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Forças distribuídas:
momento de inércia de superfície
Revisão de Mecânica
ENG 05584: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1. Introdução
2. Momento de segunda ordem
3. Determinação do momento de inércia de uma superfície por integração
4. Momento de inércia polar
5. Teorema dos eixos paralelos
6. Momento de inércia de superfícies compostas 
Conteúdo
Introdução
• A intensidade das forças distribuídas
depende não só do elemento de área dA
sobre as quais essa força atuam, mas
também da distância entre dA e algum eixo
dado.
• A intensidade da força por unidade de área
varia linearmente com a distância até um
eixo.
Momento de segunda ordem ou momento de 
inércia de uma superfície
dAykdAkyR  
momento de 1ª ordem Qx da
seção em relação ao eixo x.
2 2
xM ky dA k y dA  
momento de 2ª ordem (Ix) da
seção em relação ao eixo x.
 ydAQx AyQx  0xQ
porque o centroide
da seção localiza-se
sobre o eixo x.
eixo neutro
Determinação do momento de inércia de uma 
superfície por integração
dAyI x 
2
momento de 2ª ordem (Ix) da
seção em relação ao eixo x.
dAxI y 
2
momento de 2ª ordem (Iy) da
seção em relação ao eixo y.
Momento de inércia de uma superfície retangular
3
0
2
3
1
bhdyybI
h
x  
dA hdx
2
2
x
x
dI y dA
dI y bdy


Faixa estreita paralela ao eixo yFaixa estreita paralela ao eixo x
dybdA 
2
2
y
y
dI x dA
dI x hdx


2 3
0
1
3
b
yI h x dx hb 
Exemplo
1) Determine o momento de inércia de um triângulo em relação à sua base.
Exemplo
2) Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação a 
cada eixo coordenadas.
Momento de inércia polar
dAJo 
2
    dAydAxdAyxdAJo
22222
o y xJ I I 
222 yx 
• O momento de inércia polar é um parâmetro importante em
problemas que tratam da torção de eixos cilíndricos e da
rotação de placas.
Exemplo
3) (a) Determine o momento de inércia polar centroidal de uma superfície 
circular por integração direta. (b) Usando o resultado da parte a, determine o 
momento de inércia de uma superfície circular em relação a um diâmetro.
Teorema dos eixos paralelos ou Teorema de Steiner
dAyI AA 
2
`
dyy  `
 



dAddAyddAy
dAdyI AA
22
2
`
`2`
)`(
momento de inércia (IBB`)
da superfíce em relação
ao eixo centroidal BB`.
dAy
2`
 dAy`
momento de primeira
ordem da superfície em
relação ao eixo BB`.
dA área total da superfície.
0
2
` ` AdII BBAA 
2
O CJ J Ad 
Para momento de inércia polar
Teorema dos
eixos paralelos
Teorema dos eixos paralelos ou Teorema de Steiner
• Momento de inércia IT de uma superfície
circular em relação a uma linha tangente ao
círculo:
 
4
4
5
224
4
12
r
rrrAdIIT




• Momento de inércia de um triângulo em
relação a um eixo centroidal:
 
 `
2
22 3 31 1 1 1
12 2 3 36
2`2 3 31 1 2 1
36 2 3 4
AA BB
BB AA
BBDD
I I Ad
I I Ad bh bh h bh
I I Ad bh bh h bh
 
 

 
    
    
Momento de inércia de superfícies compostas
• Caso uma superfície seja composta de diferentes áreas A1, A2,...,An
cujos momentos de inércia, em relação a um mesmo eixo sejam
conhecidos, então o momento de inércia da superfície composta, em
relação ao mesmo eixo, será dado pela soma dos momentos de
inércia individuais.
• Se os momentos de inércia não estiverem em relação ao mesmo
eixo, é necessário o uso do Teorema dos Eixos Paralelos.
• Se uma ou mais áreas representa partes “tolhidas” de um todo, como
um furo ou recorde, seus momentos de inércia são negativos.
Portanto, o resultado final é uma soma algébrica dos momentos.
Momento de inércia de superfícies compostas
Momento de inércia de superfícies compostas
Momento de inércia de superfícies compostas
Exemplo
4) Determine o momento de inércia da superfície sombreada em
relação ao eixo x.
Exemplo
5) Determine o momento de inércia polar da superfície sombreada em
relação (a) ao ponto O e (b) ao centroide da superfície.
Exemplo
6) Determine o momento de inércia da superfície sombreada em
relação ao eixo x e y.