Resistência_condutores_isolantes_polarização

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Universidade Federal do Paraná
Departamento de Engenharia Elétrica
Disciplina: Eletricidade e Magnetismo
Prof. Ivan Eidt Colling
Corrente e densidade de correnteCorrente e densidade de correnteCorrente e densidade de correnteCorrente e densidade de corrente
A continuidade da correnteA continuidade da correnteA continuidade da correnteA continuidade da corrente
Potencial de passoPotencial de passoPotencial de passoPotencial de passo
O método das imagensO método das imagensO método das imagensO método das imagens
Condutividade e resistividadeCondutividade e resistividadeCondutividade e resistividadeCondutividade e resistividade
PolarizaçãoPolarizaçãoPolarizaçãoPolarização
Condições de contorno na interface entre dielétricosCondições de contorno na interface entre dielétricosCondições de contorno na interface entre dielétricosCondições de contorno na interface entre dielétricos
Fontes das figuras:
HALLIDAY, David et alii. Fundamentals of physics. 7.ed. S.l.: John Wiley and Sons, 2005. 
HAYT JR., William H. Eletromagnetismo. 3.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1985. 
WALENIA, Paulo Sérgio. Projetos elétricos prediais. Curitiba: Base Livros Didáticos, 2008. 
p. 258. (Curso técnico em eletrotécnica, módulo 1, livro 7.)
Corrente e densidade de corrente
dt
dQI = Escalar!
Densidade de corrente: J Vetor!
SJ ∆⋅=∆I
∫ ⋅=
S
dI SJ
Cargas em movimento
xvv
v vSI
t
xS
t
v
t
QI ∆ρ=∆⇒
∆
∆∆ρ=
∆
∆ρ
=
∆
∆
=∆
F
o
nte
:
 H
AYT
 JR
.
,
 1985
,
 p
.
 100
xvv
v vSI
t
xS
t
v
t
QI ∆ρ=∆⇒
∆
∆∆ρ=
∆
∆ρ
=
∆
∆
=∆
xv vS
IJ ρ=
∆
∆
=
De forma genérica
vJ vρ=
F
o
nte
:
 HAYT
 JR
.
,
 1985
,
 p
.
 100
A continuidade da corrente
∫ ⋅= S dI SJ
∫ −=⋅= S dt
dQdI SJ
Porque a carga está diminuindo no interior 
da superfície
A continuidade da corrente
∫ ⋅= S dI SJ
∫ −=⋅= S dt
dQdI SJ
∫ ⋅S dSJ
( ) dv
vol
∫ ⋅∇ J
T. Gauss
dt
dQ
−=
A continuidade da corrente
( ) dv
vol
∫ ⋅∇ J dt
dQ
−=
( ) ∫∫ ρ−=⋅∇
vol
v
vol
dv
dt
ddvJ
∫ρ=
vol
v dvQMas
Então: 
( ) ∫∫ ∂
ρ∂
−=⋅∇
vol
v
vol
dv
t
dvJ
A continuidade da corrente
( ) ∫∫ ∂
ρ∂
−=⋅∇
vol
v
vol
dv
t
dvJ
t
v
∂
ρ∂
−=⋅∇ J
EF e−=
Velocidade de deriva
Ev ed µ−=
Mobilidade do elétron
EJ eeµρ−=
EJ σ=
EJ σ=
eeµρ−=σ
condutividade
σ
=ρ 1
EJ ⋅=σ
σ
ρ 1=
A
R l⋅= ρ
R [Ω]
ρ[Ωm]
J [A/m2]
E [V/m]
resistividade
Fonte: HAYT JR., 1985, p. 105.
Em semicondutores:
bbee µρ+µρ−=σ
eeµρ−=σ
a b
JSdI
S
=⋅= ∫ SJ
abba
a
b
a
b
ab ddV LELELELE ⋅=⋅−=⋅−=⋅−= ∫∫
ELV = I
S
LI
S
LV
L
VE
S
IJ ρ=
σ
=⇒σ=σ==
F
o
nte
:
 HAYT
 JR
.
,
 1985
,
 p
.
 105
.
a b
I
S
LV ρ=
Neste caso: 
S
L
I
VR ρ==
∫
∫
⋅σ
⋅−
==
S
a
bab
d
d
I
VR
SE
LE
De forma genérica:
Potencial de passo
Uma pessoa caminha em um campo, a 60,0m do ponto em que um raio 
atinge o solo. Supondo-se que a corrente do raio seja I = 100kA e que 
essa corrente se distribua uniformemente no hemisfério centrado no ponto 
de impacto. Considere também que a resistência entre os pés da pessoa 
seja de 4,00kΩ e que a resistência do solo seja ρs = 100Ωm. Calcule a 
corrente que circula através de seu corpo se a distância entre os pés for 
de:
a) 20,0cm;
b) 70,0cm. 
(Baseado em: HALLIDAY et alii, 2005, p. 691.)
22 r
IJ
pi
= ρ⋅= JE
rD
D
rD
D
rD
D
r
Idr
r
IdrEV
∆+∆+∆+
pi
ρ
=⋅ρ
pi
−=⋅−=∆ ∫∫ 22 2
Potencial de passo
rD
D
rD
D
rD
D
r
Idr
r
IdrEV
∆+∆+∆+
pi
ρ
=⋅ρ
pi
−=⋅−=∆ ∫∫ 22 2






−
∆+
⋅
pi
ρ
=∆
DrD
IV 11
2
a) r = 60m, ∆r = 0,2m
(-)88,1V; 22,0mA
b) r = 60m, ∆r =0,7m
(-)306V; 76,5mA
Choque elétrico
• Produzido por contato com circuito 
energizado (contato direto ou indireto);
• Produzido por contato com corpo 
eletrizado – geralmente não causa danos, 
por ter curtíssima duração (a duração 
depende apenas da carga armazenada);
• Produzido por descarga atmosférica.
F
o
n
t
e
:
 
W
A
L
E
N
I
A
,
 
P
a
u
l
o
 
S
é
r
g
i
o
.
 
P
r
o
j
e
t
o
s
 
e
l
é
t
r
i
c
o
s
 
p
r
e
d
i
a
i
s
.
 
C
u
r
i
t
i
b
a
:
 
B
a
s
e
 
L
i
v
r
o
s
 
D
i
d
á
t
i
c
o
s
,
 
2
0
0
8
.
 
p
.
 
2
5
8
.
 
(
C
u
r
s
o
 
t
é
c
n
i
c
o
 
e
m
 
e
l
e
t
r
o
t
é
c
n
i
c
a
,
 
m
ó
d
u
l
o
 
1
,
 
l
i
v
r
o
 
7
.
)
Moléculas polares 
Moléculas apolares 
dp Q= Momento de dipolo elétrico
Se tivermos uma densidade de dipolos n em um volume ∆v, temos 
no total n ∆v dipolos
∑
∆
=
=
vn
i
itotal
1
pp
Em qualquer dos casos (com moléculas polares ou apolares):
∑
∆
=
=
vn
i
itotal
1
pp
∑
∆
=
→∆ ∆
=
vn
i
i
v v
1
0
1lim pPPolarização 



=



23 m
C
m
Cm
Vamos agora considerar um dielétrico, constituído por moléculas 
apolares (para simplificar nossa análise). 
Sem campo elétrico externo (E), tem-se P = 0.
Aplicamos um campo elétrico. 
Obs.: o campo E está na direção a x2 + b x3
Que carga atravessou a superfície ∆S?
θ∆ cos21 dSQn
θ∆ cos21 dSQn
+
_
θ∆ cosdSQn
Que carga atravessou a superfície ∆S?
θ∆ cosSQn
∆Sd ⋅Qn ∆SP ⋅=∆ pQ
∑
∆
=
→∆ ∆
=
vn
i
i
v v
1
0
1lim pP
Se agora considerarmos uma superfície fechada
carga
dielétrico
superfície
gaussiana
∫ ⋅−=
S
p dQ SP∆SP ⋅=∆ pQ
Se agora considerarmos uma superfície fechada
carga
dielétrico
superfície
gaussiana
∫ ⋅−=
S
p dQ SP∆SP ⋅=∆ pQ
(Se P dS for 
positivo, isso 
significa que 
cargas positivas 
“saíram” da 
superfície)
Agora podemos falar de carga total QT.
QQQ pT +=
Carga livre (sem índice)
Carga de polarização
D Q
E QT
∫ ⋅ε=
S
T dQ SE0
∫ ⋅=
S
dQ SD
D Q
E QT
+ + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - -
E
+ + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - -
E’
- - - - -
+ + + + +
QQQ pT +=
PT QQQ −=
∫ ⋅−=
S
p dQ SP
∫ ⋅ε=
S
T dQ SE0
( )∫ ⋅+ε=
S
dQ SPE0
Mas ∫ ⋅=
S
dQ SD
( )∫ ⋅+ε=
S
dQ SPE0 ∫ ⋅=
S
dQ SD
PED +ε= 0
P é um termo adicional, presente quando há um dielétrico polarizável.
No vácuo, P = 0.
Há relação entre P e E?
EP 0εχ= e
Suscetibilidade elétrica do material
Rε Permissividade relativa do material (ou constante dielétrica)
( )1+χ=ε eR ( ) EP 01 ε−ε= R
PED +ε= 0 ( ) EED 00 1 ε−ε+ε= R
ED Rεε= 0
ED ε=
Rεε=ε 0Sendo a permissividade do material
Campo elétrico de um dipolo
Campo elétrico de um dipolo
V = 0 
O método das imagens
V = 0 
Superfície
condutora
O método das imagens
V = 0 
Superfície
condutora
Exercício (adaptado do exercício 5.6, Hayt Jr.)
Uma carga pontual igual a 18µC está localizada no eixo z a 0,4m do plano z = 0. 
Esse plano é um condutor infinito. 
a) Determine a densidade superficial de carga no ponto (0,3; 0,4; 0). 
b) Determine D no ponto (0; 0,2; 0,2). 
c) Pode-se falar em densidade superficial de carga no ponto (0; 0,2; 0,2)?
+18µC
-18µC
0
,
4
m
Imagem
(0; 0; 0,4)
(0; 0; -0,4)D(0,3; 0,4; 0) = ?
Exercício (adaptado do exercício 5.6, Hayt Jr.)
Uma carga pontual igual a 18µC está localizada no eixo z a 0,4m do plano z = 0. 
Esse plano é um condutor infinito. 
a) Determine a densidade superficial de carga no ponto (0,3; 0,4; 0). 
b) Determine D no ponto (0; 0,2; 0,2). 
c) Pode-se falar em densidade superficial de carga no ponto (0; 0,2; 0,2)?
+18µC
-18µC
0
,
4
m
Imagem
(0; 0; 0,4)
(0; 0; -0,4)
D(0,3; 0,4; 0) = ?
No plano z = 0!
+18µC
-18µC
0
,
4
m
(0; 0; 0,4)
(0; 0; -0,4)
D(0,3; 0,4; 0) = ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 














 ++
++
−





−++
−+
⋅
pi
⋅
=
−
3
222
3
222
6
4,04,03,0
4,04,03,0
4,04,03,0
4,04,03,0
4
1018 zyxzyx aaaaaaD
+18µC
-18µC
0
,
4
m
(0; 0; 0,4)
(0; 0; -0,4)
D(0,3; 0,4; 0) = ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 














 ++
++
−





−++
−+
⋅
pi
⋅
=
−
3
222
3
222
6
4,04,03,0
4,04,03,0
4,04,03,0
4,04,03,0
4
1018 zyxzyx aaaaaaD
Por que “-” ??? 
+18µC
-18µC
0
,
4
m
(0; 0; 0,4)
(0; 0; -0,4)
D(0,3; 0,4; 0) = ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 














 ++
++
−





−++
−+
⋅
pi
⋅
=
−
3
222
3
222
6
4,04,03,0
4,04,03,0
4,04,03,0
4,04,03,0
4
1018 zyxzyx aaaaaaD
Os componentes de D em x e em y se anulam; resta apenas o componente na 
direção z. (Lembre-se: trata-se de um condutor, e o campo deve ser normal a 
ele!)
( ) )C/m(10365,40473,3
4
1018 266
zz aaD
−
−
⋅−=−⋅
pi
⋅
=
Na superfície condutora, ρS = D
+18µC
-18µC
0
,
4
m
(0; 0; 0,4)
(0; 0; -0,4)
O mesmo procedimento é utilizado para calcular D no ponto (0; 0,2; 0,2).
Observe que aqui não há somente componente em z, mas também em y. Isso 
porque o ponto em que calculamos o D não faz parte do plano condutor; é um 
plano no vácuo, e portanto agora ρS = 0 (ρS ≠ D).
( ) )C/m(21,11048,8 2µzy aaD −=Resultado:
Condições de contorno
Sabemos que na interface entre dois dielétricos: 
21 tt EE =
Snn DD ρ+= 21
Densidade superficial 
de cargas existente na 
superfície de separação
Sabemos que na interface entre dois dielétricos: 
2
2
1
1
21
ε
=
ε
⇒= tttt
DD
EE
221121 nnnn EEDD ε=ε⇒=
(Consideramos ρS = 0 na superfície de separação.)
A componente tangencial de D é descontínua; também é descontínua 
a componente normal de E.
21 tt EE =
21 nn DD =
D2
D1θ1
θ2
Estamos considerando materiais 
isotrópicos e homogêneos, e 
portanto E e D têm a mesma 
direção e o mesmo sentido dentro 
do material: D = εE. 
21 tt EE =
21 nn DD = 2211 coscos θ=θ⇒ DD
2211 sensen θ=θ⇒ EE
222111 coscos θε=θε⇒ EE
(1)
(2)
(1) ÷ (2)
2
1
2
1
tg
tg
ε
ε
=
θ
θ
Atenção! Utilizamos uma convenção de 
ângulos diferente daquela do Hayt Jr.!