fundamentos de geodesia

Prévia do material em texto

1 
 
FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA 
 
 
CAPÍTULO 03 
 
 
 
1 ASPECTOS CONCEITUAIS 
 
 
Entende-se a Geodésia como a ciência que estuda a forma e as dimensões 
do planeta Terra, bem como a determinação do campo gravitacional e da superfície 
oceânica. 
Segundo Webster, “A geodésia é o ramo da matemática aplicada que 
 deter - mina a exata posição de pontos, figuras e áreas de grandes porções da 
 superfície terrestre. Também a forma e o tamanho da Terra, além das variações do seu 
campo gravitacional.” Esta definição revela a complexidade que o estudo completo da 
Ciência Geodésica apresenta. 
 
1.2 Objetivos da Geodésia. 
 
O objetivo primordial da Geodésia é a determinação da forma e das 
dimensões da Terra. Em decorrência deste objetivo, o estudo da Geodésia subdivide-se 
em dois capítulos da Geodésia: 
 
• Geodésia Global ou Geral que se encarrega da mensuração da forma e das 
dimensões da Terra; 
 
• Geodésia Aplicada que se encarrega da determinação precisa da posição de pontos 
sobre a superfície terrestre, nas áreas continentais e nas áreas oceânicas, para 
mapeamento e outras finalidades. 
 
Para realizar os seus objetivos, a Geodésia vale-se de operações 
geométricas sobre a superfície terrestre, mensurando ângulos e distâncias, associadas às 
determinações astronômicas. Realiza também medições gravimétricas para detalhar o 
campo de gravidade do orbe terrestre, podendo realizar o rastreio da superfície terrestre 
por meio de satélites artificiais. 
 
2 FORMAS DA TERRA 
2.1. Esboço Histórico 
 
Ao longo da história da humanidade a Terra foi imaginada possui diversas formas 
geométricas, descritas sumariamente a seguir as diversas concepções 
 
• Homero concebeu que a Terra tinha uma forma de disco achatado. 
 2 
• Pitágoras de Samos, no Século VI a.C., e Aristóteles, no Século IV a.C., 
descreveram a Terra com possuindo a forma esférica; 
 
• Anaximenes concebia a Terra como tendo uma forma geométrica retangular; 
 
• Eratóstenes pensava na forma esférica e realizou medidas objetivas para a 
determinação de suas dimensões; 
 
• Isaac Newton, no Século XVII, considerou-a elipsoidal; 
 
• Gauss, no Século XVIII, concluiu que o Geóide seria a melhor definição geométrica 
da Terra. 
 
A adoção de uma forma geométrica para o planeta Terra depende dos fins 
práticos a que se propõe; para a Topografia adota-se a geometria plana, para cálculos 
astronômicos recorre-se a forma esférica., para cálculos mais rigorosos, firma-se o 
modelo geométrico-matemático tipo elipsoidal de revolução. 
 
2.2 A forma física e real da Terra 
 
A superfície terrestre é bastante irregular, possuindo a variação de seu 
relevo entre o ponto culminante representado pelo pico do Monte Everest, com cerca de 
8.800 metros de altitude, e a maior depressão, situada no Oceano Pacífico, com cerca de 
9.000 metros de profundidade em relação ao nível do mar. 
Sobre a superfície física da Terra (real, também denominada de 
topográfica) são desenvolvidas as operações de mensuração, sejam geodésicas ou 
topográficas. As operações de mensuração, angulares e lineares, no campo, devem ser 
executadas para a obtenção de coordenadas posicionais, identificadoras de um conjunto 
de pontos descritores materializados na superfície territorial investigada, as quais serão 
caracterizadas devidamente por transformações de natureza matemática em função da 
adoção do modelo geométrico idealizado para representar a Terra. 
 
2.3 Formas idealizadas para representar a Terra 
 
 
• O MODELO GEÓIDAL 
 
O geóide é uma forma geométrica idealizada para a Terra, a qual não 
possui até então definições geométricas com identidade matemática (formulação 
analítica), sendo definida pela superfície média dos mares, suposta em repouso e 
penetrando por baixo dos continentes. O sistema de referencia é a superfície 
equipotencial, também denominada de superfície de nível, que se caracteriza por 
apresentar o mesmo potencial em todos os seus pontos. Devido as irregularidades na 
distribuição das massas do planeta, a forma Geoidal é complexa e é observada por meio 
de medições gravimétricas, por toda a superfície. Tendo o planeta ¾ partes de água, faz-
se necessário às observações dos satélites para auxiliar na determinação do Geóide. A 
 3 
Figura 1 ilustra a Carta Geoidal do Mundo, obtida a partir do modelo gravitacional da 
NASA, com as alturas geoidais em metros. 
 
A Figura 2 representa, por sua vez, a Carta Geoidal do Brasil, adaptada 
por Blitzkow, 1995. 
 4 
 
 
 
 
• MODELO ESFEROIDAL 
 
A partir da visualização da projeção da Terra sobre a superfície da Lua, no 
fenômeno de eclipse solar, e das observações da chegada de navios nos portos, os gregos 
concluíram pela forma esferoidal para o planeta. 
A partir de observações simples e cálculos aproximados, o grego 
Eratóstenes chegou à conclusão de que o raio da esfera terrestre teria, aproximadamente, 
valor igual a 6.266 km. Este valor é bem próximo daquele atualmente aceito, como sendo 
igual a 6.378 km. 
A Figura 3 ilustra o modelo esférico idealizado para representar a Terra. 
Mais tarde outros métodos foram empregados para se obter o raio da esfera terrestre, 
 destacando-se, entre outros, Posidônio e Ptolomeu. 
 
 
 
 
 
 
 
 RT Figura 3: Modelo esferoidal 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
• MODELO ELIPSOIDAL 
 
Com o advento das modernas técnicas de mensuração e modernização do 
seu instrumental, a Ciência Geodésica alcançou um grande avanço no Século XVII com o 
francês Picard, que conseguiu medir o comprimento de um arco de meridiano, cujo 
trabalho foi continuado por J. cassini, estendendo a medida do comprimento do arco de 
meridiano no sentido Norte, em direção à Dunquerque, e para o Sul, até a divisa com a 
Espanha. Este trabalho de mensuração geodésica resultou em se descobrir que o 
comprimento do arco é maior para o Sul, indicando a forma de um elipsóide para a Terra, 
com seu eixo de rotação maior que o eixo equatorial. Porém, o físico-matemático Isaac 
Newton, no mesmo Século XVII, contestou tal fato, afirmando que sendo a Terra 
composta de três quarto partes de água, a massa fluída, devido à rotação da Terra, 
tenderia a alongar-se no plano equatorial e, conseqüentemente, achatar-se nos pólos, 
resultando que o eixo de rotação ser menor do que o eixo equatorial. A contribuição de 
Newton foi baseada em sua Teoria da Gravitação, estabelecida sobre a lei da gravidade 
terrestre. 
A Figura 4 indica o modelo elipsóidico adotado para representar a forma 
geométrica do planeta. 
 
 
 
 
 
 Figura 04: Modelo elipsoidal terrestre b 
 
 
 
 
 a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As duas teorias deram margem à controvérsia entre os cientistas. A 
Academia Francesa de Ciências, objetivando dirimir dúvidas, organizou uma expedição 
ao Equador e a Lapônia para realizar a mensuração de arcos de meridiano. As medições 
provaram que o planeta Terra era achatado nos pólos, conforme a Teoria desenvolvida 
por IsaacNewton. Estando estabelecida a forma geométrica para a Terra, vários 
geodesistas procuraram estabelecer a melhor proporção para o elipsóide de revolução. No 
Quadro 1, apresentado adiante, tem-se os principais resultados obtidos para caracterizar 
os parâmetros do elipsóide. 
Os parâmetros explicitados são: a semi-eixo maior, o semi-eixo menor e o 
achatamento. 
 6 
 
 
Quadro 1: Parâmetros do elipsóide de revolução determinados no decorrer do tempo. 
 
 
A Figura 5 ilustra a expedição realizada no Equador, para mensuração do 
comprimento de arco de meridiano, entre os anos de 1735 e 1745. 
No ano de 1967, a União Internacional de Geodésia e Geofísica, em vista 
de trabalhos mais recentes, recomendou a adoção do denominado Elipsóide de 
Referência 1967. Sendo então adotados os parâmetros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = 6.378,160 km 
 
 αααα = 1/298,25 
 
 7 
 
 
 
Com o desenvolvimento da tecnologia de Posicionamento Global por 
Satélites – Sistema GPS, atualmente justifica-se a adoção de um sistema referencial 
único de determinação de coordenadas; desta forma, alguns sistemas de referencia 
geodésico do elipsóide surgiram, conforme o Quadro 2, dado adiante, apresenta os 
parâmetros elipsoidais.. 
 
 
 8 
 
 
 
De maneira sintética, a Figura 6 demonstra comparativamente os três 
modelos idealizados para representar a Terra. 
 
 
 
 NORMAL AO ELIPSOIDE 
 SUPERFICIE REAL (TOPOGRÁFICA) 
 NORMAL AO GEOIDE 
 SUPERFICIE GEOIDAL 
 DESVIO DAS NORMAIS 
 
 
 
 
 
 SUPERFICIE 
 
 
 
Figura 6: Modelos geométricos e matemáticos idealizados para representar a forma 
da Terra, utilizados para a caracterização de pontos localizados na 
superfície terrestre. 
 
 
3 APLICAÇÕES DA GEODÉSIA 
 
Segundo Peter Vanicëk, a Geodésia tem sua aplicação em: 
 
 
• Produção de Mapas 
 
Na distribuição e implantação de pontos de controle, tanto horizontais 
como verticais, na superfície terrestre, estabelecendo uma rede de vértices geodésicos 
georeferenciados que servirão de apoio para as atividades de mapeamento cartográfico; 
SUPERFICIE 
ELIPSOIDICA 
 9 
 
• Planejamento urbano 
 
A necessidade de georeferenciamento de pontos de controle geodésico, a 
serem utilizados na identificação e localização de vias urbanas, logradouros públicos, etc, 
fomentando o desenvolvimento urbano. 
 
• Projetos de Obras Engenharia 
 
Grandes estruturas, tais como barragens, pontes e grandes edifícios 
necessitam dispor de plantas para uma perfeita localização predeterminada. No caso de 
barragens e irrigações, a forma da superfície eqüipotencial deve ser conhecida. A 
determinação do movimento e a forma da superfície eqüipotencial são função da 
Geodésia. 
 
• Ecologia 
 
O estudo do efeito da ação do homem no meio ambiente. Atividades tais 
como movimento de terra, água subterrânea, extração de petróleo, possuem os efeitos 
monitorados mediante a Geodésia. 
 
• Hidrologia 
 
O posicionamento e os mapas são fornecidos pela Geodésia, contendo as 
informações relativas às bacias hidráulicas, etc. 
 
• Outras aplicações 
 
Demarcação de limites territoriais, cadastro imobiliários e fundiários, mapeamentos para 
a produção da Cartográfica Temática, etc. 
 
 
4 SISTEMAS GEODÉSICOS 
 
 
Um Sistema Geodésico se caracteriza pela definição de um elipsóide de 
referência, de um datum e do desvio da vertical do lugar. O Datum é fica determinado 
pelos parâmetros iniciais: coordenadas geodésicas de um ponto georeferenciado (que 
pode ser um vértice de um triângulo), uma base geodésica (lado do triangulo) e azimute 
desta base. As coordenadas fixam o ponto no elipsóide de referência. A base, por sua vez, 
fornece a escala, enquanto que o azimute orienta o sistema. A vertical, determinada pela 
direção do fio de prumo sobre a superfície física da Terra, pode não coincidir com a 
normal ao elipsóide. Haverá um desvio, denominado de desvio da vertical, conforme 
ilustra a Figura 7. Ressalta-se também, que o centro do elipsóide de referência pode não 
coincidir com o centro de massa da Terra. 
 10 
Um elipsóide de referência pode ser definido ou arbitrado. Observando-se 
a Figura 7 poder-se-á identificar as superfícies de referência a ser adotada pelos 
geodesistas, podendo ser o Esferóide ou o Elipsóide de Revolução para realizar os 
cálculos geodésicos. que. 
A forma geométrica do elipsóide de revolução é a que mais se aproxima 
 do Geóide, sendo a que oferece resultados mais exatos. Na América do Norte e Central 
se usa o Elipsóide de Clark, enquanto que na América do Sul o Elipsóide de Hayford 
ainda é usado. No Brasil, ainda existem mapas com base neste elipsóide. 
 
 
5 SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB 
5.1 Caracterização do Sistema. 
 
O Elipsóide de Referência Internacional de 1967 define a forma 
geométrico-matemática do planeta Terra, adotado no Brasil desde 1969 (SAD 69). A 
altimetria encontra-se referenciada à superfície eqüipotencial que contem o nível médio 
do mar na Baia de Imbituba, em Santa Catarina (a superfície média do mar é definida a 
partir de observações da variação do nível do mar no marégrafo ali instalado). 
É da responsabilidade do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – 
IBGE fixar as diretrizes e bases da Cartografia Brasileira e dar outras providências e, para 
tal, estabelecer um sistema planialtimétrico único de pontos geodésicos de controle, 
materializados no terreno para servir de base ao desenvolvimento de trabalhos de 
natureza geodésica e cartográfica. 
A Figura 8 ilustra a placa de bronze que é colocada numa base de 
concreto, identificando o denominado marco geodésico, implantado no território 
brasileiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Referência de nível do marco geodésico pertencente ao SGB 
 
 
 11 
5.2 Especificações Gerais do SGB 
 
• Parâmetros do Elipsóide – Forma Geométrica da Terra 
 
Semi-eixo maior (a) = 6.378.160,000m 
 Achatamento (f) = 1/298,25 
 
• Orientação: Geocêntrica - Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra. 
 Plano meridiano de Greenwich como inicio das longitu 
 des. 
 Topocêntrica - Vértice Chuá, da cadeia de triangulação do paralelo 
20º Sul. 
 
 Sendo: ϕ = 19º 45´ 41,6527” Sul (Latitude) 
 λ = 48º 06´04,0639” WGr. (Longitude) 
 Azimute (α) = 271º 30´04,05” SWNE, para o Vértice 
UBERABA. 
 Desvio da vertical (η) = 3,59” 
 
Um sistema geodésico, assim definido, é denominado de regional, tendo 
em vista que o centro do elipsóide de referência não coincide com o centro de massa da 
Terra, sendo o elipsóide ajustado a uma rede geodésica de pontos, tendo no Vértice Chuá 
seu vínculo básico (datum planimétrico). 
 
 
7 SISTEMAS DE COORDENADAS EM GEODÉSIA 
 
As posições dos pontos na superfície terrestre são definidas por meio de 
linhas de referência, denominadas de coordenadas,que ao se cruzarem em ângulos 
estabelecidos, os definem naquele lugar. 
Os principais sistemas de coordenadas são três: coordenadas esféricas, 
coordenadas retangulares e coordenadas polares. 
Em Cartografia trabalha-se com os seguintes sistemas de coordenadas: 
 
� Coordenadas Geodésicas, 
� Coordenadas Cartesianas, 
� Coordenadas Plano-retangulares - UTM 
 
7.1 Sistema Elipsoidal de Coordenadas (Geodésico) 
 
Para que o posicionamento de um ponto sobre o Elipsóide de Referência 
seja determinado de maneira única, foram estabelecidas linhas de referência que 
permitem que isto possa ser efetivado. As Figuras 9 e 10, mostram a superfície de 
referência elipsoidal, as linhas de referência desenhadas sobre ela e a identificação da 
posição de um ponto situado sobre a superfície terrestre mediante suas coordenadas 
geodésicas. 
 12 
As linhas desenhadas no sentido Norte/Sul são denominadas de 
meridiano,s enquanto que as linhas desenhadas no sentido Leste/Oeste são denominadas 
de paralelos Estas linhas formam um sistema denominado de Sistema de Coordenadas 
Geodésico, cuja origem é um ponto situado sobre o meridiano que passa por Greenwich 
(na Inglaterra) e sobre a linha do Equador. As coordenadas definidas do sistema são 
denominadas de latitudes e longitudes geodésicas. 
 
• Projeção de um ponto sobre a superfície de referência elipsoidal�
Considera-se, simultaneamente, a latitude e a longitude de um ponto na 
superfície terrestre. A cada latitude corresponde um paralelo e a cada longitude, um 
meridiano. O ponto de encontro dos dois determina a posição do ponto P1 sobre a 
superfície de referência. Porém, o ponto P1 é na verdade a projeção do ponto P sobre a 
superfície de referência, isto porque o ponto P encontra-se sobre a superfície real 
(topográfica). A normal PP1�����������	�	����	
��������
�
����	
����
�������������
�����
	��������������
���	�����	���������	�	�����������	�����
���������	��������
������������
���	��
�
����	
����
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Superfície de referência geodésica 
 
 P 
 
 H 
 P ���������� λ 
 
Figura 10: Apresenta a longitude de um ponto P 
 situado sobre a superfície de referên 
 cia (Longitude Oeste). λ 
 
 
 
 MERIDIANO DE 
 GREENWICH 
 
 
 13 
A Figura 11 ilustra mais claramente o sistema de coordenadas geodésicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ORIGEM 
 
 
 
 Figura 11: Meridiano e Paralelos Geodésicos 
 
 
7.1.1 As coordenadas geodésicas: aspectos conceituais 
 
A Latitude ϕ de um ponto situado na superfície terrestre é o ângulo que 
formado pela normal à superfície de projeção (N), nesse ponto, com o plano que contém a 
linha do Equador, como mostra a Figura 12: 
 
 N 
 A Figura 12: representa a elipse meridiana 
 b contendo a latitude de um ponto 
 A.e o respectivo ângulo da nor 
 ϕ mal AD com o semi-eixo maior 
 a O ������������������������������������������������������
�
������������������������������������������������������������������������������ 
 
 D 
 LINHA DO EQUADOR 
 
 
 
 
 
 14 
As latitudes são referenciadas a partir do Equador, de 0 � a 90 , no 
Hemisfério Norte (positivas), e de 0 a 90 no Hemisfério Sul (negativas), seguida da 
indicação se é Norte (N) ou Sul (S). 
A longitude λ de um ponto da superfície terrestre é o ângulo diedro que 
forma o plano meridiano que passa pelo ponto com o plano que passa pelo meridiano de 
Greenwich. 
As longitudes são referenciadas a partir de Greenwich, de 0 a 180 , na 
direção Leste, (positivas) ou na direção Oeste.(negativas). A Figura 10 mostra 
graficamente o definido. 
A Longitude e a Latitude podem ser aplicadas a um sistema de 
coordenadas relacionadas ao posicionamento de qualquer ponto situado na superfície dà 
Terra. Admite-se que a partir de 0º de latitude e 0º de longitude, existam os quadrantes 
NE, SE, SW e NW. O conjunto de linhas meridianos e paralelos forma a rede de linhas 
imaginárias ao redor do globo terrestre, constituindo as coordenadas geográficas 
(Esferóide)/geodésicas (Elipsóide). Essas coordenadas também podem ser expressas em 
metros. 
No Equador esses arcos podem medir 111.321 m de comprimento, na 
direção leste/oeste. 
À medida que se afasta par o norte ou para o sul do Equador, o 
comprimento do arco (C) pode ser calculado, em metros, utilizando a seguinte expressão: 
�����������������������������������������������������������������������������
���
�
�
�
��Na Tabela 1, apresentada a seguir, tem-se os comprimentos dos arcos de 
1º de meridiano e 1º de paralelo, nas diferentes latitudes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TABELA 1: Comprimento de arcos de meridianos e de Paralelos 
 
������������	�
���
��ϕϕϕϕ��
 
 
 
 15 
7.1.2. Geometria do elipsóide 
 
Como afirmado, o elipsóide é um dos sólidos que melhor se adapta à 
superfície física da Terra, por ter uma geometria simples de se calcular, tornando-se a 
figura ideal para mapeamentos cartográficos. Este sólido que é gerado pela rotação de 
uma elipse meridiana em torno de seu eixo menor (B), e, por se tratar de uma figura que 
possui parâmetros conhecidos, poder-s-á determinar matematicamente a posição relativa 
de pontos projetados sobre a sua superfície. A Figura 14, permite observar os 
parâmetros geométricos da elipse meridiana. 
 
 B 
 
 
 
 bA A’ ���������������������������������������������������������������
��������������������������������� F O F´´ 
 a a 
 
 
 
 b 
 
 
 B´ 
Figura 13: Elipse meridiana e seus parâmetros geométricos 
 
 
Na Figura 13, o segmento AA´ é o eixo maior da elipse, que corresponde 
em projeção sobre o plano vertical com a linha do Equador. O eixo menor BB’, de valor 
igual a duas vezes o semi-eixo menor (2b), constitui-se num referencial em torno do qual 
a elipse meridiana sofre o movimento rotacional, gerando o elipsóide de revolução, 
simulando o movimento de rotação da Terra. 
Dois são os parâmetros geométricos que determinam a elipse: o semi-eixo 
maior (a) e o semi-eixo menor (b). 
Geralmente substituí-se o semi-eixo menor (b) pelos parâmetros 
geométricos denominados de achatamento, 1a excentricidade e 2a excentricidade, 
todos extraídos dedutivamente a partir da geometria da elipse meridiana: 
 
• Achatamento (f) = (a – b) / a 
 
• Excentricidades 
 OF (a ² - b ² ) ½ 
 1a excentricidade (e) = = 
 AO a 
 
 16 
 
 
 OF ( a ² - b ² ) ½ 
 2a excentricidade (e’) = = 
 OB b 
 
 
 
7.2 Sistema de Coordenadas Cartesiano 
 
 
Este sistema de coordenadas possui a sua origem no centro de massa da 
Terra. Os eixos cartesianos X e Y pertencem ao plano do Equador, enquanto que o eixo Z 
coincide com o eixo de rotação da Terra. O ponto P projetado sobre a superfície de 
referência elipsoidal ficará identificado cartesianamente pelas coordenadas: 
P(XP,YP,ZP). 
A Figura 14 mostra a posição do sistema em relação ao elipsóide de 
referência. 
 
 Z 
 Meridiano de Greenwich 
 
 
 !�P 
 
 λ Zp 
 ϕ Y 
 Xp 
 Yp P’ 
 λ 
 X 
 
 
 
 Figura 14:Sistema de coordenadas cartesianas 
 
 
 
Devido à facilidade de programação este sistema é muito usado em 
procedimentos computacionais informatizados (softwares). As relações entre os dois 
sistemas de coordenadas (cartesiano e elipsóidico) são obtidas pelas seguintes expressões: 
 
• Transformação de coordenadas geodésicas (ϕϕϕϕ,λλλλ, h) para cartesianas (X, Y, Z) 
 
 X = (N + h)xcos(ϕϕϕϕ)xcos(λλλλ) 
 
 Y = (N + h)xcos(ϕϕϕϕ)xsen(λλλλ) 
 
 Z = [(1 – e2)x(N + h]xsen(ϕϕϕϕ) 
 
 17 
• Transformação de coordenadas cartesianas (X, Y, Z) para geodésicas (ϕϕϕϕ,λλλλ, h) 
 
 tan(λλλλ) = Y/X 
 
 tan(ϕϕϕϕ) = (Z + e2xNxsen(ϕϕϕϕ))/(X2 + Y2) 
 
 h = Xxsec(ϕϕϕϕ)xsec(λλλλ) – V = Yxsec(ϕϕϕϕ)xcossec(λλλλ) – V 
 
 V = a/ (1 – e2xsen(ϕϕϕϕ))1/2 
 
 
onde,: a : semi-eixo maior 
 b : semi-eixo menor 
 h : altitude elipsoidal 
 ϕ : Latitude geodésica 
 λ : Longitude geodésica 
 e : excentricidade 
 V : raio de curvatura da vertical principal 
 
 
7.2.1 Fundamentos para a obtenção das coordenadas cartesianas 
 
Se seccionar-se o elipsóide perpendicularmente ao Equador, de modo que contenha 
o eixo menor (b), ter-se-á obtido o meridiano máximo, conforme as Figuras 13 e 15, esta 
apresentada a seguir: 
 
 
 
 Z 
 
 P 
 
 x 
 b M ( x , z ) 
 
 O z 
 X 
 Q´ a N D Q 
 
 
 
 H 
 Grande Normal 
 P´ 
 
Figura 15: Meridiano máximo 
 
 18 
Estas figuras máximas de meridianos, sendo o sólido achatado nos pólos, são definida 
pela equação cônica da elipse: 
 
 X� Y� Z� 
 
+
 
+
 = 1 
 a� a� b " 
 
A partir desta equação poder-se-á obter os parâmetros geométricos do 
elipsóide, tais como: 
 
• Excentricidade do elipsóide (e) 
 
o 1a excentricidade 
 _________ 
 √ ( a " – b " ) 
 e =a 
 
o 2a excentricidade; _________ 
 √ ( a " - b " ) 
 e´ = 
 b 
 
• Eixo menor (b) b = a - (f x a ) 
 
 
• Grande Normal (N) 
 
É uma das seções normais principais que passa por um determinado ponto 
 do elipsóide. É o segmento de reta (MH), perpendicular ao plano tangente ao M sobre a 
superfície curva no elipsóide. Sua aplicação é básica para o cálculo do raio médio 
de uma determinada região do trabalho geodésico. 
 
 a 
 N = 
 (1- e " sen "��ϕ��# 
 
 
• Raio de curvatura da secção meridiana (M) 
 
Dentre as secções normais que passam pelo mesmo ponto no elipsóide, o raio de 
curvatura é mais uma informação dentre as principais . É o segmento de reta 
correspondente ao raio de uma secção de um plano circular coincidente com o plano da 
seção elipsóidica.no ponto considerado. Sua aplicação é no cálculo do raio médio naquela 
secção meridiana. 
 19 
 
 a ( 1 – e "�� 
 M = ---------------------- 
 ( 1- e " sen " (ϕ) ) 3/2″ 
 
 
• Raio médio (Rº) 
 
 _____ 
 Rº ° = √ (MN) 
 
 
8 EXERCÍCIOS SOBRE OS FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA 
 
• Elaborar um quadro contendo os parâmetros geométricos do elipsóide de referência 
correspondentes aos sistemas geodésicos de Hayforf, Internacional, SAD 69 e WGS 
84; 
 
• Quais as medições geodésicas que são executadas para caracterizar a forma geoidal? 
 
• O quê entende-se por desvio da vertical do lugar? Ilustrar sua resposta com o auxílio 
de um desenho. 
 
• Qual a utilidade prática, no campo de atuação da Engenharia Civil, do modelo Geóide 
para representar a forma geométrica do planeta Terra? 
 
• Que significa o termo altura geoidal e qual a importância da sua determinação para 
alcançar os objetivos da Geodésia? 
 
• Explicar, de maneira clara e sucinta, cada um dos parâmetros do Sistema Geodésico 
Brasileiro – SBG. 
 
• Qual o significado dos termos Latitude e Longitude? Caso julgue necessário, ilustrar 
sua resposta com um desenho. 
 
• O Sistema de Coordenadas Geodésicas é o mesmo que o Sistema de Coordenadas 
Geográficas? Explicar. 
 
• A expressão C (m) = 111.321xcos(ϕϕϕϕ�� 
���������������	�������
�����������
	����� ��� ������	��� $� �����	� %��� ��� 	&	��	� �	� ���'	� ��� (%�	����� �	�	� ��
�	�	
�
�����%����������	�	����	������)	
*	����+�,	'�	��-. �����	�������)�
���
��
����	/�����������	��������*	
��� 
 
• Dois parâmetros geométricos caracterizam uma elipse. A partir destes dois elementos 
geométricos deduza e explique sucintamente os seguintes termos: 
 20 
o Achatamento 
o Semidistância focal 
o 1a excentricidade 
o 2a excentricidade 
 
• Utilizando os parâmetros do Elipsóide de Referência de Hayford, solicita-se 
determinar os valores numéricos correspondentes aos elementos seguintes: 
 
o Achatamento 
o Semi-eixo menor 
o Semidistância focal 
o Excentricidades 
o Grande Normal (N), para a Latitude 13º S 
 
• Solicita-se determinar os valores numéricos relativos aos parâmetros elipsóidicos M, 
N e Rº, a partir do Elipsóide de Referência SAD 69, referidos ao ponto P, cuja 
Latitude é igual a 38º28’19,8610’’. 
 
• Determinar os valores das coordenadas cartesianas correspondentes ao ponto 
geodésico localizado sobre a superfície terrestre, cujas coordenadas geodésicas com 
referência ao SAD 59 valem: 
 
Latitude Sul (ϕϕϕϕ� = 19º26’31,062’’ 
Longitude Oeste (λλλλ) = 44º12’58,206” 
Altura geoidal (h) = 801,97 m