Cap_03_1a_aula_FORÇAS DISTRIBUÍDAS

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3. FORÇAS DISTRIBUÍDAS
3.1. Considerações Iniciais
Até agora, no presente curso, lidou-se apenas com sistema de forças
concentradas. Porém, em muitas aplicações de engenharia essa abordagem
não é adequada em razão da natureza das forças e/ou a forma de sua
aplicação na estrutura analisada. Além disso, diante da necessidade de se
analisar os elementos estruturais em termos de efeitos internos, faz-se
necessário uma abordagem mais realística possível da atuação dessas forças.
Exemplos:
Na realidade esfera tende a se deformar, causando a 
distribuição da força resultante ao longo de uma superfície de 
contato.
3.1. Considerações Iniciais (cont.)
As forças distribuídas podem ser modeladas de acordo com a geometria do 
corpo em que atuam, ou seja:
(i) Distribuição linear: atua ao longo de estruturas planas lineares, tais 
como vigas e cabos. Exemplos:
A intensidade da força distribuída linear é dada por F/L.
Unidades: N/m; kgf/m; lb/in; lb/ft
3.1. Considerações Iniciais (cont.)
(ii) Distribuição bidimensional: atua ao longo de superfícies da uma 
dada estrutura espacial ou plana. Exemplos:
A intensidade da força distribuída ao longo de uma área é dada 
por F/L2.
Unidades: N/m2; kgf/m2; lb/in2; lb/ft2
Obs: As forças distribuídas em razão da ação de fluidos são denominadas 
de pressão, enquanto que para forças internas em sólidos, chama-se 
tensões (assunto a ser discutido na 3ª unidade do nosso curso).
3.1. Considerações Iniciais (cont.)
(iii) Distribuição volumétrica: atua em razão da atuação de campos de 
força, também chamada de força de corpo. Exemplos: Peso próprio de 
um corpo.
A intensidade da força distribuída ao longo do volume é dada 
por F/L3. Para o peso próprio essa intensidade é chamada de 
peso específico, ou seja:
Unidades: N/m3; kgf/m3; lb/in3; lb/ft3
E ainda, o peso total do corpo é: 
g 
Massa específica
Aceleração da gravidade
W V
Volume do corpo
Considere-se o corpo sólido no espaço sujeito ao seu peso próprio:
x y z  r i j k
(vetor posição do C. G. do corpo.)
Na realidade, o sistema de forças no corpo é composto por infinitas forças DW
paralelas aplicadas em pequenos elementos. A idéia do conceito de Centro de
Gravidade (C. G.) é substituir o sistema de forças infinito por outro de apenas
uma força “W” concentrada.
3.2. Centro de Gravidade, Centro de Massa (cont.)
x y z  r i j k
(vetor posição de um ponto genérico)
Portanto, temos:
 W W
W W
   D
  D
 

F j j
Para infinitos elementos, com quantidades infinitesimais, as Equações (1) e (2),
tornam-se:
3.2. Centro de Gravidade, Centro de Massa (cont.)
   
     
W W
W W
W W
     D  
    D  
  D
 


oM r j r j
r j r j
r rEq.(2)
Eq.(1)
; ;
W dW
xdW ydW zdW
W dW x y z
W W W
 
    

  
r r
Peso do corpo;
As coordenadas 
do Centro de 
gravidade
3.2. Centro de Gravidade, Centro de Massa (cont.)
E ainda, sabendo que:
gmW 
e
dW gdm
Tem-se as expressões para o Centro de Massa do corpo:
; ;
xg dm xdm yg dm ydm zg dm z dm
x y z
mg m mg m mg m
     
     
OBS: O Centro de Massa é de uso mais geral na física, pois não está associado 
ao campo gravitacional. Eles são coincidentes por se admitir um campo 
gravitacional uniforme e paralelo ao longo do corpo, o que é bastante razoável. 
3.3. Centróides ou Centro Geométricos
As coordenadas do Centro de Massa de um corpo são dadas por:
Sabendo que: e , tem-se:
; ;
xdm ydm z dm
x y z
m m m
  
  
Na grande parte das aplicações da engenharia é comum se ter , 
ou seja, corpo homogêneo, então: 
dVdmVm  
; ;
x dV y dV z dV
x y z
V V V
  
    
  
cte
; ;
xdV y dV z dV
x y z
V V V
  
  
Coordenadas x, y, z do centróide 
do corpo de volume “V”.
OBS: O centróide de um corpo é uma característica puramente geométrica,
portanto independente do campo gravitacional ou da densidade do corpo. Esses
três centros (de gravidade, geométrico e de massa), são coincidentes apenas se:
O corpo é homogêneo e o campo gravitacional uniforme e paralelo ao longo do
corpo.
3.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
(i) Expressão do C. G. de figuras geométrica em formato de linha:
LAV 
Sendo:
dV AdL
; ;
xdL y dL z dL
x y z
L L L
  
  
Tem-se:
(ii) Expressão do C. G. para superfícies (espessura “t” constante):
V At
Sendo:
dV t dA
; ;
xdA y dA z dA
x y z
A A A
  
  
Tem-se:
Para uma área plana (no plano x-y, por exemplo), tem-se:
;
y x
Q Q
x y
A A
 
Onde:
;y xQ xdA Q y dA  
Momentos estáticos de área em relação 
ao eixo y e x respectivamente.
3.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
dA
x
y
x
y
; ;
xdA y dA
x y
A A
 
 
As coordenadas do Centróide, são 
dadas por:
Chamando:
Tem-se:
y
x
Q A x xdA
Q A y y dA
  
  


OBS: Os momentos estáticos de área não tem significado físico algum, apenas
levam esse nome em razão da analogia à determinação de um momento de
uma força em relação a um eixo. Também são chamados de Primeiros
momentos de área.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
1 – Sempre que a figura geométrica do corpo tiver um eixo de simetria, 
o centróide dessa figura estará nesse eixo. Ex:
2 – Em alguns casos, o centróide de uma figura pode estar fora dela, 
ou seja:
3.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
c.g. c.g.
c.g.
c.g.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES (CONT):
3 – Sempre que a figura for anti-simétrica, o centróide vai estar na 
origem dos eixos de anti-simetria:
3.3. Centróides ou Centro Geométricos (cont.)
c.g.
Para todo (x,y) existe um 
correspondente (-x,-y), de forma que:
0; 0y xQ xdA Q y dA    