Material Complementar - Potenciação

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 1 – MATERIAL COMPLEMENTAR - POTENCIAÇÃO 
1 
1 POTENCIAÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
Revisam-se, neste material complementar, alguns conceitos matemáticos que são objeto 
de ensino nos anos finais do Ensino Fundamental, entre eles o conceito de potenciação e suas 
propriedades. 
 
1.1POTENCIAÇÃO 
 
Na Matemática existem diferentes formas de representar uma mesma situação. Por 
exemplo, uma adição de parcelas iguais pode ser representada por uma multiplicação. 
3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3 
(-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 6 x (-1) 
 Quando se trata de multiplicação de fatores iguais, pode-se representar a operação por 
uma potenciação. Observe: 
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2
5
 
3 . 3 = 3
2 
(-5) . (-5) . (-5) . (-5) = (-5)
4
 
a . a . a . a . a . a = a
6
 
a . a . a . a . … . a = an 
Portanto, sendo 𝐚 um número real (a ∈ ℝ) e 𝐧 um número inteiro (n ∈ ℕ), para 𝐚𝐧 
tem-se o produto do fator 𝐚 multiplicado por ele mesmo 𝐧 vezes, ou seja: 
 a . a . a . a . … . a = an 
Nomeia-se a como sendo a base, n o expoente, a
n
 a potência e a operação de 
potenciação. 
 
Exemplos: 
a) 2³ = 2 . 2 . 2 = 8 
b) (-3)² = (-3) . (-3) = 9 (Cuidado com o sinal do número. Ele também está elevado ao 
quadrado, porque está entre parênteses). 
c) – 3² = - (3) . (3) = - 9 (Cuidado com o sinal do número. Ele não deve ser elevado ao 
quadrado, porque não está entre parênteses). 
d) (-3)³ = (-3) . (-3) . (-3) = -27 
e) (0,25)² = (0,25) . (0,25) = 0,0625 
 
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f) (
3
5
)
3
= 
3
5
.
3
5
.
3
5 
= 
27
125
 
 
Observações: 
a) a0 = 1 para ∀ a ∈ ℝ e a ≠ 0 (Lê-se: a elevado ao expoente zero é igual a 1 para qualquer 
que seja a pertencente ao conjunto dos números Reais e a diferente de zero). 
 
Exemplos: 
1) 3
0
 = 1 2) (−5)0 = 1 3) (√3)
0
 = 1 4) (−
4
9
)
0
=1 
 
b) a1 = a para ∀a ϵ ℝ (Lê-se: a elevado ao expoente um é igual a a para qualquer que seja a 
pertencente ao conjunto dos números Reais). Por definição considera-se a¹ = a, pois não há 
um produto
1
 com único fator. 
 
Exemplos: 
1) 3
1
 = 3 2) (−5)1 = −5 3) (√3)
1
 = √3 4) (−
4
9
)
1
= −
4
9
 
 
1.2 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
Trabalhar com operações que envolvem a potenciação se torna mais fácil quando se 
conhece algumas regras e propriedades. Este é o objetivo deste subcapítulo. 
 
a) Propriedade 1 
Analisando a multiplicação entre potências de mesma base: 
1) 3
4
 . 3² = (Lembre-se que 3
4
 = 3 . 3 . 3 . 3) 
(3 . 3 . 3 . 3) . (3 . 3) = 3
6
 
 
2) (−𝟒)𝟑. (−𝟒) = 
(−𝟒) . (−𝟒) . (−𝟒)] . (−𝟒) = (−4)4 
Portanto, na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e adicionam-
se os expoentes. De forma generalizada pode-se escrever: 𝐚𝐦. 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦+𝐧 
 
 
1
 Produto é o resultado de uma multiplicação. 
 
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Importante: 
Pode-se entender a noção de potência a
-n
 para n inteiro (positivo ou negativo), 
mantendo a propriedade 1, ou seja: 
1 = a
0
 = a
-n + n
 = a
-n
 + a
n
 
Portanto, a potência a
-n
 = 
1
an
 
Outra forma de entender: 
2
5
 = 32 
2
4
 = 16 
2
3
 = 8 
2² = 4 
2¹ = 2 
2
0
 = 1 (Observe em todos os resultados a divisão por dois). 
2
-1
 = 0,5 = 
1
21
 
2
-2
 = 0,25 = 
1
4
=
1
22
 
2
-3
 = 0,125 = 
1
8
=
1
23
 
Logo: 𝐚−𝐧 =
𝟏
𝐚𝐧
 para ∀a ϵ ℝ ∧ a ≠ 0 
 
b) Propriedade 2 
Analisando a divisão entre potências de mesma base: 
5
7
 : 5
3
 = 
𝟓𝟕
𝟓𝟑
 
5
7
 : 5
3
 = 
𝟓 . 𝟓 . 𝟓 . 𝟓 . 𝟓 . 𝟓 . 𝟓
𝟓 . 𝟓 . 𝟓
 (Simplificando). 
5
7
 : 5
3
 = 5 . 5. 5. 5 = 5
4
 = 5
7 - 3 
 Portanto, na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes. De forma generalizada pode-se escrever: 𝐚𝐦: 𝐚𝐧 = 𝐚𝐦−𝐧, para a ≠ 0. 
Observe: 
7
2
 : 7
5
 = 
7 . 7
7 . 7 . 7 . 7 . 7
= 
1
7 . 7 . 7
=
1
73
= 7−3 
 
c) Propriedade 3 
Analisando potência de potência: 
 
 
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(23)4 = 2³ . 2³ . 2³ . 2³ = 23 + 3 + 3 + 3 = 212 = 24 . 3 (Lembre-se que o expoente indica quanto 
vezes a base é multiplicada por ela mesma. Neste exemplo a base é 2
3
 e o expoente é 4). 
Portanto, na potência de potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. De 
forma generalizada pode-se escrever: (𝐚𝐦)𝐧 = 𝐚𝐦 . 𝐧 
 
Cuidado: 
(23)5 = 2³ . 2³ . 2³ . 2³ . 2³ = 23+3+3+3+3 = 25.3 = 215 = 32.768 
23
5
= 23.3.3.3.3 = 2243 = 1,41 x 1073 
Portanto, (23)5 ≠ 23
5
. Logo, (𝐚𝐦)𝐧 ≠ 𝐚𝐦
𝐧
 
 
d) Propriedade 4 
Analisando potência de um produto de dois ou mais fatores: 
 
(2 . 3)4 = (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) 
(2 . 3)4 = (2 . 2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3 . 3) 
(2 . 3)4 = 24 . 34 
Portanto, a potência de um produto de dois ou mais fatores pode ser calculada elevando-
se cada termo do produto ao mesmo expoente. De forma generalizada pode-se escrever: 
(𝐚 . 𝐛)𝐧 = 𝐚𝐧 . 𝐛𝐧 
 
e) Propriedade 5 
Analisando a potência de um quociente de dois números a um expoente natural: 
 
(
5
4
)
3
= 
5
4
 . 
5
4
 .
5
4
 
(
5
4
)
3
= 
53
43
 
Portanto, a potência de um quociente de dois números a um expoente natural pode ser 
calculada elevando-se cada termo do quociente ao mesmo expoente. De forma generalizada 
pode-se escrever: (
𝐚
𝐛
)
𝐧
= 
𝐚𝐧
𝐛𝐧
 para b ≠ 0 
 
Cuidado: 
(
5
2
)
−3
= (
2
5
)
3
 (Lembre-se que a−n =
1
an
). 
 
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1.3 POTÊNCIAS DE BASE 10 
 
As potências de base 10 são muito utilizadas na Física e na Química quando se trabalha 
com grandezas micro ou macroscópicas. 
Observe algumas potências de base 10 
10¹ = 10 
10² = 100 
10³ = 1 000 
10
4
 = 10 000 
10
5
 = 100 000 
Portanto, o expoente da base 10 corresponde ao número de zeros da potência resultante, 
quando o expoente é um número Natural. 
Quando o expoente é um número Inteiro negativo procede-se da seguinte forma: 
10−1 =
1
10
= 0,1 
10−2 =
1
100
= 0,01 
10−3 =
1
1 000
= 0,001 
10−4 =
1
10 000
= 0,0001 
10−5 = 
1
100 000
= 0,00001 
Portanto, o número que está no expoente, sem o sinal, indica o número de casas 
decimais
2
 da potência resultante. 
 
2 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
Um número está escrito na notação científica quando aparecer como a multiplicação de 
dois números Reais, em que: 
a) um dos fatores é um número a pertencente ao intervalo [1, 10[; 
b) o outro fator é uma potência de base dez: a . 10
n
, 1 ≤ a < 10. 
 
Exemplos: 
7,28 . 10
12
 = 7,28 . 1 000 000 000 000 = 7 280 000 000 000 
3,002 . 10
-5
 = 3,002 . 0,00001 = 0,000030022
 Número de casas decimais corresponde ao “número” de números depois da vírgula. 
 
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6 
ATIVIDADE 
 
Construa um formulário com as propriedades da potenciação. Elas serão necessárias 
para resolver vários exercícios propostos nas diferentes fases da Rota Acadêmica. 
 
___________________________________________________________________________ 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
LONGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. Volume único. Curitiba: 
Base, 2003.