Exercicios Calculo (64)

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lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
√𝑥
5 . 𝑒 = √0
5
. 𝑒 = 0. 
lim
𝑥→0−
ℎ(𝑥) = lim
𝑥→0−
√𝑥
5 . 𝑒−1 = √0
5
. 𝑒−1 = 0. 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 0,𝒑𝒆𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 𝑑𝑒 0,𝑒 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
ℎ(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ã𝑜,𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑜, 
lim
𝑥→0−
𝑔(𝑥) = 0. 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim
𝑥→0−
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→0+
𝑔(𝑥) , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒 lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = 0.𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 
lim
𝑥→0
√𝑥
5 . 𝑒cos
𝜋
𝑥 = 0 
𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟑. 
 
𝑎) 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓(𝑥) = {
𝑘 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 𝜋
𝑘. sen𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 > 𝜋
. 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎. 
 
𝑓 é 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 (𝑘 − 𝑥) é 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝑒, 
𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 ℝ 𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑘.sen 𝑥 é 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 
𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 ℝ.𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 
𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠, 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 (−∞,𝜋) ∪ (𝜋,∞). 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 ℝ, é 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎 𝑒 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞 𝑓 𝑠𝑒𝑗𝑎 
𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑥 = 𝜋. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 
lim
𝑥→𝜋
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋) ⟺
lim
𝑥→𝜋−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋) (1)
𝑒
lim
𝑥→𝜋+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋) (2)
 
 
lim
𝑥→𝜋−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝜋−
(𝑘 − 𝑥) = 𝑘 − 𝜋 
lim
𝑥→𝜋+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝜋+
𝑘. sen 𝑥 = 𝑘. sen𝜋 = 0 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 (1) 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑎, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓 𝑠𝑒𝑟á 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑥 = 𝜋 𝑠𝑒 
𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑚 (2) 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑒𝑖𝑡𝑎. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 
 
lim
𝑥→𝜋+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝜋) 
𝑘 − 𝜋 = 0 
∴ 𝑘 = 𝜋. 
 
𝑏) 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑚 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑓(𝑚) 𝑒 𝑓 ′(𝑚),𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 
𝑓 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 𝑚 é 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑗. 
 
𝑆𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑗 é 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 𝑒𝑚 𝑥 = 𝑚, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑜 
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 é (𝑚, 𝑓(𝑚)) 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 .𝐿𝑜𝑔𝑜, 
 
𝑓(𝑚) = 𝑘𝑚 + 𝑗