Exercícios de Bioestatística CORREÇÃO

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Exercícios de Bioestatística
Correção
Jogam-se 2 dados e observa-se o resultado. Responda: 
Qual o conjunto do espaço amostral?
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
 (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) 
Resposta final (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
 (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
 (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (5,7)
 (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Qual a probabilidade de a soma ser par?
Resposta finalA= soma ser par
P(A)= #A = 18 = 1
 # Ω 36 2
#A= quantos de A que você quer
# Ω= quantidade do conjunto amostral
Os grupos marcados em vermelho representam todas as possibilidades da soma dos dois dados darem um número par. Ao total são 18 possibilidades. 
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
 (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
 (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
 (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
 (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é 1/2. Nestas condições, responda:
 P(H) = 1 Considerar que são eventos independentes!
 2 
Qual a probabilidade de um casal com 5 filhos ter os 5 filhos homens?
P (H H H H H) = P(H) x P(H) x P(H) x P(H) x P(H) = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 
 2 2 2 2 2 
Resposta final= 1
 32
Qual a probabilidade desse mesmo casal com 5 filhos ter apenas 1 filha?
A= ter apenas 1 filha
P(A)= P (M H H H H) + P (H M H H H) + P (H H M H H) + P (H H H M H) + P (H H H H M)
1 x 1 x 1 x 1 x 1 + 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Resposta final1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 5
2 2 2 2 2 32
Joga-se um dado duas vezes. Qual a probabilidade de sair um número ímpar em pelo menos uma das jogadas?
A= sair número ímpar pelo menos 1 vez ao jogar o dado 2 vezes
Os grupos marcados em vermelho representam todas as possibilidades, ao total são 27.Ω (A) = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
 (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) 
 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
 (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
 (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (5,7)
 (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
Resposta finalP (A) = #A = 27 = 3
 # Ω 36 4
Com base nos dados da tabela abaixo, calcule a probabilidade de, ao se escolher uma pessoa ao acaso, dessa pessoa ter tipo sanguíneo B?
 Distribuição de indivíduos de acordo com o grupo sanguíneo.
	Grupo Sanguíneo
	A
	B
	AB
	O
	292
	94
	17
	417
Resposta final Fonte: Garcia (1977)
P(B) = #B = 94 = 47
 # Ω 820 410
# Ω = quantidade do espaço amostral (total de pessoas com cada grupo sanguíneo). 
Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é igual a 1/2. Suponha que a moeda foi jogada 4 vezes e ocorreram 4 caras. Numa próxima jogada é mais ou menos provável ocorrer cara novamente?
A Probabilidade é a mesma, pois os eventos são independentes. 
Considere o desempenho de um teste T destinado a diagnosticar a presença de infecções pelo vírus HIV. A população considerada aqui é formada somente por doadores de sangue e, entre eles, apenas 1 em cada 1000 está infectado pelo vírus. Suponha que foi sorteado ao acaso uma pessoa dessa população e que ela será submetida ao teste T. Diremos que o Evento: 
 D+ ocorre se a pessoa está infectada; 
ocorre se a pessoa não está infectada; 
T+ ocorre se o resultado do teste for positivo; 
T- ocorre se o resultado do teste for negativo;
a probabilidade condicional P(T+ / D+ ) de o resultado do teste ser positivo dado que a pessoa está infectada é 0,85.
a probabilidade condicional P(T- / D- ) de o resultado do teste ser negativo dado que a pessoa não está infectada é 0,99.
Calcule a probabilidade condicional P(D+ / T+ ) de que a pessoa esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi positivo.
P (T+ / D+) = 0,85 P(T- / D+) = 1 – 0,85 = 0,15
P (T- / D-) = 0,99 P ( T+ / D-) = 1 – 0,99 = 0,01 
Resposta finalP (D+ / T+) = P (T+ / D+) x P (D+) 
 P (T+ / D+) x P (D+) + P (T+ / D-) x P (D-)
 
= 0,85 x 0,001 = 0,00085 = 0,00085 = 0,00999 0,85 x 0,001 + 0,01 x 0,999 0,00085 + 0,00999 0,085085
Calcule a probabilidade condicional P(D- / T- ) de que a pessoa não esteja infectada pelo HIV, dado que o resultado do teste foi negativo.
 P (D- / T-) = P (T- / D-) x P (D-)
Resposta final P (T- / D-) x P (D-) + P (T- / D-) x P (D-)
 = 0,99 x 0,999 = 0,98901 = 0,98901 = 0,99984
 0,99 x 0,999 + 0,15 x 0,001 0,98901 + 0,00015 0,98916
 
Considere dois eventos A e B com probabilidade P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5.
i) Se A e B mutuamente exclusivos, Calcule: 
P(A B) = 0
P(A B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0,3 + 0,5 – 0 = 0,8
P(A / B) = P (A ∩ B) = 0 = 0
 P (B) 0,5
P(AC) = 1 – P(A) = 1 – 0,3 = 0,7
P((A B)C) = 1 – P (A ∪ B) = 1 – 0,8 = 0,2
 ii) Agora recalcule (a), (b), (c), (d) e (e) considerando A e B eventos independentes.
P(A B) = P (A) x P (B) = 0,3 x 0,5 = 0,15
P(A B) = P (A) x P (B) – P (A ∩ B) = 0,3 + 0,5 – 0,15 = 0,65 
P(A / B) = P (A ∩ B) = 0,15 = 0,3
 P (B) 0,5 
P(AC) = 1- P(A) = 1 – 0,3 = 0,7
P((A B)C) = 1 – 0,65 = 0,35
3)Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e após 1 mês passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim de 5 doses as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão na tabela a seguir:
	Doses
	1
	2
	3
	4
	5
	Freq. 
	245
	288
	256
	145
	66
Considerando X como sendo o número de doses da vacina recebida por uma criança escolhida ao acaso dessa população, determine a função de probabilidade de X, isto é, calcule a probabilidade da criança escolhida ao acaso ter recebido 1 dose da vacina, 2 doses, 3 doses, 4 e 5 doses.
	Doses
	1
	2
	3
	4
	5
	Freq. 
	245
	288
	256
	145
	66
	P (X)
	0,245
	0,288
	0,256
	0,145
	0,066
Cálculo da probabilidade de X: número de crianças que tomaram as doses divididas por 100 que é o total de crianças. 
Qual a probabilidade de uma criança escolhida ao acaso ter recebido 4 ou mais doses da vacina?
P (X=4) + P (X=5) = 0,145 + 0,066 = 0,211 
Calcule o número esperado de doses recebidas por uma criança para que ela seja imunizada.
Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da variável X.
Fórmula: Número esperado de X = E (X) = Soma Xi x P(x=xi)
E (X) = 1 x 0,245 + 2 x 0,288 + 3 x 0,256 + 4 x 0,145 + 5 x 0,066
= 0,245 + 0,576 + 0,768 + 0,58 + 0,33 = 2,499 
Variância: Fórmula: Var (X) = E (X2) – E2 (X)
E2 (X) = 2,499 x 2,499 = 6,2450
E (X2) = 12 x 0,245 + 22 x 0,288 + 32 x 0,256 + 42 x 0,145 + 52 x 0,066 
 = 0,245 + 1,152 + 2,304 + 2,32 + 1,65 = 7,671 
Var (X) = E (X2) – E2 (X) = 7,671 – 6,2450 = 1,4260
 
Desvio padrão: DP(X) = Raiz quadrada da Variância = Raiz quadrada de 1,4260 = 1,1942
Coeficiente de Variação: CV(X) = DP (X) = 1,1942 = 0,4779
 E(X) 2,499