Capitulo 9 - Funções Trigonométricas

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UNIDADE 3 – CAPÍTULO 9 
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9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
As funções trigonométricas são importantes no estudo dos triângulos e na modelagem 
de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo 
retângulo em função de um ângulo, ou, como razões de coordenadas de pontos no círculo 
unitário. 
 
9.1 FUNÇÃO SENO 
 
Para cada arco AĈ existe um único número real y que é o seu seno, ficando, portanto, 
definida a função seno f : x → y. O gráfico da função seno é chamado de senóide. A seguir, o 
gráfico da função f(x) = sen x e a sua análise. 
 
a) O domínio da função y = sen x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR e CD = IR. 
 
b) A imagem da função y = sen x é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen x ≤ 1. 
 
c) Toda vez que se soma 2π a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo 
valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função 
y = sen x é p = 2π (função periódica em 2π). 
 
d) Tem amplitude (metade da diferença entre as ordenadas máxima e mínima dos pontos do 
gráfico) igual a 1. 
 
 
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e) A função seno é ímpar, pois, sen (-x) = - sen x. 
 
f) Variação de y = sen x. (Utiliza-se para crescente: cresc. e para decrescente: decresc.) e sinal 
da função. (Utiliza-se para positiva: pos e negativa: neg). 
x 0 1º Q π
2
 2º Q π 3º Q 
3π
2
 
4º Q 2π 
y 0 cresc 1 decresc 0 decres -1 cresc 0 
 pos pos neg neg 
 
g) O seno é positivo para os arcos com extremidades no 1º ou no 2º quadrante e negativo para 
aqueles com extremidades no 3º ou 4º quadrantes. 
 
 
h) Na figura, o segmento Oy’ que mede sem x, é a projeção do segmento OM sobre o eixo 
OU. 
 
 
9.2 FUNÇÃO COSSENO 
 
Para cada arco AĈ existe um único número real y que é o seu cosseno, ficando, 
portanto, definida a função seno f : x → y. Essa função pode ser indicada por y = cos x ou 
f(x) = cos x. O gráfico da função cosseno é chamado de cossenóide. A seguir, o gráfico da 
função f(x) = cos x e a sua análise. 
 
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a) O domínio da função y = cos x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = cos x é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ cos x ≤ 1. 
 
c) Toda vez que se soma 2π a um determinado valor de x, a função cosseno assume o mesmo 
valor. Como 2π é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y = 
cos x é p = 2π (função periódica em 2π). 
 
d) Tem amplitude (metade da diferença entre as ordenadas máxima e mínima dos pontos do 
gráfico) igual a 1. 
 
e) A função cosseno é par, pois, cos x = cos (- x). 
 
f) Variação de y = sen x. (Utiliza-se para crescente: cresc. e para decrescente: decresc.) e sinal 
da função. (Utiliza-se para positiva: pos e negativa: neg). 
 
x 0 1º Q π
2
 2º Q π 3º Q 
3π
2
 
4º Q 2π 
y 1 decresc 0 decresc -1 cres 0 cresc 1 
 pos neg neg pos 
 
g) O cosseno é positivo para os arcos com extremidades no 1º ou no 4º quadrante e negativo 
para aqueles com extremidades no 2º ou 3º quadrantes. 
 
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h) O segmento Ox, que mede cos x, é a projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal 
OX. 
 
 
9.3 FUNÇÃO TANGENTE 
 
Todo número real x ≠
π
2
 + kx (k ∈ ℤ) pode ser considerado como a medida, em 
radianos, de um determinado arco AĈ. A seguir, o gráfico da função f(x) = tg x e a análise do 
gráfico. 
 
 
 
a) O domínio dessa função é D = {x| x ∈ IR e x ≠ 
π
2
+ kx (k ∈ ℤ)} 
 
b) A imagem da função y = tg x é o conjunto dos Números Reais (Im = IR). 
 
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c) A função tangente é periódica, pois os valores da tangente se repetem periodicamente de π 
em π rad. Seu período é o menor valor positivo de kx, ou seja, p = π. 
 
d) A função tangente é ímpar, pois, - tg x = tg (- x). 
 
e) Variação de y = tg x. (crescente: cresc; decrescente: decresc; positiva: pos; negativa: neg.). 
 
x 0 1º Q π
2
 2º Q π 3º Q 
3π
2
 
4º Q 2π 
y 0 cresc ∄ cresc 0 cresc ∄ cresc 0 
 pos neg pos neg 
 
f) A tangente é positiva para os arcos com extremidades no 1º ou no 3º quadrante, e, negativa 
para aqueles com extremidades no 2º ou 4º quadrante. A tangente é uma função crescente, 
exceto nos pontos x = k 
π
2 
x, k inteiro, onde a função não existe. 
 
g) O segmento AT mede a tan x. 
 
 
9.4 FUNÇÃO COTANGENTE 
 
Define-se a função cotangente como a inversa da tangente: cotg x =
1
tg x
, para todo 
{x| x ∈ IR e x ≠ 
π
2
+ kx (k ∈ ℤ}. 
 
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a) O domínio dessa função é D = {x| x ∈ IR e x ≠ 
π
2
+ kx (k ∈ ℤ)}. 
 
b) Im = IR. 
 
c) p = π. [cot x = cot (x + π) = cot (x + 2π) = … = cot (x + kπ)]. 
 
d) A função cotangente é ímpar, pois, - cot x = cot (- x). 
 
e) Variação de y = cot x. 
X 0 1º Q π
2
 2º Q π 3º Q 
3π
2
 
4º Q 2π 
Y ∄ Decresc 0 Decresc ∄ Decresc 0 Decresc ∄ 
 pos neg pos neg 
 
f) A cotangente é positiva para os arcos com extremidades no 1º ou no 3º quadrantes, e, 
negativa para aqueles com extremidades no 2º ou 4º quadrantes. 
 
g) O segmento Os’ mende a cot x. 
 
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9.5 FUNÇÃO COSSECANTE 
 
Define-se a função cossecante de x, que se indica cossec x ou csc x, por: 
cossec x = 
1
sen x
 , para todo x real, x ≠ kx, onde k ∈ ℤ. 
 
a) D = {x ∈ IR | x ≠ kπ}, com k ∈ ℤ. 
 
b) Im = {y ∈ IR | y ≤ −1 ou y ≥ 1} ou ]-∝ , -1] ∪ [1, +∝[. 
 
c) p = 2π. 
 
d) Função ímpar: csc (-x) = - csc x 
 
e) A cossecante é positiva para os arcos com extremidades no 1º ou no 2º quadrantes, e, 
negativa para aqueles com extremidades no 3º ou 4º quadrantes. 
 
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f) Variação de y = csc x. 
X 0 1º Q π
2
 2º Q π 3º Q 
3π
2
 
4º Q 2π 
Y ∄ Decresc 1 Cresc ∄ Cresc −1 Decresc ∄ 
 pos pos neg neg 
 
g) O segmento OU mede a cossec x. 
 
 
9.6 FUNÇÃO SECANTE 
 
Define-se a função secante de x, que se indica sec x, por: 
sec x = 
1
cos x
 , para todo IR − {
π
2
+ kπ, k ∈ ℤ}. 
 
 
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a) Domínio: IR − {
π
2
+ kπ, k ∈ ℤ}. 
 
b) Im = {y ∈ IR | y ≤ −1 ou y ≥ 1} ou ]-∝ , -1] ∪ [1, +∝[. 
 
c) p = 2π. 
 
d) Função par: sec (-x) = sec x. 
 
e) A secante é positiva para os arcos com extremidades no 1º ou no 4º quadrantes, e, negativa 
para aqueles com extremidades no 2º ou 3º quadrantes. 
 
 
f) Variação de y = sec x. (Utiliza-se para crescente: cresc. e para decrescente: decresc.). 
 
x 0 1º Q π2
 2º Q π 3º Q 
3π
2
 
4º Q 2π 
y 1 dresc ∄ dresc −1 decresc ∄ decresc 1 
 pos neg neg pos 
 
g) O segmento OV mede a sec x. 
 
 
9.7 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS – ALGUNS CASOS ESPECIAIS 
 
Estudou-se, até aqui, gráficos das funções trigonométricas fundamentais (seno, 
cosseno e tangente) e suas inversas (secante, cossecante e cotangente). A partir dessas 
funções, efetuam-se algumas transformações, obtendo novos gráficos. 
 
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a) Transformações na função seno. 
1) y = a sen x 
Se a = 2, tem-se y = 2 sen x 
 
a) O domínio da função y = sen x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = sen x é o intervalo [-2, 2], isto é, -2 ≤ sen x ≤ 2. 
 
c) O período p = 2π. 
 
d) Amplitude = 2 
 
2) Se a = 
1
2
, tem-se y = 
1
2
 sen x 
 
 
a) O domínio da função y = 
1
2
 sen x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
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b) A imagem da função y = 
1
2
 sen x é o intervalo [−
1
2
,
1
2
], isto é, −
1
2
 ≤ sen x ≤ 
1
2
. 
 
c) O período p = 2π. 
 
d) Amplitude = 
1
2
. 
 
Na função y = a sen x o coeficiente a interfere na imagem, de forma diretamente 
proporcional, e na amplitude. 
 
Observação: 
Para valores de x maiores que 2π ou menores que zero, o seno de x assume os valores da 1ª 
volta. Assim, a função seno é periódica, pois, para todo: 
x ∈ IR: sen x = sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = ... = sen (x + kπ), k ∈ ℤ. 
 
b) Quando a = - 1, logo y = - sen x. Compare com o gráfico de y = sen x 
 
 
No gráfico da função y = sen x, o valor do sen 
π
2
 é 1, enquanto na função y = - sen x, o valor 
do – sen 
π
2
 é -1. O domínio, a imagem e o período são os mesmos nas duas funções. 
 
2) y = sen bx 
Se b = 2, tem-se y = sen 2x 
 
 
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a) O domínio da função y = sen 2x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = sen 2x é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen x ≤ 1. 
 
c) p = π. 
 
Se b = 
𝟏
𝟐
, tem-se y = sen 
x
2
 
 
 
a) O domínio da função y = sen 
x
2
 é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = y = sen 
x
2
 é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen x ≤ 1. 
 
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c) p = 4π. 
 
Na função y = sen bx o coeficiente b interfere apenas no período, e de forma inversamente 
proporcional. 
 
3) y = c + sen x, 
Se c = 1 tem-se y = 1 + sen x 
 
 
a) O domínio da função y = 1 + sen x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = 1 + sen x é o intervalo [0, 2], isto é, 0 ≤ sen x ≤ 2. (deslocamento 
da função, em relação a y = sen x, no eixo y, no sentido positivo em 1) 
 
c) p = 2π. 
 
Se c = -2 tem-se, y = -2 + sen x 
 
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a) O domínio da função y = -2 + sen x é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = - 2 + sen x é o intervalo [-1, -3], isto é, -1 ≤ sen x ≤ -3. 
(deslocamento da função, em relação a y = sen x, no eixo y, no sentido negativo em - 2) 
 
c) p = 2π. 
 
Na função y = c + sen x o coeficiente c interfere apenas na imagem. Note que y = c + sen x, 
sofre translado, ponto a ponto, c unidades para cima ou para baixo, modificando os valores da 
imagem. 
 
4) y = sen (x + d) 
 
Se d = π tem-se, y = sen (x + 
π
2
) 
 
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a) O domínio da função y = sen (x + 
π
2
) é o conjunto dos Números Reais, isto é, D = IR. 
 
b) A imagem da função y = sen (x + 
π
2
) é o intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen x ≤ 1. 
 
c) p = 2π. 
 
A função y = sen (x + 
π
2
) apresenta mesmo domínio, imagem, período e amplitude que a 
função y = sen x, mas o gráfico sofre translação (deslocamento de 
π
2
 para a esquerda). 
 
 
9.8 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Chamam-se de relações trigonométricas as relações definidas no ciclo trigonométrico 
para um arco x. 
Lembre-se que: 
tg x = 
sen x
cos x
 
ctg x = 
1
tg x
 ctg x = 
cos x
sen x
 
csc x = 
1
sen x
 sec x = 
1
cos x
 
 
 
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Observe o triângulo retângulo destacado na figura a seguir. Lembre-se que o raio do 
cíclo trigonométrico é unitário (1 unidade de comprimento = 1 uc). 
 
a) No triângulo destacado vamos aplicar o Teorema de Pitágoras: 
a² = b² + c² 
1² = (sen x)2 + (cos x)2 (Hipotenusa do triângulo é o raio da circunferência trigonométrica 
de raio unitário, logo hipotenusa é igual a 1). 
1 = sen2x + cos2x (Relação Fundamental da Trigonometria). 
 
b) Partindo da relação fundamental dividem-se todos os termos por sen2x 
sen2x + cos2x = 1 
sen2x
sen2x
+
cos2x
sen2x
=
1
sen2x
 (Simplificar e substituir). 
1 + ctg2x = csc2x 
 
c) Partindo da relação fundamental dividem-se todos os termos por cos2x 
sen2x + cos2x = 1 
sen2x
cos2x
+
cos2x
cos2x
=
1
cos2x
 (Simplificar e substituir). 
tg2x + 1 = sec2x 
 
Resumindo: 
tg x = 
sen x
cos x
 ctg x = 
1
tg x
 ctg x = 
cos x
sen x
 
csc x = 
1
sen x
 sec x = 
1
cos x
 sen2x + cos2x = 1 
1 + ctg2x = csc2x tg2x + 1 = sec2x 
 
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Exemplos 
1) Dado o valor de sen x = −
1
2
 e 
3π
2
< x < 2π, determine o valor das demais funções 
trigonométricas. (Cuidar x ∈ ao 4º quadrante). 
a) Determinar o valor de cos x 
sen2x + cos2x = 1 
(−
1
2
)
2
+ cos2x = 1 
1
4
+ cos2x = 1 
cos2x = 1 −
1
4
 
cos2x =
3
4
 
cos x = ±√
3
4
 
cos x = ±
√3
√4
 
cos x = ±
√3
2
 (Cuidar: x ∈ ao 4º quadrante e no 4º quadrante o cosseno é positivo). 
Logo, cos x =
√3
2
. 
 
b) Determinar o valor da tg x. 
tg x = 
sen x
cos x
 
tg x = 
−
1
2
√3
2
 
tg x = −
1
2
 .
2
√3
 (Simplificar o 2). 
tg x = −
1
√3
 (Racionalizar). 
tg x = −
1
√3
 .
√3
√3
 
tg x = −
√3
3
 (Tangente no 4º quadrante é negativa). 
 
 
 
 
 
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c) Determinar o valor da ctg x. 
ctg x = 
1
tg x
 
ctg x = 
1
−
√3
3
 
 ctg x = 1 . (−
3
√3
) 
ctg x = −
3
√3
 (Racionalizar). 
ctg x = −
3
√3
 .
√3
√3
 
ctg x = −
3√3
3
 (Simplificar o 3). 
ctg x = −√3 (Cotangente no 4º quadrante é negativa). 
 
d) Determinar o valor da csc x. 
1 + ctg2x = csc2x 
1 + (−√3)
2
= csc2x1 + 3 = csc2x 
4 = csc2x 
±√4 = csc x 
±2 = csc x (Cossecante no 4º quadrante é negativa). 
Logo, csc x = -2 
 
e) Determinar o valor da sec x. 
tg2x + 1 = sec2x 
(−
√3
3
)
2
+ 1 = sec2x 
3
9
+ 1 = sec2x (Simplificar 
3
9
). 
1
3
+ 1 = sec2x 
4
3
= sec2x 
sec x = ±√
4
3
 
 
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sec x = ±
2
√3
 (Secante no 4º quadrante é positiva). 
sec x =
2
√3
 (Racionalizar) 
sec x =
2
√3
 .
√3
√3
 
sec x =
2√3
3
 
_________________________________________________________________________ 
ATIVIDADES 
1) Indique a função trigonométrica f(x) de domínio R; Im = [-1, 1] e período π que é 
representada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir: 
 
a) y = 1 + cos x. b) y = 1 - sen x. c) y = sen (-2x). 
d) y = cos (-2x). e) y = - cos x. 
 
2) (UNICAMP) Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: 
localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o 
ângulo ABC fosse 60°; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o 
ângulo CBD fosse de 90°. Medindo AD = 40 metros, achou a largura do rio. Determine essa 
largura. 
 
 
3) (FUVEST) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: 
 
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a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x d) 2 sen 2x e) sen 2x 
 
4) (CESGRANRIO) Se x é ângulo agudo, tg (90° + x) é igual a: 
a) tg x b) cot x c) - tg x 
d) - cot x e) 1 + tg x 
 
5) (FEI) Sabendo que tg x = 
12
5
 e que π < x < 
3π
2
, podemos afirmar que: 
a) cotg x = −
5
12
 b) sec x = 
13
15
 c) cos x = −
5
13
 
d) sen x = 
12
13
 e) sen x = −
12
13
 
 
6) (FEI) Dado o trapézio conforme a figura a seguir, o valor do seno do ângulo alfa: 
(Dados: AE̅̅̅̅ = 1 cm; BC̅̅̅̅ = 2 cm; CF̅̅̅̅ = 4 cm; α = CÂD). 
 
a) 0,8 b) 0,7 c) 0,6 d) 0,5 e) 0,4333... 
 
7) (PUCCAMPINAS) Observe o gráfico a seguir. A função real de variável real que 
MELHOR corresponde a esse gráfico é 
 
a) y = cos x b) y = sen x c) y = cos 2x d) y = sen 2x e) y = 2 sen x 
 
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8) (PUC) O gráfico seguinte corresponde a uma das funções de IR em IR a seguir definidas. A 
qual delas? 
 
a) f(x) = sen 2x + 1 b) f(x) = 2 sen x c) f(x) = cos x + 1 
d) f(x) = 2 sen 2x e) f(x) = 2 cos x + 1 
 
9) (FAAP) Considerando 0 ≤x ≤2π, o gráfico a seguir corresponde a 
 
a) y = sen (x + 1) b) y = 1 + sen x 
c) y = sen x + cos x d) y = sen² x + cos² x e) y = 1 - cos x 
 
Respostas 
1) c 2) AC = 120 m 3) b 4) d 5) c 
6) a 7) d 8) a 9) b 
 
_________________________________________________________________________ 
REFERÊNCIAS 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H.; SEIBERT, T. E. A trigonometria por meio da 
construção de conceitos. São Leopoldo/RS: UNISINOS, 2001. 
 
LIMA, E. L. et al. A matemática no ensino médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1996. 
 
SEIBERT, T. E. Dimensão Profissional II. Canoas/RS: Ulbra, 2014. 
_______________________________________________________________________