AULA 03: POTENCIALIZAÇÃO E RADICIAÇÃO

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 3: Potenciação e Radiciação
Apresentação
Nesta aula, serão apresentadas situações que podem despertar a possibilidade de utilizar a potenciação ou a exponenciação
como formas de abreviar a multiplicação de uma sequência de fatores iguais nos alunos. Quando se multiplica um número
sucessivas vezes, é possível eleva-lo à quantidade de vezes que o número é multiplicado.
Será abordada também a radiciação, que é a forma de conhecermos a raiz de um determinado número. Sendo um tipo de
representação de expoentes fracionários. Para entender radiciação, é necessário entender também potenciação.
Objetivos
De�nir as propriedades de potenciação;
Solucionar problemas com potenciação e radiciação;
Resolver expressões numéricas com potenciação e radiciação.
De�nição de potenciação
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. O produto 3x3x3x3 pode ser indicado na forma 3 . O símbolo a , sendo a
um número inteiro e n um número natural maior que 1, indica o produto de n fatores iguais a:
4 n
O resultado corresponde à potência.
Base real e expoente inteiro
Quando o expoente é inteiro, signi�ca que ele pode possuir número negativo ou positivo.
Veja os tipos possíveis de expoente inteiro:
Clique nos botões para ver as informações.
Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obtemos a potência efetuando o produto dos fatores.
Acompanhe alguns exemplos:
Expoente positivo 
= 2 × 2 = 42+2
0, = 0, 3  ×  0, 3  ×  0, 3  =  0, 0273+3
( = × =1 2/ )
+2 1 2/ 1 2/ 1 4/
Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, isto é, trocar numerador com denominador, para o expoente
passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:
Expoente negativo 
= = × =2−2 1
2+2
1
2
1
2
1
4
0, = =3−3 ( )3
10
−3 1000
27
= = 2 ⋅ 2 = 4( )1 2/
−2 ( )2 1/
+2
Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:
a = a
2 = 2
4 = 4
100 = 100
Expoente igual a 1 
1
1
1
1
Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:
a = 1
1000 = 1
25 = 1
Expoente igual a 0 
0
0
0
Atividade
1. Em 7 = 49, responda:
Qual é a base?
Qual é o expoente?
Qual é a potência?
2
2. Escreva na forma de potência:
a) 4x4x4=
b) 5x5=
c) 9x9x9x9x9=
d) 7x7x7x7=
e) 2x2x2x2x2x2x2=
f) cxcxcxcxc=
Propriedades da potenciação
As propriedades da potenciação são utilizadas para simpli�car os cálculos. Há, no total, cinco propriedades (RATTAN, K.;
KLINGBEIL, N. 2017).
1. Produto de potências de mesma
base
Conserva a base e soma os expoentes.
a . a = a
2 . 2 = 2 + 3 = 2
4 . 4 = 4 + 2 = 4
n m n + m
2 3 2 5
5 2 5 7
2. Divisão de potências de mesma
base
Conserva a base e subtrai os expoentes.
÷ = =a
n
a
m a
n
a
m
a
n−m
÷ = = =5
6
5
2 5
6
5
2
5
6−2
5
4
3. Potência de potência
Devemos multiplicar os expoentes.
(a ) = an m n . m
4. Potência de um produto.
O expoente geral é expoente dos fatores.
(a x b) = ( a x b )n n n
5. Multiplicação de potências com o
mesmo expoente.
Conserva o expoente e multiplica as bases.
a x b = (a x b)
4 x 6 = (4 x 6)
7 x. 4 = (7 x 4)
n n n
2 2 2
3 3 3
Atenção
Fique atento aos sinais.
Número negativo elevado a expoente par �ca positivo.
Exemplo: (−2) = −2 x−2 x−2 x−2=16
Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo.
Exemplo: (−2) = −2 x−2 x−2= −8
Se x = 2, qual será o valor de “- x ”?
Observe:
- (2) = -4 pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
- x = - (2) = -4 → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o
número 2 que é o valor de x.
2
3
2
2
2 2
Nomenclaturas
7
Quadrado
O expoente 2 é chamado de quadrado.
Em 7 , lemos sete elevado ao quadrado.
2
2
4
Cubo
O expoente 3 é chamado de cubo.
Em 4 , lemos quatro elevado ao cubo.
3
3
5
Quarta potência
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
Em 5 , lemos cinco elevado à quarta potência.
4
4
2
Quinta potência
O expoente 5 é chamado de quinta potência.
Em 2 , lemos dois elevado à quinta potência.
5
5
Saiba mais
Assista aos vídeos sobre potências de produtos e quocientes <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-
radicals/alg1-exp-prop-review/v/multiplying-and-dividing-powers-with-integer-exponents> e resolva as atividades a seguir.
https://pt.khanacademy.org/math/algebra/rational-exponents-and-radicals/alg1-exp-prop-review/v/multiplying-and-dividing-powers-with-integer-exponents
Atividade
3. Utilize o que foi visto até aqui e resolva os seguintes exercícios:
a) 3 = 
b) 2 = 
c) 30 = 
d) 3 = 
e) (-2) = 
f) (-8) = 
g) = 
h) (-10) = 
i) -2 = 
j) (-1) =
3
3
2
0
4
3
(− )1
2
4
-2
4
43
4. Utilize as propriedades para uni�car as potências:
a) 4 x 4 = 
b) 6 x 6 = 
c) 7 x 7 = 
d) 
e) 8 ÷ 8 = 
f) 6 ÷ 6 = 
g) (7 ) = 
h) (6 ) = 
i) (7 ) =
3 2
3
2 6
=
9
3
9
7 3
6
2 4
3 5
8 0
5. Uma cultura inicial de 100 bactérias reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão celular, cada bactéria dessa
cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual é a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será 51.200 bactérias?
 Fonte: Por ShutterStockStudio / Shutterstock).
Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ela é muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simpli�cação
de expressões aritméticas e algébricas. Ao considerar um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz
enésima de x o número real não negativo y tal que y = x.
O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é , que é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o
índice.
Pela de�nição de radiciação, temos que:
n
x√n
= y → y ≥ 0  e   = xx√n yn
Exemplo
 = 3 (raiz cúbica de 27 igual a 3)
 = 4 pois 4 = 16
(Raiz quadrada de 16 igual a 4), quando não aparece o índice, consideramos esse índice igual a 2.
 = 2, pois 2 = 8
 = 3 pois 3 = 81 (Leia-se: raiz quarta de 81 igual a 3).
27
−−√3
16
−−√ 2
8√3 3
81
−−√4 4
Veja, a seguir, as propriedades da radiciação (RATTAN, K.; KLINGBEIL, N., 2017)
= 00√n = 11√n
= aan−−√n =  xm−−−√n xn⋅p− −−√n⋅p
=   ⋅x ⋅ a− −−−√n x√n a√n =  x
a
√n
x√n
a√n
  =  ( )x√n m xm
−−−√n   =  x√n
−−−√m x√m⋅n
  =  xn−−√m x
n
m
Atividade
6. Calcule e marque a opção correta:8
4
3
a) 12.
b) 16.
c) 32.
d) 8.
e) 64.
7. Indique o valor correspondente a ?÷( )10 2√
2√
(0, 1)5
a) 10 .5
b) 10 .3
c) 10 .4
d) 10 .6
e) 10 .7
Expressões numéricas com potenciação
Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem:
1. Potenciação

2. Multiplicações e divisões

3. Adições e Subtrações
Exemplo
Exemplo A
5 + 3 x 2 =
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23
Exemplo B
7 - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44
2
2
Há expressões em que aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados na seguinte ordem:
( )
Parênteses

[ ]
Colchetes

{ }
Chaves
Exemplo
40 – [5 + ( 2 - 7 )] =
= 40 – [5 + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ] =
= 40 – 26 =
= 14
50 – {15 + [4 : (10 – 2) + 5 x 2]} =
= 50 – {15 + [16 : 8 + 10]} =
= 50 – {15 + [2 + 10]} =
= 50 – {15 + 12} =
= 50 – 27 =
= 23
2 3
2
2
Atividade
8. O valor da expressão é?− +72 64
−−
√ 32
a) 42.
b) 51.
c) 50.
d) 38.
9. Escreva na forma de potência com expoente fracionário :32
−−√5
a) .3
3
5
b) .2
2
5
c) .3
1
5
d) .3
2
5
e) .3
10
5
 Fonte: Por Sashkin / Shutterstock.
Raízes literárias
Escrever o radical na forma de expoente fracionário não resolve o problema, pois 9 não é divisível por 2.
Decomporemos o número 9 da seguinte forma:
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz (RATTAN, K.; KLINGBEIL, N., 2017).
Assim, teremos:
x
9−−√ x 9
2
= = = ⋅ = ⋅ = ⋅x9
−−
√ x8+1
− −−−
√ ⋅x8 x1
− −−−−
√ x8
−−
√ x√ x
8
2 x√ x4 x√
Exemplo
,pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz)=x14
−−−
√3 x12+2
− −−−
√3
= ⋅x12
−−−
√3 x2
= ⋅x12
−−−
√3 x2
−−
√3
= ⋅x
12
3 x
2−−√3
= ⋅x4 x2
−−
√3
Atividade
10. O cálculo do IMC é feito dividindo o peso (em quilogramas) pela altura (em metros) ao quadrado. É simples calcular o seu
IMC. Por exemplo, se o seu peso é 80kg e a sua altura é 1,80m, a fórmula para calcular o IMC �cará:
Mas se você precisasse saber qual deveria ser a altura que uma pessoa com 80 Kg e IMC igual a 23? Como você faria esse
cálculo? Qual é a resposta correta?
IMC = = = 24, 6980
1,82
80
3,24
a) 1,68m.
b) 1,86m.
c) 1,59m.
d) 1,91m.
e) 1,89m.
NotasReferências
RATTAN, K.; KLINGBEIL, N.; Matemática básica para aplicações de engenharia. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2017.
GUIMARÃES, L., et al. Bases matemáticas para Engenharia. Rio de janeiro: SESES, 2015.
ZENKER, I. Radiciação. Universidade de São Paulo. Disponível em: http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=7501
<http://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=7501> . Acesso em: 27 nov. 2018.
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Depois, con�ra suas respostas no gabarito <galeria/aula3/anexo/a3_doc2.pdf> .
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http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula3/anexo/a3_doc2.pdf