fisica1_capitulo1

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Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 
 Ementa 
 
Introdução à Física, Vetores, Movimento em uma 
dimensão;Movimentos em duas e três dimensões, Leis de 
Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e 
conservação da energia, Sistema de partículas e 
conservação do momento linear, Colisões;Rotações. 
 
 Bibliografia Básica 
 HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.; 
Fundamentos de Física 3: Mecânica. 6ª Edição. Rio de 
Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 2002. 
Bibliografia Complementar: 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 
:Mecânica. Volume 1. 3ª Edição . São Paulo: Editora 
Edgard Blücher LTDA, 1997. 
Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física. 
2ed. Rio de Janeiro: livros técnicos e científicos, 2000. v.1. 
Tipler, P. A. Física. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
V.1. 
 www.claudio.sartori.nom.br 
 
 Introdução: 
A Física é uma ciência baseada em observações 
experimentais e quantitativamente mensuráveis. Seu 
objetivo é encontrar um conjunto de Leis fundamentais que 
governam os fenômenos naturais e utilizá-las para poder 
prever resultados em futuros experimentos. 
As Leis fundamentais utilizadas no desenvolvimento 
de teorias são expressas em linguagem matemática, uma 
espécie de ―ponte‖ que liga a teoria ao experimento. 
Quando ocorre uma discrepância entre a teoria e o 
experimento, novas teorias são formuladas para remover a 
discrepância. Muitas vezes as teorias são satisfatórias sob 
um conjunto limitado de condições; as teorias mais gerais 
devem ser satisfatórias sem limitações. Por exemplo, as 
Leis do movimento descobertas por Isaac Newton (1642-
1727) descrevem precisamente o movimento de corpos sob 
velocidades normais, porém, não se aplicam a corpos com 
velocidades próximas à da luz. Em contraste, a Teoria 
especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein 
(1879-1955) em torno de 1900 descreve o movimento de 
corpos com quaisquer velocidades, coincidindo os 
resultados com a teoria de Newton para corpos com 
velocidades inferiores à da luz. 
A física clássica, que consiste de toda física 
desenvolvida antes de 1900, inclui a teoria, conceitos, leis e 
experimentos em mecânica clássica, termodinâmica e 
eletromagnetismo. 
Importante contribuição para a física clássica veio dos 
trabalhos desenvolvidos por Newton, que desenvolveu a 
mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um 
dos criadores do cálculo e de todo um verdadeiro 
ferramental matemático. 
O desenvolvimento da mecânica continuou pelo século 
18, mas nos campos da termodinâmica, eletricidade e 
magnetismo não foram desenvolvidos até por volta 
do século 19, pprincipalmente porque antes dessa 
época, havia difículdade para avaliar os aparatos 
para o controle de experimentos e seus resultados. 
Uma nova era da física, conhecida como física 
moderna, iniciou-se por volta do início do século 19, 
pois foram descobertos vários fenômenos que não 
eram explicados pela física clássica. 
Os mais importantes desenvolvimentos da física 
moderna são as teorias da relatividade e a teoria da 
mecânica quântica. A teoria de Einstein da 
relatividade revolucionou os conceitos de massa, 
tempo e energia; a mecância quântica, a qual se 
aplica ao mundo macro e microscópico, foi 
originado por um grande número de distintos 
cientistas que descreveram fenômenos físicos em 
nivel atômico. 
 Os cientistas constantemente trabalham 
para improvisar experimentos qua auxiliem no 
entendimento de fenômenos naturais, desenvolvem 
teorias e novas descobertas sugem nas mais 
diferentes áreas da ciência, como na física, geologia, 
química e biologia, causando um enorme impacto 
na sociedade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2 
 
 CAPITULO 1 
 UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E 
VETORES. 
 SISTEMA INTERNACIONAL DE 
UNIDADES DE MEDIDA (SI); 
 ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS. 
MEDIDAS. 
 1971 – 14a conferência geral de pesos e 
medidas – Sistema Internacional de unidades (SI). 
Quantidade 
Fundamentais 
Nome da 
unidade 
Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa kilograma kg 
Tempo segundo s 
 Prefixos para o sistema SI: 
Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbo
lo 
10
24
 yotta Y 10
-24
 yocto y 
10
21
 zetta Z 10
-21
 zepto z 
10
18
 exa 10
-18
 Atto a 
10
15
 peta P 10
-15
 femto f 
10
12
 tera T 10
-12
 Pico p 
10
9
 giga G 10
-9
 Nano n 
10
6
 mega M 10
-6
 micro 
10
3
 kilo k 10
-3
 Milli m 
10
2
 hecto h 10
-2
 centi c 
10
1
 deka da 10
-1
 Deci d 
 Prefixos mais usados: 
Fator Prefix Símbolo 
10
6
 mega M 
10
3
 kilo k 
10
-2
 centi c 
10
-3
 Milli m 
10
-6
 micro 
10
-9
 Nano n 
Alguns fatores de conversão: 
Massa Comprimento Volume 
1kg=1000g=6.02
.10
23
u 
1m=100cm=39.
4in=3.28ft 
1m
3
=1000l
=35,3ft
3
=2
64gal 
1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5
280ft 
Tempo 
1u=1,66.10
-27
kg 1 in=2.54cm 1d=86400s 
Densidade 1nm=10
-9
m=10
0
A 
1year=
4
1365
d=3,16.10
7
s 
1kg/m
3
=10
-
3
g/cm
3 
1 light-
year=9,46.10
15
m 
Medida 
Angular 
 1rad=57,3
0
=0,159rev 
rad=180
0
=
1/2 rev 
 
 
Velocidade Pressão Energia 
1m/s=3,27ft
/s=2.24mi/h 
1Pa= 1N/m
2
 1J=10
7
erg=0,239cal=0
.738ft-lb 
1km/h=0.27
8m/s 
1Pa=1dyne/cm
2
 1kWh=3,6.10
6
J 
1km/h=0.62
1mi/h 
1Pa=1,45.10
-
4
lb/in
2
 
1cal=4,19J 
Força 1atm=1,01.10
5
Pa 1eV=1,60.10
-19
J 
1N=10
5
dyn
e 
1atm=14,7lb/pol
2
 Potência 
1lb=4,45N 1atm=76cm-
Hg=760mm-Hg 
1 
horsepower=746W=5
50 ft.lb/s 
 
 Observações: 
inch: polegada 
feet: pé 
light-year: ano-luz, distância que a luz 
percorre em um ano. 
horsepower: cavalovapor 
 Notação Científica: 
Resultados obtidos em calculadoras ou 
computadores , possuem formatos do tipo dos 
exemplos abaixo: 
Exemplo 1 - Visor: 
126,096E+06=126,096.10
6 
Escrito em notação científica: 
1,26096.10
8 
 
Exemplo 2- Visor: 
0,0108E-08=0,0108.10
-8 
Escrito em notação científica: 
1,08.10
-10
 
 Teoria dos erros: 
 Erros aleatórios e Sistemáticos 
Na medição de grandezas físicas, como 
comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre 
dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes de erros 
que a afetam. As medidas são afetadas por erros 
experimentais classificados em dois grandes grupos: 
 
 Erros sistemáticos 
 Erros aleatórios 
Os erros sistemáticos são causados por 
fontes identificáveis, podendo ser eliminados ou 
compensados. Prejudicam a exatidão (―accuracy‖) 
da medida. 
Causas dos erros sistemáticos: 
 Instrumento que foi utilizado. 
 Método de observação utilizado. 
 Efeitos ambientais. 
 Simplificação do modelo teórico 
utilizado. 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 3 
-4 -2 0 2 4
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
68,7%
95,45%
Z
Y
 
 
Ao realizar as medidas, deve-se identificar e 
eliminar o maior número possível de fontes de erros 
sistemáticos. 
Os erros aleatórios são flutuações pacima ou para 
baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das 
medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma 
situação experimental esteja desviada para mais e a outra 
metade esteja desviada para menos, afetando portanto a 
precisão. 
Algumas fontes de erro típicas: 
 Métodos de observação. 
 Flutuações ambientais. 
Os erros aleatórios podem ser tratados 
quantitativamente através de métodos estatísticos, de 
maneira que seus efeitos na grandeza física medida 
podem ser em geral, eliminados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O Tratamento Estatístico 
Tendo N conjunto de dados xi, calculamos a média e 
o desvio padrão da forma: 
N
x
N
i
i
1
 
N
x
N
i
i
1
2
 
Se os dados xi forem distribuídos em frequência fi: 
N
i
iN
i
ii
f
fx
1
1
 
N
i
i
N
i
ii
f
xf
1
1
2
 
A variância é definida como o quadrado do desvio 
padrão (
2
). Relações importantes: 
22 xx 
Onde: 
N
i
i
N
i
ii
f
xf
x
1
1
2
2
 
(Média Quadrática). 
 
 A distribuição Normal ou de 
Gauss: 
 Foi Gauss 
(&&)
 quem deduziu a expressão 
para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal: 
22
2
2
1
x
eY
 
 
 
(&&) 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), 
Brunswick, Germany 
 Podemos trabalhar com a variável 
denominada de variável reduzida z: 
x
z
 
 Nesse caso, a distribuição Normal ou 
Gaussiana fica: 
2
2
2
1
z
eY
 
 Esta é uma expressão mais simplificada, 
cujo gráfico está dado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Veja que há uma área sob a curva de 1. 
Quando x se encontra no intervalo de ( - , + ), 
a área sob a curva é de 68,7%; já quando x se 
encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é de 
95% ou 0.95. 
Distribuição Normal ou Gaussiana 
Média 
Variância 
2 
Desvio Padrão 
Coeficiente de simetria 
0
 
 Observe que a curva Gaussiana ou Normal 
é uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo 
50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy. 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 4 
 Veja como se aproxima da distribuição Normal 
um resultado para N=8 para um exemplo de lançamento de 
moeda ) p = 0.5 = q: 
 Erros na Fase de Modelagem: 
Necessita-se de várias simplificações do mundo físico, 
em geral, para se tentar representar um fenômeno natural 
por um modelo matemático. Esses erros levam em 
consideração a precisão dos instrumentos de medidas. 
Em geral se um instrumento possui precisão p, 
definida em geral pela metade da menor divisão; faz-se um 
conjunto de N medidas. Ao apresentar o resultado final 
teremos que calcular a média 
x
do conjunto de xi medidas 
e o desvio padrão : 
x
N
i
i
N
x
x
x
y
N
i
i
N
y
y
y
 
1
1
2
N
xx
N
i
i
 
 O erro x associado à média será: 
N
x x
N 1
;
N
y
yN 1
 
 Assim o resultado a apresentar será dado por: 
 Se p 
xxps xx
;
yyps yy
 
Se < p 
px
 
xxx pxps
;
yyy pyps
 
 Tais erros em operações matemáticas se 
propagam: Assim, suponha que faz-se medidas diretas das 
variáveis x e y com médias 
yx;
, desvios x e y e erros 
dados por x e y. Teremos que fazer o que se chama de 
propagação de erros nas operações matemáticas: 
1) Soma S = x + y e diferença D = x - y: 
 Nesse caso o erro na soma ou na diferença é dado 
por: 
22
yxDS
 
2) Produto P = x.y 
22
y
y
x
x
yxP
 
3) Quociente Q = x/y 
22
y
y
x
x
y
x
Q
 
4) Potenciação: F = xnym 
22
y
y
m
x
x
nyxF
yxF
mn
mn
 
 Tais regras são conhecidas como regras de 
propagação de erro. 
 Caso Geral: 
Se tivermos uma função f de n variáveis, o 
erro na função f é dado por: 
22 2
2 2 2f f ff D x y z
x y z
 
 Apresentação do resultado 
 
O resultado deve ser apresentados em 
termos dos algarismos significativos (todos os 
corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou 
seja matematicamente, todos da esquerda para a 
direita) . Por exemplo: 
 
12,345 - 5 Algarismos significativos 
(digito 5:duvidoso) 
0,00012 – 2 AS 
-1,234.10
-5
 – 4 AS 
 
 Exemplo 3 – Mediu-se a espessura de uma 
lâmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido 
com paquímetro p=0.025mm) 
 
Espessura (mm) 
2,23 
2,25 
2,31 
2,18 
2,21 
2,23 
 
01.024.2ee
mm pois 
0140,0
6
03437,0
x
 
 Como a precisão p = 0.025, ou seja, maior 
que o desvio padrão, aí escrevemos como: 
 
03.024.2pe 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 
 Sistemas de Unidades. Grandezas 
Fundamentais 
O SI também é conhecido como sistema métrico. 
As grandezas derivadas do SI são dadas em 
termos das fundamentais. 
As grandezas fundamentais são: 
 
 Metro: (m) 
O metro foi definido, em 1792 na França, como 1 
décimo de milionésimo da distância do pólo norte para o 
equador. Atualmente é definido como a distância entre 
duas linhas finas gravadas em uma barra de platina-irídio, 
mantida no International Bureau of Weights and Measures 
próximo à Paris. 
Em 1960 foi adotado um novo padrão para o 
metro, baseado no comprimento de onda da luz. 
Especificamente, o metro foi redefinido como 1650763,73 
comprimentos de onda de uma particular luz vermelho-
alaranjada emitida por átomos de Kriptônio-86. 
 
COMPRIMENTOS TÍPICOS m 
Distância ao mais afastado quasar (1990) 2.10
26
 
Distância à galáxia de Andrômeda 2.10
22
 
Distância à mais próxima estrela (Próxima 
Centauri) 
4.10
16
 
Distância ao mais afastado planeta (Plutão) 6.10
12
 
Raio da Terra 6.10
6
 
Altura do monte Everest 9.10
2
 
Espessura dessa página 1.10
-4
 
Comprimento de onda da luz 5.10
-7
 
Comprimento de um vírus típico 1.10
-8
 
Raio do átomo de hidrogênio 5.10
-11
 
Raio de um próton 10
-15
 
 
 Tempo: (s) 
Para medir tempo-padrão, os relógios atômicos 
foram desenvolvidos em diversos países. 
A 13
a
 conferência geral de pesos e medidas adotou 
o segundo padrão baseado no relógio atômico de césio. 
(NIST- Colorado USA) 
Em princípio, dois relógios de Césio funcionando 
por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relógio de Césio Padrão, no NIST (USA) 
 
 
Intervalo de Tempo (s) 
Tempo de vida de um próton 10
39
 
Idade do universo 5.10
17
 
Idade da pirâmide de Quéops 1.10
11
 
Expectativa de vida humana (EUA) 2.10
9
 
Duração de um dia 9.10
4
 
Tempo entre duas batidas do 
coração humano 
8.10
-1 
Tempo de vida de um múon 2.10
-6
 
Menor pulso luminoso no 
laboratório (1989) 
6.10
-15
 
Tempo de vida da mais instável 
partícula 
10
-23
 
Constante de tempo de Planck 10
-43 
 
 Massa: (kg) 
A unidade padrão para a massa é um 
cilindro de platina-irídio guardada no International 
Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris, 
França, como mostramos na figura 
abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo 
internacional. 
1kg padrão internacional. 
Algumas massas típicas: 
 
Massa kg 
Universo conhecido 10
53
 
Nossa galáxia 2.10
41
 
Sol 2.10
30
 
Lua 7.10
22
 
Asteróide Eros 5.10
15
 
Pequena Montanha 1.10
12
 
Periferia do Oceano 7.10
7
 
Elefante 5.10
3
 
Grampo 3.10
-3
 
Grão de Areia 7.10
-10 
Molécula de 
Penicilina 
5.10
-17
 
Próton 2.10
-27
 
Elétron 9.10
-31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 
 Análise de Equações e variáveis em Física. 
 Análise dimensional: 
Muitas vezes em problemas e medidas é de 
extrema utilidade analisar a dimensão da grandeza a ser 
medida ou da variável em questão. Para isso representamos 
as grandezas fundamentais como: 
 
Medida Nome da 
unidade 
Símbolo Dimensão 
Comprimento metro m [L] 
Massa kilograma kg [M] 
Tempo segundo s [T] 
 
 Exemplo 4 – Analisar a dimensão da grandeza 
pressão: 
 
 P=F/A 
 F=ma 
 
Grandeza (unidade SI) Dimensão 
Aceleração a (m/s
2
) [L][T]
-2 
Massa (kg) [M] 
Força (1N=kgm/s
2
) [M][L][T]
-2 
Pressão (N/m
2
) [M][L][T]
-2/[L]2 
[M][L]-1[T]-2 
 
 Assim, a análise dimensional para a Pressão nos 
dá: =[M][L]
-1
[T]
-2
. 
 
 Definições do sistema de unidades básicas do 
SI: 
 
 Unidade de 
comprimento 
metro É o comprimento 
atravessado pela luz no 
vácuo num intervalo de 
1/299 792 458 de um 
segundo. 
 
 Unidade de 
massa 
kilograma Massa de um protótipo 
padrão internacional. 
 
 Unidade de 
tempo 
segundo O Segundo é a duração de 
9 192 631 770 períodos da 
radiação correspondente 
para a transição de dois 
níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de 
Césio 133. 
 
 Unidade de 
corrente 
elétrica 
ampere O ampére é uma correntea qual, mantidos dois fios 
condutores de 
comprimentos infinitos e 
paralelos e de 
negligenciável área de 
seção reta circular, s 
separados por 1 metro no 
vácuo, produzir-se-á entre 
esses condutores uma força 
de 2 x 10-7 newton por 
metro de comprimento. 
 
 Unidade de 
temperatura 
termodinâmica 
kelvin O kelvin, unidade de 
temperatura 
termodinâmica, é a fração 
de 1/273.16 da temperatura 
do ponto triplo da água. 
 
 Unidade da 
quantidade de 
uma substância 
mole 1. O mole é a quantidade 
de uma substância de um 
sistema o qual contém 
quantidades elementares 
existentes em 0,0012 kg de 
carbono 12, simbolizando 
o "mol." 
2. Quando n mole é usado, 
as entidades elementares 
devem ser especificadas, 
podendo ser átomos ou 
moléculas, íons, elétrons 
ou outras partículas. 
 
 Unidade de 
quantidade 
luminosa 
candela A candela é a intensidade 
luminosa, em uma dada 
direção, de uma fonte que 
emite radiação 
monocromática de 
frequência 540 x 1012 hertz 
e que tem uma intensidade 
de radiação na direção of 
1/683 watt por 
estereoradiano. 
 Unidade de 
comprimento (metro) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 As origens do metro voltam para o 18º século. Naquele 
momento, havia duas aproximações competindo à definição de 
uma unidade standard (padrão) de duração. O astrônomo 
Christian Huygens sugestionou definindo o metro como a 
duração de um pêndulo que tem um período de um segundo; 
outros sugestionaram definindo o metro como um décimo de 
milionésimo da duração do meridiano da terra ao longo de um 
quadrante (um quarto a circunferência da terra). Em 1791, em 
seguida a Revolução francesa, a Academia francesa de Ciências 
escolheu a definição meridiana em cima da definição de pêndulo 
porque a força de gravidade varia ligeiramente em cima da 
superfície da terra e afeta o período do pêndulo. 
 Assim, era pretendido que o metro igualava 10-7 ou um 
décimo de milionésimo da duração do meridiano por Paris para o 
equador. Porém, o primeiro protótipo era pequeno através de 0.2 
milímetros porque os investigadores calcularam mal o aplainando 
da terra devido a sua rotação. Ainda esta duração se tornou o 
padrão. ( gravura à certos espetáculos de arremesso da liga de 
platina-irídio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um protótipo 
internacional novo foi feito de uma liga de platina com 10 % de 
irídio, para dentro de 0.0001, isso seria medido ao ponto de 
derretimento do gelo. Em 1927, o metro foi definido mais 
justamente como a distância, a 0°, entre os machados das duas 
linhas centrais marcados na barra de platina-irídio persistida no 
BIPM, e declarou Protótipo do metro pelo 1º CGPM, esta barra 
que está sujeito a pressão atmosférica standard e apoiada em dois 
cilindros de pelo menos um diâmetro de centímetro, 
simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a uma 
distância de 571 mm de um ao outro. 
 A definição de 1889 do metro, fundamentada no protótipo 
internacional de platina-irídio, foi substituída pelo CGPM em 
1960 usando uma definição fundada em um comprimento de 
onda de radiação kryptônio-86. Esta definição foi adotada para 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 
reduzir a incerteza com que o metro pode ser percebido. Em 1983 o 
CGPM substituiu esta definição posterior pela seguinte definição: 
O metro é a duração do caminho percorrido pela luz no 
vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo. 
 Note que o efeito desta definição é fixar a velocidade de luz no vácuo 
a exatamente 299 792 458 m·s-1. O protótipo internacional original do 
metro que foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889 ainda é persistido no 
BIPM debaixo das condições especificadas em 1889. 
 
 Unidade de massa 
(kilograma) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 Ao término do 18º século, um quilograma era a massa de um 
decímetro cúbico de água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo 
internacional do quilograma, feito de platina-irídio, e declarou: Será 
considerado daqui em diante que este protótipo é a unidade de massa. A 
figura anterior mostra o bloco de platina-irídio, um protótipo 
internacional, como está na Agência Internacional de Pesos e Medidas 
debaixo de condições especificadas pelo 1º CGPM em 1889. 
 O 3d CGPM (1901), em uma declaração pretenderam terminar a 
ambigüidade em uso popular relativo ao palavra " peso, " confirmou isso: 
O quilograma é a unidade de massa; é igual à massa do 
protótipo internacional do quilograma. 
 
 Unidade de tempo 
(segundo) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 A unidade de tempo, o segundo, foi definida originalmente como a 
fração 1/86 400 do dia solar médio. A definição exata de "dia " solar 
médio permaneceu sob as teorias astronômicas. Porém, a medida mostrou 
que não pudessem ser levadas em conta irregularidades na rotação da 
Terra pela teoria e tem o efeito que esta definição não permite alcançar a 
precisão exigida. Para definir a unidade de tempo mais justamente, o 11º 
CGPM (1960) adotou uma definição dada pela União Astronômica 
Internacional que estava baseado no ano tropical. Porém, um trabalho 
experimental já tinha mostrado que um padrão atômico de intervalo de 
tempo, baseado numa transição entre dois níveis de energia de um átomo 
ou uma molécula, poderia ser reproduzida muito mais justamente. 
Considerando que uma definição muito precisa da unidade de tempo é 
indispensável para o Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) decidiu 
substituir a definição do segundo pelo seguinte (afirmou pelo CIPM em 
1997 que esta definição se refere a um átomo de césio em seu estado 
fundamental à uma temperatura de 0 K): 
O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da 
radiação que corresponde à transição entre o dois níveis hiperfinos do 
estado fundamental do átomo de césio 133. 
 
 Unidade de corrente 
elétrica (ampere) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 Unidades de corrente elétrica, chamada " internacional, " para corrente 
e resistência foi introduzida pelo Congresso Elétrico Internacional em 
Chicago em 1893, e as definições do " ampère internacional " e o " ohm 
internacional " eram confirmadas pela Conferência Internacional de 
Londres em 1908. 
 Embora já era óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que havia um 
desejo unânime para substituir essas " unidades internacionais " através de 
unidades absolutas " denominadas ", a decisão oficial para aboli-los só foi 
levada pelo 9º CGPM (1948) que adotou o ampère para a unidade de 
corrente elétrica e segue a definição proposta pelo CIPM em 1946: 
O ampère é aquela corrente de constante que, se manter 
diretamente em dois condutores paralelos e infinitos, de seção circular 
transversal desprezível, colocados paralelamente a 1 metro no vácuo, 
produziria entre estes condutores uma força igual para 2 x 10-7 newton 
por metro de comprimento. 
 A expressão " unidade de MKS de força " que acontece no texto 
original foi substituída aqui através de " newton, " o nome adotou para 
esta unidade pelo 9º CGPM (1948). Note que o efeito desta definição é 
fixar a constante magnética (permeabilidade do vácuo) a exatamente 4 x 
10-7 H · m-1 . 
 
 
 
 Unidade de temperatura 
termodinâmica (kelvin) 
Acronimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 A definição da unidade de temperatura termodinâmica era 
determinada em substância pelo 10º CGPM (1954) que 
selecionou o ponto triplo de água como o ponto fixo fundamental 
e nomeou a isto a temperatura 273.16 K, definindo a unidade 
assim. O 13º CGPM (1967) adotou o kelvin de nome (símbolo K) 
em vez de " grau Kelvin " (símbolo °K) e definiu a unidade de 
temperatura termodinâmica como segue: 
O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a 
fração 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo 
da água. 
 Por causa das escalas termométricasde temperatura, 
permanece prática comum para expressar temperatura 
termodinâmica, símbolo T, em termos de sua diferença da 
referência temperatura T0 = 273.15 K, o ponto de gelo. Esta 
diferença de temperatura é chamada uma temperatura Celcius 
(em graus Centígrados, símbolo t, e é definido pela equação de 
quantidade 
t = T – T0 . 
 A unidade de temperatura Celcius é o grau Centígrado, 
símbolo °C que é por definição igual em magnitude para o kelvin. 
Uma diferença ou intervalo de temperatura podem ser 
expressados em kelvins ou em graus Centígrado (13º CGPM, 
1967). O valor numérico de uma temperatura t graus Celcius é 
determinada por 
t/°C = T/K - 273.15. 
 O kelvin e o grau Centígrado também são também unidades 
de Temperatura Internacional. A Escala de 1990 (ITS-90) adotou 
pelo CIPM em 1989. 
 
 Unidade de quantidade de 
substância (mole) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
 Seguindo a descoberta das leis fundamentais de química, as 
unidades foram chamadas, por exemplo, ―átomo-grama" e 
"molécula-grama‖, foram usadas para especificar quantias de 
elementos químicos ou combinações. Estas unidades tiveram uma 
conexão direta com "pesos" atômicos e "pesos moleculares" que 
eram de fato massas relativas. Referiram ―pesos" atômicos 
originalmente ao peso atômico de oxigênio, por acordo geral 
levado como 16. Mas considerando os isótopos físicos separados 
no espectrógrafo de massa, atribuiu o valor 16 a um dos isótopos 
de oxigênio; os químicos atribuíram aquele mesmo valor para o 
(ligeiramente variável) mistura de isótopos 16, 17, e 18 que eram 
para eles o oxigênio de elemento naturalmente acontecendo. 
Finalmente, um acordo entre a União Internacional de Puras e 
Aplicadas Físicas (IUPAP) e a União Internacional de Pura e 
Aplicada Química (IUPAC) trouxe esta dualidade para um fim 
em 1959/60. Os Físicos e Químicos concordaram nomear o valor 
12, exatamente, desde então para o "peso atômico" corretamente 
a massa atômica relativa, do isótopo de carbono com massa 
número 12 (carbono 12, 12C). A balança unificada assim obtida 
dá valores de massa atômica relativa. 
 Permaneceu definir a unidade de quantidade de substância 
fixando a massa correspondente de carbono 12; por acordo 
internacional, esta massa esteve fixa em 0.012 kg, e a unidade 
da quantidade de “substância" era determinada de nome mole 
(mol de símbolo). 
 As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a Organização 
Internacional para Padronização (ISO), o CIPM cedeu 1967, e 
confirmou em 1969, a definição de mole, eventualmente adotados 
pelo 14º CGPM (1971): 
1. mole é a quantia de substância de um sistema que 
contém tantas entidades elementares quanto há átomos em 0.012 
quilograma de carbono 12; seu símbolo é " mol ". 
2. quando o mole é usado, as entidades elementares 
devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, íons, 
elétrons, outras partículas, ou especificados grupos de tais 
partículas. 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8 
A sua 1980 reunião, o CIPM aprovou a proposta de 1980 pelo Comitê de 
Consultas em Unidades do CIPM que especifica isso nesta definição, é 
compreendido que átomos não ligados de carbono 12, em repouso e no 
estado de solo deles/delas, se refere. 
 
 
 Unidade de intensidade 
luminosa (candela) 
Acrônimos: CGPM, 
CIPM, BIPM 
Originalmente, cada país teve seu próprio, e bastante mal 
reprodutível, unidade de intensidade luminosa; era necessário esperar até 
as 1909 para ver um começo de unificação no nível internacional, quando 
os laboratórios nacionais dos Estados Unidos da América, França, e Grã 
Bretanha decidiram adotar a vela internacional representada por 
luminárias de filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha ficou 
com a vela de Hefner, definida por um padrão de chama, e igual para 
aproximadamente nove décimos de uma vela internacional. Mas um 
padrão baseado em luminárias incandescentes, e conseqüentemente 
dependente na sua estabilidade, nunca teria sido completamente 
satisfatório e poderia ser então só provisional; por outro lado, as 
propriedades de um corpo negro proveram uma solução teoricamente 
perfeita e, já em 1933, foi adotado o princípio que unidades de fotometria 
novas estariam baseado na emissão luminosa de um corpo negro na 
temperatura de fusão da platina (2045 K). 
 As unidades de intensidade luminosa eram baseadas em chama ou 
padrões de filamento incandescentes e foram substituídas em uso em 
vários países antes de 1948 inicialmente pela "vela" baseado no 
luminance da radiação de corpo negro (Teoria feita por Planck) à 
temperatura de platina citada acima. Esta modificação tinha sido 
preparada pela Comissão Internacional em Iluminação (CIE) e pelo CIPM 
antes das 1937, e foi promulgado pelo CIPM em 1946. Foi ratificado 
então em 1948 pelo 9º CGPM que adotaram um nome internacional novo 
para esta unidade, candela (cd de símbolo); em 1967 o 13º CGPM deu 
uma versão emendada da definição de1946. 
 Em 1979, por causa das dificuldades experimentais que ocorriam na 
radiação de corpo negro (Teoria de Planck) a temperaturas altas e as 
possibilidades novas ofereceu através da radiometria, i.e., a medida de 
poder de radiação óptico, o 16º CGPM (1979) adotou uma definição nova 
para o candela: 
O candela é a intensidade luminosa, em uma determinada 
direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de freqüência 
540 x 1012 hertz e tem uma intensidade radiante naquela direção de 
1/683 watt por stereoradianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apêndice: 
 Modo Estatístico das calculadoras. 
 Casio fx-82MS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comando Função 
on Liga 
Mode 2 Entra no modo sd 
(statistical data) 
Shift CLR 1 = Limpa memórias 
Dado 1 M+ Inseri dado 1 
Shift 2 Entra no s-var 
Shift 2 1 = Dá a média 
Shift 2 2 = Dá o DPP 
Shift 2 3 = Dá o DPA 
Shift CLR 3 = Limpa tudo 
Mode 3 Entra no modo reg 
1 (regressão 
linear) 
x1,y1 M+ Inseri ponto (x1,y1) 
Exemplo: 
 1.879EXP(-
)5,2.456EXP4 M+ 
Insere o ponto 
(1.879.10-5, 
2.46.104) 
Shift 2 1 = Dá a média de x 
Shift 2 2 = Dá o DPP de x 
Shift 2 3 = Dá o DPA de x 
Shift 2 1 = Dá a média de x 
Shift 2 2 = Dá o DPP de x 
 Shift 2 3 = Dá o DPA de x 
Shift 2 1 = Dá o coeficiente 
linear A 
Shift 2 2 = Dá o coeficiente 
angular B 
Shift 2 3 = Dá a correlação r 
 Série HP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
 Recursos estatísticos: 
 Σx, Σx2, Σy, Σy2, Σxy 
 Desvio padrão de amostra, média 
 Desvio padrão de população 
 Regressão linear 
 Combinações, permutações 
 Média ponderada 
 Editar, gravar, nomear, listar 
 Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW ) 
 Plotagem de dados estatísticos 
 Testes de hipóteses 
 Intervalos de confiança 
 
Comando Função 
 
Single-var 
 
Entra no modo 
estatístico 
Edit Entra no modo de 
edição. Escolha a 
coluna que inserirá os 
dados 
population Dpp 
sample Dpa 
chk Marque para mostrar 
o valor 
 
Fit data 
 
Entra no modo de 
ajuste de curvas 
Edit Insira os dados (x,y) 
nas colunas 1 e 2, por 
exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GRANDEZAS FÍSICAS Vetoriais e 
escalares. 
 VETORES 
 
 Vetores no plano R2: 
 
 Versores: São vetores de módulo 
1 e perpendiculares entre si. No plano R
2
 definimos 
os versores 
0,1iˆ
 e 
1,0jˆ
 
 y 
 1 
 
 
jˆ
 
 
iˆ0 1 x 
 Representação: 
jvivv yx
ˆˆ
 ou 
),( yx vvv

 ou 
OAAOv
 
xv
: Componente horizontal do vetor 
v
 . 
yv
: Componente vertical do vetor 
v
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cosvvx

 
senvvy

 
CD D C
 
, ,D D C CCD x y x y
 
,D C D CCD x x y y
 
ˆ ˆ
D C D CCD x x i y y j
 
 Módulo ou magnitude do vetor: 
22
yx vvv

 
 
Valeu, 
carinha ? 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 10 
o Importante: 
 
v
 é um vetor, por tanto possui módulo direção e 
sentido. 
 
v

 é o módulo do vetor 
v
 , sendo portanto um 
número. 
 
 Direção do vetor: 
A direção de um vetor é dada pelo ângulo que o 
vetor forma com o eixo horizontal Ox, com o ângulo 
medido no sentido anti-horário. 
 
 
 
 θ 
 
 
 Unidades angulares: 
Definimos o grau (em inglês: degree) como um 
noventa avos do ângulo reto. 
 O grado é definido de tal forma que a cada 100 
grados corresponde a 90
0
. Assim: 
0
0
( ) 100
90
grados
 
 O radiano é dado pela correspondência: a cada π 
radianos corresponde a 180
0
. Assim: 
0
0
180
)(rad
 
 
 Modo angular na calculadora: 
Lembre-se que para encontrar o ângulo em graus 
o modo que se deve trabalhar na calculadora é deg (de 
―degree”) e se quisermos operar em radianos, rad. 
A relação entre um ângulo medido em grau 
0
 e um 
ângulo medido em radiano é dada por: 
0
0180
 
 3.14159... 
 Determinação do ângulo : 
v
v
v
v xx  arccoscos
 
 
v
v
v
v yy
 arcsensen
 
 
x
y
x
y
v
v
v
v
arctantan
 
 
 
 
 Conversões de quadrantes: 
 
i) Vetor no segundo quadrante 
 
 y 
x
y
v
v
arctg
 
 
 
v
 000 180 
 
vy 
)(rad
 
 
 vx 0 x 
 
ii) Vetor no terceiro quadrante 
 y 
 
x
y
v
v
arctg
 
 0x 
 
v
 000 180 
 
vy 
)(rad
 
 
 vx 
iii) Vetor no quarto quadrante 
 y 
 
x
y
v
v
arctg
 
0x 
 
v
 000 360 
 
vy 
2)(rad
 
 
 vx 
 
 
 Operações com vetores 
 
 Multiplicação por um escalar 
 
 Soma de vetores 
 Regra do Polígono 
 
v
 
w
 
 
u
 
t
 
 
 
twvuS
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 
 
 Regra do Paralelogramo 
 
 
vu
 
 
u
 
vu
 
 
 
 
v
 
 
cos2
22
vuvuvu
 
 
cos2
22
vuvuvu
 
Obs.: Vide demonstração no Apêndice I 
 
 Subtração de vetores 
 
 Vetores no espaço R3: 
 
 Representação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
kvjvivv zyx
ˆˆˆ
 
ou 
),,( zyx vvvv

 
ou 
 
OAAOv
 
xv
: Componente x do vetor 
v
 . 
yv
: Componente y do vetor 
v
 . 
 
zv
: Componente z do vetor 
v
 . 
 Determinação dos ângulos formados pelo vetor 
com os eixos: 
 
Ângulo Ângulo formado pelo: Cossenos 
diretores 
 
θx 
Vetor e eixo Ox 
v
vx
x cos
 
 
θy 
Vetor e eixo Oy 
v
vy
y cos
 
 
θz 
Vetor e eixo Oz 
v
vz
z cos
 
 
 Versores: 
0,0,1iˆ
 
0,1,0jˆ
 
1,0,0kˆ
 
 Módulo do vetor: 
 
222
zyx vvvv

 
 
 
 Normalização de um vetor: 
 Dado um vetor 
u
 qualquer, o vetor de 
módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de 
u
 é dado por: 
 
u
u
n 

ˆ
 
u
 
nˆ
 
 Ou: 
jsenin ˆˆcosˆ
 
 
 Regra do paralelogramo: 
 
 
vuS
 
u
 
vuD
 
 
 
 
v
 
cos2
22
vuvuvu

 
Analogamente, podemos provar que: 
cos2
22
vuvuvu

 
 
 
 
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 
 
 Apêndice II 
 Regra do Paralelogramo: Demonstração: 
 
Observe que: 
 
 
uy
ux
uu
uu
cos
cos

 e 
vy
vx
vv
vv
cos
cos

 
 
jsenuiuu uu
ˆˆcos
 
jsenvivv vv
ˆˆcos
 
 
 Relações trigonométricas: 
 
 
asenbbsenabasen coscos)(
 
 
senasenbbaba coscos)cos(
 
 
1cos 22 sen
 
 
sensensen 2)2(
 
 
22cos)2cos( sen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
jsenvsenuivuvu vuvu
ˆˆcoscos

 
22
coscos vuvu senvsenuvuvu

)cos(cos2)(cos)(cos 22
2222
vuvuuuuu sensenvusenvsenuvu

 
 
Como: 
vuvuvu sensencoscos)cos(cos
 
Teremos: 
 
cos2
22
vuvuvu
 
Analogamente, podemos provar que: 
cos2
22
vuvuvu
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
13 
 Apêndice II 
 
 Lei dos Cosenos: 
 
 
cos222 babac
 
 
cos222 cacab
 
 
cos222 bcbca
 
 
 
 
 
 
 
 
 a c 
 
 
 
 b 
 
 
 Lei dos Senos: 
 
sen
c
sen
b
sen
a
 
 
 
Prova:Observe que: 
 
 
 
 1 
 2 
 a h c 
 
 
 
 m n 
 b 
 
senah
a
h
sen
 {1} 
 
sench
c
h
sen
 {2} 
11 coscos ah
a
h
 
 
11 coscos ah
a
h
 
 
 
22 coscos ch
c
h
 
11 senam
a
m
sen
 
 
22 sencn
c
n
sen
 
 
122121 coscos)( sensensensen
 
ac
bh
ac
hnm
a
h
c
n
c
h
a
m
sen
)(
1
1
 
Portanto: 
sen
b
ac
h
 {3}; Reunindo {1}, 
{2} e {3}: 
sen
b
ac
sencsenah
 
Dividindo os membros por a.c: 
b
sen
a
sen
c
sen
 
Ou: 
sen
c
sen
b
sen
a
 
 
 
 Produtos entre vetores 
Dados dois vetores: 
ˆˆ ˆ
x y zu u i u j u k
 θ 
ˆˆ ˆ
x y zv v i v j v k
 
Definimos: 
 Produto escalar: 
O produto escalar entre dois vetores tem como 
u e v
resultado um número. 
 Representamos por: u v 
 
x x y y z zu v u v u v u v
 
 Também podemos demonstrar que: 
cosu v u v
 
 Onde θ é o ângulo entre os vetores
u e v
 . 
 
 Produto vetorial: 
O produto escalar entredois vetores tem como 
u e v
resultado um vetor. 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
14 
 Representamos por: u v 
 
ˆˆ ˆ
x y z
x y z
i j k
u v u u u
v v v
 
 
Também podemos demonstrar que: 
u v u v sen
 
 O vetor 
u v
 é um vetor perpendicular ao 
plano formado pelos vetores 
u e v
 . 
 
 EXERCÍCIOS 
 
 SEÇÃO 1.4 PADRÕES E 
UNIDADES 
 
 SEÇÃO 1.5 
COERÊNCIA E CONVERSÃO DE 
UNIDADES 
 
1.1 Usando a delmição l milha = l.61 km. calcule o 
número de quilômetros em 5 milhas. 
 
1.2 De acordo com o rótulo de uma garrafa de 
molho para salada, o volume do conteúdo é de 0,473 
litros (L). Usando a conversão l L = 1000 cm
3
 , 
expresse este volume em milímetros cúbicos. 
 
1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz 
leva para percorrer uma distância de l.00 km no 
vácuo. 
 
1.4 A densidade do chumbo é l l .3 g/cm
3
. Qual e 
este valor em quilogramas por metro cúbico?' 
 
1.5 O cilindro de um potente automóvel Chevrolet 
Corvette possui um volume de 5.3 l.. Sabendo que l 
decâmetro (dam) é igual a 10 m, expresse este volume 
em decametros cúbicos. 
 
1.6 Para controlar seu consumo de bebida 
alcoólica, você resolveu beber 0,04 m
3
 de vinho durante 
um ano. Supondo que todo dia você beba a mesma 
quantidade de vinho, quantos cm
3
 de vinho você 
deveria beber por dia? 
 
1.7 O Concorde é o avião comercial mais veloz do 
mundo. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas 
vezes a velocidade do som ou Mach 2. Calcule esta 
velocidade 
(a) em km/h e (b) em m/s. 
 
1.8 Em um país europeu você vê o seguinte aviso: 
limite máximo de velocidade = 100 mi/h. Expresse este 
limite em km/h e em m/s. 
 
1.9 O consumo de gasolina de um cairo pequeno 
é aproximadamente igual a 15,0 km/L. Expresse este 
consumo em dam/cm
3
. 
 
 SEÇÃO 1.6 
 INCERTEZA 
 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
1.10 Um modo útil de saber quantos segundos 
existem em um ano é dizer que um ano ê 
aproximadamente igual a 10
7
segundos. Calcule o erro 
percentual deste valor aproximado. 
(Em um ano existem 365.24 dias.) 
 
1.11 
(a) Suponha que um trem tenha percorrido 890 
km de Berlim ate Paris e superou em 10 m o limite final 
do trilho. Qual o erro percentual na distância total 
percorrida? 
(b) Seria correto dizer que ele percorreu uma 
distância total de 890.010 m? Explique. 
 
1.12 Usando uma régua de madeira, você mede 
o comprimento de uma placa metálica retangular e 
encontra 12 mm. Usando um micrômetro para medir a 
largura da placa você encontra 5,98 mm. 
Forneça as respostas dos seguintes itens com o número 
de algarismos significativos correio, 
(a) Qual a área do retângulo? 
(b) Qual a razão entre a largura do triângulo e 
o seu comprimento? 
(c) Qual o perímetro do retângulo? 
(d) Qual a diferença entre o comprimento do 
retângulo e a sua largura? 
(e) Qual a razão entre o comprimento do 
retângulo e a sua largura? 
 
1.13 Estime o erro percentual ao medir: 
(a) a distancia de 75 cm usando uma régua de l 
m. 
(b) a massa de 12 g com uma balança química: 
(c) o intervalo de tempo de 6 min com um cronômetro. 
 
1.14 Uma placa retangular de alumínio possui 
comprimento de: 
5.60 ±0.01 cm e largura de: 
l.90 ±0.01 cm. 
(a) Ache a área do retângulo e a incerteza na 
área. 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
15 
(b) Verifique se a incerteza fracionaria na área 
é igual à soma das incertezas fracionárias do 
comprimento e da largura. 
 
1.15 Um disco fino de chocolate possui 
diâmetro igual a 8,50 ± 0,02 cm e espessura igual a 
0.050 ± 0,005 cm. 
(a) Ache o volume e a incerteza no volume, 
(b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura 
e a incerteza desta razão. 
 
 SEÇAO 1.7 ESTIMATIVAS E 
ORDENS DE GRANDEZA 
 
1.16 Faça uma estimativa do volume da 
gasolina consumida no Brasil durante um ano. 
 
1.17 Uma caixa possui volume de 28 cm x 22 
cm x 42 cm e está cheia de folhas de papel de 28 cm x 
22 cm. Esta caixa contém aproximadamente 10 mil ou 
10 milhões de folhas? 
 
1.18 Quantas laranjas você deve espremer para 
obter 2 L de suco de laranja? 
 
1.19 Estime a ordem de grandeza do número 
de palavras de um livro (200 páginas). 
 
1.20 Qual é o volume de ar que uma pessoa 
respira em toda sua vida? Compare este volume com o 
volume de um apartamento de dois quartos. (Estime que 
para cada respiração o volume de ar aspirado é 
aproximadamente igual a 500 cm
3
.) 
 
1.21 Quantos fios de cabelo há em sua cabeça? 
 
1.22 Quantas vêzes o coração de uma pessoa 
bale em toda sua vida? Quantos litros de sangue ele 
bombeia neste período? 
(Estime que em cada batida do coração o volume de 
sangue bombeado é aproximadamente igual a 50 cm
3
). 
 
1.23 Na ópera de Wagner O anel dos 
Niebelungos, a deusa Freia é resgatada em troca de uma 
pilha de ouro com largura e altura suficientes para 
escondê-la. Estime o valor desta pilha de ouro. 
(Use o Exemplo l .4 para obter os dados necessários 
para a densidade e o preço do ouro.) 
 
1.24 Quantas gotas de água existem em todos 
os oceanos da Terra? 
 
1.25 Quantas pilhas são consumidas durante 
um ano acadêmico em sua faculdade? 
 
1.26 Quantas notas de um dólar seriam 
necessárias para fazer uma pilha de notas com uma 
altura igual ã distância entre a Terra e a Lua? Este total 
seria maior ou menor do que o valor gasto em um 
projeto para construir e lançar uma nave até a Lua? 
 
1.27 Quantas notas de um dólar seriam 
necessárias para cobrir a área total dos Estados Unidos 
(incluindo o Alasca e o Havaí)? 
Quanto isto custaria para cada americano? 
 
 SEÇÃO 1.8 VETORES E SOMA 
VETORIAL 
 
1.28 Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz 
dois deslocamentos rápidos com módulos de 1.8 e 2.4 
m. Usando diagramas (aproximadamente em escala), 
mostre como esses deslocamentos deveriam ser 
cfetuados para que a resultante tivesse módulo igual 
a: 
(a) 4.2 m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m. 
 
1.29 Um empregado do Correio dirige um 
caminhão de entrega e faz trajeto indicado na Figura l 
.24. Determine o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante usando diagramas em escala. 
(Ver o Exercício l.34 para usar um método alternativo 
na solução deste problema.) 
 
FIGURA 1 Exercícios l.29 e 1.34. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.30 Para os vetores 
A
e
B
 indicados na 
Figura 2 use diagramas em escala para determinar: 
(a) a soma vetorial 
A B
 
(b) a diferença velorial 
A B
. Com as 
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a 
direçao e o sentido de 
(c) 
A B
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
16 
(d) 
B A
(Veja o Exercício l.35 para usar um 
método alternativo na solução deste problema.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2 Exercícios l.30. l.35, l .40 c 1.48. 
 
1.31 Uma espeleóloga está pesquisando uma 
caverna. Ela percorre 180 m em linha rela de leste para 
oeste, depois caminha 210 m em uma direçao formando 
45
0
 com a direção anterior e em sentido do sul para o 
leste: a seguir, percorre 90 m a 30
0
 no sentido do norte 
para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não 
medido, ela retorna ao ponto de partida. Use um 
diagrama em escala para determinar o módulo, a 
direçao c o sentido do quarto deslocamento. (Veja o 
Problema l.59 para usar um método alternativo na 
solução de um problema semelhante a este). 
 
 SEÇÃO 19 
 COMPONENTES DE VETORES 
 
1.32 Use um diagrama em escala para 
determinar os componentes 
A
e
B
dos vetores 
seguintes. Para cada vetor, os números indicam 
(i) o módulo do velor 
(ii) o ângulo que ele faz com o eixo Ox medido 
supondo-se uma rotação no sentido do eixo +Ox para o 
eixo +Oy. Ache para 
(a) módulo 9,3 m e ângulo de 60,0
0
; 
(b) módulo 22.0 km e ângulo 135
0; 
(c) módulo 6.35 cm e ângulo de 307
0
. 
 
1.33 Determine os componentes 
A , B eC 
indicados na Figura 3. 
 
FIGURA 3 Exercícios 1.33, 1.41. l.44 e Problema 1.58. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.34 Um empregado do serviço postal dirige 
um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na 
Figura 4. Use o método dos componentes para 
determinar o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante. Mediante um diagrama 
vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o 
deslocamento resultante obtido com este diagrama 
concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo 
método dos componentes. 
 
1.35 Para os vetores 
A ,B indicados na 
Figura 3 use o método dos componentes para 
determinar o módulo, a direção e o sentido 
(a) a soma vetorial 
A B
 
(b) a diferença velorial 
A B
. Com as 
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a 
direçao e o sentido de 
(c) 
A B
 
(d) 
B A 
 
1.36 Determine o módulo, a direção e o 
sentido dos vetores representados pêlos seguintes 
pares de componentes: 
(a) Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm; 
(b) Ax = -9.70 m, Ay = -2.45cm; 
(c) Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km. 
 
1.37 Um professor de física desorientado 
dirige 3.25 km do sul para o norte, depois 4.75 km de 
leste para oeste, a seguir l.50 km do norte para o sul. 
Determine o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante, usando o método dos 
componentes. Usando diagramas (aproximadamente em 
escala), mostre que o deslocamento resultante 
encontrado em seu diagrama concorda 
aproximadamente com o resultado obtido pelo método 
dos componentes. 
 
1.38 O vetor 
A
 possui componentes Ax = l.30 
cm, Ay = 2,25 cm; o vetor B possui componentes Bx = 
4,10 cm, By = -3.75 cm. 
Ache 
(a) os componentes da soma vetorial 
A B 
(b) o módulo, a direçao e o sentido da soma 
vetorial 
A B
 
(c) os componentes da diferença vetorial 
A B 
(d) o módulo, a direçao e o sentido da 
diferença vetorial 
A B
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
17 
1.39 O vetor 
A
 possui comprimento igual a 
2,80 cm e esta no primeiro quadrante a 60.0
0
 acima do 
eixo Ox. O vetor 
B
 possui comprimento igual a l .90 
cm e está no quarto quadrante a 60,0
0 
abaixo do eixo Ox 
(Figura 4). Ache o módulo, a direção e o sentido de: 
(a) a soma vetorial 
A B
 
(b) a diferença velorial 
A B
. 
(c) 
A B
 
Em cada caso faça um diagrama da soma ou da 
diferença e mostre que os resultados concordam 
aproximadamente com as respostas numéricas obtidas. 
 
FIGURA 4 Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SEÇÃO 1.10 
 VETORES UNITÁRIOS 
 
1.40 Escreva cada vetor indicado na Figura 5 em 
termos dos vetores unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 
1.41 Escreva cada vetor indicado na Figura 1.26 
em termos dos vetores unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 
1.42 
 (a) Escreva cada vetor indicado na Figura 6 em 
termos dos vetores unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 (b) Use vetores unitários para escrever o vetor 
C
, 
onde 
3 4C A B
 
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor 
C
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 5 Exercícios B (2,40 m). Exercício 1.42 
e Problema 1.66. 
 
 1.43 Dados os vetores 
ˆ ˆ4,00 3,00A i j
e
ˆ ˆ5,00 2,00B i j
 
(a) ache o módulo, a direção e o sentido de 
cada vetor; 
(b) escreva uma expressão para a diferença 
vetorial 
A B
 usando vetores unitários; 
(c) ache o módulo, a direção e o sentido da 
diferença vetorial 
A B 
 (d) faça um diagrama vetorial para 
A , B e 
A B
 e mostre que os resultados queconcordam 
aproximadamente com a resposta do item (c). 
 
 
 SEÇÃO 1.1 
 PRODUTOS DE VETORES 
 
1.44 Para os vetores 
A , B eC , indicados na 
Figura 6, ache os produtos escalares 
(a) 
A B 
(b) 
B C
 
(c) 
A C
 
 
1.45 
(a) Ache o produto escalar dos dois vetores 
A
 e 
B
 mencionados no Exercício 1.43. 
(b) Ache o ângulo entre estes vetores. 
 
1.46 Ache o ângulo entre cada par de vetores: 
(a) 
ˆ ˆ2,00 6,00A i j
 e 
ˆ ˆ2,00 3,00B i j
 
(b) 
ˆ ˆ3,00 5,00A i j
 e 
ˆ ˆ10,00 6,00B i j
 
(c) 
ˆ ˆ4,00 2,00A i j
 e 
ˆ ˆ7,00 14,00B i j
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
18 
 
1.47 Supondo um sistema de coordenadas com 
orientação da mão direita, ache a direção e o sentido do 
eixo Oz. 
 
1.48 Para os vetores indicados na Figura 4, 
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do 
produto vetorial
A B
; 
(b) ache o módulo, a direção e o sentido do 
produto vetorial 
B A
 
 
1.49 Encontre o produto vetorial 
A B
 
expresso em termos dos vetores unitários. 
Qual o módulo deste produto vetorial? 
 
1.50 Para os vetores indicados na Figura 5, 
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do 
produto vetorial 
A B
; 
(b) ache o modulo, a direção e o sentido do 
produto veional 
B A
. 
 
 PROBLEMAS 
 
1.51 A milha é uma unidade de comprimento 
muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo 
que l mi é aproximadamente igual a 1,61 km, calcule: 
(a) o número de metros quadrados existentes 
em uma rnilha quadrada; 
(b) decímetros cúbicos existentes em uma 
milha cúbica. 
 
1.52 Suponha que uma fazenda seja avaliada 
em R$ 4,00 o metro quadrado. Calcule o preço desta 
fazenda sabendo que sua áreatotal é igual a 100 milhas 
quadradas. 
 
1.53 O Maser de Hidrogénio. As ondas de 
rádio geradas por um maser de hidrogénio podem ser 
usadas como um padrão de freqüência. Afreqüência 
dessas ondas é igual a 1420405751.786 hertz. (Um 
hertz significa o mesmo que um ciclo por segundo.) 
Um relógio controlado por um maser de hidrogênio 
pode atrasar ou adiantar apenas l s em 100.000 anos. 
Para as respostas das perguntas seguintes, use apenas 
três algarismos significativos. (O grande número de 
algarismos significativos nesta frequência ilustra a 
impressionante acurácia desta medida). 
(a) Qual é o intervalo de tempo de um ciclo desta 
onda de rádio? 
(b) Quantos ciclos ocorrem em 1h ? 
(c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a 
idade da Terra, estimada em 4,6.10
9
 anos? 
(d) Quantos segundos um relógio controlado por um 
maser de hidrogênio poderia atrasar ou adiantar durante 
a idade da Terra? 
 
1.54 Estime o número de átomos existentes em seu 
corpo. 
(Sugestão: com base em seus conhecimentos de 
biologia e de química; diga quais os tipos mais comuns 
de átomos existem em seu corpo. Qual a massa de cada 
um destes átomos? O Apêndice D apresenta uma 
relação das massas dos diferentes elementos, expressas 
em unidades de massa atómica; você encontrará o valor 
De uma unidade de massa atômica). 
 
1.55 (a) Estime o número de dentistas em sua 
cidade. Você deve considerar nesta estimativa o número 
de habitantes, a frequência com a qual se costuma ir a 
um dentista, a duração típica de um procedimento no 
tratamento dentário (obturações, tratamento de canais 
etc.) e quantas horas um dentista trabalha durante a 
semana. Confira sua estimativa consultando uma lista 
Telefônica local. 
 
1.56 Os matemáticos, os físicos e outros 
pesquisadores trabalham com números grandes. Os 
matemáticos inventaram o nome extravagante de 
googol para designar 10
100
 . Vamos comparar alguns 
números grandes existentes na física com o googol. 
{Nota: Este problema necessita do uso de alguns 
valores numéricos nos apêndices deste livro, com os 
quais seria conveniente você se familiarizar.} 
(a) Estime o número aproximado de átomos 
existentes em nosso planeta. Para facilitar, considere a 
massa atómica dos átomos igual a 14 g/mol. O número 
de Avogadro fornece o número de átomos existentes em 
um mol. NA = 6.02.10
23
 átomos/mol. 
(b) Estime o número aproximado de nêutrons 
existentes em uma estrela de nêutrons. Uma estrela de 
nêutrons é constituída quase que exclusivamente de 
nêutrons e possui massa igual a duas vezes amassa do 
Sol. 
(c) Na teoria principal acerca da origem do 
universo, todo o universo observável ocupava em em 
tempos primordiais um raio igual à atual distância entre 
a Terra e o Sol. Naquela época, o universo possuía 
densidade (massa/volume) de 10
15
 g/cm
3
 . 
Estime o número de partículas existentes no 
universo supondo que naquela época a composição das 
partículas era: 1/3 de prótons, 1/3 de elétrnns e 1/3 de 
nêutrons. 
 
1.57 Você deseja programar o movimento do 
braço de um robô em uma linha de montagem. Seu 
primeiro deslocamento é 
A
 A; seu segundo 
deslocamento é 
B
, cujo módulo é igual a 6,40 cm, 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
19 
orientado formando um ângulo de 63,0°, medido 
considerando-se uma rotação do eixo +0x para o eixo 
Oy. A resultante 
C A B dos dois deslocamentos 
deve também possuir módulo igual a 6,40 cm, porém 
formando um ângulo de 22,0°, medido considerando- 
se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy. 
(a) Desenhe um diagrama em escala aproximada 
para estes vetores. 
(b) Ache os componentes de 
A
. 
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido de 
A
. 
 
FIGURA 6 - Exercício 1.58 
 
 
 
 37,0
0
 
12,0A m
 
 
 
 
60,0
0
 40,0
0
 
 
6,0C m
 
15,0B m
 
1.58 
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido do 
vetor 
R
 que é a soma dos vetorea 
,A eB C
Figura6. 
Desenhe um diagrama para mostrar como 
R
é formado 
com a soma os três vetores indicados na Figura 6. 
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido do 
vetor 
S C A B
. Desenhe um diagrama para 
mostrar como 
S
 é formado com os três vetores 
indicados na Figura 6. 
 
1.59 Como dissemos no Exercício 1.31. uma 
espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre 
180 m em linha reta de leste para oeste; depois caminha 
210m em uma direção que forrna 45° com a direção 
anterior e em sendito do do sul para o leste, a seguir 
percorre 280 m a 30° no sentido do norte para o leste. 
Depois de um quarto deslocamento, ela retorna ao 
ponto de partida. Use o método dos componentes para 
determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto 
deslocamento. Verifique quê a solução obtida usando-se 
um diagrama sm escala é, aproximadamente igual ao 
resultado obtido pelo método dos componentes. 
 
1.60 Uma velejadora encontra ventos que 
impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km 
de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e 
depois uma certa distância em direção desconhecida. 
No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km 
diretamente a leste de seu ponto de partida (Figura 7 ). 
Dê o módulo. a direção e o sentido do terceiro 
deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma 
vetorial dos deslocamentos e mostres que eles 
concordam aproximadamente ocorrem com o resultado 
obtido mediante a solução numérica. 
 
1.61 Um esquiador percorre 2.80 km com 
ângulo de 45,0° considerando rotação em sentido do sul 
para o oeste, a seguir 7,40 km a 30,0° em sentido do 
leste para o norte, e finalmente 3,30 km a 22.0° em 
sentido do oeste para o sul. 
(a) Mostre estes deslocamentos em um 
diagrama, 
(b) Qual é a distância entre o início ë o fim do 
trajeto? 
 
FIGURA 6 - Exercício 1.60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.62 Em um voo de treinamento, uma aprendiz 
de piloto voa de Lincoln, no Estado de NeBraska: até 
Clarinda, no lowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri; 
depois até Manhattan, no Kansas (Figura l .30). Os 
ângulos formados pêlos deslocamentos são medidos em 
relação ao norte: 0° significa o sentido do sul para o 
norte. 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o 
método dos componentes para achar 
(a) a distância que ela terá de voar para voltar 
para Lincoin; b) a direção e o sentido que ela deverá 
voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução 
fazendo um diagrama vetorial. 
(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na 
floresta fomecendo-lhe o vetor deslocamento, calculado 
pelo método dos componentes, necessário para que ele 
retome para sua cabana. 
 
1.64 Uma artista está criando um novo 
logotipo para a página de sua companhia na Internet. 
No programa gráfico que ela está usando, cada pixel em 
um arquivo de imagem possui coordenadas (x, y) onde a 
origem (0,0) está situada no canto superior esquerdo da 
imagem, o eixo +Ox aponta para a direita e o eixo +Oy 
aponta para baixo. As distâncias são medidas em pixels. 
(a) A artista desenha uma linha ligando o local 
do pixel (10,20) com o local (210,200). Ela deseja 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
20 
desenhar uma segunda linha que começa em (10,20), 
tem comprimento de 250 pixels e forma um ângulo de 
30
0
 medindo no sentido dos ponteiros do relógio a partir 
da direção inicial. Qual o local do pixel no qual esta 
segunda linha deve terminar? 
(b) A artista agora desenha uma flecha ligando 
a extremidade direita inferior da primeira linha com a 
extremidade direita inferior da segunda linha. 
Determine o módulo, a direção e o sentido desta flecha. 
Faça um diagrama mostrando as três linhas. 
 
1.64 Um explorador de uma densa floresta na 
África equatorial deixa sua cabana. Ele dá 40 passos no 
sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que 
forma 60
0
 considerando a rotação no sentido de oeste 
para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul. 
(a) Faça um diagrama aproximadamente em 
escala dos três vetores e da resultante da soma vetorial. 
(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na 
floresta fornecend-lhe o o vetor deslocamento, 
calculado a partir do método das componentes, 
necessário para que ele retorne a sua cabana. 
 
1.65 Os vetores 
,A
 e 
B
 são desenhados a 
partir de um ponto. O vetor 
A
 possui módulo 
A
 e 
forma um ângulo θA, medido supondo-se uma rotação 
no sentido do eixo +0x para o eixo +0y. As grandezas 
correspondentes do vetor 
B
 são o módulo 
B
 e o 
ângulo θB Logo: 
ˆ ˆcos A AA A i A sen j
 
ˆ ˆcos B BB B i B sen j
 
(a) Deduza a Equação: 
cosA B A B
 
B A
 
(b) Mostre que: 
x x y yA B A B A B
 
Observação: Para vetores em 3-D: 
x x y y z zA B A B A B A B
 
Onde: 
ˆˆ ˆcos cos cos
x y zA A A
A A i A j A k
ˆˆ ˆ
x y zA A i A j A k
 
 
ˆˆ ˆcos cos cos
x y zB B B
B B i B j B k
ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 6 - Exercício 1.62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.66 Para os vetores A e a desenhados na 
Figura 6, 
(a) Ache o produto escalar 
A B
; 
(b) Determine o módulo, a direçao e o sentido 
do produto vetorial 
A B
. 
 
1.67 A Figura 7 mostra um paralelogramo 
cujos lados são os vetores 
A
 e 
B
. 
(a) Mostre que o módulo do produto vetorial 
destes vetores é igual à área deste paralelogramo. 
(Sugestão: área = base. altura.) 
(b) Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o 
plano deste paralelogramo? 
 
1.68 O vetor 
A
 possui comprimento de 3,50 
cm e aponta para o interior desta página. O vetor 
B
aponta do canto direito inferior desta página para o 
canto esquerdo superior desta página. Defina um 
sistema apropriado de coordenadas com orientação da 
mão direita e ache os três componentes do produto 
vetorial 
A B
, medidos em cm
2
. Faça um diagrama 
mostrando o sistema de coordenadas e os vetores 
A
, 
B
 e 
A B
. 
 
1.69 Dados dois vetores: 
ˆˆ ˆ2 3 4A i j k
 
 e 
ˆˆ ˆ3 1 3A i j k
 
determine: 
(a) o medulo de cada vetor; 
(b) uma expressão para a diferença vetorial 
A B
 usando vetores unitários; 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
21 
(c) o módulo da diferença vetorial 
A B
 
(d) É este valor igual ao módulo da diferença 
vetorial 
B A
? Explique. 
 
1.70 Ângulo da ligação no metano. Na 
moléculado metano, CH4, cada átomo de hidrogênio 
ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro 
se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas 
de tal modo que uma das ligações C—H esteja na 
direção 
ˆˆ ˆi j k
 , uma ligação C—H adjacente estará 
na direção 
ˆˆ ˆi j k
. Calcule o ângulo entre estas duas 
ligações. 
 
1.71 Os dois vetores A e B são desenhados a 
partir de um mesmo ponto e 
C A B
 
(a) Mostre que quando C
2
 = A
2
 + B
2
 o ângulo 
entre os vetores 
A
 e 
B
 é 90°. 
(b) Mostre que quando C
2
 < A
2
 + B
2
 , 
o ângulo entre os vetores 
A
 e 
B
 é maior do que 90°. 
(c) Mostre que quando C
2
 > A
2
 + B
2
 o ângulo 
entre os vetores 
A
 e 
B
está compreendido entre 0° e 
90°. 
 
1.72 Quando dois vetores 
A
 e 
B
são 
desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre 
eles é φ. 
(a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o 
módulo da soma destes vetores é dado por: 
2 2
2 cosA B A B A B
 
(b) Se 
A
 e 
B
possuem o mesmo módulo, qual 
deve ser õ valor 
A
 ou de 
B
? 
(c) Deduza um resultado análogo ao do item 
(a) para o módulo da diferença vetorial 
A B
. 
(d) Se 
A
 e 
B
possuem o mesmo módulo, qual 
deve ser o valor de φ para que o módulo de 
A B
seja 
igual ao módulo de 
A
 ou de 
B
?
 
 
1.73 Um cubo é colocado de modo que um dos 
seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam 
com os eixos +Ox, +Oy e +Oz de um sistema de 
coordenadas (Figura l .31). Use vetores para calcular 
(a) O ângulo entre a aresta ao longo do eixo 
+Oz (linha az) e a diagonal da origem até o vértice 
oposto (linha ad); 
(b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de 
uma das faces) e a linha ad. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74 
 
 
 z 
 
 
 b c 
 
 d 
 a 
 y 
 
 x 
 
1.74 Obtenha um vetor unitário ortogonal 
aos dois vetores indicados no Problema l .69. 
 
1.75 Mais tarde em nossos estudos de física 
encontraremos grandezas representadas por 
A B C
. 
(a) Quaisquer que sejam os vetores 
A
 ,
B
e 
C
, prove que: 
A B C A B C
 
(b) Calcule 
A B C
para os três vetores 
seguintes: 
A
 com modulo 5.00 e ângulo θA = 26,0° 
medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +0x 
para o eixo +0y, 
B
 com módulo 4,00 e ângulo θB = 
63,0° e 
C
 com módulo 6,00 e orientado ao longo do 
eixo +0z. Os vetores A e B estão sobre o plano xy. 
 
 PROBLEMAS DESAFIADORES 
 
1.76 O comprimento de um retângulo é dado 
por L ± l e sua largura é W ± w. 
(a) Mostre que a incerteza na área A é dada por 
a = Lw + W. Suponha que as incertezas l e w sejam 
pequenas, de modo que o produto lw é muito pequeno e 
pode ser desprezado, 
(b) Mostre que a incerteza fracionária na área é 
igual à soma da incerteza fracionária do comprimento 
com a incerteza fracionária da largura, 
(c) Um paralelepípedo possui dimensões L± l, 
W ±w e H ±h. Ache a incerteza fracionária do seu 
volume e mostre que ela é igual à soma das incertezas 
fracionárias do comprimento, da largura e da altura. 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
22 
1.77 Em um jogo de futebol, a bola está 
inicialmente no centro do campo. Considere um sistema 
de coordenadas Oxy no plano do campo e cujo centro O 
coincida com o centro do campo. Depois do primeiro 
chute, a bola se encontra na posição 
ˆ ˆ3 4i j
 onde 
as unidades são em metros. Determine: 
(a) o módulo do deslocamento inicial da bola, 
(b) o ângulo entre este vetor e o eixo +0x. 
 
1.78 Navegando no Sistema Solar. A 
espaçonave Mars Polar Lander (explorador do pólo de 
Marte) foi lançada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de 
dezembro de 1999 ela pousou na superfície de Marte, 
ocasião em que as posições de Marte e da Terra eram 
dadas pelas coordenadas: 
 x y z 
Terra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UA 
Marte 1.3087UA -0,4423 UA -0,0414 UA 
 
 Nessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da 
órbita da Terra é o plano xy. A Terra corta o eixo +Ox 
uma vez por ano no equinócio de outono no Hemisfério 
Norte (ou primavera no hemisfério Sul, o que ocorre no 
dia 22 de setembro). Uma UA, ou Unidade 
Astronômica, equivale a 1.496.10
8
 km, a distância 
média entre a Terra e o Sol. 
 (a) Em um diagrama, mostre as posições da 
Terra, de Marte e do Sol no dia 3 de dezembro de 1999. 
(b) Calcule as seguintes distâncias em UA no 
dia 3 de dezembro de 1999: 
(i) entre o Sol e a Terra, 
(ii) entre o Sol e Marte, 
(iii) entre a Terra e Marte 
(c) Observando da Terra, qual era o ângulo 
entre a reta que unia a Terra a Marte e a reta que unia a 
Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999? 
(d) Verifique e explique se Marte era visível à 
meia-noite no seu local no dia 3 de dezembro de 1999. 
(Quando é meia noite no horário local, o Sol está do 
lado oposto da Terra relação a você.) 
 
1.79 Navegando na Ursa Maior. As sete 
estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre 
situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas 
estejam muito afastadas entre si. A Figura indica a 
distância entre a Terra e cada uma dessas estrelas. 
As distâncias são dadas em anos-luz (al), um ano-luz é 
a distância percorrida pela luz durante um ano. Um ano-
luz equivale a 9.461.10
15
 m. 
(a) Alcaide e Méraque estão separadas de 
25,6° no céu. Em um diagrama, mostre as posições do 
Sol, de Alcaide e Méraque. Calcule a distância em 
anos-luz entre Alcaide e Méraque. 
(b) Para um habitante de um planeta que orbita 
Méraque, qual seria a separação angular entre o Sol e 
Alcaide? 
 
1.80 O vetor 
ˆˆ ˆr x i y j z k
denomina-se vetor posição e aponta da Origem uo 
Sistema de coordenadas (0,0,0) para o espaço cujas 
coordenadas são (x, y, z). Use seus conhecimentos sobre 
vetores para provar o seguinte: 
Todos os pontos (x, y, z)que satisfazem a 
equação Ax + By + Cz = 0, onde A, B e C são 
constantes, estão situados em um plano que passa na 
origem e é ortogonal ao vetor 
ˆˆ ˆA i B j C k
. 
Faça um esquema deste vetor e do plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 8 - Problema 1.79 
 
: Alcaide (1.38 al) 
: Mizar (73 al) 
: Arioto (64 al) 
: Megrez (81 al) 
: Feeda (80 al) 
: Dube(105 al) 
: Méraque (77 al) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
23 
 QUESTÕES PARA DISCUSSÃO 
 
Q2.1 O velocímetro de um automóvel mede a 
velocidade escalar ou o vetor velocidade? Explique. 
 
Q2.2 Maria afirma que uma velocidade com 
módulo igual a 60 km/h é equivalente a uma velocidade 
com módulo igual a 17 m/s. Qual foi o erro percentual 
cometido por ela nessa conversão de unidades? 
 
Q2.3 O limite de velocidade nas estradas de alguns 
países da Europa é de 110 km/h. Diga qual é o valor 
desse limite em m/scom aproximação de três algarismos 
significativos. 
 
Q2.4 Em que condições uma velocidade média 
pode ser igual a uma velocidade instantânea? 
 
02.5 Para um determinado intervalo de tempo, o 
deslocamento total é dado pelo produto da velocidade 
media pelo intervalo de tempo. Essa afirmação continua 
válida mesmo quando a velocidade não é constante. 
Explique. 
 
Q2.6 Sob quais condições o módulo do velor 
velocidade media e igual ao módulo da velocidade 
escalar. 
 
Q2.7 Para lazer um mesmo percurso um carro de 
potência menor levou o dobro do tempo de outro carro 
com maior potência. Como estão relacionadas as 
velocidades medias desses carros. 
 
Q2.8 Um motorista em Massachusells foi 
submetido a julgamentopor excesso de velocidade. A 
evidencia contra o motorista foi o depoimento de um 
policial que notou que o carro do acusado estava 
emparelhado com um secundo carro que o ultrapassou. 
Segundo o policial, o segundo carro já havia 
ultrapassado o limite de velocidade. O motorista 
acusado se defendeu alegando que "o segundo carro me 
ultrapassou, portanto eu não estava acelerando". O Juiz 
deu a sentença contra o motorista, porque, pelas 
palavras do Juiz, "se dois carros estão emparelhados, 
ambos estavam acelerando". Se você fosse o advogado 
de defesa do motorista acusado, como contestaria? 
 
Q2.9 É possível ter deslocamento nulo e 
velocidade media diferente de zero? E uma velocidade 
instantânea? Ilustre suas respostas usando um gráfico 
x-t. 
 
Q2.10 Pode existir uma aceleração nula e uma 
velocidade diferente de zero?' Ilustre suas respostas 
usando um gráfico v-t. 
Q2.11 É possível ter uma velocidade nula e 
uma aceleração média diferente de zero? Velocidade 
nula e uma aceleração instantânea diferente de zero? 
Ilustre suas respostas usando um gráfico v-t. 
 
Q2.12 um automóvel está se deslocando de 
leste para oeste. Ele pode ler uma velocidade orientada 
para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada 
para leste? Em que circunstâncias? 
 
Q2.13 A caminhonete oficial da Figura 2.2 
está em x1 = 277 m para t1 = 16.0 s e em x2 = l9 m para 
t2 = 25.0 s. 
(a) Desenhe os diferentes grálicos possíveis 
para o movimento da caminhonete. As duas velocidades 
medias vm durante os intervalos de tempo de t1 até t2 
possuem o mesmo valor nos dois gráficos? Explique. 
 
Q2.14 Em movimento com aceleração 
constante, a velocidade de uma partícula e igual á 
metade da soma da velocidade inicial com a velocidade 
final. Isto é verdade quando a aceleração não é 
constante? Explique. 
 
Q2.15 Você lança uma bola de beisebol 
verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima 
maior do que sua altura. O módulo da aceleração e 
maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois 
que ela deixa a sua mão? Explique. 
 
Q2.16 Prove as seguintes afirmações: 
(i) Desprezando os efeitos do ar, quando você 
lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele 
possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento 
tanto durante a ascensão quanto durante a queda. 
(ii) O tempo total da Irajelória e igual ao dobro 
do tempo que o ohjeto leva para atingirsua altura 
máxima. 
 
Q2.17 No Exemplo 2.7 substituindo y = -18.4 
m na Equação (2.13) obtemos v = ± 24.2 m/s. A raiz 
negativa é a velocidade para t = 4.00 s. Explique o 
significado da raiz positiva. 
 
Q2.18 A posição inicial e a velocidade inicial 
de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da 
aceleração a cada instante. Pode a posição do veículo 
depois de um certo tempo ser determinada a partir 
destes dados? Caso seja possível, explique como isto 
poderia ser feito. 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
24 
 EXERCÍCIOS 
 
 SEÇÃO 2.2 
 DESLOCAMENTO. 
 TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA 
 
2.1 Um foguete transportando um satélite e acelerado 
verticalmente a partir da superfície terrestre. Após l.15 s 
de seu lançamento, o foguete atravessa o topo de sua 
plataforma de lançamento a 63 m acima do solo. Depois 
de 4.75 s adicionais ele se encontra a l .00 km acima do 
solo. Calcule o modulo da velocidade média do foguete 
para 
(a) o trecho do voo correspodente ao intervalo 
de 4,75 s; 
(b) os primeiros 5 s do seu voo. 
 
2.2 Em uma experiência, um pomho-correio 
foi retirado de seu ninho, levado para um local a 5150 
km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho depois de 
13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo 
+Ox ate o ponto onde ele foi libertado. Qual a 
velocidade media do pomho-correio em m/s 
(a) para o vôo de retorno ao ninho? 
(b) para o trajeto todo. desde o momento em 
que ele é retirado do ninho ate seu retorno? 
 
2.3 Uma viagem de carro de San Diego a Los 
Angeles dura 2 h e 20 min quando você dirige o carro 
com uma velocidade media de 105 km/h. Em uma 
sexta-feira na parte da tarde, contudo, o trânsito está 
muito pesado e você percorre a mesma distância com 
uma velocidade media de 70 km/h. Calcule o tempo que 
você leva nesse percurso. 
 
2.4 De um pilar até um poste. Começando em 
um pilar, você corre 200 m de oeste para leste (o 
sentido do eixo +Ox) com uma velocidade média de 5.0 
m/s e a seguir corre 280 m de leste para oeste com uma 
velocidade média de 4.0 m/s até um poste. Calcule 
(a) sua velocidade escalar do pilar até o poste: 
(b) o módulo do velor velocidade média do 
pilar até o poste. 
 
2.5 (a) Seu carro velho pode desenvolver uma 
velocidade média de 8.0 m/s durante 60 s. a seguir 
melhorar o desempenho e uma velocidade média de 
20,0 m/s durante 60 s. Calcule sua velocidade média 
para o intervalo total de 120 s. 
(b) Suponha que a velocidade de 8.0 m/s seja 
mantida durante um deslocamento de 240 m, seguido de 
uma velocidade média de 20.0 m/s em outro 
deslocamento de 240 m. Calcule a velocidade média 
para o deslocamento total, 
(c) Fim qual dos dois casos a velocidade 
escalar do percurso total é igual à média das duas 
velocidades escalares? 
 
2.6 Um carro percorre um trecho retilíneo ao 
longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de 
parada é uma função do tempo dada por: 
2 3x t t t
 , onde = l.50 m/s
2
 e 
 = 0.0500 m/s
3
 . Calcule a velocidade média do carro 
para os seguintes intervalos de tempo: 
(a) t = 0 até t = 2.00 s; 
(b) t = 0 até t = 4.00 s; 
(c) t = 2 s até t = 4.00 s. 
 
 SEÇÃO 2.3 
 VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
 
2.7 Um carro pára em um semáforo. A seguir ele 
percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância 
ao sinal é dada por : 
2 3x t b t c t
, onde b = 2.40 m/s
2
 e c = 
0.120 m/s
3
; 
(a) Calcule a velocidade média do carro para o 
intervalo de tempo t = 0 até t = 10.0 s. 
(b) Calcule a velocidade instantânea do carro para 
(i) t = 0 
(ii) t = 5.0 s 
(iii) t = 10,0 s 
(c) Quanto tempo após partir do repouso o carro 
retorna novamente ao repouso? 
 
2.8 Uma professora de física sai de sua casa e se 
dirige a pé para o campus. Depois de 5 min começa a 
chover e ela retorna paracasa. Sua distância da casa em 
função do tempo é indicada pelo gráfico da Figura 2.25. 
Em qual dos pontos indicados sua velocidade e 
(a) zero? (b) constante e positiva? 
(c) constante e negativa? (d) crescente em módulo? 
(e) decrescente em módulo? 
 
FIGURA 1 - Problema 2.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
25 
 SEÇÃO 24 
 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA 
 ACELERAÇÃO MÉDIA 
 
2.9 Em um teste de um novo modelo de automóvel 
da empresa Motores Incríveis, o veloeímetro é calibrado 
para ler m/s em vê de km/h. A série de medidas a seguir 
foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada 
retilínea muito longa: 
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 
Velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22 
 
(a) Calcule a aceleração media durante cada 
intervalo de 2.0 s. A aceleração é constante? Ela é 
constante em algum trecho do teste? 
(b) Faça um gráfico v-t dos dados tabelados usando 
escalas de l cm = l s no eixo horizontal e de l cm = 1 s 
no eixo vertical. Desenhe uma curva entre os pontos 
piotados. Medindo a inclinação dessa curva, calcule a 
aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e 
t = 15 s. 
 
2.10 A Figura 2.26 mostra a velocidade em função 
do tempo de um carro movido a energia solar. O 
motorista acelera a partir de um sinal de parada e se 
desloca durante 20 s com velocidade constante de 60 
km/h, e a seguir pisa no freio e pára 40 s após sua 
partida do sinal. Calcule sua aceleração média para os 
seguintes intervalos de tempo: 
(a)t = 0 até t = 10 s; 
(b) t = 30 s até t = 40 s; 
(c) t = 10 s até t = 30 s; 
(d) t = 0 até t = 40 s. 
c (km/li) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2 - Exercícios 2.10 e 2.l l. 
 
2.11 Tome como referência o Exercício 2. IO c 
a Figura 2.26. 
(a) Em qual intervalo de tempo a aceleração 
instantânea a possui seu maior valor positivo? 
(b) Em qual intervalo de tempo a aceleração 
instantânea u possui seu maior valor negativo? 
(c) Qual é a aceleração instantânea a para t = 
20 s? 
(d) Qual é a aceleração instantânea a para t = 
35 s? 
(e) Faça um diagrama do movimento (como o 
da Figura 2. 
(f) mostrando a posição, a velocidade e a 
aceleração do carro para os tempos t =5 s, t = 15 s, t 
=25 s t = 35 s. 
 
2.12 Um astronauta saiu da Estação Espacial 
Internacional para testar um novo veículo espacial. Seu 
companheiro permanece a bordo e registra as seguintes 
variaçóes de velocidade, cada uma ocorrendo em 
intervalos de 10 s. Determine o módulo, a direção eo 
sentido da aceleração média cm cada intervalo. 
Suponha que o sentido positivo seja da direita para a 
esquerda, 
(a) No início do intervalo o astronauta se move 
para a direita ao longo do eixo +Ox com velocidade de 
15,0 m/s e no final do intervalo ele se move para a 
direita com velocidade de 5.0 m/s. 
(b) No início do intervalo o astronauta se move 
a 5.0 m/s para a esquerda e no final se move para a 
esquerda com velocidade de 15.0 m/s. 
(c) No início do intervalo ele se move para a 
direita com velocidade de 15.0 m/s e no final se move 
para a esquerda com velocidade de 15,0 m/s. 
 
2.13 (a) Com base em sua experiência de 
dirigir um automóvel, estime o módulo da aceleração 
média de um carro quando pisa forte no freio em uma 
pista de alta velocidade até uma parada repentina, 
(b) Explique por que essa aceleração média 
poderia ser considerada positiva ou negativa. 
 
2.14 A velocidade de um carro em função do 
tempo é dada por 
2v t t
 
Onde = 3.00 m/s e = 0.1 m/s
3
 
(a) Calcule a aceleração média do carro para o 
intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,00 s. 
(b) Calcule a aceleração instantânea para 
(i) t = 0s; (ii) t = 5,00 s. 
(c) Desenhe gráficos acurados v-t e a-t para o 
movimento do carro entre t = 0 e t = 5,00 s. 
 
2.15 A Figura 3 mostra a coordenada de uma 
aranha que se desloca lentamente ao longo do eixo 0x 
(a) Faça um gráfico de sua velocidade e 
aceleração em função do tempo, 
(b) Faça um diagrama do movimento 
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da 
aranha para cinco tempos: t1 = 2,5 s, t2 = 10 s, t3 = 20 s, 
t4 = 30 s e t5 = 37.5 s. 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
26 
 
FIGURA 3 – Exercício 2.15. 
 
 x(t) (m) 
 
 Linha Parábola Linha 
 reta reta 
 
 
 Parábola Parábola 
 
 
 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t(s) 
 
2.16 Um microprocessador controla a posição 
do pára-choque dianteiro de um carro usado em um 
teste. A posição é dada pela equação 
2 2 6 62.17 4.80 0.1x t m m s t m s t
 Determine: 
(a) sua posição e aceleração para os instantes em que 
o carro possui velocidade zero. 
(b) Desenhe gráficos x-tl, v-t e a-t para o movimento 
do pára-choque entre t =0 e t = 2.00 s. 
 
 SEÇAO 2.5 
 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO 
CONSTANTE 
 
2.17 Um antílope que se move com aceleração 
constante leva 7.00 s para percorrer uma distância de 
70.0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo 
ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s. 
 
(a) Qual era sua velocidade quando passava pelo 
primeiro ponto? 
(b) Qual era sua aceleração? 
 
2.18 Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de 
um porta-avióes. um caça a jato atinge a velocidade de 
decolagem de 270 km/h em uma distância aproximada 
de 90 m. Suponha aceleração constante, 
(a) Calcule a aceleração do caça em m/s
2
. 
(b) Calcule o tempo necessário para o caça atingir 
essa velocidade de decolagem. 
 
2.19 Airbag de Automóvel. O corpo humano pode 
sobreviver a um trauma por acidente com aceleração 
negativa (parada súbita) quando o módulo de aceleração 
é menor do que 250 m/s
2
 (cerca de 25g'). Suponha que 
você sofra um acidente de automóvel com velocidade 
de 105 km/h e seja amortecido por um airbag que se 
infla automaticamente. Qual deve ser a distância que o 
airbag se deforma para que você consiga sobreviver? 
 
2.20 Um avião precisa de 280 m de pista para 
atingir a velocidade necessária para decolagem. Se ele 
parle do repouso, se move com aceleração constante e 
leva 8.0 s no percurso, qual é sua velocidade no 
momento da decolagem? 
 
2.21 Um carro está parado na rampa de acesso de 
uma auto-cstrada. esperando uma diminuição do 
tráfego. O motorista verifica que existe um espaço 
vazio entre um caminhão com l8 rodas e uma 
caminhonete e acelera seu carro para entrar na auto-
estrada. O carro parte do repouso, se move ao longo de 
uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 m/s no 
final da rampa de 120 m de comprimento, 
(a) Qual e a aceleração do carro? 
(b) Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa? 
(c) O tráfego na auto-estrada se move com uma 
velocidade constante de 20 m/s. Qual é o deslocamento 
do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa? 
 
2.22 A Figura 4 foi desenhada para movimento 
com aceleração constante com valores positivos de x0, 
v0 e a. Refaça essas quatro figuras para os seguintes 
casos: 
(a) x0 < 0; v0 < 0 e a < 0. 
(b) x0 > 0; v0 < 0 e a > 0. 
(c) x0 > 0; v0 > 0 e a < 0. 
 
FIGURA 4 – Exercício 2.22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.23 No instante t = 0 um carro está se 
movendo ao longo de uma auto-estrada no Estado de 
São Paulo com uma velocidade constante de 30 m/s. 
Esse movimento continua durante 20 s. A seguir, para 
não atrapalhar o tráfego, o motorista resolve acelerar 
com uma taxa constante, elevando a velocidade do 
carro até 40 m/s. Q carro se move durante 10 s com esta 
nova velocidade. Porem o motorista avista um policial 
em uma motocicleta escondido atrás de uma árvore e 
diminui sua velocidade com uma taxa constante de 4.0 
m/s ale que a velocidade do carro se reduz ao limite 
legal de 30 m/s. Ele então mantém essa velocidade e 
acena para o policial quando passa por ele 5 s mais 
tarde, 
(a) Para o movimento do carro desde o instante 
t = O até o momento em que ele cru/.a com o policial, 
desenhe gráficos acurados x-t. v-t e a-t. 
(b) Faça um diagrama do movimento 
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração do 
carro. 
 
2.24 Para t = 0 um carro pára em um semáforo. 
Quando a luz fica verde, o carro começa a acelerar com 
uma taxa constante. Elevando sua velocidade para 20 
m/s, 8 s depois de a luz ficar verde, ele se move com 
essa nova velocidade por uma distância de 60 m. A 
seguir, o motorista avista uma luz vermelha no 
cruzamento seguinte e começa a diminuir a velocidade 
com uma taxa constante. O carro pára no sinal vermelho 
a l80 m da posição para t = 0. 
(a) Para o movimento do carro, desenhe 
gráficos acurados de x-t, v-t e a-t. 
(b) Faça um diagrama do movimento 
mostrando aposição, a velocidade e a aceleração do 
carro. 
 
2.25 O gráfico da Figura 5 mostra a velocidade 
da motocicleta de um policial em função do tempo, 
(a) Calcule a aceleração instantânea para t = 3 
s, t = 1 s e t = l l s. 
(b) Qual foi o deslocamento do policial nos 5 s 
iniciais? E nos 9 s iniciais? E nos 13 s iniciais? 
 
2.26 O gráfico da Figura 2.29 mostra a 
aceleração de um modelo de locomotiva que se move 
no eixo Ox.Faça um gráfico da velocidade e da posição 
sabendo que x = 0 e v = O para t = 0. 
 
FIGURA 5 – Exercício 2.25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.27 Uma espaçonave se dirige em linha reta 
para a Base Lunar I situada a uma distância de 384000 
km da Terra. Suponha que ela acelere 20,0 m/s
2
 durante 
os primeiros 15.0 minutos da viagem e a seguir viaje 
com velocidade constante até os últimos 15.0 minutos, 
quando acelera a -20,0 m/s
2
, atingindo o repouso 
exalamente quando toca a Lua. 
(a) Qual foi a velocidade máxima atingida? 
(b) Qual foi a Iração do percurso total durante 
o qual ela viajou com velocidade constante? 
(c) Qual foi o tempo total da viagem? 
 
2.28 Um trem de metro parte do repouso em 
uma estação acelera com uma taxa constante de l .60 
m/s
2
 durante 14.0 s. Ele viaja com velocidade constante 
durante 70.0 s e reduz a velocidade com uma taxa 
constante de 3,50 m/s
2
 até parar na estação seguinte. 
Calcule a distância total percorrida. 
 
2.29 Dois carros, A e R. se movem no eixo 0x. 
O gráfico da figura 6 mostra as posições de A e B em 
função do tempo. 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
28 
(a) Faça um diagrama do movimento 
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração do 
carro para t =0, t = l s e t = 3s. 
(b) Para que tempo(s) caso exista algum A e B 
possuem a mesma posição? 
(c) Faça um gráfico da velocidade contra o 
tempo para A e B. 
(d) Para que tempo(s), caso exista algum, A e B 
possuem a mesma velocidade? 
(e) Para que tempo(s), caso exista algum, o 
carro B passa o carro A? 
 
FIGURA 6 – Exercício 2.28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.30 Quando uni sinal luminoso fica verde, um 
carro que eslava parado começao movimento com 
aceleração constante de 3.20 m/s . No mesmo instante, 
uni caminhão que se desloca com velocidade constante 
de 20,0 m/s ultrapassa o carro. ai y>ial a distância 
percorrida a partir do sinal para qiiL' o carro ultrapasse 
o caminhão? 
(b) Qual é a velocidade do carro no momento 
em que ultrapassa o caminhão? 
(c) Faça um gráfico x-t dos movimentos desses 
dois veículos. Considere x = 0 o ponto de interseção 
inicial. 
(d) Faça um gráfico v-t dos movimentos desses 
dois veículos. 
 
2.31 Um carro se move com velocidade 
constante de módulo igual a vc . No momento em que o 
carro passa por um policial numa motocicleta, a 
motocicleta e acelerada a partir do repouso com uma 
aceleração aM, 
(a) Faça um gráfico x-t dos movimentos desses 
dois veículos. Mostre que quando a motocicleta 
ultrapassa o carro a velocidade da motocicleta e igual 
ao dobro da velocidade do carro, qualquer que seja o 
valor de aM. 
(b) Seja a distância percorrida pela motocicleta 
até alcançar o carro. Em lermos de d qual foi a distância 
percorrida pela motocicleta ate que sua velocidade fosse 
igual a do carro? 
 
 
 SEÇÃO 2.6 
 QUEDA LIVRE DE CORPOS 
 
2.32 Se a resistência do ar sobre as gotas de 
chuva pudesse sei desprezada poderíamos considerar 
essas gotas objetos em queda livre, 
(a) As nuvens que dão origem a chuvas estão 
em alturas típicas de algumas centenas de metros acima 
do solo. Estime a velocidade de unia gola de chuva ao 
cair no solo se ela pudesse ser considerada um corpo em 
queda livre. Forneça essa estimativa em m/s e km/h. 
(b) Estime (pela sua experiência pessoal sobre 
chuva) a velocidade real de unia gola de chuva ao cair 
no solo. 
(c) Com base nos resultados (a) e (b), verifique 
se e uma boa aproximação desprezar a resistência do ar 
sobre as gotas de chuva. Explique. 
 
2.33 (a) Se uma pulga pode dar um salto e 
atingir uma altura de 0.440 m. qual seria sua velocidade 
inicial ao sair do solo? 
(b) Durante quanto tempo ela permanece no 
ar? 
 
2.34 Descida na Lua. Um módulo explorador 
da l.ua esta pousando na Base -lunar l. Ele desce 
lentamente sob a ação dos retro-propulsores do motor 
de descida. O motor se separa do modulo quando ele se 
encontra a 5 m da superfície lunar e possui uma 
velocidade para baixo igual a 0.8 m/s. Ao se separar do 
motor, o modulo inicia uma queda livre. Qual é a 
velocidade do modulo no instante em que ele toca a 
superfície? 
A aceleração da gravidade na Lua é igual a l.6 
m/s
2
 . 
 
2.35 Um teste simples para o tempo de 
reaçao. Uma régua de medição e mantida verticalmente 
acima de sua mão com a extremidade inferior entre o 
polegar e o indicador. Ao ver a régua sendo largada, 
você a segura com estes dois dedos. Seu tempo de 
reaçao pode ser calculado pela distancia percorrida pela 
régua medida diretameiile pela posição dos seus dedos 
na escala da régua, 
(a) Deduza uma relação para seu tempo de 
reaçao em função da distância d. 
(b) Calcule o tempo de reação supondo uma 
distância medida igual a 17.0 cm. 
 
2.36 Um tijolo e largado (velocidade inicial 
nula) do alto de um edifício. Ele atinge o solo em 2.50 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
29 
s. A resistência do ar pode ser desprezada, de modo que 
o tijolo esta em queda livre, 
(a) Qual e a altura do edifício? 
(b) Qual e o modulo da velocidade quando ele 
atinge o solo? 
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o 
movimento do tijolo, 
 
2.37 Maria lança seu anel verticalmente para 
cima a partir do telhado de um edilício, a l2 m acima do 
solo com umavelocidade inicial de 5.0 m/s. Despreze a 
resistência do ar. Determine o modulo e o sentido 
(a) da velocidade media do anel, 
(b) da aceleração media do anel 
(c) Calcule o tempo que o anel leva para 
atingir o solo desde o momento em que ele foi lançado, 
(d) Qual e a velocidade do anel quando ele 
atinge o solo? 
(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o 
movimento do anel. 
 
2.38 Um balonista de ar quente que se desloca 
verticalmente para cima com velocidade constante de 
modulo igual a 5.0 m/s deixa cair um saco de areia no 
momento em que ele esta a uma distância de 40.0 m 
acima do solo (Figura 7). Depois que ele e largado, o 
saco de areia passa a se mover em queda livre, 
(a) Calcule a posição e a velocidade do saco de 
areia 0,20 s e l ,00 s depois que ele é largado. 
(b) Calcule o tempo que o saco de areia leva 
para atingir o solo desde o momento em que ele foi 
lançado, 
(c) Qual e a velocidade do saco de areia 
quando ele atinge o solo? 
(d) Qual e a altura máxima em relação ao solo 
atingida pelo saco de areia? 
(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o 
movimento do saco de areia. 
 
FIGURA 7 – Exercício 2.34 e 2.38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.39 Um estudante no topo de uni edifício joga 
uma bola com água verticalmente para baixo. A bola 
deixa a mão do estudante com uma velocidade de 6,0 
m/s. A resistência do ar é ignorada, de modo que a bola 
pode ser considerada em queda livre após o lançamento, 
(a) Calcule sua velocidade depois de 2.0 s de 
queda. 
(b) Qual a distância percorrida nesses 2.0 s? 
(c) Qual o modulo da velocidade quando a bola 
caiu 10,0 m? 
(d) Faça gráficos x-t, v-t e a–t para o 
movimento. 
 
2.40 Um ovo e atirado verticalmente de baixo 
para cima de um ponto próximo da cornija na 
extremidade superior de um edifício alto. Ele passa 
rente da cornija em seu movimento para baixo, 
atingindo um ponto a 50.0 m abaixo da cornija 5.0 s 
após ele abandonar a mão do lançador. Despreze a 
resistência do ar. 
(a) Calcule a velocidade inicial do ovo. 
(b) Qual a altura máxima atingida acima do 
ponto inicial do lançamento? 
(c) Qual o módulo da velocidade nessa altura 
máxima? 
(d) Qual o módulo e o sentido da aceleração 
nessa altura máxima? 
(e) Faça gráficos de x-t, v-t e a–t para o 
movimento do ovo. 
 
2.41 O Sonic Wind N
o
 2 é uma espécie de trenó 
movido por um foguete, usado para investigar os eleitos 
fisiológicos de acelerações elevadas. Fie se desloca em 
uma pista retilíncacom 1070 m de comprimento. 
Partindo do repouso pode atingir uma velocidade de 
224 m/s em 0.900 s. 
(a) Calcule a aceleração em m/s
2
 supondo que 
ela seja constante, 
(b) Qual a razão entre essa aceleração e a 
aceleração de um corpo em queda livre ? 
(c) Qual a distância percorrida cm 0.900 s? 
(d) Um artigo publicado por uma revista 
afirma que no final de uma corrida a velocidade desse 
trenó diminui de 2S3 km/h ate /ero em 1.40 s e que 
durante este intervalo de tempo a aceleração e maior 
que 40 g. Esses valores são coerentes? 
 
2.42 Uma pedra grande e expelida 
verticalmente de baixo para cima por um vulcão com 
velocidade inicial de 40.0 m/s Despreze a resistência do 
ar. 
(a) Qual e o tempo que a pedra leva, após o 
lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s 
de baixo para cima? 
(b) Qual o tempo que a pedra leva após o 
lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s 
de cima para baixo? 
(c) Quando o deslocamento da pedra e igual a 
zero? 
(d) Quando a velocidade da pedra e igual a 
zero? 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
30 
(e) Qual o módulo e o sentido da aceleração 
enquanto a pedra 
(i) está se movendo de baixo para cima? 
(ii) esta se movendo de cima para baixo? 
(iii) está no ponto mais elevado da sua 
trajetória? 
(f) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o 
movimento. 
 
2.43 Suponha que a aceleração da gravidade 
seja de apenas 0.98 m/s
2
 em vez de 9.8 m/s
2
 , porém a 
velocidade inicial para você pular ou lançar uma bola 
continua sendo a mesma, 
(a) Calcule a altura que você poderia atingir 
caso desse um salto para cima, sabendo que a altura 
atingida pelo salto com g = 9.81 m/s
2
 e igual a 0.75 m. 
(b) Ate que altura você poderia lançar uma 
bola, caso você lançasse a mesma bola ate uma altura 
de 18 m supondo g = 9.81 m/s
2
? 
(c) Supondo que você possa pular com 
segurança de uma janela para uma calçada situada a 
uma altura de 2.0 m da janela, considerando g = 9.8 
m/s
2
 . calcule a altura máxima da janela, considerando o 
valor reduzido da aceleração da gravidade. 
 
 
 SECAO 2.7 
 VELOCIDADE E POSIÇÃO POR 
INTEGRAÇÃO 
 
2.44 A aceleração de um ónihus e dada por 
( )a t t
 onde = l .2 m/s
3
 . 
(a) Se a velocidade do ônibus para t = l .0 s é igual 
a 5,0 m/s. qual e sua velocidade para 
(a) t = 2.0 s? 
(b) Se a posição do ônibus para t = l .0 s é igual a 
6,0 m, qual sua posição para t = 2.0 s? 
(c) Faça grálicos x-t, v-te a-t para esse movimento. 
 
2.45 A aceleração de uma motocicleta e dada por 
2( )a t A t B t
, onde A = l,5 m/s
3
 e B = 0.120 
m/s
4
 A motocicleta está em repouso na origem no 
instante t = 0. 
(a) Calcule sua velocidade e posição em função do 
tempo, 
(b) Calcule a velocidade máxima que ela pode 
atingir. 
 
 PROBLEMAS 
 
2.46 Em uma competição de bicicletas com 
percurso de 30 km, você percorre os primeiros 15 km 
com uma velocidade media de 12 km/h. Qual deve ser 
sua velocidade escalar media nos 15 km restantes para 
que sua velocidade escalar media no percurso total de 
30 km seja de 
(a) 6 km/h? 
(b) 18 km/h? 
(c) Dada a referida velocidade média para os 
primeiros 15 km. você poderia ou não atingir uma 
velocidade escalar media de 24 km/h no percurso total 
de 30 km? Explique. 
 
2.47 A posição de uma partícula entre t = 0 e t 
= 2,0 s é dada por: 
3 23 10 9x t t t t SI
 
(a) Faça gráFicos de x-t, v-t e a-t para essa 
partícula, 
(b) Para que tempo entre t = 0 s e t = 2.00 s a 
partícula está em repouso? O resultado obtido por você 
estado acordo com o gráfico da parte (a)? 
(c) Para qual tempo calculado na parte (b) a 
aceleração da partícula e positiva ou negativa? 
 Mostre que em cada caso podemos obter a 
mesma resposta pelo grafico v-t ou pela função a(t). 
(d) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a 
velocidade da partícula não varia instantaneamente? 
Localize esse ponto nos grálicos a-t e v-t da parte (a). 
(e) Qual a maior distancia entre a partícula e a 
origem (x = 0) no intervalo entre t = 0 e t = 2.00 s? 
(f) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a 
partícula está diminuindo de velocidade com a maior 
taxa? Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a 
partícula está aumentando a velocidade com a maior 
taxa? Localize esses pontos nos grálicos v-t e a-t da 
parte (a). 
 
2.48 Em uma gincana, cada concorrente corre 
25.0 m transportando um ovo equilibrado em uma 
colher, dá a volta e retorna ao ponto de partida. Elaine 
corre os primeiros 25.0 m em 20,0 s. Quando volta, ela 
se sente mais segura e leva apenas 15.0 s. Qual o 
módulo do vetor velocidade media para 
(a) os 25.0 m? 
(b) a viagem de volta? 
(c) Qual o módulo do vetor velocidade média 
no percurso lodo quando ela volta ao ponto de partida? 
(d) Qual e a velocidade escalar média no 
percurso lodo quando ela volta ao ponto de partida? 
 
2.49 Daniel dirige na Estrada I-SO em Seward. 
no Estado de Nebraska e segue por um trecho retilíneo 
de leste para oeste com uma velocidade média com 
módulo igual a 72 km/h. Depois de percorrer 76 km. ele 
atinge a saída de Aurora. Percebendo que ele foi longe 
demais, retorna 34 km de oeste para leste até a saída 
paraYork com uma velocidade média com módulo igual 
a 72 km/h. Para a viagem total desde Seward até a saída 
de York, qual é: 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
31 
(a) sua velocidade escalar média? 
(b) o modulo do vetor velocidade média? 
 
2.50 Tráfego em uma auto-estrada. De 
acordo com um artigo (da revista Scientific American 
(maio de 1990) circulam normalmente em uma auto-
estrada americana cerca de 2400 veículos por hora em 
cada pista com velocidade de 96 km/h para um tráfego 
considerado regular. Depois desse limite o fluxo do 
tráfego começa a ficar "turbulento" (com aceleraçóes e 
paradas). 
(a) Se cada veículo possui comprimento 
aproximadamente igual a 4.6 m. qual é o espaçamento 
médio entre os veículos para a densidade do tráfego 
mencionado? 
(b) Um sistema automático para evitar colisões 
que opera com sinais de radar ou sonar. e que pode 
acelerar ou parar um veículo quando necessário, poderia 
reduzir sensivelmente a distância entre os veículos. 
Supondo uma distância de 9,2 m (igual a dois 
comprimentos de carro), quantos veículos por hora 
poderiam circular em cada pista com velocidade de 96 
km/h? 
 
FIGURA 8 - Problema 2.49. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.51 Um velocista pode acelerar ate sua 
velocidade máxima em 4.0 s. Ele então mantém esta 
velocidade durante o trajeto restante em uma 
competição de 100 m, terminando a corrida com um 
tempo total de 9, l s. 
(a) Qual a aceleração media do velocista 
durante os 4,0 s iniciais? 
(b) Qual sua aceleração média durante os 
últimos 5,1 s? 
(c) Qual sua aceleração média durante a 
corrida toda? 
(d) Explique por que sua resposta do item (c) 
não é a média das respostas (a) e (b). 
 
2.52 Um trenó esta em repouso no alto de uma 
montanha e escorrega para baixo com aceleração 
constante. Em um dado instante está a 14,4 m de 
distancia do topo; 2,00 s mais tarde está a 25,6 m de 
distância do topo; 2.00 s mais tarde está a 40,0 m de 
distancia do topo e 2,00 s mais tarde esta a 57,6 m de 
distância do topo. 
(a) Qual o módulo da velocidade média do 
trenó durante cada um dos intervalos de 2,0 s depois de 
passar pelo ponto a 14.4 m de distância do topo? 
(b) Qual a aceleração do trenó? 
(c) Qual a velocidade escalar do trenó quando 
ele passa pelo ponto a 14,4 m de distancia do topo? 
(d) Quanto tempo ele leva para ir do topo até 
o ponto a 14.4 m de distância do topo? 
(e) Qual a distância percorrida pelo trenó 
durante o primeiro segundo depois de passar pelo ponto 
a 14,4 m de distância do topo? 
 
2.53 Um carro de 3.5 m de comprimento se 
desloca com velocidadeconstante de 20 m/s 
aproximando-se de uni cru/amenio (Figura 9). A largura 
do cruzamento é de 20 m. A luz do sinal fica amarela 
quando a frente do carro esta a 50 m do início do 
cruzamento. Quando o motorista pisa no freio, o carro 
diminui de velocidade com uma taxa igual a -3,8 m/s
2
. 
Se em vêz de pisar no freio o motorista pisar no 
acelerador, o carro aumenta de velocidade com uma 
taxa igual a 2.3 m/s
2
 . A luz fica amarela durante 3,0 s. 
Despreze o tempo de reação do motorista. Para evitar 
que o carro fique no espaço do cruzamento, o motorista 
deve pisar no freio ou no acelerador? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 8 - Problema 2.53. 
 
2.54 O maquinista de um trem de passageiros 
que viaja com velocidade v = 25.0 m/s avista um trem 
de carga cuja traseira se encontra a 200,0 m de distância 
da frente do trem de passageiros (Figura 9). O trem de 
carga se desloca no mesmo sentido do trem de 
passageiros com velocidade v = 15,0 m/s. O maquinista 
imediatamente aciona o freio, produzindo uma 
aceleração constante igual a -0.100 m/s
2
 , enquanto o 
trem de carga continua com a mesma velocidade. 
Considere t = 0 como o local onde se encontra a frente 
do trem de passageiros quando o freio é acionado. 
(a) As vacas das vizinhanças assistirão a uma 
colisão? 
(b) Caso a resposta anterior seja positiva, em 
que ponto ocorrera a colisão? 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
32 
(c) Faça um gráfico simples mostrando a 
posição da frente do trem de passageiros e a traseira do 
trem de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 9 - Problema 2.54. 
 
2.55 Uma barala grande pode desenvolver uma 
velocidade igual a 1,50 m/s em intervalos de tempo 
curtos. Suponha que ao ligar lâmpada em um motel 
você aviste uma barata que se move com velocidade de 
1.50 m/s na mesma direção e sentido que você. Se você 
está a 0,90 m atras da barata com velocidade de 0.8 m/s, 
qual deve ser sua aceleração mínima para que você 
alcance a barata antes que ela se esconda embaixo de 
um móvel situado a 1,20 m da posição inicial dela? 
 
2.56 Considere a situação descrita no Exemplo 
2.5. O exemplo é ligeiramente irreal, porque se o 
policial está acelerado ele deve ultrapassar o motorista. 
Em uma perseguição real. ele deve ultrapassar o 
motorista e depois diminuir a velocidade para ficar com 
a mesma velocidade do motorista. Suponha que o 
policial do Exemplo 2.5 acelere sua motocicleta a partir 
do repouso com aceleração de 2.5 m/s
2
 ate que sua 
velocidade seja de 20 m/s. Ele diminui sua velocidade 
com uma taxa constante ale se emparelhar com o carro 
para x = 360 m deslocando-se com a mesma velocidade 
do carro de 15.0 m/s. 
(a) Qual o tempo necessário para o policial se 
emparelhar com o carro? 
(b) Qual o tempo no qual o policial deixa de 
acelere e passa a diminuir de velocidade? Nesse 
instante, qual a distância entre o policial e o sinal? Qual 
a distância entre ele e o carro nesse instante? 
(c) Encontre a aceleração do policial quando 
sua velocidade diminui. 
(d) Desenhe um diagrama x-t para os dois 
veículos. 
(e) Desenhe um diagrama v-t para os dois 
veículos. 
 
 
 
 
 
FIGURA 10 - Problema 2.56. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.57 Um automóvel e um caminhão partem do 
repouso no mesmo instante, estando o automóvel uma 
certa distância atrás do caminhão. O caminhão possui 
aceleração constante de 2.10 m/s e o automóvel tem 
aceleração de 3.40 m/s . O automóvel ultrapassa o 
caminhão depois que o caminhão se deslocou 40,0 m. 
(a) Qual o tempo necessário para que o 
automóvel ultrapasse o caminhão? 
(b) Qual era a distância inicial entre o 
automóvel e o caminhão? 
(c) Qual a velocidade desses veículos quando 
eles estão lado a lado? 
(d) Em um único diagrama, desenhe a posição 
de cada veículo em função do tempo. Considere x = 0 
como a posição inicial do caminhão. 
 
2.58 Dois motoristas malucos resolvem dirigir 
uni de encontro ao outro. No instante t = 0 a distância 
entre os dois carros é D e o carro l esta em repouso e o 
carro 2 se move da direita para a esquerda com 
velocidade v0. O carro l começa a acelerar a partir de t = 
0 com aceleração constante a. O carro 2 continua a se 
mover com velocidade constante, 
(a) Em que instante ocorrerá a colisão? 
(b) Ache a velocidade do carro l 
imediatamente antes de colidir com o carro 2. 
(c) Faça diagramas x-t e v-t para o carro l e 
para o carro 2. Desenhe curvas para cada veículo 
usando o mesmo eixo. 
 
2.59 Em seu Mustang. José contorna uma 
curva e atinge uma estrada retilínea no campo enquanto 
se desloca a 20 m/s e avista um trator que espalha 
adubo bloqueando completamentc a pista a uma 
distância de 37 m a sua frente. Surpreso, ele pisa no 
freio depois de 0.80 s de tempo de reação, conseguindo 
parar bem próximo do tralor. Considerando o mesmo 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
33 
tempo de reação e a mesma aceleração, se ele estivesse 
a 25.0 m/s em vez de 20 m/s. 
(a) qual seria sua velocidade ao colidir com o 
trator? 
(b) quanto tempo de vida ele teria desde o 
momento em que viu o trator ate n instante da colisão? 
 
2.60 Um carro da polícia se desloca em linha 
rela com velocidade constante vp. Um caminhão que se 
move no mesmo sentido com velocidade 3vp/2 
ultrapassa o carro. A motorista que dirige o caminhão 
verifica que está acelerando e imediatamente começa a 
diminuir sua velocidade com uma taxa constante. 
Contudo, ela estava em um dia de sorte e o policial 
(ainda movendo-se com a mesma velocidade) passa 
pelo caminhão sem aplicar-lhe a multa, 
(a) Mostre que a velocidade do caminhão no 
instante em que o carro da polícia passa por ele não 
depende do módulo da aceleração do caminhão no 
momento em que ele começa a diminuir sua velocidade 
e calcule o valor dessa velocidade, 
(b) Faça um gráfico x-t para os dois veículos. 
 
2.61 O motorista de um carro deseja passar um 
caminhão que se desloca com velocidade constante de 
20.0 m/s. Inicialmente o carro também se desloca com 
velocidade de 20.0 m/s e seu pára-choque dianteiro esta 
a 24.0 m alias do para-choque traseiro do caminhão. Ele 
acelera com taxa constante de 0.60 m/s
2
 , a seguir volta 
para a pista do caminhão quando a traseira do carro esta 
a 26,0 m da frente do caminhão. Ele possui 
comprimento de 4,5 m e o comprimento do caminhão e 
igual a 21.0 m. 
(a) Qual o tempo necessário para o carro 
ultrapassar o caminhão? 
(b) Qual a distância percorrida pelo carro nesse 
intervalo de tempo? 
(c) Qual e a velocidade fina] do carro? 
 
2.62 A velocidade de um objelo e dada por 
2v t t
 
 Onde = 4,0 m/s e = 2.0 m/s
3
 . 
Para t = 0, o objeto está em x = 0. 
(a) Calcule a posição e a aceleração do objeto 
em função do tempo. 
(b) Qual a distância entre o ohjeto e a origem? 
 
2.63 A aceleração de uma partícula e dada por: 
2 3a t t SI
 
(a) Calcule a velocidade inicial de modo que a 
partícula tenha a mesma coordenada x para t = 0 s. 
(b) Qual seria sua velocidade para t = 4.0 s? 
 
2.64 Você está sobre o telhado do edifício de 
um físico, 46 m acima do solo (Figura 11). Seu 
professor de física, que possui l.80 m de altura, está 
caminhando próximo do edifício com uma velocidade 
constante de l.2 m/s. Se você deseja jogar um ovo na 
cabeça dele, em que ponto ele deve estar quando você 
largar o ovo? Suponha que o ovo esteja em queda livre. 
 
2.65 Um estudante de física com bastante 
tempo livre deixa cair uma melancia do alto do telhado 
de um edifício. Ele escuta o barulho da melancia ao se 
espatifar 2,50 s depois do lançamento. Qual a altura do 
edifício? A velocidade do som no ar e igual a 340 m/s. 
Despreze a resistência do ar. 
FIGURA 11 - Problema 2.64.2.66 Estime a velocidade máxima e o módulo 
da aceleração de um elevador. Você precisa usar suas 
observações sobre o tempo que o elevador leva para ir 
de um andar para outro, a distância vertical aproximada 
de um andar para outro e a distância percorrida quando 
o elevador acelera ate sua velocidade máxima ou 
quando diminui de velocidade ate parar. 
 
2.67 Os visitantes de um parque de diversões 
observam uma mergulhadora saltar de uma plataforma 
situada a uma altura de 21.3 m de um pequeno lago. De 
acordo com o apresentador, a mergulhadora entra na 
água com velocidade de 25 m/s. Despreze a resistência 
do ar. 
(a) A aFirmação do anúncio está correia? 
(b) A velocidade de 25 m/s poderia ser atingida 
caso a mergulhadora saltasse diretamcnte para cima 
sobre uma prancha de modo que abandonasse a prancha 
no momento cm que ela se abaixa? Em caso afirmativo, 
qual deveria ser sua velocidade para cima? Essa 
velocidade inicial seria Fisicamente atingível? 
 
2.68 Um vaso de flores cai de um peitoril de 
uma |anela e passa pela janela de baixo. Despreze a 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
34 
resistência do ar. Ele leva 0.420 s para passar por essa 
janela. cuja altura e igual a l ,90 m. Qual é a distância 
entre o topo dessa janela e o peitoril de onde o vaso 
caiu? 
 
2.69 Uma bola de futebol e chutada 
verticalmente de baixo para cima e um estudante que 
está olhando para fora de uma janela a vê subir e passar 
por ele com velocidade de 5.00 m/s. A janela está a uma 
altura de 12.0 m acima do solo. Despreze a resistência 
do ar. 
(a) Qual e a altura máxima atingida pela bola 
em relação ao solo? 
(b) Qual e o tempo que a bola leva para ir do 
solo ate a altura máxima? 
 
2.70 Um modelo de foguete possui uma 
aceleração constante de baixo para cima igual a 40.0 
m/s
2
 enquanto seu motor está funcionando. O foguete e 
lançado verticalmente e o motor funciona durante 2.50 s 
ale o combustível terminar. Depois que o motor pára de 
funcionar, o foguete está em queda livre. O movimento 
do foguete e puramente na vertical: 
(a) Faça diagramas de a-t, v-t e x-t para o 
foguete 
(b) Qual a altura máxima atingida pelo 
foguete? 
(c) Qual a velocidade do foguete 
imediatamente antes de ele se chocar com o solo? 
(d) O tempo total de vôo e igual ao dobro do 
tempo que o foguete leva para atingir a altura máxima? 
Explique. 
 
2.71 Sérgio arremessa uma eslera de chumbo 
de 7 kg de baixo para cima. Aplicando-lhe um impulso 
que a acelera a partir do repouso ale 45.0 m/s para um 
deslocamento vertical de 64.0 cm. Ela sai de sua mão a 
2.20 m acima do solo. Despreze a resistência do ar. 
(a) Qual a velocidade da esfera imediatamente 
apôs sair da sua mão? 
(b) Qual a altura máxima atingida pela esfera? 
Qual o tempo que ele dispõe para sair da vertical antes 
que a esfera volte até a altura da sua cabeça, situada a 
1.83 m acima do solo? 
 
2.72 Desejando testar a lei da gravidade, um 
estudante doido pula de um arranha-céu com altura de 
l80 m com um cronômetro na mão iniciando sua queda 
livre (com velocidade inicial nula). Cinco segundos 
mais tarde, o Super-Homem entra em cena e mergulha 
do alto do edifício para salvá-lo. 
(a) O Super-Homem dá um impulso com 
velocidade v0 de cima para baixo com suas pernas de 
aço. A seguir ele cai com uma aceleração igual á de 
qualquer corpo em queda livre. Qual deve ser o valor de 
v0 para que o Super-Homem possa segurar o estudante 
imediatamente antes de ele se chocar com o solo? 
(b) Usando um mesmo gráfico desenhe a 
posição do Super-Homem e do estudante em função do 
tempo. Considere a velocidade inicial do Super-Homem 
calculada no item (a), (c) Quando a altura do arranha-
céu for menor do que um certo limite, nem mesmo o 
Super-Homem seria capaz, de salvar o estudante. Qual é 
essa altura mínima? 
 
2.73 Outro estudante doido pula da Torre CN 
em Toronto, que possui uma altura de 553 m. iniciando 
sua queda livre. Sua velocidade inicial é igual a zero. 
Cinco segundos mais tarde, o Homem-Foguete entra em 
cena e mergulha do alto do edifício para salvá-lo. O 
Homem-Foguete parte com velocidade v0 de cima para 
baixo. A fim de suavizar a queda Final, ele segura o 
estudante a uma certa altura do solo e diminui a 
velocidade até atingir o solo com velocidade nula. A 
aceleração para cima necessária para isso é obtida por 
um dispositivo a jato transportado pelo Homem-
Foguete, o qual e acionado no momento em que ele 
segura o estudante. Para que o percurso seja confortável 
para o estudante, o modulo da aceleração não deve ser 
maior do que 5g. 
(a) Qual é a altura mínima acima do solo onde 
o Homem-Foguete segura o estudante? 
(b) Qual deve ser o valor de v0 para que o ele 
possa segurar o estudante na altura mínima calculada 
em (a)? 
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o Homem-
Foguete e para o estudante. Para cada gráfico, desenhe 
as curvas para o Homem-Foguete e para o estudante 
usando os mesmos eixos. 
 
2.74 Uma bola é lançada do solo diretamente 
de baixo para cima com velocidade v0. No mesmo 
instante, outra bola é largada do repouso a uma altura H 
diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi 
lançada para cima. Despre/e a resistência do ar. 
(a) Calcule o instante em que as duas bolas 
colidem. 
(b) Ache o valor de H em lermos de v0 de 
modo que no momento da colisão a primeira bola atinja 
sua altura máxima. 
 
2.75 Dois carros, A e B se deslocam ao longo 
de uma linha reta. A distancia de A ao ponto inicial é 
dada em função do tempo por: 
2
Ax t t t SI
 
Onde = 2,60 m/s e = 1,20 m/s
2
 . A distância de B 
ao ponto inicial é dada em funçáo do tempo por: 
2 3
Bx t t t SI
 
onde =2.80 m/s
2
 e = 0.20 m/s
3
. 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
35 
(a) Qual carro está na frente logo que eles 
saem do ponto inicial? 
(b) Em que instante(s) os carros estão no 
mesmo ponto? 
(c) Em que inslante(s) a distância entre os 
carros A e B não aumenta nem diminui? 
(d) Em que instante(s) os carros A e B possuem 
a mesma aceleração? 
 
2.76 A queda da maça de uma macieira pode 
ser considerada uma queda livre. A maçã está 
inicialmente a uma altura H acima do topo de um 
gramado espesso, o qual e constituído por camadas de 
grama de espessura h. Quando a maçã penetra na 
grama, ela diminui sua velocidade com uma taxa 
constante e atinge o solo com velocidade igual a zero. 
(a) Ache a velocidade da maça imediatamente 
antes de ela penetrar na grama, 
(b) Ache a aceleração da maçã enquanto ela 
penetra na grama, 
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o 
movimento da maçã. 
 
 PROBLEMAS DESAFIADORES 
 
2.77 Uma estudante está se deslocando com sua 
velocidade máxima de 5,0 m/s para pegar um ônibus 
parado. Quando a estudante está a uma distancia de 
40,0 m do ônihus, ele começa ase mover com 
aceleração constante igual a 0.170 m/s . 
(a) Durante quanto tempo e qual é a distância 
percorrida para que a estudante alcance o ônibus? 
(b) Quando a estudante alcança o ônihus, qual é 
a velocidade do ônibus? 
(c) Faça um gráfico de x-t para a estudante e 
para o ônibus. Considere v = 0 como a posição inicial 
da estudante. 
(d) As equações usadas para calcular o tempo 
na parte (a) possuem uma segunda solução que 
corresponde a um tempo posterior para o qual a 
estudante e o ônibus estão na mesma posição caso 
continuassem com seus movimentos especificados. 
Explique o significado desta segunda solução. Qual a 
velocidade do ônihus neste ponto? 
(e) Caso sua velocidade máxima fosse igual a 
3.5 m/s ela poderia alcançar o ônihus? 
(f) Qual seria sua velocidade inicial para que 
ela pudesse alcançar o ônibus? Neste caso, quanto 
tempo e qual seria a distância percorrida para que a 
estudante pudesse alcançar o ônihus?2.78 Estando inicialmente agachado, um atleta 
dá um salto vertical para atingir a altura máxima 
possível. Qs melhores atletas permanecem cerca de 1,0 
s no ar (o "tempo de suspensão"no ar). Considere o 
atleta como uma partícula e denomine de yM, sua altura 
máxima acima do solo. Despreze a resistência do ar. 
Para explicar por que ele parece estar suspenso no ar. 
calcule a razão entre o tempo que ele leva para atingir a 
altura yM/2 e o tempo que ele leva para atingir a altura 
yM. 
 
2.79 Uma bola é atirada de baixo para cima do 
canto superior do telhado de um edifício. Uma segunda 
bola é largada do mesmo ponto 1.00 s mais tarde. 
Despre/e a resistência do ar. 
(a) Sabendo que a altura do edifício e igual a 
20.0 m, qual deve ser a velocidade inicial da primeira 
bola para que ambas atinjam o solo no mesmo instante? 
Em um mesmo grálico, desenhe a posição de cada bola 
em função do tempo medido a partir do lançamento da 
primeira bola. Considere a mesma situação, mas agora 
suponha que seja conhecida a velocidade inicial v0 da 
primeira bola e que a altura h do edifício seja uma 
incógnita. 
(b) Qual deve ser a altura do edifício para que 
ambas atinjam o solo no mesmo instante para os 
seguintes valores de v0,:(i) 6,0 m/s; (ii) 9.5 m/s? 
(c) Quando v0 for superior a um certo valor 
máximo vM não existirá nenhum valor de h que 
satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no 
mesmo instante. O valor vM, possui uma interpretação 
física simples. Qual é ela? 
(d) Quando v0 for inferior a um certo valor 
mínimo vM não existirá nenhum valor de h que 
satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no 
mesmo instante. O valor vmin também possui uma 
interpretação ftísica simples. Qual é ela? 
 
2.80 Um excursionista atento vê uma pedra 
cair do alto de um morro vizinho e nota que ela leva 
l,30 s para cair a última terça parte da sua trajetória até 
o solo. Despreze a resistência do ar. 
(a) Qual ê a altura do morro em metros? 
(b) Se na parle (a) você obtiver duas soluções 
de uma equação do segundo grau e usar apenas uma na 
resposta, o que representará a outra solução? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
36 
 QUESTÕES PARA DISCUSSÃO 
 
03.1 Um pêndulo simples (um corpo oscilando 
na extremidade de um fio descreve um arco de círculo 
em cada oscilação. Qual é adireção e o sentido da 
aceleração nas extremidades da oscilação? E no ponto 
médio? Explique como você obteve cada resposta. 
 
03.2 Refazer a Figura 3.9a supondo 
a
 
antiparalelo 
v
. A partícula se move em linha reta? O 
que ocorre com a velocidade escalar? 
 
03.3 Desprezando a resistência do ar, um projétil 
se move em uma trajetória parabólica. Existe algum 
ponto em que 
a
é paralelo a 
v
? E perpendicular a 
v
? 
Explique. 
 
03.4 Quando um rifle é disparado para um alvo 
distante a direção do cano não coincide com a do alvo. 
Por que não coincide? O ângulo da correção depende da 
distância ao alvo? 
 
03.5 No mesmo instante em que a bala sai 
horizontalmente do cano de uma arma, você larga um 
corpo da mesma altura do cano. Desprezando a 
resistência do ar. qual dos dois chegará primeiro ao 
solo? Explique. 
 
03.6 Um pacote é largado de um avião que voa 
em uma mesma altitude com velocidade constante. 
Desprezando a resistência do ar, qual seria a trajelória 
do pacote observada pelo piloto? E a trajetória 
observada por uma pessoa no solo? 
 
03.7 Desenhe os seis gráficos para os 
componentes x e y da posição, da velocidade e da 
aceleração em função do tempo para movimento de um 
projêtil com x0 = y0 = 0 e 0 < 0 < 90
0
. 
 
03.8 Supondo y0 = 0 e 0 negativo, y nunca 
pode ser positivo para um projétil. Contudo, a expressão 
de h encontrada no Exemplo 3.9 parece que fornece 
uma altura máxima positiva para 0,negativo. Explique 
essa aparente contradição. 
 
03.9 Supondo que uma rã possa pular sempre 
com a mesma velocidade inicial em qualquer direçâo 
que ela pule (para a frente ou diretamente de baixo para 
cima), como a altura máxima que ela pode atingir se 
relaciona com o alcance horizontal máximo 
2
0
max
v
R
g
 
03.10 Suponha que o dardo tranquilizante da 
Figura 3.21 seja atirado com uma velocidade v0 
relativamente pequena, de modo que o dardo já tenha 
ultrapassado a altura máxima de sua trajetória e esteja 
descendo quando ele atinge o macaco (que ainda 
está no ar quando isso ocorre). No instante em que o 
dardo estava na altura máxima, a altura do macaco em 
relação ao solo era a mesma, maior ou menor do que 
essa altura máxima? Explique sua resposta com um 
diagrama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q3.11 Em um movimento circular uniforme, 
qual é a velocidade média e a aceleração média para 
uma revolução? Explique. 
 
Q3.12 Em um movimento circular uniforme, 
como varia a aceleração quando a velocidade cresce de 
um fator igual a 3? Quando o raio decresce de um fator 
igual a 2? 
 
Q3.13 Em um movimento circular uniforme, a 
aceleração é perpendicular à velocidade em cada 
instante, embora ambas mudem de direção 
continuamente. O movimento circular uniforme é o 
único movimento que goza dessa propriedade ou existe 
algum outro? 
 
Q3.14 As gotas da chuva vistas através do 
vidro lateral de um carro em movimento caem em uma 
direçâo diagonal. Por quê? A explicação é a mesma ou 
diferente para a diagonal vista através do pára-brisa? 
 
Q3.15 No caso de uma chuva forte, o que 
determina a melhor posição do guarda-chuva? 
 
Q3.16 Você se encontra na margem oeste de 
um rio cujas águas se escoam do sul para o norte com 
velocidade de 1,2 m/s. Sua velocidade de natação em 
relação à água é igual a 1,5 m/s e o no possui 60 m de 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
37 
largura. Qual é a trajetória em relação ao solo para você 
atravessar o rio no menor intervalo de tempo possível? 
Explique seu raciocínio. 
 
 EXERCÍCIOS 
 SEÇÃO 3.2 
 VETOR POSIÇÃO 
 VETOR VELOCIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Um esquilo possui coordenadas x e y (l. l m e 
3.4 m) para t1 = 0 e coordenadas (5.3 m e -0,5 m) para t2 
= 3.0 s. Para esse intervalo de tempo, calcule 
(a) os componentes da velocidade média; 
(b) o módulo c direçâo da velocidade média. 
 
3.2 Um rinoceronte está na origem do sistema de 
coordenadas para t1 = 0. Para o intervalo de tempo 
entre t1 = 0 e t2 = 12.0 s, sua velocidade média possui 
componente vx = -3.8 m/s e componente vy = 4.9 m/s. 
Para t2 = 12,0 s: 
(a) quais são as coordenadas x e y do 
rinoceronte? 
(b) qual é a distância entre a origem e o 
rinoceronte? 
 
3.3 Um projelista de páginas da Internet cria uma 
animação naqual um ponto da tela do computador 
possui posição 
2 ˆ ˆ4 2.5 5r t i t j
(SI). 
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade média do ponto para o intervalo entre t0 = 0 
e t = 2,0 s. 
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade instantânea para t0 = 0 e t1 = 2,0 s. 
(c) Faça um desenho da trajetória do ponto no 
intervalo t0 = 0 e t1 = 2,0 s e mostre as velocidades 
calculadas em (c). 
 
3.4 Se 
2 3ˆ ˆr b t i c t j
onde b e c são 
constantes positivas, quando o vetor velocidade faz um 
ângulo de 45.0
0
 com o eixo Ox ou com o eixo Oy? 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
38 
 SEÇÃO 3.3 
 VETOR ACELERAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Um avião a jato está voando a uma altura 
constante.No instante t = 0. os componentes da 
velocidade são vx = 90 m/s, vy = 110 m/s. No instante t2 
= 30,0 s, os componentes são vx = -170 m/s, vy = 40 
m/s. 
(a) Faça um esboço do vetor velocidade para t1 
e para t2? Qual a diferença entre estes vetores? Para esse 
intervalo de tempo, calcule 
(b) os componentes da aceleração média, 
(c) o módulo, a direção e o sentido da 
aceleração média. 
 
3.6 A velocidade de um cachorro correndo em 
um campo aberto possui componentes vx = 2,6 m/s e vy 
= -1.8 m/s para t = 10.0 s. Para o um intervalo de tempo 
entre t1 = 10.0 s e t2 = 20.0 s, a aceleração média do 
cachorro possui módulo igual a 0.45 m/s
2
, formando um 
ângulo de 31,0
0
 medido considerando uma rotação do 
eixo +0x para o eixo +0y. Para t = 20,0 s, 
(a) quais são os componentes vx e vy da 
velocidade do cachorro? 
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade do cachorro, 
(c) Faça um desenho mostrando o vetor 
velocidade para t1 e para t2. Qual é a diferença entre 
estes velores'? 
 
3.7 Um pássaro voando em um plano xy possui 
coordenadas 
x t
e 
23y t
 , com = 2,4 
m/s e = 1.2 m/s
2
, 
(a) Faça um esboço da trajetória do pássaro 
entre t0 = 0 e t1 = 2.0 s. 
(b) Ache o velor velocidade e o vetor 
aceleração do pássaro em função do tempo, 
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do 
vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t 
= 2,0 s. 
(d) Faça um esboço do vetor velocidade e do 
vetor aceleração do pássaro para t = 2.0 s. Nesse 
instante, a velocidade escalar do pássaro está 
aumentando, diminuindo ou é constante? O pássaro 
está fazendo uma volta? Em caso positivo, em que 
sentido? 
 
3.8 Uma partícula segue uma trajelória 
indicada na Figura 3.31. Entre os pontos B c D. a 
trajetória é uma linha reta. Desenhe o vetor aceleração 
em A, C e E para os casos em que 
(a) a partícula se move com velocidade escalar 
constante; 
(b) a partícula se move com velocidade escalar 
que cresce uniformemente; 
(c) a partícula se move com velocidade escalar 
que decresce uniformemente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
39 
 SEÇÃO 3.4 
 MOVIMENTO DE UM 
PROJET1L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 Um livro de física escorrega 
horizonlalmente para fora do topo de uma mesa com 
velocidade de 1,10 m/s e colide com o solo em 0.350 s. 
Desprezando a resistência do ar, ache 
(a) a altura do topo da mesa até o solo; 
(b) a distância horizonlal entre a extremidade 
da mesa e o ponto onde ele colidiu com o solo; 
(c) os componentes da velocidade do livro e o 
módulo, a direção e o sentido da velocidade 
imediatamente antes de o livro atingir o solo; 
(d) faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o 
movimento. 
 
3.10 Um helicóptero militar em missão de 
treinamento voa horizontalmente com velocidade de 
60,0 m/s e acidentalmente deixa cair uma bomba 
(felizmente não ativa) a uma altura de 300 m. Despreze 
a resistência do ar. 
(a) Quanto tempo a bomba leva para atingir o 
solo? 
(b) Qual a distância horizontal percorrida pela 
bomba durante a queda? 
(c) Ache os componentes da velocidade na 
direção horizontal e na vertical imediatamente antes de 
a bomba atingir o solo. 
(d) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o 
movimento da bomba, 
(e) Mantida constante a velocidade do 
helicóptero, onde estaria ele no momento em que a 
bomba atingisse o solo? 
 
3.11 Uma bola de futebol é chutada com 
velocidade inicial v0 = 15.0 m/s. formando um ângulo 
inicial 0 = 45,0
0
. 
(a) Ache o tempo t quando a bola atinge a 
altura máxima, 
(b) Nos três instantes t1 = T - 0,50 s, t2 = T s e 
t3 = T + 0,50 s, ache os componentes vx e vy do vetor 
posição, 
(c) Para os instantes t1, t2 e t3 determine o 
módulo, a direção e o sentido do velor velocidade, 
(d) Para os instantes t1, t2 e t3, determine os 
componentes do vetor aceleração que sejam paralelos 
(ou antiparalelos) ao vetor velocidade e ache os 
componentes do vetor aceleração que sejam 
perpendiculares ao vetor velocidade. 
(e) Faça um esboço da trajetória da bola. Nesse 
esboço, identifique a posição da bola nos instantes t1, t2 
e t3. Em cada um desses pontos, desenhe o velor 
velocidade e os componentes paralelos e 
perpendiculares do vetor aceleração, 
(f) Discuta como a velocidade escalar e a 
direção do movimento da bola variam com o tempo nos 
instantes t1, t2 e t3, e explique como os vetores do seu 
desenho descrevem essas variações. 
 
3.12 Uma bola de tênis rola para fora da 
extremidade de uma mesa situada a uma altura igual a 
0.750 m acima do solo e atinge o solo em um ponto 
situado a 1,40 m da extremidade da mesa. 
Despreze a resistência do ar. Ache o tempo de 
percurso. 
(a) Ache o módulo da velocidade inicial, 
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade da bola imediatamente antes de a bola 
atingir o solo. 
(c) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o 
movimento. 
 
3.13 Uma pistola de sinalização atira uma bala 
luminosa com velocidade inicial (velocidade na saída 
do cano) igual a 120 m/s. 
(a) Se a bala é atirada a 55
0
 acima da 
horizontal em uma região plana de Brasília, qual é seu 
alcance horizonlal? Despreze a resistência do ar. 
(b) Se a bala fosse atirada nas mesmas 
condições em uma região plana da Lua, onde g = l .6 
m/s
2
, qual seria seu alcance horizontal? 
 
3.14 Pelé chuta uma bola de futebol com 
velocidade inicial tal que o componente vertical é igual 
a 16,0 m/s e o componente horizontal é igual a 20.0 
m/s. Despreze a resistência do ar. 
(a) Que tempo a bola leva para atingir a altura 
máxima de sua trajetória? 
(b) Qual a altura desse ponto? 
(c) Quanto tempo a bola leva (desde o 
momento do chute inicial) até o instante cm que ela 
retorna ao mesmo nível inicial? Qual é a relação entre 
esse tempo e o calculado no item (a)? 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
40 
(d) Que distância hori/ontal ela percorreu 
durante esse tempo? 
(e) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy -t para o 
movimento. 
 
3.15 Mark McGwire bate uma bola de beisebol 
de forma que ela abandona o bastão com velocidade de 
30,0 m/s formando um ângulo de 36.9° acima da 
hori/.ontal. Despreze a resistência do ar. 
(a) Ache os dois instantes para os quais a 
altura da bola esta a 10,0 m acima do nível inicial, 
(b) Calcule o componente vertical e o 
componente horizontal da velocidade da bola em cada 
um dos dois tempos calculados no item (a). 
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido 
da velocidade da bola quando ela retorna ao nível 
inicial. 
 
3.16 Um taco golpeia uma bola de golfe em 
uma pequena elevação acima do solo com uma 
velocidade de 12,0 m/s e um ângulo inicial de 51.0
0
 
acima da horizontal. A bola atinge o campo 2,08 s após 
a tacada. Despreze a resistência do ar. 
(a) Quais são os componentes da aceleração da 
bola durante o vôo? 
(b) Quais são os componentes da velocidade da 
bola no início e no final de sua trajetória? 
(c) Qual é a distancia horizontal percorrida 
pela bola? 
(d) Por que a expressão de K obtida no 
exemplo 3.9 não pode ser usada para dar a resposta 
correia do item (c)? 
(e) Qual era a altura da bola no momento cm 
que ela saiu do taco? 
(f') Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o 
movimento. 
 
3.17 Em um parque de diversões você pode 
ganhar uma girafa inflável se conseguir encaixar uma 
moeda de 25 centavos em um prato pequeno. O prato 
está sobre uma prateleira acima do ponto em que a 
moeda deixa sua mão, a uma distância horizontal de 2,1 
m deste ponto. Se você lança a moeda com velocidade 
de 6,4 m/s formando um angulo de 60
0
 acima da 
horizontal, a moeda se encaixa no prato. Despreze a 
resistência do ar. 
(a) Qual a altura da prateleira em relação ao 
nívelda sua mão? 
(b) Qual ê o componente vertical da velocidade 
da moeda imediatamente antes de a moeda pousar no 
prato? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.32 Exercício 3.17. 
 
3.18 Suponha que o ângulo inicial da figura 
3.21 seja 42
0
 e que d seja igual a a 3.0 m. Onde o dardo 
e o macaco se encontrarão se a velocidade inicial do 
dardo for: 
(a) 12.0 m/s? 
(b) 8,0 m/s? 
(c) O que ocorreria se a velocidade inicial do 
dardo fosse 4,0 m/s? Faça um esboço da trajetória em 
cada caso. 
 
3.19 Um homem está parado no alto de um 
edifício de 15.0 m de altura e atira uma pedra com 
velocidade de módulo de 30,0 m/s formando um ângulo 
inicial de 33,0
0
 acima da horizontal. Dcspreze a 
resistência do ar. Calcule: 
(a) a altura máxima acima do telhado atingida 
pela pedra. 
(b) o módulo da velocidade da pedra 
imediatamente antes de ela atingir o solo. 
c) a distância horizontal entre a base do 
edifício e o ponto onde ela atinge o solo. 
(d) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o 
movimento. 
 
 SEÇÃO 3.5 
 MOVIMENTO CIRCULAR 
 
3.20 Em seu primeiro dia de trabalho em uma 
fábrica de eletrodomésticos. você é solicitado a 
informar o que é necessário para que a centrifugadora 
de uma máquina de lavar triplique sua aceleração 
centrípeta. Você impressiona a sua chefe respondendo 
imediatamente. O que você diz a ela? 
 
3.21 A Terra possui um raio igual a 6380 km e faz 
um giro completo em 24 horas, 
(a) Qual é a aceleração radial de um objeto no 
equador da Terra? Dê sua resposta em m/s
2
 e como uma 
fração de g. 
(b) Se arad no equador fosse maior do que g os 
objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
41 
espaço. (Veremos a razão disso no Capítulo 5.) Qual 
deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para 
que isso ocorresse? 
 
3.22 Um modelo de rotor de helicóptero possui 
quatro lâminas, cada qual com 3.40 m de comprimento 
desde o eixo central até sua extremidade. O modelo gira 
em um túnel de vento com 550 rev/min. 
(a) Qual é a velocidade linear da extremidade da 
lâmina em m/s? 
(b) Qual é a aceleração radial da extremidade da 
lâmina expressa como múltiplo da aceleração da 
gravidade, g ? 
 
3.23 Em um teste de um "aparelho para g" um 
voluntário gira em um círculo horizontal de raio igual a 
7.0 m. Qual é o período da rotação para que a 
aceleração centrípeta possua módulo de 
(a) 3.0g (b) 10g? 
 
3.24 O raio da órbita da Terra em torno do Sol 
(suposta circular) é igual a l.50.10
8
km e a Terra 
percorre esta órbita em 365 dias. 
(a) Qual é o módulo da velocidade orbital da Terra 
em m/s? 
(b) Qual é a aceleração radial da Terra no sentido 
do Sol em m/s
2
? 
(c) Repita os cálculos de (a) e de (b) para o planeta 
Mercúrio (raio da órbita = 5,79.10
7
 km, período da 
órbita = 88.0 dias). 
 
3.25 Uma roda-gigantc com raio igual a 14.0 m 
está girando em torno de um eixo horizontal passando 
pelo seu centro (Figura 3.33). A velocidade linear de 
uma passageira em sua periferia é igual a 7.00 m/s. 
Determine o módulo, a direção e o sentido da 
aceleração da passageira a) no ponto mais baixo do 
movimento circular, 
(a) no ponto mais alto do movimento circular, 
(b) Quanto tempo leva a roda-gigante para 
completar uma revolução? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.33 Exercícios 3.25 c 3.26. 
3.26 A roda-gigante da Figura 3.3.3. que gira o 
sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, 
começa a se mover. Em dado instante, um passageiro na 
periferia da roda e passando no ponto mais baixo do 
movimento circular se move a 3,00 m/s e está ganhando 
velocidade com uma taxa de 0,500 m/s
2
, 
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido 
da aceleração do passageiro nesse instante, 
(b) Faça um desenho do passageiro e da roda-
gigante mostrando o vetor velocidade e o vetor 
aceleração. 
 
3.27 Uma pista de corrida plana possui forma 
elíptica. (Consulte um manual de matemática ou uma 
enciclopédia para caracterizar uma elipse.) Um carro 
viaja ao longo dessa pista com velocidade escalar 
constante, 
(a) Faça um desenho mostrando o velor 
velocidade e o vetor aceleração do carro em cinco 
pontos dilerentes dessa trajelória. 
(b) O vetor aceleração do carro sempre aponta 
para o centro geométrico da elipse? Explique. 
(c) Para qual(isl ponto(s) da elipse a aceleração 
do carro possui maior módulo? Explique. 
 
 SEÇÃO 3.6 
 VELOCIDADE RELATIVA 
 
3.28 Um vagão plano aberto de um trem se 
desloca para a direita com velocidade de 13,0 m/s 
relativa a um observador lixo no solo. Uma motoneta 
está se deslocando sobre o vagão Qual é a velocidade 
(módulo e sentido) da motoneta em relação ao vagão se 
a sua velocidade em relação a um observador fixo no 
solo e 
(a) 18 m/s para a direita? 
(b) 3,0 m/s para a esquerda? 
(c) 0? 
 
3.29 A "esteira rolante horizontal" do terminal 
de um aeroporto possui comprimento igual a 35,0 m e 
se desloca a l ,0 m/s. Suponha uma mulher se 
deslocando a l ,5 m/s em relação à esteira e partindo da 
extremidade da esteira. Quanto tempo leva para atingir 
a outra extremidade da esteira se ela se move: 
(a) no mesmo sentido da esteira? 
(b) em sentido contrário ao da esteira? 
 
3.30 Dois píeres estão localizados em um rio: o 
píer K está situado a 1500 m de A corrente abaixo. Dois 
amigos devem fazer um percurso do píer A ao píer B e 
depois voltar. Um deles vai de barco com velocidade 
constante de 4 km/h em relação à água. O outro 
caminha pela margem do rio com velocidade constante 
de 4,00 km/h. A velocidade do rio é 2,80 km/h no 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
42 
sentido de A para B. Calcule o tempo de cada um para 
fazer o percurso de ida e de volta. 
 
3.31 Uma canoa possui velocidade de 0,40 m/s 
do sul para leste em relação à Terra. A canoa se desloca 
em um rio que escoa a 0.50 m/s do oeste para leste em 
relação à Terra. Determine o módulo, a direção e o 
sentido da velocidade da canoa em relação ao rio. 
 
3.32 O piloto de um avião deseja voar de leste 
para oeste. Um vento de 80 km/h sopra do norte para o 
sul. 
(a) Se a velocidade do avião em relação ao ar 
(sua velocidade se o ar estivesse em repouso) é igual a 
320.0 km/h, qual deve ser a direção que o pilotodeve 
escolher? 
(b) Qual é a velocidade do avião em relação ao 
Solo? Ilustre sua solução com um diagrama vetorial. 
 
3.33 A água de um rio se escoa com 
velocidade de 2,0 m/s do norte para o sul. Um homem 
dirige um barco com motor através do rio; sua 
velocidade em relação à água é igual a 4.2 m/s de oeste 
para leste. A largura do rio é igual a 800 m. 
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido 
da sua velocidade em relação à Terra, 
(b) Quanto tempo e necessário para atravessar 
o rio? 
(c) A que distância ao sul do ponto inicial ele 
atingirá a margem oposta? 
 
3.34 (a) Em que direção o barco do Exercício 
3.33 deveria se deslocar para atingir a margem oposta 
diretamente a leste do ponto inicial? 
 (Sua velocidade em relação à água permanece 
igual a 4.2 m/s.) (b) Qual a velocidade do barco em 
relação à Terra? (c) Quanto tempo é necessário para 
atravessar o rio? 
 
3.35 Um avião ultraleve aponta de norte para 
sul, e seu indicador de velocidade em relação ao ar 
mostra 35 m/s. O avião está submetido a um vento de 
10 m/s que sopra na direção sudoeste em relação à 
Terra, 
(a) Faça um diagrama vetorial mostrando a 
relação entre os vetores dados e 
PEv
(a velocidade do 
avião em relação à Terra), 
(b) Usando a coordenada X para o leste e a 
coordenada y para o norte, determine os componentes 
de 
PEv
. 
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido 
de 
PEv
. 
 
 
 PROBLEMAS 
 
3.36 Um modelo de foguete se move no plano 
xy (o sentidopositivo do eixo vertical 0y é de baixo 
para cima). A aceleração do foguete possui os 
componentes 
2
xa t t ya t t
onde 
 = 2,50 m/s
4
, = 9,00 m/s
2
 e = l,40 m/s
3
. 
 Para t = 0, o foguete está na origem e possui velocidade 
0 0 0
ˆ ˆ
x yv v i v j
 sendo v0x = 1,00 m/s e v0y = 7,00 
m/s. 
(a) Determine o vetor velocidade e o vetor 
posição em função do tempo, 
(b) Qual a altura máxima atingida pelo 
foguete? 
(c) Faça um desenho da trajetória do foguete, 
(d) Qual o deslocamento horizontal do foguete 
quando ele retorna para o ponto y = 0? 
 
3.37 Um estudante se move em um plano xy 
num quarto escuro tentando localizar uma nota de R$ 
50. As coordenadas do estudante em função do tempo 
são 
x t t
e 
215y t t
onde 
 = l .20 m/s e = 0,500 m/s
2
. Embora o estudante não 
saiba, a nota de R$ 50 se encontra na origem, 
(a) Em que instantes a velocidade do estudante 
é perpendicular à sua aceleração? 
(b) Em quais instantes a velocidade do 
estudante não varia instantaneamente? 
(c) Em quais instantes a velocidade do 
estudante é perpendicular ao seu vetor posição? Onde se 
encontrão estudante nesses instantes? 
(d) Qual é a distancia mínima entre a nota de 
R$ 50 e o estudante? Em que instante essa distância 
mínima é atingida? 
(e) Faça um desenho da trajetória do infeliz 
estudante. 
 
3.38 Um pássaro voa em um plano xy com um 
vetor velocidade dado por: 
2 ˆ ˆv t i t j
 
sendo = 2.4 m/s e = l .6 m/s e = 4,0 m/s
2
. 
Em t = 0 o pássaro está na origem. O sentido positivo 
do eixo vertical Oy e de baixo para cima. 
(a) Determine o vetor posição e o vetor 
aceleração do pássaro em função do tempo. 
(b) Qual é a altura do pássaro (coordenada y) 
quando ele voa sobre x = O pela primeira vêz, depois de 
t = 0? 
 
3.39 Um Piper Warrior. um pequeno avião 
com quatro lugares, necessita de 300 m de pista para 
levantar voo. Sua velocidade de decolagem é igual a 88 
km/h. A seguir ele se inclina com velocidade constante 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
43 
de 88 km/h ao longo de uma trajetória retilinea. 
passando rente uma linha de transmissão com 15 m de 
altura situada a uma distância horizontal de 460 m do 
local onde o avião decola, 
(a) Qual era a aceleração inicial do Piper 
(suposta constante) durante seu movimento na pista 
para decolar? 
(b) Depois de o Piper decolar, qual era seu 
ângulo de vôo acima da horizontal? 
(c) Qual era sua taxa de elevação (em m/s
2
) 
(d) Qual o tempo decorrido desde o início do 
movimento ate o instante em que o Piper passa rente â 
linha de transmissão? 
 
3.40 Um instrutor (que também e professor de 
tísica) treina um atleta a arremessar um dardo de modo 
que ele saia da mão do atleta, a uma altura h com 
velocidade 
25 8gh
formando um ângulo de 36.9
0
 
acima da horizontal. O dardo continua voando ate 
atingir o solo. O campo em torno do atleta é plano e a 
resistência do ar é desprezível. 
(a) Faça um desenho da velocidade horizontal 
do dardo cm função do tempo e da velocidade vertical o 
dardo em função do tempo, 
(b) Calcule a altura máxima alcançada pelo 
dardo, 
(c) Calcule a distância horizonlal que o dardo 
percorreu desde o instante em que ele deixou a mão do 
atleta até o instante em que atingiu o solo. 
 
3.41 Uma equipe de demolição usa dinamite 
para explodir um edifício velho. Fragmentos da 
explosão voam em todas as direções, e mais tarde são 
encontrados num raio de 50 m da explosão. Faça uma 
estimativa da velocidade máxima atingida pêlos 
fragmentos da explosão. Descreva todas as hipóteses 
que você usar. 
 
3.42 Uma dublê de cinema pula de um 
helicóptero em voo a 30.0 m acima do solo com 
velocidade constante cujo componente vertical e igual a 
10.0 m/s de baixo para cima c cujo componente 
horizontal é igual a 15.0 m/s do norte para o sul. 
Despreze a resistência do ar. 
(a) Em que lugar do solo (em relação ao ponto 
onde ela abandonou o helicóptero) a duble colocou 
almofadas de espuma para amortecer sua queda? 
(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o 
movimento. 
 
3.43 No combate a incêndios em florestas, 
avióes jogam água para ajudar equipes que trabalham 
no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa 
com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo 
no solo. Se o avião está voando horizontalmente a 90.0 
m acima do solo com velocidade de 64,0 m/s, a que 
distância horizontal do alvo deve o piloto lançar a 
caixa? Despreze a resistência do ar. 
 
3.44 Uma garota joga um saco com água a um 
ângulo de 50.0
0
acima da horizontal com velocidade de 
12.0 m/s. O componente horizontal da velocidade do 
saco é direcionado para o carro que se aproxima da 
garota com velocidade constante de 8.00 m/s. Supondo 
que o saco atinja o carro na mesma altura em que ele 
abandona a mão da garota, qual é a distância máxima 
que o carro pode estar da garota quando o saco c 
jogado? Despreze a resistência do ar. 
 
3.45 Maior alcance de uma bola de beisebol. 
De acordo com o Guinness Book of World Records o 
recorde de alcance de uma bola de beisebol foi obtido 
cm uma batida feita por Roy "Dizzy" Carlyle. A bola 
percorreu uma distância horizontal de 188 m ale atingir 
o solo fora do campo, 
(a) Supondo que a bola tenha sido lançada a 
45,0
0
 acima da horizontal e desprezando a resistência 
do ar, qual era a velocidade inicial da bola para que isso 
ocorresse, sabendo-se que a bola foi batida em um 
ponto a 0,9 m acima do nível do solo? Suponha que o 
solo seja perfeitamente plano. 
(b) Em que ponto a bola passou acima da cerca 
de 3,0 m de altura, sabendo-se que a cerca estava a uma 
distância de 116 m do ponto do lançamento da bola? 
 
 
 
 
 v = 8,00 m/s.. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.36 - Problema 3.44. 
 
3.46 Um dia após sua graduação, você decidiu 
lançar um fósforo aceso no topo de uma lixeira 
cilíndrica (diâmetro D e altura 2D) cheia de papéis 
velhos com exercícios para casa. Para tomar esse evento 
mais esportivo, a parte inferior da lixeira está no mesmo 
nível do ponto em que o fósforo deixa a sua mão, e a 
lixeira está a uma distância horizontal de 6D do ponto 
em que o fósforo deixa a sua mão. Você lança o fósforo 
com ângulo de 45.0
0
 acima da horizontal. Ache o valor 
máximo e o valor mínimo da velocidade inicial do 
lançamento para que o fósforo entre pela parle superior 
da lixeira. Despreze a resistência do ar e dê sua resposta 
em termos de g e de D. 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
44 
 
3.47 Você deseja jogar uma bola para um 
amigo segurá-la no meio do seu quarto. A distância 
entre o chão e o teto é igual a D evocê lança a bola com 
velocidade 
0 6v gD
. Qual é a distância horizontal 
máxima (cm termos de D) que a bola pode se deslocar 
sem que ela seja rebatida pelo teto? (Suponha que a 
bola tenha sido lançada do chão.) 
 
3.48 Uma bola de beisebol ê batida com 
ângulo de 60,0
0 
acima da horizontal e atinge um edifício 
a 18.0 m de distância em um ponto a 8.00 m acima do 
ponto de lançamento. Despreze a resistência do ar. 
(a) Calcule o módulo da velocidade inicial da 
bola de beisebol (a velocidade de lançamento da bola de 
beisebol), 
(b) Determine o módulo, a dircção e o sentido 
da bola de beisebol imediatamente antes de ela atingir o 
edifício. 
(c) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o 
movimento. 
 
3.49 Um projétil é lançado com velocidade v0 
formando um ângulo 0 com a horizontal. O ponto de 
lançamento está situado a uma altura l: acima do solo. 
(a) Desprezando a resistência do ar, mostre que 
a distância horizontal percorrida pelo projétil antes de 
ele atingir o solo é dada por 
 
2 20 0
0 0 0 0
cos
2
v
x v sen v sen gh
g
 
 
Verifique que, se o ponto de lançamento estivesse 
situado no mesmo nível dosolo. isto é, h = 0 essa 
expressão se reduziria ao alcance horizontal R 
encontrado. 
(b) Para o caso v0 = 10 m/s e h = 5,0 m, faça 
um gráfico de x em função do ângulo de lançamento 0 
para valores de 0 de 0
0
 a 90
0
. Seu gráfico deve mostrar 
que x é igual a zero para 0 = 90
0
, mas x é diferente de 
zero para 0 = 0
0
; explique a razão disso, 
 (c) Vimos no Exemplo 3.9 que, quando o 
projétil atinge o solo no mesmo nível em que ele é 
lançado, o alcance horizontal é máximo para 0 = 45
0
. 
Para o caso desenhado no item (b), o ângulo de 
lançamento para o alcance horizontal máximo é igual a, 
maior que ou menor que 45
0
? 
(Este problema fornece um resultado geral para o 
lançamento de um projétil lançado de um ponto mais 
elevado do que o ponto onde ele atinge o solo.) 
 
3.50 Uma bola de neve rola do telhado de um 
celeiro que possui uma inclinação para baixo igual a 40
0
 
A extremidade do telhado está situada a 14.0 m acima 
do solo e a bola de neve possui velocidade de 7,00 m/s 
quando ela abandona o telhado. Despreze a resistência 
do ar. 
(a) A que distância do celeiro a bola de neve 
atingirá o solo caso não colida com nada durante sua 
queda? 
(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o 
movimento da parte (a), 
(c) Um homem de 1.9 m de altura está parado 
a uma distância de 4,0 m da extremidade do celeiro. Ele 
será atingido pela bola de neve? 
 
3.51 – (a) Prove que um projétil lançado em 
um ângulo 0 possui o mesmo alcance horizontal de 
outro lançado com a mesma velocidade em um ângulo 
(90 - 0). 
(b) Uma râ pula com uma velocidade de 2.2 
m/s e chega ao solo a 25 cm de distância de seu ponto 
inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela 
poderia ter pulado? 
 
3.52 No trapézio voador. Em um novo circo, 
Maria oscila em um trapézio, projeta-se a um ângulo de 
53 e deve ser segurada por João, cujas mãos estão a 6.1 
m acima e 8.2 m horizontalmente do ponto de 
lançamento de Maria. Despreze a resistência do ar. 
(a) Qual deve ser a velocidade inicial de Maria 
para que ela seja segurada por João? 
(b) Para a elocidade inicial calculada em (a), 
qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade de 
Maria quando ela é segurada por João? 
(c) Supondo que Maria possua a velocidade 
inicial calculada em (a), faça diagramas x-t, y-t, vx-t e 
vy-t para o movimento dos dois trapezistas. 
Seus gráficos devem mostrar o movimento 
para cima até o instante cm que Maria alcança João. 
(d) Na noite de estreia, João não consegue 
segurar Maria. Qual a distância horizontal percorrida 
por Maria, a partir de seu ponto inicial, até o momento 
em que ela atinge a rede de segurança situada a 8.6 m 
abaixo de seu ponto inicial? 
 
3.53 Um professor de física faz. proezas loucas 
em suas horas vagas. Sua última façanha foi saltar sobre 
um rio com sua motocicleta. A rampa de decolagem era 
inclinada de 53.0
0
, a largura do rio era de 40,0 m, e a 
outra margem estava a 15.0 m abaixo do nível da 
rampa. O rio eslava a 100 m abaixo do nível da rampa. 
Despreze a resistência do ar. 
(a) Qual deveria ser sua velocidade para que 
ele pudesse alcançar a outra margem sem cair no rio? 
(b) Caso sua velocidade lesse igual á metade 
do valor encontrado em (a), onde ele cairia? 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.38- Problema 3.50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.37- Problema 3.50 
 
 
3.54 Uma pedra é atirada do telhado de um 
edifício com velocidade v0, formando um ângulo 0 
com a horizontal. Despreze a resistência do ar. 
Determine o módulo, a direção e o sentido da 
velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o 
solo e mostre que essa velocidade não depende de 
ângulo 0. 
 
3.55 Um jogador de basquete recebe uma 
pancada na disputa de um lance. Como prémio, ele 
poderá lazer dois lances livres. O centro da cesta está 
situado a uma distância horizontal de 4,21 m da linha 
do lançamento livre e a uma altura de 3,05 m acima do 
solo. Na primeira tentativa do lance livre, ele lança a 
bola com velocidade V0 = 4.88 m/s formando um 
ângulo de 35
0
 acima da horizontal. A bola é lançada a 
1.83 m acima do solo. Esse lançamento não atingiu a 
cesta. Despreze a resistência do ar. 
(a) Qual a altura máxima atingida pela bola? 
(B) Qual a distância ao longo do solo entre o 
ponto onde a bola atinge o solo e a linha do lançamento 
livre? 
(c) No segundo lançamento livre, a bola entra 
na cesta. Para esse segundo lançamento, o jogador 
novamente lança a bola com um ângulo de 35
0
 acima da 
horizontal e a uma altura de 1.83 m acima do solo. Qual 
foi a velocidade inicial desse segundo lançamento? 
(d) Para o segundo lançamento, qual a altura 
máxima atingida pela bola? Qual a distância ao longo 
do solo entre o ponto onde a bola atinge a cesta e a 
linha do lançamento livre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.40 Problema 3.55. 
 
3.56 Romeu joga um seixo na janela de JuliEta 
para acordÁ-la. Infelizmente, o seixo nÃo era muito 
pequeno e a velocidade inicial do lançamento lambem 
não era muito pequena. Imediatamente antes de quebrar 
o vidro da janela, o seixo se move horizontalmente, 
tendo já percorrido uma distância horizontal x e uma 
distância vertical y como um projétil. Determine o 
módulo, adireção e o sentido da velocidade inicial do 
seixo no momento em que ele abandona a mão de 
Romeu. 
 
3.57 Um foguete está inicialmente em repouso 
no solo. Quando seu motor é ligado, ele dispara em 
linha rela com uma aceleração constante de módulo 
igual a g formando um angulo de 53, l
0 
acima da 
horizontal. O motor para em um dado instante 7s após o 
lançamento, depois do qual o foguete se torna um 
projétil. Despreze a resistência do ar e suponha que g 
não depende da altura, 
(a) Faça um diagrama do movimento do 
foguete, desde o momento em que ele é lançado até o 
instante em que ele retorna ao solo. Indique o vetor 
velocidade e o vetor aceleração em vários pontos ao 
longo da trajelória. 
(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o 
movimento do foguete desde o momento em que ele é 
lançado ate o instante cm que cie retorna ao solo. 
(c) Ache a altura máxima atingida pelo 
foguete. Sua resposta deve ser dada em função de T e de 
g. 
(d) Ache a distância horizontal entre o ponto 
em que ele e lançado ate o ponto em que ele retorna ao 
solo (isto é, seu alcance). Sua resposta deve ser dada em 
função de T e de g. 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
46 
3.58 Em um filme de aventura, o herói joga 
uma granada de seu carro, que se desloca a 90.0 km/h. 
atingindo o carro do inimigo, que se desloca a 110,0 
km/h. O carro do inimigo está a 15.8 m a frente do carro 
do herói quando ele joga a granada. Se o lançamento é 
tal que sua velocidade inicial em relação a ele forma um 
ângulo de 45
0 
acima da horizontal. qual deve ser o 
módulo da velocidade inicial? Os dois carros se 
deslocam no mesmo sentido numa estrada retilínea e 
plana. Despreze a resistência do ar. Ache o modulo da 
velocidade inicial em relação ao herói e em relação a 
Terra. 
 
3.59 Uma pedra amarrada em uma corda se 
move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em 
função do tempo por: 
cosx t R t
 
sy t R en t
 
onde R e são constantes, 
(a) Mostre que a distancia da pedra até a 
origem é constante e igual a R, ou seja, sua trajetória e 
uma circunferência de raio R. 
(b) Mostre que cm cada ponto o velor 
velocidade é perpendicular ao vetor posição, 
(c) Mostre que o vetor aceleração é sempre 
oposto ao vetor posição e possui módulo igual a R. 
(d) Mostre que o módulo da velocidade da 
pedra e constante c igual a v
2
/R. 
(e) Combine os resultados das partes (c) e (d) 
para mostrar que a aceleração dapedra possui modulo 
constante igual a v
2
/R. 
 
3.60 A velocidade escalar de uma partícula que 
se move em um plano xy é igual ao módulo da 
velocidade instantânea. 
2 2
x yv v v v
 
(a) Mostre que a taxa de variação da 
velocidade escalar e dada por : 
2 2
x x y y
x y
v a v a
v v
 
(b) Use essa expressão para achar dv/dt no 
instante t = 2.0 s para o carro com controle remoto dos 
Exemplos 3.1. 3.2 c 3.3. Compare sua resposta com os 
componentes da aceleração encontrados no Exemplo 
3.3. Explique por que sua resposta não é igual ao 
módulo da aceleração encontrado na parte (b) do 
Exemplo 3.2. 
(c) Mostre que a taxa de variação da 
velocidade escalar pode ser expressa como: 
dv v a
dt v
 
e use esse resultado para entender por que 
dv
a
dt
 
 o componente de a paralelo a v. 
 
3.61 Uma partícula se move em um plano xy . 
Suas coordenadas são dadas em função do tempo por: 
x t R t sen t
 
1 sy t R en t
 
onde R e são constantes, 
(a) Faça um esboço da trajelória da partícula. 
(Essa curva e a trajetória de um ponto que se desloca na 
periferia de uma roda que rola com velocidade escalar 
constante numa superfície horizonial. A curva traçada 
por esse ponto enquanto ele se move no espaço 
denomina-se ciclóide) 
(b) Determine os componentes da velocidade e 
da aceleração da partícula em qualquer tempo. 
(c) Para que instantes a partícula está 
momentaneamente em repouso? Quais são as 
coordenadas da partícula nesses instantes? Determine o 
vetor aceleração. 
(d) O módulo da aceleração é função do 
tempo? Compare com o movimento circular uniforme. 
 
3.62 Você esta voando em um avião leve. 
relatando as condições do tráfego para uma emissora de 
rádio. Seu vôo se dirige de oeste para leste sobre uma 
estrada. Os marcos da estrada abaixo indicam que sua 
velocidade e igual a 50.0 m/s em relação ao solo e seu 
indicador de velocidade do ar também mostra 50.0 m/s. 
Contudo, a frente de seu avião aponta ligeiramente para 
uma direção sudeste e um luncionário do serviço de 
meteorologia informa a você que está soprando um 
vento de 20.0 m/s. Qual é a direção do vento? 
 
3.63 O problema do pombo-correio. Lúcia 
está dirigindo de oeste para leste a 40 km/h. Seu irmão 
gémeo Fernando dirige de leste para oeste a 30 km/h. se 
aproximando de Lúcia em um carro idêntico na mesma 
estrada retilínca. Quando a distância entre eles e de 42 
km. Lúcia solta um pomho-correio que voa com 
velocidade constante de 50 km/h. (Todas as velocidades 
são em relação á Terra.) O pombo voa no sentido de 
Fernando, fica confuso e retorna no sentido de Lúcia, 
fica mais confuso e retorna no sentido de Fernando. Isso 
continua ate que os gêmeos se encontram, instante em 
que o pombo correio cai no chão exausto. Desprezando 
o tempo das mudanças de direção, qual foi a distância 
percorrida pelo pombo-correio? 
 
3.64 Quando a velocidade de um trem e de l2,0 
m/s de oeste para leste, gotas de chuva caindo 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
47 
verticalmente em relação à Terra fazem traços 
inclinados de 30.0
0
 nas janelas do trem. 
(a) Qual o componente horizontal da 
velocidade da gota de chuva em relação à Terra? E em 
relação ao trem? 
(b) Qual o módulo da velocidade da gota de 
chuva em relação à Terra? E em relação ao trem? 
 
3.65 Dm piloto de avião coloca o curso da 
direção de leste para oeste com uma bússola e mantém 
uma velocidade em relação ao ar de 220 km/h. Depois 
de voar durante 0.500 h, ele se encontra sobre uma 
cidade a 120 km a oeste e 20 km ao sul da sua posição 
inicial, 
(a) Ache a velocidade do vento (módulo, 
direção e sentido). 
(b) Se a velocidade do vento tosse igual a 40 
km/h do norte para o sul, em que direção o piloto 
deveria orientar seu curso para que pudesse se dirigir de 
leste para oeste. Considere a mesma velocidade em 
relação ao ar de 220 km/h. 
 
3.66 Um avião voa de um ponto diretamentc 
sobre Metrópolis a um ponto diretamente sobre 
Bra.sópolis, a seguir dá, uma volta e retorna ao ponto de 
partida. A velocidade do ar (isto é, a velocidade do 
avião em relação ao ar) é constante e igual a u durante o 
voo. Brasópolis esta a uma distância D a leste de 
Metrópolis. 
(a) Caso não exista vento, quanto tempo é 
necessário para a viagem de ida e volta? Quanto tempo 
é necessário para a viagem de ida e volta se o vento 
sopra com velocidade w, 
(b) de oeste para leste, 
(c) do norte para o sul? 
(d) Supondo D = 3.00.10
2
 km, v = 4,00.10
2
 
km/h e w = l ,00.10
2
 km/h, calcule o tempo necessário 
para a viagem de ida e volta nos casos (a), (b) e (c). 
Qual dos três fornece a viagem de ida e volta mais 
lenta? 
 
3.67 Um elevador se move de baixo para cima 
com velocidade constante de 2,50 m/s. Um parafuso no 
teto do elevador está frouxo e cai. 
(a) Quanto tempo ele leva para atingir o piso 
do elevador? Qual é a velocidade do parafuso no 
momento em que ele atinge o piso do elevador 
(b) para um observador dentro do elevador? 
(c) E para um observador parado fora do 
elevador? 
(d) Para o observador do item (c), qual é a 
distância percorridapelo parafuso entre o teto e o piso 
do elevador? 
 
 
 
 PROBLEMAS DESAFIADORES 
3.68 Um homem está sobre uni vagão largo e 
aberto, que sedesloca com velocidade de 9,10 m/s 
(Figura 3.41). Ele deseja lançar uma bola através de um 
aro em repouso a uma altura de 4,90 m de sua mão, de 
tal modo que a bola se mova horizontalmente quando 
ela passar através do aro. Ele lança a bola com 
velocidade de 10,8 m/s em relação a si próprio, 
(a) Qual deve ser o componente vertical da 
velocidade inicial da bola? 
(b) Quantos segundos após o lançamento da 
bola ela passará através do aro? 
(c) A que distância horizontal à frente do aro 
ele deve lançar a bola? 
(d) Quando a bola deixa a mão do homem, 
qual é a direção de sua velocidade relativa em relação 
ao vagão? E em relação a um observador em repouso no 
solo? 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.41 Problema Desafiador 3.68. 
 
 
3.69 Uma espingarda dispara de baixo para 
cima um grande número de pequenas pelotas. Algumas 
delas se deslocam aproximadamente na vertical e outras 
divergem cerca de 1,0° da vertical. Suponha que a 
velocidade inicial das pelotas seja uniforme para todas e 
igual a 150,0 m/s. Despreze a resistência do ar. 
(a) Dentro de que raio a partir do ponto do 
disparo as pelotas se distribuem? 
(b) Caso haja 1000 pelotas e elas caiam em um 
círculo cujo raio foi calculado na parte (a), qual a 
probabilidade de que pelo menos uma pelota caia na 
cabeça da pessoa que fez o disparo? 
Suponha que seja de 10 cm o raio da sua 
cabeça, 
(c) A resistência do ar de fato produz diversos 
efeitos. Ela faz diminuir a velocidade da pelota que 
sobe, faz diminuir o seu componente horizontal e limita 
a velocidade com a qual elas caem. Qual desses efeitos 
poderá fazer aumentar o raio no cálculo que você tez 
para responder ao item (a) e qual poderá fazer 
diminuir? O que você pensa sobre o efeito global da 
resistência do ar? (O efeito da resistência do ar sobre 
um componente da velocidade aumenta quando o 
módulo da velocidade desse componente aumenta.) 
 
3.70 Um projétil é lançado de um ponto P. Ele 
se move de tal modo que sua distância ao ponto P é 
sempre crescente. Determine o ângulo máximo acima 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
48 
da horizontal com o qual o projétil foi lançado. 
Despreze a resistência do ar. 
 
3.71 Uma bola de beisebol recebe uma 
velocidade inicial com módulo v0 formando um ângulo 
φ com um plano que está inclinado de um ângulo θ 
acima da horizontal (Figura 3.42). 
(a) Calcule a distância, medida ao longo do 
plano inclinado, entre o ponto de lançamento e o ponto 
em que a bola colide com o plano inclinado. Suas 
respostasserão em termos de v0, g, θ e φ . 
(b) Qual o ângulo φ que fornece o alcance 
máximo, medido ao longo do plano inclinado? 
(Nota: Você poderia se interessar pêlos três 
diferentes métodos de solução apresentados por L R. 
Lapidus na revista Am. Jour. Of Phys., Vol. 51. (1983). 
pp. 806 e 847. Veja também H. A. Buckmaster na 
revista/tf». Jour. Of Phys., Vol. 53 (1985), pp. 63S-641. 
para um estudo aprofundado deste e de outros 
problemas semelhantes.) 
 
FIGURA 3.42 Problema Desafiador 3.71. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.72 Considere o Problema Desafiador 3.71. 
(a) Um arqueiro se encontra em um terreno 
com inclinação constante de 30.0
0
 e deseja atingir um 
alvo situado a uma distância de 60.0 m para cima do 
plano inclinado. O arco, a flecha e o centro do alvo 
estão situados a uma distância de 1,50 m acima do 
plano inclinado. A velocidade inicial da flecha no exato 
momento em que ela sai do arco possui módulo igual a 
32,0 m/s. Para que ângulo acima da horizontal o 
arqueiro deve apontar para atingir o centro do alvo? 
Caso existam dois ângulos, ache o menor entre os dois. 
Você poderia resolver a equação que fornece o ângulo 
através de uma iteração, ou seja, pelo método das 
tentativas. Como esse ângulo estaria relacionado com o 
ângulo que seria obtido supondo-se um terreno plano 
com inclinação igual a zero? 
(b) Repita o item (a) para uma inclinação pura 
baixo constante e igual a 30,0
0
. 
 
3.73 Sem nenhum motivo aparente, um cão 
poodie corre com velocidade constante v = 5,00 m/s em 
torno de um círculo com raio R = 2,50 m. Seja 
1v
 o 
vetor velocidade no tempo t1 e 
2v
, o vetor velocidade 
no tempot2. Considere: 
2 1v v v
 
E 
2 1t t t
Lembre-se de que: 
m
v
a
t
 
Para Δt = 0,5 s, 0,1s, calcule o módulo (com 
quatro algarismos significativos), a direção e o sentido 
da aceleração média. Compare seus resultados com a 
expressão geral da aceleração instantânea a obtida no 
texto para o caso do movimento circular uniforme. 
 
3.74 Um foguete projetado para colocar 
pequenas cargas em órbita é conduzido a uma altura de 
12,0 km acima do nível do mar por uma aeronave 
convertida. Quando a aeronave está voando em linha 
reta com velocidade constante de 850 km/h, o foguete é 
lançado. Depois do lançamento, a aeronave mantém a 
mesma altitude e velocidade e continua a voar cm linha 
reta. O foguete cai durante um intervalo de tempo 
pequeno, depois do qual seu motor éacionado. Com o 
motor funcionando, o efeito combinado da gravidade e 
da força motriz produzem uma aceleração constante de 
módulo 3,00 g dirigida para cima e formando um 
ângulo de 30,0
0
 com a horizontal. Por razões de 
segurança, o foguete deve pemanecer pelo menos a uma 
distância de l ,00 km à frente da aeronave quando ele 
sobe até atingir a altura da aeronave. Sua tarefa é 
calcular o intervalo de tempo mínimo da queda do 
fogueie antes do seu motor ser acionado. Despreze a 
resistência do ar. Sua solução deve incluir: 
(i) um diagrama que mostre as trajetórias do 
voo do foguete e da aeronave, identificadas mediante 
seus respectivos velores para a velocidade e a 
aceleração em diversos pontos; 
(ii) um gráfico x-t que mostre os movimentos 
do foguete e da aeronave; e 
(iii) um gráfico v-t que mostre os movimentos 
do foguete e da aeronave. Nos diagramas e nos gráficos, 
indique o instante em que o foguete é lançado, o 
instante em que o motor é acionado e o instante em que 
o foguete sobe atingindo a altura da aeronave. 
 
3.75 Dois estudantes estão praticando 
canoagem em um rio. Quando eles estão se dirigindo no 
sentido contrário ao da corrente, uma garrafa vazia cai 
acidentalmente da canoa. A seguir, eles continuam 
remando durante 60 minutos, atingindo um ponto 2.0 
km a montante do ponto inicial. Nesse ponto eles notam 
a falta da garrafa e, pensando na preservação do meio 
ambiente, dão uma volta e retomam no sentido da 
corrente. Eles recolhem a garrafa (que acompanhou o 
movimento da corrente) em um ponto situado a 5,00 km 
a jusante do ponto onde eles retornaram, 
(a) Supondo que o esforço feito para remar 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
49 
seja constante em todas as etapas do trajeto, qual a 
velocidade de escoamento do rio? 
(b) Qual seria a velocidade da canoa em um 
lago calmo, supondo que o esforço feito para remar seja 
o mesmo? 
 
 
Figuras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori. 
 
50 
 Referência: 
 Sears e Zemansky – Física I, 10a Edição – 
Mecânica – Editora Pearson. 
 
 
Provas Data 
P1 25/03 
P2 13/05 
P3 24/06 
R 28/06 
 
1 2 3
3
S
P P P
M
 
5
2
S
S s
M R
M M