livro azul 5 e suas tecnologias

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ENSINO 
MÉDIO
CIÊNCIAS DA NATUREZA, 
MATEMÁTICA E 
SUAS TECNOLOGIAS 5
Capa_Exatas_CAD5_AL.indd 2 07/12/16 09:34
MATEMÁTICA
Kátia Stocco Smole
Maria Ignez Diniz
 TRIGONOMETRIA
1 Trigonometria: arcos de circunferência e 
círculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Funções trigonométricas: definição, periodicidade 
e gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Equações, inequações e 
relações trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
 Jogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
 Tabela trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2137684 (AL)
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MÓDULO
Trigonometria
Um indício histórico do conhecimento do conceito de 
ângulo é a construção do monumento megalítico Stonehenge, 
entre 2500 e 2000 a.C., na Inglaterra. É o mais conhecido 
dos círculos de pedras britânicos e parece ter sido projeta-
do para a observação de fenômenos astronômicos, como 
os solstícios de verão e de inverno e os eclipses.
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A
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S
REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
Em quais unidades podemos medir arcos e 
ângulos? É possível estabelecer relações trigo-
nométricas para qualquer ângulo ou só para 
ângulos agudos?
www.sesieducacao.com.br
Book_MAT2_CAD5.indb 3 07/12/16 19:46
4 Trigonometria
Objetivos:
c Identificar o radiano 
como unidade de 
medida de ângulo e 
utilizá-lo na resolução 
de problemas.
c Utilizar relações de 
seno, cosseno e 
tangente em problemas 
que envolvam cálculo 
de distâncias.
c Compreender e utilizar 
a noção de arcos 
côngruos na resolução 
de problemas.
CAPÍTULO
1
O texto permite explorar integração com História 
e Física (Astronomia). Os alunos podem realizar a 
leitura em duplas, fazer uma lista das aplicações 
da Trigonometria e pesquisar temas que envolvem 
cálculo de distâncias inacessíveis. O site da Nasa, 
indicado na página 5, pode auxiliar na pesquisa.
A percepção da Matemática, especificamente 
da Trigonometria, como construção humana 
originada por problemas próximos das 
necessidades do dia a dia e depois aplicada em 
várias ciências permite ao aluno se identificar 
como parte desse processo de construção de 
uma ciência.
Trigonometria: arcos de 
circunferência e círculo 
trigonométrico
 TRIGONOMETRIA E ASTRONOMIA: UMA SÓ HISTÓRIA
“O universo é escrito em linguagem matemática.”
Galileu
A humanidade sempre foi mo-
vida pela curiosidade e pelo dese-
jo de desvendar o desconhecido. 
No passado, a busca por riquezas 
que pudessem existir no outro 
lado do oceano impulsionou os 
europeus a empreenderem as 
Grandes Navegações; mais recen-
temente, o desejo de conquistar o 
espaço motivou a corrida à Lua. 
Hoje a humanidade vai além e uti-
liza cálculos e aparelhos sofisti-
cados para desbravar outras ga-
láxias e elementos cósmicos, 
como buracos negros e estrelas 
supermassivas.
A Trigonometria, entre todas as áreas da Matemática que contribuem para o conheci-
mento científico, certamente é de fundamental importância para a Astronomia, o estudo do 
Universo. Essas duas áreas de conhecimento praticamente “nasceram” juntas. Registros e 
pesquisas arqueológicas indicam que já por volta de 4000 a.C., na região da Mesopotâmia, o 
céu era cuidadosamente observado para que se pudesse entender o movimento de objetos 
celestes visíveis a olho nu. Paralelamente às observações, as estimativas de distâncias, tama-
nhos e posições já eram pensadas a 
partir dos triângulos, e os planetas 
conhecidos na época eram repre-
sentados em círculos fracionados 
em partes iguais, usando a base 60.
Em especial, os sacerdotes as-
trônomos da Babilônia consegui-
ram construir um conhecimento 
bastante acurado dos planetas, 
prevendo a posição deles com 
muita precisão, se compararmos 
aos dados obtidos com toda a tec-
nologia da atualidade. Os métodos 
babilônicos, principalmente para 
estabelecer o calendário ritualísti-
co e agrícola e fazer previsões de 
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Imagem da galáxia espiral M81: a imagem combina dados dos 
telescópios Hubble e Spitzer e das missões do satélite Galaxy 
Evolution Explorer (GALEX).
Nossa sugestão é que, ao 
longo deste ano, você leia O 
jeito matemático de pensar, 
de Renato J. Costa Valladares 
(Ed. Ciência Moderna). Nesse 
livro, o autor procura mostrar, 
em cada capítulo, o quanto 
esta ciência faz parte da 
nossa vida e está presente 
até mesmo em situações não 
matemáticas. Comece lendo 
os dois primeiros capítulos.
 LEIA O LIVRO
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Parte da Via Láctea, a estrela Sirius (no canto superior direito) 
e a estrela Eta Carinae (nebulosa vermelha no canto inferior 
esquerdo) vistas de uma das ilhas da Flórida (EUA).
Nesta obra, optamos por desenvolver a Trigonometria nos três volumes para:
• permitir que o aluno se aproprie progressivamente dos conceitos do tema;
• favorecer as relações com funções, 
Geometria e números complexos;
• fazer revisões constantes sobre o tema.
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Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
5
natureza mística, estiveram em uso até os primeiros séculos 
da nossa era.
Sob a influência da Astronomia dos babilônicos, Hiparco de 
Niceia (180 a.C.-125 a.C.), considerado o “pai da Trigo-nometria” 
e também o maior astrônomo daquela época, construiu a 
primeira tabela trigonométrica, pelo menos de que se tem 
notícia, com os valores das cordas de ângulos de 0° a 180°. A 
tabela foi utilizada por ele para determinar o nascer 
(visibilidade a partir da Terra) e o ocaso de diversas estrelas. 
A estreita relação entre as duas ciências, Astronomia e Tri-
gonometria, ficou evidente na Idade Média, com o interesse 
em desvendar nosso lugar no 
céu (geocentrismo ou heliocentrismo) e em descrever as leis 
que governam os movimentos dos corpos celestes. Além dis-
so, os avanços da navegação marítima implicaram a necessi-
dade de elaboração de mapas cartográficos e topográficos 
precisos, bem como a exatidão de cálculos da astronomia 
posicional, para determinação de localização e tempo, du-
rante as navegações que desbravavam novas terras.
Entre os muitos avanços da parceria entre Astronomia 
e Trigonometria destaca-se, em 1838, o trabalho de Bessel 
(1784-1846), que conseguiu detectar a distância da Terra à estrela 81 Cygni utilizando cál-
culos trigonométricos com medidas angulares em relação ao movimento da Terra em sua 
órbita. A medição de Bessel é considerada um marco importante no cálculo de distâncias 
cósmicas, constituindo-se basicamente no ponto 
de partida para o progresso das pesquisas avan-
çadas do espaço sideral.
Ao longo do século XX, a Trigonometria se ex-
pandiu às outras ciências físicas, deixando de ser 
exclusiva aos avanços da Astronomia. Por outro 
lado, os avanços científicos e tecnológicos impul-
sionaram as investigações sobre o universo, con-
tando com outros conhecimentos matemáticos 
além da Trigonometria.
Nesta unidade, daremos continuidade ao estu-
do sobre Trigonometria e funções trigonométricas.
Vamos recordar as ideias principais e avançar 
nas propriedades e relações da Trigonometria.
Rolo de papiro encontrado em uma 
tumba em Tebas (no Egito Antigo). 
Ele é a fonte mais valiosa que se 
tem sobre a Matemática egípcia.O x
A
D
C B
sen x = =AC
OA
corda AD
2r
Z
ap
t
Pontos...
... de vista
Seno e cosseno
Longe daqui
Estrela
1
RÉGUA NAS ESTRELAS
Entenda como se monta a equação que mede a distância até as estrelas.
2
3 Para astros mais distantes,
o método é diferente: com-
para-se a luz da estrela com
a de astros conhecidos, e aí
se faz uma estimativa.
Os astrônomos identificam esse
deslocamento aparente da 
estrela e, graças à “mágica” da 
Trigonometria, obtêm a 
distância da estrela.
Emjaneiro,
os astrônomos
observam 
a posição
de uma 
estrela
próxima 
da 
Terra.
Em julho,
a Terra está no
ponto oposto 
da sua órbita. 
Quando
a mesma estrela
é observada, ela
parece ter se 
deslocado.
Sol
(Ilustração fora de escala 
e em cores-fantasia.)
Se tiver oportunidade, acesse o site 
<http://antwrp.gsfc.nasa.gov/> para saber um 
pouco mais sobre a relação Trigonometria-
Astronomia. Veja também o site <www.
google.com/sky>. Esse recurso do Google 
permite explorar o espaço e ver as estrelas de 
determinados pontos da Terra. O acervo de 
imagens capturadas por diversos observatórios 
cobre milhões de estrelas e de galáxias.
 VEJA O FILME
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6 Trigonometria
 RECORDANDO
Observando triângulos retângulos, é possível per-
ceber que as razões entre as medidas de lados corres-
pondentes de triângulos com um ângulo em comum são 
constantes.
Como os três triângulos possuem os três ângulos 
correspondentes congruentes, eles são semelhantes.
nABC , nADE , nAXY
Daí:
BC
AC
 5 DE
AE
 5 XY
AY
, o que nos permite definir sen α 5 medida do cateto oposto a α
medida da hipotenusa
.
AB
AC
 5 AD
AE
 5 AX
AY
, o que nos permite definir cos α 5 medida do cateto adjacente a α
medida da hipotenusa
.
BC
AB
 5 DE
AD
 5 XY
AX
, o que nos permite definir tg α 5 
medida do cateto oposto a α
medida do cateto adjacente a α .
Definimos assim as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o ângulo α.
É importante destacar duas relações entre essas razões válidas para qualquer ângulo α.
sen2 α 1 cos2 α 5 1 tg α 5 
sen α
cos α
Essas relações são úteis para resolver problemas de cálculo de distâncias que não 
podem ser medidas diretamente. Veja este exemplo:
Se um observador está a 20 m de uma torre e a observa de um ângulo de 56°, podemos 
calcular a altura da torre.
tg 56° 5 h
20
Consultando a tabela trigono métrica do final do módulo, 
temos:
 tg 56° 5 1,4826
 h 5 20 · 1,4826
 h > 29,7 m
As razões trigonométricas podem ser estendidas como 
funções por meio da utilização do círculo trigonométrico, 
e é isso que faremos a partir do item 3.
Cálculo de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos
Vamos calcular as razões trigonométricas de alguns ângulos que são frequentemente 
utilizados na resolução de situações diversas.
Seno, cosseno e tangente de 30° e de 60°
Em um triângulo equilátero, com um lado de medida a, sabemos que uma altura mede 
h 5 
a 3
2 . No nAHB, temos:
2
Relações 
trigonométricas no 
triângulo retângulo – 2
Desenvolva suas habilidades 
na aplicação das relações 
trigonométricas.
Peça aos alunos que, em duplas, 
escrevam o que sabem sobre 
Trigonometria. Se for possível, leia 
alguns dos textos produzidos para 
que você tenha uma noção dos 
conhecimentos e das dúvidas dos 
alunos. Depois, peça que leiam as 
páginas 6 e 7 e que revisem o próprio 
texto. Ajude-os a esclarecer as dúvidas.
Se achar necessário, selecione alguns 
exercícios extras, além dos que se 
encontram nas páginas seguintes, 
para que os alunos resolvam e então 
avancem com mais tranquilidade no 
assunto.
Ler e escrever sobre a aprendizagem 
auxilia os alunos no desenvolvimento 
de uma melhor compreensão do 
próprio conhecimento e permite que 
memorizem o que aprenderam e 
sistematizem ideias importantes.
56°
h
20 m 
α
A
X
Y
E
C
BD
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Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
7
 sen 30° 5 BH
AB
 5 
a
2
a
 5 1
2
 sen 60° 5 AH
AB
 5 
a 3
2
a
 5 
3
2
 cos 30° 5 AH
AB
 5 
a 3
2
a
 5 
3
2 cos 60° 5 
BH
AB
 5 
a
2
a
 5 1
2
 tg 30° 5 BH
AH
 5 
a
2
a 3
2
 5 
3
3 tg 60° 5 
AH
BH
 5 
a 3
2
a
2
 5 3
Seno, cosseno e tangente de 45°
Em um quadrado, com um lado de medida a, sabemos que uma diagonal mede 
d 5 a 2.
No nABC, temos:
 sen 45° 5 BC
AC
 5 a
a 2
 = 
2
2
 cos 45° 5 AB
AC
 5 a
a 2
 = 
2
2
 tg 45° 5 BC
AB
 5 a
a
 5 1
Esses valores podem ser resumidos em uma tabela.
α
30° 45° 60°
sen α 1
2
2
2
3
2
cos α 3
2
2
2
1
2
tg α 3
3
1 3
B
H
C
A
h
aa
30°
60° 60°
30°
a
2
a
2
Im
ag
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s:
 Z
ap
t
aa
D C
d
A a
a
B
45°
Para melhor utilização 
dos exercícios resolvidos 
e dos problemas a seguir, 
consulte o Manual do 
professor.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm, e o 
seno de um dos ângulos agudos vale 0,6. Calcule as medidas 
dos catetos.
RESOLUÇÃO
Seja sen B 5 0,6. Então:
sen B 5 AC
BC
 ⇒ 0,6 5 AC
10
 ⇒ AC 5 6 cm
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
(AB)2 1 (AC)2 5 (BC)2 ⇒ (AB)2 1 62 5 102 ⇒ AB 5 8 cm
2 Calcule as medidas dos ângulos agudos do triângulo retân-
gulo da figura.
RESOLUÇÃO
tg B 5 AC
AB
 ⇒ tg B 5 
3
3
 ⇒ B 5 30°
Como B 1 C 5 90°, então C 5 60°.
C
BA
B̂
10 cm
Ĉ
C
B
A
B̂
3
3
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8 Trigonometria
PROBLEMAS E EXERCÍCIOSAs respostas se encontram no final do caderno
Durante a correção destes exercícios, organize com a classe uma lista de cuidados que devem ser tomados para que não haja erro de cálculos 
envolvendo as razões trigonométricas. Peça que registrem a lista, para que possa ser consultada em outras ocasiões.
1 Calcule o seno, o cosseno e a tangente de cada ângulo agudo.
a) b) 
2 Calcule o valor de x.
a) 
b) 
30°
x
4 3
c) 
45°
60°
x
15
3 Calcule a altura do edifício medida a partir do solo, sabendo 
que um observador colocou-se a 30 m de distância e assim 
o observou segundo um ângulo de 30°, conforme mostra a 
figura (fora de escala).
30°
30 m
3 m 
4 Em um paralelogramo de dimensões 12 cm e 16 cm, um ângu-
lo mede 30°. Calcule as medidas das alturas desse paralelo-
gramo.
5 Em um trapézio isósceles, a base menor vale 5 cm, um lado 
oblíquo mede 4 cm e um ângulo é 60°. Calcule o perímetro e 
a altura desse trapézio.
6 Em um trapézio retângulo ABCD, a base menor 
AB, a base maior CD e a altura AD medem, res-
pectivamente, 6 cm, 8 cm e 2 3 cm. Calcule os 
ângulos do triângulo BCD.
7 Calcule o valor aproximado de x.
A
B C
5 12
13
P Q
R
815
17
6
x60°
60°45°
100 m
x
 NOÇÃO DE ÂNGULO
Um radar capta um obstáculo no ponto P. O raio detector RP, que pode ser 
visto na tela do radar, faz um ângulo de 151° com a semirreta RL. A distância de P 
à origem R é de 1 km. Quais são as coordenadas do obstáculo P?
Se o obstáculo estivesse sobre a bissetriz do terceiro quadrante, no ponto 
Q, o raio detector do radar teria descrito 225° desde a posição inicial RL. Se Q 
distasse 1 km de R, quais seriam as coordenadas de Q?
Ampliando a noção de ângulo
No exemplo acima, como em muitos outros geralmente relacionados com movimentos de 
rotação, é necessário considerar ângulos cuja amplitude é superior a 90°, a 180° e até a 360°.
De fato, se o raio partisse da posição RL e tivesse dado duas voltas completas antes de 
detectar P, teria descrito:
2 · 360° 1 151°, ou seja, 871°.
C
ri
st
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a 
X
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P
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R
°
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Trigonometria
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A
9
Há também movimentos de rotação de sentido 
contrário a esse, como é o caso do movimento dos 
ponteiros do relógio.
Se observássemos um relógio como o da figura ao 
lado durante 50 minutos, notaríamos que o ponteiro dos 
minutos descreve um ângulo próximo a 300°.
Para distinguir esses dois sentidos que podem ser 
descritos nas rotações, assumimos um como positivo e 
outro como negativo.
Vamos construir um novo conceito, que é o de círculo 
trigonométrico, que permitirá com preen der melhor 
ângulos de medida maior que 180° e estender os cálculos 
de seno, cosseno e tangente para esses ângulos.
 ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Dois pontos, A e B, dividem uma circunferência em duas partes 
denominadas arcos. A e B são as extremidades de cada um desses 
arcos, que indicaremos por AB ou BA.
Para diferenciar esses arcos, convencionamos percorrer a 
circunferência no sentido anti-horário. Assim, AB é o arco formado 
pelos pontos da circunferênciaentre A e B, percorridos no sentido (anti-
horário) de A para B, enquanto BA é o arco formado pelos pontos da 
circunferência entre B e A, percorridos no sentido (anti-horário) de B 
para A.
Se A coincide com B, temos um arco de uma volta ou um arco 
nulo.
Se A e B são as extremidades de um mesmo diâmetro, temos um 
arco de meia-volta.
O: centro da 
circunferência; AB e BA: 
arcos de meia-volta
O
AB
 ÂNGULO CENTRAL
Todo ângulo com vértice no centro de uma circunferência L cujos la-
dos interceptam L é denominado ângulo central relativo a L.
O arco de circunferência contido no interior de um ângulo central é 
chamado de arco correspondente a esse ângulo.
De forma recíproca, a todo arco de L corresponde um único ângulo 
central de L.
Essa relação entre arcos e ângulos de uma circunferência nos per-
mite definir formas de medir arcos a partir da medida do ângulo cen-
tral correspondente.
BAAB
B
A
B
A
A = B A = B 
Arco de 1 volta Arco nulo
L
O
A
B
AB: arco correspondente 
ao ângulo central AOB
AOB: ângulo central 
correspondente ao arco AB
L
O
A
B
 NOÇÃO DE ÂNGULO
Um radar capta um obstáculo no ponto P. O raio detector RP, que pode ser 
visto na tela do radar, faz um ângulo de 151° com a semirreta RL. A distância de P 
à origem R é de 1 km. Quais são as coordenadas do obstáculo P?
Se o obstáculo estivesse sobre a bissetriz do terceiro quadrante, no ponto 
Q, o raio detector do radar teria descrito 225° desde a posição inicial RL. Se Q 
distasse 1 km de R, quais seriam as coordenadas de Q?
Ampliando a noção de ângulo
No exemplo acima, como em muitos outros geralmente relacionados com movimentos de 
rotação, é necessário considerar ângulos cuja amplitude é superior a 90°, a 180° e até a 360°.
De fato, se o raio partisse da posição RL e tivesse dado duas voltas completas antes de 
detectar P, teria descrito:
2 · 360° 1 151°, ou seja, 871°.
C
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X
av
ie
r
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10 Trigonometria
 MEDIDA DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Há dois tipos de medições que podem ser feitas para 
arcos de circunferência: a linear e a angular.
A medida linear de um arco AB é o seu comprimento, 
ou seja, a distância linear entre suas extremidades. 
Observe o desenho ao lado.
Encontrar a medida do comprimento do arco AB 
equivale a “esticar” o arco e encontrar um segmento de 
reta EF cujo comprimento seja igual ao do arco AB.
Já a medida angular de AB está relacionada à medida 
do ângulo central correspondente a esse arco, ou seja, 
a medida angular do arco AB é igual à medida do ângulo 
central associado a ele:
m(AB) 5 m(AOB)
As unidades usuais para a medida angular de arcos de circunferência são grau e 
radiano. O radiano será apresentado nas páginas que seguem. 
Vamos relembrar a medida de ângulos em graus.
Medida em graus
O grau é a unidade de medida de ângulos mais utilizada, especialmente na Ge-
ometria.
O grau é definido dividindo-se uma circunferência em 360 ângulos centrais con-
gruentes entre si. Cada um desses ângulos equivale a um ângulo de um grau (1°), e 
definimos a medida angular do arco correspondente como sendo igual a um grau.
Dividindo-se um arco de 1° em 60 ângulos congruentes entre si, cada um dos 
arcos formados corresponde a um arco com medida angular de um minuto (1').
Dividindo-se um arco de 1' em 60 partes congruentes entre si, cada 
um desses arcos formados corresponde 
a um arco com medida angular de um 
segundo (1").
Portanto, 1° 5 60' e 1' 5 60".
Se um arco de circunferência tem 
medida a graus, b minutos e c segundos, 
escrevemos a°b’c”.
Observe agora a figura ao lado.
Como o ângulo central AOB mede 45°, 
dizemos que a medida angular do arco AB é 
de 45°.
Note que os arcos AB, CD e EF têm medida 
angular de 45°, apesar de suas medidas 
lineares serem diferentes.
Medida em radianos
Embora o grau seja uma unidade de medida bastante utilizada para ângulos, quando se 
trata da medida angular de arcos há outra unidade mais usual em Trigonometria: o radiano.
B
A
O
E
F
α
r
r
1°
1
360
 da volta completa 
da circunferência mede 1°
O
B
D
F
A C E
45°
r
1
r
2
r
3
ℓ
1
ℓ
2
ℓ
3
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Trigonometria
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IC
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11
Arco de 1 radiano (rad) é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da 
circunferência que o contém.
O
r
r
Arco de 1 rad O
r
r
1 rad
r
Podemos falar, também, que ângulo de 1 radiano é o ângulo central correspondente a um 
arco de comprimento igual ao do seu raio.
Medir um arco com essa unidade significa respon-
der à pergunta: Quantos arcos de comprimento igual 
a 1 raio da circunferência “cabem” no arco que se de-
seja medir?
Por exemplo: um arco de 2 rad corresponde ao 
arco de comprimento igual a 2 raios da circunferência.
De modo geral, indicando por α a medida, em ra-
dianos, de um arco de comprimento , contido em uma 
circunferência de raio r, podemos escrever:
α 5 
,
r
Ou seja, α é o número de vezes que r “cabe” em ,.
É importante observar que a medida angular de um arco, em radianos, só é 
numericamente igual ao comprimento desse arco se r 5 1, isto é, se a medida do raio for 
igual a uma unidade de medida de comprimento.
Vejamos agora algumas relações entre graus e radianos.
Como o comprimento da circunferência é igual a 2πr, o raio cabe 2π vezes 
(aproximadamente 6,28 vezes) na circunferência. 
Logo, temos as seguintes relações entre medidas de arcos:
 
Lembre-se de que o sinal > é usado 
como “aproximadamente igual” entre 
quantidades numéricas.
360° → 2π radianos (> 6,28)
 180° → π radianos (> 3,14)
 90° → π
2
 radiano (> 1,57)
 45° → π
4
 radiano (> 0,785)
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são, então, diretamente 
proporcionais.
360
2π
 5 180
π
 5 90π
2
 5 45π
4
O
r
r
A
B
r
Comprimento de AB 5 2r
m(AB) 5 m(AOB) 5 2 rad
Logo, a medida angular de AB é 2 rad.
Escolha alguns objetos circulares e 
proponha aos alunos que meçam o 
diâmetro (d) e o comprimento (C) da 
circunferência de cada um e depois 
calculem a relação C
d
. Espera-se que 
eles encontrem resultados próximos 
de π > 3,14, o que permitirá a 
comprovação experimental de que 
C 5 π · d 5 2π · r, ou seja, o raio r de 
qualquer circunferência “cabe” 
2π > 6,28 vezes no comprimento C.
r
r
ℓα
Raio
A
B1 rad
Raio
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Book_MAT2_CAD5.indb 11 07/12/16 19:47
12 Trigonometria
Esse fato nos possibilita obter a equação de conversão de unidades por meio de uma 
regra de três simples.
Exemplo:
Qual é a medida em graus de um arco de 1 radiano?
Pela regra de três, temos:
360° 2π
a 1
a 5 360
2π
 5 180
π
 > 180
3,14
 > 57°
a
360
 5 
α
2π ou 
a
180
 5 
α
π
Medida em 
graus
Medida em 
radianos
a α
[
360 2π
1 rad
1°
a
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Leia e resolva no caderno cada um destes ER. 
Em caso de dúvida, consulte o livro.
3 Na figura, temos duas circunferências coplanares, de mes-
mo centro O. Sendo OA 5 2 cm, CD 5 4 cm e 3 cm o compri-
mento de AC, calcule:
O
D
C
A B
a) a medida de AOC em radianos.
b) o comprimento de BD.
RESOLUÇÃO
a) m(AOC) 5 comprimento de AC
OA
 ⇒ m(AOC) 5 3
2
 ⇒ 
⇒ m(AOC) 5 1,5 rad
b) O raio da circunferência maior é r 5 6 cm.
Seja , o comprimento de BD; então:
m(BOD) 5 
,
r
 ⇒ 1,5 5 
,
6
 ⇒ , 5 9 cm
4 Transforme:
a) 120° em radianos. b) 
5π
6
 rad em graus.
RESOLUÇÃO
a) Substituindo a por 120 na equação 
a
180
 5 
α
π , temos:
120
180
 5 
α
π ⇒ α 5 
120π
180
 ⇒ α 5 2π
3
 Portanto, 120° 5 
2π
3
 rad.
b) Substituindo α por 5π
6
 na equação 
a
180
 5 
α
π , temos:
a
180
 5 
5π
6
π
 ⇒ a 5 5 · 180
6
 ⇒ a 5 150
 Portanto, 
5π
6
 rad 5 150°.
5 Calcule a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros 
das horas e dos minutos quando são:
a) 4 horas. b) 5 h 20 min.
RESOLUÇÃO
a) O menor ângulo formado por 
duas marcas con secutivas de 
horas tem medida 
360°
12
 5 30°; 
logo, o menor ângulo formado 
pelos ponteiros dashoras e 
dos minutos, às 4 horas, terá 
medida 4 · 30° 5 120°.
b) A medida x do ângulo solici-
tado é x 5 30° 1 y. Para o 
cálculo de y, vamos notar que, enquanto o ponteiro dos 
minutos dá uma volta (360°), o ponteiro das horas descre-
30°
Book_MAT2_CAD5.indb 12 07/12/16 19:47
Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
13
ve um ângulo de 30°. Logo, temos a seguinte regra de três:
Ângulo descrito pelo 
ponteiro dos minutos
Ângulo descrito pelo 
ponteiro das horas
360° 30°
120° y
 Ou seja:
 
360
120
 5 
30
y
 ⇒ y 5 10°
 Portanto, x 5 40°.
30°
x
y
PROBLEMAS E EXERCÍCIOSAs respostas se encontram no final do caderno
Leia os exercícios desta seção e comece resolvendo 
aqueles que lhe parecerem mais fáceis. Em caso de 
dúvida, releia os ER ou o texto do livro.
8 Na figura, O é o centro do cír-
culo de raio 4 cm.
a) Calcule m(AOB) em ra-
dianos sabendo que o 
comprimento de AB é 10 
cm.
b) Calcule o comprimento de 
CD dado m(COD) 5 0,8 rad.
9 Transforme em radianos.
a) 40°
b) 36°
c) 25°
d) 15° 
e) 24°
f) 80°
g) 192°
h) 22°30'
10 Transforme em graus.
a) 
π
12
 rad
b) 
π
8
 rad
c) 
5π
9
 rad
d) 
7π
16
 rad
e) 
7π
15
 rad
f) 
11π
45
 rad
g) 
17π
10
 rad
h) 
3π
40
 rad
11 Na figura, AC e MN são arcos contidos em circunferên-
cias de um mesmo plano e de mesmo centro O, OM 5 8 cm 
e OB 5 2 cm. MN e AB têm comprimentos, respectivamente, 
12 cm e 2 cm. Calcule:
O
A
C
B
M
N
a) AOC em radianos. b) o comprimento de AC.
12 (UEL-PR) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o 
meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros 
das horas e dos minutos é:
a) 90° b) 100° c) 110° d) 115° e) 125°
13 (UEG-GO) Considerando 1° como a distância média entre 
dois meridianos, e que na linha do Equador corresponde a 
uma distância média de 111,322 km, e tomando-se esses valo-
res como referência, pode-se inferir que o comprimento do 
círculo da Terra, na linha do Equador, é de, aproximadamen-
te,
a) 52 035 km b) 48 028 km c) 44 195 km
B
D
C
O
A
 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
No plano cartesiano, vamos considerar a circunferência de centro na origem O(0, 0) e 
de raio unitário.
Vimos, no início desta unidade, que em diversas situações podemos adotar sentidos 
diferentes em uma circunferência para os arcos e ângulos formados.
Escolhemos então como positivo o sentido anti-horário de percurso dos arcos 
que serão medidos a partir do ponto A(1, 0) de intersecção da circunferência com o 
semieixo positivo das abscissas.
Organize a classe para uma leitura 
coletiva de Círculo trigonométrico. 
Durante a leitura, faça pausas para 
comentários e análise das imagens, 
dos destaques etc. Feito isso, peça aos 
alunos que fechem os livros e listem as 
principais ideias. Anote-as no quadro 
e peça que façam o mesmo em seus 
cadernos. A lista será útil na resolução 
das próximas atividades. Esse é 
um bom recurso para desenvolver 
as competências relacionadas à 
linguagem.
Book_MAT2_CAD5.indb 13 07/12/16 19:47
14 Trigonometria
O círculo trigonométrico corresponde à circunferência de centro O e raio unitário (r 5 1), 
na qual escolhemos um ponto de origem dos arcos e o sentido do seu percurso.
No círculo trigonométrico, a medida absoluta α, em radianos, de um arco e o comprimento 
, desse arco são iguais, pois α 5 ,
r
 e r 5 1. E esse é o motivo por que escolhemos r 5 1.
Podemos, então, associar a cada número real α um único ponto P do círculo trigonométrico, de modo que:
 > se α 5 0, P neste caso coincide com A.
 > se α . 0, percorremos a circunferência no sentido anti-horário.
 > se α , 0, percorremos a circunferência em sentido horário.
 > o comprimento de AP é o módulo de α.
O ponto P é a imagem de α no círculo trigonométrico.
O
A
P
O
A
P
O
A = P 
m(AP ) 5 0 m(AP ) 5 α . 0 m(AP ) 5 ]α se α , 0
Exemplos:
a) Para obtermos a imagem de 
π
3
, partimos de A e percorremos, no sentido anti- 
-horário, um arco de comprimento 
π
3
, que corresponde ao ângulo central de 60°.
O
A60°
P
π
3
b) Para obtermos a imagem de ]3, partimos de A e per-
corremos, no sentido horário, um arco de comprimen-
to 3, que tem medida em graus de aproximadamente 
172° medidos no sentido horário a partir de A.
Observe que a cada ponto do círculo estamos asso-
ciando um número, de modo que os pontos sejam as 
imagens desses números.
Visualizemos alguns números no círculo trigonométrico.
O
A
P
–3
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
1
6
5
4
0
2
3
–1
0
–6
–5
–4
–2
–3
–
O O
π
3
π
2
π
4
π
6
π
–π
11π
6
7π
4
5π
33π
2
4π
3
5π
4
7π
6
5π
6
3π
4
2π
3
3π
2
– π
2
– π
3
– π
4
– π
6
– 4π
3 –
5π
3
– 5π
4
– 7π
6
– 7π
4
– 5π
6
– 11π
6
– 3π
4
– 2π
3
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Book_MAT2_CAD5.indb 14 07/12/16 19:47
Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
15
Se o módulo de α é maior do que 2π, damos mais de uma volta no círculo trigonométri-
co para obter a imagem de α.
Exemplos:
a) Para obter a imagem de 7π
3
, partimos de A, damos, no sentido anti-horário, uma volta 
completa (2π) e percorremos, no mesmo sentido, um arco de comprimento π
3
, pois 7π
3
 
5 6π
3
 1 
π
3
 5 2π 1 
π
3
.
π
3
O
P
A
b) Para localizar a imagem de ] 9π
2
, partimos de A, damos, no sentido horário, 2 voltas 
completas (]4π) e percorremos, no mesmo sentido, um arco de comprimento π
2
, pois ] 
9π
2
 5 ] 8π
2
 ] 
π
2
 5 ]4π ] π
2
.
π
2
–
O
P
A
O círculo trigonométrico corresponde à circunferência de centro O e raio unitário (r 5 1), 
na qual escolhemos um ponto de origem dos arcos e o sentido do seu percurso.
No círculo trigonométrico, a medida absoluta α, em radianos, de um arco e o comprimento 
, desse arco são iguais, pois α 5 ,
r
 e r 5 1. E esse é o motivo por que escolhemos r 5 1.
Podemos, então, associar a cada número real α um único ponto P do círculo trigonométrico, de modo que:
 > se α 5 0, P neste caso coincide com A.
 > se α . 0, percorremos a circunferência no sentido anti-horário.
 > se α , 0, percorremos a circunferência em sentido horário.
 > o comprimento de AP é o módulo de α.
O ponto P é a imagem de α no círculo trigonométrico.
O
A
P
O
A
P
O
A = P 
m(AP ) 5 0 m(AP ) 5 α . 0 m(AP ) 5 ]α se α , 0
Exemplos:
a) Para obtermos a imagem de 
π
3
, partimos de A e percorremos, no sentido anti-
-horário, um arco de comprimento 
π
3
, que corresponde ao ângulo central de 60°.
O
A60°
P
π
3
b) Para obtermos a imagem de ]3, partimos de A e per-
corremos, no sentido horário, um arco de comprimen-
to 3, que tem medida em graus de aproximadamente 
172° medidos no sentido horário a partir de A.
Observe que a cada ponto do círculo estamos asso-
ciando um número, de modo que os pontos sejam as 
imagens desses números.
Visualizemos alguns números no círculo trigonométrico.
O
A
P
–3
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
1
6
5
4
0
2
3
–1
0
–6
–5
–4
–2
–3
–
O O
π
3
π
2
π
4
π
6
π
–π
11π
6
7π
4
5π
33π
2
4π
3
5π
4
7π
6
5π
6
3π
4
2π
3
3π
2
– π
2
– π
3
– π
4
– π
6
– 4π
3 –
5π
3
– 5π
4
– 7π
6
– 7π
4
– 5π
6
– 11π
6
– 3π
4
– 2π
3
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Book_MAT2_CAD5.indb 15 07/12/16 19:47
16 Trigonometria
Arcos côngruos
Analisemos o que ocorre com as imagens no círculo trigonométrico dos números 
π
2
, 
π
2
 1 2π, π
2
 1 4π, π
2
 1 6π, ... e dos números π
2
 ] 2π, π
2
 ] 4π, π
2
 ] 6π, ...
A partir de A, no sentido anti-horário, percorrendo um arco de comprimento 
π
2
, 
localizamos P e, a seguir:
 no sentido anti-horário, damos 1, 2, 3, ... voltas completas, obtendo sempre o ponto P. 
Isso significa que 
π
2
 1 2π, π
2
 1 4π, π
2
 1 6π, ... têm a mesma imagem P.
 no sentido horário, damos 1, 2, 3, ... voltas completas, obtendo sempre o ponto P. Isso 
significa que 
π
2
 ] 2π, π
2
 ] 4π, π
2
 ] 6π, ... têm a mesma imagem P.
Podemos representar esses números, genericamente, por 
π
2
 1 k · 2π, onde k é a 
variável que assume valores inteiros, e afirmar que: os números expressos por 
π
2
 1 k · 2π, 
k [ Z, têm a mesma imagem P no círculo trigonométrico,ou os arcos cujas medidas são 
dadas por 
π
2
 1 k · 2π, k [ Z, têm a mesma origem A e a mesma extremidade P.
Dois arcos contidos no círculo trigonométrico são côngruos 
se tiverem a mesma origem e a mesma extremidade.
Exemplo:
Veja na figura que os arcos de medida 
π
2
 e ] 3π
2
 são côngruos, pois têm a 
mesma origem e a mesma extremidade.
Podemos escrever que ] 3π
2
 5 
π
2
 1 (]1) · 2π.
As medidas dos arcos côngruos a um arco de medida a são dadas por:
a 1 k · 2π, k [ Z, para a em radianos ou a 1 k · 360°, k [ Z, para a em graus
Se 0 < a , 2π (ou 0° < a , 360°), o arco de medida a é a determinação principal ou 
a 1a determinação não negativa desses arcos côngruos. No exemplo, 
π
2
 é a determinação 
principal de ] 3π
2
.
Consideremos as medidas α
1
 5 a 1 k
1
 · 2π e α
2
 5 a 1 k
2
 · 2π de dois arcos côngruos. 
Calculando α
1
 ] α
2
, obtemos:
α
1
 ] α
2
 5 (k
1
 ] k
2
)2π
Como k
1
 ] k
2
 é inteiro, podemos escrever:
A diferença entre as medidas de dois arcos côngruos é igual ao 
produto de um número inteiro por 2π (ou é múltiplo de 360°).
Exemplos:
a) Os arcos de medidas 21π
5
 e ] 9π
5
 são côngruos, pois:
21π
5
 ] ] 9π
5
 5 21π
5
 1 9π
5
 5 6π 5 3 · 2π.
b) Os arcos de medidas 37π
7
 e 16π
7
 não são côngruos, pois:
37π
7
 ] 16π
7
 5 21π
7
 5 3π (não é produto de um número inteiro por 2π).
c) Os arcos de medidas 3 645° e 5 445° são côngruos, pois:
3 645° ] 5 445° 5 ]1 800° 5 ]5 · 360° (é múltiplo de 360°).
O
P
A
π
2
3π
2
–
O
P
A
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
4
Arcos côngruos e 
arcos congruentes
Entenda a diferença 
entre arco côngruo e 
arco congruente.
Book_MAT2_CAD5.indb 16 07/12/16 19:47
Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
17
EXERCÍCIO RESOLVIDO
6 Calcule a determinação principal dos arcos de medida:
a) 4 120°
b) ]170°
c) ]4 550°
d) ]33π
e) 
47π
6
f) ] 
67π
3
RESOLUÇÃO
a) Dividindo 4 120 por 360, temos:
4 120 360
520 11
160
b) A determinação principal dos 
arcos côngruos a ] 170° é o 
arco de medida a, 0° < a , 
360°, que tem a mesma ori-
gem e a mesma extremidade 
do arco de medida ]170°.
 Portanto, 
 a 5 360° ] 170° 5 190°.
c) Dividindo 4 550 por 360, temos:
4 550 360 4 550° 5 12 · 360° 1 230°
950 12 ] 4 550° 5 ] 12 · 360° ] 230°
230 A determinação principal tem medida
a 5 360° ] 230° 5 130°.
d) “Dividindo” 33π por 2π, temos:
33π 2π 33π 5 16 · 2π 1 π
π 16 ]33π 5 ]16 · 2π ] π
A determinação principal tem medida
a 5 2π ] π 5 π.
e) “Dividindo” 
47π
6
 por 
12π
6
 (5 2π), temos:
47π
6
12π
6
47π
6
 5 3 · 2π 1 11π
6
11π
6
3 A determinação principal tem medida 
a 5 
11π
6
.
f) “Dividindo” 
67π
3
 por 
6π
3
 (5 2π), temos:
67π
3
6π
3
67π
3
 5 11 · 2π 1 π
3
π
3
11
] 
67π
3
 5 ]11 · 2π ] π
3
A determinação principal tem medida
a 5 2π ] π
3
 5 
5π
3
.
7 Determine no círculo trigonométrico as imagens dos núme-
ros α 5 ] π
4
 1 
kπ
2
, k [ Z.
π
4
–
π
4
O
M
N
Q
P
A
RESOLUÇÃO
Atribuindo a k alguns valores, temos:
k 5 0 ⇒ α 5 ] π
4
 1 
0π
2
 5 ] 
π
4
 (ponto M);
k 5 1 ⇒ α 5 ] π
4
 1 
1π
2
 5 
π
4
 (ponto N);
k 5 2 ⇒ α 5 ] π
4
 1 
2π
2
 5 
3π
4
 (ponto P);
k 5 3 ⇒ α 5 ] π
4
 1 
3π
2
 5 
5π
4
 (ponto Q);
k 5 4 ⇒ α 5 ] π
4
 1 
4π
2
 5 ]1
π
4
 1 2π (ponto M);
k 5 5 ⇒ α 5 ] π
4
 1 
5π
2
 5 
π
4
 1 2π (ponto N);
etc.
5
Cálculo 
trigonométrico
Veja como utilizar 
os teoremas na 
resolução de 
situações-problema.
A determinação principal 
tem medida 160°.
A
–170°
a = 190°
O
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
PROBLEMAS E EXERCÍCIOSAs respostas se encontram no final do caderno
14 Indique a medida de vários arcos com a mesma origem e a 
mesma extremidade que o arco de 192°.
15 Indique a medida de ângulos com a mesma origem e a mes-
ma extremidade que o ângulo de ]140°.
16 Calcule a medida da determinação principal dos arcos de 
medida:
a) 2 380°
b) ]790°
Antes de resolver este exercício, 
veja novamente o ER6.
Book_MAT2_CAD5.indb 17 07/12/16 19:47
18 Trigonometria
 CALCULADORA
c) ]2 200°
d) 
29π
7
e) 
20π
3
f) 
26π
5
g) 
13π
3
h) ] 
5π
3
i) ] 
29π
5
j) ] 
37π
7
17 Sejam A, B, C, D e E, em sentido anti-horário e nessa ordem, 
os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo tri-
gonométrico, com A na origem dos arcos. Dê a expressão 
geral dos arcos de origem A e extremidade em cada um dos 
pontos restantes.
18 AA1A2A3A4A5A6A7 é um octógono regular, inscrito no círculo 
trigonométrico, com vértices percorridos em sentido anti-
-horário e A na origem dos arcos. Dê a expressão geral dos 
arcos de origem A e extremidade em cada um dos outros 
vértices do octógono.
Experimente jogar antes de 
sugeri-lo aos alunos, para 
perceber sua importância. 
Saiba mais sobre Jogos 
nesta coleção no Manual 
do professor.
Razões trigonométricas em graus e em radianos
As calculadoras científicas nos permitem calcular seno, cosseno e tangente de 
arcos com suas medidas em graus ou radianos. Existem diferentes tipos de calculadora. 
Vamos apresentar dois deles.
1. Calculadora com tecla MODE
Apertando uma ou duas vezes essa tecla, aparece a opção:
DEG (degree, grau), RAD (radiano), GRA (grado).
Para calcular sen 57º digite: MODE DEG e em seguida SIN 5 7 = 
aparecerá 0,838670567.
Da mesma forma, é possível calcular:
COS 5 7 = e TAN 5 7 = .
Os resultados serão cos 57º 5 0,5446... 
e tg 57º 5 1,5398...
Para obter sen 
π
3
 digite: MODE RAD e depois
SIN ( SHIFT π : 3 ) = para obter 0,866025403.
Da mesma forma é possível calcular:
cos 
π
3
 5 0,5 e tg 
π
3
 5 1,7320...
2. Calculadora sem tecla MODE, como a calculadora científica do sistema do computador
O modelo ao qual nos referimos não apresenta a tecla MODE , mas possui a tecla DRG , que é polivalente: um 
toque nela faz aparecer no visor DEG (grau), outro toque faz mudar para RAD (radiano) e ainda um terceiro faz 
mudar para GRA (grado).
Exemplos:
a) Dê o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 65°.
 Faça aparecer no visor a opção DEG e digite:
6 5 SIN — Aparecerá no visor o número 0,906307787. Isso significa que sen 65° 5 0,9063...
6 5 COS — Aparecerá como cos 65° o número 0,4226...
6 5 TAN — Aparecerá como tg 65° o número 2,1445...
b) Calcule o sen 
5π
6
.
 Aperte a tecla DRG até aparecer RAD no visor. Em seguida, tecle:
A alfabetização tecnológica 
é um dos objetos do trabalho 
sistemático com a calculadora. 
Saiba mais consultando o 
Manual do professor.
JOGOS
Na página 76, encontra-se o 
jogo Batalha naval circular. 
Junte-se a um colega e 
joguem uma ou duas vezes. 
Depois, construam outro 
tabuleiro com ângulos de 45 
em 45 graus.
As respostas se encontram no final do caderno
Book_MAT2_CAD5.indb 18 07/12/16 19:47
Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
19
 5 × π / 6 = SIN e no visor aparecerá 0,5.
 Repetindo a sequência, podemos calcular:
 cos 
5π
6
 5 ]0,8660... e tg 
5π
6
 5 ]0,5773...
 Agora, resolva estes exercícios.
1 a) Usando sua calculadora, indique o seno, o cosseno e a tangente de três ângulos do 1o quadrante e de três do 2o quadrante.
b) Represente esses três ângulos no círculo trigonométrico.
2 Usando as teclas de funções trigonométricas de sua calculadora, determine a medida do lado AwB, em centímetros, do triângulo 
retângulo abaixo.
B C
A
25°
9 cm
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
CÁLCULO RÁPIDO Para conhecer esta seção, consulte o 
Manual do professor.
O cálculo mental é uma importante 
habilidade, e o seu desenvolvimento 
deve ser um dos objetivos do 
aprendizado da Matemática, porque: 
tem importância prática no dia a dia; 
tem um valor pessoal, individual; é 
útil na resolução de problemas em 
Matemática.
Em todas as unidades você encontrará esta seção. São alguns desafios para au-
xiliá-lo no desenvolvimento de sua habilidade de cálculo. Conhecer os resultados ou 
ter estratégias de cálculo mental pode agilizar a resolução de problemas, porque sua 
atenção estará voltada mais à solução, e não aos cálculos rotineiros.
1 Calcule a medida em graus correspondente às medidasem radianos a seguir.
(Lembre-se: 2π radianos 5 360º.)
a) π
b) 
π
2
c) 
π
4
d) 
π
3
e) 
π
6
f) 
π
12
g) 
π
10
h) 
π
20
i) 
2π
3
j) 
4π
3
k) 
3π
4
l) 
5π
4
2 Use 2 > 1,42, 3 > 1,73 e π > 3,14 para calcular os valores aproximados com uma casa 
decimal após a vírgula.
a) 2 2 
b) 
2
2
c) 
2
4
d) 2 3 
e) 
3
2
f) 
3
3
g) 2π
h) 
π
2
i) 
π
4
3 Para a 5 64, ache mentalmente o valor destas expressões.
a) 
a
4
b) a
c) 3 a
d) a ] 100
e) 
a ] 80
2
f) a 1 36
g) a · 36
h) 128
a
4 Para p 5 x 1 y, q 5 2x ] 1 e r 5 2x, ache o valor destas expressões.
a) p 1 q
b) p ] q
c) p 1 q ] r
d) 2r2
e) pr
f) 2p ] q
g) ]2p
h) pq
As respostas se encontram no final do caderno
Book_MAT2_CAD5.indb 19 07/12/16 19:47
20 Trigonometria
5 Resolva os problemas mentalmente.
a) Qual é o perímetro de um octógono regular cujos lados medem 2 cm?
b) Quantos meses há em cinco anos?
c) A área de um quadrado é 100 m2. Quanto mede o lado desse quadrado?
d) Qual é a área aproximada de um círculo com 2 m de raio?
e) A pulsação de uma pessoa está em 80 batimentos por minuto. Quantos batimentos 
são medidos em 30 segundos, em 15 segundos e em uma hora?
Regra de arredondamento
No cálculo com valores aproximados, arredondamos os resultados de acordo 
com as regras a seguir:
1. Se o algarismo que será eliminado é maior ou igual a 5, acrescentamos 1 ao 
primeiro algarismo à esquerda do algarismo eliminado.
2. Se o algarismo que será eliminado é menor do que 5, os algarismos à esquer-
da são mantidos.
Exemplos:
 
1 1
 
1 1
3,78 6 > 3,79 1,07 5 > 1,08
0,84 2 > 0,84 4,00 3 > 4,00
Há outras regras de arredondamento.
Converse com os alunos sobre elas.
1 Um cubo de madeira tem 3 cm de aresta. Duas faces opostas 
foram pintadas de amarelo e as outras quatro faces foram 
pintadas de verde. Em seguida, o cubo foi serrado em 27 cubi-
nhos de 1 cm de aresta, conforme indicado no desenho. Quan-
tos cubinhos têm faces pintadas com as duas cores?
2 Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da 
seguinte maneira: um quadrado de área 16 cm2, cinco qua-
drados de área 4 cm2 cada um e treze quadrados de área 1 
cm2 cada um. Qual era a medida do lado da folha, antes de 
ela ser cortada?
SAIA DESSAResolver problemas não convencionais permite ao aluno desenvolver 
procedimentos pessoais de resolução e 
registro. Saiba mais sobre os objetivos 
desta seção no Manual do professor.
1
3
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
PARA RECORDAR
Conheça os objetivos desta seção 
lendo o Manual do professor.
1 Uma associação para trabalho voluntário é fundada por 10 
pessoas. O regulamento dessa associação estabelece que, 
ao final de cada ano, cada sócio deve apresentar 2 novos 
sócios.
a) Qual o número de sócios após 3 anos?
b) Após quanto tempo a associação terá 7 290 sócios?
2 Resolva.
a) log
12
 (x2 ] x) 5 1 
b) log
x 
1
 2
 (20 ] 2x) 5 2 
c) log
3
 
x 1 3
x ] 1 5 1
3 A figura a seguir representa um cubo.
H G
BA
C
D
FENesta seção você vai relembrar 
algumas ideias importantes.
As respostas se encontram no final do caderno
As respostas se encontram no final do caderno
As resoluções encontram-se no 
portal, em Resoluções e Gabaritos
Book_MAT2_CAD5.indb 20 07/12/16 19:47
Trigonometria
M
AT
EM
ÁT
IC
A
21
a) Quais pontos são vértices desse cubo?
b) Quais arestas do cubo são paralelas a AD?
c) Quais arestas do cubo são concorrentes a DC?
d) Dê um par de planos concorrentes que contenham faces 
desse cubo.
4 Relembremos a propriedade dos triângulos que diz: 
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo 
qualquer é 180°.
Utilize essa propriedade e resolva os problemas a seguir.
a) Dois ângulos de um triângulo medem, respectivamente, 
20° e 30°. Quanto mede o terceiro ângulo?
b) Em um triângulo com dois ângulos iguais, o ângulo diferen-
te mede 20°. Quanto mede cada um dos ângulos iguais?
c) Um triângulo pode ter dois ângulos retos? Por quê?
5 (UEL-PR) Considere que um tsunami se propaga como uma 
onda circular.
10 horas
Epicentro
do tsunami
Representação da propagação de um tsunami.
2 horas
1 hora
k k k k
A 9 horas
3 horas
Se a distância radial percorrida pelo tsunami, a cada in-
tervalo de 1 hora, é de k quilômetros, então a área A, em 
quilômetros quadrados, varrida pela onda entre 9 horas e 
10 horas é dada por:
a) A 5 π k2
b) A 5 9π k2
c) A 5 12π k2
d) A 5 15π k2
e) A 5 19π k2
6 Seja a função f(x) 5 x2 ] 2|x|.
a) Esboce o gráfico de f.
b) Determine Im(f).
c) Resolva a equação f(x) 5 3.
d) Resolva a inequação 0 < f(x) , 3.
PALAVRAS-CHAVE
Esta seção tem como objetivo auxiliá-lo no estudo do tema da unidade e, ao mesmo tempo, avaliar o que foi aprendido e o que 
exige ser retomado ou aperfeiçoado.
Para começar, vamos repassar os objetivos do estudo desta unidade.
1. Relembrar razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) no triângulo retângulo.
2. Estender a medição de ângulos e arcos para ângulos maiores de 90º considerados como orientados nos sentidos horário ou 
anti-horário.
Organize um resumo da unidade a partir das expressões-chave a seguir, redigindo uma breve explicação para cada uma delas, 
com desenhos e exemplos.
 Seno, cosseno e tangente de ângulos de um triângulo retângulo
 Medida de um arco em radianos
 Círculo trigonométrico
 Arcos côngruos
Esse será um bom resumo se fizer com que você relembre, sempre que precisar, as ideias, fórmulas e os procedimentos de cálculo 
que utilizará na continuidade do estudo da Trigonometria.
Veja no Manual do professor as orientações e os objetivos desta seção.
ANOTAÇÕES
Book_MAT2_CAD5.indb 21 07/12/16 19:47
22 Trigonometria
A estrutura dos cristais está diretamente relacionada à 
natureza dos raios X. Inicialmente, não era evidente que 
tais raios eram ondas eletromagnéticas, pois seu caráter 
ondulatório era difícil de ser observado. Em 1912, Max von 
Laue (1879-1960) comprovou que, pelo fato de os átomos 
estarem dispostos simetricamente em um cristal e sepa-
rados uns dos outros em cerca de 10]10 m, mesmo com-
primento de onda dos raios X, esses átomos poderiam se 
comportar como uma rede de difração para os raios X. 
Nascia assim a Cristalografia, ciência que estuda basicamente a estrutura dos materiais no nível atômico, sendo em-
pregada atualmente em larga escala na Biologia, na Química e na Física. Por essa descoberta, Von Laue foi laureado com 
o Prêmio Nobel de Física de 1914. 
Quando raios X atravessam um cristal, tal como o cloreto de sódio, eles se difratam, ou seja, sofrem desvios, espalhando-
-se em direções diversas. Ao colocar um filme fotográfico como anteparo, para captar os efeitos da difração, verifica-se que é 
formado um conjunto de pontos, chamados pontos de Laue, que correspondem aos máximos de difração da radiação pelo cristal.
A teoria matemática sobre a difração dos raios X pelos cristais foi desenvolvida no final de 1912, por William Henry 
Bragg (1862-1942) e seu filho William Lawrence Bragg (1890-1971), ficando conhecida por Lei de Bragg. Essa lei pode 
ser facilmente compreendida se examinarmos a próxima figura: uma onda eletromagnética incide sobre os átomos A e B 
de dois planos atômicos que se encontram separados por uma distância d. A interação da onda eletromagnética com os 
átomos torna-os excitados, fazendo-os emitir radiação. 
Onda 2
d
d
θ θ
θθ
C D
B
A
n = 2
d sen θ
Onda 1
Ângulo de
incidência
Ângulo de
reflexão
λ
λ
Representação da Lei de Bragg. 
 A diferença de percurso entre os dois raios emitidos é igual a 2dsen (u), onde u é chamado de ângulo de Bragg, ân-
gulo entre os raios incidentes e o plano em que estão os átomos. A diferença de percurso é igual a um número inteiro de 
comprimento de onda dos raios X incidentes, ou seja, nl. Assim, a equação de Bragg poderá ser escrita: nl 5 2dsen (u).
A difração dos raios X se tornou bastante usual no estudo das estruturas cristalinas, como, por exemplo, na estrutura 
cristalográfica das proteínas. 
MATEMÁTICA – CRISTALOGRAFIACONEXÃOEsta conexão pode ser trabalhada em conjunto com 
Física. Para conhecer esta seção e saber como usá-la 
com os alunos, consulte o Manual do professor.
A TRIGONOMETRIA DOS CRISTAIS
Feixe de raio X
Feixes difratados
Cristal
Filme fotográfico
Pontos de Laue
Representação dos pontos de Laue sobre filme fotográfico.
Z
ap
t
Book_MAT2_CAD5.indb 22 07/12/16 19:47
Objetivos:
c Analisar gráficos das 
funções seno, cosseno 
e tangente.
c Utilizar funções 
trigonométricas para 
resolver problemas.
c Conceituar funções 
trigonométricas e 
utilizar como recurso 
para a construção de 
argumentação.
c Resolver problemas 
que exigem cálculos de 
distâncias inacessíveis.
23
CAPÍTULO
M
AT
EM
ÁT
IC
A
Trigonometria
2
Funções trigonométricas: 
definição, periodicidade 
e gráfico
 FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
No ciclismo, é comum representar a inclinação 
de um trecho na forma de uma porcentagem. 
Essa porcentagem é a tangente do ângulo da 
subida (θ na figura a seguir), expressa como 
porcentagem. Um trecho plano tem 0% de 
inclinação; uma subida de 45º (tg(θ) 5 1) tem 
100% de inclinação.
Em provas como o Tour de France, é comum 
dar classificações aos trechos de subida. A 
classificação varia de prova para prova. No 
Tour de France, por exemplo, existem subidas 
Cat 4 (mais fácil), Cat 3, Cat 2, Cat 1 e HC (mais 
difícil). A sigla HC significa hors catégorie (sem categoria) e corresponde a subidas muito 
acentuadas com 15 km a 20 km de comprimento e com inclinações passando de 10%. Qual 
será a inclinação θ de uma subida de categoria HC nessa famosa prova de ciclismo?
Neste capítulo, serão estudadas as funções seno, cosseno e tangente nos círculos 
trigonométricos e voltaremos para responder a essa questão.
Essas funções têm aplicações não apenas dentro dos estudos da Matemática. Por 
exemplo, a Física as utiliza bastante em suas fórmulas, como:
vx 5 v · cos θ vy 5 v · sen θ
a 5 g · tg θ Fat 5 μ · P · cos θ tg θ 5 
v2
R · g
τF 5 F · d · cos θ
Essas são algumas das fórmulas estudadas na Cinemática e na Dinâmica — partes da 
Mecânica que analisam os movimentos.
 FUNÇÃO SENO
Consideremos um círculo trigono mé trico centrado na origem O de um sistema 
cartesiano ortogonal e com a origem A dos arcos no semieixo positivo das abscissas.
Lembrando que no círculo trigono mé trico o raio é tomado como uma unidade de 
comprimento, então o ponto A tem coordenadas (1, 0).
Na figura, α é a medida do ângulo agudo AÔP e o nOP
1
P é retângulo. Assim, para esse 
triângulo podemos escrever:
sen α 5 
P
1
P
OP
O capítulo 3 de O jeito matemá-
tico de pensar, de Renato J. Cos-
ta Valladares, fala sobre a relação 
entre a Matemática, questões 
culturais e questões técnicas.
 LEIA O LIVRO
D(0, –1)
C(–1, 0) O
B(0, 1)
A(1, 0)
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
P
et
er
 C
h
ri
st
o
ph
er
/M
as
te
rf
ile
/O
th
er
 Im
ag
es
A definição das funções trigonométricas 
seno, cosseno e tangente é o foco deste 
capítulo, assim como a análise das 
principais características dessas funções 
para utilização no próximo capítulo, para 
a resolução de equações e inequações 
trigonométricas.
Book_MAT2_CAD5.indb 23 07/12/16 19:47
24 Trigonometria
Sendo OP 5 1 e P
1
P a ordenada de P, temos sen α 5 
P
1
P
1
 5 P
1
P. 
Portanto: sen α 5 ordenada de P
Podemos, então, ampliar o conceito de seno para qualquer número real α, usando a 
ordenada de P, imagem de α no círculo trigonométrico.
Função seno (sen) é a função, de R em R, que a todo número α associa a ordenada 
do ponto P, imagem de α no círculo trigono métrico.
sen: R → R 
 α → sen α 5 OP2
OP2 é a medida algébrica do segmento OP2 quando o raio é tomado como unidade. 
Dizemos também que OP2 é o seno de AÔP ou de AP e indicamos:
sen AÔP 5 sen AP 5 OP2
O eixo Oy passa a ser denominado eixo dos senos.
D(0, –1)
O
B(0, 1)
A(1, 0)
C(–1, 0)
α
α
P
2
P
Casos particulares
No quadro anterior, a figura nos permite observar que, quando α assume os valores 
zero, π
2
, π ou 3π
2
, o ponto P coincide, respectivamente, com A(1, 0), B(0, 1), C(]1, 0) e 
D(0, ]1). Nesse caso, temos:
sen 0 5 sen 0° 5 0 sen π 5 sen 180° 5 0
sen π
2
 5 sen 90° 5 1 sen 3π
2
 5 sen 270° 5 ]1
Sinal da função seno
Vamos analisar o sinal de sen α quando P, imagem de α no círculo trigonométrico, 
pertence a cada um dos quadrantes. Em cada figura, P
2
 é a projeção ortogonal de P sobre 
o eixo dos senos.
P no 1o quadrante P no 2o quadrante
O
B
A
D
C
α
PP
2
O
B
A
D
C
α
P P
2
P2 acima de O ⇒ sen α . 0 P2 acima de O ⇒ sen α . 0
D
O
B
AC
α
α
P
1
P
1
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Usualmente, as três funções (seno, 
cosseno e tangente) são apresentadas 
de uma só vez. No entanto, conhecendo 
a dificuldade dos alunos para 
compreender a passagem do sen α, 
com α no círculo trigonométrico, 
para a função seno, optamos por 
desenvolver uma função de cada vez, 
detalhando mais a primeira delas (a 
função seno) e deixando mais espaço 
para que o próprio aluno desenvolva o 
estudo das outras duas. Dessa forma, 
o aluno tem três chances distintas 
para se familiarizar com as funções 
trigonométricas e, portanto, mais 
possibilidade de aprender.
Book_MAT2_CAD5.indb 24 07/12/16 19:47
M
AT
EM
ÁT
IC
A
25Trigonometria
P no 3o quadrante P no 4o quadrante
O
B
A
D
C
α
P P2
O
B
D
C
α
PP2
A
P2 abaixo de O ⇒ sen α , 0 P2 abaixo de O ⇒ sen α , 0
Alguns valores notáveis
Assim como na trigonometria do triângulo retângulo, também na trigonometria do 
círculo trigonométrico há ângulos que são mais utilizados e, por isso, são conhecidos como 
notáveis. São eles: 30° 1 π6 rad2, 45° 1 π4 rad2, 60° 1 π3 rad2 e seus múltiplos.
Usando os valores dos senos de π
6
 (30°), π
4
 (45°) e π
3
 (60°) e a simetria em relação ao 
eixo das abscissas, podemos obter mais alguns valores da função seno.
sen π
4
 5 sen 45° 5 2
2
sen 3π
4
 5 sen 135° 5 2
2
sen 5π
4
 5 sen 225° 5 ] 2
2
sen 7π
4
 5 sen 315° 5 ] 2
2
3π
4
5π
4
7π
4
π
4
π
4
π
4
π
4
π
4
O
Seno
2
2
2–
2
Agora é com você. Use o que já sabe sobre o seno de 30º e o seno de 60º e, no caderno, 
escreva os valores do seno dos arcos indicados na figura a seguir. 
O aluno ganha familiaridade com 
o círculo trigonométrico e com a 
definição do seno de arcos nesse 
círculo se ele tiver a oportunidade 
de investigar as relações e a 
representação dos arcos notáveis. 
Por isso, sugerimos que reproduza o 
círculo trigonométrico para que os 
alunos possam buscar os valores do 
seno dos arcos apoiando-se na simetria 
da figura.
2π
3
5π
6
π
3
1
2
seno
π
6
0
7π
6
4π
3
5π
3
11π
6
2
3I
m
ag
en
s:
 Z
ap
t
Book_MAT2_CAD5.indb 25 07/12/16 19:47
26 Trigonometria
Depois, confira se os valores obtidos estão de acordo com os da tabela a seguir.
α (graus) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
α (rad) 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π 7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
sen α 0 1
2
2
2
3
2
1 3
2
2
2
1
2
0 ] 
1
2 ] 
2
2
] 
3
2
] 1 ] 3
2
] 
2
2
] 
1
2
0
Seno do oposto de um número
Qualquer que seja o número real α, as imagens P e P' no círculo trigonométrico, 
respectivamente de α e de ]α, são simétricas em relação ao eixo das abscissas e suas projeções 
ortogonais sobre o eixo dos senos, P
2
 e P'
2
, são simétricas em relação a O; logo:
sen (]α) 5 ]sen α, para todo α [ R
Por esse fato, dizemos que a função seno é função ímpar.
Além disso, essa igualdade nos permite calcular o seno de números negativos a partir 
do seno de números positivos.
Exemplos:
a) sen 1] π6 2 5 ]sen π6 ⇒ sen 1] π6 2 5 ] 12
b) sen (]90°) 5 ]sen 90° ⇒ sen (]90°) 5 ]1
Senos de arcos côngruos, periodicidade, domínio e imagem da 
função seno
Qualquer que seja o número real α, os arcos de medidas α e α 1 k · 2π, k [ Z, têm a 
mesma origem A e a mesma extremidade P; logo:
sen α 5 sen (α 1 k · 2π), k [ Z
Exemplos:
a) sen 2π 5 sen 4π 5 sen 6π 5 sen 0 5 0
b) sen 810° 5 sen 450° 5 sen 90° 5 1
c) A determinação principaldo arco de medida 35π
3
 rad mede 5π
3
 rad. Então:
sen 35π
3
 5 sen 5π
3
 ⇒ sen 35π
3
 5 ] 3
2
.
Observe que há repetição dos valores de sen α de 2π em 2π, de 4π em 4π, de 6π em 6π 
etc. Em linguagem matemática, seno é uma função periódica.
sen α 5 sen (α 1 2π) 5 sen (α 1 4π) 5
5 sen (α 1 6π) 5 ... 5 sen (α 1 k · 2π), k [ Z
Seno é uma função periódica de período 2π.
De modo geral, dizemos que uma função f é periódica se existe p que satisfaz a condição:
f(x 1 p) 5 f(x), para todo x [ D(f )
O
C
A
D
B
P
α
P
2
P'
2P'
sen α
sen (–α) 
–α
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Se necessário, reveja com a classe 
o sentido de simétricas, ortogonais, 
projeções etc.
O
C
D
B
A
P
α + k · 2π, k ∈ ℤ
O
B(0, 1)
A(1, 0)
D(0, –1)
C(–1, 0)
se
n
 α
α, α + 2π,
α + 4π, ...
Solicite aos alunos que façam uma leitura antecipada 
de Seno do oposto de um número e Senos de arcos 
côngruos, 
periodicidade, 
domínio e imagem 
da função seno. 
Isso os ajudará a 
acompanhar melhor 
a explicação que será 
dada em aula.
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M
AT
EM
ÁT
IC
A
27Trigonometria
O menor valor positivo de p é o período de f.
O domínio da função seno é R e a imagem está contida no intervalo []1, 1]. O domínio é 
R porque sempre podemos tomar a ordenada de um ponto que represente qualquer α [ R, 
e a imagem está definida em tal intervalo porque no círculo trigono mé trico as ordenadas 
variam de ]1 a 1; daí ]1 < sen α < 1, para todo α [ R.
No item 7 desta unidade, verificaremos que Im(sen) 5 []1, 1].
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1 Calcule.
a) sen (]60°)
b) sen 1 485°
c) sen 2x ] sen2 x, para x 5 
7π
6
 
RESOLUÇÃO
Nos três itens propostos, é importante relacionar os ângulos 
dados à sua determinação principal, que estudamos na uni-
dade 1, e a um ângulo do 1o quadrante, do qual conhecemos 
as razões trigonométricas.
a) sen (]60°) 5 ]sen 60° 5 ] 
3
2
b) 1 485° 5 4 · 360° 1 45° ⇒ sen 1 485° 5 sen 45° 5 
2
2
c) x 5 
7π
6
 5 π 1 π
6
 ⇒ sen 7π
6
 5 ]sen π
6
 5 ] 1
2
 2x 5 
14π
6
 5 2π 1 2π
6
 5 2π 1 π
3
 ⇒ sen 14π
6
 5 
 5 sen π
3
 5 
3
2
 Daí, sen 2x ] sen2 x 5 
3
2
 ] ] 
1
2
2
 5 
3
2
 ] 
1
4
 5 
2 3 ] 1
4
.
2 Determine o conjunto imagem da função 
π
6
π
3
60°
A
7π
6
–60°
O
Z
ap
t
f(α) 5 2 1 3 sen α, sabendo que Im(sen) 5 []1, 1].
RESOLUÇÃO
Fazendo y 5 2 1 3 sen α, vem: sen α 5 
y ] 2
3 .
Como ]1 < sen α < 1, para todo α [ R, temos:
]1 < 
y ] 2
3 < 1 ⇒ ]3 < y ] 2 < 3 ⇒ ]1 < y < 5
Portanto, Im(f) 5 []1, 5].
3 Determine m para que a equação sen x 5 ]3m 1 4 seja pos-
sível.
RESOLUÇÃO
Como ]1 < sen x < 1, para todo x [ R, temos:
]1 < ]3m 1 4 < 1 ⇒ ]5 < ]3m < ]3 ⇒ 5
3
 > m > 1
Portanto, 1 < m < 
5
3
.
4 Determine o período da função f(α) 5 2 · sen 3α 1 π
5
 .
RESOLUÇÃO
Como o período da função seno é 2π, basta obter a amplitude 
do intervalo ao qual α pertence quando 3α 1 π
5
 percorre 
um intervalo de tamanho 2π. Para isso, determinamos α
1
 e 
α
2
 tais que:
 
3α
1
 1 π
5
 5 0
3α
2
 1 π
5
 5 2π 
Logo, α
1
 5 ] π
15
 e α
2
 5 
2π
3
 ] 
π
15
, e a amplitude do intervalo 
de variação de α é:
|α
1
 ] α
2
| 5 ] π
15
 ] 
2π
3
 ] 
π
15
 5 
2π
3
Portanto, o período de f(α) 5 2 · sen 3α 1 π
5
 é 
2π
3
.
Oriente os alunos a 
lerem em duplas os ER e 
analisarem as resoluções 
apresentadas.
Book_MAT2_CAD5.indb 27 07/12/16 19:47
28 Trigonometria
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS
Esta extensa lista de exercícios traz como problemas centrais os de números 1, 2, 3, 5, 6, 11 e 14. Os outros podem ser propostos como 
tarefa complementar, para que os alunos trabalhem individualmente os procedimentos algébricos envolvidos nos cálculos com razões 
trigonométricas e números irracionais.
Leia os exercícios desta seção e identifique quais deles se 
assemelham aos ER. Isso o ajudará em caso de dúvidas.
1 Calcule.
a) sen 390° b) sen 4 100° c) sen (]820°)
2 Descubra o ângulo α do 4o quadrante cujo:
a) sen α 5 ] 1
2
. b) sen α 5 1 
3
2
.
3 Calcule o valor de cada expressão.
a) sen 0° · sen 135° 1 sen 30° · sen 360°
b) sen 
π
3
 · sen 
3π
2
 ] sen 
4π
3
 · sen 
2π
3
c) 3 (sen 120° ] sen 240°)
sen 330° ] sen 180°
d) 
2 · sen 
π
4
 ] sen 
5π
6
sen π 1 sen 7π
6
4 Admitindo satisfeitas as condições de existência, simplifique 
cada fração.
a) 
(a ] b)2 · sen 90° ] (a 1 b)2 · sen 270° 
a2 · sen 225° 1 b2 · sen 315°
 
b) 
1 ] sen 
5π
6
 ] sen 
7π
4
1 1 sen 
11π
6
 ] sen 
5π
4
5 Calcule o valor de:
a) sen x · sen π
2
 1 sen 2x ] sen 3x, para x 5 π
2
.
b) 
sen 2x 1 sen 4x
sen x 1 sen 3x
, para x 5 π
6
.
6 Determine o sinal de y.
a) y 5 sen 100° 1 sen 170°
b) y 5 sen 
7π
5
 · sen 
19π
12
 
c) y 5 
sen 220° 1 sen 350°
sen 140°
 
d) y 5 
sen 
7π
10
 · sen 
2π
5
sen 
9π
8
 1 sen 
8π
5
7 Calcule sen α para α igual a ] π
6
, ] π
4
, ] π
3
,
] π
2
, ] 
2π
3
, ] 
3π
4
, ] 
5π
6
, ]π, ] 7π
6
, ] 
5π
4
, 
] 
4π
3
, ] 
3π
2
, ] 
5π
3
, ] 
7π
4
, ] 
11π
6
 e ]2π.
8 Calcule o valor de:
a) y 5 sen x 1 sen 2x 1 sen 3x 1 sen 4x,
 para x 5 ]60°.
b) y 5 4sen x 1 9sen 3x 1 5sen 6x, para x 5 ]30°.
9 Determine o sinal de y.
a) y 5 
sen (]160°) · sen (]260°)
sen (]340°) ] sen (]10°)
b) y 5 
sen ] 
π
5
 · sen 
π
5
sen ] 
7π
8
 · sen 
7π
8
10 Calcule o valor de:
a) sen 399π.
b) sen 
247π
6
.
c) sen ] 
53π
4
 .
11 Calcule y em função de sen α.
a) y 5 sen (α ] 2π) 1 sen (α 1 2π) 1
 1 sen (α 1 4π) 1 sen (α ] 4π)
b) y 5 sen (]α ] 2π) ] sen (]α ] 4π) 1
 1 sen (]α 1 2π) 1 sen (]α 1 4π)
12 Indique o máximo e o mínimo valor que pode ter cada uma 
das expressões.
a) 5 · sen β
b) sen β 1 3
c) 
1
2 1 sen β
13 Determine o conjunto imagem de cada função.
a) f(α) 5 ]2 1 3 sen α
b) f(α) 5 1 ] 2 sen α
14 Determine m para que cada 
equação seja possível.
a) sen x 5 2m ] 1 
b) sen x 5 ]3m 1 5
Em caso de dúvida, 
reveja o ER3.
As respostas se encontram no final do caderno
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29Trigonometria
 FUNÇÃO COSSENO
Na figura, α é a medida do ângulo agudo AÔP e o nOP
1
P é retângulo. A partir da definição 
de cosseno para ângulos agudos em um triângulo retângulo, podemos escrever:
cos α 5 
OP
1
OP
Sendo OP 5 1 e OP
 1
 a abscissa de P, temos cos α 5 
OP
1
1
 5 OP
1
. 
Portanto:
cos α 5 abscissa de P
Podemos, então, ampliar o conceito de cosseno para qualquer número real α, usando a 
abscissa do ponto P, imagem de α no círculo trigonométrico.
Função cosseno (cos) é a função, de R em R, que a todo número α associa a abscissa do ponto P, imagem de α no círculo 
trigonométrico.
cos: R → R 
 α → cos α 5 OP1
Dizemos, também, que OP1 é o cosseno de AÔP ou de AP e indicamos:
cos AÔP 5 cos AP 5 OP1
O eixo Ox passa a ser denominado eixo dos cossenos.
B(0, 1)
α
α
P
C(–1, 0)
O A(1, 0)
D(0, –1)
P
1
Casos particulares
Na figura do quadro anterior, observamos que, quando α assume os valores zero, π
2
, π ou 
3π
2
, o ponto P coincide, respectivamente, com A(1, 0), B(0, 1), C(]1, 0) e D(0, ]1). Então, temos:
cos 0 5 cos 0° 5 1 cos π 5 cos 180° 5 ]1
cos π
2
 5 cos 90° 5 0 cos 3π
2
 5 cos 270° 5 0
Sinal da função cosseno
Vamos analisar o sinal de cos α quando P, imagem de α no círculo trigonométrico, 
pertence a cada um dos quadrantes. Em cada figura a seguir, P
1
 é a projeção ortogonal de 
P sobre o eixo dos cossenos.
P no 1o quadrante P no 2o quadrante
O
B
D
C
α
P
P
1
A O
C
D
B
P
α
P
1
A
P1 à direita de O ⇒ cos α . 0 P1 à esquerda de O ⇒ cos α , 0
Para estudar a função cosseno, organize os alunos em grupos e peça que leiam e comentem o texto, com 
sua supervisão. Depois, organize uma conversa para sistematizar a aprendizagem e tirar dúvidas.
O
B(0, 1)
α
α
P
C(–1, 0)
1
A(1, 0)
D(0, –1)
P
1
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30 Trigonometria
P no 3o quadrante P no 4o quadrante
P
1
O
B
D
C
α
P
A
B
C
P
O
A
D α
P
1
P1 à esquerda de O ⇒ cos α , 0 P1 à direita de O ⇒ cos α . 0
Alguns valores notáveis
Do mesmo modo que os senos, oscossenos dos seguintes 
ângulos também são bastante utilizados em problemas de 
funções trigonométricas: 30° 1 π6 2, 45° 1 π4 2, 60° 1 π3 2 e 
seus múltiplos.
Usando os valores dos cossenos de π
6
 (30°), π
4
 (45°) 
e π
3
 (60°), a simetria em relação aos eixos coordenados 
e o desenho ao lado, busque os valores do cosseno para 
os ângulos indicados. Escreva no caderno os valores 
encontrados.
Verifique se encontrou os valores que estão na tabela 
a seguir.
α 0 π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π 7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
cos α 1 3
2
2
2
1
2
0 ] 
1
2
] 
2
2
] 
3
2
]1 ] 3
2
] 
2
2
] 
1
2
0 1
2
2
2
3
2
1
Cosseno do oposto de um número
Qualquer que seja o número real α, as imagens P e P' no círculo trigonométrico, respec-
tivamente de α e de ]α, são simétricas em relação ao eixo das abscissas; logo:
cos (]α) 5 cos α, para todo α [ R
Por esse fato, dizemos que a função cosseno é função par e, quando α 
é um número negativo, seu cosseno pode ser calculado a partir do cosseno 
de ]α, que será um número positivo.
Exemplos:
a) cos 1] π6 2 5 cos π6 ⇒ cos 1] π6 2 5 32
b) cos (]120°) 5 cos 120° ⇒ cos (]120°) 5 ] 1
2
2π
3
3π
4
5π
6
7π
6
5π
4
4π
3 3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
π
6
π
4
π
3
π
2
1
2
1
2
2
π 0 = 2π cosseno
3
2
3
2
2
2
2
OC
D
B
P
α
P'
cos α
cos (–α)
–α
A
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31Trigonometria
Cossenos de arcos côngruos e periodicidade da função cosseno
Qualquer que seja o número real α, os arcos de medidas α e α 1 k · 2π, k [ Z, têm a 
mesma origem A e a mesma extremidade P; logo:
cos α 5 cos (α 1 k · 2π), k [ Z
Exemplos:
a) cos 8π 5 cos 6π 5 cos 4π 5 cos 2π 5 cos 0 5 1
b) A determinação principal do arco de medida 26π
3
 rad mede 2π
3
 rad; logo:
 cos 26π
3
 5 cos 2π
3
 ⇒ cos 26π
3
 5 ] 1
2
.
Observe que há repetição dos valores de cos α de 2π em 2π, de 4π em 4π, de 6π em 6π etc.
cos α 5 cos (α 1 2π) 5 cos (α 1 4π) 5
5 cos (α 1 6π) 5 ... 5 cos (α 1 k · 2π), k [ Z
Cosseno é uma função periódica de período 2π.
Domínio e imagem da função cosseno
O domínio da função cosseno é R e a imagem dessa função está contida em []1, 1]. 
O domínio é R porque sempre podemos tomar a abscissa de um ponto que represente 
qualquer α [ R, e a imagem está contida no intervalo indicado porque no círculo trigono-
métrico as abscissas variam de ]1 a 1; daí ]1 < cos α < 1, para todo α [ R.
B(0, 1)
A(1, 0)
D(0, –1)
C(–1, 0)
cos α
α, α + 2π,
O
α + 4π, ...
O
B
A
D
C
α + k · 2π, k ∈ ℤ
P
P
1
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS
15 Calcule o valor de:
a) cos 3 990°
b) cos 
35π
3
 
c) cos (]3 465°)
d) cos ] 
40π
3
16 Calcule o valor.
a) cos 
π
6
 · cos 
5π
3
 1 cos 
4π
3
 · cos 
5π
6
b) cos 60° ] 3 · cos 210°
3 · cos 330° ] cos 120°
 
17 Admitindo satisfeitas as condições de existência, simplifi-
que.
a) 
a2 · cos 180° 1 b2 · cos 0°
]a · cos 45° 1 b · cos 225°
 
b) 
(a 1 b) · cos 
3π
4
 1 b · cos 
3π
2
a · cos 
π
4
 1 b · cos 7π
4 
18 (PUC-RJ) O valor de cos 45° 1 sen 30°
cos 60°
 é:
a) 2 1 1 b) 2 
c) 2
4
 d) 
2 1 1
2
 
e) 0
19 Calcule o valor de:
a) y 5 cos x 1 cos 3x 1 cos 4x,
 para x 5 ]60°.
b) y 5 (cos 6x 1 5 · cos 12x)cos 4x,
 para x 5 ] π
6
.
20 Determine o sinal de:
a) y 5 cos (]220°) · cos (]140°) 1 cos (]70°) · cos (]350°).
 
b) y 5 
cos ] 
π
8
 1 cos ] 
9π
5
cos ] 
6π
5
 · cos ] 
7π
8
.
 
21 Expresse y em função de cos α.
a) y 5 cos (α 1 2π) 1 cos (α ] 2π) 1
 1 cos (α 1 4π) ] cos (α ] 4π)
b) y 5 cos (]α ] 2π) 1 cos (]α 1 2π) 1
 1 cos (]α ] 4π) 1 cos (]α 1 4π)
Analise com os alunos 
os principais erros que 
podem ter cometido 
na resolução dos 
exercícios 1 a 21. Depois, 
organize com eles uma 
lista de cuidados que 
devem ter para não 
cometer esses erros em 
outras atividades. 
As respostas se encontram no final do caderno
Book_MAT2_CAD5.indb 31 07/12/16 19:47
32 Trigonometria
Observe os problemas a seguir, que en-
volvem o cálculo de distâncias inacessíveis.
a) Um navio é avistado, da beira da praia, 
de dois pontos distantes um do outro 30 
metros (ilustração abaixo). Os ângulos 
de observação são 88° e 89°. A que dis-
tância de cada ponto de observação se 
encontra o navio?
b) Um barco navegou 200 km partindo de um ponto O em direção ao 
nordeste, de modo que sua trajetória formou um ângulo de 27º com 
a direção norte, conforme representado no gráfico acima. Depois, ele 
percorreu 100 km na direção leste. Em linha reta, quanto o barco tem de 
se deslocar para regressar ao ponto O?
Nos dois problemas, é preciso calcular distâncias em triângulos que não 
são retângulos, dos quais são conhecidas algumas medidas de lados e 
ângulos. Além disso, em problemas que envolvem medições em situa-
ções reais, as medidas dos ângulos dificilmente coincidem com ângulos 
notáveis.
Duas relações importantes resolvem problemas como esses. Elas são 
conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos.
Lei dos senos
Em todo triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos 
ângulos opostos e a razão medida do ladoseno do ângulo oposto é constante e igual a 2r, em 
que r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo considerado.
a
sen Â
 5 b
sen B
 5 c
sen C
 5 2r
 
A
B
b
r
c
a C
Lei dos cossenos
Em todo triângulo ABC, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das 
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam, ou seja:
a2 5 b2 1 c2 ] 2bc · cos Â
b2 5 a2 1 c2 ] 2ac · cos B
c2 5 a2 1 b2 ] 2ab · cos C
A
B
bc
a C
N A
27°
100 km
20
0
 k
m
B
0
S
O L
Z
ap
t
A
B
Ĉ
C
30 m 
(Ilustração fora da escala e em cores–fantasia.)
88°
89°
(Ilustração fora de escala 
e em cores-fantasia.)
T
P
G
 D
es
ig
n
 PARA SABER MAIS
Book_MAT2_CAD5.indb 32 07/12/16 19:47
M
AT
EM
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33Trigonometria
A prova desses resultados pode ser encontrada no volume 1 desta coleção e se baseia 
nas definições de seno e cosseno de ângulos em triângulos retângulos.
Vamos aplicar esses resultados para resolver os dois problemas propostos.
 No primeiro problema, no triângulo ABC é conhecida a medida de um lado, AB 5 30 
m, e de dois ângulos, Â 5 88º e B 5 89º, e são questionadas as medidas dos lados 
AC e BC. Nesse caso, a lei dos senos resolve o problema. Observe.
 Como 88º 1 89º 1 C 5 180º, temos C 5 3º.
 Aplicando a lei dos senos, temos:
 BC
sen 88°
 5 AC
sen 89°
 5 AB
sen 3°
 .
 
 Para obter os valores dos senos desses ângulos, que não são notáveis, temos 
duas alternativas: usar uma calculadora científica, como mostramos no final do 
capítulo 1, ou consultar a tabela trigonométrica que se encontra ao final do livro, 
na página 77.
 Consultando a tabela trigonométrica: BC
0,9994
 5 AC
0,9998
 5 30
0,0523
 .
 A partir daí, temos: BC 5 30 · 0,9994
0,0523
 > 573 m.
 AC 5 30 · 0,9998
0,0523
 > 573 m.
 Para resolver o segundo problema, são conhecidas as medidas de dois lados do 
triângulo OAB e é pedida a medida do terceiro lado. Se encontrarmos a medida de 
um dos ângulos internos do triângulo OAB, podemos aplicar a lei dos cossenos.
 O nOAP é retângulo, o que significa que 27º 1 α 1 90º 5 180º; daí α 5 63º. Assim, 
a medida do ângulo OÂB pode ser obtida como m(OÂB) 5 180º ] α 5 117º.
 Pela lei dos cossenos:
 OB2 5 OA2 1 AB2 ] 2 · AO · AB · cos Â
 x2 5 2002 1 1002 ] 2 · 200 · 100 · cos 117º
 Consultando a tabela trigonométrica: 
 cos 117º 5 ]cos (180º ] 117º) 5 ]cos 63º
 cos 117º 5 ]0,45399
 Finalmente:
 x2 > 50 000 ] 40 000 · (]0,45399)
 x2 > 68 159,6
 x > 261 km
 
 Observe que, nesse problema, a medida de  é maior que 90º; por isso, seu cosseno 
é negativo. Devido a situações como essas, foi importante entender os conceitos 
de seno e cosseno para o círculo trigonométrico, de modo a poder calcular esses 
valores para ângulos de qualquer medida.
 Vamos retomar esses resultados na resolução dos problemasa seguir.
Book_MAT2_CAD5.indb 33 07/12/16 19:47
34 Trigonometria
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS
As respostas se encontram no final do caderno
22 Em cada triângulo, calcule a medida x.
a) 
100
105° 45°
x
 
b) 
135°
30°
x
3 – 1
 
c) 
45°
x 4
23
d) 
30°
30°
x
34
23 Consulte a tabela trigonométrica e calcule o valor aproxima-
do de x e de y.
a) b) 
24 (Ifal) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e 
os lados que formam cada um desses ângulos medem 3 3 
cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse 
paralelogramo. 
a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm
25 (UFPR) Num projeto hidráu-
lico, um cano com diâmetro 
externo de 6 cm será encai-
xado no vão triangular de 
uma superfície, como ilustra 
a figura ao lado. Que porção 
x da altura do cano perma-
necerá acima da superfície?
a) 1
2
 cm
b) 1 cm
c) 3
2
 cm
d) π
2
e) 2 cm
26 Em um triângulo ABC, temos: AB 5 2, BC 5 3 e AC 5 4. 
Use a tabela trigonométrica e determine aproximadamente 
a medida do ângulo Â.
27 Com os dados da figura, calcule sen α.
28 De um posto de observação 
em um ponto A, um guarda-
-florestal avista um foco de in-
cêndio na posição P. Dessa 
posição ele se comunica com 
outro ponto de observação a 2 
km dali na posição B. Qual é a 
distância de A ao incêndio em 
P, sabendo que o ângulo BÂP 
mede 120º e o ângulo ABP 
mede 45º?
29 Qual das afirmações a seguir é verdadeira para os dados da 
figura?
a) a 5 2b
b) a 5 2b sen α
c) a 5 2b cos α
1d) a 5 b cos α
e) a 5 2 cos α
30 Um observador marca dois pontos A e B distantes 
500 m um do outro e de cada um deles observa duas torres 
situadas nos pontos P e Q, inacessíveis por terra. Com o au-
xílio de instrumentos, ele consegue as medidas dos seguin-
tes ângulos:
PÂQ 5 30º; QÂB 5 50º; ABP 5 65º; PBQ 5 35º.
Qual é a distância entre P e Q?
20°
x
5
y
5
55
42°
68°
x
9
y
x
8 cm
6 cm
60°
O α
2
2
3
120°
45°
2 kmA
P(incêndio)
B
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
a b
c
α 2α
Este problema envolve construção de argumentação.
ANOTAÇÕES
O problema 30 é bem mais complexo e utiliza em sua resolução as 
leis dos senos e dos cossenos. Por isso é importante que os alunos 
tenham tempo para resolvê-lo, pensando na estratégia de resolução 
com cuidado, para evitar cálculos desnecessários.
É possível encontrar mais de uma maneira para solucionar esse 
problema; sendo assim, incentive os alunos a apresentarem as 
diferentes formas que encontraram.
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35Trigonometria
INVENTE VOCÊ
Vamos ver o que você aprendeu sobre lei dos senos e lei dos cossenos.
 Invente um problema para cada um dos seguintes desenhos. Lembre-se de que você deve saber resolvê-los.
 a) b)
 Depois, troque seus problemas com um colega para que um resolva os do outro. Em seguida, corrija a reso-
lução dada pelo colega para os problemas que você criou.
 Como foi essa experiência de produzir textos de problemas?
A
60°
135°
5 km
B
C
A
B
80
0 m
700
 m
C
5°
Os alunos têm aqui a oportunidade de 
avaliar a própria aprendizagem, ao mesmo 
tempo que se percebem como produtores 
da linguagem matemática.
Muito provavelmente, os textos 
iniciais podem conter imprecisões que 
dificultarão a compreensão para quem irá solucionar o 
problema. Incentive o debate para aperfeiçoamento dos 
textos iniciais e interfira apenas quando os alunos não 
conseguirem entrar em acordo. Alguns desses problemas 
produzidos pelos alunos podem ser usados por você como 
tarefa de casa para todos da classe. Para conhecer melhor 
esta seção, leia o Manual do professor.
 RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
Sabemos que em um triângulo retângulo é válida a relação:
sen2 α 1 cos2 α 5 1,
onde α é a medida de um dos ângulos agudos.
Essa relação é denominada relação fundamental da Trigo nometria.
Vamos ampliá-la para qualquer número real α.
Qualquer que seja o número real α Þ kπ
2
, k [ Z, existe o triângulo OPP
1
, em que P é a 
imagem de α no círculo trigonométrico e P
1
 é a projeção ortogonal de P sobre o eixo das 
abscissas.
No nOPP
1
, pelo Teorema de Pitágoras temos:
|P
1
P|2 1 |OP
1
|2 5 |OP|2
Mas P
1
P 5 OP
2
 5 sen α, OP
1
 5 cos α e OP 5 1, então:
sen2 α 1 cos2 α 5 1
Vamos agora analisar o que ocorre quando α 5 kπ
2
, k [ Z.
Quando k assume valores pares:
 P coincide com A; então, sen α 5 0, cos α 5 1; ou
 P coincide com C; então, sen α 5 0, cos α 5 ]1.
Quando k assume valores ímpares:
 P coincide com B; então, sen α 5 1, cos α 5 0; ou
 P coincide com D; então, sen α 5 ]1, cos α 5 0.
Em cada um desses casos, a substituição de sen α e cos α pelos respectivos valores em 
sen2 α 1 cos2 α 5 1 nos mostra a validade da relação. Portanto:
sen2 α 1 cos2 α 5 1, para todo α [ R
B(0, 1)
A(1, 0)
D(0, –1)
C(–1, 0)
α
P
2
P
1
O
P Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
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36 Trigonometria
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Utilize esta sequência de exercícios resolvidos do seguinte 
modo: estude o ER5 e depois resolva os problemas 31 e 32; 
estude o ER6 e então resolva o problema 34; estude o ER8 e 
faça os exercícios 36 e 38.
5 Sendo sen α 5 ] 3
5
, π , α , 3π
2
, calcule cos α.
RESOLUÇÃO
Substituindo sen α por ] 3
5
 em sen2 α 1 cos2 α 5 1, temos:
1] 35 2
2
 1 cos2 α 5 1 ⇒ cos2 α 5 16
25
 ⇒ cos α 5 4
5
 ou 
cos α 5 ] 4
5
.
Mas π , α , 3π
2
 ⇒ cos α , 0.
Portanto, cos α 5 ] 4
5
.
6 Prove que sen4 α ] cos4 α 5 2 sen2 α ] 1, para todo α [ R.
RESOLUÇÃO
sen4 α ] cos4 α 5 
1
(sen2 α 1 cos2 α) (sen2 α ] 
1 ] sen2 α
cos2 α) 5
5 sen2 α ] (1 ] sen2 α) 5 2 sen2 α ] 1
7 Sendo sen α 1 cos α 5 15 , determine:
a) sen α e cos α.
b) o quadrante ao qual pertence a extremidade do arco de 
medida α.
RESOLUÇÃO
a) Formamos um sistema com a equação dada e a relação 
fundamental da Trigonometria.
 
sen α 1 cos α 5 1
5
 1
sen2 α 1 cos2 α 5 1 2 
 De 1 obtemos sen α 5 1
5
 ] cos α.
Substituindo em 2 , temos:
 1 15 ] cos α2
2
 1 cos2 α 5 1 ⇒
 ⇒ 1
25
 ] 
2
5
 cos α 1 cos2 α 1 cos2 α 5 1 ⇒
 ⇒ 25 cos2 α ] 5 cos α ] 12 5 0 ⇒ 
 ⇒ cos α 5 4
5
 ou cos α 5 ] 3
5
. 
 cos α 5 4
5
 em 1 resulta em sen α 5 ] 3
5
.
 cos α 5 ] 3
5
 em 1 resulta em sen α 5 4
5
.
b) 
cos α 5 4
5
sen α 5 ] 3
5
 ⇒ A extremidade do arco de medida 
α está no 4o quadrante.
 
 
cos α 5 ] 3
5
sen α 5 4
5
 ⇒ 
A extremidade do arco de medida 
α está no 2o quadrante.
 Portanto, 2o ou 4o quadrante.
8 Determine k para que se tenha simultaneamente 
 sen α 5 k ] 2
k
 e cos α 5 2
k
.
RESOLUÇÃO
Condição de existência para k ] 2
k
 e 2
k
:
k ] 2 > 0
k Þ 0
 ⇒ k > 2
 
Substituindo sen α por k ] 2
k
 e cos α por 2
k
 em 
sen2 α 1 cos2 α 5 1, temos:
1 k ] 2k 2
2
 1 1 2k 2
2
 5 1 ⇒ 
k ] 2
k2 1 
4
k2
 5 1 ⇒
⇒ k2 ] k ] 2 5 0 ⇒
⇒ 
k 5 2 (satisfaz a condição k > 2)
k 5 ]1 (não satisfaz a condição k > 2)
Portanto, k 5 2.
ANOTAÇÕES
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37Trigonometria
PROBLEMAS E EXERCÍCIOSAs respostas se encontram no final do caderno
31 Calcule:
a) cos α, sabendo que sen α 5 5
13
,
 
π
2
 , α , π.
b) sen α, sabendo que cos α 5 ] 8
17
,
 π , α , 3π
2
.
c) cos α, dado sen α 5 ] 4
5
, 
 
3π
2
 , α , 2π.
d) sen α, dado cos α 5 5
3
, 
 0 , α , π
2
.
32 Calcule:
a) cos α, sabendo que sen α 5 ] 2 6
7
.
b) sen α, sabendo que cos α 5 4 2
9
.
33 Simplifique.
a) 
(sen α 1 cos α)2 ] 4 sen α · cos α
(sen α ] cos α)2 
 
b) 
a · sen2 α 1 a · cos2 α ] b · sen2 α ] b · cos2 α
2a ] 2b
 
34 Prove que:
a) cos4 α ] sen4 α 5 2 cos2 α ] 1.
b) 
2 1 cos α ] 2 sen2 α
1 ] sen2 α ] 
1
cos α
 5 2.
35 Resolva as equações em x.
a) x2 ] 2x 1 sen2 α 5 0
b) x2 ] (sen α 1 cos α)x 1 sen α · cos α 5 0
c) sen α · x2 ] 2(sen α ] cos α)x ] 4 cos α 5 0, 
 α Þ kπ, k [ Z
d) x2 ] 2 (cos α) · x ] 1 ] sen2 α 5 0
36 Determine k para que se tenha simulta neamente
 sen α 5 
]2k 1 2
k
 e cos α 5 1
k
.
37 Calcule os valores de sen α e cos α que sa tisfazem a condi-
ção 2 sen α 1 cos α 5 ]2.
38 Para que valores