[1]matematica-1-[2015]

Prévia do material em texto

WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
1 
 
M A T E M Á T I C A 1 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 2 
CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS _____________________________________________________________________2 
FUNÇÕES 4 
DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO, PARIDADE, INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO COMPOSTA. ________________________4 
DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM, CONTRADOMÍNIO, PARIDADE, INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO COMPOSTA ________________________8 
FUNÇÃO QUADRÁTICA _______________________________________________________________________________________________ 11 
FUNÇÃO MODULAR _________________________________________________________________________________________________ 15 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS 17 
GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM, CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS __________________________ 17 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 20 
NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS. DEFINIÇÕES DE LOGARITMO. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS. GRÁFICOS, DOMÍNIO, IMAGEM E 
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS. __________________________________________________ 20 
TRIGONOMETRIA 26 
TRIGONOMETRIA NOS TRIÂNGULOS _______________________________________________________________________________________ 26 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ________________________________________________________________________________________ 31 
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ____________________________________________________________________________________ 33 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS _______________________________________________________________________________ 36 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ___________________________________________________________________________________________ 40 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ____________________________________________________________________________________ 49 
 
 
 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
2 
Conjuntos Numéricos 
Capítulo 1 
Conjuntos Numéricos e Operações com Intervalos Reais 
 
Conjuntos Numéricos 
 
 Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 Conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 Conjunto dos números racionais: Q = { x | x = 
𝑎
𝑏
, a ∈ Z e b ∈ Z*} 
 Conjuntos dos números reais R: todos os números racionais e todos os números irracionais. 
 
Relação de inclusão entre os conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B I Z U 
Restrições aos conjuntos numéricos: 
 
Alguns sinais modificam os conjuntos numéricos, de modo a excluir deles algum tipo de 
número. São eles: 
 
* → Exclui o zero 
+ → Exclui os números negativos 
- → Exclui os números positivos 
 
Exemplos: 
IR_* é o conjunto dos números reais negativos. 
 
Intervalos Reais 
 
Sendo a, b, c e d números reais e a < b < c <d, podemos efetuar operações com os intervalos A = [a, c] e B = [b, d] representando-
os na reta real. 
 
União 
 
 
A ∪ B = [a, d] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ d} 
 
Intersecção 
 
A ∩ B = [b, c] = {x ∈ R | b ≤ x ≤ c} 
 
Diferença 
 
 
A - B = [a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- (FUNCAB) A representação correta do intervalo real definido 
por N= [2 ; 7[ , na reta real é: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
2- (USP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: 
 
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde. 
b) quando chove de manhã não chove à tarde. 
c) houve 5 tardes sem chuva. 
Q 
 
N 
 
Z 
 
R 
 
R – Q 
(Conjunto dos números 
irracionais) 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
3 
d) houve 6 manhãs sem chuva. 
 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
3- (UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 
visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses 
estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses5, 3 
visitaram também São Paulo. O número de estudantes que 
visitaram Manaus ou São Paulo foi: 
 
a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 
 
4- (FEI) Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma 
única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um 
famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: 
 
a) século XIX 
b) século XX 
c) antes de 1860 
d) depois de 1830 
e) nenhuma das anteriores 
 
Pode-se garantir que a resposta correta é: 
 
a) a b) b c) c d) d e) e 
 
5- (PUC) Se A = e B = { }, então: 
 
a) A 0 B 
b) A c B = i 
c) A = B 
d) A 1 B = B 
e) B d A 
 
6- (FGV) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de 
elementos de A 1B é 30, o número de elementos de A 1 C é 20 e 
o número de elementos de A 1 B 1 C é 15. Então o número de 
elementos de A 1 (B c C) é igual a: 
 
a) 35 b) 15 c) 50 d) 45 e) 20 
 
7- Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis 
de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a, b} } são: 
 
a) 2 ou 5 
b) 3 ou 6 
c) 1 ou 5 
d) 2 ou 6 
e) 4 ou 5 
 
8- (PUC) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e 
{x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: 
 
a) x = 0 e y = 5 
b) x + y = 7 
c) x = 0 e y = 1 
d) x + 2 y = 7 
e) x = y 
 
9- (UFF) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-
1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do 
homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o 
matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em 
relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: 
 
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. 
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um 
número racional. 
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre 
um número inteiro negativo. 
 
10- Sobre a teoria dos conjuntos numéricos, analise as 
afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta. 
 
I. Para todo número real a ≥-1 e todo numero natural n ≥ 1 
temos que a desigualdade (1 + a)n ≥ 1+ na é válida. 
II. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝛼 > 0. Então não existe n ∈ ℕ∗ de modo 
que n𝛼 > 𝛽 
III. Seja 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅. Se A limita do superiormente, então A 
admite supremo em ℝ . 
IV. Sejam A e B subconjuntos de ℝ tais que A∪B ≠ ∅ e, ainda, 
que todo a ∈ A é menor que todo b ∈ B. Então existe um único 
c ∈ ℝ que não é superado por nenhum a ∈ A e que não supera 
nenhum b ∈ B. 
 
a) Somente I está correta. 
b) Somente I e III estão corretas. 
c) Somente II e IV estão corretas. 
d) Somente I, III, e IV estão corretas. 
e) Somente II, III, e IV estão corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1E 2C 3A 4C 5A 6A 7A 8B 9D 10D 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
4 
Funções 
Capítulo 2 
Definição, Domínio, Imagem, Contradomínio, Paridade, Injeção, Sobrejeção, Função Inversa e Função Composta. 
 
Conceito de Função 
 
 Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, dizemos que f é uma função de A em B (ou que y é uma função de x) se, e somente se, 
para cada elemento x de A exista em correspondência um único elemento y de B. A notação de função é dada por f: A→B tal que y = f(x). 
 Na função f: A→B, tal que y = f(x), chamamos x de variável independente e y de variável dependente. 
 Zero de uma função f é todo número real x ∈ D(f) tal que f(x) = 0. 
 
PRÁTICA 
 
P1) Seja f a função de R – {1} em R definida por f(x) = 
2
𝑥−1
, calcule: 
a) f(3) + f(5) 
b) o valor de m, tal que f(m) = -3 
P2) Considere a função f: R→R, definida por f(x) = 2x–1. Determine todos os valores de m ∈ R para os quais é válida a igualdade f(m2) – 2f(m) + f(2m) = 
𝑚
2
 
P3) Responda se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função de A={-1, 0, 1, 2} em B={-2, -1, 0, 1, 2, 3} e justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio, Contradomínio e Imagem 
 
Dada a função f: A→B, o conjunto A é o domínio da função, indicado por D(f), o conjunto B é o contradomínio da função, indicado 
por CD(f), e o conjunto formado por todas as imagensde x é chamado de conjunto imagem da função, indicado por Im(f). 
 
B I Z U 
 
Restrições ao domínio de uma função: 
 
 Denominadores diferentes de zero. 
 Raízes de índice par devem ter radicandos não negativos (≥ 0). 
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Determine o domínio de cada função a seguir: 
a) f(x) = √𝑥 + 4 
b) f(x) = 
10𝑥−3
𝑥2−9
 
c) f(x) = 
5𝑥
𝑥3− 4𝑥
 - 
2
√𝑥 + 1
 
d) f(x) = √𝑥4 + 𝑥2 + 3 
e) f(x) = 
1
√𝑥+ √6+ √4
3
 
 
Gráfico de uma Função 
 
O gráfico de uma função é representado em um plano cartesiano, que é o plano determinado pelo sistema de eixos ortogonais 
x (eixo horizontal chamado eixo das abscissas) e y (eixo vertical chamado eixo das ordenadas), que o dividem em quatro 
regiões chamadas quadrantes. Todo ponto P do plano cartesiano é representado por meio de um par ordenado (x, y), em 
que x e y são números denominados coordenadas do ponto P(x, y). 
 
 
Para construir o gráfico de uma função, representam-se no plano cartesiano todos os pares ordenados (x, f(x)) tais que x ∈ D(f). 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-2 
-1 
0 
1 
3 
2 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
2 
 
-2 
-1 
0 
1 
3 
2 
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
A B 
 
A B 
A B 
 
A B 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
5 
PRÁTICA 
 
P5) Quais dos gráficos abaixo representam funções de R em R? Explique. 
 
 
Análise de Gráficos de Funções 
 
 Uma função f é crescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, com 
x1<x2, tem-se f(x1)<f(x2). 
 Uma função f é decrescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, 
com x1 < x2, tem-se f(x1)>f(x2). 
 Se uma função f tem determinado ym ∈ Im(f) tal que não existe y ∈ Im(f) maior que ym, dizemos que ym é o valor máximo da função 
f. 
 Se uma função f tem determinado ym ∈ Im(f) tal que não existe y ∈ Im(f) menor que ym, dizemos que ym é o valor mínimo da função 
f. 
 Se, em um intervalo do domínio de uma função, os pontos do gráfico estão acima do eixo x, ou seja, tem ordenada positiva 
(y>0), dizemos que a função é positiva nesse intervalo. 
 Se, em um intervalo do domínio de uma função, os pontos do gráfico estão abaixo do eixo x, ou seja, têm ordenada negativa 
(y<0), dizemos que a função é negativa nesse intervalo. 
 
PRÁTICA 
 
P6) Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos abaixo: 
 
 
 
 
 
P7) O gráfico abaixo representa uma função f definida em um subconjunto de R. Determine: 
a) o domínio da função. 
b) o conjunto imagem da função. 
c) os valores de f(-1), f(0) e f(3) 
d) em que intervalo(s) f é crescente. 
e) em que intervalo(s) f é decrescente. 
f) existe f(-50)? Qual seria o seu “palpite” para esse valor? 
 
 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
6 
Paridade 
 
 Uma função f: A→B é denominada função par se, para todo x∈A, f(x) = f(-x). 
 A função par tem seu gráfico simétrico em relação ao eixo y. 
 Uma função f: A→B é denominada função ímpar se, para todos x∈A, f(-x) = -f(x). 
 A função ímpar tem seu gráfico simétrico em relação a origem. 
 
PRÁTICA 
 
P8) Assinale P se a função é par, I se a função é ímpar e O se a função é par nem ímpar. 
a) f(x)=4 
b) f(x)=2x 
c) f(x)=3x + 5 
d) f(x)=3x² 
e) f(x)=x³ 
f) f(x)=
3
𝑥
 
 
 
Injeção e Sobrejeção 
 
 Uma função f: A→B é sobrejetora quando, para qualquer y ∈ B, sempre temos x ∈ A, tal que f(x) = y, ou seja, Im(f) = B. 
 Uma função f: A→B é injetora se, para quaisquer x1 e x2 da A, com x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2). 
 Uma função f: A→B será bijetora se for, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. 
 
Função Inversa 
 
Dada uma função bijetora f:A→B, chamamos de função inversa de f a função f-1:B→A, tal que, para todo (x, y) ∈ f, há (y, x) ∈ f-1. 
Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação à reta y=x, ou seja, à bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
Para obter a lei da função inversa, trocamos x por y e y por x. Em seguida, expressamos y em função de x. 
 
PRÁTICA 
 
P9) Determine a lei que define a função inversa de cada função de R em R. 
a) f(x) = 
𝑥+5
3
 
b) f(x) = x³ + 1 
c) p(x) = √2𝑥
5
 
d) h(x) = x² + 2x 
 
Função Composta 
 
Sejam f: A→B e g: B→C. A função composta de g com f é a função g ° f: A→C, tal que (g ° f) (x) = g(f(x)), para x∈A. 
 
 
 
PRÁTICA 
 
P10) Considere as funções reais f, g e h definidas por: 
a) f(x) = 2x + 1 
b) g(x) = 5x + 9 
c) h(x) = 6x² 
P11) Determine as leis que definem: 
a) fº(gºh) 
b) (fºg)ºh 
 Sejam f e g funções reais tais que g(x) = - 4x + 2 e g(f(x)) = -12x – 18. Obtenha f(x). 
 Sabendo que f(x) = 3x + 5 e g(f(x)) = 3x + 3, obtenha g(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1-(UFBA) Se f (g (x)) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4, então g(x) é 
igual a: 
 
a) x - 2 
b) x - 6 
c) x - 6/5 
d) 5x - 2 
e) 5x + 2 
 
2- (UEFS) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 
+ 1) = - 2x2 + 2, para todo x ÎR, pode-se afirmar que b/a é igual a 
 
a) 2 b) 3/2 c) ½ d) -1/3 e) -3 
 
3- (UCSal) O maior valor assumido pela função y = 2 - ½x - 2½é: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
7 
4- (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½1 
- x½- 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). 
Nestas condições o valor de d + c - b - a é: 
 
a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 0 
 
5- (UFBA) Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é 
igual a: 
 
a) x - 2 
b) x - 6 
c) x - 6/5 
d) 5x - 2 
e) 5x + 2 
 
6- (UEFS) Uma função real é tal que f(x). f(y) = f(x + y), f(1) = 
3 e f(Ö3) = 4. O valor de f(2 + Ö3) é: 
 
a) 18 b) 24 c) 36 d) 42 e) 48 
 
7- (UCSal) Seja f uma função de N em N , tal que f(0) = -1 , f(1) = 1 
e f(n-2) = f(n) . f(n-1), se n 2. O conjunto imagem de f é: 
 
a) N 
b) N - {0} 
c) {-2,-1,0,1,2} 
d) {-1,0,1} 
e) {-1,1} 
 
8 - (UCSal) Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. 
Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então: 
 
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor máximo é 0,25 
d) o seu valor mínimo é 12,5 
e) o seu valor máximo é 12,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1C 2D 3B 4A 5C 6C 7E 8E 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
8 
Funções Afins 
Capítulo 3 
Definição, Domínio, Imagem, Contradomínio, Paridade, Injeção, Sobrejeção, Função Inversa e Função Composta. 
 
Definição 
 
Toda função de R em R do tipo f(x)=ax+b, com a, b ∈ R, é uma função afim. 
 
 Se a = 0, a função f(x)=b é chamada função constante. 
 Se a ≠ 0, a função f(x)=ab + b é chamada função polinomial do 1º grau. 
 Se a ≠ 0 e b= 0, a função f(x)=ax é chamada função linear. 
 Se a = 1 e b= 0, a função f(x)=x é chamada função identidade. 
 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função afim f(x)=ax+b é uma reta. 
 
 O coeficiente de x(a) é chamado de coeficiente angular da reta. 
 O termo constante (b) é chamado de coeficiente linear da reta. 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela do eixo x. 
 
 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos x e y. 
 
 
 
O zero de uma função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b é dado por x = -
𝑏
𝑎
 e corresponde à raiz da equação ax + b = 0. No gráfico, o 
zero é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x. 
 
Dada uma função afim f(x) = ax + b, a reta que a representa intercepta o eixo y no ponto (0, b). 
 
PRÁTICA 
 
P1) Construa o gráfico da função real f(x) = y = 2x – 1 
P2) Uma função linear f é tal que f(1) = 5. Determine a lei que define f. 
 
 
Crescimento e Decrescimento 
 
Se f: R -> R, definida por f(x) = ax + b: 
 
f é crescente quando a > 0; 
fé decrescente quando a < 0. 
 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
9 
PRÁTICA 
 
P3) Discuta, em função de m, a “variação” (crescente, decrescente ou constante) da função y = m (x – 1) + 3 – x. 
 
 
Sinal 
 
Sinais da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b. 
 
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Estude o sinal da função f(x) = (2x -1)² - (2x + 2)² - 3. 
 
 
Inequações 
 
Inequações apresentadas por duas desigualdades ou por meio de um sistema de inequações são chamadas inequações 
simultâneas. 
 
PRÁTICA 
 
P5) Resolva, em R, as seguintes inequações: 
a) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1 
b) 3x + 2 ≥ 5x -2 
 4x – 1 > 3x -4 
 3 – 2x < x - 6 
P6) Sendo f e g funções na variável real x, chamamos de inequação-produto as sentenças expressas por: 
a) f(x) • g(x) > 0 b) f(x) • g(x) < 0 c) f(x) • g(x) ≥ 0 d) f(x) • g(x) ≤ 0 
P7) Resolva, em R, a seguinte inequação: (5 – 3x) (7 – 2x) (1 – 4x) ≤ 0 
P8) Sendo f e g funções na variável real x, com g(x) ≠ 0, chamamos de inequação-quociente as sentenças expressas por: 
a) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 > 0 b) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 < 0 c) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 ≥ 0 d) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 ≤ 0 
P9) Resolva, em R, as seguintes inequações. 
a) 
(1−2𝑥)(3+4𝑥)
(4−𝑥)
 > 0 
b) 
1
𝑥−4
 < 
2
𝑥+3
 
P10) Determine o domínio da função f definida por f(x) = √3𝑥 − 5 + 2 √
𝑥+3
𝑥−2
 + x² 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- (ENEM) Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da 
seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma 
comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda 
mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para 
cada produto vendido, a partir do 101o produto vendido. 
 
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a 
relação entre salário e o número de produtos vendidos é 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
10 
 
2- (ESCOLA NAVAL) A função real ƒ, de variável real, é definida 
por f(x)=In(x5+x3+x). Podemos afirmar que a equação da reta 
normal ao gráfico da função inversa ƒ–1 no ponto (In3,ƒ–1(In3) é 
 
a) y–3x+ 3In3= 1 
b) 3y–x+ In3= 3 
c) y+ 3x–In27= 1 
d) 3y+ x–In3= –3 
e) y+ 3x–In3=3 
 
3- (ESCOLA NAVAL) Considere a função real f, de variável real, 
definida por Se g é a função inversa 
de f, então g"(1) vale 
 
a) 1 
b) 0, 5 
c) 0,125 
d) 0, 25 
e) 0 
 
4- (AOCP) Seja f: R+ → R dada por f(x) = vx e g: R → R+ dada 
por g(x) = x² + 1. A função composta (g o f)(x) é dada 
 
a) √x2 + 1 
b) x+1 
c) √x2 + 1 
d) √x2 
e) x2 + 1 
 
5- Sabendo que p(x) = – x4+11x3–38x2+52x–24 tem uma raiz 
dupla x=2, o domínio de definição da função f(x)=In(p(x)) é: 
 
a) {xє IR; x ≠ 2 e x ≠ 3} 
b) {x є IR; 2 < x < 3} 
c) {x є IR; 1 < x < 6} 
d) {x є IR; x < -1 ou x > 7} 
e) {x є IR; 1 < x < 2 ou 2 < x < 6} 
 
6- A função f: R em R , definida por f(x) = x2 : 
 
a) é inversível e sua inversa é f -1 
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - 
c) não é inversível 
d) é injetora 
e) é bijetora 
 
7- (UCSal) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto 
dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. 
Nestas condições, g(-1) é igual a: 
 
a) -5 
b) -4 
c) 0 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1E 2C 3C 4B 5E 6C 7D 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
11 
Função Quadrática 
Capítulo 4 
Função Quadrática. 
 
Definição 
 
Toda função de R em R do tipo f(x) = ax²+bx+c, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0, é uma função quadrática. 
 
Os números reais a, b, c são os coeficientes da função quadrática f(x)= ax²+bx+c. 
 
Os zeros da função quadrática f(x) = ax²+bx+c são as raízes reais da equação do 2º grau ax²+bx+c=0. 
 
B I Z U 
A fórmula de Bhaskara: x = 
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 onde o discriminante ∆ é igual a b² - 4ac 
 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
 
 
 
A parábola que corresponde à função quadrática f(x)=ax²+bx+c pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo: 
 
 
 
As coordenadas do ponto em que a parábola, correspondente à função quadrática f(x)= ax²+bx+c, intercepta o eixo y são (0, c). 
 
Os zeros de uma função quadrática são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x. 
 
A função quadrática: 
 
 Tem dois zeros reais distintos se ∆>0; então a parábola correspondente tangencia o eixo x em dois pontos; 
 Tem um zero real duplo se ∆=0; então a parábola correspondente tangencia o eixo x; 
 Não tem zeros reais se ∆<0; então a parábola não tem ponto em comum com o eixo x. 
 
B I Z U 
Soma e Produto das raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax²+bx+c=0. 
 
x1+x2=-b/a 
x1•x2=c/a 
 
Forma fatorada de uma equação do 2º grau 
 
a(x–x1) (x–x2)=0 
 
PRÁTICA 
 
P1) Construa o gráfico de cada uma das funções a seguir. 
a) y = x² + 3x 
b) y = x² - 2x + 4 
 
Vértice 
 
As coordenadas do vértice de uma parábola, cuja lei da função é f(x)=ax²+bx+c, são dadas por: 
 
xv = - 
𝑏
2𝑎
 e yv = - 
∆
4𝑎
 
 
Dois pontos da parábola de ordenadas iguais estão à mesma distância da reta perpendicular ao eixo x que passa pelo vértice (xv, 
yv) dessa parábola. Essa reta é chamada eixo de simetria. 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
12 
 
 
PRÁTICA 
 
P2) Determine o valor de m na função real f(x) = mx² + (m – 1) x + (m + 2) para que o valor máximo de f seja 2. 
P3) Entre todos os retângulos de perímetro 20cm, determine o de área máxima. 
 
 
Imagem 
 
A ordenada do vértice da parábola corresponde ao valor máximo ou valor mínimo da função quadrática e permite determinar o 
conjunto imagem dessa função 
 
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Determine a imagem da função y=
1
2
x²+x+1. 
Seja f:R→R uma função do 2º grau cujo gráfico é dado a seguir. Qual é a expressão de f? 
 
 
Sinal 
 
Sinais da função quadrática f(x)=ax²+bx+c 
 
 
 
Inequações 
 
Inequação do 2º grau na incógnita x é toda inequação que pode ser reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um 
polinômio do tipo ax²+bx+c (com a≠0) e o segundo membro é zero. 
Para resolver inequações-produto e inequações-quociente que envolvam funções quadráticas, precisamos estudar o sinal das funções. 
 
Resolva, em R, as inequações: 
 
a) √2 x > x² 
b) 3x² - 7x + 2 ≥ 0 
 4x – 1 ≥ 0 
c) 0 ≤ x² - 3x + 2 ≤ 6 
d) (1 – 4x²) (2x² + 3x) ≥ 0 
e) 4x³ - 12 x² - x + 3 ≤ 0 
f) 
𝑥²+2𝑥
𝑥²+5𝑥+6
 ≥ 0 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
13 
 
PRÁTICA 
 
P5) (FGU-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L=-x²+30x–5, sendo x a quantidade mensal vendida. Entre que 
valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 
P6) Determine m∈R para que x²+(2m+3)x+(m²+3)≥0 para todo x real. 
P7) Determine o domínio da função real f(x) = √
2𝑥−1
𝑥²−4
 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- Observe o gráfico da função quadrática a seguir. 
 
 
 
Sobre essa função, é possível afirmar que 
 
a) Δ > 0 
b) Δ < 0 
c) Δ = 0 
d) a < 0 
e) a = 0 
 
2-(ESPP) Com relação à função quadrática f(x) = ax2 + bx + 
c, é correto afirmar que: 
 
a) O ponto de máximo é dado pela maior raiz da função. 
b) Se b2 – 4ac < 0 então a função não possui ponto de máximo e 
nem ponto de mínimo. 
c) Se o coeficiente de x for igual a zero pode ser que a função não 
tenha raízes reais 
d) As coordenadas do ponto mínimo da função são (- b⁄a, 
- Δ⁄2a) para a > 0. 
 
3-(CESPE) 
 
 
Considerando as tabelas acima, que apresentam, 
respectivamente, o peso e a estatura da criança A, desde o 
nascimento (0 ano) até o 3.o ano de vida, bem como o peso da 
criança B, desde o nascimento (0 ano) até o 2.º ano de vida, 
julgue os itens a seguir. 
 
Considere que, no plano cartesiano xOy, a variável x seja o 
tempo, em anos, e a variável y seja a altura, em centímetros. 
Considere, ainda, que exista uma função quadrática y = f(x) 
= ax2 + bx + c, cujo gráfico passa pelos pontos (x, y) 
correspondentes às alturas no nascimento no 1.º, 2.º e 3.º 
anos de vida da criança A. Em face dessas informações,é 
correto afirmar que |
𝑏
𝑎
| < 10. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
4- (CESGRANRIO) Considere a função quadrática f: R → R, 
cujo gráfico é mostrado a seguir. 
 
 
 
Para se obterem os zeros da função acima, basta resolver-
se a equação do segundo grau 
 
a) x2 - 2x + 6 = 0 
b) − 
𝑥2
4
+ 𝑥 + 3 = 0 
c) −𝑥2 +
3
2
𝑥 + 3 = 0 
d) -x2 + 2x - 6 = 0 
e) -2x2 + 3x + 6 = 0 
 
5-(FUNDATEC) A trajetória de uma bola, em um chute a gol, 
pode ser descrita por uma função quadrática. Supondo que 
sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada 
por h = - t² + 4t, temos que a altura máxima atingida pela 
bola é: 
 
a) 4m. 
b) 2m. 
c) 3m. 
d) 2,5m. 
e) 1,5m. 
 
6- (CESGRANRIO) A raiz da função f(x) = 2x - 8 é também 
raiz da função quadrática g(x) = ax2 + bx + c. 
 
Se o vértice da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto 
V(-1, -25), a soma a + b + c é igual a 
 
a) - 25 
b) - 24 
c) - 23 
d) - 22 
e)- 21 
 
7- (CESPE) O modelo de regressão quadrática Y=a+bX+cX2+𝜀 deve 
ser ajustado aos dados da seguinte tabela. 
 
 
 
Nesse caso, é correto afirmar que as equações normais são 
dadas por 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
14 
 
em que n representa o tamanho da amostra. 
 
( ) Certo ( )Errado 
 
8- (FCC) Uma indústria fabrica determinada peça e consegue 
vender todas as unidades produzidas. Um modelo foi 
elaborado para estimar o lucro (y), em R$ 1.000,00, em 
função da quantidade de peças produzidas (x), sendo o 
modelo uma função quadrática tal que y = -0,25x2 + 20x. 
Conforme o modelo, existe uma quantidade produzida xm 
tal que o lucro atinge o seu valor máximo. O valor deste lucro 
máximo é igual a 
 
a) R$ 200.000,00 
b) R$ 400.000,00 
c) R$ 600.000,00 
d) R$ 800.000,00 
e) R$ 900.000,00 
 
9- (FCC) O lucro total anual (y), em unidades monetárias, de 
uma empresa fabricante de um produto é descrito por uma função 
quadrática y = ax2+ bx + c, sendo x o número de unidades 
produzidas e vendidas do produto no respectivo período (a, b e c 
são os parâmetros da função quadrática). Sabe-se que a curva 
correspondente passa pelos pontos (0, -100), (16, 60) e (20, 90). 
O valor do lucro total anual máximo, em unidades monetárias, 
atingido pela empresa é de 
 
a) 128. 
b) 146. 
c) 188. 
d) 196. 
e) 216. 
 
10- (CESPE) 
 
 
A figura acima mostra uma criança em um carrinho que se move 
com velocidade constante Vox, em um plano horizontal. Durante 
o movimento do carrinho, a criança joga uma bola para cima com 
velocidade inicial igual a Voy’ No referencial da criança, a origem 
do sistema de eixos coordenados está fixa ao carrinho. Para o 
observador externo, a origem dos sistemas de eixos coordenados 
é identificada por 0 na figura e está fixo ao solo. Desprezando o 
atrito com o ar e considerando a aceleração da gravidade igual a 
g, julgue os itens de 03 a 08, acerca da situação apresentada. 
 
Do ponto de vista de um observador externo, considerando- 
se um referencial fixo ao solo, é correto afirmar que a bola 
descreve um movimento parabólico de subida e descida, 
descrito por uma função quadrática genérica do tipo y(x) = a 
+ bx + cx2 , em que a, b, c pertencem ao conjunto dos 
números reais. 
 
( )Certo ( )Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1A 2C 3E 4B 5A 6E 7C 8B 9C 10C 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
15 
Função Modular 
Capítulo 5 
Função Modular 
 
Definição 
 
Algumas funções são de uma forma que y é uma função de x, definida por mais de uma sentença. Usa-se uma sentença ou outra 
dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra. 
 
PRÁTICA 
P1) Construa o gráfico das seguintes funções reais: 
a) y = f(x) = 1, se x < 0 
 x + 1, se x ≥ 0 
b) y = g(x) = 1 – x, se x ≤ 1 
 2, se 1 < x ≤ 2 
 x² - 2, se x > 2 
 
 
Módulo de um número 
 
Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e se indica com |x|, o número real não negativo tal que: 
 
|x| = x, se x ≥ 0 OU |x| = -x, se x < 0 
 
Isso significa que: 
 
I - O módulo de um número não negativo é igual ao próprio número; 
II - O módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número; 
III – O módulo de um número real qualquer é sempre maior ou igual a zero: |x| ≥ 0; ∀ x 
 
PRÁTICA 
P2) Determine o valor aproximado de |3 – 𝜋|. 
P3) Simplifique a fração E = 
|𝑥−1|
𝑥−1
. 
 
 
Função modular 
 
Chama-se função modular a função f de R em R dada pela lei f(x) = |x| utilizando o conceito de módulo: 
 
f(x) = x, se x ≥ 0 
 -x, se x < 0 
 
PRÁTICA 
P4) Construa o gráfico da função modular e determine sua imagem. 
 
 
Funções compostas com a modular 
 
PRÁTICA 
P5) Construa o gráfico das seguintes funções reais. 
a) f(x) = |x² - 4| 
b) h(x) = |x| -1 
c) g(x) = |2x -1| + x – 2 
d) f(x) = |x² - 1| - 2 
 
 
Equações modulares 
 
De modo geral, sendo k um número positivo, temos: 
 
|x| = k => x = k ou x = -k 
 
PRÁTICA 
P6) Resolva em R: 
a) |3x -1| = 2 
b) |2x – 1| = |x + 3| 
c) |2x + 3| = x + 2 
d) |x|³ - 7|x|² + 6 |x| = 0 
e) 2 |x – 1|² - 3 |x – 1| - 2 = 0 
 
 
Inequações modulares 
 
De modo geral, sendo k um número real positivo, temos: 
 
|x| < k => -k < x < k 
|x| > k => x < - k ou x > k 
 
PRÁTICA 
P7) Resolva em R: 
a) |x – 1| < 4 
b) |2x – 3| > 7 
c) |2x – 1| ≥ x + 1 
d) 1 < |x – 1| ≤ 3 
e) |x² - 3x – 4| ≤ 6 
P8) Determine o domínio da função real definida por f(x) = 
|𝑥−3|
√1−|𝑥|
. 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
16 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- Dada a função real modular f(x) = 8 + (|4k – 3| – 7) x, em 
que k é real. Todos os valores de k para que a função dada seja 
decrescente pertencem ao conjunto 
 
a) k > 2,5 d) –1 < k < 2,5 
b) k < –1 e) k < –1 ou k > 2,5 
c) –2,5 < k < -1 
 
2- (UFSC) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a 
soma dos itens corretos. 
Considere a função f : IR → IR dada por f(x)=|2x+5|. 
Determine a soma dos números associados às proposições CORRETAS. 
 
01. f é injetora. 
02. O valor mínimo assumido por f é zero. 
04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,5). 
08. O gráfico de f é uma reta. 
16. f é uma função par. 
 
Soma ( ) 
 
3- (UFBA) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses 
a soma dos itens corretos. 
 
Considerando-se a função real f(x)=x2 - 3|x|, é verdade: 
 
 
(01) A imagem da função f é [-3, +∞[. 
(02) A função f é bijetora, se x∈]- ∞, -2] e f(x) ∈ [-2,+ ∞ [. 
(04) A função f é crescente, para todo x ≥ 0. 
(08) O gráfico da função f intercepta os eixos coordenados em 
três pontos. 
(16) Para todo x∈{-1, 4}, tem-se f(x) = 4. 
(32) O gráfico da função f é 
 
Soma ( ) 
 
4-. (UFPE) Na figura a seguir temos o gráfico de uma função f(x) 
definida no intervalo fechado [-4, 4]. Com respeito à função 
g(x)=f(|x|) é incorreto afirmar: 
 
 
 
a) O ponto (-4, -2) pertence ao gráfico de g. 
b) O gráfico de g é simétrico com relação ao eixo 0y das ordenadas. 
c) g(x) se anula para x igual a -3, -1, 1 e 3. 
d) g(-x) = g(x) para todo x no intervalo [-4, 4]. 
e) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [-4, 4]. 
 
5- (UFRS) Identifique os gráficos que correspondem a y=logx e 
y=|logx|, nesta ordem. 
 
a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) V e IV 
 
 
6- (UFF) Considere o sistema {
𝑦 > |𝑥|
𝑦 ≤ 2
 
A região do plano que melhor representa a solução do sistema é: 
 
 
7- (FUVEST) O módulo | x | de um número real x é definido por 
| x | = x, se x ≥ 0, e | x | = - x, se x < 0. 
 
Das alternativas a seguir, a que melhor representa o gráfico da 
função f(x)=x.|x|-2x+2 é: 
 
 
 
8- (MACKENZIE) Na figura 1, temos o esboço do gráfico de uma 
função f, de IR em IR. O melhor esboço gráfico da função 
g(x)=f(|x|) é: 
 
 
9- (UFES) 
 
 
O gráfico acima representa a função 
 
a) f(x) = | | x | - 1| 
b) f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 
c) f(x) = | | x | + 2| - 3 
d) f(x) = |x - 1| 
e) f(x) = | | x | + 1| - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1D 2(02+04=06) 3(32) 4E 5C6B 7E 8E 9A 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
17 
Funções Exponenciais 
Capítulo 6 
Gráficos, Domínio, Imagem, Características das Funções Exponenciais, Equações e Inequações Exponenciais. 
 
Potenciação 
 
Dados um número real a e um número natural n, com n ≥ 2, a potência de base a e expoente n é indicada por 𝑎𝑛 e é o produto de 
n fatores iguais a a: 
 
an: = a∙a∙a∙...∙a 
 
n fatores 
 
 Se n = 1, temos a¹ = a 
 Se n = 0, definimos a0 = 1 
 
Propriedades das potências 
 
Propriedades das potências de expoente natural (com a e b reais e m e n naturais não-nulos): 
 
 am∙an = am+n 
 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
 = am-n (a≠0 e m>n) 
 (a∙b)m = am∙bm 
 (
𝑎
𝑏
)
𝑚
= 
𝑎𝑚
𝑏𝑚
(𝑏 ≠ 0) 
 (am) n = am∙n 
 
O inverso de an é a-n = 
1
𝑎𝑛
, com (a≠0) 
 
PRÁTICA 
P1) Calcule o valor de: 
a) y = [3−1 − (−3)−1]-1 
b) m = [
2−1−(−2)−1
(
1
2
)
−1 ]
−2
 
P2) Simplifique a expressão 
2𝑛+4+2𝑛+2+2𝑛−1
2𝑛−1+2𝑛+1
 
 
 
Raiz n-ésima (enésima) aritmética 
 
A raiz enésima de a, um número real não-negativo, é definida como o número b, real e não-negativo, tal que bn=a, em que n é 
natural e n ≥ 1, e escreve-se: 
 
√𝑎
𝑛
 = b  bn =a e b≥0 
 
O símbolo √ é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice. 
 
Propriedades da radiciação 
 
Propriedades da raiz enésima de a (com a e b reais, m inteiro, n e p naturais e não-nulos): 
 
 √𝑎 ∙ b
𝑛
 = √𝑎
𝑛
 ∙ √𝑏
𝑛
 
 √
𝑎
𝑏
𝑛
 = 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 (b≠0) 
 ( √𝑎
𝑛
)
𝑚
 = √𝑎𝑚
𝑛
 
 √ √𝑎
𝑝𝑛
 = √𝑎
𝑛∙p
 
 √𝑎𝑚∙p
𝑛∙p
 = √𝑎𝑚
𝑛
 
 
Dados um número real positivo a e um número racional 
𝑝
𝑞
 (em que p, q 𝜖 Z e q ≥ 2), definimos: 𝑎
𝑝
𝑞 = √𝑎𝑝
𝑎
 
 
PRÁTICA 
P3) Calcule o valor de √25 − 16
2
 + √0
16
 - √27
3
 
P4) Simplifique 
√16
3 + √54
3
√125
3 
P5) Efetue √√12
2
+ 2
3
∙ √√12
2
− 2
3
 
P6) Simplifique √𝑥 √𝑥√𝑥
34
2
 
P7) Efetue 10000,6 
 
 
A Função Exponencial 
 
Uma função f: R → 𝑅+
∗ é chamada de função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(𝑥) = ax, 
para todo x ≠ R. 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
18 
Gráfico da função exponencial f(x) = ax: 
 
Função crescente (a>1) 
 
Função decrescente (0 < a < 1) 
 
 
B I Z U 
O número de Euler (e). 
 O número e é um número irracional utilizado em diversas aplicações de diferentes áreas do 
conhecimento. 
 O valor de e = 2,7182818284... é obtido fazendo-se n tender ao infinito na expressão (1 + 
1
𝑛
)
𝑛
. 
 
Propriedades: 
 
I. O gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1. 
II. Se a>1, então a função f(𝑥)= ax é crescente. Portanto , dados os reais 𝑥1 < 𝑥2 temos: 
Se 𝑥1 < 𝑥2 então 𝑎
𝑥1 < 𝑎𝑥2 
 
Sinais iguais 
III. Se 0 < a < 1, então a função f(𝑥) = ax é decrescente. Portanto, dados os reais 𝑥1 e 𝑥2, temos: 
Se 𝑥1 < 𝑥2 então 𝑎
𝑥1 > 𝑎𝑥2 
 
Sinais diferentes 
IV. Para todo a > 0 e a ≠ 1, temos: 
Se 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 , então 𝑥1 = 𝑥2 
V. O conjunto imagem da função exponencial y= ax é Im = {y ∈ R / y >0} = 𝑅+
∗ 
 
PRÁTICA 
 
P8) Construa o gráfico das seguintes funções reais. 
a) f(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
 
b) f(𝑥) = 2x - 3 
c) f(𝑥) = 2∙2x + 1 
d) A função dada por y = 4∙(m-2)x é crescente. Determine m. 
 
 
Equações exponenciais 
 
Equações que têm a incógnita no expoente são denominadas equações exponenciais. 
 
PRÁTICA 
 
P9) Resolva, em R, as seguintes equações 
a) 8x = 32 
b) (√2
6
)
𝑥
 = 0,5 
c) (3𝑥)𝑥+1 = 729 
d) 22𝑥+1 ∙ 43𝑥+1 = 8𝑥−1 
e) 83𝑥 = √32𝑥
3
 ÷ 4𝑥−1 
f) 3𝑥−1 - 3x + 3x+1 + 3x+2 = 306 
g) 4x + 6x = 2∙9x 
 
 
Inequações exponenciais 
 
Quando a>1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém entre os expoentes: 
𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 → 𝑥2 > 𝑥1 
 
Sinal mantido 
 
Quando 0 < a < 1, a relação de desigualdade entre as potências se inverte entre os expoentes: 
𝑎𝑥2 > 𝑎𝑥1 → 𝑥2 < 𝑥1 
 
Sinal invertido 
PRÁTICA 
 
P10) Resolva, em R, as seguintes inequações em R: 
a) 2x > 64 
b) (
1
3
)
𝑥
 ≤ 27 
c) (√2
2
)
𝑥
 ≥ 4√2
2
 
d) (0,56)2𝑥+3 > 1 
e) (2𝑥)𝑥+1 ≤ 64 
f) (
1
3𝑥
) ∙ 91+2𝑥−𝑥
2
 ≥ (
1
27
)
𝑥−1
 
g) 52𝑥+2 - 5𝑥+3 > 5𝑥 - 5 
h) 7𝑥 - 6 ≥ 71−𝑥 
i) 𝑒2x - 𝑒𝑥+1 - 𝑒𝑥 + e < 0 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
19 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
1- (FUMARC) Com o objetivo de diversificar sua renda, um 
produtor rural decidiu construir um tanque para criar tilápias. 
Colocou, inicialmente, 1.000 tilápias e, descuidadamente, deixou 
cair também 8 piabas. Suponha que o aumento das populações 
de piabas e tilápias ocorre segundo as leis P(t)=P010t e 
T(t)=T20/font>2t, respectivamente, em que P0 é a população inicial 
de piabas, T0 é a população inicial de tilápias e t o número de anos 
contados a partir do ano inicial. O tempo, em anos, em que o 
número de piabas será igual ao número de tilápias é 
 
a) 3 b) 6 c) 12 d) 18 
 
2- (CESPE) Tendo em vista que, em determinado mês de 31 
dias, a precipitação pluvial média diária em uma localidade é 
representada, em mm, pela função 𝑃(𝑡) = 25𝑒 −(𝑡−16)
2 , para t de 
1 a 31, julgue os itens subsequentes. 
 
A precipitação pluvial média não excedeu 30 mm nesse mês. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
3- (CESPE) Em um sítio arqueológico, foram encontrados ossos 
de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das 
ossadas. Sabe-se que a quantidade de carbono 14, após a morte 
do animal, varia segundo a lei Q(t)=Q(0) e-0,00012t, em que e é 
a base do logaritmo natural, Q(0) é a quantidade de carbono 14 
existente no corpo do animal no instante da morte e Q(t) é a 
quantidade de carbono 14 t anos depois da morte. Com base 
nessas informações e considerando -2,4 e 0,05 como valores 
aproximados de ln (0,09) e e-3, respectivamente, julgue os itens 
que se seguem. 
 
Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado 
que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a quantidade de 
carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era 
superior a 4% da quantidade no instante da morte. 
 
( ) Certo ( )Errado 
 
4- (CESPE) Suponha que quatro cliente – B3,B4,B5 e B6 -, pertencentes 
às categorias descritas nas respectivas células (de B3 a B6) da tabela 
da figura do texto V, tomem emprestado R$6.000,00, R$2.000,00, 
R$1.000,00 e R$2.000,00, respectivamente de acordo com as taxas 
de juros para pessoas físicas apresentadas. 
 
A figura abaixo representa os gráficos das funções f3(x) = 6.000 x 
(1,0205)x, f4(x) = 2.000 x (1,072)x, f5(x) = 1.000 x (1,079)x, f6(x) = 
2.000 x (1,083)x. 
 
Células (de B3 a B6) da tabela da figura do texto V : 
 
Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. 
A função dada por g(x) = f4(x) / f5(x) é decrescente. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
5- (CESPE) Considere que o tamanho da população mundial 
feminina possa ser expresso, em bilhões de habitantes, pela 
função P(T)=6(1 – e-0,02T) + 3, em que T=0 representa o ano de 
2008, T=1, o ano de 2009, e assim por diante. Com base nesse 
modelo, julgue o item. 
 
Tomando 1,7 como valor aproximado para ℓn 6, é correto afirmar 
que em 2093 a população mundial feminina será igual a 8 bilhões 
de habitantes 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
6- (CESPE) Considerando o texto da questão acima julgue o item. 
 
Considerando que o tamanho da população masculina mundial 
seja sempre inferior ao da feminina, tem-se que a população 
mundial será sempre inferior a 18 bilhões de habitantes. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
7- (CESPE) Segundo o texto, os cortes nas propostas 
orçamentárias apresentadas em 2004, 2005 e 2006 pelo DECEA 
ocorreram em dois momentos: no orçamento e na liberação 
efetiva do dinheiro. Suponha que esses cortes foram, em cada 
um desses momentos e a cada ano, respectivamente, de 20% da 
proposta orçamentária e de 15% na liberação efetiva do dinheiro. 
Considere, ainda, que a proposta orçamentária de determinado 
ano coincida com o valor total realmente liberado no ano anterior, 
e que, em 2003, o valor liberado foi de X reais. Tendo emvista 
essas informações, julgue os seguintes itens. 
O gráfico mostrado abaixo representa corretamente o histórico 
das liberações, de acordo com as informações apresentadas. 
 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
8- A Lei do Resfriamento de Newton estabelece que a temperatura 
T de um objeto, colocado há t minutos em um ambiente com 
temperatura constante Ta, é dada por T = Ta+C.ekt, onde C e k 
são constantes, e as temperaturas T e Ta são medidas em graus 
Celsius. Considere que um objeto, cuja temperatura inicial é de 
24o C, é colocado em um ambiente de temperatura constante de 
18o que, após 15 minutos, a temperatura do objeto é de 21oC. A 
temperatura desse objeto 30 minutos após ter sido colocado no 
citado ambiente é, em graus Celsius, de 
 
a) 18,0 b) 18,5 c) 18,7 d) 19,0 e) 19,5 
 
9- A quantidade de números inteiros impares que pertencem ao 
intervalo que satisfaz a inequação exponencial (
1
2
)
𝑥2−8𝑥+5
> 4 é de 
 
a) um número impar. 
b) dois números impares. 
c) três números impares. 
d) quatro números impares. 
e) cinco números impares. 
 
10- (ESAF) Considere a função real de variável real f(t)=e 𝜆𝑡, 
onde 𝜆 > 0, e a função real de variável real g(t)=(1+ 𝑟)t, 𝑟 > 0. 
Fazendo f(t)=g(t), qual a relação decorrente entre 𝑟 e 𝜆 
 
a) 𝑟 = 𝜆/4 
b) 𝑟 = √𝜆 
c) 𝑟 = 𝜆 
d) 𝑟 = log 𝜆 
e) 𝑟 = e 𝜆-1 
 
GABARITO 
1A 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8E 9B 10E 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
20 
Função Logarítmica 
Capítulo 7 
Noções Fundamentais de Funções Logarítmicas. Definições de Logaritmo. Propriedades Operatórias. Gráficos, Domínio, 
Imagem e Características da Função Logarítmica. Equações e Inequações Logarítmicas. 
 
Definição 
 
Considere o seguinte questionamento: “A que número x se deve elevar o número 2 pra se obter 8?” 
 
Matematicamente, temos: 2x = 8. Para resolvermos esta situação, utilizamos o artifício da equação exponencial. 
 
2x = 8 → 2x = 2³ → x=3. 
 
Esse valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2 e é representado por 𝑙𝑜𝑔2 8 = 3. 
 
Daí, podemos definir que: 
 
Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1, se b = 𝑎𝑐, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, então o 
expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja, 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = c  a
c = b. 
 
Na expressão, 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = c, temos que: 
 
 a é a base do logaritmo. 
 b é o logaritmando. 
 c é o logaritmo. 
 
Exemplos: 
 𝑙𝑜𝑔3 81 = 4  3
4 = 81 
 𝑙𝑜𝑔8 1 = 0  8
0 = 1 
 𝑙𝑜𝑔2 128 = 7  2
7 = 128 
 
PRÁTICA 
P1) calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔16 0,25. 
P2) calcule o valor do número real A sabendo que: A= 𝑙𝑜𝑔10 0,001 + 𝑙𝑜𝑔2 
1
16
. 
 
 
Condição de existência 𝒍𝒐𝒈𝒂 b = c. 
 
A existência desse logaritmo depende das seguintes condições: 
 
 b deve ser um número positivo (b>0) 
 a deve ser um número positivo e diferente de 1. (a>0 e a ≠ 1). 
 
PRÁTICA 
 
P3) Determine os valores reais de x para os quais existe 𝑙𝑜𝑔2 (x-3). 
P4) Determine o conjunto dos valores reais de x para os quais existe 𝑙𝑜𝑔(𝑥−2) (𝑥
2 − 4𝑥 − 5). 
 
 
B I Z U 
 
O sistema de logaritmos mais usuais é o sistema de logaritmos decimais, que é de base 10. Daí, a omissão da base 
de um logaritmo indica que ele é de base 10. Exemplo: 𝑙𝑜𝑔1012 = 𝑙𝑜𝑔 12. 
 
Consequência da definição 
 
1° O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero. 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, pois 𝑎
0 = 1, qualquer que seja a>0 e a ≠ 1. 
2° O logaritmo da base, qualquer que seja, é igual a 1. 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 a = 1, pois a¹ = a, para todo a>0 e a ≠ 1. 
3° A potência de base a e expoente 𝑙𝑜𝑔𝑎 b é igual b. 
 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 b = b. Justificativa: 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = x  𝑎
𝑥 = b. 
 Substituindo x na última igualdade: 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 b = b 
4° Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais. 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 x = 𝑙𝑜𝑔𝑎 y  x=y 
 
PRÁTICA 
P5) Calcule o valor de 2𝑙𝑜𝑔5 10 .𝑙𝑜𝑔25 . 
P6) Calcule o valor de x tal que 𝑙𝑜𝑔10(x-2) = 𝑙𝑜𝑔109 
P7) Qual é o valor de 81+𝑙𝑜𝑔23 ? 
 
 
Propriedades operatórias dos logaritmos 
 
1° Propriedade: logaritmo de um produto. 
 
Sejam 0<a≠1 , b > 0 e c>0. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 (b.c) = 𝑙𝑜𝑔𝑎b + 𝑙𝑜𝑔𝑎 c 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
21 
Exemplo: 
𝑙𝑜𝑔518 = 𝑙𝑜𝑔5(2.9) = 𝑙𝑜𝑔52 + 𝑙𝑜𝑔59 
𝑙𝑜𝑔2(4.8) = 𝑙𝑜𝑔24 + 𝑙𝑜𝑔28 = 2 + 3 = 5 
 
B I Z U 
 
Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de 
cada um desses números. 
 
 
2° Propriedade: logaritmo de um quociente. 
 
Sejam 0<a ≠ 1 , b> 0 , c>0 
 
Exemplos: 
𝑙𝑜𝑔3 (
9
3
) = 𝑙𝑜𝑔3 9 - 𝑙𝑜𝑔3 3 = 2-1 = 1. 
𝑙𝑜𝑔2 (
16
4
) = 𝑙𝑜𝑔2 16 - 𝑙𝑜𝑔2 4 = 4 - 2 = 2 
 
B I Z U 
 
Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os 
logaritmos desses números. 
 
3° Propriedade: logaritmo de uma potência. 
 
Sejam 0<a ≠ 1, b > 0 e r ∈ R. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑟 = r ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎b . 
 
Exemplos: 
𝑙𝑜𝑔9 9
3 = 3 𝑙𝑜𝑔9 9 = 3 ∙ 1 = 3 
𝑙𝑜𝑔5 √3
2
 = 𝑙𝑜𝑔5 3
1
2 = 
1
2
 ∙ 𝑙𝑜𝑔53 
 
B I Z U 
 
Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência. 
 
4° Propriedade: mudança de base. 
 
Sejam 0 < a ≠ 1 , 0<c ≠ 1 e b > 0. 
 
Para escrever o 𝑙𝑜𝑔𝑎 b usando logaritmos na base c, realizamos a mudança de base: 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 b = 
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎
 . 
 
Exemplos: 
𝑙𝑜𝑔75 = 
𝑙𝑜𝑔25
𝑙𝑜𝑔27
 (mudança para base 2) 
𝑙𝑜𝑔525 = 
𝑙𝑜𝑔2525
𝑙𝑜𝑔255
 = 
1
1
2
 = 2. 
 
PRÁTICA 
 
P8) Calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔𝑏 
𝑥2
√𝑦
3 , sabendo que 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 = -2 e 𝑙𝑜𝑔𝑏y = 3 
P9) Sendo log8 = a e 𝑙𝑜𝑔3 = b , calcule 𝑙𝑜𝑔2 e log √18
3
 em função de a e b. 
P10) Sendo 𝑙𝑜𝑔𝑎2 = 20 e 𝑙𝑜𝑔𝑎5 = 30, calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔𝑎100. 
P11) Calcule o valor de 𝑙𝑜𝑔10072, sabendo que 𝑙𝑜𝑔102 = a e 𝑙𝑜𝑔103 = b 
 
 
Função logarítmica. 
 
Definição. 
 
Dado um número real a (0<a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a função f: 𝑅+
∗ → R tal que f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎x. 
 
Exemplos: 
 f(x) = 𝑙𝑜𝑔2x, g(x) = 𝑙𝑜𝑔10x, h(x) =2 + 𝑙𝑜𝑔2x. 
 O domínio de uma função logarítmica são os reais positivos. 
 A imagem de uma função logarítmica são os reais. 
 
PRÁTICA 
 
P12) Descubra o domínio da função f(x) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥−1)(3-x). 
P13) Determine o domínio da função f(x) = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥
2 + 𝑥 − 12). 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
22 
Gráfico 
 
Seja f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎x com 0 < a ≠ 1, x > 0. 
 
Para criarmos o gráfico da função logarítmica, temos que levar em consideração duas hipóteses: 
 
 Se a base é maior do que 1 (a > 1), então a função é crescente. 
 
f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x 
Y = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x 
D = 𝑅+
∗ 
Im = R 
 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
x 
1 
 
Análise do gráfico 
 
 A função assume valores positivos (f(x) > 0) quando x > 1. 
 A função assume valores negativos (f(x) < 0) quando 0 < x < 1. 
 A função é nula (f(x) = 0) quando x=1. 
 
Se a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1), então a função é decrescente. 
 
f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x D = 𝑅+
∗ 
y = 𝑙𝑜𝑔𝑎 x Im = R 
 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
1 
 
 
Análise do gráfico 
 
 A função assume valores positivos (f(x) > 0 quando 0 < x < 1. 
 A função assume valores negativos (f(x) < 0) quando x > 1. 
 A função é nula (f(x) = 0) quando x = 1. 
 
B I Z U 
 
De modo feral, o gráfico da função y= 𝑙𝑜𝑔𝑎 x tem as seguintes características: 
 Está todo a direita do eixo y. 
 Corta o eixo x no ponto (1,0). 
 
PRÁTICA 
 
P14) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x) = 𝑙𝑜𝑔3x 
b) f(x) = 𝑙𝑜𝑔1
3
 x 
 
 
Equações logarítmicas 
 
Equações logarítmicas são aquelas que envolvem igualdade e variável a qual está envolvida no logaritmando ou na base do logaritmo. 
 
Vamos ver como são resolvidos os quatro tipos de equações logarítmicas. Suponha 0 < a ≠ 1. 
 
1° Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 
𝑙𝑜𝑔𝑎 f(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 g(x) → f(x) = g(x). 
 
Deve-se verificar a condição de existênciade f(x) e g(x), ou seja, f(x) > 0 e g(x) > 0. 
 
2° Equações redutíveis a uma igualdade entre um logaritmo e um número. 
𝑙𝑜𝑔𝑎 f(x) = r → 𝑎
𝑟 = f(x) 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
23 
Deve-se verificar a condição de existência de f(x), ou seja, f(x) > 0 
 
3° Equações que são resolvidas por meio de mudança de incógnita. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a equação (𝑙𝑜𝑔3𝑥)
2 - 2𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 3. 
 
Faça 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = y 
 
y² - 2y = 3 
y² - 2y – 3 = 0 Condição de existência 
∆ = (-2)² - 4∙1∙(-3) = 16 x > 0 
 
𝑦1 = 3 
Y = 
2 ±4
2
 
𝑦2 = -1 
 
Para y = 3, temos: 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 3 → 3³ = x → x = 27 
Para y = -1, temos: 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = -1 → 3
−1 = x → x = 
1
3
 
 
Os valores obtidos para x estão dentro da condição de existência do logaritmo inicial. Portanto, 
 
S = { 27 , 
1
3
 } 
 
4° Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a equação 
𝑙𝑜𝑔33𝑥
𝑙𝑜𝑔3𝑥²
 = 2 
 
Condição de existência 
 
x > 0 e x ≠ 1 
 
𝑙𝑜𝑔33+ 𝑙𝑜𝑔3𝑥
2∙𝑙𝑜𝑔3𝑥
 = 2 
 
1 + 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 2∙2∙𝑙𝑜𝑔3𝑥 
 
1 = 4∙𝑙𝑜𝑔3𝑥 - 𝑙𝑜𝑔3𝑥 
 
3∙ 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1 
3 ∙ 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1 
 
𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 
1
3
  3
1
3 = x → x √3¹
3
 
 
S = {√3
3
} 
 
PRÁTICA 
 
P15) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔3(3 – x) = 𝑙𝑜𝑔3(3x + 7) 
P16) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔2(2x – 5) = 𝑙𝑜𝑔23 
P17) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔5(2x – 3) = 2 
P18) Resolva a equação = 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥
2 + 𝑥 − 4) = 3 
P19) Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔²(x + 1) – 𝑙𝑜𝑔(x + 1) = 0 
P20) 𝑙𝑜𝑔5𝑥 - 2∙𝑙𝑜𝑔𝑥5 = -1 
 
 
Inequações logarítmicas 
 
Inequações logarítmicas são aquelas que envolvem uma desigualdade (>, <, ≥, ≤) e variável a qual está envolvida no logaritmo 
ou na base logaritmo. 
 
Veremos, a seguir, duas propriedades importantes que são úteis na resolução de uma inequação logarítmica, a partir do gráfico da 
função y = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 
 
O sentido da desigualdade se conserva. O sentido da desigualdade se inverte. 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
24 
Agora, vamos ver como são resolvidos os três tipos de inequações logarítmicas: 
 
1° Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑥) 
 
Aqui, há dois casos a considerar: 
 
 Se a > 1 → f(x) < g(x) e f(x) > 0 e g(x) > 0 
 Se 0 < a < 1 → f(x) > g(x) e f(x) > 0 e g(x) > 0 
 
2° Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) > 𝑟  𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎
𝑟 
 
Aqui, há dois casos a considerar: 
 
 Se a > 1 → f(x) > 𝑎𝑟 e f(x) > 0 
 Se 0 < a < 1 → f(x) > 𝑎𝑟 e f(x) > 0 
3° Inequações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita. 
 
Exemplo: 
Vamos resolver a inequação 2∙(𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥)² - 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 > 6 
Condição de existência. 
 
x > 0 
 
Faça 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 = 𝑦 
 
2𝑦² − 𝑦 > 6 ⟹ 2𝑦² − 𝑦 − 6 > 0 ⟹ 2𝑦² − 𝑦 − 6 = 0 
∆ = (−1)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−6) ⟹ ∆ = 49 
 
 𝑦1 = 2 
𝑦 = 
1 ±7
4
 
𝑦2 = −
3
2
 
 
+ + 
 
 
 
−3
2
 - 
2𝑦² − 𝑦 − 6 > 0 → 𝑦 < −
3
2
 𝑜𝑢 𝑦 > 2 
 
Mas, 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 < −
3
2
 
𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 < 𝑙𝑜𝑔1
2
 (
1
2
)
−
3
2
 
𝑥 > (
1
2
)
−
3
2
 
𝑥 > √8
2
 
𝑥 > 2√2
2
 
Mas, 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥 
𝑙𝑜𝑔1
2
> 2 
𝑙𝑜𝑔1
2
> 𝑙𝑜𝑔1
2
(
1
2
)
2
 
𝑥 < (
1
2
)
2
 
𝑥 < 
1
4
 
 
As soluções devem estar de acordo com a condição de existência. 
 
x> 
 
x> 0 
 
x<
1
4
 
 
0 
 
S = {𝑥 ∈ 𝑅 / 0 < 𝑥 <
1
4
 𝑜𝑢 𝑥 > 2√2
2
} 
 
B I Z U 
 
Verifique que 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥² ≠ (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)² 
 
PRÁTICA 
 
P21) Resolva a inequação 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 − 5) < 𝑙𝑜𝑔3𝑥 
P22) Resolva a inequação 𝑙𝑜𝑔1
2
𝑥² < 𝑙𝑜𝑔1
2
(𝑥 + 2) 
P23) Resolva a inequação 𝑙𝑜𝑔2(2𝑥 − 1) < 4 
 
 
Sistema de equações logarítmicas 
 
De modo geral, o sistema de equações é resolvido aplicando-se as propriedades operatórias dos logaritmos. 
 
2√2 
 
2√2 
 
1
4
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
25 
Exemplo: 
Vamos resolver o sistema de equações 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥 - 𝑙𝑜𝑔10𝑦 = 𝑙𝑜𝑔102 
4𝑥−𝑦 = 16 
 
𝑙𝑜𝑔10𝑥 − 𝑙𝑜𝑔10𝑦 = 𝑙𝑜𝑔102 
𝑙𝑜𝑔10 (
𝑥
𝑦
) = 𝑙𝑜𝑔102 
𝑥
𝑦
 = 2 
𝑥 = 2𝑦 (I) 
4𝑥−𝑦 = 16 
(22)𝑥−𝑦 = 24 
22𝑥−2𝑦 = 24 
2𝑥 − 2𝑦 = 4 (II) 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
 
2𝑥 − 𝑥 = 4 
 
𝑥 = 4 
 
Para descobrir o valor de y, substituindo o valor de x em (I) ou (II) 
 
𝑥 = 2𝑦 
4 = 2𝑦 
𝑦 = 2 
S = {(4, 2 )} 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1- (TJ-PR) Suponha que o tempo necessário para se tomar uma 
decisão esteja relacionado com o número de escolhas de que se 
dispõe. Nesse caso, um modelo matemático que fornece o tempo 
de reação R, em segundos, em função do número de escolhas N, 
é dado pela expressão: R=0,17+0,44 log(N) 
 
De acordo com esse modelo, quando o número de escolhas for 
reduzido de 100 para 10, qual será o percentual de diminuição no 
tempo de reação, aproximadamente? 
 
a) 26%. b) 42%. c) 55%. d) 88%. 
 
2- (CESGRANRIO) Considerem-se as funções logarítmicas f(x) 
= log4 x e g(x) = log2 x, ambas de domínio ℝ+
∙ . Calculando-se 
f(72) - g(3), o valor encontrado será de 
 
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0 
 
3- (CESGRANRIO) Considere as funções g (x) = log2 x e h (x) 
= logb x , ambas de domínio R*+. Se h (5) = 
1
2
, então g (b + 9) é 
um número real compreendido entre 
 
a) 5 e 6 
b) 4 e 5 
c) 3 e 4 
d) 2 e 3 
e) 1 e 2 
 
4- (CESGRANRIO) Se y=log81(
1
27
) e x ∈ lR+ são tais que xy = 8 , 
então x é igual a 
 
a) 1⁄16 
b) 1⁄2 
c) log38 
d) 2 
e) 16 
 
5- (CEPRJ) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo que 
tem dois vértices sobre o eixo X e dois vértices sobre o gráfico da 
função Y = log(10x2) 
 
 
 
A área desse trapézio é, aproximadamente: 
 
a) 10,2 b) 12,5 c) 15,6 d) 17,7 e) 19,8 
 
6- (CESGRANRIO) Sendo a função f(x) = 2. log5(3x/4) , em que 
x é um número real positivo, f(17) é um número real 
compreendido entre 
 
a) 1 e 2 
b) 2 e 3 
c) 3 e 4 
d) 4 e 5 
e) 5 e 6 
 
7- (CESPE) O movimento de uma partícula é descrito, em 
metros, pela função R(t) = ln t - 
2
𝑡
, para t > 0, em que t é o tempo, 
em segundos. 
Com relação a esse movimento, julgue os seguintes itens. 
No instante t = 2 s, a velocidade da partícula será igual a 1 m/s. 
( )CERTO ( )ERRADO 
 
8- (CONSULPLAN) A equação n(t) = 20 + 15log125(t + 5) 
representa uma estimativa sobre o número de funcionários de 
uma Agência dos Correios de uma certa cidade, em função de seu 
tempo de vida, em que n(t) é o número de funcionários no t- 
enésimo ano de existência dessa empresa(t = 0, 1, 2...). Quantos 
funcionários essa Agência possuía quando foi fundada? 
 
a) 105 b) 11 c) 45 d) 65 e) 25 
 
9- (CESGRANRIO) Quando os alunos perguntaram ao professor 
qual era a sua idade, ele respondeu: “Se considerarmos as 
funções f(x) = 1 + log3 x e g(x) = log2 x, e a igualdade g(i) = 
f(243), i corresponderá à minha idade, em anos.” Quantos anos 
tem o professor? 
 
a) 32 
b) 48 
c) 56 
d) 60 
e) 64 
 
GABARITO 
1B 2B 3A 4A 5C 6C 7C 8E 9E 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
26 
Trigonometria 
Capítulo 8 
Trigonometria nos Triângulos 
 
Introdução 
 
A palavra trigonometria nos remete ao estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. 
 
Neste capítulo, o estudo se restringirá aos triângulos retângulos, logo convém lembrarmos alguns conceitos. 
 
Todo triângulo retângulo, além do ângulo reto, possui dois ângulos agudos cuja soma é 90°. 
 
Seja o triângulo ABC da figura, retângulo em A. 
 
 
A = 90° 
 
�̂� + �̂� = 90° 
 
Cada lado manterá correspondência com o vértice oposto a ele. Por exemplo, o lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ será chamado lado a (Poe ser oposto ao 
vértice A), e assim por diante. 
 
O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é denominado hipotenusa, e aos outros dois lados, opostos aos ângulos 
agudos, são os catetos.Razões trigonométricas 
 
Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a 
hipotenusa. 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑥
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
No triângulo, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑏
𝑎
 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑐
𝑎
 
 
 
B I Z U 
 
O termo adjacente é equivalente à junto, próximo, vizinho. 
 
PRÁTICA 
 
P1) São dadas as medidas dos catetos de um triângulo retângulo: 6cm e 8cm. Calcule o valor do seno de cada ângulo agudo 
desse triângulo. 
Num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é dado pela razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a 
hipotenusa. 
 
 
 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
No triângulo, temos: 
 
𝑐𝑜𝑠�̂� = 
𝑐
𝑎
 
𝑐𝑜𝑠�̂� = 
𝑏
𝑎
 
Agora, fazendo uma relação entre seno e cosseno no triângulo ABC. Temos que: 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑏
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠�̂� 
𝑠𝑒𝑛�̂� = 
𝑐
𝑎
= 𝑐𝑜𝑠�̂� 
Os ângulos B e C são complementares, ou seja, B + C = 90°. 
Daí vale a seguinte propriedade: 
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝑥) ou 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝑥) 
 
P2) Um barco atravessa um rio de 80m de largura, seguindo uma direção que forma 70° com a margem de partida. Qual é 
a distância percorrida pelo barco? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo? Sabendo que 
sen70° = 0,94. 
Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dada pela razão entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente. 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
27 
 
 
𝑡𝑔𝑥 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑥
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥
 
 
 
 
Note que 𝑡𝑔�̂� = 
𝑏
𝑐
 e 𝑡𝑔�̂� = 
𝑐
𝑏
 são inversas uma da outra. Usando o fato de que �̂� + �̂� = 90°, podemos afirmar que: 
 
𝑡𝑔𝑥 = 
1
𝑡𝑔(90−𝑥)
 
 
 
 
Relações fundamentais 
 
Seja o triângulo retângulo ABC ao lado. Pelo teorema de Pitágoras, a² = b² + c². Dividindo ambos os membros por a², é verificar que: 
 
 
 
(𝑠𝑒𝑛�̂�)² + (𝑐𝑜𝑠�̂�)² = 1 ou 
(𝑠𝑒𝑛�̂�)² + (𝑐𝑜𝑠�̂�)² = 1 
 
 
 
 
De maneira geral, podemos escrever, para um ângulo x qualquer: 
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 1 
 
Seja o triângulo ABC retângulo. É fácil verificar que 𝑡𝑔�̂� = 
𝑏
𝑐
. Dividindo ambos os membros por a, obteremos 𝑡𝑔�̂� = 
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
, o que significa 𝑡𝑔�̂� = 
𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑐𝑜𝑠�̂�
. 
 
De modo geral, podemos escrever 𝑡𝑔𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 , para todo ângulo agudo x. 
 
PRÁTICA 
 
P3) Seja x um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
24
25
, calcule 𝑡𝑔𝑥. 
 
 
Ângulos notáveis 
 
Os ângulos 30°,45° e 60° são considerados ângulos notáveis, pois aparecem com freqüência em muitos problemas. Utilizando 
triângulos eqüiláteros e retângulos isósceles é fácil verificar os senos, cossenos e tangentes desses ângulos notáveis. A memorização 
da tabela abaixo é de suma importância, uma vez que facilita demasiadamente na resolução dos problemas. A grande característica 
dessa tabela é que não apresenta números na forma decimal. 
 
 30° 45° 60° 
𝑠𝑒𝑛 
1
2
 
√2
2
2
 
√3
2
2
 
𝑐𝑜𝑠 √
3
2
2
 
√2
2
2
 
1
2
 
𝑡𝑔 √
3
2
3
 1 √3
2
 
 
PRÁTICA 
 
P4) Seja o retângulo ABC ao lado. Determine sua área e o perímetro do triângulo ABC. 
 
Determine os ângulos agudos do triângulo de catetos 6cm e 6√3
2
cm. 
 
 
Trigonometria em triângulos quaisquer - Introdução. 
 
Ampliaremos, um pouco mais, as ferramentas utilizadas para resolução de triângulos. Sairemos de um caso particular (triângulo 
retângulo) e entraremos em triângulos quaisquer (acutângulos e obtusângulos). As ferramentas lei dos senos e lei dos cossenos 
nos permitirá obter lados e ângulos de triângulos quaisquer. 
 
B I Z U 
Dois ângulos são suplementares quando sua soma é igual a 180°. 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
28 
Seno e cosseno de ângulos obtusos 
 
Precisaremos, em alguns momentos, obter valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi 
estudado, aprenderemos neste momento apenas como lidar com eles na prática. 
 
Inicialmente, é necessário saber que: 
 
 𝑠𝑒𝑛90° = 1 𝑒 𝑐𝑜𝑠90° = 0 
 
 Senos dos ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementares desses ângulos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥) 
 
 Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementares desses ângulos: 
 
cos 𝑥 = − cos(180° − 𝑥) 
 
PRÁTICA 
P5) Obtenha o valor de: 
a) sen 135º b) sen 135º c) sen 135º d) sen 135º 
 
B I Z U 
Os triângulos podem ser classificados como: 
 
 triângulo acutângulo: possui ângulos internos agudos (0° < x < 90°). 
 triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso (90° < x < 180°). 
 triângulo retângulo: possui um ângulo reto x = 90° 
 
Lei dos senos 
 
Em todo retângulo (acutângulo, retângulo e obtusângulo), os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. 
 
Seja o triângulo acutângulo ABC. 
 
É fácil verificar que 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
= 
𝑏
𝑠𝑒𝑛�̂�
= 
𝑐
𝑠𝑒𝑛�̂�
 
 
 
PRÁTICA 
 
P6) Dado o triângulo da figura, calcule x e y. 
 
P7) No triângulo seguinte, AC = 4m, BC = 3m e 𝛽 = 60°. Calcule 𝑠𝑒𝑛 𝛼. 
 
 
Lei dos cossenos 
 
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do 
produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
Seja o triângulo acutângulo ABC. 
Pelas relações métricas e trigonométricas, podemos provar que: 
 
 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2. 𝑏. 𝑐. cos �̂� 
𝑏² = 𝑎² + 𝑐² − 2. 𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² − 2. 𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠�̂� 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
29 
 
PRÁTICA 
 
P8) Calcule o valor de x em cada caso: 
a) 
b) 
P9) Determine o terceiro lado de um triângulo, sabendo que entre os lados de 4 cm e 6 cm forma-se um ângulo cujo cosseno é 
√3
2
2
 . 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1 - (UNIRIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do 
maior ângulo interno desse triângulo vale: 
 
a) 11 / 24 
b) - 11 / 24 
c) 3 / 8 
d) - 3 / 8 
e) - 3 / 10 
 
2- (UEMG) Na figura, abaixo, um fazendeiro (F) dista 600 m da base 
da montanha (ponto B). A medida do ângulo é igual a 30º. 
 
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro 
encontrou a medida correspondente a 
 
a) 200√3 
b) 100 √2 
c) 150√3 
d) 250√2 
 
3- (UEMG) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
 
Os personagens da turma da Mônica sobem uma rampa 
empurrando um carrinho. 
 
Supondo que o triângulo demonstrativo da rampa seja retângulo, 
de altura igual a 2 metros, e que essa rampa forme um ângulo de 
60° com o solo, a distância percorrida pelo carrinho até o ponto 
mais alto da rampa foi de: 
 
a)
3√2
6
m b) 
4√3
3
m c) 
√2
2
m d) 1m 
 
4- (UDESC) No site http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf 
(acesso em: 23/06/2012) encontra-se o posicionamento adequado da sinalização 
semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos 
projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1. 
 
Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as 
luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de 
20°, conforme mostra a Figura2. 
 
Considerando tg(20°)=0,36, determine os valores que faltam 
para completar a Tabela 1. 
 
Analise as proposições em relação às informações obtidas na 
Tabela 1, e assinale (V) para verdadeira e (F) para falsa. 
 
( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m. 
( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 
4,2 m. 
( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é 
aproximadamente 3,1 m maior que a altura H do semáforo de 
coluna simples. 
 
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. 
 
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43627_pre.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43627_pre.jpg
http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
30 
a)F – V – V 
b) V – F – V 
c) F – V – F 
d) V – V – F 
e) F – F – V 
 
GABARITO: B 
 
5- (UNICAMP) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos 
isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o 
ângulo CÂB= 30º. Portanto, o comprimento do segmento CE é: 
 
 
 
a)√
5
3
𝑎
 b) √
8
3
𝑎
 c) √
7
3
𝑎
 d)√2
𝑎
 
 
GABARITO: D 
 
6- (USP) 
 
 
Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a 
Eratóstenes, estudioso grego que viveu, aproximadamente, 
entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade 
localizada no sul do Egito, ao meio dia do solstício de verão, 
um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu 
investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em 
Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso observou que, 
em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão 
vertical apresentava sombra e determinou o ângulo θ entre as 
direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do 
raio da Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria 
e Assuã foi de, aproximadamente, 7500 km. O mês em que foram 
realizadas as observações e o valor aproximado de θ são 
 
 
 
a) junho; 7º. 
b) dezembro; 7º. 
c) junho; 23º. 
d) dezembro; 23º. 
e) junho; 0,3º. 
 
GABARITO: A 
 
7- (UNICAMP) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo 
e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, 
respectivamente, por S (φ) / T (φ), podemos afirmar que a 
razão S (φ) / T (φ), quando φ = π / 2 radianos, é 
 
a) π / 2. b) 2π. c) π. d) π / 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1B 2A 3B 4B 5D 6A 7A 
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43593_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43593_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/44017_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/44017_pos.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43599_pre.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43599_pre.jpg
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
31 
Trigonometria 
Capítulo 9 
Identidades Trigonométricas 
 
Relações fundamentais 
 
No estudo das funções trigonométricas, verificamos minuciosamente todas as relações fundamentais. Essas relações serão úteis ao 
estudo de identidades trigonométricas. 
 
Surgem as relações fundamentais com os seus respectivos domínios: 
 
𝑠𝑒𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅. 
 
𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋. 
 
sec 𝑥 = 
1
cos 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋. 
 
PRÁTICA 
 
P1) Sendo 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
1
4
, 𝑐𝑜𝑚 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
, determine 𝑡𝑔𝑥. 
P2) Simplifique a expressão 𝑦 =
sec 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
1−𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
 
 
 
Relações decorrentes 
 
A partir das relações fundamentais, podemos chegar a outras relações que serão úteis para o estudo desse capítulo. 
 
Seguem as relações decorrentes com os seus respectivos domínios: 
 
𝑡𝑔²𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔²𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 𝑘𝜋. 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 
1
𝑡𝑔 𝑥
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 𝜋 + 𝑘𝜋. 
 
PRÁTICA 
 
P3) Dado 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 
√2
2
2
, calcule o valor da expressão 𝐴 = 
𝑠𝑒𝑐²𝑥−1
𝑡𝑔²𝑥+1
. 
P4) Para 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 
1
2
, qual é o valor da expressão: 
𝑦 = 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ∙ sec 𝑥
+ sec 𝑥 ? 
 
 
Identidade trigonométrica 
 
Uma igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos os valores do domínio de tais funções é uma 
identidade trigonométrica. 
 
Assim, por exemplo, a igualdade cos 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥, assim respeitados os domínios das funções, é uma identidade 
trigonométrica, pois, independe dos valores de x, ela se verifica. 
 
cos 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
Para demonstrar que a igualdade é uma identidade, há vários caminhos. Indicaremos na sequência três procedimentos de verificação. 
 
1° tomaremos um dos membros da igualdade – geralmente o mais complexo – e, através de métodos algébricos e outras 
identidades já estabelecidas, transformá-lo no outro membro da igualdade. 
 
Exemplo: 
Verifique se a igualdade represente uma identidade trigonométrica. 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ sec 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥. 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ sec 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 
1
cos 𝑥
= 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
= 𝑡𝑔𝑥 
 
Logo, a igualdade represente uma identidade trigonométrica. 
 
2° Quando os dois membros da identidade proposta forem extensos ou complicados, aconselhamos simplificar, em separado, 
cada um dos termos, tentando encontrar uma identificação entre eles. 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
32 
 
Exemplo: 
Verifique se a igualdade representa uma identidade trigonométrica. 
 
sec 𝑥 (1−𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥
cos 𝑥
 
 
Tomando o 1° membro, temos: 
 
sec 𝑥 (1−𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
∙(1−𝑠𝑒𝑛𝑥∙cos 𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 =
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥∙cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙cos 𝑥
 
 
Tomando o 2° membro, temos: 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥−cos 𝑥
cos 𝑥
= 
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
−cos 𝑥
cos 𝑥
=
1−cos 𝑥∙𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 
cos 𝑥
=
1−𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙cos 𝑥
. 
 
Esta expressão é equivalente àquela obtida no 1° membro, o que verifica a identidade. 
 
3° Uma alternativa pode ser a utilização de um fato bastante conhecido: se duas funções f e g são idênticas, a diferença f – g é 
nula. 
 
Exemplo: 
Verifique se a igualdade representa uma identidade trigonométrica. 
 
cos 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
= 
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 
 
cos 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
− 
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠²𝑥−(1−𝑠𝑒𝑛𝑥)∙(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙cos 𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠²𝑥−(1+𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥)
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙𝑐𝑜𝑠𝑥
= 
𝑐𝑜𝑠²𝑥−1+𝑠𝑒𝑛²𝑥
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙cos 𝑥
= 
(𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑥)−1
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙𝑐𝑜𝑠𝑥
=
1−1
(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)∙cos 𝑥
= 0 . Logo, a 
igualdade representa uma identidade trigonométrica. 
 
PRÁTICA 
 
P5) Verifique se as igualdades representam identidades trigonométricas. 
a) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) ∙ (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑠𝑒𝑛²𝑥 
b) 
𝑠𝑒𝑛 𝑥+𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 
c) 
sec 𝑥−cos 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥 
= 𝑡𝑔³𝑥 
d) 𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑡𝑔²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 − 𝑠𝑒𝑛²𝑥 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1-(AFA) A expressão 2tgx1+tg2x é idêntica a: 
 
a) cos2x b) 2cosx c) sen2x d) 2senx 
 
2- (UERGS) Se 0°< x < 90°, a expressão equivalente a (tan2x 
+1)⋅ cos2x é 
 
a) 0. 
b) sec2x . 
c) sen2x . 
d) sen2x + cos2x . 
e) sen(2x). 
 
3- (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então 
podemos afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual 
a: 
 
a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2 
 
4- (UCS) Um estudante de Engenharia, em uma atividade 
prática, teve que obter um valor numérico aproximado da 
expressão 2 + 3sen(5x) , em que x é a medida de um ângulo 
entre 0 e 36 graus. Qual dos seguintes valores tem condições de 
estar certo? 
 
a) 0,089] 
b) 1,089 
c) 4,089 
d) 5,089 
e) 17,089 
 
5- (UDESC) A soma de todos os valores de satisfazem 
a equação cos2(2x ) - sen2(x) = cos6(x) é igual a: 
 
a) 𝜋 
b) 2 𝜋 
c) 5 𝜋 
d) 3 𝜋 
e) 4 𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1C 2D 3E 4C 5C 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
33 
Trigonometria 
Capítulo 10 
Transformações Trigonométricas 
 
Introdução 
 
Agora, vamos estudar a forma de calcular o seno da soma de dois arcos [sen(a+b)], o cosseno da diferença de dois arcos [cos(a-b)], etc. 
Por exemplo, como são conhecidos os valores de sen 45°, sen 30°, cos 45°, cos 30°, etc. Podemos, em função deles, obter sen 75°, cos 
15°, tg 105°, etc. 
 
Fórmulas da adição de dois arcos 
 
Cosseno da soma de dois arcos 
 
Sejam a e bdois arcos do ciclo trigonométrico. 
O cosseno da soma desses dois arcos é dada por: cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o cosseno de 75°. 
 
cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° ∙ cos 30° − 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° 
 
cos 75° =
√2
2
2
∙
√3
2
2
−
√2
2
2
∙
1
2
=
√6
2
4
−
√2
2
4
=
√6
2
− √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P1) Determine o valor da sec 105°. 
 
 
Seno da soma de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
O seno da soma desses dois arcos é dada por: 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor de sen(105°). 
 
𝑠𝑒𝑛(105°) = 𝑠𝑒𝑛(60° + 45°) = 𝑠𝑒𝑛 60° ∙ cos 45° + 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ cos 60° 
 
𝑠𝑒𝑛(105°) =
√3
2
2
∙
√2
2
2
+
√2
2
2
∙
1
2
=
√6
2
4
+
√2
2
4
=
√6
2
+ √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P2) Determine o produto sec 75°∙ cossec 75°. 
 
 
Tangente da soma de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A tangente da soma de dois arcos é dada por: 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) =
𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑏
1−𝑡𝑔 𝑎∙𝑡𝑔 𝑏
, válida para 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑎 + 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍. 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o valor da tg 60° 
𝑡𝑔(60°) = 𝑡𝑔(30° + 30°) = 
𝑡𝑔 30° + 𝑡𝑔 30°
1 − 𝑡𝑔 30° ∙ 𝑡𝑔30°
=
√3
2
3
+
√3
2
3
1 −
√3
2
3
∙
√3
2
3
=
2√3
2
3
1 −
1
3
=
2√3
2
3
2
3
=
2√3
2
3
∙
3
2
= √3
2
 
 
PRÁTICA 
P3) Determine o valor da tg 120°. 
 
 
Fórmula da subtração de dois arcos 
 
Cosseno da diferença de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
O cosseno da diferença desses dois arcos é dado por: cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑏 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
Exemplo: 
Vamos calcular cos 15° 
 
cos(15°) = cos(45° − 30°) = cos 45° ∙ cos 30° + 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ 𝑠𝑒𝑛 30° 
 
cos(15°) =
√2
2
2
∙
√3
2
2
+
√2
2
2
∙
1
2
=
√6
2
4
+
√2
2
4
=
√6
2
+ √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P4) Determine o valor de cos 135°. 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
34 
Seno da diferença de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico. 
O seno da diferença desses dois arcos é dado por: 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ cos 𝑎 
 
Exemplo: 
Vamos determinar o valor de sen15°. 
 
𝑠𝑒𝑛 15° = 𝑠𝑒𝑛(45° − 30°) = 𝑠𝑒𝑛 45° ∙ cos 30° − 𝑠𝑒𝑛30° ∙ cos 45° 
 
𝑠𝑒𝑛 15° =
√2
2
2
∙
√3
2
2
−
1
2
∙
√2
2
2
=
√6
2
4
−
√2
2
4
=
√6
2
− √2
2
4
 
 
PRÁTICA 
P5) Dados 𝑠𝑒𝑛 𝑎 =
4
5
 𝑒 cos 𝑏 =
2
3
, 𝑐𝑜𝑚 0 < 𝑎 <
𝜋
2
 𝑒 0 < 𝑏 <
𝜋
2
. Determine o valor de sen(a-b). 
 
 
Tangente da diferença de dois arcos 
 
Sejam a e b dois arcos do ciclo trigonométrico tais que 𝑎 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑎 − 𝑏 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍. 
A tangente da diferença desses dois arcos é dada por: 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑔 𝑎−𝑡𝑔 𝑏
1+𝑡𝑔 𝑎∙𝑡𝑔 𝑏
 
Exemplo: 
Vamos determinar o valor de tg 15° 
𝑡𝑔 15° = 𝑡𝑔(45° − 30°) =
𝑡𝑔 45° − 𝑡𝑔 30°
1 + 𝑡𝑔 45° ∙ 𝑡𝑔 30°
=
1 −
√3
2
3
1 + 1 ∙
√3
2
3
=
3 − √3
2
3
3 + √3
2
3
=
3 − √3
2
3
∙
3 + √3
2
3
=
3 − √3
2
3 + √3
2
∙
3 − √3
2
3 − √3
2
=
9 − 3√3
2
− 3√3
2
+ √9
2
9 − 3
=
12 − 6√3
2
6
= 2 − √3
2
 
 
PRÁTICA 
P6) Calcule tg b, sabendo que 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) = √3
2
 𝑒 𝑡𝑔 𝑎 = 1 
 
 
Fórmulas de multiplicação 
 
Cosseno de um arco duplo 
 
Seja a um arco do ciclo trigonométrico. 
O cosseno do arco duplo 2ª é dada por cos 2𝑎 = cos(𝑎 + 𝑎) = cos 𝑎 ∙ cos 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠² 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛² 𝑎 
cos 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠² 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛² 𝑎 
 
PRÁTICA 
P7) Dada 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 
5
2
, calcule cos 2x. 
 
 
Seno de um arco duplo 
 
Seja a um arco do ciclo trigonométrico. 
O seno do arco duplo 2a é dado por 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑎) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 + 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 ∙ cos 𝑎 
 
PRÁTICA 
P8) Sendo 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 
5
6
 𝑒 cos 𝑥 < 0, obtenha sen2x. 
 
 
Tangente de um arco duplo 
 
Seja a um arco do ciclo trigonométrico tal que 𝑎 ≠
𝑘𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍. 
A tangente do arco duplo 2ª é dada por: 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑎) =
𝑡𝑔 𝑎+𝑡𝑔 𝑎
1−𝑡𝑔 𝑎∙𝑡𝑔 𝑎
=
2∙𝑡𝑔 𝑎
1−𝑡𝑔² 𝑎
 
 
𝑡𝑔 2𝑎 =
2 ∙ 𝑡𝑔 𝑎
1 − 𝑡𝑔² 𝑎
 
 
PRÁTICA 
P9) Sendo 𝑡𝑔 𝑚 = 
3
4
, determine o valor de tg 2m. 
 
 
Fórmulas de transformação em produtos 
 
Transformações de somas e diferenças de cossenos 
 
Sejam p e q dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A soma dos cossenos desses dois arcos é dada por: cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝+𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝−𝑞
2
 
 
A diferença dos cossenos desses dois arcos é dada por: cos 𝑝 − cos 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝+𝑞
2
∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝−𝑞
2
 
 
PRÁTICA 
P10) Fatore a expressão 𝑦 = cos 15° + cos 25°. 
P11) Fatore a expressão 𝑦 = cos 15° − cos 25°. 
 
 
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
35 
Transformações de somas e diferenças de senos 
 
Sejam p e q dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A soma dos senos desses dois arcos é dada por: sen 𝑝 + sen 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝+𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝−𝑞
2
 
 
A diferença dos senos desses dois arcos é dada por: sen 𝑝 − sen 𝑞 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝑝−𝑞
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑝+𝑞
2
 
 
PRÁTICA 
P12) Fatore a expressão 𝑦 = sen 40° + cos 40°. 
 
 
Transformações de somas e diferenças de tangentes 
 
Sejam p e q dois arcos do ciclo trigonométrico. 
A soma das tangentes desses dois arcos é dada por: 𝑡𝑔 𝑝 + 𝑡𝑔 𝑞 = 
𝑠𝑒𝑛(𝑝+𝑞)
cos 𝑝 ∙cos 𝑞
 
 
A diferença das tangentes desses dois arcos é dada por: 𝑡𝑔 𝑝 − 𝑡𝑔 𝑞 = 
𝑠𝑒𝑛(𝑝−𝑞)
cos 𝑝 ∙cos 𝑞
 
 
PRÁTICA 
P13) Fatore a expressão 𝑦 = 𝑡𝑔 50° + 𝑡𝑔 40°. 
 
 
E X E R C Í C I O S D E F I X A Ç Ã O 
 
1-(FUVEST) Se tgØ=2, então o valor de cos2Ø/(1 + sen2Ø) é: 
 
a) -3 b) -1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/4 
 
2- (MACKENZIE) Se cos(a) 15º e cos 75º formam, nessa ordem, 
uma progressão aritmética, o valor de cos(a) é: 
 
a) 
√2
3
 b) 
√26
3
 c) 
√32
4
 d) 
√62
4
 e) 
√2
4
 
 
3- (MACKENZIE) A expressão cos(𝑎2 − 2𝑏2) . cos(𝑏2) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎2 −
2𝑏2). 𝑠𝑒𝑛(𝑏2) é igual a: 
 
a) cos (𝑎2 + 𝑏2) 
b) 𝑠𝑒𝑛(𝑏2) 
c) cos (𝑎2) 
d) 𝑠𝑒𝑛[(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)] 
e) cos [(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏)] 
 
4- (UERJ) Um esqueitista treina em três rampas planas de 
mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As 
figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = 
EF, contidas nas retas de maior declive de cada rampa. 
 
 
 
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E 
são, respectivamente, h1, h2 e h3, conclui-se que h1 + h2 é igual a: 
 
a) h3√3 b) h3√2 c) 2h3 d) h3 
 
5- (ITA) Sendo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] o contradomínio da função arcoseno e [0, 𝜋] 
o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de 
cos (
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛3
5
+
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠4
5
). 
 
a)1/√12 b)7/25 c)4/15 d)1/2√5 
 
6- (MACKENZIE) A expressão cos(a2 − 2b2) ⋅ cos(b2) − sen(a2 − 
2b2)⋅ sen(b2) é igual a 
 
a) cos(a2 + b2) 
b) sen (b2) 
c) cos(a2) 
d) sen[(a + b) ⋅ (a − b)] 
e) cos[(a + b) ⋅ (a − b)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1B 2D 3E 4C 5B 6E 
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43082_pre.jpg
http://www.estudavest.com.br/sis_questoes/posts/43082_pre.jpg
WWW.CURSOZEROUM.COM.BR 
36 
Trigonometria 
Capítulo 11 
Equações e Inequações Trigonométricas 
 
Equações Trigonométricas - Introdução 
 
As equações trigonométricas são representadas por uma igualdade e deve possuir uma incógnita, que aparece nas medidas dos 
arcos ou dos ângulos de funções trigonométricas. 
 
2 cos 𝑥 = √3
2
 é uma equação trigonométrica. 
 
2𝑥 = cos
𝜋
3
 não é uma equação trigonométrica. 
 
Para que possamos resolver as equações trigonométricas, é preciso chegar sempre a equações do tipo sen x = a, cos x = a ou tg x 
= a. Essas igualdades nos permitirão obter os valores de, x a partir do conhecimento dos valores de a. 
 
B I Z U 
 
Quando não for explicitado o conjunto universo, devemos considerar U = R. 
 
Resolução de equações da forma sen x = sen a 
 
Para que x e a possuam o mesmo seno, basta que as suas extremidades