Matematica avançada

Prévia do material em texto

UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte SUMÁRIO MÓDULO 1 Números e Operações 02 1.1 Conjuntos Numéricos 02 PROJETO SABERMAT 1.2 Operações Numéricas 03 1.3 Valor Absoluto 10 1.4 Operações com Frações 11 MATEMÁTICA BÁSICA Exercícios 14 MÓDULO 2024 2 Álgebra 26 2.1 Operações Algébricas 27 2.2 Produtos Notáveis 29 2.3 Fatorações 30 2.4 Frações Algébricas 31 Exercícios 32 COORDENADORA: Professora Cleide Vieira MÓDULO III e-mail: cleide.vieira@udesc.br 3 Equações e Inequações 39 3.1 Equações 1° Grau 39 3.2 Equações 2° Grau 41 3.3 Inequações 1° Grau 45 3.4 Inequações 2° Grau 46 Exercícios 47 MÓDULO IV 4 Trigonometria 52 Acadêmico: 4.1 Relações do Triângulo Retângulo 52 4.2 Ciclo Trigonométrico 52 4.3 Relações Trigonométricas 53 4.4 Unidades de Medidas 54 4.5 Funções Trigonométricas 55 Exercícios 56 Referências Bibliográficas Projeto de Ensino SABERMAT 1UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1.4 Conjunto dos números Irracionais 1.1 Conjuntos Numéricos É um número que não pode ser escrito sob a forma de fração. Os números irracionais têm infinitos decimais não-periódicos. 1.1.1 Conjunto dos números Naturais Encontramos esses números nas raízes não exatas, no número (pi) e na exponencial e. São todos os números inteiros positivos e inclusive o zero. 1, 2, 3, 4, 5, ...} Por exemplo: 1.1.2 Conjunto dos números Inteiros São todos os números inteiros positivos e negativos inclusive o zero. ...} 1.1.5 Conjunto dos números Reais 1.1.3 Conjunto dos números Racionais A união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais constitui o conjunto dos números São todos os números que podem ser escrito sob a forma de fração reais, representado pela letra IR. com IR Z, 0 Q N Z onde a numerador = b denominador Projeto de Ensino SABERMAT 2UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte 1.2 Operações Numéricas Exercícios resolvidos: 1.2.1 Adição e Subtração = 36 -20 Sinais iguais: Somam-se os valores e dá-se o sinal comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores e dá-se o sinal do valor maior. -5 -20 Exercícios resolvidos: 1.2.3 Potenciação Existe uma forma abreviada de escrever uma multiplicação de d)-5+3=-2 fatores iguais. No caso Expoente 1.2.2 Multiplicação e Divisão Base Sinais iguais resposta positiva 3 fatores iguais a 7 Sinais diferentes resposta negativa Nessa operação, que é denominada potenciação, temos: (+).(+)=(+) * potência, indica um produto de fatores iguais; (-).(-)=(+) * base, o fator que se repete; +).(-)=(-) (+) * expoente, indica quantas vezes a base se repete como fator. (-).(+)=(-) Projeto de Ensino SABERMAT 3UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Assim: f) Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a uma unidade. * 1 = 1 CASOS PARTICULARES: a) A potência de expoente 1 grau) é igual à base: = a Realmente: b) Toda potência de base 1 é igual a 1: g) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da base: 1 2 c) Toda potência de base 0 é igual a 0: 09=0 1 1 25 d) Toda potência de expoente par é positiva: -2 49 = 9 25 e) Toda potência de expoente mantém o sinal da base: h) Toda potência de base 10, escrevemos à direita da unidade tantos zeros quantas forem às unidades do expoente. Projeto de Ensino SABERMAT 4UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte a) = 100 ii) Divisão de potências de mesma base: b) Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. = 300 000 000 6 vezes e) 107 = 5.5.5.5.5.5 = f) 5.5.5.5 4 vezes iii) Multiplicação de potências de mesmo grau: Propriedades da Potenciação: Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. iv) Divisão de potências de mesmo grau: Operações com potências Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. i) Multiplicação de potências de mesma base: Mantém-se a base comum e somam-se os expoentes. - - = 7 7 7 3 vezes 2 vezes 5 vezes Projeto de Ensino SABERMAT 5UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte v) Potenciação de potência: De modo geral podemos escrever: Eleva-se a base ao produto dos expoentes. onde índice 2vezes raiz radicando 1.2.4 Radicais a) Propriedades dos radicais Dizemos que 9 é uma raiz quadrada de 81 porque Representamos a raiz pelo símbolo . Índice Raiz Exemplo: quadrada a) 25 = 5 Radicando Exemplos: Assim: * porque b) porque IR Projeto de Ensino SABERMAT 6UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte = Exemplos: a) 3/3 24 = 24 3 = = 4 5 4 = 2 vii) Potenciação de radicais: Exemplos: Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. a) Exemplo: b) a) b) Simplificação de radicais Exemplos: Simplificar um radical significa obter uma expressão mais simples equivalente ao radical dado. Para isso utilizamos as propriedades já citadas. Observe: Expoente fracionário: Uma potência com expoente fracionário pode Exemplos: ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. Projeto de Ensino SABERMAT 7UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Fatoramos: Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, 12x3 operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Observe: Coeficientes Aplicamos o produto de potências de mesma base para extrair fatores do = radicando. Exercícios resolvidos: Exercícios resolvidos: c) * Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical. Observe: Multiplicam-se ou dividem-se os radicandos e os coeficientes i) entre si e dá-se ao produto ou quociente o índice comum. Observe: ii) c) Operações com os radicais. Exercícios resolvidos: * Adição e subtração de radicais semelhantes a) = Projeto de Ensino SABERMAT 8UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte b) = 1 6 : - Fator racionalizante 2 c) = 1 1 = d) = = 15 5 25 5 4/2 2 Exercícios resolvidos: d) Racionalização de denominadores A tem denominador número irracional. no seu um A a) = = = racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração b) - com denominador racional, equivalente. A essa transformação, damos o 6 = nome de racionalização de denominadores. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos c) = = = 5/36 5.6 30 15 multiplicar os termos dessa fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração 2° Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos equivalente com denominador sem radical. em que um deles, ou ambos, são radicais. Neste caso, o fator racionalizante será a expressão conjugada do 1° Caso: O denominador é um radical de índice 2. Neste caso, o fator denominador, onde a expressão conjugada de (a + b) é racionalizante é o próprio radical do denominador. Observe: - Observe: Projeto de Ensino SABERMAT 9UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte fator racionalizante é 1.3 Valor absoluto ou Módulo a expressão conjugada do denominador. Observe a reta numérica, onde estão representados alguns números inteiros: 1 1 = - -3 + 4 Na racionalização aparecerá no denominador um produto notável À distância entre um número e o zero na reta, chamamos de do módulo ou valor absoluto do número. Indicamos o módulo de um número pelo símbolo Por exemplo, a distância do - - 4 até a origem é 4 unidades, ou 2. - = 3 seja, o módulo do - 4 é 4. Exercícioresolvido: Exercícios Resolvidos: a) - 9 = 9 a) 5 = 5 . = 1 c) 0 = 0 Projeto de Ensino SABERMAT 10UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 1.4 Operações com frações 1.4.2 Fatoração 1.4.1 Adição e Subtração A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado FRAÇÕES COM IGUAIS nos exemplos a seguir. "Para adicionar ou frações com mesmo denominador, devemos adicionar ou os numeradores e conservar o denominador". Exercícios resolvidos: Exercício Resolvido 30 2 15 3 5 5 4 1 1) Joaquim gasta do seu salário com aluguel e com alimentação. 1 2.3.5 Fatoração 9 9 multiplicação Pergunta-se: a) Que fração do salário Joaquim gastou no total? 45 3 b) Que fração do salário sobrou? 15 3 Resolução 5 5 1 4 1 5 a) Adicionando os gastos, temos: + = 9 9 9 9 b) O salário de Joaquim corresponde a um inteiro = OBS: Número primo é um número que possui apenas dois 9 5 9 5 4 divisores: o próprio número e o número 1. Veja os primeiros - = 9 9 9 9 números primos: Portanto, Joaquim gastou 9 5 do salário sobraram 9 4 e 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Projeto de Ensino SABERMAT 11UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 1.4.3 Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) a) Que parte do muro eles já pintaram no total? b) Quanto que Joaquim pintou a mais que Francisco? mínimo múltiplo comum de vários números é o menor número divisível por todos eles. Resolução 3 1 1 7 a) + = = - Exercício resolvido: 4 8 8 8 12,16,8 2 3 1 6-1 5 6 8 4 2 b) = - 4 8 8 8 3 4 2 2 1) Calcular o m.m.c. (12, 16, 8) = 48 3 2 1 2 7 5 Portanto, eles pintaram juntos - do muro e Joaquim pintou - a 3 1 1 3 8 8 1 1 48 mais que Francisco. FRAÇÕES COM DIFERENTES 1.4.4 Multiplicação Exercícios Resolvidos Para multiplicar as devemos multiplicar numeradores com : 2 numeradores e denominadores com denominadores. 9 5 27 + 5 32 16 1) - + - = = = mmc (2, 6) = 6 2 6 6 6 3 Exercícios Resolvidos 3 2) Joaquim e Francisco estão pintando um muro. Joaquim já pintou 4 1) 7 5 = 14 15 do muro, e Francisco 1 8 3 = - - 3 8 Projeto de Ensino SABERMAT 12UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 1.4.5 Divisão: 1.4.6 Potenciação Exercícios Resolvidos Para dividir uma fração por outra fração, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. 1) = 3 = 25 9 Exercícios Resolvidos 3 27 = 64 Inverter a segunda fração 3) =1 5 2 5 ( 9 4$ 15 1) = = 3 3 2 6 2 1.4.7 Radiciação 2) 3 1 : 8 = 3 1 8 1 24 1 Exercícios Resolvidos 2 ( 1 3 3 2 1 = - 4 3 - - 1) 25 9 = 25 = - 3 5 3) 2 1 1 2) 3 - = - 8 2 1 2 11 - 1 4) = - = - . 3) 1 IR 3 2 3 6 4 4) 8 1 = - 2 1 Projeto de Ensino SABERMAT 13UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Exercícios - MÓDULO I 2) Calcule: 1) Simplifique as expressões numéricas: a) c) = e) (4.8:2):8+2.5= d)9.15-6.15= f) e)8.3-20+4.2= g) h) g)256-2.72-2.36 h) )9.7-7.9+1= j) i)40.8:2= I) 48 - j)28:4.7= m) - = n) 6{48 = o) n) p)27:3:3:3.10= 3) Simplifique as expressões numéricas: r) a) 302 b) Projeto de Ensino SABERMAT 14UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte d) e) = 4) Calcule o valor de cada expressão numérica: = = = = = = = 5) Simplifique as expressões numéricas: e) = = b)-2-5+8= = h) = f) = = i) = = Projeto de Ensino SABERMAT 15UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 6) Calcule: = b)-20-(5-1)= = i) = d) 17 - = f) = = 7) Calcule: a) o triplo de - 2: b) o quádruplo de -1: r) = c) o dobro de - 4 adicionado a - 5: d) o triplo de + 2 adicionado a - 10: 9) Calcule os quocientes: e) o dobro de - 2 adicionado ao triplo de - 1: f) o quádruplo de -3 adicionado ao dobro de 12: = 8) Efetue as multiplicações: d) 121 = e) 20 : = = = h) = e) = i) = Projeto de Ensino SABERMAT 16UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO - Planalto Norte (-3) d) a quinta parte de 100: = e) a metade de -10 multiplicado por 4: I) f) o dobro de - 8 dividido = -2.1 g) a terça parte de + 60 dividida por -10: h) a quarta parte de - 100 adicionada à metade de - 18: 11) Calcule as potências: a) = b) 04 = 2 c) = d) = -5 e) (-2)4 = f) (-4)4 = = s) (2+3.4-2.5-3) = -1 = 10) Calcule: a) a metade de - 80: o) = b) a terça parte de 60: p) = c) a quarta parte de - 20: q) = Projeto de Ensino SABERMAT 17UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte = 13) Use os símbolos de > (maior),UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 15) Reduza a expressão com uma única potência de base - 3. Depois, = efetue a potenciação. 14 b) = c) = = 3 15 d) = e) = e) = 5 2 f) = 6 5 3 7 f) g) = 4 15 13 5 h) = 14 7 16) Determine o mínimo múltiplo comum de 8 e 12. 134 i) 17) Qual é o mmc do 10 e 18? = 3 4 18) Calcule as operações com as frações: 19) Determine cada produto e escreva na forma mais simples: Projeto de Ensino SABERMAT 19UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 20) Efetue e simplifique se possível: 3 3 13 4 21) Calcule: Projeto de Ensino SABERMAT 20UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 1 = h) = i) j) = I) 2 m) = 1+1 111 0,021 4,32 : 4 23) Qual é a soma do dobro de - 4,75 e o triplo de -1,2? 22) Efetue as operações: 24) Calcule: a) 2,31 a) o quádruplo de 1,3: b) 4,03 b) o dobro de -5,2: c) 32,4 - 21,3 = d) 48 - 33,45 e) 2,1 3,2 = Projeto de Ensino SABERMAT 21UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 25) Rafaela apostou que 1,6 - ganhou a aposta? = = 26) Calcule o módulo do resultado da expressão 2 d) = 27) Decomponha o radicando em fatores primos e simplifique os f) = radicais: e) = f) = g) h) 28) Calcule: a) = i) (3/2)6 = Projeto de Ensino SABERMAT 22UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte I) = m) n) = = o) = 6 = 30) Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes: 3 = = 32) Encontre o valo numérico da expressão 2x2 4x, para X = = 3 = 33) Calcule o valor da expressão 4y4 para y=16. 34) Calcule o valor da expressão para a = 625. 31) Racionalizar o denominador das frações seguintes: a) = Projeto de Ensino SABERMAT 23UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte 35) Um encanador quer colocar um cano condutor 39) cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. A D de água ligando os pontos A e C do terreno Determine a medida da diagonal do cubo da figura dada abaixo. quadrangular indicado na figura ao lado. Sabendo que a área do terreno é de 484 quantos reais B C o encanador gastará na compra do cano, se o d 10 m metro custa 10 m 36) Quanto mede a diagonal do quadrado de lado cm? (Sugestão: Use o teorema de Pitágoras) Respostas: 37) Qual é a altura de um triângulo equilátero de lado igual a 1) b.38 c.120 d.45 e.12 g.40 h.1 i.160 j.49 m.9 n.12 (Sugestão: Use o teorema de Pitágoras) p.10 q.36 r.100 s.27 2) .108 b.23 c.6 d.12 e.12 f.16 g.29 h.4 i.8 j.49 m. 95 n. 60 38) Qual é a distância entre os pontos A(1, 3) e B(9, 9)? y 9 B 4) a.11 b.3 c.2 d.6 e.5 g.13 h.100 i.25 j.23 m.3 n.81 o.-49 p.4 q.-5 r.6 s.-3 t.11 5) a.4 b.1 c.-15 d.41 e.-56 f.31 g.-171 h.-4 i.-40 6) b.- 24 C.- 27 d.3 e.19 15 g.5 7) a.-6 b.-4 d.- 4 e.- 7 f.12 3 8) a.-16 b.-15 c.-10,5 d.-20 e.-90 f.1,8 g.-60 h.-100 i.-0,56 j.1000 I.- 240 m.0,25 n. 8 o. -12 p. 50 q. 144 r.0 X 9) a.-5 b.-25 c.6 d.11 e.-1 f.20 g.-4 h.20 j.21 m.3 n.-2 o.-4 0 1 9 p.4 q.-2 r.-12 s.-1 10) a.-40 b.20 c.-5 d.20 e.-20 f.4 g.-2 h.-34 Projeto de Ensino SABERMAT 24UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 11) a.1 b.0 c.8 d.-64 e.+16 f.256 g.256 j.2187 25) Sim m.1 n.125 o.64 p.729 q.-1024 r.729 s.162 t.216 V. 3125 27) d. e. f. 90 243 6561 16 g. 12) a.81 b.-1 c.16 d.0 e.24 f.-9 g.-36 h.9 13) a.= b.> C.= d. g. 28) a. b. d. e. f. 14) R.125a.C. a. 15) a.(-3)2 = 9 = 3 = 1 d.(-3)4 = 81 = -27 f.(-3)5 = -243 16) mmc(8, 12) = 24 17) mmc(10, 18) = 90 a.-1 c.10 d.-1 f. 32) 62 33) 32 34) 2 35) R$ 155,56 36) d = cm 3 37) 39) d cm 9 22) b.255,23 c.11,1 d.14,55 e.6,72 f.1,4942 g.6,43 j.0,63 m.350,57 n.0,065 p.0,32 23) -13,1 24) a.5,2 b.-10,4 Projeto de Ensino SABERMAT 25UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte 2 Álgebra Representamos o número desconhecido por X, então: 3 2.x+5=25 Introdução O valor desconhecido representado pela A Álgebra é considerada a aritmética simbólica porque emprega letra X é chamado 20 de incógnita da letras para representar números. Observe o retângulo: equação. 2 2 cm Portanto o número desconhecido é o número 10. 3 cm Expressões algébricas A área desse retângulo é A : 3.2 = 6 Agora, como algebricamente, a área do retângulo? Expressões matemáticas formadas por somente letras ou De modo geral, podemos representar por b a base do retângulo números e letras são chamadas de expressões algébricas. qualquer e por h a sua altura, escrevemos por meio de uma expressão Por exemplo: o cálculo de área: A expressão algébrica - 7a2b é formada por um termo ou monômio. A=b.h ou A = bh onde as letras b e h são chamadas de variáveis. Variável ou parte literal: b Observe o exemplo: Qual é o número cujo dobro adicionado a 5 dá como resultado 25? Coeficiente numérico: - 7 Solução Projeto de Ensino SABERMAT 26UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal são 2.1 Operações algébricas chamados monômios ou termos semelhantes. Por exemplo: e 12a 2.1.1 Adição e Subtração Somente é possível somar ou termos semelhantes. Quando estamos adicionando ou subtraindo os termos c) e 11 semelhantes de uma expressão, dissemos que estamos Uma expressão algébrica formada por um monômio ou por uma simplificando ou reduzindo os termos semelhantes. Para isso, soma de monômios chama-se polinômio. repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Exercício resolvido: Valor Numérico a) 4xy2 + 7xy2 + Valor numérico de uma expressão é o número obtido quando se b) substituem as variáveis por números e se efetuam as operações c) indicadas. 7 2.1.2 Multiplicação Exercício resolvido: Multiplicam-se os coeficientes e, a seguir, multiplicam-se as a) Qual é o valor numérico da expressão + 6 partes literais. Para a multiplicação das partes literais, usamos a 6 propriedade da potência: 30 Projeto de Ensino SABERMAT 27UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte Exercícios resolvidos: 3 X Usamos aqui a 14ay2_7y propriedade 2a distributiva c) * Esses resultados são expressões fracionárias chamadas de 2.1.3 Divisão frações algébricas. 1° Caso: Divisão de monômios. Divide-se o coeficiente numérico e 2° Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada a parte literal correspondentes. Para dividir as partes literais, usamos a termo do polinômio pelo monômio. propriedade da potência: Exercícios resolvidos: Exercícios resolvidos: a) = a) = -12 -8 c) 3° Caso: Divisão de polinômio por polinômio: Ao dividirmos um monômio por outro, o quociente obtido nem Exercícios resolvidos: sempre é um novo monômio. Observe: a) 3 e resto: 5 b) - 6 Projeto de Ensino SABERMAT 28UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte a) b) 9x2 + 0x 36 3x +6 Podemos dizer que: " quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 0 primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais + o quadrado do segundo. 0 Exercícios resolvidos: 2.2 Produtos notáveis a) Existem produtos de polinômio muito importantes no cálculo algébrico, que são conhecidos por produtos notáveis. Vele a pena reconhecê-los e resolvê-los de forma imediata. 2.2.2 Quadrado da diferença de dois termos: 2.2.1 Quadrado da soma de dois termos: Podemos dizer que: " 1° Termo = + 2ab + quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo 2° Termo mais o quadrado do segundo." + o dobro do Quadrado do Exercícios resolvidos: produto do 1° + quadrado do primeiro termo. pelo 2° termo. segundo termo = 4y2 Projeto de Ensino SABERMAT 29UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 2.2.3. Produto da soma pela diferença de dois termos: a) = Na expressão fatorada, 2 é o máximo divisor comum dos coeficientes numéricos 4 e 18, logo é o fator comum colocado em evidência. Podemos dizer que: " O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao b) quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo." Na expressão fatorada, x2 é a parte literal de menor grau, logo é o fator comum colocado em evidência. Podemos ter as três Exercícios resolvidos: situações em uma única expressão. Veja: a) (1 c) 8a5b : + 3) b) d) 2.3 Fatoração 2° CASO: Fatoração por agrupamento Fatorar um polinômio é escrevê-lo sob a forma de um produto. a) ax + ay + 1° CASO: Fator comum ax + b) 2mx - 5ny 2nx + 5my 5y) = - n) Na expressão fatorada, X é o fator comum colocado em evidência. Por exemplo: Projeto de Ensino SABERMAT 30UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte Na expressão fatorada, os quatro termos não apresentam um 2.4 Frações Algébricas fator comum. Logo agrupamos os termos de dois em dois, onde a é o Frações algébricas são expressões escritas na forma fator comum do primeiro grupo e b é o fator comum do segundo grupo. de fração, em que ao menos uma das variáveis aparece E fatoramos novamente. no denominador. Como não existe divisão por zero, o denominador de uma fração algébrica necessariamente tem que ser diferente de 3° CASO: Diferença entre dois quadrados zero. Caso contrário, ela não representa um número real. Observe: 2x+1 a) y y-4 a+1 9 conjunto dos números reais para os quais o denominador de uma fração algébrica é diferente de zero é denominado domínio b) ou campo de existência da fração. Assim, para a fração o campo de existência é 4° CASO: Trinômio Quadrado Perfeito qualquer número real diferente de 3, já que a fração não tem nenhum significado quando pois anula o seu denominador. a) x2 + + 100 V Dada uma fração algébrica, vamos considerar que sempre Sinal do = 100 estão excluídos os números reais que, colocados no lugar das perfeito letras, anulam o seu denominador. Logo: perfeito A fração 7 devemos ter X b) 9x2 A fração , devemos ter Projeto de Ensino SABERMAT 31UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 2.4.1 Simplificação de frações Algébricas. Exercícios - MÓDULO 1) Ache o valor numérico da expressão 4x + 2y -3 para x=5 e y= -2. Exercícios resolvidos: 2) A área do trapézio da figura é - 1. dada pela fórmula A = h 2 X 2. = , em que e b2 representam 2x+2 2(x+1) 2 suas bases e h sua (a+b)(a-b) a+b Determine a área do trapézio, sendo = 12 cm, b2 = 8 cm e h = = (a-b)2 a-b 3,5 cm. 3) Escreva a expressão algébrica que representa a área da figura. a a+b 4) Calcule o valor numérico de 1 para X = 3 5) Se a expressão algébrica representa o volume de um cubo de aresta a =8 cm, qual é o volume desse cubo? Projeto de Ensino SABERMAT 32UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte = 6) Encontre o valor numérico da expressão para a=9, b = d) (-4y2 + 5y - 3) + (4y2 + 3) = e) (8y3 - = f) (4y - - = 7) Ache a expressão algébrica que representa a área do retângulo. g) - 3b + - 1) = h) - - = i) - 8) = 3x 1 11) Efetue as multiplicações: a) = 8) Que polinômio representa o volume do paralelepípedo? b) c) ) = X 2 = e) = 1 f) = g) = 9) calcule o valor numérico para x4 + x2 X, para: h) = a) = b) 10) Reduza os termos semelhantes: I) = a) (4a - 7) + (-2a+9) = m) (2x + 1)(4x + 3) = b) (13x - 1) = n) (2y - 6)(3y + 5) = Projeto de Ensino SABERMAT 33UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 12) Calcule as divisões: 16) Calcule: a) - = b) - = = f) 5x3y10 c) - = d) (10a2 (a - 1) = e) f) (81 - -9) = g) - 3k2 + (k - 1) = h) h) + + 6b + (2b + 1) = 13) Efetue as divisões: 17) Determine 8 . a) 4x) = b) - + = c) - = 18) Efetue: d) - + ab) : ab = a) = h) = e) - 15a2 + 30a) : 5a = b) = i) - = f) (7m8 - 14m6 + 28m5) : = c) = j) (6x - 2y)2 = d) (-3 + 4x)2 = I) (11x - y)2 = 14) Simplifique e) (2x + y)2 = m) (a - 3)2 = f) (5a + 2b)2 = g) (3a + 4b)2 = 15) Efetue (y2 + 2y + 4)(y - : Projeto de Ensino SABERMAT 34UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 19) Fatore as expressões algébricas: 21) Fatore os polinômios: a) a) 5x + 5y = b) 16 - 40x + 25x2 = b) ba - bc = c) 1 - 20y + 100y2 = c) 7a + 7b - 7c = d) 121x2 25 = d) 8x - 10y = e) = e) 27m + 3n = g) 49x2 + 42xy + 9y2 = h) = i) = 22) Fatore: = a) 3x2 + 30x + 75 = b) -3ax2 + 18ax 27a = = m) = c) n) - = d) 1000 - 10x2 = o) 8a5b + = e) 3x2 27 = 20) Fatore a expressão 2ax + 2bx + ay + by. 23) Qual é a expressão fatorada de 5m + 5n - - 2m Projeto de Ensino SABERMATUDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 24) Simplifique as frações algébricas: = 25) simples de fração Qual é a forma mais escrever a = 26) Simplifique 5x-15 27) Qual é o domínio da fração: = = 6xy-8y+2y2 5x+1 g) 28) Efetue: ab-4b 3ax = = Projeto de Ensino SABERMATUDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 29) Obtenha o valor da expressão 31) Efetue a expressão e simplifique se 30) Efetue as operações e simplifique se possível: possível. = 32) Encontre o valor numérico da expressão Respostas: 1) 13 5)512 7x 9) a.-129 b.86 10) a. 2a + 2 b. 15x - 32y g. -2b + 3 8 11) a. 12x5 b. -10a5 - 12p4q4 d. e. 6x2 - f. g. - = + 6 30 12) a. x5 b.y2 c. Projeto de Ensino SABERMAT 37UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 13) 1 - d. - f. - + 4m 14) 15) 2y 16) a.x-5 resto: 10 d. 10a + 7 resto: -1 h. + 4b + 1 17) 26) 18) a. + 2xy + 25x2 + 20x + 4 d. 9 - 24x + 16x2 f. 25a2 + 20ab + g. 9a2 24ab + 25 19) a. 5(x+y) d. 2(4x-5y) f. m. - n. - 3xz) h. a-b 20) (a 21) a. b. 31) b 32) 53 e. + - 22) - 3)2 d. 10(10 - e. 23) (m+n)(5-m-n) - Projeto de Ensino SABERMAT 38UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte 3 Equações e Inequações 3.1 Equação do 1° Grau Introdução Denomina-se equação do 1° Grau na incógnita X, toda equação da forma: Equações são nada mais do que uma igualdade entre as expressões, que as transformam em uma identidade numérica, para um ax + b = 0 ou para mais valores atribuídos as suas variáveis. Observe: 3.1.1 Solução da equação do 1° Grau. Equação Polinomial Equação Polinomial Equação Polinomial do 1° Grau na do 3° Grau na do 2° Grau na Resolver uma equação do 1° Grau significa determinar a incógnita X. a. incógnita y. sua raiz, ou seja, o valor da variável X. Observe: A incógnita é o valor que precisamos achar para encontrar a Exercícios resolvidos: solução para a equação. A variável que não conhecemos (incógnita) a) 2x 1 = X + 3 costumamos representá-la na equação pelas letras X, y e Os termos localizados à esquerda do sinal de igualdade formam o 1° membro da equação, e os localizados à direita formam o 2° membro. -2y-y=+6-4+6 Observe: 2° membro 3y=-8 valor atribuído à incógnita X para esta equação que torna 3 verdadeira a igualdade é Logo o 4 é a solução da equação, denominado raiz da equação. S 8 3 Projeto de Ensino SABERMAT 39UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 3x - 2 - d) Qual é o número cujo dobro aumentado de 9 é igual ao seu c) 2 - 3 5 quádruplo diminuído de 21? m.m.c. (2,3,5)=30 Representamos o número desconhecido por X. Então, 30 2x - 4x = 21 - 9 - 45x - 30x - 24x = 36 + 30 + 10 30 2 4 4 S = 9 VERIFICAÇÃO OU "PROVA REAL" Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais. De acordo com o exemplo a anterior: 2.4-1=4+3 7=7 Logo a solução para é verdadeira. Projeto de Ensino SABERMAT 40UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 3.2 Equação do 2° Grau Exercício resolvido: Denomina-se equação do 2° Grau na incógnita X, toda equação da forma 2° caso: Se C = 0, dizemos que a equação é incompleta. Nas equações escritas na forma ax2 chamamos de Observe: a, b e C de coeficientes. E a equação está na forma reduzida. Observe: * a=7,b=1ec=0 Exercício resolvido: * - 3.2.1 Solução de Equações de 2° Grau ou Resolver uma equação do 2° Grau significa determinar as suas raízes. Observe os casos: 3° caso: Se b = 0 e C # 0, dizemos que a equação é incompleta. 1° Caso. Se b dizemos que a equação é incompleta. Observe: Observe: Projeto de Ensino SABERMAT 41UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Exercício resolvido: De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: têm-se duas raízes reais e diferentes; A = 0 têm-se duas raízes reais e iguais; ouUDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 3.2.2 Relação entre os Coeficientes e as 3.2.3 Fatorando um trinômio do 2° Grau A relação entre os coeficientes b e e as raízes x' e permitem Podemos expressar um trinômio do 2° Grau ax2 + bx + C, com a obter a soma e o produto sem aplicar a fórmula de Bhaskara. como um produto de binômios. Para fatorar, basta encontrar as Denominamos essas relações de Girard. raízes da equação. Soma das raízes (S) ax2 Produto das raízes (P) Exercícios resolvidos: Logo, a equação será 1) Fatorar o trinômio do 2° Grau - 7x + 10. As raízes da equação pela relação SP são: Importante: Esta relação só é verdadeira para a = 1. P=2.5=10 Exercícios resolvidos: Logo = 2 e x" 5. Como a = 1, temos a seguinte fatoração: 1) Se e x" = 5 a equação será: 2) Fatorar o trinômio Logo a equação será As raízes da equação 2x2 5x 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara são: 2) Se raízes da equação serão: e como temos a seguinte fatoração: Logo as raízes serão Projeto de Ensino SABERMAT 43UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 3.2.4 Equações Irracionais Verificando as raízes na equação irracional: Uma equação é denominada irracional quando apresenta V0+4-2= 0 incógnita sob radical ou incógnita com expoente fracionário. 2-2=0 0=0 Resolução de uma equação irracional = Exercícios Resolvidos: -3 1) Determinar as raízes da equação: x-5-4=0. Verificação: Observe que apenas verifica a igualdade, assim a raiz da equação original x-5=16 0=0 Logo, 2) Determinar as raízes da equação: As raízes da equação do 2° grau são: = Projeto de Ensino SABERMAT 44UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE CEPLAN Planalto Norte 3.3 Inequações do 1° grau 3x+2 0 0. - -3 0 Resolver uma inequação do 1° grau significa encontrar todos os Observa-se que a números que tornem a inequação verdadeira. bolinha está aberta sob o número 2, isto significa que este número não pertence Por exemplo, vamos determinar o conjunto solução da inequação a solução. 3x + 2UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte Exercício resolvido: 3.4 Inequação do 2° grau As inequações do 2° Grau na variável podem ser escritas nas seguintes formas: Sempre que multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, devemos inverter o sinal da -6 com a, b, e C E desigualdade. 2 Para resolver uma inequação do 2° Grau devemos proceder do seguinte modo: Geometricamente a solução será: Realizar um estudo do sinal da Determinar os valores de que atendam a desigualdade da 4 -3 - 2 inequação. Exercício resolvido: Observa-se que a bolinha está fechada 1) Resolver a sob o número 3, isto significa que este Solução: número pertence a solução. i) As raízes da equação ii) Traçar um esboço do gráfico e fazer o estudo do sinal; iii) Como o sinal de desigualdade é temos bolinha fechada; Projeto de Ensino SABERMAT 46UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte iv) Como o sinal de desigualdade é ou seja, maior ou igual, queremos Exercícios - MÓDULO III os sinais positivos; 1) Resolver as seguintes equações do 1° Grau: +++++ a) 1 4 d) e) 2) Resolver a inequação - Solução: i) As raízes da equação 3 4 2x 3 ii) Traçar um esboço do gráfico e fazer o estudo do sinal; iii) Como o sinal de desigualdade bolinha aberta; h) 4 10 iv) Como o sinal de desigualdade éUDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 3) A área A de um retângulo é dada pela equação A = b h, em que b é = a medida da base e h é a medida da altura. Se o retângulo tem = de área, qual a medida, em metros, da base b? 0 h=7m h) i) 4) Calcule X de modo que j) x(x-1)=x(2x-1)-18 5) Resolva as equações: 7) Use a relação do SP e determinar mentalmente as raízes das 9 13 equações: a) = = = 6) Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas: e) - = = = Projeto de Ensino SABERMAT 48UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 8) Fatore os trinômios: a) b) = c) = e) d) f) e) = f) 9) Resolva as equações: 11) Resolva as equações irracionais: a) 6(x-10) - = 0 b) -9(1 - 4y) = 0 c) (4x - = 0 d) = 0 f) y(2y -3)(y-8) - - = 0 g) (x - 3) = 0 f) = h) (m + 9) = 0 i) 3(x - 2)2 = 12 g) h) 10) Resolva as equações incompletas: a) b) 7y=0 Projeto de Ensino SABERMAT 49UDESC UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE - CEPLAN Planalto Norte 12) Simplifique as frações algébricas: 1 = = = 15) Determine o conjunto solução das inequações: = = 2x2-4x-6 = 13) Quais são as raízes da equação biquadrada 4x4 - 14) Resolver as seguintes inequações do 1° Grau: a) 2(x+1)+3x>5-7x i) 4x2