Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais CAP 09 (1)

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<p>Cálculos e Anotações GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS 9.1 Momento Estático 9.1.1 Momento Estático de um Elemento de Superfície o momento estático de um elemento de superficie é definido através do produto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo de referência. Y y X 9.1.2 Momento Estático de uma Superfície Plana Momento estático de uma superfície plana é definido através da integral de área dos momentos estáticos dos elementos de superfície que formam a superfície total. Y Mx = y X 9.1.3 Centro de Gravidade de uma Superfície Plana É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra a A localização do ponto através das coordenadas XG e que serão obtidas através da relação entre o respectivo momento estático de superfície e a área total desta. xdA XG = Y dA CG ydA = dA X 168 Características Geométricas das Planas 169 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Y Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a superficie plana em superfícies geométricas cujo centro de gravidade é conhecido, tais como retângulos, triângulos, etc. Através da relação entre somatório dos momentos estáticos dessa superfície e a área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro de gravidade. CG + Y XG XG X b = A1+...An Y X CG X i=n i=1 Y CG 4r 4r 9.1.4 Tabela do Centro de Gravidade de Superfícies Planas A X Superfície Coordenadas do c.G Y CG XG X CG 9.2 Exercícios b X Ex. 1 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade do topázio representado na figura a seguir. Y Y 1 a A 2 CG a X 2a X Geométricas das Superfícies Planas 171 170 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Ex.2 - Determinar as coordenadas do CG da superficie hachurada representada na figura. Solução: 1 Na resolução deste exercício, denomina-se o quadrado de lado "a" como figura triângulo de catetos igual "a" como figura X X1=a/2 Solução: A figura 1 correspondendo ao semicírculo de raio R e a figura 2 corresponde ao semicírculo de raio r. A coordenada pois as coordenadas iguais a zero. a 4R 4r Y Localização do ponto na figura X Ex. 3 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade de cantoneira de abas desiguais representada na figura a seguir. 10 Localização do ponto na superfície 1 Y 2 CG 60 X X 172 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Caracteristicas das Planas 173</p><p>Solução: 500x5+1000x50+500x95 = Divide-se a cantoneira em dois retângulos: A1 = A2 = = 500x35+1000x5+ 500x35 A1+A2+A3 500+1000+ 500 A2X2 700x5+600x30 XG = 700+600 2000 localização do CG na superfície = 700+600 1300 CG localização do ponto na figura XG 10 X 1 Ex. 5 - Determinar as coordenadas do CG da superfície hachadura representada CG a seguir. 2 X 60 1 Ex. 4 Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil U representado na figura X a seguir. 2 Solução: 10 80 1 Para determinar CG da superfície hachadura, denomina-se a figura 1 o quadrado o "r", a figura 2 o quadrante de círculo de raio "r". 3 Interpreta-se a área da figura 2 como sendo retirada da figura desta forma determinar as coordenadas, subtrai-se o momento estático da área 2, do momento estát X área procede-se da mesma forma em relação à área total. Desta forma, teremos: Solução: Divide-se o perfil em 3 retângulos para iniciar os cálculos A1 = A2 = = X1 = 5mm =35mm 174 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais das Superficies Planas</p><p>podemos concluir que e teremos portanto: 4r 3 localização do ponto na superfície Y localização do ponto na superfície CG X Ex. 6 Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície hachadura representada na figura a seguir. CG Y X Ex. 7- Determinar as coordenadas do CG da superfície hachadura representada na figura. Y 25 1 X 2 Solução: Para determinar o centro e gravidade da denomina-se o quadrante de de raio "2r", e 2 o quadrante de círuculo de raio "r", e analogamente 2r X ao exercício anterior, determina-se as coordenadas através de: 76 Características Geométricas das Superficies Planas 177 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Solução: Solução: Divide-se a figura em 5 superfícies geométricas conhecidas. A 1 será o retângulo Denomina-se 1 ao triângulo de cateto 2r, e 2 ao quadrante de a 2 corresponde ao retângulo de as superfícies 3 4 e de raio "r". Analogamente aos exercícios 5 e 6 determinam-se as coordenadas XG correspondem aos furos representados na Temos então: A1 = 10x60 = 2 4 X1 30mm X2 100mm 3 =25mm 4r 3 = Como X2 conclui-se que X4 30mm =25mm 3 Y 1,215 - 6000x30+4000x100-490,87x30 - - 490,87x100 CG 6000+4000-3x490,87 180000+400000-14726-14726-49087 localização do ponto na 0.82r X 501461 Ex. 8 - Determinar as coordenadas do CG da hachurada representada na figura. Y 25 3 6000+4000-3x490,87 1 300,000+100.000-36815-12272-12272 8527,4 25 5 25 4 50 338641 2 50 - X 30 30 40 40 Características Geométricas das Planas 179 178 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>localização do ponto na 30x30 Y CG X XG 6000x30+2000x80+ 981,75x110,6 - 452,4x30 - 450x50 Ex. 9 - Determinar as coordenadas do CG da superfície hachadura representada na figura a seguir. 180000+160000+108582-13572-22500 8080 Y 1 5 A 25 20 2 3 4 A 25 localização do ponto na 24 X 30 30 40 Ex. 10 - o perfil representado na figura é composto por uma viga I 125x25,7 e uma chapa Solução: 120x10 [mm]. Determinar o CG do conjunto. A peça é simétrica em relação a y. Divide-se a figura nas superfícies geométricas mostradas na figura, ou seja, a área 1 Y 2 representada o retângulo 60x100, a área representada o retângulo 40x50, a área o 3 semicírculo de raio 25, a área 4 o furo de diâmetro 24 e área 5 representada o triângulo de catetos 30. X = X 4 Chapa 10 90,6 120 180 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Características Geométricas das Planas 181</p><p>9.3.2 Translação de Eixos (Teorema de Steiner) = A2 Sejam X e y os eixos baricêntricos da superfície A. Para determinar o momento de inércia = 76,2mm da em relação aos eixos u e V, paralelos a e y, aplica-se o teorema de Steiner que é definido através das seguintes integrais. dA Como a peça é simétrica em relação a y concluímos que XG = b A1Y1+A2Y2 = 3270x76,2+1200x157,4 X Desenvolvendo as integrais, tem-se: CG localização do ponto na superfície X o eixo baricêntrico, concluímos que: 9.3 Momento de Inércia J (Momento de Ordem) o momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência, é definido através da integral de área dos produtos entre os infinitésimos da área que compõem a superfície e suas respectivas distâncias ao eixo de referência elevadas ao quadrado. que: Y dA Análise dimensional de J Baseando-se nas demonstrações anteriores, pode-se definir o momento de inércia de uma y superfície plana em relação a um eixo paralelo ao eixo baricêntrico, e o respectivo transporte de portanto, a unidade de momento de inércia poderá ser: eixos, que será obtido através do produto, entre a área da superfície e a distância entre os eixos elevada ao quadrado. Y b 9.3.1 Importância do Momento de Inércia nos Projetos o momento de inércia é uma característica geométrica no dimensionamento CG elementos de construção, pois fornece através de valores numéricos, uma noção de resistência será X dos da peça. Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal de uma peça, maior A a resistência da peça. u das Superfícies Planas 183 182 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>9.4 Raio de Giração i 9.6 Exercícios o raio de giração de uma plana em relação a um eixo de referência constitui-se Ex. 1 Determinar o raio de giração e o módulo de resistência relativos aos eixos em uma distância particular entre a superfície e o eixo, na qual o produto entre a referida distância barcêntricos X e y dos perfis representados a seguir, sendo conhecido o momento elevada ao quadrado e a área total da superfície, determina o momento de inércia da em de inércia dos mesmos. relação ao eixo. a) b) Y Y Y iy 12 ix 12 12 X Para determinar o raio de giração da quando conhecido o seu momento de inércia, utilize-se a sua definição, que é expressa através da raíz quadrada da relação entre o momento de c) d) inércia e a área total da superfície. Y Y = = Jy A X Análise dimensional de i 64 [i] e) f) portanto as unidades de i podem ser [m; cm; mm;...] Y 9.5 Módulo de Resistência W CG 36 Define-se módulo de resistência de uma superfície plana em relação aos eixos baricêntricos X ey, como sendo a relação entre o momento de inércia relativo ao eixo baricêntrico e a distância 36 12 máxima entre o eixo e a extremidade da secção transversal estudada. Y g) h) Ymax Jx CE Y X Ymax A Y Análise dimensional de W = 0,1098r4 X portanto as unidades de W podem ser: Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Geométricas das Planas 185 184</p><p>c) Raio de Giração i) j) Y Y Y X X X 4 Módulo de Resistência W Solução: Módulo de Resistência a) Y d) Raio de Giração Y X X D Raio de Giração i W 6 6 b) Raio de Giração e) Raio de Giração i Y Y a X X Módulo de Resistência W Xmax Geométricas das Planas 187 186 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Módulo de Resistência W Raio de Giração Módulo de Resistência W Para determinar o módulo de resistência da superfície, precisa-se do valor de Ymax e que pelo fato de a superfície ser simétrica em relação aos eixos X e y, serão iguais. 12a h) Y 12 X f) Raio de Giração i Y Raio de Giração i 0,1098r4 CG X 2 b 6 6 0,3927r4 2 Módulo de Resistência W Módulo de Resistência W g) Y 6 Xmax i) Y 2 Ymax X Xmax Xmax Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Geométricas das Superfícies Planas 189 188</p><p>Raio de giração Momento Raio de Módulo de Secção de Inércia Giração (i) Resistência (W) Y Módulo de Resistência W X YI j) X Y D X 4 Raio de giração i Módulo de Resistência W Y 4 9.6.1 Tabela Momento de Raio de giração e Módulo de Resistência 36 6 Módulo de X Momento Raio de 36 Secção de Inércia Giração (i) Resistência (W) 6 Y X 12 6 12 6 12 12a 190 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Caracteristicas Geométricas das Superfícies Planas 191</p><p>Solução: Momento Raio de Módulo de Secção de Inércia Giração (i) Resistência (W) eixo X baricêntrico, estará localizado a da base do triângulo. Y Tem-se então: Jy = 0,3927r4 como dA = a.dy tem-se que: X Y por semelhança de triângulos conclui-se que: b y dy Ex. 2 - Determinar o momento de inércia relativo ao eixo baricêntrico X no retângulo de base b e altura h conforme mostra a figura. substituindo-se "a" na integral tem-se que: h/2 X Solução: b Como o eixo de X é baricêntrico, divide pela metade a altura h. Desta 33h4 forma, pode-se escrever que: como dA = bdy temos que: b b h 4 3 927324 Ex. 3 - Determine o momento de inércia relativo ao eixo baricêntrico X no triângulo de base b e altura h representado na figura. 324 36 4 a Y X b Características Geométricas das Superfícies Planas 19: 192 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Ex. 4 - Determinar momento de inércia, raio de giração e módulo de resistência, relativos b.2) Raios de giração b.3) Módulos de resistência aos eixos baricêntricos X e y nos perfis representados à seguir. a) b) Y Y c) c.1) Momentos de inércia c.2) Raios de giração X X c.3) Módulos de resistência 120 c) d) Y Y d) Como os catetos do triângulo são iguais, conclui-se que d.1) Momentos de inércia d.2) de giração X X 120 80 d.3) Módulos de resistência Solução: Transformando-se as unidades para [cm], tem-se que: Ex. 5 - Determinar momento de inércia, raio de giração e módulo de resistência, relativos a) aos eixos baricêntricos e y do perfil representado na figura. a.1) Momentos de inércia y = 400 1 200 5,2cm Solução: b) Inicialmente, transformam-se as unidades para [cm], com a finalidade de facilitar os cálculos. b.1) Momentos de inércia o quadrado será denominado de (1), enquanto o passa a ser superfície (2). = 64 Características Geométricas das Planas 195 194 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Ex. 7 Determinar momento de inércia, raio de giração e módulo de resistência, relativos Momento de Inércia: aos eixos baricêntricos X e y da hachadura representada na figura. Y 2 Como as duas figuras são concêntricas, não há transporte de eixos: desta forma, para se obter o momento de inércia da superfície, subtrai-se o momento de inércia do furo, do momento Y'1 120 de inércia do quadrado. Jx Os momentos de inércia são iguais em relação aos eixos portanto conclui-se que: 80 1 Solução: Raio de Giração Para resolver este exercício, a primeira providência é localizar o eixo em relação ao eixo u, através da coordenada vg. A coordenada ug é dispensável, por ser de simetria. Denomina-se o retângulo de superfície (1) e o losang.o de (2), tem-se então: Obs: medidas estão transformadas para cm = Momento de Inércia Módulo de Resistência Como a superfície é simétrica em relação aos eixos X e y, concluímos que: Ex. 6 Determinar os momentos de inércia relativos u e V do exercício anterior. Para determinar o momento de inércia Jx, não há transporte de eixos, pois o eixo y da Solução: peça coincide com o eixo y de cada figura geométrica da peça. A superfície sendo simétrica em relação aos eixos conclui-se que = pois a distância entre os eixos laterais é a mesma. Portanto podemos escrever que: V Aplicando-se o teorema de Steiner, temos: X Como conclui-se que: = Geométricas das Superfícies Planas 197 196 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Momentos de Inércia Raios de giração: 1048,9 = 87 505,25 i,=2,41cm 87 Módulos de resistência: Em relação a y, não há transporte, pois o eixo y dos retângulos coincide com o eixo do Temos então que: Como o eixo é de simetria, conclui-se que: Raios de Giração 19,64 9 Ex. 8 - Determinar momento de inércia, raio de giração módulo de resistência, relativos = 10,74 aos eixos baricêntricos e y no perfil T representado na figura. Y Módulos de Resistência 1 Xmáx (5-1,61) 10 Y'2 X Ex. 9 - Determinar momento de inércia, raio de giração e módulo de resistência, relativos 0 aos baricêntricos e y no perfil I representado na figura. 2 50 1 10 Solução: 2 10 Na solução deste exercício, divide-se a em dois retângulos, denominando-se aleatoriamente o retângulo vertical de (1) e o horizontal de (2). Determina-se em seguida a coordenada com a finalidade de localizar o eixo em relação o eixo u (eixo de referência). Transformando as unidades do exercício para [cm], temos: = 4+5 u 40 a coordenada ug = 2,5 cm pois o eixo y é eixo de simetria. 198 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Características Geométricas das Planas 199</p><p>Módulos de Resistência Solução: As unidades serão transformadas para [cm]. Como a é simétrica em relação aos eixos, conclui-se que: o perfil é simétrico em relação aos eixos X e y, portanto conclui-se que: Momento de Inércia: Para determinar o momento de inércia relativo ao eixo X, divide-se a figura em três superfícies retangulares, duas horizontais que se denominam (1) e (3), e uma vertical que se denomina (2). A superfícies (2) não apresenta transporte de eixos, pois o seu eixo X coincide com Ex. 10- Determinar os momentos de inércia Ju e Jv do exercício anterior. o eixo X do perfil I. Restam, portanto os transporte das superfícies (1) e (3), que por serem iguais, calcula-se uma única vez, e multiplica-se o resultado obtido por 2. Solução: Teremos então desta forma: Conhecendo-se os momentos de inércia baricêntrico, para se obter os momentos e basta somar os respectivos transportes de eixo. Desta forma escreve-se que: Como os eixos são de simetria, conclui-se que: o momento de inércia em relação ao eixo y não possui transporte de eixos, pois os eixos y das superfícies retangulares coincidem com o eixo do perfil I. Portanto. conclui-se que: Ex. 11- Determinar momento de inércia, raio de giração e módulo de resitência, relativos aos eixos baricêntricos X e y da secção trasnversal representada na figura. A figura é simétrica em relação a y. Y 1 Raios de giração: Ymax YG y'2 13 200 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Características Geométricas das Superfícies Planas 201</p><p>Módulos de Resistência Solução: Para determinar o momento de inércia das secções transversais compostas por vigas, deve- se utilizar as características geométricas destas, designadas nos catálogos ou tabelas. A secção transversal da viga não deve ser dividida em outras superfícies geométricas, devendo Neste a distância máxima entre o eixo e a extremidade da peça é o próprio fazer parte da resolução com sua área total. o eixo X está em uma posição desconhecida em relação à base da secção (eixo u, eixo de referência). Para localizar o eixo X, determina- se a coordenada A distância máxima entre o eixo y e a extremidade do conjunto é 5 cm que correspondem à metade da lateral da chapa. As unidades forma transformadas para [cm]: 133,33 5 10+19 Ex. 12 Determinar momento de inércia, o raio de giração e o módulo de resistência, Momentos de Inércia relativos ao eixo baricêntrico do conjunto representado na figura. o momento de inércia ao eixo baricêntrico X é determinado através do somatório dos momentos de inércia das superfícies (1) (chapa) e (2) (viga) e os respectivos transportes de eixos. Y' Tem-se então que: (2) Perfil Americano CSN 6" 2" X Y h X X = Para determinar o momento de inércia relativo ay, não há transporte, pois os eixos y da chapa Y Jy=43,9cm4 e da viga coincidem com o eixo do conjunto. Tem-se, então, que: 10 200 Solução: Como o eixo é de simetria, conclui-se que o eixo esta localizado na metade da altura do conjunto. As unidades foram transformadas para [cm]. 819,25 i,=5,31cm 29 133,33 29 Geométricas das Superfícies Planas 203 202 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Solução: Momento de Inércia Com a finalidade de facilitar o entendimento, denomina-se as chapas de (1) e as vigas de Para solucionar este exercício, determina-se a coordenada YG objetivando localizar o eixo (2). As vigas não possuem transporte em relação ao eixo X pois os eixos são coincidentes. X em relação ao eixo u (eixo de referência). Como as chapas possuem as mesmas dimensões, escreve-se que: Denomina-se as cantoneiras de figura (1) e a chapa(2). Transformando as unidades do exercício para [cm], tem-se que: 2(9,3x2,82)+12x6 Jx=2 12 2x9,3+12 Raio de Giração o eixo y, por ser de simetria, está localizado na metade da base. 4088,72 Momentos de Inércia: 89,4 Módulo de Resistência 4088,72 = 8,62 Ex. 13 - Determinar momento de inércia, raio de giração e módulo de resitência, relativos aos eixos baricêntricos e y na secção transversal representada a seguir, composta Para determinar o momento de inércia não existe transporte de eixos para chapa, pois por duas cantoneiras 89 X 64 designação CSN e por uma chapa 120 X 10 [mm]. o eixo y da chapa coincide com o eixo y do conjunto. Y Teremos então: 120 (1) cantoneira CSN P. Americano 1 ly 30,6 4 143,2 282 b=63,5mm 30,6 h=88,9mm b Geométricas das Planas 205 204 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Módulo de resistência: Observa-se que as vigas (2) estão defasadas 90° em relação à posição na qual foram dadas as suas características geométricas. Desta forma, para determinar o Jx do conjunto, utiliza- se o Jy da viga. Tem-se então que: (6,35+0,5) = 143,2 6,85 Momento de Inércia Ex. 14 Determinar o momento de inércia relativo ao eixo u no exercício anterior. Solução: Obtém-se o momento de inércia do conjunto, somando-se ao momento de inércia Jx e o transporte de eixos (Teorema de Steiner). Tem-se então: Para determinar o Jv utiliza-se o J, da viga. É fácil observar que para este cálculo, não há transporte de eixos, pois os y da chapa e da viga coincidem com o eixo y do conjunto. Vem então que: Ex. 15 - o perfil representado a seguir é composto por duas vigas U CSN 152x12,2 com as características geométricas descritas a seguir, duas chapas de [mm]. Determinar os momentos de inércia, raios de giração e módulos de resistência do conjunto, em relação aos eixos baricêntricos X e y (eixos de simetria). (1) Chapa 200 X 10 (2) Viga U CNS 152 X 12,2 13 Y 200 h=152,4mm X b=48,8mm y'2 X y's = 5,84cm Chapa Módulo de Resistência Solução: Com os eixos y são de simetria, podemos afirmar que o eixo y está localizado na metadade da base e o eixo X está na metade da altura da secção. Denomina-se (1) as chapas e (2) as vigas para simplificar a resolução. 10 206 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Geométricas das Superfícies Planas 207</p><p>9.7 Produto de Inércia ou Momento (Momento de Como os eixos e y são baricêntricos, conclui-se que: Ordem) produto de inércia (momento de uma plana é definido através da integral de área dos produtos entre os infinitésimos de área dA que compõem a superfície e as suas respectivas coordenadas aos eixos de referência. Temos, então, que: Análise Dimensional do Produto de Inércia dA o produto de inércia, sendo um momento de ordem, possui a mesma unidade do momento x de inércia, ou seja, senão vejamos: X 9.7.3 Tabela o produto de inércia denota uma noção de assimetria de superfície em relação aos eixos de referência. Produtos de inércia de superfícies planas. 9.7.1 Estudo do Sinal Y Y o produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo da distribuição de superfície em relação aos eixos de referência. a X o produto será positivo, quando a superfície predominar no 1° e no 3° quadrantes, será X negativo quando predominar no 2° e quadrantes, e nulo quando houver eixo de simetria. a Y b + X<0 Jxy > Quando a predominar no 1° e 3° quadrantes Y Jxy < - Quando a superfície predominar no 2° e quadrantes Y Jxy = - Quando houver eixo de simetria Y<0 X X a 9.7.2 Transporte de Eixos (Teorema de Steiner) y Sejam X e y eixos baricêntricos de superfície A, e os eixos u e Y Y V paralelos a X e a y respectivamente. produto de inércia da superfície em relação aos eixos u e será dA b determinado através do teorema de Steiner que é definido pela integral: y CG X X 72 A b = u 208 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Características das Superfícies Planas 209</p><p>Tem-se que: 9.8 Eixos Principais de Inércia Y Pelo centro de gravidade de uma superfície plana passam infinitos eixos, dentre os quais se apresentam da dA maior importância, os eixos de momento de inércia máximo aplicando Pitágoras, vem que: portanto: e mínimo. o eixo de momento máximo estará sempre mais distante dos elementos de superfície que formam a superfície a a min total; obviamente o eixo de momento mínimo será o mais X próximo aos elementos de CG Os momentos principais de inércia são determinados através das expressões: unidade de [L]4 9.10 Módulo de Resistência Polar o módulo de resistência polar de uma superfície é definido através da relação entre o Os ângulos que os eixos principais de inércia formam com o eixo X são determinados através momento de inércia polar da secção, e o comprimento entre o polo e o ponto mais distante da de suas respectivas tangentes. periferia da secção transversal (distância máxima). pólo = Jxy Wp = unidade de Wp X A ângulo que o eixo de momento máximo forma com o eixo X Importância do módulo de resistência polar nos projetos. amin ângulo que o eixo de momento mínimo forma com o eixo X Utiliza-se o módulo de resistência polar no dimensionamento Os eixos de momento de inércia máximo e mínimo estarão sempre defasados em 90° entre si. de elementos submetidos a esforço de torção. Quanto maior o módulo de resistência polar da secção transversal de uma peça, maior a Conclui-se portanto que: sua resistência à torção. amax = +90° Qualquer par de eixos, defasados 90° entre si, que passem pelo centro de gravidade da 9.11 Exercícios superfície, terá a soma de seus momentos de inércia constante. Ex. 1 - Determinar as expressões de momento polar de inércia (Jp) e o módulo de Tem-se, então que: resistência polar (Wp) das secções transversais a seguir, sendo conhecidas as expressões de momento de inércia das mesmas. Solução: Momento Polar de Inércia (Jp) a) b) Y Y (Momento de Ordem) dA o momento polar de inércia de uma superfície plana X é definido através da integral de área dos produtos entre os X infinitésimos de área dA e as suas respectivas distâncias y ao polo elevadas ao quadrado. X pólo Características Geométricas das Planas 211 210 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>d) Y Tem-se, portanto, Y máx c) Y D d X X que X 16 c) a.1) Momento polar de inércia c.1) Momento polar de inércia: Sabe-se que o momento de inércia da secção transversal quadrada é o mesmo Para coroa circular: para o eixo X e para o eixo y, e portanto Temos, então, que: 6 a.2) Módulo de resistência polar (Wp) c.2) módulo de resistência de coroa circular será: A distância máxima entre o pólo e o ponto mais afastado da periferia da secção transversal quadrada é a metade da sua diagonal. Como é a hipotenusa de um triângulo retângulos de catetos iguais, pode-se afirma que: A distância máxima entre o pólo e o ponto mais afastado na periferia é o raio da circunferência maior da secção. Y Portanto, tem-se que: logo 2 X d) d.1) Momento polar de inércia (Jp) b) Obtém-se o momento de inércia da secção d, através da subtração entre o momento de inércia b.1) Momento polar de inércia (Jp) do e o momento de inércia do quadrado. Como + para secção circular: portanto, 32 b.2) Módulo de resistência (Wp) 6 Na secção circular, a distância máxima entre o polo e o ponto mais afastado na periferia é o próprio raio da secção. Características Geométricas das Superfícies Planas 213 212 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Momento de Inércia Módulo de Resistência d.2) Módulo de resistência: Secção Polar Jp Polar Wp Y A distância máxima entre o pólo mais afastado da periferia é o raio do portanto: Y pólo r max 8 X Wp= 6 temos então que: 2 Tabela de momento polar de inércia (Jp) e o módulo de resistência polar Momento de Inércia Módulo de Resistência Secção Polar Jp Polar Y 8 4d Ex. 2 - Determinar os momentos principais de inércia e os ângulos que os seus eixos formam com o eixo da secção transversal representada a seguir. Y Y 1 12 CG X 2 32 Solução: a) Momento de inércia D possui a mesma distribuição em relação ao eixo y, conclui-se que: das Superficies Planas 215 214 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>c) Momentos principais de inércia b) Produto de inércia Como os eixos X e y são de simetria, conclui-se que a secção transversal possui produto de inércia nulo. c) Eixos principais de inércia Para esta secção não existe e pois os eixos que passam pelo CG da superfície terão o mesmo momento de inércia. Isto sempre ocorrerá para qualquer superfície que possuir. Jy d) Ângulos e Como não existem eixos principais de inércia, o mesmo ocorre em relação aos ângulos que (eixo de momento máximo coincide com eixo x), e e Conclui-se que, em qualquer posição que a peça for colocada, a sua resistência será a = (eixo de momento mínimo coincide com eixo y). mesma. Ex. 3 Determinar os momentos Jmax e e os ângulos e na superfície Ex. 4 Determinar os momentos principais de inércia e os ângulos que os seus eixos formam com X na contoneiras de abas iguais representada na figura. representada na figura. 1 10 Y 2 X CG 20 2 40 u, 1 10 80 Solução: Transformam-se as unidades para [cm], visando simplificar a resolução. Solução: Transformando as unidades para [cm], tem-se que: a) Momentos de inércia a) Centro de gravidade vg =2,37cm 12 Como a cantoneira é de abas iguais, conclui-se que: 12 12 b) Produto de inércia Como os eixos X e y são de simetria, conclui-se que Jxy Características Geométricas das Superfícies Planas 217 216 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Ex. 5 - Determinar e e no perfil representado a seguir. Y 1 10 2 Como a cantoneira é de abas iguais, conclui-se que: X 3 c) Produto de inércia 10 25 10 25 As áreas (1) e (2) são retângulos e os seus eixos baricêntricos são eixos de simetria; portanto, conclui-se que Jxy1 e Jxy2 são nulos. Solução: Transformando as unidades para [cm], temos: a) Momentos de Inércia Como as áreas (1) e (3) são iguais e estão equidistantes do eixo X, podemos escrever que Analogamente ao momento de inércia X, podemos escrever para y que Tem-se, então, que: e) principais de inércia formam com X. Y b) Produto de inércia -52,26 As superfícies (1), são retângulos e, portanto, possuem eixo de simetria e possuem produto de inércia nulos. 45° -52,26 45° X A (2) possui os seus eixos baricêntricos (x e y) coincidentes com os eixos tga-min =-1 portanto, -45° baricêntricos X e y do perfil, desta forma o transporte dos eixos é nulo. Geométricas das Planas 219 218 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais</p><p>Y Conclui-se que 30 3 x'3 10 2 100 c) Eixos principais de CG- X Jmax 1 80 Solução: Transformando as unidades para [cm] visando simplificar a resolução, temos: a) Centro de gravidade = d) Posição dos eixos principais em relação ao eixo X (amax e = = Jxy 21,88 Jmin Como os eixos principais de inércia estão sempre defasados 90°, temos que: X 27°14' -117°14' c) Produto de inércia Ex. 6 - Determinar os momentos principais de inércia e e localizar os respectivos eixos em relação a X (amax e na representada na figura. Os produtos de inércia das três são nulos, pois todos possuem eixos de simetria. o somatório transportes de eixos determina o Jxy do perfil. 220 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Geométricas das Planas 221</p><p>Para determinar o Jy, os transportes de eixos são nulos, pois os eixos y das superfícies coicidem com o eixo do perfil. Tem-se, então que: e) Posição dos principais em relação a X -20,44 Jy=1117,6cm3 Como os eixos principais estão sempre defasados 90°, pode-se escrever que: Jmin c) 3°30' X 86°30' Y Ex. 8 - Determinar o momento polar de inércia da superfície hachurada representada na 80 1 figura. 30 Y 1 Ex. 7 - Determine momento polar de inércia do 2 perfil representado na figura. 50 Solução: 2 in Transformam-se as unidades para [cm] para A X simplificar a resolução. 4 X a) Centro de gravidades eixo y é de simetria; portanto, a coordenada é suficiente para determinar CG pois XG 3 50 150 75 222 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Características das Superfícies Planas 223</p><p>Solução: Os momentos de inércia do perfil serão determinados, dividindo-se as superfícies em três áreas. A área (1) corresponde à coroa circular que identifica o tubo, e as áreas (2) e (3) Transformando-se as unidades para [cm] temos: correspondem a tiras de chapas de 60 x100 [mm] soldas na superfície do tubo. Os cordões a) Momento de inércia de solda serão considerados desprezíveis para determinar o momento de inércia do perfil. As áreas (2) e (3) são iguais e simétricas aos eixos, portanto, os momentos de inércia das duas Para determinar momento de inércia da hachurada, divide-se a figura em três chapas em relação aos dois eixos são iguais. Teremos, então: Considera-se como supefície (1) o retângulo de 100x75 [mm] e as superficies.(2) e (3) os retângulos 50x30 [mm]. Como as superfícies (2) e (3) são iguais e simétricas, os momentos também são iguais, portanto, Tem-se, então: Jx = 415cm4 b) Momento polar de inércia Determinar o momento polar de inércia do perfil representado na figura. Ex. 10 Determinar o momento polar de inércia do perfil composto representado na figura. Y 60 2 300 Cantoneira 4" X A 18,45cm2 Y 29 13 Solução: Tranformando-se as unidades para [cm], temos: CG X X a) Momentos de inércia X X 102 Os eixos e y são de simetria, portanto, a origem dos mesmos está no centro do tubo (figura1). 49 224 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Características das Planas 225</p><p>Solução: Solução: Transformando-se as unidades para [cm], tem-se que: Transformando-se as unidades para (cm), tem-se que: a) Centro de gravidade a) Centro de gravidade Denomina-se a superfícies de viga U como (1) e a superfície da cantoneira como (2) 3,08cm b) Momento de inércia (baricêntricos) VG = 7,43cm 34,8 - b) Momentos de inércia + Jy = 360,6cm4 Jx = 466,78cm4 c) Ex. 11 - Determinar os momentos principais de inércia e os ângulos que os seus eixos formam com X no perfil representado a seguir. Y + 4 12 c) Produto de inércia CG 2 X 2 2 x'2 As quatro superfícies são retangulares, possuindo, portanto, eixos de simetria, donde conclui- se que os seus produtos de inércia são nulos. u 12 60 12 226 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Geométricas das Planas 227</p><p>logo 10 FORÇA CORTANTE Q E MOMENTO + FLETOR M d) inércia 10.1 Convenção de Sinais 10.1.1 Força Cortante Q A força cortante será positiva, quando provocar na peça momento fletor positivo. + Vigas Horizontais X Convenciona-se a cortante como positiva, aquela que atua à esquerda da secção transversal estudada, de baixo para cima. = -27,15 Vigas Verticais que: Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da secção estudada, com o sentido dirigido da esquerda para direita. 10.1.2 Momento Fletor M Momento Positivo Jmin o momento fletor é considerado positivo, quando as cargas cortantes atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores. P compressão L N CG a A B R, Fibras inferiores Tração a min -78°15' 228 Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais Força Cortante Q e Momento Fletor M 229</p>