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Aula 16
Curso Básico de Estatística p/ Concursos
da Área Fiscal - Com Videoaulas - 2020
Autor:
Guilherme Neves
Aula 16
10 de Fevereiro de 2020
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1.	 Análise de Variância ........................................................................................................................................ 2	
2.	 Teste F ............................................................................................................................................................. 8	
3.	 Lista de Questões sem Comentários .............................................................................................................. 12	
4.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 21	
5.	 Lista de Questões com Comentários .............................................................................................................. 22	
6.	 Considerações Finais ...................................................................................................................................... 49	
 
 
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1. ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
A análise de variância (ANOVA, do inglês Analysis of Variance) tem como objetivo testar a hipótese 
de que as médias de 𝑘 populações distintas são iguais. A ANOVA foi criada pelo estatístico Fisher e 
é comumente referida como ANOVA de Fisher. 
 
"
𝐻$: 𝜇' = 𝜇) = ⋯ = 𝜇+																																																																																								
𝐻': 𝑃𝑒𝑙𝑜	𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠	𝑢𝑚𝑎	𝑚é𝑑𝑖𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙	é	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑎𝑠	𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠
 
 
Como não temos acesso às médias das populações, selecionaremos 𝑘 amostras independentes 
provenientes das 𝑘 populações. As amostras não necessariamente terão o mesmo tamanho. 
Assim, vamos supor que serão selecionados aleatoriamente 𝑛' elementos da primeira população, 
𝑛) elementos da segunda população, ..., e 𝑛+ elementos da 𝑘-ésima população. 
O total de elementos das amostras será: 
𝑁 =?𝑛@
+
@A'
 
Denominamos tratamento a característica que distingue as populações cujas médias estão sendo 
comparadas na ANOVA. 
Algumas suposições são necessárias na Análise de Variância. A primeira delas é que as populações 
de onde extraímos as amostras tenham distribuição normal. Além disso, precisamos que as 
variâncias das populações tenham a mesma variância (dizemos que existe homocedasticia). 
Se essas suposições forem verdadeiras, então a ANOVA é a melhor técnica para comparar as 
médias de diferentes populações. 
Em outras palavras, a ANOVA testa se há diferença significativa entre as médias de 3 ou mais 
grupos independentes. É importante notar que a ANOVA apenas dirá se alguma média difere das 
demais e não especificará qual média será essa. 
 
Guilherme, por que não podemos simplesmente fazer 𝑘 testes para a média? Por exemplo, se 
queremos testar 𝜇' = 𝜇) = 𝜇B = 𝜇C = 𝜇D = 10, poderíamos realizar 5 testes com hipóteses nulas 
𝜇' = 10, 𝜇) = 10, 𝜇B = 10, 𝜇C = 10 e 𝜇D = 10. 
 
O problema é que em cada teste para a média temos uma probabilidade 𝛼 de cometermos um 
erro tipo I. Ao conduzir esse teste 5 vezes, a nossa probabilidade de cometermos algum erro será 
bem maior. 
Assim, se temos um nível de significância 𝛼 = 5%, a ANOVA controla esses erros de tal forma que 
a probabilidade de cometermos um erro tipo I continua sendo 5%. 
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Vamos a um exemplo concreto para deixar tudo mais claro. Imagine que selecionamos 3 empresas 
A, B e C do mesmo ramo e queremos comparar os salários, em milhares de reais, dos empregados 
dessas empresas. Para simplificar, vamos supor que foram selecionados aleatoriamente 4 
empregados de cada empresa. 
Obtivemos as seguintes amostras. 
Empresa A Empresa B Empresa C 
6,7 6,3 6,6 
6,4 6,9 7,0 
6,5 6,4 6,4 
6,8 6,4 8,0 
𝑥K = 6,6 𝑥N = 6,5 𝑥O = 7 
 
Para facilitar a identificação dos valores na tabela acima, vamos utilizar a notação 𝑋@R, em que 𝑖 
representa o tratamento e 𝑗 representa o elemento. Por exemplo, 𝑋)B é o terceiro elemento da 
segunda empresa (𝑋)B = 6,4). 
 
Temos 4 funcionários em cada amostra. As médias de cada amostra foi calculada. A média geral 
dos 12 funcionários é: 
𝑋 =
6,6 × 4 + 6,5 × 4 + 7 × 4
12 = 6,7 
Poderíamos também ter somado as 12 observações e dividido o resultado por 12. 
É claro que as médias amostrais não são iguais; mas não podemos, baseados nisso, concluir que as 
médias populacionais são diferentes. Não temos acesso a todos os dados das populações. Estamos 
tentando inferir uma conclusão sobre as populações a partir das amostras. 
 
Obviamente, se a média amostral da empresa A fosse 2, a média da empresa B fosse 2,05 e a 
média da empresa C fosse 150, claramente poderíamos concluir que pelo menos uma das médias é 
diferente das demais. 
A questão é: será que as médias amostrais de A, B e C da tabela acima são suficientemente 
diferentes a ponto de nos fazer concluir que pelo menos uma média é diferente das demais? É isso 
que a ANOVA vai responder. 
 
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Cada valor observado é a soma da média da população de onde esse valor foi retirado com um 
erro aleatório (o erro pode ser positivo ou negativo). 
𝑋@R = 𝜇@ + 𝜀@R 
Há algumas suposições para o erro aleatório: 
• A média dos erros aleatórios em cada grupo é igual a 0. 
• As variáveis 𝜀@R são independentes. 
• A variância de 𝜀@R é a mesma em todos os grupos (homocedasticia). 
 
Você não precisa se preocupar muito com essas hipóteses. Normalmente a questão indicará que as 
hipóteses do modelo são satisfeitas. 
 
Em suma, os erros aleatórios são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com 
média 0 e variância 𝜎). 
 
Quando a variância dos erros dentro dos tratamentos não é constante, dizemos que existe 
heterocedasticia. 
 
Vamos voltar para a nossa tabela. 
Empresa A Empresa B Empresa C 
6,7 6,3 6,6 
6,4 6,9 7,0 
6,5 6,4 6,4 
6,8 6,4 8,0 
𝑥K = 6,6 𝑥N = 6,5 𝑥O = 7 
 
Sabemos que a soma dos desvios em relação à média é igual a 0. Assim, em vez de somar os 
desvios, vamos somar os quadrados dos desvios (foi assim que demos origem à variância). 
A primeira soma de quadrados que vamos aprender é a soma dos quadrados dos erros (também 
chamada de soma dos quadrados dos resíduos). Essa é a soma dos quadrados dos erros dentro dos 
grupos. 
𝑆𝑄^_`abc = (6,7 − 6,6)) + (6,4 − 6,6)) + ⋯+ (6,3 − 6,5)) + (6,9 − 6,5)) + ⋯+ (8,0 − 7)) 
 
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𝑆𝑄^_`abc= 1,84 
 
Vamos agora calcular a soma dos quadrados de tratamentos (ou soma dos quadrados entre os 
grupos). 
Para calcular essa soma, devemos subtrair a média de cada grupo da média geral (6,7), elevar ao 
quadrado, multiplicar pelo tamanho da amostra de cada tratamento e somar os resultados. 
𝑆𝑄_`ab_ = (6,6 − 6,7)) × 4 + (6,5 − 6,7)) × 4 + (7 − 6,7)) × 4 
 
𝑆𝑄_`ab_ = 0,56 
 
Temos também a soma dos quadrados total. Para obtê-la, devemos calcular o desvio de cada valor 
em relação à média geral (6,7), elevar ao quadrado e somar tudo. 
𝑆𝑄acahi = (6,7 − 6,7)) + (6,4 − 6,7)) + ⋯+ (6,3 − 6,7)) + (6,9 − 6,7)) + ⋯+ (8,0 − 6,7)) 
 
𝑆𝑄acahi = 2,40 
 
Observe que 
𝑆𝑄acahi = 𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ 
 
No nosso exemplo: 
𝑆𝑄acahi = 1,84 + 0,56 
 
𝑆𝑄acahi = 2,40 
Continuando. 
Vimos que a variável 
𝜒`k') = l
𝑁 − 1
𝜎) m 𝑠) 
tem distribuição qui-quadrado com 𝑁 − 1 graus de liberdade. 
Vamos substituir 𝑠) pela sua fórmula. 
𝜒nk') = l
𝑁 − 1
𝜎) m ∙
∑q𝑋@ − 𝑋r
)
𝑁 − 1 
 
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𝜒nk') =
∑q𝑋@ − 𝑋r
)
𝜎) 
Assim, concluímos que a soma dos quadrados dos desvios dividida pela variância populacional tem 
distribuição qui-quadrado com 𝑁 − 1 graus de liberdade. 
𝑆𝑄acahi
𝜎) 	𝑡𝑒𝑚	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜	𝑞𝑢𝑖 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜	𝑐𝑜𝑚	𝑁 − 1	𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠	𝑑𝑒	𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
 
Vamos entender o número de graus de liberdade. 
Imagine que temos a seguinte equação: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 5. Quantos graus de liberdade nós 
temos? Em outras palavras, quantas variáveis temos a liberdade de escolher os valores? Ora, como 
são 4 valores, então temos liberdade de escolher 3 valores. O quarto estará automaticamente 
calculado dependendo dos outros 3. Por exemplo, se colocamos 𝑎 = −1, 𝑏 = 3 e 𝑑 = 8, temos: 
−1 + 3 + 𝑐 + 8 = 5 
𝑐 = −5 
A nossa amostra tem N elementos. Assim, imagine que temos uma determinada soma dos 
quadrados total. Temos a liberdade de escolher 𝑁 − 1 elementos na amostra. O último valor será 
automaticamente determinado. É por isso que temos 𝑁 − 1 graus de liberdade para a variável 
acima. No nosso exemplo, temos liberdade para escolher 11 elementos da amostra total. 
𝑔𝑙acahi = 𝑁 − 1 
 
𝑔𝑙acahi = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − 1 
 
Analogamente, 
𝑆𝑄^_`abc
𝜎) 	𝑡𝑒𝑚	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜	𝑞𝑢𝑖 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 
 
Vamos agora pensar no número de graus de liberdade. Observe o cálculo do nosso exemplo 
anterior. 
𝑆𝑄^_`abc = (6,7 − 6,6)) + (6,4 − 6,6)) + ⋯+ (6,3 − 6,5)) + (6,9 − 6,5)) + ⋯+ (8,0 − 7)) 
Em cada tratamento (em cada grupo) temos liberdade para escolher 3 valores. Assim, ao todo, 
temos liberdade para escolher 9 valores. 
De uma forma geral, o número de graus de liberdade da variável {|}~����
��
 é 𝑁 − 𝑘. No nosso 
exemplo, 12 − 3 = 9. 
𝑔𝑙^_`abc = 𝑁 − 𝑘 
𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
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Da mesma forma, 
𝑆𝑄_`ab_
𝜎) 	𝑡𝑒𝑚	𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜	𝑞𝑢𝑖 − 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 
E o número de graus de liberdade? 
Vamos observar o cálculo no nosso exemplo. 
𝑆𝑄_`ab_ = (6,6 − 6,7)) × 4 + (6,5 − 6,7)) × 4 + (7 − 6,7)) × 4 
Como são 3 tratamentos, então temos 3 parcelas. Assim, temos liberdade para escolher 2 parcelas. 
De uma maneira geral, temos 𝑘 tratamentos e teremos liberdade para escolher 𝑘 − 1 parcelas. 
Logo, o número de graus de liberdade da variável acima é 𝑘 − 1. 
𝑔𝑙_`ab_ = 𝑘 − 1 
𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
Observe que 
11�
�bh��	^_	i@�_b^h^h
acahi
= 9⏟
�bh��	^_	i@�_b^h^_
^_`abc	^c�	abhah�_`ac�
+ 2⏟
�bh��	^_	i@�_b^h^_
_`ab_	abhah�_`ac�
 
 
𝑔𝑙acahi = 𝑔𝑙^_`abc + 𝑔𝑙_`ab_ 
 
• 𝑆𝑄acahi = 𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ 
• As variáveis {|�����
��
, {|}~����
��
 e {|~���~
��
 têm distribuição qui-quadrado. 
• 𝑔𝑙acahi = 𝑁 − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = 𝑁 − 𝑘 
• 𝑔𝑙_`ab_ = 𝑘 − 1 
• 𝑔𝑙acahi = 𝑔𝑙^_`abc + 𝑔𝑙_`ab_ 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Continuando. 
Definimos quadrado médio o quociente entre uma soma de quadrados e o respectivo graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀acahi =
𝑆𝑄acahi
𝑁 − 1 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
𝑁 − 𝑘 
 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
𝑘 − 1 
 
2. TESTE F 
 
Vamos considerar duas variáveis aleatórias independentes 𝜒+�
) e 𝜒+�
) com distribuições de qui-
quadrado com 𝑘' e 𝑘) graus de liberdade, respectivamente. 
Define-se a variável 𝐹+�,+� com 𝑘' graus de liberdade no numerador e 𝑘) graus de liberdade no 
denominador por 
𝐹+�,+� =
	𝜒+�
) /𝑘'
	𝜒+�
) /𝑘)
 
A distribuição acima é denominada F de Snedecor ou F de Fisher-Snedecor. 
 
Vimos que as variáveis {|�����
��
, {|}~����
��
 e {|~���~
��
 têm distribuição qui-quadrado. 
Assim, 
𝐹 =
�𝑆𝑄_`ab_𝜎) � /(𝑘 − 1)
�𝑆𝑄^_`abc𝜎) � /(𝑁 − 𝑘)
 
Tem distribuição F de Snedecor com 𝑘 − 1 graus de liberdade no numerador e 𝑁 − 𝑘 graus de 
liberdade no denominador. 
Observe que podemos cancelar 𝜎). 
𝐹 =
(𝑆𝑄_`ab_)/(𝑘 − 1)
(𝑆𝑄^_`abc)/(𝑁 − 𝑘)
 
 
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Quando dividimos a soma de quadrados pelo número de graus de liberdade temos o quadrado 
médio. 
𝐹 =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
A variável acima tem distribuição F de Snedecor com 𝑘 − 1 graus de liberdade no numerador e 
𝑁 − 𝑘 graus de liberdade no denominador. 
O valor obtido para F para uma amostra específica pode ser utilizada para testar 
"
𝐻$: 𝜇' = 𝜇) = ⋯ = 𝜇+																																																																																								
𝐻': 𝑃𝑒𝑙𝑜	𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠	𝑢𝑚𝑎	𝑚é𝑑𝑖𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙	é	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑎𝑠	𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠
 
Assim, basta comparar o valor da estatística teste com o valor crítico tabelado. 
 
• 𝐹a_�a_ > 𝐹�bía@�c → rejeitamos a hipótese nula. 
• 𝐹a_�a_p/ Concursos da Área Fiscal - Com Videoaulas - 2020
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De uma forma geral, a tabela ANOVA tem a seguinte estrutura. 
Fonte de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma de 
Quadrados Quadrados Médios F 
Tratamentos 
(Entre) 𝑘 − 1 𝑆𝑄_`ab_ 𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
𝑘 − 1 𝐹a_�a_ =
|�~���~
|�}~����
 
Resíduos 
(Dentro) 𝑁 − 𝑘 𝑆𝑄^_`abc 𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
𝑁 − 𝑘 
Total 𝑁 − 1 𝑆𝑄acahi 
 
 
 
 
 
 
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3. LISTA DE QUESTÕES SEM COMENTÁRIOS 
 
 
(FGV 2018/ALE-RO) ATENÇÃO! USE O ENUNCIADO ABAIXO PARA RESPONDER AS DUAS QUESTÕES 
QUE SE SEGUEM. 
Suponha que se deseja testar a hipótese nula de que k médias populacionais são iguais (não há 
efeito de tratamento) contra a alternativa de que nem todas as médias são iguais (há efeito de 
tratamento) por meio de uma análise da variância de 1 fator usual, com base em um conjunto de n 
observações. Uma tabela ANOVA terá basicamente a seguinte estrutura: 
 
1. Os valores de a, b e c são respectivamente: 
a) n – k, k – 1, n – 1. 
b) k – 1, n – k, n – 1. 
c) k, n – k, n. 
d) n – k – 1, k, n – 1. 
e) k, n – k – 1, n – 1. 
2. Obtidos corretamente os valores de SQE, SQD e SQT, o valor da estatística de teste F será 
dado por 
a) F = SQE(n – k)/ SQT(k – 1) 
b) F = SQD(n – k)/ SQD(k – 1) 
c) F = SQE(n – k)/ SQD(k – 1) 
d) F = SQD(n – k)/ SQT(k – 1) 
e) F = SQT(n – k)/ SQD(k – 1) 
3. (Instituto AOCP 2018/ADAF) 
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Um experimento é feito com o objetivo de comparar o efeito de três diferentes tratamentos com 
fertilizantes na produção de milho. Os tratamentos foram aplicados em 13 parcelas para uma 
mesma variedade de milho. Na tabela seguinte, está a análise de variância dos resultados. 
 
Assinale a alternativa cuja resposta é a interpretação correta da tabela de análise de 
variância. (𝛼 = 5%). 
a) Pela análise de variância, ao nível de significância de 5%, pode-se afirmar que as médias são, 
aproximadamente, iguais. 
b) Pela análise de variância, ao nível de significância de 5%, não se pode afirmar que as médias 
sejam, aproximadamente, iguais. 
c) Pela análise de variância, ao nível de significância de 5%, pode-se afirmar que as médias são 
diferentes. 
d) Pela análise de variância, ao nível de significância de 95%, pode-se afirmar que as médias sejam, 
aproximadamente, iguais. 
e) Pela análise de variância, ao nível de significância de 95%, não se pode afirmar que as médias 
sejam, aproximadamente, iguais. 
4. (FCC 2012/TRE-SP) 
As informações abaixo foram extraídas de um quadro de análise de variância, cujo objetivo é testar 
a hipótese da igualdade das médias da variável X de 4 grupos I, II, III e IV, independentes, cada um 
contendo 8 observações. 
Fonte de Variação Soma de Quadrados 
Entre grupos 105 
Dentro dos grupos 70 
Total 175 
O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a verificação da igualdade das médias é 
a) 1,5. 
b) 10,5. 
c) 14,0. 
d) 15,0. 
e) 17,5. 
5. (FCC 2012/TRT 6ª Região) 
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Todos os funcionários de 5 grupos de trabalho com 6 funcionários cada um, escolhidos 
aleatoriamente, são designados para realizar uma tarefa, independentemente. O tempo que cada 
um dos 30 funcionários levou para concluir a tarefa é anotado. Deseja-se saber, a um determinado 
nível de significância, se os tempos médios dos grupos para a realização da tarefa são iguais. 
Considere algumas informações do quadro de análise de variância: 
Fonte de Variação Soma de Quadrados 
Entre grupos 32 
Dentro dos grupos X 
Total 32+X 
Se o valor da estatística F (F calculado) utilizado para testar a igualdade dos tempos médios 
apresentou um valor igual a 20, então X é igual a 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
6. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
Um quadro de análise de variância forneceu as seguintes informações em que ficaram omitidos 
diversos dados importantes como, por exemplo, as respectivas somas de quadrados “entre 
grupos” e “dentro dos grupos”: 
 
Este quadro refere-se a um estudo cujo objetivo é testar a hipótese de igualdade das médias de 
um determinado atributo, a um nível de significância 𝛼, correspondente a 4 grupos, 
independentes, cada um contendo 10 observações obtidas aleatoriamente. 
 O valor de 𝑚 é igual a 
a) 45 
b) 27 
c) 36 
d) 72 
e) 60 
7. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
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O objetivo de um estudo é testar a hipótese de igualdade das médias de um atributo X, a um 
determinado nível de significância 𝛼, correspondente a 3 grupos I, II e III, independentes, cada um 
contendo 15 observações obtidas aleatoriamente. Pelo quadro de análise de variância, observou-
se os seguintes resultados com relação às respectivas observações sabendo-se que o valor da 
estatística F (F calculado) utilizado para a tomada de decisão é igual a 33,6. 
Fonte de Variação Soma de Quadrados 
Entre grupos X 
Dentro dos grupos Y 
Total 78 
O valor do módulo de (𝑋 − 𝑌) é igual a 
a) 12 
b) 6 
c) 8 
d) 2 
e) 18 
8. (FCC 2015/TRE-RR) 
O objetivo de um estudo consiste em testar a hipótese de igualdade das médias de um atributo de 
3 grupos X, Y e Z, independentes, cada um contendo uma amostra aleatória de tamanho 9. Pelo 
quadro de análise de variância, o valor da estatística F (F calculado) utilizado para a verificação da 
igualdade das médias é igual a 19. Se a fonte de variação entre grupos apresenta um valor igual a 
95, então a fonte de variação total é igual a 
a) 135. 
b) 140. 
c) 145. 
d) 150. 
e) 155. 
9. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
O objetivo de um estudo é verificar a hipótese de igualdade das médias obtidas em um teste 
aplicado para 5 grupos de trabalhadores, que tiveram treinamentos diferentes, 
independentemente. Cada grupo foi formado por 10 trabalhadores e a estatística F (F calculado) 
no quadro de análise de variância foi igual a 3,75. A porcentagem que a fonte de variação entre 
grupos representa da fonte de variação total é de 
a) 15%. 
b) 20%. 
c) 25%. 
d) 60%. 
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e) 75%. 
10. (FCC 2011/TRT 1ª Região) 
Um estudo corresponde ao interesse de analisar o desempenho de 3 postos independentes de 
atendimento ao público com 8 funcionários cada um. Decidiu-se empregar a análise de variância 
com o objetivo de testar a hipótese de igualdade das médias de atendimento dos 3 postos 
(quantidade de pessoas atendidas por mês). Durante um mês, anotou-se para cada funcionário dos 
postos a quantidade de pessoas atendidas. Denominando os postos por Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 
3 obteve-se pelo quadro de análisede variância o valor da estatística 𝐹� (F calculado) igual a 2, para 
posteriormente comparar com o F tabelado (variável F de Snedecor). A porcentagem que a 
"variação entre os grupos" representa da "variação total" no quadro de análise de variância é igual 
a 
a) 8%. 
b) 12%. 
c) 16%. 
d) 24%. 
e) 32%. 
11. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Em 10 grandes empresas foram escolhidos aleatoriamente em cada uma 5 empregados para 
realizar uma determinada tarefa, independentemente, sendo anotado o tempo em horas que cada 
empregado demorou para realizar a tarefa. Deseja-se saber, a um determinado nível de 
significância, se os tempos médios das empresas para a realização da tarefa são iguais. Pelo quadro 
de análise de variância, a soma de quadrados, devido à fonte de variação total, é igual a 1.400 e o 
valor da estatística F (F calculado), utilizado para testar a igualdade dos tempos médios entre as 
empresas, apresentou um valor igual a 15. Neste quadro, o correspondente valor da soma de 
quadrados entre empresas é igual a 
a) 720. 
b) 900. 
c) 1.200. 
d) 1.080. 
e) 820. 
12. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Três grupos, com 10 operários cada um, são formados para realizar uma experiência. Em cada 
grupo, os operários foram selecionados aleatoriamente de 3 grandes fábricas, respectivamente. 
Cada operário produz uma determinada peça e anota o tempo que levou para produzí-la. Deseja-
se testar a hipótese de igualdade dos tempos médios dos grupos, supondo que trabalham 
independentemente, a um determinado nível de significância. Pelo quadro de análise de variância, 
obteve-se o valor da estatística F (F calculado) igual a 4,5, para posteriormente ser comparado com 
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o F tabelado (variável F de Snedecor). Dado que no respectivo quadro a “variação total” é igual a 
432, tem-se que a “variação entre grupos” é igual a 
a) 108. 
b) 270. 
c) 232. 
d) 324. 
e) 170. 
(VUNESP 2015/TJ-SP) 
Leia o texto a seguir para responder às questões a seguir. 
 
Para testar a eficiência de três escolas, foram selecionados, aleatoriamente, oito alunos de cada 
uma, e as notas do teste estão dadas na tabela a seguir. 
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Para comparar a eficiência das escolas, é necessário construir a tabela ANOVA, que envolve vários 
cálculos. 
13. A soma dos quadrados das variações dentro dos grupos é igual a 
a) 46. 
b) 54. 
c) 62. 
d) 70. 
e) 78. 
14. A soma dos quadrados das variações entre os grupos é 
a) 24. 
b) 20. 
c) 16. 
d) 12. 
e) 8. 
15. Ao construir a ANOVA, é necessário preencher a tabela a seguir: 
 
Nesse caso, o valor de F é, aproximadamente, 
a) 2,5. 
b) 3,2. 
c) 4,5. 
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d) 5,4. 
e) 6,8. 
16. Após comparar o valor de F calculado com F crítico ao nível de 5%, pode-se concluir que 
a) as três escolas são igualmente eficientes. 
b) as três escolas têm o mesmo número de alunos. 
c) a escola A é melhor, no quesito eficiência, do que a escola B. 
d) a escola C é menos eficiente. 
e) as escolas A e C são as mais eficientes. 
17. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Um determinado ramo de atividade é composto por 3 empresas (A, B e C) independentes. Um 
estudo é realizado para comparar os salários, em R$ 1.000,00, dos empregados de A, B e C, 
sabendo-se que não existe alguém trabalhando em mais de uma empresa. Uma amostra aleatória, 
com reposição, de 24 empregados, sendo 8 de cada uma das empresas citadas, foi retirada da 
população de empregados desse ramo de atividade. Na tabela abaixo, verifica-se os salários 
médios e os respectivos desvios padrões amostrais (obtidos por meio de estimadores não viciados 
das variâncias populacionais) observados para cada uma das amostras. 
 
Se k é o valor da estatística F (F calculado) utilizado para testar a igualdade das médias 
populacionais dos salários dos empregados em A, B e C obtém-se que 
a) 2 3 
d) 2,5− (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
• 𝑔𝑙acahi = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − 1 
 
Logo, 
𝑎 = 𝑘 − 1 
𝑏 = 𝑛 − 𝑘 
𝑐 = 𝑛 − 1 
A resposta da primeira questão é a alternativa B. 
 
Vimos que o quadrado médio é obtido pela divisão da soma de quadrados pelo número de graus 
de liberdade. Assim, temos: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
𝐹a_�a_ =
𝑆𝑄_`ab_/(𝑘 − 1)
𝑆𝑄^_`abc/(𝑛 − 𝑘)
 
 
Para dividir as frações, devemos multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. 
𝐹a_�a_ =
𝑆𝑄_`ab_
𝑘 − 1 ×
𝑛 − 𝑘
𝑆𝑄^_`abc
 
 
𝐹a_�a_ = 𝑆𝑄𝐸(𝑛 − 𝑘)/𝑆𝑄𝐷(𝑘 − 1)	 
A resposta da segunda questão é a alternativa C. 
Gabarito: B, C 
3. (Instituto AOCP 2018/ADAF) 
Um experimento é feito com o objetivo de comparar o efeito de três diferentes tratamentos com 
fertilizantes na produção de milho. Os tratamentos foram aplicados em 13 parcelas para uma 
mesma variedade de milho. Na tabela seguinte, está a análise de variância dos resultados. 
 
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Assinale a alternativa cuja resposta é a interpretação correta da tabela de análise de 
variância. (𝛼 = 5%). 
a) Pela análise de variância, ao nível de significância de 5%, pode-se afirmar que as médias são, 
aproximadamente, iguais. 
b) Pela análise de variância, ao nível de significância de 5%, não se pode afirmar que as médias 
sejam, aproximadamente, iguais. 
c) Pela análise de variância, ao nível de significância de 5%, pode-se afirmar que as médias são 
diferentes. 
d) Pela análise de variância, ao nível de significância de 95%, pode-se afirmar que as médias sejam, 
aproximadamente, iguais. 
e) Pela análise de variância, ao nível de significância de 95%, não se pode afirmar que as médias 
sejam, aproximadamente, iguais. 
Resolução 
Como a estatística teste é menor que o valor tabelado (valor crítico), então a estatística teste caiu 
na região de aceitação. Assim, devemos aceitar a hipótese nula de que as médias são iguais. 
Poderíamos chegar a essa conclusão também utilizando o p-valor. 
O p-valor é a área delimitada pela estatística teste. A área delimitada pela estatística teste é de 
27,93%. Lembre-se que o nível de significância indica a área da região crítica. 
Como o p-valor é maior do que 𝛼, então a estatística teste caiu na região de aceitação, pois a área 
delimitada pela estatística teste é maior do que a região crítica. 
Gabarito: A 
4. (FCC 2012/TRE-SP) 
As informações abaixo foram extraídas de um quadro de análise de variância, cujo objetivo é testar 
a hipótese da igualdade das médias da variável X de 4 grupos I, II, III e IV, independentes, cada um 
contendo 8 observações. 
Fonte de Variação Soma de Quadrados 
Entre grupos 105 
Dentro dos grupos 70 
Total 175 
O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a verificação da igualdade das médias é 
a) 1,5. 
b) 10,5. 
c) 14,0. 
d) 15,0. 
e) 17,5. 
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Resolução 
São 4 grupos. Cada grupo tem 8 observações. Logo, são 32 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 4 − 1 = 3 
𝑔𝑙^_`abc = 32 − 4 = 28 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
3 =
105
3 = 35 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
28 =
70
28 = 2,5 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
=
35
2,5 = 14 
Gabarito: C 
5. (FCC 2012/TRT 6ª Região) 
Todos os funcionários de 5 grupos de trabalho com 6 funcionários cada um, escolhidos 
aleatoriamente, são designados para realizar uma tarefa, independentemente. O tempo que cada 
um dos 30 funcionários levou para concluir a tarefa é anotado. Deseja-se saber, a um determinado 
nível de significância, se os tempos médios dos grupos para a realização da tarefa são iguais. 
Considere algumas informações do quadro de análise de variância: 
Fonte de Variação Soma de Quadrados 
Entre grupos 32 
Dentro dos grupos X 
Total 32+X 
Se o valor da estatística F (F calculado) utilizado para testar a igualdade dos tempos médios 
apresentou um valor igual a 20, então X é igual a 
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a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
Resolução 
São 5 grupos. Cada grupo tem 6 observações. Logo, são 30 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 5 − 1 = 4 
𝑔𝑙^_`abc = 30 − 5 = 25 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
4 =
32
4 = 8 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
25 =
𝑥
25 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
20 =
8
𝑥/25	 
 
20 = 8 ∙
25
𝑥 
 
20𝑥 = 200 
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𝑥 = 10 
Gabarito: E 
 
6. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
Um quadro de análise de variância forneceu as seguintes informações em que ficaram omitidos 
diversos dados importantes como, por exemplo, as respectivas somas de quadrados “entre 
grupos” e “dentro dos grupos”: 
 
Este quadro refere-se a um estudo cujo objetivo é testar a hipótese de igualdade das médias de 
um determinado atributo, a um nível de significância 𝛼, correspondente a 4 grupos, 
independentes, cada um contendo 10 observações obtidas aleatoriamente. 
 O valor de 𝑚 é igual a 
a) 45 
b) 27 
c) 36 
d) 72 
e) 60 
Resolução 
São 4 grupos. Cada grupo tem 10 observações. Logo, são 40 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 4 − 1 = 3 
𝑔𝑙^_`abc = 40 − 4 = 36 
 
Da tabela, temos que: 
𝑚 + 𝑛 = 117 
 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
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Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑚
3 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑛
36 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
7,5 =
𝑚/3
𝑛/36	 
 
7,5 =
𝑚
3 ∙
36
𝑛 
 
7,5 =
12𝑚
𝑛 
 
12𝑚 = 7,5𝑛 
 
𝑛 =
12𝑚
7,5 
 
Como 𝑚 + 𝑛 = 117, temos: 
𝑚 +
12𝑚
7,5 = 117 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 7,5. 
7,5𝑚 + 12𝑚 = 117 × 7,5 
 
19,5𝑚 = 877,5 
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𝑚 = 45 
Gabarito: A 
7. (FCC 2014/TRT 13ª Região) 
O objetivo de um estudo é testar a hipótese de igualdade das médias de um atributo X, a um 
determinado nível de significância 𝛼, correspondente a 3 grupos I, II e III, independentes, cada um 
contendo 15 observações obtidas aleatoriamente. Pelo quadro de análise de variância, observou-
se os seguintes resultados com relação às respectivas observações sabendo-se que o valor da 
estatística F (F calculado) utilizado para a tomada de decisão é igual a 33,6. 
Fonte de Variação Soma de Quadrados 
Entre grupos X 
Dentro dos grupos Y 
Total 78 
O valor do módulo de (𝑋 − 𝑌) é igual a 
a) 12 
b) 6 
c) 8 
d) 2 
e) 18 
Resolução 
São 3 grupos. Cada grupo tem 15 observações. Logo, são 45 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 3 − 1 = 2 
𝑔𝑙^_`abc = 45 − 3 = 42 
 
Da tabela, temos que: 
𝑥 + 𝑦 = 78 
 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
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Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑥
2 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑦
42 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
33,6 =
𝑥/2
𝑦/42	 
 
33,6 =
𝑥
2 ∙
42
𝑦 
 
33,6 =
21𝑥
𝑦 
 
33,6𝑦 = 21𝑥 
 
𝑥 = 1,6𝑦 
 
Como 𝑥 + 𝑦 = 78, temos: 
1,6𝑦 + 𝑦 = 78 
 
2,6𝑦 = 78 
 
𝑦 = 30 
Logo, 
𝑥 + 30 = 78 
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49 
𝑥 = 48 
O módulo da diferença 𝑥 − 𝑦 é 
|𝑥 − 𝑦| = |48 − 30| = 18 
 
Gabarito: E 
8. (FCC 2015/TRE-RR) 
O objetivo de um estudo consiste em testar a hipótese de igualdade das médias de um atributo de 
3 grupos X, Y e Z, independentes, cada um contendo uma amostra aleatória de tamanho 9. Pelo 
quadro de análise de variância, o valor da estatística F (F calculado) utilizado para a verificação da 
igualdade das médias é igual a 19. Se a fonte de variação entre grupos apresenta um valor igual a 
95, então a fonte de variação total é igual a 
a) 135. 
b) 140. 
c) 145. 
d) 150. 
e) 155. 
Resolução 
São 3 grupos. Cada grupo tem 9 observações. Logo, são 27 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 3 − 1 = 2 
𝑔𝑙^_`abc = 27 − 3 = 24 
 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
2 =
95
2 = 47,5 
 
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49 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
24 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
19 =
47,5
𝑆𝑄^_`abc
24
 
 
 
19 = 47,5 ∙
24
𝑆𝑄^_`abc
 
 
19 ∙ 𝑆𝑄^_`abc = 1.140 
 
𝑆𝑄^_`abc = 60 
Logo, 
𝑆𝑄acahi = 𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ 
 
𝑆𝑄acahi = 60 + 95 
 
𝑆𝑄acahi = 155 
Gabarito: E 
9. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
O objetivo de um estudo é verificar a hipótese de igualdade das médias obtidas em um teste 
aplicado para 5 grupos de trabalhadores, que tiveram treinamentos diferentes, 
independentemente. Cada grupo foi formado por 10 trabalhadores e a estatística F (F calculado) 
no quadro de análise de variância foi igual a 3,75. A porcentagem que a fonte de variação entre 
grupos representa da fonte de variação total é de 
a) 15%. 
b) 20%. 
c) 25%. 
d) 60%. 
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e) 75%. 
Resolução 
 
São 5 grupos. Cada grupo tem 10 observações. Logo, são 50 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 5 − 1 = 4 
𝑔𝑙^_`abc = 50 − 5 = 45 
 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
4 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
45 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
3,75 =
𝑆𝑄_`ab_
4
𝑆𝑄^_`abc
45
 
 
3,75 ∙
𝑆𝑄^_`abc
45 =
𝑆𝑄_`ab_
4 
 
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𝑆𝑄^_`abc =
45 ∙ 𝑆𝑄_`ab_
3,75 × 4 
 
𝑆𝑄^_`abc = 3 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ 
A questão pede a razão entre a fonte de variação entre grupos e a fonte de variação total. 
𝑆𝑄_`ab_
𝑆𝑄acahi
= 
 
=
𝑆𝑄_`ab_
𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_
 
 
=
𝑆𝑄_`ab_
3 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ + 𝑆𝑄_`ab_
=
𝑆𝑄_`ab_
4 ∙ 𝑆𝑄_`ab_
=
1
4 = 0,25 
 
= 25% 
Gabarito: C 
10. (FCC 2011/TRT 1ª Região) 
Um estudo corresponde ao interesse de analisar o desempenho de 3 postos independentes de 
atendimento ao público com 8 funcionários cada um. Decidiu-se empregar a análise de variância 
com o objetivo de testar a hipótese de igualdade das médias de atendimento dos 3 postos 
(quantidade de pessoas atendidas por mês). Durante um mês, anotou-se para cada funcionário dos 
postos a quantidade de pessoas atendidas. Denominando os postos por Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 
3 obteve-se pelo quadro de análise de variância o valor da estatística 𝐹� (F calculado) igual a 2, para 
posteriormente comparar com o F tabelado (variável F de Snedecor). A porcentagem que a 
"variação entre os grupos" representa da "variação total" no quadro de análise de variância é igual 
a 
a) 8%. 
b) 12%. 
c) 16%. 
d) 24%. 
e) 32%. 
Resolução 
 
São 3 grupos. Cada grupo tem 8 observações. Logo, são 24 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
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• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 3 − 1 = 2 
𝑔𝑙^_`abc = 24 − 3 = 21 
 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
2 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
21 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
2 =
𝑆𝑄_`ab_
2
𝑆𝑄^_`abc
21
 
 
2 ∙
𝑆𝑄^_`abc
21 =
𝑆𝑄_`ab_
2 
 
𝑆𝑄^_`abc =
21 ∙ 𝑆𝑄_`ab_
2 × 2 
 
𝑆𝑄^_`abc = 5,25 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ 
A questão pede a razão entre a fonte de variação entre grupos e a fonte de variação total. 
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𝑆𝑄_`ab_
𝑆𝑄acahi
= 
 
=
𝑆𝑄_`ab_
𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_
 
 
=
𝑆𝑄_`ab_
5,25 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ + 𝑆𝑄_`ab_
=
𝑆𝑄_`ab_
6,25 ∙ 𝑆𝑄_`ab_
=
1
6,25 = 0,16 
 
= 16% 
Gabarito: C 
 
11. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Em 10 grandes empresas foram escolhidos aleatoriamente em cada uma 5 empregados para 
realizar uma determinada tarefa, independentemente, sendo anotado o tempo em horas que cada 
empregado demorou para realizar a tarefa. Deseja-se saber, a um determinado nível de 
significância, se os tempos médios das empresas para a realização da tarefa são iguais. Pelo quadro 
de análise de variância, a soma de quadrados, devido à fonte de variação total, é igual a 1.400 e o 
valor da estatística F (F calculado), utilizado para testar a igualdade dos tempos médios entre as 
empresas, apresentou um valor igual a 15. Neste quadro, o correspondente valor da soma de 
quadrados entre empresas é igual a 
a) 720. 
b) 900. 
c) 1.200. 
d) 1.080. 
e) 820. 
Resolução 
São 10 grupos. Cada grupo tem 5 observações. Logo, são 50 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 10 − 1 = 9 
𝑔𝑙^_`abc = 50 − 10 = 40 
Sabemos que 𝑆𝑄acahi = 1.400. Logo, 
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𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ = 1.400 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
9 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
40 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
15 =
𝑆𝑄_`ab_
9
𝑆𝑄^_`abc
40
 
 
 
15 ∙
𝑆𝑄^_`abc
40 =
𝑆𝑄_`ab_
9 
 
𝑆𝑄^_`abc =
𝑆𝑄_`ab_
9 ×
40
15 
 
𝑆𝑄^_`abc =
40
135 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ 
Logo, 
𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ = 1.400 
 
40
135 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ + 𝑆𝑄_`ab_ = 1.400 
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8
27 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ + 𝑆𝑄_`ab_ = 1.400 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 27. 
 
8 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ + 27 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ = 37.800 
 
35 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ = 37.800 
 
𝑆𝑄_`ab_ = 1.080 
 
Gabarito: D 
12. (FCC 2014/TRT 16ª Região) 
Três grupos, com 10 operários cada um, são formados para realizar uma experiência. Em cada 
grupo, os operários foram selecionados aleatoriamente de 3 grandes fábricas, respectivamente. 
Cada operário produz uma determinada peça e anota o tempo que levou para produzí-la. Deseja-
se testar a hipótese de igualdade dos tempos médios dos grupos, supondo que trabalham 
independentemente, a um determinado nível de significância. Pelo quadro de análise de variância, 
obteve-se o valor da estatística F (F calculado) igual a 4,5, para posteriormente ser comparado com 
o F tabelado (variável F de Snedecor). Dado que no respectivo quadro a “variação total” é igual a 
432, tem-se que a “variação entre grupos” é igual a 
a) 108. 
b) 270. 
c) 232. 
d) 324. 
e) 170. 
Resolução 
São 3 grupos. Cada grupo tem 10 observações. Logo, são 30 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 3 − 1 = 2 
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𝑔𝑙^_`abc = 30 − 3 = 27 
Sabemos que 𝑆𝑄acahi = 432. Logo, 
𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ = 432 
A estatística teste é dada por: 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
2 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
27 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
4,5 =
𝑆𝑄_`ab_
2
𝑆𝑄^_`abc
27
 
 
4,5 ∙
𝑆𝑄^_`abc
27 =
𝑆𝑄_`ab_
2 
 
𝑆𝑄^_`abc =
𝑆𝑄_`ab_
2 ×
27
4,5 
 
𝑆𝑄^_`abc = 3 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ 
Logo, 
𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ = 432 
 
3 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ + 𝑆𝑄_`ab_ = 432 
 
4 ∙ 𝑆𝑄_`ab_ = 432 
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𝑆𝑄_`ab_ = 108 
 
Gabarito: A 
 
(VUNESP 2015/TJ-SP) 
Leia o texto a seguir para responder às questões a seguir. 
 
Para testar a eficiência de três escolas, foram selecionados, aleatoriamente, oito alunos de cada 
uma, e as notas do teste estão dadas na tabela a seguir. 
 
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Para comparar a eficiência das escolas, é necessário construir a tabela ANOVA, que envolve vários 
cálculos. 
13. A soma dos quadrados das variações dentro dos grupos é igual a 
a) 46. 
b) 54. 
c) 62. 
d) 70. 
e) 78. 
14. A soma dos quadrados das variações entre os grupos é 
a) 24. 
b) 20. 
c) 16. 
d) 12. 
e) 8. 
15. Ao construir a ANOVA, é necessário preencher a tabela a seguir: 
 
Nesse caso, o valor de F é, aproximadamente, 
a) 2,5. 
b) 3,2. 
c) 4,5. 
d) 5,4. 
e) 6,8. 
16. Após comparar o valor de F calculado com F crítico ao nível de 5%, pode-se concluir que 
a) as três escolas são igualmente eficientes. 
b) as três escolas têm o mesmo número de alunos. 
c) a escola A é melhor, no quesito eficiência, do que a escola B. 
d) a escola C é menos eficiente. 
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e) as escolas A e C são as mais eficientes. 
Resolução 
 
 
Vamos reconstruir a tabela. 
Escola A Escola B Escola C 
8 7 6 
6 5 6 
3 9 5 
5 6 6 
4 8 7 
6 5 3 
3 7 7 
5 9 8 
𝑥K = 5 𝑥N = 7 𝑥O = 6 
A média geral é: 
𝑥 =
8 × 5 + 8 × 7 + 8 × 6
24 = 6 
Vamos organizar os dados em uma tabela de frequências para facilitar o cálculo da soma de 
quadrados total. 
Os valores observados são 3, 4, 5, ..., 9. Vamos contar quantas vezes cada um apareceu. 
Em seguida, vamos calcular o quadrado do desvio de cada número em relação à média geral (6) e 
multiplicar pela respectiva frequência. Depois, vamos somar tudo. 
 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 (𝑥𝒊 − 𝑥)𝟐 (𝑥𝒊 − 𝑥)𝟐 ∙ 𝑓𝒊 
3 3 (3 − 6)) = 9 27 
4 1 (4 − 6)) = 4 4 
5 5 (5 − 6)) = 1 5 
6 6 (6 − 6)) = 0 0 
7 4 (7 − 6)) = 1 4 
8 3 (8 − 6)) = 4 12 
9 2 (9 − 6)) = 9 18 
 
Logo, 
𝑆𝑄acahi = ∑(𝑥@ − 𝑥)𝟐 ∙ 𝑓𝒊 
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𝑆𝑄acahi = 27 + 4 + 5 +⋯+ 12 + 18 
 
𝑆𝑄acahi = 70 
 
Vamos agora calcular a somaentre os tratamentos. 
Para cada tratamento, vamos calcular o quadrado da diferença entre a média do tratamento e a 
média geral, multiplicar pela quantidade de observações em cada tratamento. Depois, vamos 
somar os resultados obtidos para cada tratamento. 
𝑆𝑄_`ab_ = (5 − 6)) × 8 + (7 − 6)) × 8 + (6 − 6)) × 8 
 
𝑆𝑄_`ab_ = 16 
 
Vamos agora calcular a soma dos quadrados dentro dos tratamentos. 
𝑆𝑄acahi = 𝑆𝑄^_`abc + 𝑆𝑄_`ab_ 
 
70 = 𝑆𝑄^_`abc + 16 
 
𝑆𝑄^_`abc = 54 
Poderíamos ter calculado diretamente a soma dos quadrados dentro dos tratamentos, mas seria 
bem mais trabalhoso, pois não poderíamos agrupar todas as observações. 
 
Para calcular a estatística teste, precisamos calcular os quadrados médios. 
São 3 grupos. Cada grupo tem 8 observações. Logo, são 24 observações ao todo. 
• 𝑔𝑙_`ab_ = (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) − 1 
• 𝑔𝑙^_`abc = (𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑒	𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠) − (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠) 
 
Logo, 
𝑔𝑙_`ab_ = 3 − 1 = 2 
𝑔𝑙^_`abc = 24 − 3 = 21 
 
A estatística teste é dada por: 
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𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
Para calcular os quadrados médios, devemos dividir as somas de quadrados pelos graus de 
liberdade. 
𝑄𝑀_`ab_ =
𝑆𝑄_`ab_
2 =
16
2 = 8 
 
𝑄𝑀^_`abc =
𝑆𝑄^_`abc
21 =
54
21 =
18
7 
 
Logo, 
𝐹a_�a_ =
𝑄𝑀_`ab_
𝑄𝑀^_`abc
 
 
𝐹a_�a_ =
8
18/7 = 8 ×
7
18 
 
𝐹a_�a_ = 3,111… 
 
A ANOVA testa se as médias populacionais são iguais. 
"
𝐻$: 𝜇K = 𝜇N = 𝜇O																																																																																																
𝐻': 𝑃𝑒𝑙𝑜	𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠	𝑢𝑚𝑎	𝑚é𝑑𝑖𝑎	𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙	é	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒	𝑑𝑎𝑠	𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠
 
Vamos buscar na tabela da distribuição F o valor crítico. Lembre-se que são 2 graus de liberdade no 
numerador e 21 graus de liberdade no denominador. 
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Assim, 𝐹�bía@�c = 3,47. 
Temos que 𝐹a_�a_ 3 
d) 2,5e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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