Introduzindo o conceito de logaritimo com a calculadora científica

Prévia do material em texto

142 
 
INTRODUZINDO O CONCEITO DE LOGARITMO COM A CALCULADORA 
CIENTÍFICA 
 
 
Erivam Lima Laureano 
Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco-Brasil 
ellaureano@yahoo.com.br 
 
Kátia Maria de Medeiros 
Universidade Estadual da Paraíba-Brasil 
katia.medeiros@sapo.pt 
 
 
Resumo: Este artigo apresenta uma experiência didáctica que teve como problema de pesquisa 
saber como os alunos iniciam o estudo do conceito de logaritmo através de uma situação-problema, com o 
uso da calculadora científica. Os logaritmos são abordados no ensino da Matemática, nomeadamente, 
aspectos referentes a este tema na História da Educação Matemática Brasileira e situações nas quais o uso 
dos logaritmos se mostra pertinente. No contexto da História da Educação Matemática Brasileira 
emergem duas concepções: a concepção aritmética e a concepção algébrico-formal. A relação entre os 
logaritmos e a calculadora científica é feita na secção seguinte, na qual tratamos, a princípio, do uso da 
calculadora defendido em alguns documentos curriculares internacionais e nacionais. Também abordamos 
alguns aspectos fundamentais referentes ao uso da calculadora na sala de aula de Matemática, bem como 
as estratégias dos alunos durante seu uso e os novos papéis que este instrumento requer naquele ambiente. 
A Didáctica da Matemática Francesa é o referencial teórico para interpretarmos a situação-problema, para 
a qual fizemos uma análise a priori, a fim de prever potencialidades e limites da mesma, quando de sua 
utilização pelos alunos. A experiência didáctica foi desenvolvida em uma turma de 1º ano do Ensino 
Médio, nocturno, de uma escola pública estadual do município de Massaranduba, na Paraíba. As 
actividades na sala de aula ocorreram em duas sessões. Na primeira, buscamos, a princípio, familiarizar 
os alunos com o uso da calculadora de quatro funções e depois da calculadora científica. Na sessão 
seguinte, apresentamos uma situação-problema, na qual o uso da calculadora científica foi um recurso 
importante para o início da compreensão do conceito de logaritmo. Os resultados mostram a utilização da 
calculadora científica como elemento catalisador da compreensão inicial do conceito de logaritmo, 
durante a resolução da situação-problema nas duplas. 
 
 
Introdução 
 
 Nesta experiência didáctica partimos, a princípio, como fundamentação teórica, 
da abordagem sobre os logaritmos e o ensino da Matemática, apresentando duas 
concepções importantes para este tema: a concepção aritmética e a concepção algébrico 
– funcional. De seguida, vamos abordar a calculadora científica e o ensino dos 
logaritmos, onde a aprendizagem dos logaritmos é incrementada pelo uso deste 
instrumento. A situação-problema na Didáctica da Matemática Francesa, fundamentou o 
tipo de situação-problema que vamos utilizar em nossa experiência didáctica. Na 
metodologia apresentamos como pretendemos chegar à consecução dos objectivos 
143 
 
propostos e na análise a priori, levantamos algumas possibilidades de resolução da 
situação-problema pelos alunos. Por fim, analisamos os resultados e concluímos. 
 
 
Os logaritmos no ensino da matemática 
Por fim, os autores mostram diversos tipos de situações nas quais os logaritmos 
poderiam intervir e desempenhar algum papel. Alguns exemplos dessas situações são o 
crescimento de bactérias em um meio em função do tempo, a quantificação de níveis de 
intensidade sonora, a resolução de problemas envolvendo juros compostos e o estudo 
quantitativo da relação entre a altura e a freqüência dos sons emitidos por notas 
musicais. Os autores fazem o estudo mais detalhado de apenas duas delas: a quantidade 
de níveis de intensidade sonora (os logaritmos e os decibéis) e a relação entre a altura e 
a freqüência dos sons emitidos por notas musicais (os logaritmos e as teclas do piano). 
 
 
A calculadora científica e o ensino de logaritmos 
 
O uso das calculadoras vem sendo defendido em diversos documentos 
curriculares no âmbito nacional e internacional. No Brasil, os Parâmetros Curriculares 
Nacionais para o Ensino Fundamental (PCN,1997) apontam a calculadora, juntamente 
com o computador, como um dos quatro recursos a que o professor de Matemática pode 
recorrer17. Nas Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, (PCN+ Ensino Médio, 2002) o 
uso das calculadoras também é sublinhado. Neste documento curricular, o uso das 
calculadoras é defendido, uma vez que permite abordar problemas com dados reais, ao 
mesmo tempo que o aluno pode se familiarizar com as máquinas. 
No âmbito internacional, o NCTM (National Council Teachers of Mathematics) 
dos EUA, em seu Yearbook de 1992 (NCTM, 1992) apresenta alguns exemplos de 
utilização das calculadoras nos Estados Unidos, Reino Unido e Suécia. Neste 
documento curricular, são apresentadas actividades com a calculadora científica, nas 
quais esse intrumento é um recurso didáctico que pode contribuir na compreensão de 
alguns conceitos importantes, como o de limite. Um outro documento internacional, da 
Escócia, foi apresentado pelo Scottish CCC’s Review Group Advanced Calculators and 
Mathematics Education (SCCC,1998). Este documento recebeu muitas propostas de 
apoio da comunidade educacional daquele país. Nele, na secção 2, onde são 
apresentadas perspectivas sobre as calculadoras e a Educação Matemática, o Grupo 
afirma que as calculadoras eletrônicas foram inventadas há, aproximadamente, trinta 
anos atrás. A partir de então, elas têm-se tornado mais sofisticadas e poderosas. As 
principais envolviam os tipo de quatro funções, que permitem ao usuário trabalhar com 
as quatro operações da aritmética. As calculadoras científicas, por sua vez, permitem a 
realização de cálculos mais sofisticados. Este tipo de calculadora tem mudado 
significativamente, o modo através do qual a Matemática é ensinada, permitindo que 
mais tempo seja gasto em aplicações e compreensões conceptuais. As calculadoras 
científicas têm apoiado alguns objectivos principais da Educação Matemática, uma vez 
que tornam mais fácil, para os alunos, resolver problemas em situações da vida real. 
 
17 Os outros três são a Resolução de Problemas, a História da Matemática e os Jogos. 
144 
 
Raízes quadradas tabelas trigonométricas e logarítmicas têm sido superadas pelas 
funções incorporadas nas calculadoras científicas. Além dessas funções, mais 
recentemente, têm sido construídas versões com funções estatísticas e lógica algébrica 
directa. Durante os anos 80, capacidades gráficas, antes só encontradas em 
computadores, foram acrescentadas às calculadoras. Os quatro tipos de calculadora: 
quatro funções, científica, gráficas e as CAS (Computer Algebra System) são 
apresentadas no apêndice do documento. 
Apesar do inegável potencial que possuem as calculadoras para a Educação 
Matemática, o documento escocês (SCCC,1998) enfatiza que as calculadoras não 
devem substituir a proficiência pessoal, com o que concordamos, pois defendemos um 
uso criterioso deste instrumento, em qualquer nível de ensino. 
Durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola de segundo grau (o 
actual Ensino Médio no Brasil) ou no início dos cursos superiores de Matemática. 
Também por muitos anos, a régua de cálculo logarítmica, (Campagner, 2008) pendurada 
no cinto, num bonito estojo de couro, foi o símbolo do estudante de engenharia no 
campus universitário. Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais 
baratas calculadoras portáteis, ninguém mais, em sã consciência, usa uma tábua de 
logaritmos ou uma régua de cálculos para fins computacionais. 
Karrer e Magina (2000) em um estudo preliminar sobre o processo de ensino-
aprendizagem dos logaritmos, com alunos da 1ª Série do Ensino Médio, relatam que um 
ponto importantedo mesmo foi o comportamento inicial das alunas diante da utilização 
da calculadora científica. Uma das alunas participantes mostrou, no primeiro encontro, 
uma certa repulsa em utilizá-la, como se este uso fosse vergonhoso ou indicasse 
incompetência. Essa crença da aluna ficou exposta quando ela afirmou que não era 
necessário resolver as contas através da calculadora, porque ela sabia fazer sozinha. Por 
isso, as outras alunas que usavam a calculadora, terminavam o exercício mais rápido 
que ela. As autoras ainda constataram que as alunas não sabiam operar com a 
calculadora científica, talvez porque o ensino actual praticamente não admite o uso 
desta máquina. Diante desta situação, as autoras passaram a orientá-las para o uso deste 
instrumento para o cálculo de potências. Uma das conclusões deste estudo foi que a 
calculadora científica, antes considerada como uma ferramenta desnecessária, passou a 
assumir um papel de facilitadora dos cálculos. 
No estudo referido acima, a calculadora científica passou a ter, portanto, uma 
função de ferramenta cognitiva. Ruthven (1992) afirma que, idealmente, uma 
ferramenta cognitiva não seria apenas capaz de permitir assimilação para estabelecer 
modos de pensamento, mas também apoiar o crescimento cognitivo e a mudança nas 
concepções do usuário. Para este autor, um importante elemento do uso racional das 
calculadoras na sala de aula de Matemática é o facto de elas não oferecerem 
simplesmente um mecanismo para calcular e/ou desenhar, mas um meio capaz de 
propiciar pensamento e aprendizagem. 
A utilização da calculadora na sala de aula de Matemática, a partir da perspectiva 
defendida por diversos autores (Imenes et al., 1992; Karrer & Magina, 2000; Lopes, 
1998; Medeiros, 2003; Ruthven, 1992) implica em novos papéis a serem assumidos pelo 
professor, pelo aluno e uma nova concepção de conhecimento matemático. O professor 
não tem mais o papel de detentor do conhecimento, mas o de organizador das condições 
didácticas e o conhecimento não sendo mais concebido linearmente, em 
compartimentos estanques, mas em rede de relações (Machado, 2005), o que também 
permite abordá-lo em diferentes quadros (Douady, 1986). 
145 
 
Podemos depreender, portanto, dos documentos curriculares apresentados, do 
estudo de Karrer e Magina (2000) e das afirmações de Ruthven (1992) que a 
calculadora científica pode ser uma importante ferramenta para a compreensão do 
conceito de logaritmo. Entretanto, ainda é importante, no Brasil, a modificação de 
crenças que impedem ou limitam a exploração deste instrumento de modo mais eficaz 
na sala de aula de Matemática. 
 
 
Situação-problema na didática da matemática francesa 
 
 Ao observamos a História da Matemática, podemos perceber que a Matemática 
se desenvolveu e se desenvolve a partir de problemas que surgem no cotidiano de uma 
determinada cultura, em um certo momento, a partir de problemas motivados por outras 
ciências, problemas do cotidiano ou problemas internos, que se referem exclusivamente 
ao conhecimento matemático (PCN, 1997). Em todos os casos que citamos, podemos 
perceber a existência de um problema que motiva o desenvolvimento de um conceito 
matemático. 
Uma situação-problema possui características distintas de um problema, mas 
também pode propiciar o desenvolvimento de conceitos matemáticos significativos, fora 
da sala de aula e também no interior deste ambiente. Na Didáctica da Matemática 
Francesa, como afirma Henry (1991), uma situação-problema é a escolha de questões 
abertas, numa situação mais ou menos matematizada, envolvendo um campo de 
problemas colocando-se num ou nos vários quadros18. Para Almouloud (1997) a função 
principal de uma situação-problema é a utilização implícita, depois explícita, de novas 
ferramentas matemáticas, através de questões que o aluno se coloca no momento de sua 
pesquisa. 
Os didactas, segundo este autor, definiram as condições para que uma situação-
problema conduza à aquisição de novas ferramentas: (i) Os alunos compreendem 
facilmente os dados e podem começar a exploração desses dados com conhecimentos 
antigos. Podem conceber claramente o que é uma resposta possível e pertinente à 
questão colocada; (ii) A situação-problema se refere a um campo conceptual19que 
desejamos efectivamente explorar, e onde situam-se as aprendizagens visadas; (iii) Os 
conhecimentos antigos dos alunos são insuficientes para a resolução imediata do 
problema; (iv) Os conhecimentos, objectos de aprendizagem, fornecem as ferramentas 
adaptadas para obter a solução; (v) A questão pode ser formulada nos vários quadros: 
quadros algébrico, geométrico, gráfico e numérico, por exemplo. No caso de nossa 
experiência didáctica aqui apresentada é o quadro algébrico e o quadro gráfico. 
Este autor apresenta alguns exemplos de situações-problema, destacaremos aqui 
dois exemplos. No primeiro exemplo, temos a consideração da aproximação como 
método bastante geral e poderoso na Matemática, Douady (1993), propõe uma 
 
18 O jogo de quadros ou mudança de quadros é uma noção usada para obter diferentes formulações de 
um problema. Ela pode permitir que o aluno utilize diferentes dimensões do conhecimento matemático 
durante a resolução de um problema. Por exemplo, o quadro dos números, o quadro algébrico, o quadro 
geométrico, o quadro gráfico. 
19 Campo Conceptual, segundo Vergnaud (1991), é o espaço de problemas ou situações-problema, cujo 
tratamento envolve conceitos ou processos de vários tipos, em estreita conexão. Por exemplo, o campo 
conceptual das estruturas aditivas, se refere a tarefas que envolvem operações de adição e subtracção; o 
campo conceptual das estruturas multiplicativas, se refere a tarefas que envolvem as operações de 
multiplicação e divisão. 
 
146 
 
engenharia didáctica centrada num problema cujo objectivo é a busca de medida de 
comprimento. O problema foi proposto para alunos de 14-15 anos. A situação-problema 
é: Sejam dois números a e b. Procura-se um rectângulo de perímetro 2a cm e de área b 
cm2. 
No caso que estas medidas são irracionais, a aproximação com fracções ou 
números decimais é a ferramenta adequada. O objectivo final é a introdução dos 
números irracionais. 
 No segundo exemplo, encontrado em Almouloud (1997), temos uma situação-
problema com logaritmo, criada pelo Grupo MATH do IREM de Paris VII. O objectivo 
da situação-problema é permitir aos alunos utilizar os logaritmos como ferramenta de 
cálculo, transformar os produtos em somas para simplificar os cálculos. Isso pode ajudar 
os alunos para não mais confundir ln(x + y) e ln(xy). 
 A situação-problema é: A construção da curva logarítmica. 
 O Curso Normal (na França) deve os ajudar a memorizar melhor a imagem do 
logaritmo. A forma da curva e os limites serão assim melhor retidos. A manipulação de 
log√x , log√xy, por exemplo, visando a construção da curva, auxilia os alunos a adquirir 
a prática deste tipo de cálculo. 
 Os logaritmos surgiram, de acordo com Boyer (1996), para facilitar cálculos 
trabalhosos, usados, por exemplo, na Astronomia. Além disso, a sua utilização está 
associada a diversas situações, como enfatizaram Miorim e Miguel (2002). Nesta 
experiência didáctica relacionamos, como apresentamos de seguida, uma situação-
problema visando a construção do conceito de logaritmo, na qual estão os juros 
compostos e a calculadora científica, como recurso didáctico significativo na construção 
deste conceito. 
 Esta experiência didáctica teve como problema de pesquisa saber como os 
alunos iniciam o estudo do conceito de logaritmo através de uma situação-problema, 
com o uso da calculadora científica. Para operacionalizar este problema, consideramos 
as seguintes questões: 
 
1. A calculadora científica é um recurso significativo na construção 
do conceito de logaritmo?2. Como os alunos vão utilizar o conceito de logaritmo para resolver 
a situação-problema? 
 
 
Metodologia 
 
Para respondermos às questões propostas, utilizamos uma pesquisa qualitativa, da 
qual os participantes eram integrantes de uma turma de 30 alunos, de uma escola 
pública estadual da cidade de Massaranduba, na Paraíba, no mês de Novembro de 2005. 
A princípio, utilizamos duas aulas de 50 minutos cada, para familiarizar os alunos com 
o uso da calculadora de quatro funções e, depois, com a calculadora científica. 
147 
 
 Na segunda etapa do trabalho, apresentamos uma situação-problema para a 
introdução do conceito de logaritmo, usando a calculadora científica. Para isso, 
dispusemos novamente de duas aulas de 50 minutos cada. Os alunos estavam 
organizados em duplas. Utilizamos as respostas escritas dos alunos, para resolver a 
situação-problema, como instrumento de recolha de dados. Nessa situação-problema, 
utilizamos o seguinte problema de juros compostos: Um investidor aplicou R$ 3.500, 00 
em uma instituição que paga 1,2% a.m. Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 
3.896,66, estando neste valor incluídos os juros compostos e o capital investido. Quanto 
tempo o dinheiro ficou aplicado? 
 
 
Análise a priori de uma situação-problema na experiência didáctica 
 
Almouloud (1997) afirma que a análise a priori é importantíssima, pois de sua 
qualidade depende o sucesso da situação-problema e, sobretudo, o facto de o professor 
poder controlar a realização das actividades dos alunos, de poder também identificar e 
compreender os efeitos observados. Assim, as numerosas conjecturas que vão aparecer 
poderão ser levadas em conta e uma dentro delas será objecto do debate científico na 
sala de aula de Matemática. Esse debate, segundo Garnier et al. (1996), é uma 
simulação do que ocorre na comunidade científica, mas possui um potencial didáctico 
relevante. 
Arsac et al. (1991) apresenta algumas questões para construir ou analisar uma 
situação-problema a respeito de uma noção. A construção e/ou a análise a priori de uma 
situação-problema fazem-se através das seguintes etapas: 
1-Abordagem epistemológica; 2-Papel dessa noção no ensino; 3-Concepções 
iniciais dos alunos (antes do ensino); 4-Concepção final desejada. Os três pontos 
anteriores referem-se a aspectos exteriores à aplicação da situação-problema na sala de 
aula e, o quarto, coincide com os objectivos de nossa experiência de ensino. 5-Análise a 
priori da situação-problema: a) O que é que os alunos vão fazer? 
- Poderiam encaminhar-se num processo de resolução? 
- Quais critérios os alunos terão para saber se a solução que propõem está certa? 
- Será que a noção que se deseja introduzir é indispensável para resolver o 
problema? 
- Como o aluno vai construir a nova ferramenta? 
Essas questões permitem evidenciar as variáveis didácticas20 da situação-
problema e escolhê-las em função dos objectivos de aprendizagem. 
b) Qual a gestão da sala de aula a prever? 
- A pesquisa faz-se em grupo? Como constituir os grupos? 
 
20 Variáveis didácticas são aquelas que estão à disposição do professor e que determinam a situação 
didáctica. Elas podem ser de situação (por exemplo: aulas expositivas ou escolhas de actividades, 
resolução de problemas ou regras de aprendizagem, tratamento de erros, utilização de materiais), de 
contrato (por exemplo: contrato existente entre o professor, os alunos e um conhecimento específico), de 
transposição (por exemplo, apresentação da noção estudada, adaptação de pré-requisitos, uso de material 
específico) (Henry 1991; Almouloud,1997). 
 
148 
 
- Quais ordens dar aos alunos? 
- Qual será o papel do professor na fase de pesquisa? 
- Haverá uma fase de formulação? De validação? 
6-Avaliação 
- O que se deve avaliar? Os saberes e saber-fazer dos alunos, além de evolução 
das concepções dos alunos? 
- Qual ferramenta de avaliação levar para isso? 
- Será que as concepções dos alunos evoluíram? 
7-Análise a posteriori: 
- Com relação ao que foi previsto, quais são as diferenças com o que se passou 
realmente? Por que essas diferenças? 
- Quais mudanças prever para uma nova sessão? 
Até o ponto 4 o professor analisará aspectos anteriores ao ensino-aprendizagem 
que pode ocorrer na situação-problema. Do ponto 5 em diante, trata-se da situação-
problema em si e é, a partir deste ponto, que trabalharemos na secção seguinte. No 
entanto, o ponto 6, referente à avaliação, não será abordado, pois não faz parte dos 
objectivos desta experiência didáctica. 
 
Análise a priori da situação-problema apresentada na experiência didáctica 
 
 No caso da situação-problema apresentada nesta experiência didáctica, os alunos 
podem encaminhar-se num processo de resolução, pois nesta altura, pelo menos a 
maioria estudou juros e percentagem. O conceito de logaritmo vai ser necessário, 
porque o aluno não vai, usando equações exponenciais, resolver a equação (1,012)t = 
1,11. O trabalho com o texto de Imenes et al. (1992) poderá permitir ao aluno avançar 
na compreensão do conceito de logaritmo, podendo a calculadora científica tornar-se 
um recurso significativo para isto. Os alunos poderão usar a fórmula M = C (1 + i)n, 
onde n = t, t é o tempo, como critério para saber se a solução que propõem está certa. A 
noção que se deseja introduzir é indispensável para resolver o problema, porque o aluno 
vai começar a construir o conceito de logaritmo a partir da impossibilidade de resolver a 
situação-problema com o uso das equações exponenciais e vai precisar realizar a 
mudança de base, pois na calculadora científica, só existem as bases 10 e e. A situação-
problema poderá ser resolvida utilizando a mudança para a base 10 ou para a base e. 
 Os alunos trabalharão em duplas e os professores-pesquisadores pedirão para 
eles interagirem com o colega da dupla e com ele. Na fase de pesquisa os alunos 
tentarão encontrar um modo de resolver a situação-problema, na fase de formulação 
eles trocarão informações referentes a esse ou esses modos de resolução e, na fase de 
validação, por sua vez, será a etapa na qual os alunos poderão mostrar por que o modo 
que criaram é válido. A fase de validação tem como objectivo principal o debate sobre a 
certeza das asserções e as interações com o meio são organizadas em conseqüência 
deste debate. Esse modo de gerir a sala de aula de Matemática, pode contribuir para 
uma aprendizagem matemática significativa do conceito de logaritmo. 
 
149 
 
 
Analisando os resultados 
 
 Apresentamos de seguida, a análise da experiência didáctica. Na primeira sessão, 
descrevemos os procedimentos utilizados, os quais tiveram a finalidade de familiarizar 
os alunos com a calculadora científica. Na segunda sessão, a calculadora científica 
passou a ser um recurso didáctico significativo na resolução de uma situação-problema, 
envolvendo juros compostos. 
 
1ª Sessão: Logaritmos e calculadora científica 
 
Nº de alunos: 31 
Horário: 20:50 às 22:00h. 
Data: 18 / 11 / 05 
 
 Começamos a sessão com a utilização da Apostila intitulada Actividades com a 
Calculadora para a Sala de Aula (mimeo). Explicamos a utilização de teclas de 
memória, a tecla log e a tecla 10 x, ressaltando a relação de inversão entre elas e 
resolvemos algumas questões mais recreativas da referida apostila. Queríamos 
familiarizar os alunos com o uso da calculadora científica. 
 A seguir, passamos a utilizar o texto Logaritmos decimais e equações 
exponenciais (Imenes et al., 1992), no qual os alunos puderam ler um texto que aborda, 
em dois exemplos, o conceito de logaritmo de base 10, associado ao uso de uma 
calculadora cientíica. Após estes exemplos, há uma generalização para os logaritmos de 
base 10 e exercícios envolvendo estes logaritmos com a utilização de uma calculadoracientífica. Deixamos alguns exercícios desse texto no final da sessão. 
 Os alunos mostraram curiosidade em compreender o modo como a calculadora 
funcionava e responderam bem às questões. 
 
2ª Sessão: Logaritmos e calculadora científica 
 
Nº de alunos: 19 
Horário : 20: 50 às 22:00 h. 
Data: 01 / 12 / 05 
 A essa sessão faltaram 12 alunos e havia um aluno trabalhando sozinho. Nos 
primeiros vinte minutos, começamos perguntando se os alunos sabiam juros compostos. 
Alguns disseram que já tinham estudado, mas fazia tempo. O estudo dos juros 
compostos ocorre na 6ª série no Brasil, usando potenciação e retorna no Ensino Médio, 
quando são novamente estudados na Matemática Financeira, em um nível mais 
avançado, relacionado ao conceito de função exponencial, cujo domínio é o conjunto 
dos números naturais. Esta retomada de um conceito presente no currículo, em um 
nível mais avançado, é o que ocorre com a utilização de um currículo em espiral 
150 
 
(Imenes,1999). De seguida, durante os diálogos com os alunos, apresentamos a fórmula 
M = C(1 + i)n . Fizemos uma breve revisão do conceito de percentagem, porque, 
contrariamente ao que esperávamos, no início da experiência didáctica, muitos alunos 
ainda não tinham incorporado este conceito ou estavam esquecidos dele. Demos um 
tempo para eles tentarem resolver a situação-problema. 
 No segundo momento, as duplas já tinham chegado a (1,02)t = 1,11. Foi 
necessário utilizar a tecla , que explicamos sua utilização. 
No terceiro momento, identificamos uma dupla que encontrou os resultados 
utilizando .Logo a seguir, surgiram várias duplas chegando ao resultado, usando o 
procedimento acima, no qual se utilizou tentativas na calculadora científica. 
Depois levantamos a hipótese de que se na expressão (1,012)t = 1,11, o segundo 
membro fosse maior, iria gastar mais tempo para encontrar o valor de t. A partir daí, 
afirmamos, no decorrer dos diálogos com a turma, que os logaritmos trariam um ganho 
de tempo nos cálculos. 
Nesse momento, relacionamos o texto Logaritmos Decimais e Equações 
Exponenciais, aos Logaritmos Decimais. Então surgiu a expressão 1,11 = 10x, que foi 
resolvida pelos alunos digitando: 1,11 log = 0,045322978. Nessa etapa, explicamos 
que o log 1,11 = 0,045322978, tem base 10, através de questionamentos. Voltamos para 
(1,012)t = 1,11, onde questionamos qual era a base. Houve dificuldades de 
compreensão, mas conseguiram encontrar a base e escrevemos log = t. Isso 
gerou um conflito, pois a calculadora científica só possui as bases 10 e e = 2,71 ... Esse 
conflito gerou a pergunta: Como posso utilizar a calculadora científica apenas com as 
bases que ela possui para resolver esse problema? Essa questão possibilitou a 
necessidade de abordarmos a mudança de base. Foram levantadas algumas hipóteses: 
 1ª : log 1,11 2ª: log 1,11 
 10 9 
 3ª: log 1,11 
 1,012 4ª: log (1,11) 
 (1,012) 
 
 Nenhuma dessas dava certo. Então chegaram à 5ª hipótese: log 1,11 = t 
 log1,012 
Os alunos sabiam fazer as aproximações adequadamente, o que lhes permitiu 
chegar à resposta certa. Pedimos para substituirem o valor encontrado em (1,02)t = 1,11, 
para verificar a validade do valor encontrado. O uso da calculadora gerou um conflito 
que levou à necessidade de abordar a mudança de base do logaritmo. A mudança de 
base, associada ao uso da calculadora científica, permitiu aos alunos encontrarem a 
resposta à situação-problema. 
 
 
Conclusão 
 
 
1,11 1,012 
Yx 
Yx 
151 
 
 Com o término das duas sessões que compuseram essa experiência didáctica, 
pudemos perceber, mais uma vez, só que agora com a calculadora científica, que esse 
instrumento pode trazer, se usado criteriosamente, mudanças significativas na sala de 
aula de Matemática. Na primeira sessão, buscamos familiarizar os alunos com a 
calculadora científica, de modo que eles percebecem como ela pode ser útil e, ao mesmo 
tempo, lúdica. O uso de Imenes (1992) contribuiu, na sessão seguinte, para os alunos 
relacionarem, em um diálogo conosco, as equações exponenciais aos logaritmos 
decimais. Com esta relação, a calculadora científica contribuiu para a problematização 
do conceito de logaritmo e passsou a ser uma ferramenta cognitiva, nos termos de 
Ruthven (1992). Nesta problematização, estava presente a concepçção algébrico-
funcional (Miorim & Miguel, 2002) dos logaritmos, uma vez que havia o tempo a ser 
encontrado, como valor desconhecido, apesar de não ter ocorrido, por conta da 
exigüidade de tempo, a representação funcional dos logaritmos. 
 A situação-problema utilizada nesta experiência didáctica, propiciou condições 
que conduziram os alunos ao início da aquisição de uma nova ferramenta, no caso, o 
conceito de logaritmo, pois pudemos identificar os cinco pontos sublinhados pelos 
didactas da Matemática e enfatizados por Almouloud (1997). Primeiramente, os alunos 
compreenderam facilmente os dados e, com isso, puderam começar a exploração dos 
mesmos utilizando conhecimentos antigos. Além disso, a situação-problema se refere ao 
campo conceptual das estruturas multiplicativas o qual desejamos explorar 
efectivamente. Um outro factor importante, aparece no terceiro ponto, os conhecimentos 
anteriores dos alunos eram insuficientes para a resolução imediata do problema., como 
vemos na passagem onde não é possível resolver com o uso de equações exponenciais. 
No quarto ponto, os conhecimentos objectos de aprendizagem, fornecem as ferramentas 
adaptadas para obter a solução, foi o que vimos quando os alunos passaram a usar o 
conceito de logaritmo, com a calculadora científica, sendo esta usada como recurso 
significativo, para resolver a situação-problema. O quinto e último ponto, a questão 
pode ser formulada nos vários quadros, nos termos de Douady (1986). Nesta 
experiência, podemos ver a possibilidade de abordagem nos quadros algébrico e gráfico, 
no entanto, houve o predomínio do quadro algébrico e numérico. 
 No que se refere às questões desta experiência didáctica, podemos afirmar que o 
início do estudo do conceito de logaritmo foi bem sucedido, a calculadora científica foi 
utilizada como recurso significativo na construção deste conceito, pois agilizou o 
cálculos, permitindo que os alunos pudessem se concentrar em aspectos significativos 
do problema e, além disso, seu uso estava imbricado em uma propriedade importante 
deste conceito, que foi usada na resolução da situação-problema, a mudança de base. 
 Em relação ao que prevemos na análise a priori da situação-problema, pudemos 
perceber que nossas expectativas, em relação aos conhecimentos anteriores dos alunos 
referentes a juros e percentagem, foram em parte frustradas, pois a maioria ou não 
lembrava destes conceitos ou não os tinha estudado ainda, apesar disso, consideramos 
que a compreensão dos alunos em relação a tais conceitos desenvolveu-se bem durante 
as sessões. Em uma nova sessão, seria importante que os alunos já tivessem pleno 
domínio desses conceitos e terem clara a possibilidade de relacionar os juros compostos 
às funções. 
 Na fase de pesquisa os alunos tentaram encontrar um modo de resolver a 
situação-problema que exploraria o uso da fórmula M = C(1 + i)n. Na fase de 
formulação, eles trocaram informações referentes a modos de resolução, nesta fase, os 
alunos usam os logaritmos atravésda calculadora científica e, na fase de validação, por 
sua vez, foi a etapa na qual eles puderam mostrar porque o modo que criaram é válido, 
152 
 
nesta fase aparece (1,012)t = 1,11, para verificar a validade do resultado. A fase de 
validação, teve como objectivo principal, o debate sobre a certeza das asserções e as 
interacções com o meio foram organizadas em consequência deste debate. 
 Por fim, o professor-pesquisador institucionalizou o conhecimento sobre 
logaritmos, generalizando, se t = a é um número positivo, log a é o expoente ao qual se 
deve elevar 10 para que a potência seja igual a a. 
 
Referências 
 
Almouloud, S. A. (1997). Fundamentos da Didática da Matemática e Metodologia de 
 Pesquisa, Caderno de Educação Matemática Vol. III, PUC - SP. 
Arsac, G., Germain, G. & Mante, M. (1991). Probleme ouvert et situation-problème. 
 Presses Universitaires. 
Boyer, C. (1996). História da matemática. (2ª ed.). S. Paulo: Editora Edgard Blücher. 
Campagner, C. A. (2008). Régua de cálculos: Como funciona a mãe da calculadora. 
 Retirado de http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u42.jhtm em 5 de 
 Fevereiro de 2008. 
Douady, R. (1986).Jeux des cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique 
des Mathématiques (7) 2, 5-31. 
Douady, R. (1993). L’ingénierie didactique: un moyen pour l’enseignant d’organiser les 
 rapports entre l’enseignement et l’apprentissage, Cahier DIDIREM, 19 Université de 
Paris VII. 
Garnier et al. (1996). Após Vygotsky e Piaget: perspectiva social e construtivista. 
Escolas russa e ocidental. Porto Alegre: Artes Médicas. 
Henry, M. (1991). Didactique des Mathematiques. Une présentation de la didactique en 
 vue de la formation des enseignants. IREM de Besançon. 
Imenes, L. M. (1999). Novos Paradigmas no Ensino de Matemática. Palestra proferida 
 durante o IV EPEM (Encontro Pernambucano de Educação Matemática), Recife: 
 UFPE. 
Imenes, L. M. et al. (1992). Telecurso do 2 º Grau – Matemática. São Paulo: Globo. 
Karrer, M. & Magina, S. (2000.). Uma seqüência de ensino para a introdução de 
 logaritmo: estudo exploratório usando a calculadora. In: Bolema. (14)13, 18-31. 
Lopes, A . J. (1998). Explorando o uso da calculadora no ensino de Matemática para 
 jovens e adultos. Alfabetização e Cidadania (6), 67-79. 
Machado, N. (2005). Epistemologia e didáctica. As concepções de conhecimento 
inteligência e a prática docente. São Paulo: Cortez. 
Medeiros, K.M. (2003). A influência da calculadora na resolução de problemas 
 matemáticos abertos. Educação Matemática em Revista (14)10, 19-28. 
Miorim, M. A. & Miguel, A. (2002). Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Rio 
 Claro: Publicação da Sociedade Brasileira de História da Matemática. 
NCTM (1992). Calculators in mathematics education. Reston, VA: NCTM. 
153 
 
PCN (1997). Matemática /Secretaria da Educação Fundamental - Brasília: MEC/SEF. 
PCN + Ensino Médio. (2002). Orientações Complementares aos Parâmetros 
 Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 
 Secretaria de Educação Tecnológica – Brasília: MEC; SEMTEC. 
Ruthven, K. (1992). Personal technology and classroom change: a british perpective. In 
 J. T. FEY & C. R. HIRSCH (Eds.) Calculators in the Mathematics Education. 
 (pp. 91-100). Reston, VA: NCTM. 
SCCC (1998). Advanced calculators and mathematics education. Dundee: Scottish 
 CCC. 
Vergnaud, G. (1991). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des 
 Mathematiques, 10(6), 133-169.