Relatorio 1 - Figuras de Lissajous e Medidas de Defasagem

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Roteiro Física IV: Figuras de Lissajous e Medidas de Defasagem
 
Discente: Antonio Jonathan de Oliveira Morais
Discente: Calos Eduardo 
Docente: Professor Doutor Calos Tello
Presidente Prudente
 2015
Antonio Jonathan de Oliveira Morais
Carlos Eduardo
Roteiro de Física IV – Figuras de Lissajous e Medidas de Defasagem
Roteiro de Física IV – Figuras de Lissajous e Medidas de Defasagem, apresentado a disciplina de laboratório de Física IV, do curso de Licenciatura em Física da Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade Estadual Júlio Mesquita Filho, como requisito para avaliação.
Presidente Prudente
Junho de 2015
Introdução 
Figura de Lissajous é o gráfico produzido por um sistema de equações paramétricas.
Que descreve um complicado movimento harmônico. Essa ascendência de curvas foi analisada por Nathaniel Bowditch em 1815, e mais tarde por Jules Antoine Lissajous, em 1857.
Um dos recursos mais importantes na manutenção, reparação e ajuste de equipamentos eletrônicos é a visualização das grandezas que variam com o tempo em seus circuitos através um osciloscópio. Para o caso específico da medida de frequências, amplitudes e fases com a ajuda desse instrumento, é fundamental conhecer as figuras de Lissajous. Mais do que isso, elas também podem ser usadas com outras finalidades, inclusive na geração de efeitos em editores de imagens para a Internet e recursos multimídia.
O aspecto do gráfico é altamente sensível à razão a/b. Quanto a razão é 1, o gráfico produzido é uma elipse, podendo também formar círculos quando A = B, radianos e retas, quando a = b, . Outro gráfico simples de Lissajous é uma parábola, quando a/b = 2, . Outras razões produzem gráficos mais complicados; os gráficos de Lissajous são estáticos (ou seja, se fecham numa figura visível) apenas quando a razão a/b é um número racional.
Curvas de Lissajous com a=1, b=N (número natural) e são Polinômios de Tchebychev de primeira ordem e grau N. 
Antes dos computadores modernos, as curvas de Lissajous eram tipicamente geradas por um osciloscópio (conforme ilustrado). Dois sinais senoidais de fases diferentes eram aplicados nas entradas do osciloscópio no modo X-Y. Desse modo, suponha que x alimenta o canal CH1 e y o canal CH2; A é a amplitude do CH1 e B é a amplitude do CH2, a é a frequência de CH1 e b a frequência CH2, assim a/b é a razão das frequências entre os dois canais; finalmente, \delta é a diferença de fase entre CH2 e CH1.
Seguem alguns exemplos de curvas de Lissajous com , a ímpar, b par, |a − b| = 1.
Figura 1 : Curvas de Lissajous
Objetivos
Medir a defasagem entre dois sinais, utilizando um osciloscópio e sendo assim observar as figuras de Lissajous.
Materiais
Osciloscópio
Gerador de sinais
Transformador
Capacitor
Resistores
Métodos
O arranjo gráfico de dois movimentos ondulatórios, um na horizontal e outro na vertical, resulta na Figura de Lissajous. Para explicar, consideremos a figura 2, onde temos disposição de um sinal na vertical de determinada frequência, e um outro na horizontal com o dobro de frequência.
Figura 2: Figura de Lissajous, resultante da composição de 2 sinais
Na entrada vertical, o gerador foi adaptado para a frequência de 300 Hz e aplicando-se o sinal de frequência desconhecida na entrada horizontal, obteve-se na tela, uma figura de Lissajous com 3 pontos de tangência na horizontal e 1 na vertical. Aplicando-se a relação, obteremos:
3 FH = 1 FV		FH = FV / 3 = 300 / 3 = 100 Hz
Quando aplicamos às duas entradas do osciloscópio, sinais de uma mesma frequência, teremos na tela, uma figura de Lissajous onde é possível determinar-se o valor da defasagem entre eles. 
Apodamos de defasagem, a diferença de fase entre dois sinais de mesma frequência. Para exemplificar, temos na figura 3 o sinal v1(t) e o sinal v2(t), plotados nos mesmos eixos:
Figura 3: Sinais v1(t) e v2(t)
Onde: 	 v1(t) = v1máx sen ( ωt + 0o)
v2(t) = v2máx sen ( ωt + π / 2)
A defasagem entre v1(t) e v2(t) é Δθ = π / 2 rad ou 90o. 
Para dois sinais de mesma frequência e defasados, apresentaremos na tela do osciloscópio uma elipse como figura de Lissajous. Na figura 4, temos a composição de 2 sinais defasados e a elipse resultante. 
Figura 4: Elipse resultante da composição de 2 sinais defasados
O sinal Vv obedece à função: 	Vv(t) = Vvmáx sen ( ωt + Δθ)
Onde: 	 Vvmáx = b
E	 Vv(t) = a, para t = 0
Substituindo, temos que: 
 a = b sen (ω0 + Δθ) 		a = b sen Δθ
 sen Δθ = a / b		 	Δθ = arc sen (a / b) 
Para determinar a defasagem através da elipse obtida, basta obtermos os valores de a e b, onde a simula a distância entre o centro da elipse e o ponto onde está corta o eixo y e b representa a distância entre o centro da elipse e o ponto máximo da figura. Para facilitar a leitura, podemos determinar os valores de 2a, 2b e calcular a defasagem, utilizando a relação:
Δθ = arc sen (2a / 2b)
Como exemplo, vamos determinar a defasagem entre dois sinais aplicados às entradas do osciloscópio, cuja figura de Lissajous é mostrada na figura 5.
Figura 5: Elipse
 
Temos que: 	 2a = 3 e 2b = 6 
Δθ = arc sen (3 / 6)
Δθ = π / 6 rad ou 30o