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Física IV Prof. Neri Alves Faculdade de Ciência e Tecnologia , FCT/UNESP Presidente Prudente, 30 de março de 2014 Conteúdo: • Postulado da velocidade; • Registrando um evento • Simultaneidade • Relatividade do tempo • Relatividade das distância; • Transformações de Lorentz • Relatividade das velocidades • Uma nova interpretação do momento • Uma nova interpretação da energia Relatividade restrita: Apenas referencias inerciais Referencial (sistema) inercial: • Um corpo livre não tem aceleração; • Vale a 1ª Lei de Newton. Postulados Básicos: 1. As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe referencial absoluto. 2. A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c= 3,0x108m/s, em todos os referenciais. Velocidade limite 𝝁𝒐𝜺𝒐 = 𝟑𝒙𝟏𝟎 𝟖𝒎/𝒔 = 𝑪 = 𝟐𝟗𝟗 𝟕𝟗𝟐 𝟒𝟓𝟖𝒎/𝒔 W. Bertozzi (1964) Experimentos que mede a velocidade e a energia cinética independentemente mostra que ao aplicar força varia a energia cinética mas a velocidade não.. Teste do postulado da velocidade da luz Cern (Genebra – 1964) Raios γ gerados por pions neutros com velocidade de 0,99975C apresentam a mesma velocidade que aqueles emitidos por pions em repouso. 𝜋0 → 𝛾 + 𝛾 Registro do evento (fenômeno físico) Referencial S (x, y, z, t) Referencial S’ (x’, y’, z’, t’) Transformações de Galileu 𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 𝑦′ = 𝑦 𝑧′ = 𝑧 𝑡′ = 𝑡 Considere dois eventos que define um deslocamento Δx num intervalo de tempo Δt. ∆𝑥′= ∆𝑥 − 𝑣∆𝑡 lim ∆𝑡→0 ∆𝑥′ ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑥 ∆𝑡 − lim ∆𝑡→0 𝑣∆𝑡 ∆𝑡 𝜇𝑥 ′ = 𝜇𝑥 − 𝑣 Adição das velocidades pela transformação de Galileu. Velocidade da Luz Sempre vale 𝝁𝒐𝜺𝒐 ≅ 𝟑𝒙𝟏𝟎 𝟖𝒎/𝒔 independente do referencial. Não vale a transformação de Galileu. Paradoxo 1. Ou a transformação de Galileu é incorreta, ou 2. As leis de eletricidade e magnetismo não são corretas em todos os referenciais. Éter luminífero v c c+v c+v c v A favor do vento do éter. Contra v c 𝒄𝟐 − 𝒗𝟐 Perpendicular ao vento Nunca se detectou a presença do éter, confirmando os postulados 1 e 2. Michelson-Morley : Experimento famoso Coordenada temporal R = 3x108m 0 1 2 3 4 𝟐 1 2 3 𝟓 𝟓 C = 3x108m/s Simultaneidade Mecânica Clássica: Tempo absoluto “O tempo absoluto, verdadeiro, matemático, em si mesmo e pela sua natureza flui uniformemente sem relação com qualquer coisa externa”. Einstein Medidas de intervalo de tempo dependem do referencial. Observador O A e B são simultâneos A’ e B’ não são simultâneos Observador O’ A’ e B’ são simultâneos A e B não são simultâneos • Dois eventos que são simultâneos num referencial não são, geral, simultâneos em outro referencial que se move em relação ao primeiro. • A simultaneidade depende do movimento do observador 𝑐∆𝑡 2 2 = 𝑣∆𝑡 2 2 + 𝑑2 𝑐2 − 𝑣2 ∆𝑡2= 4𝑑2 ∆𝑡 = 4𝑑2 𝑐2 − 𝑣2 ∆𝑡 = 2𝑑 𝑐2 − 𝑣2 ∆𝑡 = 2𝑑 𝑐 1 − 𝑣2 𝑐2 Como ∆𝑡𝑝= 2𝑑 𝑐 Então ∆𝑡 = ∆𝑡𝑝 1 − 𝑣2 𝑐2 = 𝛾∆𝑡𝑝 Onde 𝛾 = 1 1 − 𝑣2 𝑐2 ∆𝑡 𝑝 E o tempo próprio: Intervalo de tempo entre dois eventos medido por um observador que vê os dois eventos ocorrerem de um mesmo lugar de seu referencial. Para um observador estacionário , um relógio em movimento “anda! Mais devagar do que um relógio idêntico , em repouso. Este efeito é conhecido como dilatação do tempo. Exemplo dos Muons Carga: e Massa: 207 me Tempo de vida τ =2,2 µs (γτ ) para referencial solidários aos muons. Para v ≅ 𝑐 → percorrem 600m Como são gerados pela absorção da radiação cósmica na atmosfera superior não deveria atingir a superficie da terra. Mas um grande número de múons são detectados devidos ao deslocamento do tempo. Para v=0,99C γ ≅ 7,1 𝑒 𝜏 = 16𝜇𝑠 então a distância percorrida é γ𝜏𝑣 = 4800𝑚 CERN 1976 A vida média de múos em movimento (0,9994c) é de 30 vezes a de múons estacionários. Observador na Terra ∆𝒕 = 𝑳𝒑 𝒗 𝑳𝒑 →Comprimento próprio 𝑳𝒑 A relatividade do comprimento ∆𝒕𝒑= ∆𝒕 𝜸 Como será para o observador na nave? 𝑳 = 𝒗∆𝒕𝒑 = 𝒗 ∆𝒕 𝜸 Então 𝑳𝒑 = 𝒗∆𝒕 𝑳 = 𝑳𝒑 𝜸 𝛾 = 1 1 − 𝑣2 𝑐2 O comprimento próprio. É o comprimento entre dois pontos medido por um observador em repouso em relação a estes pontos. Comprimento próprio X Tempo próprio Referencial Diferentes Muons: • No referencial móvel tem-se o tempo próprio. • No referencial da Terra tem-se o comprimento próprio. Transformação de Lorentz Referencial S Referencial S’ S’ S S S’ 𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) 𝑦′ = 𝑦 𝑧′ = 𝑧 𝑡′ = 𝛾(𝑡 − 𝑣 𝑐2 𝑥) 𝑥 = 𝛾(𝑥′ − 𝑣𝑡) 𝑦 = 𝑦′ 𝑧 = 𝑧′ 𝑡 = 𝛾(𝑡′ − 𝑣 𝑐2 𝑥′) Quando v<<c temos 𝜸 ≅ 𝟏 e então 𝑥′ ≅ 𝑥 − 𝑣𝑡 𝑦′ = 𝑦 𝑧′ = 𝑧 𝑡′ ≅ 𝑡 Transformadas de Galileu Intervalo entre dois eventos ∆𝑥 = 𝛾(∆𝑥′ − 𝑣∆𝑡′) ∆𝑡 = 𝛾(∆𝑡′ − 𝑣 𝑐2 ∆𝑥′) ∆𝑥′= 𝛾(∆𝑥 − 𝑣∆𝑡) ∆𝑡′= 𝛾(∆𝑡 − 𝑣 𝑐2 ∆𝑥) S’ S S S’ Transformação de Lorentz para a velocidade Y Y’ X’ X 𝑡1 ′ 𝑡2 ′ 𝑥1 ′ 𝑥2 ′ 𝑢𝑥 ′ = 𝑥2 ′ − 𝑥1 ′ 𝑡2 ′ − 𝑡1 ′ = 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡′ 𝑑𝑥 = 𝛾(𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛾(𝑑𝑡 − 𝑣 𝑐2 𝑑𝑥) 𝑢𝑥 ′ = 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡′ = 𝛾(𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑡) 𝛾(𝑑𝑡 − 𝑣 𝑐2 𝑑𝑥) 𝑢𝑥 ′ = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 𝑣 1 − 𝑣 𝑐2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Mas 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑢𝑥 ′ = 𝑢𝑥 − 𝑣 1 − 𝑣 𝑐2 𝑢𝑥 𝑢𝑥 ′ = 𝑢𝑥 − 𝑣 Quando 𝑢𝑥 ≪ 𝑐 v≪ 𝑐 𝑢𝑥 ′ = 𝑢𝑥 − 𝑣 1 − 𝑣 𝑐2 𝑢𝑥 Quando 𝑢𝑥 = 𝑐 𝑢𝑥 ′ = 𝑐 − 𝑣 1 − 𝑣 𝑐2 𝑐 𝑢𝑥 ′ = 𝑐 O Efeito Doppler para a Luz 𝑓𝑠 = 𝑓𝑜 𝑣 − 𝑣𝑠 𝑣 − 𝑣𝑜 𝑓𝑝 = 𝑓𝑝 1 − 𝛽 1 + 𝛽 Som Luz Onde Fp é a frequencia própria. Frequencia medida por um observador em relação ao qual a fonte está em repouso V --> velocidade do observador Obs.: Não depende da velocidade da fonte em baixa velocidades 𝛽 = 𝑣 𝑐 O Efeito Doppler para a Luz com baixas velocidades de fonte 𝛽 ≪ 1 𝑣 𝑐 ≪ 1 𝑓𝑝 = 𝑓𝑝 1 − 𝛽 1 + 𝛽 1 2 ≅ 𝑓𝑝 1 − 𝛽 + 1 2 𝛽2 Momento relativístico Obs.: Considere vários observadores localizados em diferentes referenciais inerciais 𝑃 = 𝑚𝑢 1 − 𝑢 𝑐2 = 𝛾𝑚𝑢 𝑢 →Velocidade da partícula 𝑃 = 𝑚𝑣 = ∆𝑥 ∆𝑡 Momento clássico unidimensional 𝑃 = ∆𝑥 ∆𝑡𝑝 ∆𝑥 → deslocamento p/ obs. externo ∆𝑡0 → tempo próprio (movendo com a partícula) 𝑃 = 𝑚 ∆𝑥 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡𝑝 = 𝑚𝛾𝑢 m → massa de repouso m𝛾 = 𝑚 1 − 𝑢 𝑐2 → massa relativistica 𝐹 ≡ 𝑑𝑃 𝑑𝑡 m m m Energia relativistica 𝑤 = 𝐹𝑑𝑥 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜nal x 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑃 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑x = 𝑑𝑝 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑢 Como 𝑃 = 𝑚𝑢 1 − 𝑢 𝑐2 w = 𝑑𝑃 𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑢 𝑢 0 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑚𝑢 1 − 𝑢2 𝑐2 𝑑𝑢 𝑢 0 w = 𝑚𝑐2 1 − 𝑢2 𝑐2 −𝑚𝑐2w = ∆𝑘 = 𝑘 − 𝑘0 k = 𝑚𝑐2 1 − 𝑢2 𝑐2 −𝑚𝑐2 0 Pois u0=0 Baixas velocidades: 1 − 𝑥2 − 1 2 ≈ 1 + 𝑥 2 2 + …. 1 1 − 𝑢 𝑐2 = 1 − 𝑢2 𝑐2 − 1 2 ≅ 1 + 1 2 𝑢2 𝑐2 + … . Logo: 𝑘 = 𝑚 𝑐2 1 + 1 2 𝑢2 𝑐2 −𝑚𝑐2 = 1 2 𝑚𝑢2 De forma geral: 𝑘 = γ𝑚 𝑐2 −𝑚𝑐2, 𝑜𝑛𝑑𝑒 γ = 1 1 − 𝑢2 𝑐2 𝑘 = γ − 1 𝑚 𝑐2 O termo mc2 independe da velocidade: mc2 Energia do repouso γ𝑚 𝑐2 = 𝐾 +𝑚𝑐2 Energia total = energia cinética + energia de repouso 𝐸 = γ𝑚 𝑐2 = 𝐾 +𝑚𝑐2 𝐸 = 𝑚𝑐2 1 − 𝑢2 𝑐2 p= γ𝑚𝑢 𝐸 = γ𝑚 𝑐2 𝐸2 = 𝑝2𝑐2 + (𝑚𝑐2)2 Quando: p = 0 m =0 E = E0 = mc 2 E = pc p = h/c h = 6,626 X 10 -34 J.s fótons neutrinos m não depende do referencial E2 – p2c2 não depende do referencial Unidade de energia: 1eV = 1,6 X10-19 J Energia de Repouso do elétron é: mc 2 = 9,11 X 10-31Kg (3,00X108m/s)2 = 8,2 X10-14J ou 0,511 MeV ou 511KeV 1 elétron 511 KeV próton 938 MeV átomo de urânio 2256 eV partícula de poeira 2 Kcal = 1 X 104 J moeda pequena 2,8 X 10 14 J Energia Total Energia do repouso inicial do sistema = energia de repouso final + Q 𝐸0𝑖 = 𝐸0𝑓 + 𝑄 𝑚𝑖𝑐 2 = 𝑚𝑓𝑐 2 + 𝑄 𝑄 = −∆𝑚𝑐2
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