Terra, de modo que possamos considerar a aceleração 
da gravidade constante. Acontece que agora estamos tratando de situações nas quais 
a aceleração da gravidade não é mais constante e, assim, devemos procurar outra fór-
mula para a energia potencial.
Vamos considerar a situação em que temos um corpo S, de massa M muito grande, 
que possa ser considerado em repouso (e que seja esférico e com massa distribuída 
simetricamente). Um corpo T, de massa m muito menor que M, é colocado em uma po-
sição A, sendo d a distância entre os centros dos dois corpos (fig. 28). O corpo S exerce 
sobre o corpo T a força gravitacional F. Para obtermos a energia potencial do corpo T na 
posição A, devemos escolher um referencial e em seguida calcular o trabalho de F quan-
do o corpo T vai de A até o referencial. Porém a força F varia com a distância e, assim, 
esse cálculo tem de ser feito por meio do Cálculo Integral. Ao se fazer isso, percebe-se 
que a fórmula da energia potencial fica mais simples se escolhermos o referencial no 
infinito, isto é, no infinito a energia potencial é nula. A fórmula que se obtém é:
E
p
 = – 
GMm
d
 4
Observando a figura 28 é fácil entender por que a energia potencial é negativa: ao 
calcularmos o trabalho de F, da posição A até o infinito, o deslocamento teve sentido 
oposto ao da força.
Na figura 29 apresentamos o gráfico de E
P
 em função de d. 
Se a única força que atua no corpo T é a força gravitacional F, a energia mecânica 
(E
m
) de T é constante, isto é, a soma da energia cinética (E
C
) com a energia potencial 
(E
P
) é constante:
E
M
 = E
C
 + E
P
 = 
mv2
2
 – 
GMm
d2
 = constante 5
IL
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A
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C
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C
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G
r
A
f
Figura 28.
Figura 27.
Figura 29.
Capítulo 24484
∞
parábola
v
E
v
E
 = velocidade
 de escape
Velocidade de escape
Quando lançamos um corpo a partir da superfície de um planeta, com velocidade 
inicial v
0
, é possível que esse corpo não mais retorne ao planeta, desde que o valor de v
0
 
seja igual ou maior que uma velocidade v
E
, denominada velocidade de escape.
Para calcular o valor de v
E
 basta usar a conservação da energia mecânica e impor 
que a energia cinética do corpo se anule no infinito, onde também a energia potencial 
se anula. Sendo E
Ci
 e E
Pi
 as energias cinética e potencial no lançamento e E
C
∞
 e E
P
∞
 as 
energias cinética e potencial no infinito, teremos:
E
Ci
 + E
Pi
 = E
C
∞
 + E
P
∞
 ⇒ 
mv2
E
2
 – Gmm
r
 = 0 + 0 ⇒ v2
E
 = 2Gm
r
 ⇒ v
E
 = 2GM
R
 6
Vale a pena observar que o valor de v
E
 não depende da direção em que o corpo é 
lançado (figs. 30 e 31).
∞
hipérbole
v
3
v
3
 > v
E
elipse
v
1
 0).
Gravitação 485
O efeito estilingue
Quando uma nave espacial é enviada a um planeta mui-
to distante, em vez de ir diretamente ao planeta ela con-
torna algumas vezes planetas intermediários. Por exemplo, 
a nave exploratória Galileu, lançada em outubro de 1989, 
com destino a Júpiter, descreveu a trajetória indicada na 
fi gura 33, contornando uma vez o planeta Vênus e duas 
vezes a Terra, antes de se dirigir a Júpiter. A cada vez que a 
sonda contornou um planeta ela ganhou energia e, assim, 
economizou combustível. 
PrOCUre nO Cd
Veja, no CD, mais detalhes 
de como ocorre o efeito 
estilingue.
Figura 33.
exercícios de Aplicação
53. Um satélite de massa m gira em 
torno de um planeta esférico e 
homogêneo de massa M, com 
órbita circular de raio d. 
a) Qual é a energia potencial 
do satélite?
b) Mostre que a energia cinética do satélite é dada 
por E
C
 = 
1
2
 
GMm
d
.
c) Mostre que a energia mecânica do satélite é 
E = – 
1
2
 
GMm
d
.
54. Um satélite artificial de massa m = 500 kg gira 
em torno da Terra, com órbita circular de raio 
8 · 106 m. São dados: massa da Terra = 6 · 1024 kg; 
raio da Terra = 6,4 · 106 m e G = 6,7 · 10–11 (SI).
Calcule:
a) a energia potencial do satélite;
b) a energia cinética do satélite;
c) a energia mecânica do satélite.
55. Um projétil é lançado verticalmente a partir de 
um ponto da superfície da Terra, com velocidade 
inicial de módulo v
0
 = 6,5 · 103 m/s. Qual é 
a altura máxima h atingida pelo projétil? São 
dados: raio da Terra = 6,4 · 106 m; massa da 
Terra = 6,0 · 1024 kg.
 
Resolu•‹o:
Sendo M a massa da Terra e m a massa do projétil, 
a energia mecânica inicial do projétil é:
E
i
 = E
Ci
 + E
Pi
 = 
mv2
0
2
 – 
GMm
R
No ponto mais alto a velocidade do projétil será 
nula; portanto, nesse ponto só haverá energia 
potencial:
E
f
 = E
Cf
 + E
Pf
 = 0 – 
GMm
d
 = 
–GMm
d
Como a energia mecânica é constante, devemos 
ter E
i
 = E
f
:
mv2
0
2
 – 
GMm
R
 = 
GMm
d
 ⇒ 
GM
d
 = 
GM
R
 – 
v2
0
2
 ⇒
⇒ 
1
d
 = 
1
R
 – 
v2
0
2GM
 ⇒ 
1
d
 = 
2GM – Rv2
0
2GMR
 ⇒
⇒ d = 
2GMR
2GM – Rv2
0
 =
= 
2(6,7 · 10–11)(6,0 · 1024)(6,4 · 106)
2(6,7 · 10–11)(6,0 · 1024) – (6,4 · 106)(6,5 · 103)2
IL
U
ST
r
A
ç
õ
ES
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C
O
N
C
EI
TO
G
r
A
f
Capítulo 24486
Terra = 6 · 1024 kg; raio da Terra = 6,4 · 106 m e 
G = 6,7 · 10–11 (SI).
57. Calcule a velocidade de escape do planeta Terra 
sabendo que sua massa é 5,98 · 1024 kg, seu raio 
médio é 6,38 · 106 m e G = 6,67 · 10–11 N · m2/kg2.
58. A velocidade de escape da Terra é 11,2 km/s. 
Calcule o valor aproximado da velocidade de esca-
pe do planeta Urano, sabendo que sua massa é 15 
vezes maior que a massa da Terra e o seu raio é 
4 vezes maior que o raio da Terra.
d ≅ 9,6 · 106 m
h = d – R ≅ (9,6 · 106 m) – (6,4 · 106 m)
h ≅ 3,2 · 106 m = 3 200 km
56. Um projétil é lançado vertical-
mente para cimaa partir de 
um ponto próximo à superfície 
da Terra, com velocidade inicial 
v
0
 = 7 · 103 m/s. Calcule a 
altura máxima atingida pelo 
projétil. São dados: massa da 
exercícios de reforço
59. (UF-GO) Um satélite de massa 450 kg orbita em 
torno da Terra, numa trajetória circular de raio r 
conforme a figura.conforme a figura.
a) Determine a altura, h, da órbita do satélite 
sabendo-se que, nessa órbita, g' = 
4
9
 g, sendo 
g a gravidade na superfície da Terra.
b) Determine a energia cinética do satélite nessa 
órbita.
c) Determine a energia mecânica total do satéli-
te, adotando-se referencial no infinito.
60. Sabendo que a velocidade de escape de um corpo 
lançado de um dos polos da Terra (desprezando a 
resistência do ar) é 11,2 km/s e que a aceleração 
da gravidade ao nível do mar, no mesmo local, vale 
aproximadamente 9,83 m/s2, determine: (Dados: 
G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2; M = 6,0 · 1024 kg 
e R = 6,4 · 103 km.)
a) a velocidade de escape no planeta Marte, cuja 
massa e raio valem, respectivamente, 0,11 M 
e 0,55 R, onde M e R são, respectivamente, a 
massa e o raio da Terra;
b) a aceleração da gravidade nos polos do plane-
ta Marte. 
61. (UE-PA) Os planetas do Sistema Solar, em seu 
movimento ao redor do Sol, obedecem às leis de 
Kepler. Eles percorrem órbitas elípticas nas quais 
o Sol está em um dos focos. O ponto da órbita 
mais distante do Sol é chamado de afélio (A) e o 
ponto mais próximo é chamado de periélio (P). 
Essas características estão ilustradas na figura 
abaixo.
Analise as afirmativas abaixo sobre o movimento 
dos planetas ao redor do Sol.
I. Se existisse um planeta com o raio médio 
de sua órbita igual a duas vezes a distância 
média da Terra ao Sol, o período de revolução 
desse planeta seria de dois anos.
II. No afélio, a energia potencial do sistema é 
máxima, e parte dela se converte em energia 
cinética até o periélio.
III. A quantidade de movimento de um planeta é 
maior no periélio do que no afélio.
IV. O trabalho realizado sobre um planeta pela 
força gravitacional, durante uma órbita com-
pleta, é nulo.
Estão corretas somente as afirmativas:
a) I, II e IV 
b) I e III 
c) I e IV
d) II e III
e) II, III e IV
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G
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A
f
Gravitação 487
7. Marés
Um fato que qualquer pessoa que viva à beira-mar pode perceber facilmente é que 
as águas do mar têm um movimento periódico de “sobe e desce”: são as marés. Na fi-
gura 34a temos a foto da maré baixa em uma praia e na 34b temos a foto da maré alta. 
Na média, a diferença de nível entre as marés é da ordem de 1 metro. mas há locais da 
Terra em que essa diferença chega a 15 metros, como na praia de moreré, Bahia. O que 
ocasiona essa movimentação das águas?
Figura 34. Praia de Moreré, Bahia. (a) Maré baixa e (b) maré alta.
ZI
G
 k
O
C
H
/N
A
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r
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A
 B
r
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SI
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ZI
G
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O
C
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A
 B
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A
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Ir
A
PrOCUre nO Cd
No CD apresentamos, 
com detalhes, a 
explicação sobre 
o movimento das 
marés.
Figura 36.
Figura 35.
(a) (b)Antes de Newton publicar sua obra, alguns cientistas 
já suspeitavam que as marés seriam causadas pela atra-
ção da Lua. Eles argumentavam que, se a Terra estivesse 
isolada da ação de outros corpos, o nível da água do mar 
seria o mesmo ao redor de todo o globo terrestre (fig. 
35a). Porém, como a Terra não está isolada, a atração da 
Lua provoca o deslocamento das águas do mar (fig. 35b), 
produzindo uma maré alta em A e uma maré baixa em B.
A ideia parece boa, mas há um problema: por essa 
teoria teríamos apenas uma maré alta e uma maré baixa 
por dia! E quem mora no litoral sabe que há duas marés 
altas e duas baixas diariamente, isto é, a cada instante 
há uma maré alta no lado da Terra virado para a Lua (fig. 
36) e outra maré alta no lado oposto. Como explicar isso? 
Um dos sucessos da Lei da Gravitação de Newton foi ex-
plicar esse fato.
IL
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G
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A
f
exercícios de Aprofundamento
62. (Unifesp-SP) A massa da Terra é aproximadamente 
oitenta vezes a massa da Lua e a distância entre 
os centros de massa desses astros é aproximada-
mente sessenta vezes o raio da Terra. A respeito 
do sistema Terra-Lua, pode-se afirmar que:
a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíp-
tica e em um dos focos dessa órbita está o 
centro de massa da Terra.
b) a Lua gira em torno da Terra com órbita cir-
cular e o centro de massa da Terra está no 
centro dessa órbita.
c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto 
comum, o centro de massa do sistema Terra-
Lua, localizado no interior da Terra.
d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto 
comum, o centro de massa do sistema Terra-
Lua, localizado no meio da distância entre os 
centros de massa da Terra e da Lua.
e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto 
comum, o centro de massa do sistema Terra-
Lua, localizado no interior da Lua.
A B
Gravitação 487
Capítulo 24488
63. O cometa Halley se aproxima da Terra a cada 
76 anos, aproximadamente. A última vez em que 
esteve próximo da Terra foi em 1986, e deverá 
retornar em 2061. Ele gira em torno do Sol, 
com órbita elíptica, como mostra a figura, sendo 
88 · 109 m a sua distância mínima ao Sol. Calcule a 
distância máxima do cometa ao Sol, sabendo que 
a distância média da Terra ao Sol é 150 · 109 m.
64. (ITA-SP) Deseja-se colocar em órbitas circulares 
um satélite S
T
 ao redor da Terra e um satélite S
L
 
ao redor da Lua, de modo que ambos tenham o 
mesmo período. São dados: R
T
 = raio da Terra =
= 6,37 · 106 m; R
L
 = raio da Lua = 1,74 · 106 m;
M
T
 = massa da Terra = 5,98 · 1024 kg;
M
L
 = massa da Lua = 7,34 · 1022 kg.
Sendo r
T
 a distância de S
T
 ao centro da Terra e r
L
 
a distância de S
L
 ao centro da Lua, determine o 
menor valor possível para r
T
.
65. (Fuvest-SP) A densidade (ρ) de um corpo é a 
razão entre sua massa (m) e seu volume (V): 
ρ = 
m
V
Se fosse possível colocar um satélite em órbita 
rasante em torno da Terra, o seu período seria 
T. Sendo G a constante de gravitação universal, 
expresse a densidade média da Terra em função 
de T e G.
66. Suponha que a Terra seja esférica, homogênea, e 
que a aceleração da gravidade na sua superfície 
seja g = 10 m/s2 se não houver movimento de 
rotação. São dados:
velocidade angular de rotação da Terra ≅
≅ 7 · 10–5 rad/s
raio da Terra ≅ 6 400 km.
Quantas vezes mais rápido, aproximadamente, 
teria de girar a Terra para que uma pessoa situa-
da ao longo da linha do equador tivesse seu peso 
aparente reduzido a zero?
a) 2 vezes.
b) 18 vezes.
c) 100 vezes.
d) 1 000 vezes.
e) Dependeria da massa da pessoa.
67. (UF-MA) Todos os dias observamos que a baía de 
São Marcos seca e enche aproximadamente a cada 
6 horas. Este é o efeito de maré oriundo princi-
palmente da força de atração gravitacional que a 
Lua exerce sobre as águas. 
Observando a figura, em que ponto indicado 
ocorrerá a maré mais alta?
a) C b) B c) A d) D e) E
SUGeSTÕeS de LeITUrA
• Mariconda, Pablo Rubén; Vasconcelos, Júlio. Galileu e a nova Física. São Paulo: Odysseus, 2006.
 Nos capítulos de 4 a 7 desta obra são apresentados os argumentos de Galileu na defesa do sistema de 
Copérnico.
• Rossi, Paolo. O nascimento da Ciência Moderna na Europa. Bauru: Edusc, 2001.
 No capítulo 8 há uma análise profunda sobre a mudança na concepção de Universo ocorrida com os 
trabalhos de Copérnico, Kepler, Galileu e Newton.
• Galilei, Galileu. Diálogo sobre os dois máximos sistemas. São Paulo: Discurso Editorial, 2001.
 Esta é uma das obras-primas de Galileu. Em forma de diálogo, ele combate o sistema de Ptolomeu e defende 
o sistema de Copérnico.
• Crease, Robert P. Os dez mais belos experimentos científi cos. Rio de Janeiro: Zahar, 2006.
 No capítulo 5 o autor apresenta o experimento de Cavendish.
C
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P
T
Capítulo 24488