Elementos de Geodésia

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Instituto Superior de Engenharia do Porto 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE GEODESIA 
 
por 
 
António Pestana 
 
Versão 2.13 
Setembro de 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
Introdução ..................................................................................................................... 1 
A Superfície Esférica.................................................................................................... 2 
A Superfície Elipsoidal ................................................................................................ 2 
Parâmetros e Medidas Elipsoidais ............................................................................ 2 
Elipsóides em Uso .................................................................................................... 3 
A Superfície Geoidal .................................................................................................... 6 
Coordenadas usadas em Geodesia ................................................................................ 6 
As Coordenadas Naturais ......................................................................................... 6 
As Coordenadas Geodésicas Elipsoidais .................................................................. 8 
As Coordenadas Geodésicas Rectangulares ........................................................... 10 
Os Referenciais em Geodesia ..................................................................................... 10 
Data Geodésicos Clássicos ..................................................................................... 11 
Data Geodésicos Geo-Espaciais ............................................................................. 14 
Os conceitos de TRS e de TRF .......................................................................... 15 
O Datum WGS84 ............................................................................................... 16 
Os Data ITRF ..................................................................................................... 17 
O ETRS89 .......................................................................................................... 19 
Datum Altimétrico .................................................................................................. 22 
Data geodésicos utilizados no território nacional....................................................... 24 
Rede de Nivelamento Geométrico e Rede Geodésica ................................................ 26 
A Transformação de Coordenadas ............................................................................. 29 
A Transformação de Coordenadas Naturais em Geodésicas Elipsoidais ............... 30 
A Transformação de Coordenadas Elipsoidais em Rectangulares ......................... 31 
Mudanças de Datum ............................................................................................... 33 
Modelo de Bursa-Wolfe (transformação dos sete parâmetros) .......................... 34 
Os modelos de Molodensky ............................................................................... 40 
Bibliografia e Referências .......................................................................................... 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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António Pestana Elementos de Geodesia 1 
Introdução 
O texto que se segue deriva, em grande parte, do excelente “Topografia (Geodesia & 
Cartografia)” da autoria do Prof. João Casaca, mencionado na bibliografia. 
 
A definição de um sistema de coordenadas global, aplicável a todo o globo terrestre, 
obriga ao prévio conhecimento da forma e das dimensões da Terra. Quando analisada no seu 
conjunto, a superfície terrestre é extremamente lisa: mesmo as mais altas montanhas e as mais 
profundas depressões existentes na sua superfície são virtualmente indetectáveis sobre a suave 
curvatura global do nosso planeta. Admita-se que pretendemos representar o globo terrestre 
por uma esfera com 25 centímetros de diâmetro; tomando para diâmetro médio da Terra o 
comprimento de 12 734 Km, então o cume do Monte Everest (8 850 metros de altitude) será 
assinalado nessa esfera por uma elevação de 0.18 milímetros enquanto que à fossa das 
Marianas corresponderá um rasgo com 0.22 milímetros de profundidade (Robinson et alii, 
1995)! 
Ao longo de milénios, a idealização da forma geral da Terra evoluiu desde o modelo 
da superfície plana até aos modelos esféricos suficientemente aproximados para permitirem 
explorar, navegar e cartografar todo o planeta. Em 1670, na sequência da formulação da sua 
Teoria da Gravitação Universal, Newton previu que a Terra, devido ao movimento de rotação 
em torno de si mesma, deveria apresentar uma configuração ligeiramente achatada nos pólos 
(achatamento de cerca de 1/300). No entanto, as medições efectuadas em França pelo abade 
Picard e por Cassini, efectuadas em finais do século XVII e início do século XVIII, 
contrariavam a previsão de Newton. Para por termo à controvérsia que oponha franceses a 
ingleses, a Academia Francesa das Ciências patrocinou duas campanhas de medições de 
campo, que decorreram de 1735 a 1744, na Lapónia e no Perú. Os resultados destas duas 
expedições científicas confirmaram as previsões de Newton (Snyder, 1987, Robinson et alii, 
1995, Casaca, 1999). De seguida vão ser abordadas resumidamente as três superfícies que 
melhor aproximam, de um modo global, a superfície da Terra: a superfície esférica, a 
superfície elipsoidal e o Geóide. Quanto à superfície plana, o seu uso restringe-se ao âmbito 
da Topografia, visto ser completamente inadequada para modelo da superfície terrestre em 
regiões vastas. 
 
 
2 Elementos de Geodesia António Pestana 
A Superfície Esférica 
Pitágoras (600 a.C.), um matemático genial, considerava a esfera como o mais 
perfeito corpo imaginável. Como a Terra tinha sido criada pelos deuses, eles só poderiam 
criar um corpo perfeito e, portanto, a Terra seria esférica. Foi Aristóteles (400 a.C.) quem 
primeiro forneceu argumentos consistentes com esta hipótese (o gradual desaparecimento dos 
navios no horizonte). A forma esférica também é compatível com as formas reveladas por 
outros corpos celestes – o Sol e a Lua – bem como com a forma da sombra que a Terra produz 
sobre a Lua. O egípcio Erastótenes (250 a.C.) estimou o perímetro desta esfera em 
46.250 Km, valor que difere apenas 15% do valor do perímetro médio terrestre! 
 
A Superfície Elipsoidal 
Depois de conhecidos os resultados das expedições promovidas pela Academia 
Francesa das Ciências à Lapónia e ao Chile, foi aceite definitivamente que a Terra apresenta 
um muito ligeiro achatamento nos pólos, e que este achatamento se aproxima muito do valor 
previsto por Newton. Assim sendo, a figura geométrica simples que mais aproximadamente 
modela a real superfície do globo terrestre passou a ser um elipsóide oblato (figura gerada 
pela rotação de uma elipse em torno do seu semieixo menor). 
 
Parâmetros e Medidas Elipsoidais 
É muito frequente a utilização dos seguintes parâmetros elipsoidais: 
 
Figura 1: Semieixos da elipse geradora de um elipsóide 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 3 
� os semieixos maior (a) e menor (b) 
� achatamento abaf )( −= 
� quadrado da primeira excentricidade 2222 )( abae −= 
� quadrado da segunda excentricidade )1( 222 ee −=ε 
 
As medidas elipsoidais que se apresentam de seguida vão ser de grande importância, 
quer para os temas de Geodesia que ainda vão ser tratados, quer para a Cartografia: 
 
a) Raio de curvatura do meridiano à latitude φ, 
322
2
)sen1(
)1(
φ−
−
=
e
eaRM 
b) Raio de curvatura da secção normal principal à latitude φ, 
sen1 22 φ−
=
e
aRN 
c) Raio de curvaturado paralelo à latitude φ, φ= cosNP RR 
d) Comprimento de um arco de meridiano entre o Equador e um ponto à latitude φ, 
)8sen6sen4sen2sen( 18161412 L+φβ+φβ+φβ+φβ+φα=S . O parâmetro α é dado 
por 





+γ+γ++=α L42
128
1
8
1
2
1)( ba
 onde )()( baba +−=γ . Também os 
coeficientes ijβ são dados por desenvolvimentos em série: 
LL
LL
+γ=β+γ+γ−=β
+γ−γ=β+γ−γ+γ−=β
4
18
53
16
42
14
53
12
512
315
256
105
48
35
32
15
16
15
32
3
16
9
2
3
 
 
Elipsóides em Uso 
Desde 1800 até aos nossos dias foram efectuadas no mínimo 20 determinações da 
forma e dimensão da Terra. Destes trabalhos resultaram pequenas variações no valor dos 
semieixos e do achatamento que são devidos, não apenas a diferenças na precisão dos 
equipamentos utilizados, mas também à não homogeneidade do campo gravítico terrestre. 
Até há poucos anos os elipsóides eram ajustados à forma da Terra apenas numa 
região da superfície mais ou menos extensa. Após o ajustamento, era frequente que o 
 
4 Elementos de Geodesia António Pestana 
semieixo menor não coincidisse com o eixo terrestre, embora se admitisse serem paralelos; o 
mesmo acontecia com os planos equatoriais. 
Nos últimos anos têm vindo a ser determinados elipsóides com base em informação 
recolhida por satélites; é o caso dos elipsóides adoptados nos sistemas de referência (ver 
adiante Os Referenciais em Geodesia) WGS 72 e WGS84. Estes elipsóides são considerados 
mais precisos, a uma escala global, do que os elipsóides determinados com base apenas em 
medições à superfície, no entanto podem não ser os mais bem ajustados a uma região 
particular. 
Para representações a escalas grandes de regiões suficientemente extensas para não 
ser possível desprezar a curvatura terrestre, isto é, para as quais não seja possível aplicar a 
simplificação topográfica, distâncias, direcções e áreas calculadas sobre aproximações 
esféricas diferem claramente das calculadas sobre aproximações elipsoidais. 
 
Tabela 1: Alguns elipsóides mais utilizados (distâncias em metros). 
 Fontes: Idrisi for Windows Advanced Student Manual 1997; Wikipedia, acedida em Novembro de 2008 
Nome do elipsóide Semieixo maior (a) Semieixo menor (b) 
Airy 6377563.396 6356256.909 
Modified Airy 6377310.189 6356034.448 
Australian National 6378160.000 6356774.719 
Bessel 1841 6377397.155 6356078.963 
Bessel 1841 (Namibia) 6377483.865 6356165.383 
Clarke 1866 6378206.400 6356583.800 
Clarke 1880 6378249.145 6356514.870 
Everest - India 1830 6377276.345 6356075.413 
Everest - India 1956 6377301.243 6356100.228 
Everest - Pakistan 6377309.613 6356108.571 
Everest - Sabah and Sarawak 6377298.556 6356097.550 
Everest - West Malaysia 1969 6377295.664 6356094.668 
Everest - West Malaysia and 
Singapore 1948 
 
6377304.063 
 
6356103.039 
Fischer 1960 6378166.000 6356784.280 
Modified Fischer 1960 6378155.000 6356773.320 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 5 
Nome do elipsóide Semieixo maior (a) Semieixo menor (b) 
Fischer 1968 6378150.000 6356768.340 
GRS80 (tb. denominado GRS1980) 6378137.000 6356752.314140 
Helmert 1906 6378200.000 6356818.170 
Hough 6378270.000 6356794.343 
Indonesian 1974 6378160.000 6356774.504 
Hayford 1909 (International 1924) 6378388.000 6356911.946 
Krassovsky 1940 6378245.000 6356863.019 
Puissant 6377858.400 6356809.362 
SGS 85 6378136.000 6356751.300 
South American 1969 6378160.000 6356774.719 
WGS 60 6378165.000 6356783.290 
WGS 66 6378145.000 6356759.770 
WGS 72 6378135.000 6356750.520 
WGS84 6378137.000 6356752.314245 
 
 
Tabela 2: Elipsóides actualmente utilizados em Portugal nas séries cartográficas e de ortofotomapas. 
Elipsóide Séries Cartográficas e Ortofotomapas 
Bessel 1:50.000 e 1:100.000 SO (IGP) 
GRS80 1:50.000 Continente (IGP, desde 2002) 
É o elipsóide de toda a cartografia 
actualmente executada pelo IGP 
Hayford 1:10.000 e 1:200.000 SC (IGP) 
1:50.000 SC Regiões Autónomas (IGP) 
1:10.000 SO (IGP) 
1:25.000 Continente e 
Regiões Autónomas (IGeoE) 
WGS84 1:25.000 Continente e 
Regiões Autónomas (IGeoE) 
 
 
6 Elementos de Geodesia António Pestana 
A Superfície Geoidal 
O modelo mais fiel da verdadeira (no sentido físico de mensurável) forma geral da 
superfície terrestre é o Geóide. O Geóide é uma equipotencial gravítica correspondente ao 
nível médio dos oceanos. Se a Terra fosse homogénea na sua constituição e de superfície 
regular, então o Geóide seria um elipsóide geocêntrico. Na realidade isto não se verifica; no 
entanto o Geóide nunca se afasta mais de 100 metros de um elipsóide bem ajustado (Snyder 
1987). 
 
O Geóide é a superfície de referência para os trabalhos de campo de geodesia nos 
quais se utilize equipamentos tradicionais de luneta (teodolitos e níveis). A determinação de 
ângulos horizontais, distâncias horizontais e desníveis é feita com referência a superfícies de 
nível que são, recorda-se, equipotenciais gravíticas. No entanto, as determinações horizontais 
são posteriormente ajustadas a um elipsóide. Isto faz-se porque as irregularidades do Geóide 
tornariam as projecções cartográficas e outros cálculos matemáticos extremamente difíceis. 
 
Coordenadas usadas em Geodesia 
As Coordenadas Naturais 
As superfícies de nível (equipotenciais gravíticas) e as linhas do fio de prumo (linhas 
de força do campo gravítico) podem ser utilizadas para definir um sistema tridimensional de 
coordenadas curvilíneas, directamente mensuráveis, designadas por coordenadas naturais ou 
coordenadas astronómicas. Estas coordenadas são denominadas latitude natural, longitude 
natural e altitude ortométrica. 
Figura 2: O Geóide, um elipsóide e a superfície topográfica. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 7 
Para um dado ponto P da superfície terrestre, consideremos as seguintes entidades 
matemáticas: 
n versor da direcção vertical em P (direcção dada pelo fio de prumo, 
sentido oposto ao da gravidade). 
r versor da direcção paralela ao eixo terrestre em P. 
p.m. plano meridiano natural ou astronómico em P. É definido por n e r . 
p.p. plano paralelo ou astronómico em P. Contem P e é perpendicular a r . 
p.E. plano equador natural ou astronómico da Terra. É o plano que contém o 
centro de massa da Terra e é perpendicular ao seu eixo de rotação. 
Evidentemente, é paralelo a p.p. 
 
A latitude natural ou astronómica do ponto P, simbolicamente Φ(P), é o ângulo do 
vector n com o p.p., contado de 0º a 90º, para Norte(+) e Sul(−) do p.E. 
Designa-se por longitude natural ou astronómica de P, simbolicamente Λ(P), o 
ângulo diedro formado pelos planos p.m. e plano meridiano de um ponto convencional 
situado no Real Observatório Astronómico de Greenwich, localidade próxima de Londres . A 
longitude é contada de 0º a 180º, para Este(+) e Oeste(−) de Greenwich. 
A altitude natural ou ortométrica do ponto P, simbolicamente H(P), é o comprimento 
do arco da linha de fio de prumo que contém P, entre a superfície de nível S(P) e o Geóide. 
 
A separação entre duas quaisquer superfícies de nível não é constante. Por isso dois 
pontos à mesma altitude ortométrica não estão necessariamente sobre a mesma superfície de 
nível. A altitude geopotencial (também denominada número geopotencial), é dado pela 
Figura 3: Equipotenciais gravíticas, a linha de força do campo gravítico que passa por um 
ponto e a vertical desse ponto. 
 
8 Elementos de Geodesia António Pestana 
diferença entre o potencial da superfície de nível S(P) e o potencial do Geóide. Esta grandeza, 
que apresenta um valor constante sobre uma mesma superfície de nível, expressa-se em 
unidades geopotenciais (u.g.). Uma u.g. equivale a 1000 gal×m; como 1 gal corresponde a 1 
cm/s2, então 1000 gal corresponde a 10 m/s2, valor muito próximo do da gravidade normal ao 
níveldo mar (aproximadamente 9.8 m/s2). A diferença de potencial entre duas superfícies de 
nível afastadas de uma distância pequena ∆llll é, em grandeza, aproximadamente igual a g×∆llll, 
com g o valor da gravidade média na região. Na vizinhança do Geóide, g≈9.8 m/s2. Assim, 
atendendo apenas aos valores numéricos, ignorando as unidades em que se exprimem as 
grandezas físicas, a altitude geopotencial, calculada em unidades geopotenciais, toma, nas 
proximidades da superfície terrestre, valores sempre muito próximos do valor das 
correspondentes altitudes ortométricas expressas em metros. 
 
O quociente da altitude ortométrica pela gravidade normal à altitude 0 e à latitude 45º 
denomina-se altitude dinâmica. Também a altitude dinâmica é constante sobre as superfícies 
de nível. 
 
As Coordenadas Geodésicas Elipsoidais 
Dado um elipsóide de referência, posicionado relativamente à Terra, os pontos P da 
superfície terrestre podem ser projectados em pontos P' sobre a superfície do elipsóide usando 
como projectantes normais ao elipsóide que passem pelos pontos P. Podemos assim definir 
(ver Figura 5): 
Figura 4: O Equador e o meridiano de referência (meridiano de Greenwich). 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 9 
O meridiano geodésico de P, que é a secção elíptica causada no elipsóide pelo plano 
definido pelo eixo menor do elipsóide e pela normal ao elipsóide em P'. 
 
O paralelo geodésico de P, que é a secção circular causada no elipsóide pelo plano 
paralelo ao Equador elipsoidal que passa por P'. 
 
Tomando como origem o meridiano de Greenwich, designa-se por longitude 
geodésica ou longitude elipsoidal de P, simbolicamente λ, o ângulo diedro dos planos que 
contêm os meridianos geodésicos de P e Greenwich, contado de 0 a 180º, para Este (+) e 
Oeste (−) de Greenwich. 
 
A latitude geodésica ou latitude elipsoidal do ponto P, simbolicamente φ, é o ângulo 
da normal ao elipsóide em P com o plano equatorial do elipsóide, contado de 0º a 90º, para 
Norte (+) e Sul (−) do Equador. 
 
A altitude geodésica ou altitude elipsoidal do ponto P, simbolicamente h, é o 
comprimento do segmento da normal ao elipsóide entre P e P'. 
 
As coordenadas geodésicas elipsoidais são de uso muito simples: se conhecermos a 
latitude e a longitude da nossa posição, facilmente nos localizamos na Terra. Esta 
característica revela-se particularmente relevante para as tarefas de navegação. Por outro lado, 
Figura 5: As coordenadas geodésicas elipsoidais. 
 
10 Elementos de Geodesia António Pestana 
a altura elipsoidal é uma grandeza que, em muitos casos, é uma razoável aproximação à 
altitude. 
 
As Coordenadas Geodésicas Rectangulares 
Após o posicionamento de um elipsóide relativamente à Terra, pode ser-lhe 
associado o referencial cartesiano tridimensional com origem no centro do elipsóide, cujo 
eixo dos zz contem o seu eixo menor, cujo eixo dos xx passa pela intersecção do meridiano de 
Greenwich com o Equador e cujo eixo dos yy forma com os anteriores um triedro directo (ver 
Figura 6). 
Note-se que a utilização de coordenadas rectangulares não implica o prévio 
posicionamento de um elipsóide. Os mais recentes referenciais geodésicos de âmbito global, 
isto é, utilizados para toda a Terra, estabelecem um referencial cartesiano tridimensional, 
convenientemente posicionado relativamente ao nosso planeta, sem que para isso seja 
necessária a definição e posicionamento de um elipsóide. Porém, a comodidade que resulta da 
utilização das coordenadas geodésicas elipsoidais leva a que a estes referenciais globais seja 
sempre associado um elipsóide. 
 
Os Referenciais em Geodesia 
A determinação das coordenadas de pontos implica a definição do referencial 
relativamente ao qual essas coordenadas serão determinadas. Os referenciais em Geodesia são 
utilizados na determinação das coordenadas de pontos situados na superfície terrestre, ou que 
Figura 6: Coordenadas geodésicas rectangulares. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 11 
dela estão muito próximos. Estes referenciais são frequentemente denominados data 
(singular: datum). De acordo com a definição adoptada em 1981 pela DMA1, actualmente 
NGA2 (ex-NIMA3), citada em Casaca (1999), “um datum é um conjunto de quantidades 
numéricas, ou entidades geométricas, que são utilizadas como referência ou base para outras 
quantidades numéricas ou entidades geométricas. 
 
Os data podem ser classificados em função dos seguintes critérios: 
� Dimensão da região de interesse (data locais, destinados a serem utilizados em 
regiões mais ou menos extensas da superfície terrestre, e data globais, 
utilizáveis em toda a Terra); 
� Tipo de coordenadas referenciadas (data geodésicos, relativamente aos quais se 
determinam as coordenadas geodésicas, e data altimétricos, para a 
determinação das alturas ortométricas); 
� Técnicas usadas para o seu estabelecimento (data clássicos e data 
geo-espaciais). 
 
Data Geodésicos Clássicos 
Pode afirmar-se que um datum geodésico clássico, também denominado datum 
geodésico astronómico, é um datum local constituído pelo "conjunto de elementos que 
permitem dimensionar um elipsóide e posicioná-lo relativamente ao Geóide” (adaptação da 
definição apresentada em Henriques, 1993). Como seria de esperar, esta definição é um caso 
particular da definição de datum apresentada anteriormente. 
O elipsóide de um datum geodésico clássico pretende ser uma aproximação ao 
Geóide. Portanto, esse elipsóide deverá ser definido, em termos das suas dimensões 
geométricas, de modo a minimizar os desvios que a sua forma apresente relativamente à 
configuração do Geóide. Para que o ajuste seja de boa qualidade em determinada região é 
sempre necessário abrir mão da qualidade desse mesmo ajuste em outras zonas do globo. A 
qualidade do ajuste também vai depender das dimensões do elipsóide seleccionado e também 
do posicionamento, relativo ao Geóide, que se impuser para esse elipsóide. Este 
 
1
 Defense Mapping Agency, USA 
2
 National Geospatial-Intelligence Agency, USA 
3
 National Imagery and Mapping Agency, USA 
 
12 Elementos de Geodesia António Pestana 
posicionamento é feito com recurso a um só ponto – o ponto de fixação – cujas coordenadas 
naturais foram determinadas recorrendo a observações astronómicas e gravimétricas de 
elevado rigor. Geralmente o elipsóide deixa de ser geocêntrico e por vezes também sofre uma 
rotação. 
A posição do elipsóide em relação ao Geóide é dada por duas grandezas definidas 
num dado ponto – o já referido ponto de fixação – arbitrariamente escolhido sobre a superfície 
terrestre: 
 
� Desvio da vertical: ângulo, sempre muito pequeno ou nulo, entre a direcção da 
vertical (a normal à equipotencial gravítica) e a direcção da normal ao 
elipsóide; 
� Altura geoidal ou ondulação do Geóide: separação entre o Geóide e o 
elipsóide, medida sobre a linha de força do campo gravítico que passa no 
ponto. 
 
Conhecer, para um dado ponto, o desvio da vertical e a altura geoidal, é equivalente a 
conhecer a diferença entre as coordenadas naturais e as coordenadas geodésicas elipsoidais 
Figura 7: Desvios do Geóide relativamente ao elipsóide do Datum 73. Fonte: Henriques 1993. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 13 
nesse ponto (ver adiante A Transformação de Coordenadas Naturais em Geodésicas 
Elipsoidais). Portanto, pode dizer-se que um datum geodésico astronómico é constituído por 
um elipsóide de referência e por um ponto da superfície terrestre cujas coordenadas naturais 
(Φ, Λ e H) são conhecidas com elevado nível de precisão e em relação ao qual é posicionado 
um elipsóide de tal modo que as coordenadas elipsoidais (φ, λ e h) do ponto se tornem 
idênticas às suas coordenadas naturais ou tenham diferenças previamente arbitradas,mas 
sempre pequenas. Numa vizinhança centrada no ponto de fixação, o elipsóide assim 
posicionado torna-se muito próximo do Geóide. 
 
Frequentemente o desvio da vertical é decomposto em três componentes: o azimute 
da vertical e os ângulos (ξ e η) que ela forma com a normal quando projectados segundo 
planos normais de orientação N-S (o plano meridiano que contém o ponto) e E-O. 
 
De modo genérico, se admitirmos que o eixo menor do elipsóide é paralelo ao eixo 
de rotação da Terra, um datum local será constituído pelos seguintes elementos: 
 
� Parâmetros do elipsóide (por exemplo a e b); 
� Coordenadas astronómicas (latitude e longitude) do ponto de fixação; 
� Altura geoidal no ponto de fixação; 
� Desvio da vertical no ponto de fixação. 
 
A irregularidade do campo gravítico – e consequentemente do Geóide – levam a que 
as coordenadas naturais e geodésicas de um mesmo ponto não sejam, de um modo geral, 
iguais (com excepção, eventualmente, do ponto de fixação4). Por outro lado, o 
posicionamento de um mesmo elipsóide relativamente a pontos de fixação diferentes leva a 
que sejam diferentes as correspondentes coordenadas geodésicas de um mesmo ponto do 
terreno. Assim, a cada ponto da superfície terrestre está associado um conjunto único de 
coordenadas naturais, embora lhe possam estar associados diversos conjuntos de coordenadas 
geodésicas. O estabelecimento de um datum geodésico astronómico é baseado num datum 
 
4
 Em Portugal tem sido norma, para o estabelecimento dos data geodésicos e nos respectivos pontos 
de fixação, a imposição da igualdade das coordenadas geodésicas e das coordenadas astronómicas. 
 
14 Elementos de Geodesia António Pestana 
altimétrico, já que é necessário obter a altitude ortométrica do ponto de fixação do elipsóide 
de referência. 
 
A esmagadora maioria dos data geodésicos clássicos é constituída por data locais, 
definidos de modo a que se adaptem bem a uma região, mais ou menos limitada – à escala de 
um país ou continente – do globo terrestre. Por exemplo, o Datum Norte-Americano (NAD) e 
o Datum Europeu estão bem adaptados a grandes regiões, enquanto que o Datum da Graciosa 
apenas é utilizado para ilhas dos Açores. É esta a razão que explica serem classificados como 
locais estes data geodésicos: eles não são definidos de modo a abranger toda a Terra. 
Actualmente, encontram-se em utilização em todo o Mundo várias centenas de data locais. 
 
Data Geodésicos Geo-Espaciais 
Recentemente, têm vindo a ser cada vez mais utilizados data geodésicos definidos 
com recurso à observação de corpos celestes muito distantes e, fundamentalmente, apoiados 
na monitorização rigorosa das perturbações das órbitas de satélites artificiais. Portanto, as 
observações necessárias para a definição destes data deixam de ter de ser feitas em terra 
firme5 e apenas num conjunto, sempre pouco numeroso, de pontos. À medida que os anos vão 
passando, o número de satélites observáveis tem vindo a crescer significativamente, bem 
como o número dos locais de observação (as estações de rastreio ou seguimento6), razão pela 
qual tem vindo a aumentar muito a quantidade de dados disponíveis. Também a qualidade 
destes dados tem sido cada vez maior, já que as técnicas de observação e processamento têm 
sofrido sucessivos melhoramentos. 
O volume e qualidade dos dados disponíveis, tanto em termos de cobertura temporal 
como em termos de cobertura geográfica, permitem a definição de data geodésicos geo-
espaciais aplicáveis a todo o globo: são os data geodésicos globais modernos, de que são 
exemplos o WGS84 e os ITRF. Estes data, que serão apresentados nas subsecções seguintes, 
são particularmente apropriados para sistemas de medição que não utilizem as equipotenciais 
gravíticas como referência (tal como os sistema GNSS7). A utilização destes data globais 
 
5
 O estabelecimento de um datum clássico obriga a observações astronómicas e gravimétricas muito 
exigentes, que apenas são possíveis em terra firme. 
6
 As "tracking stations". 
7
 Sistemas globais de posicionamento por satélite (e.g. GPS, GLONASS, GALILEO, COMPASS) 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 15 
permite que pontos situados em diferentes continentes possam ser relacionados entre si com 
precisão, já que estão definidos relativamente a um mesmo referencial. É cada vez mais 
significativa a produção cartográfica baseada neste tipo de data geodésicos. 
 
Pode dizer-se que um datum geodésico global moderno é constituído por um 
elipsóide cujo centro coincide com o centro de massa da Terra e o seu semieixo menor 
coincide com a posição média do eixo de rotação da Terra. O posicionamento deste elipsóide 
de referência é efectuado à custa das coordenadas de um conjunto grande de estações 
distribuídas pela Terra (Casaca et alii, 2000). 
 
 Tradicionalmente os data eram periodicamente revistos por duas razões principais: 
a) ocorrência de significativos progressos tecnológicos nos equipamentos e técnicas de 
medição; b) alteração da posição dos pontos que, na Terra, tinham sido usados para definir o 
datum. Porém, na actualidade uma terceira razão passou a ter importância significativa: os 
movimentos da crusta terrestre. Estes movimentos, que são resultantes do deslocamento das 
placas tectónicas, têm grandezas da ordem de alguns centímetros por ano mas podem, nos 
caso mais extremos, apresentar velocidades superiores a 10 cm/ano. O recurso aos data geo-
espaciais e instrumentos modernos permite que, na actualidade, o movimento das placas seja 
monitorizado e medido com precisão centimétrica. 
Face ao exposto resulta evidente que, se os intervalos entre campanhas de 
observações forem suficientemente prolongados e se forem utilizados data globais, poderá 
ocorrer uma variação apreciável nas coordenadas de pontos fixos no terreno. Este fenómeno, 
manifestamente inconveniente em trabalhos de índole local ou regional, justifica a criação de 
data geo-espaciais de âmbito regional. 
 
Os conceitos de TRS e de TRF 
Segundo McCarthy (2004), um Sistema de Referência Terrestre (TRS8) é um 
sistema de referência ideal e tridimensional que acompanha o movimento de rotação da Terra. 
Quando calculadas relativamente a um TRS, as coordenadas de pontos fixos sobre a 
superfície sólida da Terra sofrem apenas pequenas variações no tempo; estas pequenas 
 
8
 Terrestrial Reference System. 
 
16 Elementos de Geodesia António Pestana 
variações são devidas à movimentação das placas tectónicas e às deformações da crusta 
terrestre provocadas pela Lua. 
Ainda segundo o mesmo autor, um Quadro de Referência Terrestre (TRF9) é um 
conjunto de pontos físicos cujas coordenadas, num sistema de coordenadas específico 
(cartesiano, geográfico ou cartográfico) relacionado com um TRS, foram determinadas com 
grande precisão. Diz-se que este TRF é uma realização (uma materialização) do TRS; por 
outras palavras: um TRS define o modo como devem ser criados TRF. É usual existirem, para 
um dado TRS, uma sucessão de TRF, cada um dos quais foi determinado utilizando o maior 
número possível de pontos físicos bem como os métodos de cálculo, as técnicas e os 
instrumentos de medição que, à data, eram os melhores disponíveis. Desta forma se obtém 
uma sequência temporal de materializações do TRS, cada uma delas tanto ou mais precisa do 
que qualquer uma das que a precederam. 
Existem vários tipos de TRF; os que nos interessam são os TRF apoiados na crusta 
terrestre (“crust based TRF”) que são constituídos pelas posições de pontos fixos na Terra, 
localizados em terra firme, na maior parte dos casos ocupados por estações de seguimento ou 
por marcos geodésicos. 
 
O Datum WGS84 
O WGS84 é um datum geodésicoglobal definido e mantido pela NGA2. É o datum 
no qual são determinadas as órbitas dos satélites do sistema GPS e, por isso, é o datum no 
qual os receptores GPS determinam as posições que ocupam. A realização física deste datum 
é constituída pelas coordenadas de mais de 1500 estações geodésicas (a maior parte das quais 
são, ou foram, estações de rastreio de satélites). A incerteza associada às coordenadas destes 
pontos fixos é caracterizável por um erro médio quadrático (EMQ) situado entre um e dois 
metros (Casaca et alii, 2000). 
Este datum é constituído por um referencial cartesiano tridimensional com origem no 
centro de massa da Terra e eixos orientados segundo as definições do BIH10 e, desde 1989, do 
IERS11 (em termos genéricos, o sistema de eixos é idêntico ao apresentado na Figura 6). Para 
 
9
 Terrestrial Reference Frame. 
10
 Bureau International de l’Heure. 
11
 International Earth Rotation Service, depois de 2002 denominado International Earth Rotation and 
Reference Systems Service. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 17 
a determinação de coordenadas geodésicas elipsoidais é associado a este datum o elipsóide 
também denominado WGS84, com centro na origem do sistema de eixos. 
 
Os Data ITRF 
O datum WGS84 foi concebido para aplicações de navegação, para as quais as 
precisões posicionais requeridas foram da ordem de um metro. É, por isso, um datum que não 
satisfaz as exigências das aplicações de alta precisão (fundamentalmente as necessidades de 
precisão necessárias para utilização na área das geociências). Assim, foi sentida a necessidade 
da definição de um novo referencial geodésico, um "WGS84 melhorado", que foi denominado 
ITRS12. 
Em 1991 a IAG13 decidiu criar o IGS14 com o objectivo de promover e apoiar 
actividades tais como a manutenção de uma rede de estações permanentes de seguimento dos 
satélites GPS e o cálculo, sempre actualizado, das órbitas daqueles satélites e das coordenadas 
de estações de seguimento (as permanentes e outras que são utilizadas intermitentemente). 
Estas actividades constituem pré-requisitos para a definição de um datum que, embora 
apoiado nos satélites GPS, seja independente da NGA e de outras entidades norte-americanas 
que superintendem a operação e desenvolvimento do sistema GPS. 
 
O IERS11 tem a responsabilidade de definir, realizar e promover um TRS 
denominado Sistema de Referência Terrestre Internacional15, o atrás referido ITRS, 
relativamente qual são referenciadas – e periodicamente recalculadas – as coordenadas das 
estações de seguimento. Entre outras características, este TRS é (McCarthy, 2004): 
� Quase cartesiano e geocêntrico (sendo o centro de massa definido para toda a 
Terra, incluindo os oceanos e a atmosfera) 
� A unidade de comprimentos é a unidade do Sistema Internacional (o metro). 
 
12
 International Terrestrial Reference System. 
13
 International Association of Geodesy (Associação Internacional de Geodesia). 
14
 International GPS Service. 
15
 Por esta razão o IERS mantém em observação a rotação da Terra, a atmosfera, os oceanos, a crusta, 
etc., de modo a controlar, com o maior rigor possível em cada momento, as posições do eixo de rotação da Terra 
e do seu centro de massa (Casaca et alii, 2000). 
 
18 Elementos de Geodesia António Pestana 
� A sua orientação inicial (direcções e sentidos dos eixos) é a definida pelo 
Bureau International de l'Heure (BIH) para a época 1984.0; Em termos 
genéricos, segue o apresentado na Figura 6. 
� A evolução desta orientação no tempo é garantida impondo que seja nula a 
resultante dos movimentos tectónicos horizontais que se verificam em toda a 
Terra. 
 
Praticamente todos os anos é efectuada uma nova combinação dos dados de elevada 
precisão obtidos por técnicas de geodesia espacial, nos quais são cada vez mais 
predominantes os dados provenientes do seguimento dos satélites GPS; resulta assim um novo 
datum (um novo TRF apoiado na crusta terrestre) que é denominado ITRFxx16, denotando os 
dois últimos caracteres o ano no qual foram recolhidos os dados mais recentes utilizados nos 
cálculos. As coordenadas geodésicas cartesianas ITRFxx são, conforme já foi escrito, 
referidas a um referencial cartesiano geocêntrico; as coordenadas geodésicas elipsoidais são 
referidas ao elipsóide GRS 80. A incerteza associada às coordenadas dos pontos fixos (as 
estações de seguimento) é caracterizável por um erro médio quadrático (EMQ) de poucos 
centímetros (Casaca et alii, 2000). 
Os data da série ITRF apresentam uma outra característica que os distingue do 
WGS84: a sua definição física não consiste apenas nas coordenadas de um conjunto de 
estações terrestres mas inclui também as velocidades com que estas se deslocam, devido às 
movimentações das placas regionais e continentais. Assim é possível calcular as coordenadas 
de estações num datum definido em data anterior àquela para a qual se faz o cálculo – a época 
(por exemplo, calcular coordenadas ITRF96 para o ano 2000, ou seja, o datum ITRF96 na 
época 2000.0). Só se tanto o datum como a época forem iguais é que dois data são idênticos 
(ITRF96 na época 2000.0 é um datum diferente – embora apenas muito ligeiramente diferente 
– do datum ITRF96 na época 1998.0). A posição, na época t, de um ponto da superfície sólida 
da Terra, será dada por: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0= + × − +∑ i
i
t t t t t tP P V C 
 
16
 International Terrestrial Reference Frame. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 19 
Nesta expressão ( )tP e ( )0tP são os vectores de posição do ponto nas épocas 0t e t, 
( )0tV é o vector de velocidade do ponto na época 0t e a parcela ( )∑ i
i
tC incorpora no 
modelo um conjunto de correcções referidas à época t e devidas, nomeadamente, às marés 
terrestres, à carga oceânica, à carga atmosférica e à ressonância pós-glaciar (Torres, 2008). 
Embora inicialmente criados para satisfazerem o elevado grau de precisão exigido 
para os trabalhos do âmbito da Geodinâmica e da Geofísica, os data da série ITRF têm vindo 
a ser cada vez mais usados como base para os mais recentes data geodésicos nacionais (por 
exemplo, o novo datum australiano, o Geocentric Datum of Australia, é definido como sendo 
o ITRF92 na época 1994.0). 
 
O Instituto Geográfico Português preconiza, para as Regiões Autónomas, a utilização 
do ITRF93. Nas páginas Web desta instituição podia ler-se em 2008: 
“O estabelecimento … nas Regiões Autónomas de Portugal baseia-se na ligação das 
redes geodésicas ao sistema ITRF93 (International Terrestrial Reference Frame 1993), 
suportada pela solução da campanha internacional TANGO 1994 (Trans-Atlantic Network 
for Geodynamics and Oceanography) onde foram observados com GPS pelo menos um 
vértice geodésico de cada ilha. 
Nos anos subsequentes (entre 1995 e 2005) foram observadas com GPS as redes 
geodésicas de todas as ilhas, tendo o seu ajustamento sido efectuado constrangendo as 
observações às coordenadas resultantes da anterior campanha internacional. 
… 
Este sistema deverá substituir completamente os anteriormente usados, que se 
consideram obsoletos.” 
 
O ETRS89 
A utilização de um datum global, como o WGS84 ou um ITRFxx, em tarefas de cariz 
topográfico com âmbito local ou regional pode apresentar inconvenientes dignos de nota. 
Estes inconvenientes prendem-se com o facto de que as placas tectónicas se movimentam, 
umas em relação às outras, com velocidades que podem atingir, nas situações mais extremas, 
12 cm por ano. O conjunto do território europeu move-se a uma velocidade de cerca de 2.5 
cm por ano, pelo que as coordenadas WGS84 ou ITRFxx de um qualquer ponto físico 
 
20 Elementos de Geodesia António Pestanaeuropeu se irão alterando no tempo. Ao fim de um intervalo de tempo suficientemente 
extenso, as variações de coordenadas tornam-se incompatíveis com as utilizações em 
Topografia. 
O ETRS89 é um sistema global de referência recomendado pela EUREF17 que, tal 
como os ITRF, é estabelecido através de técnicas espaciais de observação (para mais 
informação aceder a http://www.epncb.oma.be/ ). No simpósio da EUREF realizado em Itália 
em 1990 foi adoptada a seguinte resolução (Instituto Geográfico Português, 2005): "A Sub-
comissão da IAG para o Referencial Geodésico Europeu (EUREF) recomenda que o sistema 
a ser adoptado pela EUREF seja coincidente com o ITRS na época de 1989.0 e fixado à parte 
estável da Placa Euro-Asiática18, sendo designado por Sistema de Referência Terrestre 
Europeu 1989 (European Terrestrial Reference System – ETRS89)". A menção à “parte 
estável da Placa Euro-Asiática” traduz o facto de se verificar que os pontos europeus dos 
ITRF se movem muito lentamente e em bloco, apresentando todos eles deslocamentos anuais 
da ordem de um centímetro. 
 
Se, de modo análogo ao utilizado para as realizações do ITRS, designarmos por 
ETRFxx as realizações do ETRS, resulta da definição deste sistema de referência que o 
ETRF89 é constituído pelas coordenadas dos pontos que, pertencendo ao ITRF89, estão 
localizados na Europa. O ETRS89 garante diferenças inferiores a um metro relativamente ao 
WGS84. Tal como já acontecia no ITRS, as coordenadas geodésicas no sistema ETRF89 
podem ser cartesianas, referidas a um referencial geocêntrico, ou elipsoidais, baseadas no 
elipsóide GRS 80. 
 
17
 A European Reference Frame, que é uma subcomissão da Associação Internacional de Geodesia 
(IAG) 
18
 Utiliza apenas os pontos do ITRF localizados na Europa, até aos Montes Urais (Boucher, 2001). 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 21 
 
Figura 8: Rede de Estações Permanentes da EUREF em Maio de 2006. 
Retirado de http://www.epncb.oma.be/ 
“O estabelecimento do ETRS89 em Portugal Continental foi efectuado com base em 
campanhas internacionais, que tiveram como objectivo ligar a rede portuguesa à europeia. 
… toda a rede geodésica de 1.ª ordem do Continente foi observada com GPS, tendo o seu 
ajustamento sido realizado fixando as coordenadas dos pontos estacionados nas anteriores 
campanhas europeias. A rede de 2.ª ordem está a ser calculada num só bloco, a partir das 
observações GPS, com ligação à rede primordial. Estima-se que a precisão das coordenadas 
ETRS89 seja de 3 cm para a rede de 1.ª ordem e de 5 cm para a rede de 2.ª ordem. O IGP 
está a desenvolver procedimentos para a determinação de coordenadas ETRS89 para toda a 
Rede Geodésica Nacional. … antes do final de Junho estarão disponíveis para consulta 
on-line as coordenadas ETRS89 dos vértices geodésicos de 1.ª e 2ª ordem.”. Texto extraído 
do Dossiê Especial “Instituto Geográfico Português (IGP)”, parte integrante da edição 
 
22 Elementos de Geodesia António Pestana 
n.º 1751 do semanário Expresso de 20 de Maio de 2006. As coordenadas ETRS89 dos 
vértices geodésicos nacionais estão, tal como era anunciado naquela publicação, disponíveis 
em http://www.igeo.pt/produtos/geodesia/vg/rgn/rgn.asp. 
 
Datum Altimétrico 
A constituição dos referenciais geodésicos tem obedecido, ao longo dos tempos, às 
características da tecnologia disponível e aos níveis de precisão exigíveis para as medições. 
Assim, o espaço tridimensional foi sempre separado em duas componentes, cada uma das 
quais é passível de tratamento autónomo. Estas duas componentes são medidas relativamente 
a referenciais independentes: um deles é usado para a determinação das coordenadas 
geodésicas – o datum geodésico, de que já tratamos – enquanto que o outro referencial é 
destinado à medição das altitudes ortométricas – o datum altimétrico (ou datum vertical). 
 
Figura 9: Evolução do nível médio do mar no marégrafo de Cascais. 
Fonte: Torres 1993. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 23 
O datum altimétrico consiste unicamente na especificação de uma superfície de nível 
do campo gravítico (equipotencial gravítica). Convencionou-se que esta superfície de nível 
corresponde ao nível médio das águas do mar19. 
Para a definição deste nível médio é necessário um registo, suficientemente longo, 
dos níveis médios do mar para o que é imprescindível a existência de marégrafos. O primeiro 
marégrafo utilizado em Portugal (e quarto na Europa) foi instalado em Cascais, no ano de 
1882. Essa instalação destinou-se ao registo contínuo do nível médio do mar para a atribuição 
de uma altitude de origem à rede de nivelamento de alta precisão, cuja observação foi iniciada 
praticamente na mesma ocasião (ver Figura 9). 
Os data verticais são superfícies de nível em relação às quais são medidas: 
 
� Altitudes ortométricas, quando a superfície de nível de referência é o Geóide, 
geralmente definido por um ponto na vizinhança de um marégrafo; 
� Cotas ortométricas, quando a superfície de nível de referência é arbitrária, 
geralmente definida por um ponto bem identificado no terreno. As cotas dos 
pontos variam com a superfície de referência. A diferença entre as cotas de 
dois pontos é, no entanto, constante e igual à diferença entre as suas altitudes 
(desnível ortométrico). 
 
O datum altimétrico nacional (denominado habitualmente Cascais Helmert 38, já que 
corresponde ao nível médio determinado no marégrafo de Cascais até ao último dia de 1938), 
estabelecido em 1939, “… é a superfície equipotencial gravítica definida pelo nível médio do 
mar resultante das leituras realizadas no marégrafo de Cascais entre 1882 e 1938” (Casaca 
et alii, 2000). Em Hidrografia, por uma questão de segurança, são tomadas como referência 
altimétrica as superfícies de nível correspondentes ao nível médio da maré baixa ou ainda à 
mais baixa maré baixa. Em Portugal, o datum altimétrico hidrográfico – o zero hidrográfico – 
tem uma altitude −2.08 m relativamente ao datum altimétrico usado em geodesia e topografia 
(Casaca et alii, 2000). 
 
 
19
 O nível médio do mar é uma equipotencial do campo resultante da sobreposição do efeito da 
gravidade terrestre com o efeito da rotação da Terra em torno do seu eixo; no entanto, o efeito da rotação é muito 
pequeno, variando de 0 (nos pólos) a 0.5% da força gravítica no Equador (Cooper, 1987). 
 
24 Elementos de Geodesia António Pestana 
Data geodésicos utilizados no território nacional 
Os data geodésicos utilizados actualmente na cartografia oficial do território 
português são, conforme já foi referido neste texto, o ETRS89 (no Continente) e o ITRF93 
(nas Regiões Autónomas). Porém, vários data geodésicos clássicos foram utilizados (e ainda 
são) nos últimos cem anos, sendo por isso grande a probabilidade de encontrarmos 
informação neles referenciada. Os data geodésicos clássicos são tradicionalmente designados 
pelo topónimo do ponto de fixação (Castelo de São Jorge, Melriça, São Braz, Porto Santo, 
etc.). 
Na cartografia topográfica do território de Portugal têm sido utilizados diversos 
elipsóides (Puissant, Bessel e Hayford) posicionados em diferentes pontos do território, para 
os quais foram determinadas as suas coordenadas naturais. Estes trabalhos, no que diz respeito 
à cartografia oficial civil, foram sempre da competência exclusiva do organismo público 
responsável pelas operações de cartografia e cadastro no território nacional20. 
 
Os data locais de âmbito estritamente nacional têm sido definidos de tal modo que o 
desvio da vertical e a altura geoidal nos pontos de fixação são nulos (ver nota de rodapé 
número 4). Assim, para posicionar relativamente ao Geóide o elipsóide seleccionado, basta 
estabelecer as coordenadas astronómicas do ponto de fixaçãoe fazê-las coincidir com as 
coordenadas geodésicas do mesmo ponto. Na Tabela 3 e na Tabela 4 são apresentados alguns 
dos data astronómicos actualmente em uso no território nacional (os data das regiões 
autónomas são todos baseados no elipsóide de Hayford). 
 
 
20
 Este organismo tem tido várias denominações: apenas nos últimos vinte anos já se chamou Instituto 
Geográfico e Cadastral (IGC), Instituto Português de Cartografia e Cadastro (IPCC) e, desde Agosto de 2002, 
Instituto Geográfico Português (IGP). O IGP, como autoridade nacional de geodesia, cartografia e cadastro, tem 
por missão assegurar a execução da política nacional de informação geográfica de base, competindo-lhe a 
regulação do exercício daquelas actividades, a homologação de produtos, a coordenação e desenvolvimento do 
Sistema Nacional de Informação Geográfica e a promoção da investigação no âmbito das ciências e tecnologias 
de informação geográfica. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 25 
Tabela 3: Data clássicos usados em Portugal Continental. Fontes: Casaca 1999, Henriques 1993, Pinto 1992. 
 
Denominação 
Produção 
cartográfica 
 
Elipsóide 
Ponto de fixação 
(latitude,longitude) 
Datum Lisboa 121 
(DtLxB) 
1:50.000 
1:100.000 
 
Bessel 
Castelo de S. Jorge 1 
(38º42'43.631" , −9º07'54.806") 
Datum Lisboa 2 
(DtLxH) 
1:10.000 
1:25.000 
1:200.000 
 
 
Hayford 
 
Castelo de S. Jorge 2 
(38º42'43.631" , −9º07'54.862") 
Datum 7322 
(Dt73) 
 
Ortofotomapas 
 
Hayford 
Vértice Geodésico Melriça TF4 
(39º41'37.30" , −8º07'53.31") 
Datum Europeu 1950 
(ED50) 23 
Cartas 
militares 
 
Hayford 
Potsdam 
(52º22'51.450" , 13º03'58.740") 
 
 
Figura 10: Monumentação e localização do vértice geodésico Melriça TF4 
 
 
21
 Este datum foi utilizado nos finais do século XIX. 
22
 As observações astronómicas foram efectuadas em 1964. De acordo com informação 
disponibilizada nas páginas Web do IGP (acedidas em Novembros de 2008): "O Datum 73 foi estabelecido na 
década de 1970, posteriormente à reobservação da rede geodésica de Portugal Continental. As observações 
angulares foram efectuadas na década de 1960 com teodolitos Wild T3 e T4, tendo a orientação da rede sido 
estabelecida pelo azimute Melriça TF4�Montargil. A escala da rede foi dada pela base de ínvar de Vilar 
Formoso e por vários outros lados observados com Geodímetro AGA, Electrotape e Telurómetro. Foi escolhido 
para ponto origem do Datum um vértice geodésico no centro do País (ao contrário do Datum Lisboa que tem a 
sua origem numa extremidade do território) por forma a minimizar as eventuais distorções da rede. O cálculo da 
rede geodésica de primeira ordem foi realizado num só bloco, pelo método de variação de coordenadas." 
23
 Este datum apresenta, no seu ponto de fixação, um pequeno desvio da vertical caracterizável pelas 
componentes meridional e perpendicular (ξ=3.36" , η=1.78") (Ribeiro 1993) 
 
26 Elementos de Geodesia António Pestana 
Tabela 4: Data clássicos das Regiões Autónomas (todos baseados no elipsóide de Hayford). 
Fonte: Henriques 1993. 
 
Arquipélago 
 
Ilhas 
Ponto de fixação 
(latitude , longitude) 
Açores Flores e Corvo Observatório – Sta. Cruz das Flores 
(39º 26' 52.613" , −31º 07' 27.100") 
Terceira, Graciosa, 
S. Jorge, Pico e Faial 
Base SW na ilha Graciosa 
(39º 03' 54.934" , −28º 02' 23.882") 
S. Miguel e Sta. Maria S. Braz 
(37º 44' 05.815" , −25º 40' 23.581") 
Madeira Todas Est. Astronómica – Ilha de Porto Santo24 
(33º 03' 23.941" , −16º 20' 01.230") 
 
Rede de Nivelamento Geométrico e Rede Geodésica 
A altitude média do mar obtida no marégrafo de Cascais serve de referência para a 
determinação, por nivelamento geométrico, da altitude do ponto de fixação do datum 
geodésico. A partir do marégrafo, são também determinadas, por nivelamento geométrico de 
alta precisão25, as altitudes de um conjunto de cerca de 3000 pontos, distribuídos ao longo das 
principais vias de comunicação do País, numa extensão de aproximadamente 3000 Km. A este 
conjunto de pontos atribui-se a denominação de rede de nivelamento geométrico (ver Figura 
11). 
 
24
 Este datum também é conhecido como Base S.E. (Pinto 2001) 
25
 Erro relativo médio da ordem de 3×10−7 (Torres 1993). 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 27 
 
Na cartografia das zonas costeiras e estuarinas o Instituto Hidrográfico utiliza como 
referência altimétrica, por razões de segurança para a navegação, uma superfície de nível 2.08 
metros abaixo do datum altimétrico de Cascais. 
Os levantamentos topográficos são muito frequentemente apoiados num conjunto de 
pontos cujas coordenadas geodésicas26, relativas aos diversos data geodésicos em uso, são 
conhecidas com elevado grau de precisão. Estes pontos – os vértices geodésicos – são 
usualmente representados graficamente interligados por segmentos de recta, formando uma 
 
26
 Relativamente a estes pontos são também conhecidas as coordenadas cartográficas, coordenadas 
cartesianas bidimensionais cujo uso é usualmente muito mais cómodo. As coordenadas cartesianas serão 
apresentadas nos “Elementos de Cartografia”. 
Figura 11: Rede de nivelamento geométrico: Alta precisão (REUN), 
Alta Precisão (primordial) e Precisão (secundária). Fonte: Torres 1993. 
 
28 Elementos de Geodesia António Pestana 
malha triangular, denominada rede geodésica. Esta forma de representação está relacionada 
com o método de cálculo tradicionalmente empregue para a determinação das coordenadas 
desses vértices: medição dos ângulos horizontais formados pelos lados dos triângulos, e 
utilização destes valores na determinação, por processos puramente trigonométricos, das 
coordenadas geodésicas dos vértices a partir das coordenadas do ponto de fixação do datum 
geodésico. 
 
 
As altitudes dos vértices geodésicos são normalmente determinadas por nivelamento 
trigonométrico. As coordenadas dos cerca de 9000 vértices geodésicos existentes no território 
nacional estão disponíveis em http://www.igeo.pt/produtos/geodesia/vg/rgn/rgn.asp. 
Figura 12: Rede geodésica primordial (vértices de 1.ª ordem). Fonte: Vasconcelos, 2005. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 29 
 
Cabeço 2.º (3.ª ordem) Luzim (1.ª ordem) 
 
 
Figura 13: Exemplo de um vértice geodésico de 3.ª ordem e de outro de 1.ª ordem. 
A Transformação de Coordenadas 
O problema da transformação de coordenadas põe-se, na maioria dos casos, em dois 
níveis completamente distintos: transformação de coordenadas num mesmo datum (sistema) 
geodésico ou transformações de coordenadas por mudança de datum. Por generalidade, será 
também referido o problema da conversão de coordenadas naturais em coordenadas 
geodésicas. 
Conforme é ilustrado na Figura 14, a transformação de coordenadas por mudança de 
sistema geodésico (mudança de datum) pode ser efectuada ao nível das coordenadas 
geodésicas rectangulares, das coordenadas geodésicas elipsoidais ou das coordenadas 
cartográficas (coordenadas cartesianas planas). As mudanças de sistema geodésico são, 
sempre que possível, efectuadas ao nível das coordenadas geodésicas rectangulares. Se tal não 
for possível, então deverá operar-se sobre as coordenadas geodésicas elipsoidais. 
 
30 Elementos de Geodesia António Pestana 
As transformações que envolvam coordenadas cartográficas serão tratadas nos 
Elementos de Cartografia. No entanto, desde já se refere que a utilização de transformações 
polinomiais nas mudanças de coordenadas cartográficas, não deve ser efectuada senão em 
zonas de dimensão reduzida, de modo a manter os erroscometidos dentro de limites 
aceitáveis (IGN – (a), 1999). 
 
A transformação, por mudança de datum, mais utilizada, é a transformação de 7 
parâmetros (Bursa-Wolfe). Esta transformação opera sobre coordenadas geodésicas 
rectangulares. As fórmulas de Molodensky, que operam sobre as coordenadas geodésicas 
elipsoidais, são desenvolvimentos em série truncados, cuja ordem influencia evidentemente a 
precisão da transformação. 
 
A Transformação de Coordenadas Naturais em Geodésicas Elipsoidais 
A transformação entre as coordenadas naturais de um qualquer ponto P e as 
correspondentes coordenadas elipsoidais associadas a um dado datum geodésico, exige o 
conhecimento, nesse ponto, dos valores das componentes meridiana (ξ) e perpendicular (η) 
do desvio da vertical em cada ponto, bem como da altura geoidal (H0). A altura geoidal 
(também denominada ondulação do Geóide) é dada pelo comprimento do segmento da linha 
Figura 14: Transformações de coordenadas mais frequentes. 
Sistema A Sistema B
Coord. rectangulares
Coord. elipsoidais
Coord. cartográficas Coord. cartográficas
Coord. elipsoidais
Coord. rectangulares
 
António Pestana Elementos de Geodesia 31 
de fio-de-prumo – linha de força do campo gravítico – que passa em P, entre o Geóide e o 
elipsóide (positivo para o exterior e negativo para o interior do elipsóide). 
 
Uma vez conhecidas as componentes do desvio da vertical e a ondulação do Geóide 
em P, a transformação das coordenadas naturais em geodésicas é muito simples: 
 
0 ; sec ; HHh +≈φη+Λ=λξ+Φ=φ 
 
Exemplo: Os valores dos desvios da vertical nos vértices da rede 
geodésica de Portugal continental, relativamente ao elipsóide de Hayford 
posicionado em Potsdam, no Datum Europeu ED50, podem atingir cerca de 15". 
No vértice geodésico Melriça, cujas coordenadas naturais são: 
Φ=39°41'37.33", Λ=8°07'53.43", H=600.5lm 
os desvios da vertical e a ondulação do Geóide relativos ao ED50: 
ξ=-7.39", η=-6.83", H0 = -30.11 m permitem calcular as suas 
coordenadas geodésicas ED50: 
φ=39°41'29.94", λ=8°07'44.55", h=570.40 m 
 
A Transformação de Coordenadas Elipsoidais em Rectangulares 
As coordenadas cartesianas tridimensionais de um ponto do terreno (ver Figura 6) 
podem ser obtidas a partir das suas coordenadas elipsoidais φ, λ e h, relativas a um dado 
datum geodésico, por 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]sen1 ; sencos ; coscos 2 φ+−=λφ+=λφ+= heRzhRyhRx NNN 
 
A transformação inversa pode ser realizada por: 
 








θ−+
θε+
=φ
3222
32
cos
sen
arctan
aeyx
bz
 , 
x
y
arctan=λ
 , NR
yx
h −φ
+
=
cos
22
 
onde 
22
arctan
yxb
za
+
=θ
 
 
32 Elementos de Geodesia António Pestana 
A determinação das coordenadas geodésicas elipsoidais a partir das coordenadas 
geodésicas rectangulares obriga a especial cuidado na utilização de calculadoras na determinação 
da latitude e da longitude. 
Nas calculadoras científicas as funções trigonométricas inversas devolvem sempre 
resultados no intervalo ]−90°,+90°[, medidos positivamente a partir do semieixo positivo das 
abcissas, no sentido anti-horário. Seja v o ângulo devolvido pela calculadora após determinação 
da função arctan. A definição dos sistema de eixos coordenados e convenção de sinais já foi 
referida atrás neste texto (ver As Coordenadas Geodésicas Elipsoidais). 
Figura 15: A função arctan e a determinação da latitude geodésica 
z
plano do Equador
n
m
v φ
n
z
plano do Equador
v
m
n
z
plano do Equador
v
m
n
m v
z
plano do Equador
ângulos v 
positivos
m>0
n>0
v>0
φ=v
m>0
n<0
v<0
φ=−v
m<0
n>0
v<0
φ=v
m<0
n<0
v>0
φ=−v
φ
φφ
 
António Pestana Elementos de Geodesia 33 
Sendo m o numerador e n o denominador do argumento da função arctan na 
determinação de φ, então as quatro situações possíveis para a determinação da latitude são 
apresentadas na Figura 15. Refira-se porém que, nas situações mais correntes (pontos próximos 
da superfície terrestre), o valor de n será positivo. Note-se que o ângulo auxiliar θ é sempre igual 
ao valor dado pela calculadora. Isto acontece porque, relativamente à fracção argumento da 
função arctan, apenas o numerador poderá ser negativo e, portanto, θ apenas poderá tomar valores 
no intervalo ]−90°,+90°[. Relativamente ao cálculo da longitude, as quatro situações possíveis são 
as apresentadas na Figura 16. 
 
Mudanças de Datum 
As relações existentes (os parâmetros de transformação) entre dois data são 
determinadas empiricamente, isto é, com base em medições pontuais efectuadas em 
campanhas de trabalhos de campo. Os parâmetros de transformação assim determinados têm 
Figura 16: A função arctan e o cálculo da longitude geodésica 
y (Este)
x
X
Y
v λ
X
x
v
Y
X
x
v
Y
X
Y v
x
ângulos v 
positivos
Y>0
X>0
v>0
λ=v
Y>0
X<0
v<0
λ=180+v
Y<0
X>0
v<0
λ=v
Y<0
X<0
v>0
λ=−180+v
λ
λ
λ
y (Este)
y (Este)y (Este)
 
34 Elementos de Geodesia António Pestana 
níveis de precisão muito variados que dependem, nomeadamente, do número de pontos 
utilizados, da sua distribuição e do rigor das determinações efectuadas. 
 
Modelo de Bursa-Wolfe (transformação dos sete parâmetros) 
As coordenadas geodésicas rectangulares (x,y,z) de um ponto, relativas a um 
determinado datum geodésico, podem ser relacionadas com as coordenadas rectangulares 
(u,v,w) do mesmo ponto, relativas a um segundo datum geodésico, por intermédio de uma 
transformação de semelhança. Esta transformação consiste numa rotação (R) seguida por uma 
mudança de escala (σ) e por uma translação (∆). A rotação destina-se a alinhar os eixos do 
referencial de partida com os do referencial de chegada. A translação permite sobrepor a 
origem dos dois referenciais. A transformação de semelhança preserva a forma (portanto os 
ângulos não são modificados), mas pode mudar o comprimento de linhas e a posição de 
pontos (Pearse 1997). 
A tradução matricial da transformação de semelhança é = σ +U R X% ∆∆∆∆ , com 
cos cos cos sen sen
sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos
cos sen cos sen sen cos sen sen sen cos cos cos
ϕ κ ϕ ω − ϕ 
 
= κ ϕ ω − κ ω κ ϕ ω + κ ω κ ϕ 
 κ ϕ ω + κ ω κ ϕ ω − κ ω κ ϕ 
R%
 
Nesta matriz os parâmetros k, ϕ e ω são ângulos que exprimem três rotações 
sucessivas em tomo dos eixos dos xx, dos yy e dos zz. 
Nas mudanças de datum geodésico, os parâmetros k, ϕ e ω são ângulos27 muito 
pequenos (valores, em módulo, sempre inferiores a alguns segundos de grau). Atendendo aos 
valores diminutos assumidos pelos três ângulos de rotação, teremos que 
 
1
1 k
k 1
ω −ϕ 
 ≅ −ω 
 ϕ − 
R%
 
 
27
 Uma rotação em torno de um eixo coordenado será positiva quando, observada da extremidade 
positiva desse eixo, se efectuar no sentido anti-horário. O International Earth Rotation Service (IERS) considera 
que é o espaço que roda em torno dos eixos coordenados; porém, é tradição em alguns países considerar que são 
os eixos coordenados que rodam. A adopção de uma ou de outra destas definições não altera os valores das 
rotações, mas troca-lhes o sinal (ICSM 2006). As rotações que figuram nas tabelas deste texto são todas 
consistentes com os restantes parâmetros das transformações de Bursa-Wolfe a que dizem respeito, não lhes 
devendo, portanto, ser trocado o sinal. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 35 
e, então, podemos escrever 
1
1 k
k 1
u x x
v y y
w z z
ω −ϕ ∆       
      
= σ + ≅ = σ −ω + ∆      
      ϕ − ∆       
U R X% ∆∆∆∆ 
onde σ é um factor de escala, próximo da unidade e ),,( zyx ∆∆∆=∆∆∆∆ é o vectortranslação da 
origem do referencial de partida para a origem do referencial de chegada. Sob esta forma a 
transformação de semelhança é denominada transformação de Bursa-Wolfe; em Geodesia é 
considerada uma transformação de “média precisão” (ICSN, 2006). 
 
Os parâmetros de rotação, escala e translação da transformação de Bursa-Wolfe 
podem ser estimados a partir de um conjunto de pontos cujas coordenadas cartesianas 
tridimensionais relativas aos dois data sejam previamente conhecidas. A fórmula de 
Bursa-Wolfe permite formar um sistema de equações não linear para cuja resolução, em 
ordem aos parâmetros desconhecidos, pode ser utilizado o método descrito seguidamente. 
Tendo em atenção o pequeno valor dos ângulos de rotação e que σ é, muito 
aproximadamente, unitário, pode escrever-se 
σ+=σ d1 , RIR ~d~~ += onde I~ é a matriz identidade 3×3 e 












−ϕ
ω−
ϕ−ω
=
0k
k0
0
~d R 
 
∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ +σ++≈+σ+σ++=+σ= XXRXXRXXRXXRU d~d~ddd~d~ 
 
Portanto, se ignorarmos a parcela de segunda ordem resulta a relação: 
 
∆∆∆∆+σ+≈− XXRdXU d~ 
Considerando três pontos de coordenadas conhecidas nos dois sistemas, a relação 
anterior permite constituir o seguinte sistema de equações lineares: 
 
 
36 Elementos de Geodesia António Pestana 
ξξξξββββ =≡




























−
−
−
−
−
−
−
−
−
=






















∆
∆
∆
ω
ϕ
σ
×




























−
−
−
−−
−
−
−
−
−
A~
33
33
33
22
22
22
11
11
11
k
d
1000333
0103033
0013303
1000222
0102022
0012202
1000111
0101011
0011101
zw
yv
xu
zw
yv
xu
zw
yv
xu
z
y
x
xyz
xzy
yzx
xyz
xzy
yzx
xyz
xzy
yzx
 
 
A informação proporcionada por dois pontos com coordenadas conhecidas nos dois 
data não é suficiente para determinar os sete parâmetros da transformação. A informação 
proporcionada por três pontos não complanares já se torna, no entanto, redundante. A 
utilização de três (ou mais) pontos conhecidos nos dois sistemas, torna possível constituir um 
sistema redundante com nove (ou mais) equações lineares a sete incógnitas, em geral 
inconsistente, que pode ser tratado pelo método dos mínimos quadrados. 
Na prática, por razões de natureza numérica, os pontos com coordenadas conhecidas 
nos dois data devem enquadrar os pontos a transformar no seu interior. Se pretendermos 
determinar parâmetros válidos, por exemplo, para todo o território de Portugal continental 
deveremos utilizar um conjunto de pontos conhecidos com uma distribuição semelhante à da 
rede geodésica de primeira ordem. Assim se consegue que praticamente todo o território fique 
envolvido por pontos de coordenadas conhecidas nos dois data, sem que esses pontos fiquem, 
ou demasiadamente afastados ou demasiadamente próximos, uns dos outros. Os sistemas de 
equações resultantes de conjuntos de pontos muito próximos são sistemas instáveis cuja 
resolução dá origem a valores afectados por erros significativos. 
 
Parâmetros Bursa-Wolfe para Portugal Continental 
A Tabela 5 apresenta os parâmetros Bursa-Wolfe preconizados pelo IGP para a 
transformação das coordenadas geodésicas rectangulares DtLxH e Dt73 para ETRS89. Nesta 
tabela podem ler-se os valores a considerar para dσ, rotações (k, ϕ, ω) em segundos de grau e 
translação (∆x, ∆y, ∆z) em metros. Na Tabela 6 estão patentes elementos que caracterizam a 
qualidade do ajuste de mínimos quadrados que permitiu a determinação dos parâmetros 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 37 
constantes da Tabela 5. Recorda-se que o ETRS89 é o sistema de referência geodésica (isto é: 
o datum) oficial para o território continental português. 
Tabela 5: Parâmetros Bursa-Wolfe para transformação de data utilizados em Portugal Continental para 
ETRS8928 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008) 
Sist. local dσσσσ (ppm) k (") ϕϕϕϕ (") ωωωω (") ∆∆∆∆x (m) ∆∆∆∆y (m) ∆∆∆∆z (m) 
DtLxH 
−4.058 −1.157 0.059 −0.652 −283.088 −70.693 117.445 
Dt73 1.950 0.633 
−0.239 0.900 −230.994 102.591 25.199 
 
 
Tabela 6: Caracterização da qualidade do ajuste de mínimos quadrados utilizado para a determinação dos 
parâmetros constantes da Tabela 5 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008) 
 DtLxH Dt73 
 M P h M P h 
RMQ (m) 1.404 1.493 0.251 0.381 0.359 0.239 
Max. abs (m) 5.099 4.146 1.060 1.351 1.080 1.017 
 
 
Na Tabela 7 são apresentados os parâmetros Bursa-Wolfe preconizados pelo IGP 
para a transformação das coordenadas geodésicas rectangulares WGS84 para os data locais 
Datum 73 (Dt73), Datum Lisboa Hayford (DtLxH), Datum Lisboa Bessel (DtLxB) e Datum 
Europeu 1950 (ED50). 
 
28
 Parâmetros calculados com base nos 119 vértices geodésicos de 1.ª ordem e utilizando os 833 
vértices geodésicos de 2.ª ordem para controlo. 
 
38 Elementos de Geodesia António Pestana 
Tabela 7: Parâmetros Bursa-Wolfe de transformação de WGS8429 para data utilizados em Portugal 
Continental (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Junho de 2005)30 
Parâmetros Dt73 DtLxH ED50 DtLxB 
∆x (m) 239.749 288.885 74.292 −631.392 
∆y (m) −88.181 91.744 135.889 66.551 
∆z (m) −30.488 −126.244 104.967 −481.442 
k (") 0.263 
−1.691 −0.524 1.090 
ϕ (") 0.082 0.410 −0.136 −4.445 
ω (") 1.211 −0.211 0.610 −4.487 
dσ (ppm) −2.229 4.598 3.761 4.430 
 
Parâmetros Bursa-Wolfe para as Regiões Autónomas 
Na Tabela 8 são apresentados os parâmetros Bursa-Wolfe que permitem a 
transformação das coordenadas cartesianas tridimensionais na data locais insulares para 
coordenadas tridimensionais ITRF93. A qualidade dos ajustes de mínimos quadrados que 
permitiu a determinação destes parâmetros é, de modo geral, claramente superior à qualidade 
dos ajustes que permitiram a determinação dos parâmetros continentais apresentados na 
Tabela 5. Recorda-se que o ITRF93 é o sistema de referência geodésica (isto é: o datum) 
oficial para os arquipélagos dos Açores e da Madeira. 
 
 
29
 WGS84/ITRF96 
30
 Parâmetros calculados em Janeiro de 1998, com base na solução IBERIA 95/EUROGAUGE e nos 
data oficiais (não revistos) DtLxH, D73 e ED50, para os nove pontos da base IBERIA 95 transformados. O 
cálculo foi efectuado por minimização do somatório dos quadrados dos resíduos nos referidos nove pontos. 
(Pinto, 1999 e 2001) 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 39 
Tabela 8: Parâmetros Bursa-Wolfe de transformação dos data locais utilizados nos arquipélagos da Madeira 
e dos Açores para ITRF93 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008) 
Sist. local dσσσσ (ppm) k (") ϕϕϕϕ (") ωωωω (") ∆∆∆∆x (m) ∆∆∆∆y (m) ∆∆∆∆z (m) 
S. Braz31 0.097 2.005 3.606 
−0.366 −269.089 186.247 155.667 
S.Braz 32 0.952 1.406 2.423 
−0.479 −249.507 179.302 119.920 
S.Braz 33 
−0.438 1.128 10.202 4.559 −440.296 58.548 296.265 
Base SW34 
−1.053 0.120 3.180 2.046 −185.391 122.266 35.989 
Base SW35 
−0.031 2.136 0.033 −2.392 −76.822 257.457 12.817 
Base SW36 0.934 
−2.036 3.046 3.709 −210.371 49.768 0.808 
Base SW37 2.243 5.477 12.092 1.538 
−364.422 243.651 274.822 
Base SW38 0.309 
−0.286 3.471 2.443 −201.545 109.048 32.218 
Base SW39 0.297 
−0.204 4.158 2.605 −216.355 107.044 48.015 
Observatório40 1.485 
−0.743 1.677 2.087 −487.978 −226.275 102.787 
Observatório41 3.071 1.050 2.703 1.798 
−511.151 −181.269 139.609 
Observatório42 
−11.187 6.674 35.963 20.438 −1333.976 −487.235 945.031Porto Santo43 1.327 9.405" 
−6.626 −12.583 −303.956 224.556 214.306 
Porto Santo44 
−0.748 −1.423 −1.013 1.590 −494.088 −312.129 279.877 
 
 
31
 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Oriental, calculados a partir de 53 pontos base e 58 pontos 
de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas de S. Miguel e de Santa Maria. 
32
 Parâmetros para a Ilha de S. Miguel, calculados a partir de 36 pontos base e 43 pontos de controlo. 
33
 Parâmetros para a Ilha de Santa Maria, calculados a partir de 18 pontos base e 14 pontos de 
controlo. 
34
 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Central, calculados a partir de 112 pontos base e 184 
pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas do Faial, Graciosa, Pico, S. Jorge e Terceira. 
35
 Parâmetros para a Ilha do Faial, calculados a partir de 24 pontos base e 37 pontos de controlo. 
36
 Parâmetros para a Ilha da Graciosa, calculados a partir de 11 pontos base e 15 pontos de controlo. 
37
 Parâmetros para a Ilha do Pico, calculados a partir de 34 pontos base e 38 pontos de controlo. 
38
 Parâmetros para a Ilha de S. Jorge, calculados a partir de 17 pontos base e 60 pontos de controlo. 
39
 Parâmetros para a Ilha Terceira, calculados a partir de 26 pontos base e 34 pontos de controlo. 
40
 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Ocidental, calculados a partir de 21 pontos base e 18 
pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas das Flores e do Corvo. 
41
 Parâmetros para a Ilha das Flores, calculados a partir de 18 pontos base e 15 pontos de controlo. 
42
 Parâmetros para a Ilha do Corvo, calculados a partir de 3 pontos base e 3 pontos de controlo. 
43
 Parâmetros para a Ilha da Madeira, calculados a partir de 22 pontos base e 17 pontos de controlo. 
44
 Parâmetros para a Ilha de Porto Santo, calculados a partir de 14 pontos base e 6 pontos de controlo. 
 
40 Elementos de Geodesia António Pestana 
Na Tabela 9 são apresentados os parâmetros Bursa-Wolfe, que permitem a 
transformação das coordenadas cartesianas tridimensionais WGS84 para os data locais 
insulares. 
Tabela 9: Parâmetros Bursa-Wolfe de transformação de WGS84 para data utilizados nos arquipélagos da 
Madeira e dos Açores (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Junho de 2005) 
Sist. local dσσσσ k ϕϕϕϕ ωωωω ∆∆∆∆x ∆∆∆∆y ∆∆∆∆z 
S. Braz 45 
−0.384×10−6 −0.089" 0.251" 0.079" 211.939 −137.626 −58.300 
S.Braz 46 
−0.198×10−6 −0.195" −0.014" 0.0327" 208.719 −129.685 −52.092 
Base SW47 0.048×10−6 −0.103" −0.026" 0.024" 105.854 −165.589 38.312 
Base SW48 1.504×10−6 0.167" 0.082" 0.168" 103.088 −162.481 28.276 
Observatório49 
− − − − 
422.651 172.995 
−84.020 
Porto Santo50 
−0.485×10−6 2.094" −15.067" −5.817" 210.502 66.602 48.476 
 
As conversões inversas deverão ser efectuadas com parâmetros simétricos dos 
apresentados nas tabelas anteriores. 
 
Os modelos de Molodensky 
O modelo completo de Molodensky 
Molodensky abordou o problema de mudança de referencial geodésico assumindo, 
como hipótese simplificadora, que os eixos dos elipsóides de partida e de chegada eram 
paralelos. Verificando-se este pressuposto, então a mudança de datum implicará uma 
 
45
 Parâmetros calculados em Maio de 2001, apenas para a ilha de S. Miguel, com base na revisão de 
coordenadas locais de 1995-1998 e na solução ITRF93/VM. 
46
 Parâmetros calculados para todo o Grupo Oriental, com base na revisão de coordenadas locais de 
1995-1998 e na solução ITRF93/VM. 
47
 Parâmetros calculados em Maio de 2001, apenas para a ilha Terceira, com base na revisão de 
coordenadas locais de 1995-1998 e na solução ITRF93/VM. Embora não apresentados nesta tabela, existem 
parâmetros calculados para cada uma das restantes ilhas do Grupo Central 
48
 Parâmetros calculados para todo o Grupo Central, com base na revisão de coordenadas locais de 
1995-1998 e na solução ITRF93/VM. 
49
 Parâmetros calculados com base em dois pontos comuns, observados pela missão do Instituto 
Hidrográfico chefiada pelo Ten. Pinto, em 1999. 
50
 Parâmetros calculados com base na revisão de coordenadas locais de 1995 e na solução 
WGS84/TANGO para o Forte de São Tiago. 
 
António Pestana Elementos de Geodesia 41 
alteração nos valores das coordenadas geodésicas elipsoidais que apenas será devida à não 
coincidência dos centros dos dois elipsóides e à diferença entre as dimensões de cada um 
deles. A hipótese que se acaba de enunciar é incompatível com a generalidade das mudanças 
de datum para as quais seja exigido um elevado nível de precisão na determinação das 
coordenadas transformadas; é esta a razão que justifica ser esta transformação considerada de 
“baixa precisão”51 (ICSN 2006). 
A transformação de Molodensky relaciona as coordenadas geodésicas elipsoidais 
(φ, λ, h) de um ponto P, determinadas num determinado datum geodésico (o datum de 
partida), com as coordenadas elipsoidais (φ+∆φ, λ+∆λ, h+∆h) do mesmo ponto P, agora 
determinadas num segundo datum geodésico (o datum de chegada). As fórmulas da 
transformação são: 
( )
2
0 0 0
1
sen cos
sen cos sen sen cos
 sen cos
N
NM
M
R e
x y z a
a
bRaRf R h
b a
−
 φ φ∆φ = −∆ φ λ − ∆ φ λ + ∆ φ + ∆ +

 
+ ∆ + φ φ +  
  
 
 
( )
0 0sen cos
λ
cosN
x y
R h
−∆ λ + ∆ λ∆ =
+ φ 
 
com ∆φ e ∆λ em radianos, e 
 
2
0 0 0cos cos cos sen sen senN
N
a bh x y z a f R
R a
∆ = ∆ φ λ + ∆ φ λ + ∆ φ − ∆ + ∆ φ
 
onde a∆ e f∆ são as diferenças entre o semieixo maior e o achatamento dos dois elipsóides 
de referência, enquanto que ),,( 000 zyx ∆∆∆ são as componentes do vector diferença entre os 
centros dos dois elipsóides de referência. Os valores de a e f dizem respeito ao datum de 
partida da transformação. Note-se também que operador gradiente representa a diferença entre 
o valor de um parâmetro no datum de chegada e o valor que o mesmo parâmetro assume no 
datum de partida. Recorda-se que esta transformação ignora os parâmetros associados às 
 
51
 A precisão diminui quando aumenta a área da região para a qual forem determinados os parâmetros 
da transformação. 
 
42 Elementos de Geodesia António Pestana 
rotações dos eixos, conduzindo portanto a resultados menos precisos que os obtidos por 
utilização do modelo de Bursa-Wolfe. 
 
O modelo abreviado de Molodensky 
As fórmulas abreviadas (simplificadas) da transformação de Molodensky são: 
 
( )0 0 0sen cos sen sen cos sen 2
M
x y z f a a f
R
−∆ φ λ − ∆ φ λ + ∆ φ + ∆ + ∆ φ
∆φ =
 
 
0 0sen cos
λ
cosN
x y
R
−∆ λ + ∆ λ∆ = φ 
com ∆φ e ∆λ em radianos, e 
 
2
0 0 0cos cos cos sen sen ( )senh x y z f a a f a∆ = ∆ φ λ + ∆ φ λ + ∆ φ + ∆ + ∆ φ − ∆ 
 
Note-se que este modelo abreviado considera que a altitude elipsoidal não afecta as 
variações de latitude e de longitude. Os resultados obtidos com a utilização deste modelo 
abreviado, sempre menos precisos que os do modelo completo, são aceitáveis desde que as 
regiões de interesse não sejam demasiado extensas e, evidentemente, as exigências de 
precisão não sejam críticas; estas razões explicam a popularidade desta transformação em 
equipamentos GNSS portáteis e em sistemas de informação geográfica (SIG). 
 
 
Parâmetros de Molodensky para Portugal Continental 
A Tabela 10 apresenta os parâmetros Molodensky preconizados pelo IGP para a 
transformação das coordenadas geodésicas rectangulares entre os data mais utilizados no 
território de Portugal Continental. Mais uma vez se recorda que o ETRS89 é o sistema de 
referência geodésica (isto é: o datum) oficial para o território continental português.