momento de inércia

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MOMENTO DE INÉRCIA
Aluna: Manuela Leal Soares de Bairros
1. Introdução
O momento de inércia (momento de segunda ordem) é uma grandeza física que
descreve como a massa ou a área de um corpo está distribuída em relação a um eixo de
rotação ou linha central. Em mecânica, ele é importante para prever a resistência de um
corpo à mudança em seu movimento rotacional.
Podemos ter dois tipos de momento de inércia:
● Momento de inércia de área: utilizado em análise estrutural, refere-se à
distribuição da área de uma seção transversal em relação a um eixo, medida da
resistência à flexão de uma viga.
● Momento de inércia de massa: medida da inércia (resistência) ao movimento de
rotação de um corpo sólido
Em várias áreas da engenharia, o momento de inércia é importante pois ajuda a
determinar como um corpo ou estrutura vai responder a forças aplicadas e a torques. Na
engenharia civil e mecânica, em abordagens sobre estruturas e vigas, o momento de
inércia de uma seção transversal de uma viga é calculado para determinar sua resistência
à flexão. Vigas com maiores momentos de inércia são mais resistentes a curvaturas e
deformações sob cargas.Além de que estruturas com maiores momentos de inércia
também serão mais rígidas e menos propensas a dobrar ou torcer sob carga. Por
exemplo, um perfil "I" usado em vigas de aço oferece alta resistência à flexão devido ao
seu alto momento de inércia em relação ao eixo neutro.
Outra aplicação, está relacionada a motores e geradores, onde o cálculo do
momento de inércia tem grande importância na confecção do projeto de rotores, pois
afeta diretamente em como o rotor responde às forças de aceleração e desaceleração.
Um rotor com alto momento de inércia é mais resistente a variações rápidas na
velocidade de rotação.
2. Conceito de Momento de Inércia
O momento de inércia de uma área é uma medida que descreve como a área de
uma seção transversal está distribuída em relação a um eixo. Por isso, a geometria da
seção transversal de um elemento estrutural tem um impacto significativo no momento de
inércia e, consequentemente, na resistência do elemento à flexão e à torção. Áreas
localizadas mais distantes do eixo neutro, por exemplo, contribuem significativamente
mais para o momento de inércia devido ao fator y².
Nesse caso, o momento de inércia, da seção da viga em
relação ao eixo x, Ix, pode ser definido multiplicando-se cada
elemento de área dA pelo quadrado de sua distância do eixo x
e integrando-se sobre a seção da viga.
Logo:
Na análise da resistência de uma seção transversal à flexão, temos que a
resistência à dobramento de uma viga é calculada usando a fórmula de tensão de flexão,
onde a tensão σ é dada por:
Onde:
● M - momento fletor aplicado.
● y - distância onde a tensão é calculada até o eixo neutro da seção transversal.
● I - momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro.
Sendo assim, seções com maior momento de inércia em relação a um eixo têm
maior resistência à curvatura quando sujeitas a um momento fletor em torno desse eixo,
pois terão menores tensões para o mesmo momento fletor, indicando que elas são mais
resistentes à deformação.
Existem momentos de inércia relacionados a eixos, ou a um ponto (momento polar
de inércia). Os momentos relacionados aos eixos, Ixx e Iyy : Relacionam-se à resistência à
flexão em torno dos eixos x e y. E são usados para avaliar a resistência de uma seção
transversal à curvatura ou dobramento em direções específicas.
Já o momento polar de inércia Jo: Relaciona-se à resistência à torção e mede a
distribuição da área em torno de um ponto (geralmente o centróide da seção). Sendo
crucial para analisar componentes sujeitos a forças de torção, como eixos e vigas sob
torção. Para calcular Jo, somamos os momentos de inércia em relação a dois eixos
perpendiculares passando pelo mesmo ponto o.
3. Derivação das Equações
Para encontrar o momento de inércia de uma seção transversal Retangular, consideramos
um retângulo com largura b e altura h, com a base ao longo do eixo horizontal x, e a
altura ao longo do eixo y. Para derivar o momento de inércia em relação ao eixo x,
dividimos o retângulo em faixas paralelas ao eixo x, e obtemos
Da mesma forma, utilizando uma faixa retangular paralela ao eixo y, e estabelecendo
b=dx e h= y, temos:
Para triângulos temos:
Para círculos, temos:
4. Aplicações Práticas
Viga de Suporte em um Prédio
Uma viga de suporte em um prédio, também conhecida como viga de aço ou viga
estrutural, é frequentemente usada em construções para suportar cargas e transferi-las
para as colunas ou fundações. Vamos considerar uma viga em "I", uma das seções
transversais mais eficientes para suportar cargas de flexão.
Suponha que temos uma viga de aço em forma de "I" com as seguintes dimensões:
● Altura total da viga: 340mm
● Largura das abas: 250 mm
● Espessura das abas: 20 mm
● Espessura da alma: 20 mm
Para começar, dividimos a área da seção transversal em três retângulos que
permitem uma facilidade em encontrar o momento de inércia em relação a x. E
depois somamos todos os momentos de inércia. Pela figura ser simétrica, as áreas
2 e 3 tem o mesmo momento de inércia.
O momento de inércia é fundamental na engenharia estrutural, e permite a
otimização do design de vigas, equilibrando a resistência e a rigidez necessárias com o
peso e o custo dos materiais. As vigas em "I" são um exemplo dessa otimização, pois sua
forma maximiza o momento de inércia com uma quantidade mínima de material,
tornando-as leves e econômicas, mas suficientemente robustas para suportar cargas
significativas. Em aplicações reais, como na construção de um prédio, as vigas de suporte
devem ser projetadas para carregar o peso dos andares superiores e de outras cargas
adicionais, como móveis, equipamentos e pessoas. O cálculo do momento de inércia é
crucial neste processo, pois ajuda a determinar se a viga escolhida pode efetivamente
suportar essas cargas sem comprometer a integridade estrutural.