Matrizes e Vetores

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Criação de Arranjos e
Operações Matriciais
Computação para 
Engenharia – UniFtec
2018
Professora: Elisângela
Arranjos
 Arranjo é a maneira padrão utilizada pelo MATLAB para
armazenar e manipular dados. Um arranjo é uma lista de
números organizados em linhas ou colunas.
Arranjo Unidimensional
VETORES
Arranjo Bidimensional
MATRIZES
Vetores
 Vetor linha: digite os elementos dentro dos colchetes, separando-os
com um espaço ou uma vírgula.
 Vetor coluna: digite os elementos dentro dos colchetes a partir do
colchete esquerdo [. Então, digite os elementos separando-os por
ponto e vírgula ou pressionando Enter após cada elemento e, então
digite o colchete direito ] para terminar.
Nome_variável = [digite os elementos do vetor]
Atividade 1
 A tabela abaixo representa os dados populacionais da cidade de Caxias
do Sul.
➢ Atribua a lista de anos a um vetor linha chamado ano.
➢Atribua os dados populacionais a um vetor coluna chamado pop.
Ano 1991 1996 2000 2007 2010
População 290.925 323.488 360.419 399.038 435.564
Vetor com espaçamento constante
 O vetor v = 2 4 6 8 10 → o espaçamento entre os elementos
é 2
Vetor com espaçamento constante II
Atividade 3
a) Crie um vetor onde o primeiro elemento 1, o último 13 e
espaçamento 2.
b) Use o comando dado acima para escrever o seguinte vetor y= 1,5
1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1.
c) Crie um vetor onde o primeiro elemento é -3, o último é 7. Neste
caso, omita o espaçamento. Neste caso o default é ____.
Criando Matrizes
Matrizes são arranjos bidimensionais e, neste, caso os
elementos estão dispostos em linhas e colunas. As matrizes
podem ser usadas para armazenar informação como uma
tabela.
Definição de Matriz
 Uma matriz A, m x n possui m linhas e n colunas, sendo a dimensão
ou tamanho da matriz, m por n é escrita como
A=
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑚𝑥𝑛
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
𝑎𝑖𝑗 ቊ
𝑖 → 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎
𝑗 → 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎
Matrizes no Matlab
 Uma matriz é criada atribuindo-se os elementos do arranjo a uma 
variável.
Algumas Matrizes Especiais
 Matriz Quadrada: número de linhas igual ao número de colunas
 𝐴 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
ordem 3x3
 Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal
principal são iguais a 1 e os elementos fora da diagonal principal são
iguais a zero.
 𝐼2 =
1 0
0 1
A Matriz Transposta
 Matriz Transposta
 A=
𝑥 𝑦 𝑧
3 2 1
𝐴𝑇=
𝑥 3
𝑦 2
𝑧 1
 PROPRIEDADES
1. 𝐴 + 𝐵𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
2. 𝐴𝑇
𝑇
= 𝐴
3. (𝑘𝐴)𝑇 = 𝑘𝐴𝑇, onde k é um escalar
4. (𝐴𝐵)𝑇= 𝐵𝑇 + 𝐴𝑇
Operador Transposição
 No MATLAB, defina a matriz
A=
10 −1
4
5
8
3 0
➢O que acontece quando executamos o seguinte comando >>B=A’? 
Atividade 4
a) Represente a matriz 2 x 3 
1 2 3
4 5 6
b) Represente a matriz quadrada 
5 35 43
4 76 81
21 32 40
c) Defina três variáveis 𝑐𝑑 = 7, ℎ = 1,23, 𝑒 =
1
3
e represente a 
seguinte matriz 
𝑒 𝑐𝑑 × ℎ cos
𝜋
3
ℎ2
ℎ2
𝑐𝑑
14
Atividade 5
 Represente uma matriz com as seguintes propriedades: (Use o
comando linspace, se necessário!)
i. Primeira linha: primeiro elemento 1, último 11 e espaçamento 2.
ii. Segunda linha: primeiro elemento 0, último 25 e espaçamento 5.
iii. Terceira linha: primeiro elemento 10, último 60 e espaçamento 10.
iv. Última linha: 67 2 43 68 4 13.
Observações
 Todas as variáveis no MATLAB são arranjos. Um escalar, por
exemplo é um arranjo de um único elemento.
 Uma variável (escalar, vetor ou matriz) é declarada quando
lhe é atribuído algum valor.
 Uma vez que uma variável tenha sido declarada é possível
modificá-la para qualquer outro tamanho ou tipo diferente
do original.
Exercícios – Página 55
 Busque o livro “GILAT, Amos. Matlab com aplicações
para engenharia. 3 ed. LTC, 1999.” na biblioteca virtual.
 1, 3, 4, 5 e 6.
Referência a Elementos
 Fazer referência significa indicar a posição que o elemento ocupa na
linha ou coluna.
 >>vetor=[20 40 50 60 70]
 >>vetor(1)=20
 >>vetor(3)=50
 Crie outros vetores e teste no MATLAB
Referência a um elementos
 Exemplo:
 >> A=[35 45 -10; 4 6 9; -1 0 0]
 A =
35 45 -10
4 6 9
-1 0 0
 >> A(1,2)
ans = 45
Dois Pontos ( : )
 VETOR
 va(:) – referencia todos os elementos do vetor va.
 va(m:n) – referencia os elementos entre as posições m e n.
 Exemplo
 >> v=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
 >> u=v(:)
 >> w=v(5:10)
w = 5 6 7 8 9 10
Note que w é um novo vetor criado a partir de v!
Dois Pontos ( : )
 MATRIZ
 A(:,n) – referencia os elementos da matriz A em todas as linhas da coluna n.
 A(n,:) - referencia os elementos da matriz A em todas as colunas da linha n.
 A(:,m:n) - referencia os elementos da matriz A em todas as linhas entre as
coluna m e n.
 A(m:n,:) - referencia os elementos da matriz A em todas as colunas entre as
linhas m e n.
 A(m:n,p:q) - referencia os elementos da matriz A entre as linhas m e n e
entre as colunas p e q.
Atividade 6
a) Defina uma matriz B com 4 linhas e 5 colunas.
b) Defina um vetor coluna C a partir dos elementos da coluna 3 da matriz B
(C=B(:,3)).
c) Defina um vetor linha D a partir dos elementos da linha 2 da matriz B.
(D=(2,:)).
d) Defina uma matriz E a partir de todos os elementos entre as linhas 2 e 4 da
matriz B. (E=B(2:4,:)) .
e) Crie um vetor v com 15 elementos e defina u a partir do terceiro, do
quinto, oitavo, e do nono ao décimo quinto elemento de v
(u=v([3,5,8,9:15])).
Adicionando Elementos
 Vetor:
 >> DF=1:4
DF = 1 2 3 4
>> DF(5:10)=10:2:20
DF =
1 2 3 4 10 12 14 16 18 20
Adicionando Elementos
 >> AD=[5 9 15 23]
AD = 5 9 15 23
Atribuindo -1 ao 10º elemento
 >> AD(10)=-1
AD = 5 9 15 23 0 0 0 0 0 -1
Agrupando vetores
 >> E=[1 3 6 9 -10]
E = 1 3 6 9 -10
 >> F=-1:2:10
F = -1 1 3 5 7 9
 >> G=[E F]
G = 1 3 6 9 -10 -1 1 3 5 7 9
 TESTE >> G=[E'; F']
Adicionando Elementos
 Matriz:
❖Faça os testes abaixo e analise cada comando
 >> F=[1 2 3 4; 5 6 7 8]
 >> F(3,:)=[10:4:22]
 >> G=eye(3)
 >> H=[F G]
 >> I=[2 5 7; 9 -10 -11]
 >> I(4,5)=-2
 >> L(3,5)=20
Deletando elementos
 Defina um vetor vt com 10 elementos
 Para eliminar o oitavo elemento digite o comando
 >>vt(6)=[ ]
 Para eliminar os elementos entre as posições 2 e 6
 >>vt(2:6)=[ ]
 Defina uma matriz F 3 x 6
 Faça o teste >>F(:,2:4)=[ ]
Exercícios – Página 56
 Busque o livro “GILAT, Amos. Matlab com aplicações
para engenharia. 3 ed. LTC, 1999.” na biblioteca virtual.
 11, 12, 13, 16, 19, 20, 24, 26 e 28.
Strings
 Uma string é uma cadeia de caracteres organizada em um arranjo.
Para criar basta digitar os caracteres entre aspas simples (‘ ‘).
 Strings podem conter letras, números, espaços e outros símbolos.
 Exemplo: ‘c2ftec’, ‘Elisangela’, ‘Viva o matlab!’
 Quando uma string estiver sendo digitada, os caracteres aparecem
em marrom após a abertura das aspas. Fechando-se a segunda aspa,
os caracteres mudam para roxo.
Strings
 Podem ser usadas para imprimir mensagens de texto na tela,
formatação de gráficos, argumento de funções, etc.
 Podem ser atribuídas a variáveis.
 >> a='Elisangela'
a =Elisangela
 >> b='Estamos no UniFtec em Caxias do Sul'
b =Estamos no UniFtec em Caxias do Sul
Strings
 Quando uma variável é declarada como string, os caracteres são
armazenados formando um arranjo. Ou seja, uma string de uma
linha é um vetor linha.
 >> b(5)
ans =m
 >> a(6)
ans =n
 >> b(12:19)='sala 203'
b =Estamos na sala 203ias do Sul
Comando char
 A função nativa char cria um arranjo com linhas tendo o mesmo
número de caracteres, a partir dos caracteres de entrada que
possuem tamanhos diferentes.
 O MATLAB adiciona espaços para igualar as linhas.
 Na função char deve ser separada por vírgulas.
Comando char
Nome_variavel = char(‘string 1’, 
‘string 2’, ‘string 3’ )
Exemplo:
>> testando=char('Nome do Estudante:', ‘Lindomar', 'Disciplina:', ‘Computaçãopara 
Engenharia', ‘Instituição:’,’UniFtec Caxias')
testando =
Nome do Estudante:
Lindomar
Disciplina: 
Computação para Engenharia 
Faculdade: 
UniFtec Caxias 
Arranjos de estruturas
 Arranjos de estruturas são compostos de estruturas, os quais 
permitem armazenar arranjos diferentes juntos.
 Suponha que você queira criar uma base de dados dos estudantes da 
disciplina de Computação para Engenharia e que queria incluir nome, 
e-mail, notas, telefone, etc.
 Cada tipo de dado é um Campo.
 Os campos podem ser textos ou números.
Arranjos de estruturas - Exemplo
Operações com Arranjos
Adição e Subtração
 As matrizes devem ter o mesmo tamanho.
 Sejam A e B
𝐴 =
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
e 𝐵 =
𝐵11 𝐵12 𝐵13
𝐵21 𝐵22 𝐵23
𝐴 + 𝐵 =
(𝐴11+𝐵11) (𝐴12+𝐵12) (𝐴13+𝐵13)
(𝐴21+𝐵21) (𝐴22+𝐵22) (𝐴23+𝐵23)
Atividade 7
 Adição e Subtração:
a) Sejam A=
5 6
4 2
𝑒 𝐵=
0 −1
5 4
. Determine A+B e A-B.
b) Defina VA=[8 5 4] e VB=[10 2 7]. Determine VA+VB, VA +A.
c) Defina A=[1 5 8 -10 2]. Determine A+4.
d) Defina A=[6 21 -15; 0 -4 8]. Determine A-6
Multiplicação
 Multiplicação de Matrizes: o número de colunas da primeira tem que
ser igual ao número de linhas da segunda.
Exemplo: 
3 2 1
7 0 −3
2 1
1 3
4 0
𝑨𝒎𝒙𝒏. 𝑩𝒏𝒙𝒑 = 𝑪𝒎𝒙𝒑
Multiplicação de Matrizes
 Exemplo:
𝐴 =
𝐴11 𝐴12 𝐴13
𝐴21 𝐴22 𝐴23
𝐴31 𝐴32 𝐴33
𝐴41 𝐴42 𝐴43
𝑒 𝐵 =
𝐵11 𝐵12
𝐵21 𝐵22
𝐵31 𝐵32
𝐴 ∗ 𝐵
=
(𝐴11𝐵11 + 𝐴12𝐵21 + 𝐴13𝐵31) (𝐴11𝐵12 + 𝐴12𝐵22 + 𝐴13𝐵32)
(𝐴21𝐵11 + 𝐴22𝐵21 + 𝐴23𝐵31) (𝐴21𝐵12 + 𝐴22𝐵22 + 𝐴23𝐵32)
(𝐴31𝐵11 + 𝐴32𝐵21 + 𝐴33𝐵31) (𝐴31𝐵12 + 𝐴32𝐵22 + 𝐴33𝐵32)
𝐴41𝐵11 + 𝐴42𝐵21 + 𝐴43𝐵31 (𝐴41𝐵12 + 𝐴42𝐵22 + 𝐴43𝐵32)
 Verifique as dimensões
Atividade 8
a) Determine o produto
2 3
−4 5
7 1
2 4
b) Multiplicação de um número real por uma matriz:
 Determine
1
2
𝐴, onde A=
−10 4
5 3
Sistema Linear
 Resolva o sistema usando operações matriciais:
ቐ
4𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 8
2𝑥 + 8𝑦 + 2𝑧 = 4
6𝑥 + 10𝑦 + 3𝑧 = 0
Solução
i. Escreva na forma AX=B
4 −2 6
2 8 2
6 10 3
𝑥
𝑦
𝑧
=
8
4
0
 Defina A e B
 >>X=A\B
 Ou >> Xb=inv(A)*B
Atividade 8
 Resolva o sistema usando operações matriciais:
ቐ
4𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 8
2𝑥 + 8𝑦 + 2𝑧 = 4
6𝑥 + 10𝑦 + 3𝑧 = 0
Solução
i. Escreva na forma XC=D
𝑥 𝑦 𝑧
4 2 6
−2 8 10
6 2 3
𝑥
𝑦
𝑧
= 8 4 0
 Defina C e D
 >>X=D/C
 Ou >> Xc=D*inv(C)
Operações Elemento por Elemento
 As operações que vimos até agora são aquelas que seguem
rigorosamente a álgebra linear.
 Operações elemento por elemento são sinalizadas no MATLAB
digitando um ponto antes do operador aritmético.
Operações Escalares 
 Sejam 𝑎 = [𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4] e b = [𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4].
a.*b= [𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 𝑎3𝑏3 𝑎4𝑏4]
a./b= [𝑎1/𝑏1 𝑎2/𝑏2 𝑎3/𝑏3 𝑎4/𝑏4]
a.^b= [(𝑎1)
𝑏1(𝑎2)
𝑏2(𝑎3)
𝑏3(𝑎4)
𝑏4]
Considerando duas matrizes, o que resulta?
Atividade 9
 >>A=[2 6 3; 5 8 4]
 >>B=[1 4 10; 3 2 7]
 >> A.*B
 >>B.^2
 x=[1:8]
 y=x.^2-4*x
Aplicação – Coeficiente de Atrito
 O coeficiente cinético (μ) pode ser determinado experimentalmente
medindo-se o módulo da Força F necessária para mover uma massa m
sobre uma superfície com atrito. O valor do coeficiente de atrito cinético
pode ser determinado por (𝑔 = 9,81𝑚/𝑠2)
𝜇 =
𝐹
𝑚𝑔
Determine o coeficiente de atrito cinético por medida e a respectiva média
no experimentos
mm
F
atrito
Medida 1 2 3 4 5 6
Massa m (kg) 2 4 5 10 20 50
Força F (N) 12.5 23.5 30 61 117 294
Aplicação – Velocidade
 A tabela a seguir fornece alguns dados de distância percorrida ao longo de
cinco trajetos de caminhão e os intervalos de tempos correspondentes à
realização de cada um deles. Utilize os dados para calcular a velocidade
média (km/h) em cada trajeto. Encontre o trajeto de maior velocidade
média
 1 milha é aproximadamente 1,61 km.
1 2 3 4 5
Distância (mi) 560 440 490 530 370
Tempo (h) 10,3 8,2 9,1 10,1 7,5
Aplicação – Arremesso de Objeto
 A altura máxima ℎ alcançada por um objeto arremessado com uma
velocidade 𝑣 e em um ângulo 𝜃 em relação à horizontal, desconsiderando a
resistência do ar, é:
ℎ =
𝑣2𝑠𝑒𝑛2𝜃
2𝑔
 Crie uma tabela que mostra a altura máxima para os seguintes valores de 𝑣
e 𝜃:
𝑣 = 10, 12, 14, 16, 18, 20 𝑚/𝑠 e 𝜃 = 50°, 60°, 70°, 80°.