Aula 07 - Física IV

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Física IV 
Prof. Neri Alves 
Faculdade de Ciência e Tecnologia , FCT/UNESP 
Presidente Prudente, 30 de março de 2014 
 
Conteúdo: 
• Postulado da velocidade; 
• Registrando um evento 
• Simultaneidade 
• Relatividade do tempo 
• Relatividade das distância; 
• Transformações de Lorentz 
• Relatividade das velocidades 
• Uma nova interpretação do momento 
• Uma nova interpretação da energia 
Relatividade restrita: 
Apenas referencias inerciais 
Referencial (sistema) inercial: 
• Um corpo livre não tem aceleração; 
• Vale a 1ª Lei de Newton. 
Postulados Básicos: 
1. As leis da física são as mesmas em todos os 
referenciais inerciais. Não existe referencial 
absoluto. 
2. A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo 
valor c= 3,0x108m/s, em todos os 
referenciais. 
 
Velocidade limite 
𝝁𝒐𝜺𝒐 = 𝟑𝒙𝟏𝟎
𝟖𝒎/𝒔 = 𝑪 = 𝟐𝟗𝟗 𝟕𝟗𝟐 𝟒𝟓𝟖𝒎/𝒔 
W. Bertozzi (1964) 
 
Experimentos que mede a velocidade e a energia 
cinética independentemente mostra que ao 
aplicar força varia a energia cinética mas a 
velocidade não.. 
 
Teste do postulado da velocidade da luz 
Cern (Genebra – 1964) 
Raios γ gerados por pions neutros com 
velocidade de 0,99975C apresentam a 
mesma velocidade que aqueles emitidos 
por pions em repouso. 
𝜋0 → 𝛾 + 𝛾 
Registro do evento (fenômeno físico) 
Referencial S (x, y, z, t) 
 
Referencial S’ (x’, y’, z’, t’) 
Transformações de Galileu 
𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 
𝑦′ = 𝑦 
𝑧′ = 𝑧 
𝑡′ = 𝑡 
Considere dois eventos que define um 
deslocamento Δx num intervalo de tempo Δt. 
∆𝑥′= ∆𝑥 − 𝑣∆𝑡 
lim
∆𝑡→0
∆𝑥′
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
− lim
∆𝑡→0
𝑣∆𝑡
∆𝑡
 
 
𝜇𝑥
′ = 𝜇𝑥 − 𝑣 
 
Adição das 
velocidades pela 
transformação de 
Galileu. 
Velocidade da Luz 
Sempre vale 𝝁𝒐𝜺𝒐 ≅ 𝟑𝒙𝟏𝟎
𝟖𝒎/𝒔 
independente do referencial. Não vale a 
transformação de Galileu. 
Paradoxo 
1. Ou a transformação de Galileu é 
incorreta, ou 
2. As leis de eletricidade e magnetismo 
não são corretas em todos os 
referenciais. 
Éter luminífero 
v c 
c+v 
c+v 
c v 
A favor do 
vento do éter. 
Contra 
v 
c 
𝒄𝟐 − 𝒗𝟐 
Perpendicular 
ao vento 
Nunca se detectou a presença do 
éter, confirmando os postulados 
1 e 2. 
Michelson-Morley : Experimento 
famoso 
Coordenada temporal 
R = 3x108m 
0 1 2 3 4 
𝟐 
1 
2 
3 
𝟓 
𝟓 
C = 3x108m/s 
Simultaneidade 
Mecânica Clássica: Tempo absoluto 
 
“O tempo absoluto, verdadeiro, matemático, em si 
mesmo e pela sua natureza flui uniformemente sem 
relação com qualquer coisa externa”. 
 
Einstein 
Medidas de intervalo de tempo dependem do 
referencial. 
Observador O 
A e B são simultâneos 
A’ e B’ não são simultâneos 
Observador O’ 
A’ e B’ são simultâneos 
A e B não são simultâneos 
• Dois eventos que são simultâneos num referencial não 
são, geral, simultâneos em outro referencial que se move 
em relação ao primeiro. 
• A simultaneidade depende do movimento do observador 
𝑐∆𝑡
2
2
=
𝑣∆𝑡
2
2
+ 𝑑2 
𝑐2 − 𝑣2 ∆𝑡2= 4𝑑2 
∆𝑡 =
4𝑑2
𝑐2 − 𝑣2
 
∆𝑡 =
2𝑑
𝑐2 − 𝑣2
 
∆𝑡 =
2𝑑
𝑐 1 −
𝑣2
𝑐2
 
Como 
∆𝑡𝑝=
2𝑑
𝑐
 
Então 
∆𝑡 =
∆𝑡𝑝
1 −
𝑣2
𝑐2
= 𝛾∆𝑡𝑝 
Onde 
𝛾 =
1
1 −
𝑣2
𝑐2
 
∆𝑡 𝑝 E o tempo próprio: 
Intervalo de tempo entre 
dois eventos medido por um 
observador que vê os dois 
eventos ocorrerem de um 
mesmo lugar de seu 
referencial. 
Para um observador estacionário , um relógio em movimento 
“anda! Mais devagar do que um relógio idêntico , em 
repouso. Este efeito é conhecido como dilatação do tempo. 
 
Exemplo dos Muons 
Carga: e 
Massa: 207 me 
Tempo de vida τ =2,2 µs (γτ ) para referencial solidários 
aos muons. 
Para v ≅ 𝑐 → percorrem 600m 
 
Como são gerados pela absorção da radiação 
cósmica na atmosfera superior não deveria atingir a 
superficie da terra. Mas um grande número de 
múons são detectados devidos ao deslocamento do 
tempo. 
 
Para v=0,99C γ ≅ 7,1 𝑒 𝜏 = 16𝜇𝑠 então a distância 
percorrida é γ𝜏𝑣 = 4800𝑚 
 
CERN 1976 
A vida média de múos em movimento (0,9994c) é de 
30 vezes a de múons estacionários. 
 
Observador na Terra 
∆𝒕 =
𝑳𝒑
𝒗
 
𝑳𝒑 →Comprimento próprio 
𝑳𝒑 
A relatividade do comprimento 
∆𝒕𝒑=
∆𝒕
𝜸
 
Como será 
 para o 
observador 
na nave? 
𝑳 = 𝒗∆𝒕𝒑 = 𝒗
∆𝒕
𝜸
 
Então 
𝑳𝒑 = 𝒗∆𝒕 
𝑳 =
𝑳𝒑
𝜸
 
𝛾 =
1
1 −
𝑣2
𝑐2
 
O comprimento próprio. 
É o comprimento entre dois pontos medido por um 
observador em repouso em relação a estes pontos. 
Comprimento próprio 
X 
Tempo próprio 
 
Referencial 
Diferentes 
Muons: 
• No referencial móvel tem-se o tempo próprio. 
• No referencial da Terra tem-se o comprimento 
próprio. 
Transformação de Lorentz 
Referencial S Referencial S’ 
 S’ S S S’ 
𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) 
𝑦′ = 𝑦 
𝑧′ = 𝑧 
𝑡′ = 𝛾(𝑡 −
𝑣
𝑐2
𝑥) 
𝑥 = 𝛾(𝑥′ − 𝑣𝑡) 
𝑦 = 𝑦′ 
𝑧 = 𝑧′ 
𝑡 = 𝛾(𝑡′ −
𝑣
𝑐2
𝑥′) 
Quando v<<c temos 𝜸 ≅ 𝟏 e então 
𝑥′ ≅ 𝑥 − 𝑣𝑡 
𝑦′ = 𝑦 
𝑧′ = 𝑧 
𝑡′ ≅ 𝑡 
Transformadas de 
Galileu 
Intervalo entre dois eventos 
∆𝑥 = 𝛾(∆𝑥′ − 𝑣∆𝑡′) 
∆𝑡 = 𝛾(∆𝑡′ −
𝑣
𝑐2
∆𝑥′) 
∆𝑥′= 𝛾(∆𝑥 − 𝑣∆𝑡) 
∆𝑡′= 𝛾(∆𝑡 −
𝑣
𝑐2
∆𝑥) 
 S’ S 
 S S’ 
Transformação de Lorentz para a 
velocidade 
Y Y’ 
X’ X 
𝑡1
′ 𝑡2
′ 
𝑥1
′ 𝑥2
′ 
𝑢𝑥
′ =
𝑥2
′ − 𝑥1
′
𝑡2
′ − 𝑡1
′ =
𝑑𝑥′
𝑑𝑡′
 
𝑑𝑥 = 𝛾(𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑡) 
𝑑𝑡 = 𝛾(𝑑𝑡 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥) 
𝑢𝑥
′ =
𝑑𝑥′
𝑑𝑡′
=
𝛾(𝑑𝑥 − 𝑣𝑑𝑡) 
𝛾(𝑑𝑡 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥) 
 
𝑢𝑥
′ =
𝑑𝑥
𝑑𝑡 − 𝑣 
1 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 Mas 𝑢 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
𝑢𝑥
′ =
𝑢𝑥 − 𝑣 
1 −
𝑣
𝑐2
𝑢𝑥
 
𝑢𝑥
′ = 𝑢𝑥 − 𝑣 
Quando 
𝑢𝑥 ≪ 𝑐 
v≪ 𝑐 
𝑢𝑥
′ =
𝑢𝑥 − 𝑣 
1 −
𝑣
𝑐2
𝑢𝑥
 
Quando 𝑢𝑥 = 𝑐 
𝑢𝑥
′ =
𝑐 − 𝑣 
1 −
𝑣
𝑐2
𝑐
 
𝑢𝑥
′ = 𝑐 
O Efeito Doppler para a Luz 
𝑓𝑠 = 𝑓𝑜
𝑣 − 𝑣𝑠 
𝑣 − 𝑣𝑜
 
𝑓𝑝 = 𝑓𝑝
1 − 𝛽
1 + 𝛽
 
Som 
Luz 
Onde Fp é a frequencia própria. 
Frequencia medida por um observador em relação ao 
qual a fonte está em repouso 
 
 
V --> velocidade do observador 
Obs.: Não depende da velocidade da fonte em baixa 
velocidades 
 
𝛽 =
𝑣
𝑐
 
O Efeito Doppler para a Luz com 
baixas velocidades de fonte 
𝛽 ≪ 1 
𝑣
𝑐
≪ 1 
𝑓𝑝 = 𝑓𝑝
1 − 𝛽
1 + 𝛽
1
2
≅ 𝑓𝑝 1 − 𝛽 +
1
2
𝛽2 
Momento relativístico 
Obs.: Considere vários observadores localizados em 
diferentes referenciais inerciais 
𝑃 =
𝑚𝑢
1 −
𝑢
𝑐2
= 𝛾𝑚𝑢 𝑢 →Velocidade da partícula 
𝑃 = 𝑚𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 Momento clássico unidimensional 
𝑃 =
∆𝑥
∆𝑡𝑝
 
∆𝑥 → deslocamento p/ obs. externo 
∆𝑡0 → tempo próprio 
(movendo com a partícula) 
𝑃 = 𝑚
∆𝑥
∆𝑡
∆𝑡
∆𝑡𝑝
= 𝑚𝛾𝑢 
m → massa de repouso 
m𝛾 =
𝑚
1 −
𝑢
𝑐2
→ massa relativistica 
𝐹 ≡
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 
m m 
m 
Energia relativistica 
𝑤 = 𝐹𝑑𝑥 = 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 
𝑥2
𝑥1
 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜nal x 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑑𝑥 =
𝑑𝑃
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑑𝑥 =
𝑑𝑝
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑x 
 
=
𝑑𝑝
𝑑𝑢
𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥 
 
=
𝑑𝑝
𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑢 Como 
𝑃 =
𝑚𝑢
1 −
𝑢
𝑐2
 
w = 
𝑑𝑃
𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑢
𝑢
0
= 
𝑑
𝑑𝑢
𝑚𝑢
1 −
𝑢2
𝑐2
𝑑𝑢
𝑢
0
 
w =
𝑚𝑐2
1 −
𝑢2
𝑐2
−𝑚𝑐2w = ∆𝑘 = 𝑘 − 𝑘0 
k =
𝑚𝑐2
1 −
𝑢2
𝑐2
−𝑚𝑐2 
0 
Pois u0=0 
Baixas velocidades: 
 1 − 𝑥2 − 
1
2 ≈ 1 + 
𝑥
2
2
 + …. 
1
1 −
𝑢
𝑐2
= 1 −
𝑢2
𝑐2
− 
1
2
≅ 1 +
1
2
𝑢2
𝑐2
+ … . 
Logo: 
 
𝑘 = 𝑚 𝑐2 1 +
1
2
𝑢2
𝑐2
−𝑚𝑐2 =
1
2
𝑚𝑢2 
De forma geral: 
𝑘 = γ𝑚 𝑐2 −𝑚𝑐2, 𝑜𝑛𝑑𝑒 γ =
1
1 −
𝑢2
𝑐2
 
𝑘 = γ − 1 𝑚 𝑐2 
O termo mc2 independe da velocidade: 
 
mc2 Energia do repouso 
γ𝑚 𝑐2 = 𝐾 +𝑚𝑐2 
Energia total = energia cinética + energia de repouso 
𝐸 = γ𝑚 𝑐2 = 𝐾 +𝑚𝑐2 
𝐸 =
𝑚𝑐2
1 −
𝑢2
𝑐2
 
p= γ𝑚𝑢 
𝐸 = γ𝑚 𝑐2 
𝐸2 = 𝑝2𝑐2 + (𝑚𝑐2)2 
Quando: 
p = 0 
m =0 
E = E0 = mc
2 
E = pc 
p = h/c h = 6,626 X 10 -34 J.s 
fótons 
neutrinos 
m não depende do referencial 
E2 – p2c2 não depende do referencial 
Unidade de energia: 1eV = 1,6 X10-19 J 
Energia de Repouso do elétron é: 
 
 mc
2 = 9,11 X 10-31Kg (3,00X108m/s)2 = 8,2 X10-14J 
ou 0,511 MeV ou 511KeV 
 1 elétron 511 KeV 
próton 938 MeV 
átomo de urânio 2256 eV 
partícula de poeira 2 Kcal = 1 X 104 J 
moeda pequena 2,8 X 10 14 J 
Energia Total 
Energia do repouso inicial do sistema = energia de repouso final + Q 
𝐸0𝑖 = 𝐸0𝑓 + 𝑄 
𝑚𝑖𝑐
2 = 𝑚𝑓𝑐
2 + 𝑄 
𝑄 = −∆𝑚𝑐2