Material Álgebra Linear

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<p>UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG</p><p>INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E</p><p>FÍSICA - IMEF</p><p>DAIANE SILVA DE FREITAS</p><p>FABÍOLA AIUB SPEROTTO</p><p>GRASIELA MARTINI</p><p>Notas de Aula de Álgebra Linear</p><p>3◦ versão</p><p>Rio Grande</p><p>2022</p><p>Universidade Federal do Rio Grande - FURG</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Aviso: Prezados, este material ainda está em fase de construção</p><p>pelos autores.</p><p>i</p><p>Sumário</p><p>1 Matrizes e Determinantes 1</p><p>1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.3 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.4 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.5 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>1.5.1 Soma de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.5.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar . . . . . 9</p><p>1.5.3 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.5.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.6 Matrizes Inverśıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.7 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.7.1 Determinante de um matriz quadrada de ordem 1 e 2 18</p><p>1.7.2 Determinante de um matriz quadrada de ordem supe-</p><p>rior a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.7.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>1.8 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>2 Sistemas Lineares e Matriz Inversa 27</p><p>2.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>2.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2.2.1 Soluções e Conjuntos Solução . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>2.2.2 Sistemas de Equações Lineares a n incógnitas . . . . . 29</p><p>2.2.3 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>2.2.4 Notação Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>2.2.5 Matriz Ampliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>2.2.6 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>2.3 Operações Elementares de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>2.3.1 Matriz Escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>2.4 Eliminação de Gauss e substituição regressiva . . . . . . . . . 36</p><p>2.5 Eliminação de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2.6 Soluções de um Sistema de Equações Lineares . . . . . . . . . 42</p><p>2.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>ii</p><p>2.7 Sistema de Equações Lineares Homogêneos . . . . . . . . . . 47</p><p>2.8 Matrizes Inverśıveis usando a eliminação de Gauss-Jordan . . 50</p><p>2.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>2.9 Sistema lineares de m equações e n variáveis . . . . . . . . . . 55</p><p>2.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56</p><p>2.10 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57</p><p>3 Espaços Vetoriais 61</p><p>3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>3.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62</p><p>3.2.1 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64</p><p>3.2.2 Quanto a visualização dos espaços . . . . . . . . . . . 65</p><p>3.2.3 Quanto as propriedades da soma de vetores e multi-</p><p>plicação por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>3.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>3.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74</p><p>3.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</p><p>3.4.2 Interseção de subespaços vetoriais . . . . . . . . . . . 77</p><p>3.4.3 Soma de subespaços vetoriais: . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>3.4.4 Soma direta de subespaços vetoriais: . . . . . . . . . . 78</p><p>3.4.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>3.5 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>3.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83</p><p>3.6 Subespaços Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84</p><p>3.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86</p><p>3.7 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . 86</p><p>3.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</p><p>3.8 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93</p><p>3.8.1 Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . 99</p><p>3.8.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101</p><p>3.9 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101</p><p>4 Transformações Lineares 105</p><p>4.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105</p><p>4.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106</p><p>4.3 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108</p><p>4.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113</p><p>4.3.2 Propriedades das Transformações Lineares . . . . . . . 113</p><p>4.3.3 Existência e Unicidade da Transformação Linear . . . 114</p><p>4.3.4 Transformação Linear dada por uma Matriz . . . . . . 116</p><p>4.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117</p><p>4.4 Núcleo de um Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . 118</p><p>4.4.1 Transformação Linear Injetora . . . . . . . . . . . . . 120</p><p>iii</p><p>4.5 Imagem de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . 120</p><p>4.5.1 Transformação Linear Sobrejetora e Isomorfismo . . . 122</p><p>4.5.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123</p><p>4.6 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . 124</p><p>4.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128</p><p>4.7 Operações com Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . 128</p><p>4.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p><p>4.8 Transformações Lineares Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p><p>4.9 Transformações Lineares no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . 144</p><p>4.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147</p><p>4.10 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148</p><p>5 Autovalores e Autovetores 152</p><p>5.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152</p><p>5.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152</p><p>5.3 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154</p><p>5.3.1 Cálculo dos autovalores e autovetores . . . . . . . . . 156</p><p>5.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>5.4 Diagonalização de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>5.4.1 Passos para diagonalizar uma matriz . . . . . . . . . . 169</p><p>5.4.2 Diagonalização e Transformações Lineares . . . . . . . 170</p><p>5.4.3 Diagonalização de matrizes simétricas . . . . . . . . . 170</p><p>5.4.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174</p><p>5.5 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174</p><p>6 Gabaritos 176</p><p>6.1 Gabaritos das listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176</p><p>iv</p><p>Caṕıtulo 1</p><p>Matrizes e Determinantes</p><p>Objetivos principais do caṕıtulo</p><p>� Somar e subtrair matrizes e multiplicar uma matriz por um escalar.</p><p>� Multiplicar duas matrizes.</p><p>� Determinar a transposta de uma matriz.</p><p>� Definir inversa de uma matriz.</p><p>� Determinar menores e cofatores de uma matriz.</p><p>� Usar a expansão por cofatores para calcular o determinante de uma</p><p>matriz.</p><p>1.1 Motivação</p><p>A Álgebra Linear tem inúmeras aplicações, como:</p><p>� (Modelos Econômicos de Leontief) – Suponha um sistema econômico</p><p>simplificado, por exemplo, uma mina de carvão, uma ferrovia e uma</p><p>usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produção das</p><p>outras para sua manutenção e para suprir outros consumidores de</p><p>seu produto. Os modelos de produção de Leontief podem ser usados</p><p>para determinar o ńıvel de produção</p><p>pontos P1(−1, − 1), P2(3, − 5) e</p><p>P3(7,− 1).</p><p>4. Discuta o seguinte sistema:</p><p>x+ 4y + 3z = 10</p><p>2x+ 7y − 2z = 10</p><p>x+ 5y + αz = β</p><p>5. Uma empresa de transportes tem três tipos de caminhões VW , MC e</p><p>SC, que carrega cargas em carrocerias de três tipos I, II e III.</p><p>As capacidades dos caminhões são:</p><p>Tipos de caminhões I II III</p><p>VW 4 3 2</p><p>MC 5 2 3</p><p>SC 2 2 3</p><p>Quais são os números de caminhões x1, x2 e x3 de cada categoria VW ,</p><p>MC e SC, se a companhia deve transportar 42 carrocerias do tipo I,</p><p>27 do tipo II e 33 do tipo III?</p><p>46</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.7. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEOS</p><p>6. Em um teste da cálculo, os alunos ganharam 4 pontos por cada questão</p><p>correta e perderam 2 por cada questão errada. Ao fim de 60 questões</p><p>um aluno conseguiu somar 180 pontos. Quantas questões corretas o</p><p>aluno acertou?</p><p>7. Respostas: 1) p(x) = x2 + 2x − 4; 2) x2 + y2 − 6x + 4y + 4 = 0; 3)</p><p>x2 + y2 − 6x+ 2y − 6 = 0; 5) x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5; 6) 50 questões.</p><p>2.7 Sistema de Equações Lineares Homogêneos</p><p>São sistema lineares em que cada um dos termos constantes é zero, como</p><p>o sistema (2.3) </p><p>a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = 0</p><p>a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = 0</p><p>...................................................</p><p>am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = 0</p><p>(2.3)</p><p>Este tipo de sistema sempre tem o vetor nulo como solução, chamado de</p><p>solução trivial ou nula.</p><p>Todo sistema homogêneo de equações lineares é consistente. Se o sis-</p><p>tema tem menos equações que variáveis, então ele deve ter infinitas soluções.</p><p>Sendo n o número de variáveis e r o número de equações, tem-se dois casos</p><p>a considerar:</p><p>i. r = n O sistema possui apenas a solução nula.</p><p>ii. r < n O sistema possui uma solução não nula.</p><p>Exemplo 2.7.1.</p><p>Caso i, em que r = n. O número de equações é igual ao número de variáveis.</p><p>Considere o seguinte sistema homogêneo:</p><p>x+ 2y + 3z = 0</p><p>−x+ 3y + 2z = 0</p><p>2x+ y − 2z = 0</p><p>Resolvendo o sistema pelo escalonamento de Gauss-Jordan:</p><p>� Primeiro vamos escrever a matriz aumentada do sistema.</p><p>� Utilizar as operações elementares de linhas para reescrever a matriz</p><p>na forma escalonada reduzida e determinar qual a sua solução.</p><p>A matriz ampliada do sistema de equações é:</p><p> 1 2 3 0</p><p>−1 3 2 0</p><p>2 1 −2 0</p><p>.</p><p>47</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.7. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEOS</p><p>Operações elementares: Observe que na matriz ampliada o elemento pivô</p><p>da primeira linha é a11 = 1, então, as duas primeiras operações devem zerar</p><p>os elementos abaixo dele que são a21 = −1 e a31 = 2</p><p>� Operação: L2 ↔ L2+(1)L1, obtemos a nova linha dois:</p><p>1 2 3 0</p><p>0 5 5 0</p><p>2 1 −2 0</p><p></p><p>� Operação: L3 ↔ L3+(−2)L1, obtemos a nova linha três:</p><p>1 2 3 0</p><p>0 5 5 0</p><p>0 −3 −8 0</p><p></p><p>A primeira parte está completa, abaixo do pivô da primeira linha to-</p><p>dos os elementos são nulos.</p><p>A próxima operação deve observar se o elemento pivô da segunda</p><p>linha é igual a 1, se não for a primeira operação deve transformar esse</p><p>elemento. O elemento pivô é a22 = 5, então devemos escolher uma</p><p>operação que transforme esse elemento no número 1.</p><p>� Operação: L2 ↔ 1</p><p>5L2, obtemos a nova linha dois:</p><p>1 2 3 0</p><p>0 1 1 0</p><p>0 −3 −8 0</p><p>.</p><p>Agora que o nosso elemento pivô é igual a 1, podemos zerar os demais</p><p>elementos desta coluna.</p><p>� Operação: L1 ↔ L1+(−2)L2, obtemos a nova linha um:</p><p>1 0 1 0</p><p>0 1 1 0</p><p>0 −3 −8 0</p><p>.</p><p>� Operação: L3 ↔ L3+(3)L2, obtemos a nova linha três:</p><p>1 0 1 0</p><p>0 1 1 0</p><p>0 0 −5 0</p><p>.</p><p>Agora o último elemento pivô é a33 = −5, esse pivô deve ser igual 1.</p><p>� Operação: L3 ↔ 1</p><p>−5L3, obtemos a nova linha três:</p><p>1 0 1 0</p><p>0 1 1 0</p><p>0 0 1 0</p><p>.</p><p>Para finalizar o processo mais duas operações para zerar os elementos</p><p>acima deste pivô:</p><p>� Operação: L1 ↔ L1+(−1)L3, obtemos a nova linha um:</p><p>1 0 0 0</p><p>0 1 1 0</p><p>0 0 1 0</p><p>.</p><p>48</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.7. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEOS</p><p>� Operação: L2 ↔ L2+(−1)L3, obtemos a nova linha dois:</p><p>1 0 0 0</p><p>0 1 0 0</p><p>0 0 1 0</p><p>.</p><p>Ao final do escalonamento, o número de equações é igual ao número de</p><p>incógnitas, isto significa que x = y = z = 0. O sistema linear homogêneo</p><p>tem apenas a solução trivial.</p><p>Exemplo 2.7.2.</p><p>Caso ii, em que r < n. O número de equações é menor que o número de</p><p>variáveis. </p><p>x+ y − z = 0</p><p>2x− 3y + z = 0</p><p>x− 4y + 2z = 0</p><p>A matriz ampliada do sistema de equações é:</p><p> 1 1 −1 0</p><p>2 −3 1 0</p><p>1 −4 2 0</p><p> .</p><p>Aplicando as seguintes operações,</p><p>� L2 ↔ L2 − 2L1;</p><p>� L3 ↔ L3 − L1;</p><p>� L3 ↔ L3 − L2.</p><p>Ao final do escalonamento, o número de equações é menor que o número</p><p>de variáveis. A linha nula pode ser desconsidera do sistema. 1 1 −1 0</p><p>0 −5 3 0</p><p>0 0 0 0</p><p> .</p><p>Vamos reescrever o sistema correspondente à matriz escalonada:{</p><p>x+ y − z = 0</p><p>−5y + 3z = 0</p><p>Pela segunda equação: −5y + 3z = 0 ⇒ y =</p><p>3</p><p>5</p><p>z.</p><p>Substituindo na primeira equação: x =</p><p>2</p><p>5</p><p>z. O conjunto solução é</p><p>S = {(2</p><p>5</p><p>z,</p><p>3</p><p>5</p><p>z,z)}. Este sistema tem infinitas soluções, uma das quais</p><p>é a solução trivial.</p><p>Número de soluções de um sistema homogêneo: Todo sistema ho-</p><p>mogêneo de equações lineares é consistente. Além disso, se o sistema tem</p><p>menos equações que variáveis, então ele deve ter infinitas soluções.</p><p>49</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.8. MATRIZES INVERSÍVEIS USANDO A ELIMINAÇÃO DE</p><p>GAUSS-JORDAN</p><p>2.8 Matrizes Inverśıveis usando a eliminação de</p><p>Gauss-Jordan</p><p>O mesmo procedimento usado para o escalonamento de matrizes com</p><p>operações elementares que transforma uma matriz na forma escada pode ser</p><p>usado para encontrar a inversa de uma matriz.</p><p>Uma matriz quadrada A de ordem n é inverśıvel ( ou não singular)</p><p>quando existe uma matrizB também quadrada tal que AB = BA = In, onde</p><p>In é a matriz identidade de ordem n. A matriz B é a inversa (multiplicativa)</p><p>de A. Se A possui inversa, ela é única e denotamos por A−1.</p><p>A eliminação de Gauss-Jordan funciona para uma matriz arbitrária n×n.</p><p>Se a matriz A não puder ser reduzida por linhas a matriz In, então A é não</p><p>inverśıvel.</p><p>Entendendo o processo:</p><p>� Escrever a matriz n×2n, que consiste em colocar a matriz A à esquerda</p><p>e a matriz identidade de ordem n à direita, para obter</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>;</p><p>� Reduzir a matriz A, se posśıvel, por linhas a matriz I usando operações</p><p>elementares em toda a matriz</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>. O resultado será</p><p>[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>. Se</p><p>não for posśıvel, então A é não inverśıvel (ou singular).</p><p>Exemplo 2.8.1. Encontre a matriz inversa de A =</p><p>[</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>]</p><p>.</p><p>Solução: Primeiramente vamos escrever a matriz ampliada</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>:[</p><p>2 5 1 0</p><p>1 3 0 1</p><p>]</p><p>Agora, devemos utilizar as operações elementares, para transformar a</p><p>matriz A, na matriz identidade e se existir a matriz inversa vamos obter[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>:</p><p>� Primeira operação: L1 ↔ (12)L1, pois o elemento pivô da primeira</p><p>linha a11 = 2 e deve ser transformado no número um. A operação</p><p>transforma todos os elementos da linha 1:[</p><p>1 5</p><p>2</p><p>1</p><p>2 0</p><p>1 3 0 1</p><p>]</p><p>� Segunda operação L2 ↔ L2+(−1)L1, observe que abaixo do elemento</p><p>pivô demais elementos devem ser nulos. Nesse caso o elemento a21:[</p><p>1 5</p><p>2</p><p>1</p><p>2 0</p><p>0 −1</p><p>2</p><p>1</p><p>2 −1</p><p>]</p><p>50</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.8. MATRIZES INVERSÍVEIS USANDO A ELIMINAÇÃO DE</p><p>GAUSS-JORDAN</p><p>� Terceira operação L2 ↔ (−2)L2, transforma o elemento da posição a22</p><p>no elemento pivô 1: [</p><p>1 5</p><p>2</p><p>1</p><p>2 0</p><p>0 1 −1 2</p><p>]</p><p>� Quarta operação L1 ↔ L1 − (52)L2, essa operação transforma o ele-</p><p>mento da posição a12 em zero, obtendo assim a matriz I2:[</p><p>1 0 3 −5</p><p>0 1 −1 2</p><p>]</p><p>Como conseguimos reduzir a matriz A por linhas, a matriz I, obtemos[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>. Portanto, a matriz A é inverśıvel e sua inversa é A−1 =</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>Se a matriz A é invert́ıvel, então sua inversa é única.</p><p>Vamos usar os mesmos passos agora para uma matriz de ordem n = 3.</p><p>Exemplo 2.8.2. Determine a inversa da matriz A:</p><p>A =</p><p> 1 −1 0</p><p>1 0 −1</p><p>−6 2 3</p><p> .</p><p>Solução:</p><p>Primeiro escrever a matriz ampliada</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>: 1 −1 0 1 0 0</p><p>1 0 −1 0 1 0</p><p>−6 2 3 0 0 1</p><p></p><p>Utilizar as operações elementares, pela eliminação de Gauss-Jordan até</p><p>obter</p><p>[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>, se posśıvel.</p><p>Observem que o elemento da posição a11 é 1, então, já temos o elemento</p><p>pivô da primeira</p><p>coluna, precisamos agora transformar os elementos abaixo</p><p>do pivô em zero, as duas primeiras operações fazem isso, vejamos:</p><p>� Primeira operação: L2 ↔ L2 + (−1)L1, essa operação altera toda a</p><p>linha 2:  1 −1 0 1 0 0</p><p>0 1 −1 −1 1 0</p><p>−6 2 3 0 0 1</p><p></p><p>� Segunda operação: L3 ↔ L3+(6)L1, essa operação altera toda a linha</p><p>3: 1 −1 0 1 0 0</p><p>0 1 −1 −1 1 0</p><p>0 −4 3 6 0 1</p><p></p><p>51</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.8. MATRIZES INVERSÍVEIS USANDO A ELIMINAÇÃO DE</p><p>GAUSS-JORDAN</p><p>� Terceira operação: L3 ↔ L3+(4)L2, essa operação altera toda a linha</p><p>3, para transformar o elemento da posição a32:1 −1 0 1 0 0</p><p>0 1 −1 −1 1 0</p><p>0 0 −1 2 4 1</p><p></p><p>� Quarta operação: L3 ↔ (−1)L3, essa operação altera toda a linha</p><p>3, vamos realizar essa operação antes de alterar a 1◦ linha, assim já</p><p>teremos o elemento pivô da última coluna:1 −1 0 1 0 0</p><p>0 1 −1 −1 1 0</p><p>0 0 1 −2 −4 −1</p><p></p><p>� Quinta operação: L2 ↔ L2 + L3, essa operação altera toda a linha 2,</p><p>vamos realizar essa operação antes de alterar a 1◦ linha:1 −1 0 1 0 0</p><p>0 1 0 −3 −3 −1</p><p>0 0 1 −2 −4 −1</p><p></p><p>� Sexta operação: L1 ↔ L1 + L2, essa operação altera toda a linha 1:1 0 0 −2 −3 −1</p><p>0 1 0 −3 −3 −1</p><p>0 0 1 −2 −4 −1</p><p></p><p>Como conseguimos reduzir a matriz A por linhas, a matriz I, obtemos[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>. Portanto, a matriz A é inverśıvel e sua inversa é</p><p>A−1 =</p><p>−2 −3 −1</p><p>−3 −3 −1</p><p>−2 −4 −1</p><p> .</p><p>Você pode confirmar isso mostrando que AA−1 = I = A−1A.</p><p>Esse processo aplica-se a qualquer matriz A, de ordem n×n e permitirá</p><p>encontrar a inversa de A, se ela existir.</p><p>Teorema 2.8.1. Se A é uma matriz inverśıvel, n×n, então para cada b no</p><p>Rn, a equação Ax = b tem uma única solução, x = A−1b.</p><p>Vamos analisar agora o que acontece quando uma matriz não possui</p><p>inversa.</p><p>52</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.8. MATRIZES INVERSÍVEIS USANDO A ELIMINAÇÃO DE</p><p>GAUSS-JORDAN</p><p>Exemplo 2.8.3. A matriz A não possui inversa: A =</p><p> 1 2 0</p><p>3 −1 2</p><p>−2 3 −2</p><p>,</p><p>pois ao final do escalonamento a matriz a esquerda possui uma linha nula.</p><p>Escrever a matriz</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>: 1 2 0 1 0 0</p><p>3 −1 2 0 1 0</p><p>−2 3 −2 0 0 1</p><p></p><p>Vamos utilizar as operações elementares até obter</p><p>[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>:</p><p>� Primeira operação:L2 ↔ L2 + (−3)L1, essa operação altera toda a</p><p>linha 2:  1 2 0 1 0 0</p><p>0 −7 2 −3 1 0</p><p>−2 3 −2 0 0 1</p><p></p><p>� Segunda operação:L3 ↔ L3 + (2)L1, essa operação altera toda a linha</p><p>3: 1 2 0 1 0 0</p><p>0 −7 2 −3 1 0</p><p>0 7 −2 2 0 1</p><p></p><p>� Terceira operação:L3 ↔ L3 + L2, essa operação altera toda a linha 3:1 2 0 1 0 0</p><p>0 −7 2 −3 1 0</p><p>0 0 0 −1 1 1</p><p></p><p>Observe que a esquerda temos uma parte da linha 3 constitúıda de</p><p>elementos nulos. Portanto, não é posśıvel reescrever a matriz</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>na forma</p><p>[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>. Isso significa que a matriz A não tem inversa.</p><p>Exemplo 2.8.4. Resolução de sistemas de equações usando uma</p><p>matriz inversa. Se A é uma matriz inverśıvel, então o sistema de equações</p><p>lineares Ax = b possui uma solução única x = A−1b. Vamos usar uma</p><p>matriz inversa para resolver o seguinte sistema:</p><p>2x+ 3y + z = −1</p><p>3x+ 3y + z = 1</p><p>2x+ 4y + z = −2</p><p>53</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.8. MATRIZES INVERSÍVEIS USANDO A ELIMINAÇÃO DE</p><p>GAUSS-JORDAN</p><p>Observamos que a matriz dos coeficientes é: A =</p><p>2 3 1</p><p>3 3 1</p><p>2 4 1</p><p> .</p><p>Usando a eliminação de Gauss-Jordan obtemos A−1 =</p><p>−1 1 0</p><p>−1 0 1</p><p>6 −2 −3</p><p> .</p><p>Desta forma, calculamos a solução</p><p>x = A−1bxy</p><p>z</p><p> =</p><p>−1 1 0</p><p>−1 0 1</p><p>6 −2 −3</p><p>−1</p><p>1</p><p>−2</p><p> =</p><p> 2</p><p>−1</p><p>−2</p><p></p><p>Portanto, a solução é x = 2, y = −1, z = −2.</p><p>Exemplo 2.8.5. (A inversa do quadrado de uma matriz). Considere a</p><p>seguinte matriz A =</p><p>[</p><p>0 −2</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>, determine A−2.</p><p>Uma maneira de determinar A−2, é determinar (A2)−1, desta forma,</p><p>vamos calcular primeiro A2:</p><p>A2 = A ·A =</p><p>[</p><p>0 −2</p><p>−1 3</p><p>] [</p><p>0 −2</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2 −6</p><p>−3 11</p><p>]</p><p>e agora determinamos a inversa: Escrevendo a matriz</p><p>[</p><p>A I</p><p>]</p><p>:[</p><p>2 −6 1 0</p><p>−3 11 0 1</p><p>]</p><p>Vamos utilizar as operações elementares até obter</p><p>[</p><p>I A−1</p><p>]</p><p>:</p><p>� Primeira operação:L1 ↔ 1</p><p>2L1, a operação altera toda a linha 1:[</p><p>1 −3 1</p><p>2 0</p><p>−3 11 0 1</p><p>]</p><p>� Segunda operação:L2 ↔ L2 + (3)L1, a operação altera toda a linha 2:[</p><p>1 −3 1</p><p>2 0</p><p>0 2 3</p><p>2 1</p><p>]</p><p>� Terceira operação:L2 ↔ 1</p><p>2L2, a operação altera toda a linha 2:[</p><p>1 −3 1</p><p>2 0</p><p>0 1 3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>54</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.9. SISTEMA LINEARES DE M EQUAÇÕES E N VARIÁVEIS</p><p>� Quarta operação:L1 ↔ L1 + 3L2, a operação altera toda a linha 1:[</p><p>1 0 22</p><p>8</p><p>3</p><p>2</p><p>0 1 3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>.</p><p>Portanto,</p><p>A−2 = (A2)−1 =</p><p>[</p><p>22</p><p>8</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>]</p><p>.</p><p>2.8.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Determine a inversa de cada matriz:</p><p>(a)</p><p>A =</p><p> 2 2 1</p><p>4 1 2</p><p>3 1 1</p><p></p><p>(b)</p><p>A =</p><p> −1 0 1</p><p>0 −2 3</p><p>3 0 1</p><p></p><p>2. Use uma matriz inversa para resolver o sistema:</p><p></p><p>x+ y + z = 1</p><p>−2y + z = 3</p><p>x+ z = −3</p><p>.</p><p>Respostas: 1(a)</p><p> −1</p><p>3 −1</p><p>3 1</p><p>2</p><p>3 −1</p><p>3 0</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>3 −2</p><p>; (b)</p><p> −1</p><p>4 0 1</p><p>4</p><p>9</p><p>8 −1</p><p>2</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>4 0 1</p><p>4</p><p>. 2 x =</p><p>1, y = −9, z = −2</p><p>2.9 Sistema lineares de m equações e n variáveis</p><p>Para resolver sistemas lineares retangulares, isto é, o número de equações</p><p>e diferente do número de variáveis. Usamos a eliminação de Gauss, com a</p><p>diferença de que a matriz dos coeficientes não pode ser transformada na</p><p>matriz identidade porque é uma matriz na forma retangular.</p><p>Exemplo 2.9.1. O sistema a seguir representa no espaço R3, dois planos</p><p>que se interceptam: {</p><p>x+ 2y + z = 8</p><p>2x+ y − 2z = 10</p><p>a matriz ampliada que representa o sistema é:</p><p>[</p><p>1 2 1 8</p><p>2 1 −2 10</p><p>]</p><p>.</p><p>Usando a ideia da eliminação de Gauss-Jordan, podemos resolver o sis-</p><p>tema:</p><p>55</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.9. SISTEMA LINEARES DE M EQUAÇÕES E N VARIÁVEIS</p><p>� L2 ↔ L2 − 2L1:</p><p>[</p><p>1 2 1 8</p><p>0 −3 −4 −6</p><p>]</p><p>.</p><p>� L2 ↔ −1</p><p>3L3:</p><p>[</p><p>1 2 1 8</p><p>0 1 4</p><p>3 2</p><p>]</p><p>.</p><p>� L1 ↔ L1 − 2L2:</p><p>[</p><p>1 0 −5</p><p>3 4</p><p>0 1 4</p><p>3 2</p><p>]</p><p>.</p><p>O sistema correspondente de equações é{</p><p>x− 5</p><p>3z = 4</p><p>y + 4</p><p>3z = 2</p><p>Portanto, a solução do sistema de equações é{</p><p>x = 4 + 5</p><p>3z</p><p>y = 2− 4</p><p>3z</p><p>que representa no espaço a equação reduzida da reta, na variável z interseção</p><p>dos planos, conforme mostra a Figura 2.1:</p><p>Figura 2.1: Representação gráfica da solução do sistema de equações.</p><p>2.9.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Resolva os seguintes sistemas:</p><p>(a)</p><p></p><p>2x+ 4y = 16</p><p>5x− 2y = 4</p><p>3x+ y = 9</p><p>4x− 5y = −7</p><p>(b)</p><p>{</p><p>2x− 8y + 24z + 18w = 84</p><p>4x− 14y + 52z + 42w = 190</p><p>56</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.10. LISTA 2</p><p>2.10 Lista 2</p><p>1. Considere a seguinte matriz como sendo a matriz completa de um</p><p>sistema linear. Enuncie em palavras, a próxima operação elementar</p><p>que deve ser realizada no processo de resolução do sistema.</p><p>1 3 0 3 −6</p><p>0 −1 6 −5 2</p><p>0 0 3 8 −1</p><p>0 0 1 2 −1</p><p></p><p>2. Classificar e resolver os sistemas:</p><p>(a)</p><p></p><p>2y + 10z = −4</p><p>2x+ 8y + 6z = −2</p><p>4x+ 14y + 2z = −1</p><p>(b)</p><p></p><p>x+ 3y + 4z = 8</p><p>2x− y + 1</p><p>2z = 4</p><p>3x− 1</p><p>2y +</p><p>1</p><p>2z = 5</p><p>(c)</p><p></p><p>2x− 3y + 4z = 8</p><p>2x+ 8y + 13z = 23</p><p>1</p><p>2x+ y + 2z = 10</p><p>(d)</p><p></p><p>2x+ 4y + 6z = 12</p><p>x− z = 0</p><p>5</p><p>2x+ 2y + 11</p><p>2 z = 12</p><p>(e)</p><p></p><p>2x− 12y = 5</p><p>2y − 8z + 2w = 0</p><p>−2x+ 12y + 2z + 10w = 3</p><p>−2y + 10z + 8w = 0</p><p>(f)</p><p></p><p>−x+ 2z = 5</p><p>y + 3z = 2</p><p>2x+ 4y + 7z = −5</p><p>3. Seja A =</p><p>0 1 1</p><p>0 1 2</p><p>1 1 2</p><p>. Calcule A−1.</p><p>4. Determine os coeficientes a, b, c da equação da circunferência x2+y2+</p><p>ax+ by + c = 0, resolvendo o seguinte sistema:</p><p></p><p>2a− b+ c = −5</p><p>−3a+ c = −9</p><p>a+ 4b+ c = −17</p><p>5. Determine a inversa da matriz A =</p><p>0 1 2</p><p>1 0 3</p><p>2 −3 4</p><p>, caso ela exista.</p><p>57</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.10. LISTA 2</p><p>6. Aplicação: Criptografia: Vamos transformar uma mensagem da se-</p><p>guinte forma: Quebrando a mensagem em 3 pedaços. O destinatário</p><p>e o remetente possuem uma matriz C. O destinatário recebe uma</p><p>matriz D, tal que MC = D, onde M é a mensagem a ser decodifi-</p><p>cada. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto</p><p>1 = a,2 = b,3 = c, . . . ,23 = z, considerando o alfabeto com 23 letras,</p><p>excluindo k,w,y. O número zero representa exclamação. A mensagem</p><p>é lida encontrando M fazendo a correspondência número/letra da ma-</p><p>triz conforme segue m11m12m13m21m22m23m31m32m33. Considere:</p><p>C =</p><p> 1 1 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 2 1</p><p> , D =</p><p> 2 −10 1</p><p>18 38 17</p><p>19 14 0</p><p></p><p>7. Encontre a matriz inversa das seguintes matrizes:</p><p>(a) A =</p><p> 2 −6 4</p><p>4 16 −6</p><p>−1 2 1</p><p></p><p>(b) A =</p><p> 2 1</p><p>2 2</p><p>1 −4 −1</p><p>−1 −2 −2</p><p></p><p>8. Resolva os seguintes sistemas lineares homogêneos:</p><p>(a)</p><p></p><p>x+ 2y − z = 0</p><p>x+ y − z = 0</p><p>2x− 2y − z = 0</p><p>(b)</p><p></p><p>x+ 2y + 3z = 0</p><p>x+ y + z = 0</p><p>x+ y + 2z = 0</p><p>x+ 3y + 3z = 0</p><p>(c)</p><p></p><p>x− 2y + 4z = 0</p><p>2x+ 5y − 3z = 0</p><p>3x− y + 2z = 0</p><p>(d)</p><p></p><p>2x+ 2y = 0</p><p>3x+ 5y = 0</p><p>4x+ 3y + 3z = 0</p><p>9. Encontre a equação da reta interseção dos planos x + 2y − z = 3 e</p><p>2x+ 3y + z = 1. Usando operações elementares.</p><p>10. Ajuste de curva polinomial: determine a função polinomial cujo gráfico</p><p>passa pelos pontos:</p><p>58</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.10. LISTA 2</p><p>(a) (2,5), (3,2), (4,5)</p><p>(b) (2,4), (3,6), (5,10)</p><p>11. Considere a reação qúımica não balanceada Ca+H3PO4 → Ca3P2O8+</p><p>H2, essa equação pode ser balanceada fazendo: xCa + yH3PO4 →</p><p>zCa3P2O8 + wH2. Resolva o sistema e determine o menor número</p><p>inteiro de átomos de Cálcio, Hidrogênio, Fósforo e Oxigênio, com o</p><p>qual ocorre o balanceamento.</p><p>12. Considere a reação qúımica não balanceada C3H8+O2 → CO2+H2O,</p><p>essa equação pode ser balanceada fazendo: xC3H8 + yO2 → zCO2 +</p><p>wH2O. Resolva o sistema correspondente.</p><p>13. (Exerćıcio de aplicação sugerido pelos alunos da turma de Engenha-</p><p>ria Qúımica e Alimentos - FURG 2012) A partir da reação de com-</p><p>bustão do etanol à (d = 0,80g/ml), obtemos o vetor −→v1 (sendo −→v1</p><p>o número de mols de cada substância da reação, respectivamente).</p><p>Com a combustão total para a formação de 1 litro de etanol, obte-</p><p>mos o valor de x relativo ao vetor −→v2 = (x,y,z). Sabendo-se que o</p><p>vetor −→v2 é uma combinação linear de −→v1 , ou seja, −→v2 = α−→v1 , quan-</p><p>tos mols de dióxido de carbono são liberados na formação de 1 li-</p><p>tro de etanol? Dados: H = 1g/mol, C = 12g/mol,O = 16g/mol,</p><p>xC2H6O + yO2 → zCO2 + wH2O</p><p>14. Dona Lize é secretária de uma empresa e recebeu uma lista de compras</p><p>de material de escritório, entre os itens da lista estão canetas. Ela fez</p><p>duas compras de canetas, uma do tipo C1 e outra do tipo C2. Na</p><p>primeira compra ela gastou 36 reais, comprando 4 canetas de cada</p><p>tipo. Na segunda compra ela comprou 2 do tipo C1 e 1 do tipo C2 e</p><p>gastou 16 reais. Qual o preço unitário de cada caneta?</p><p>15. Uma pessoa está organizando uma festa e encomenda 140 caixas de</p><p>suco, 98 empadinhas e 160 brigadeiros. Servirá a cada homem 2 caixas</p><p>de suco, 2 empadinhas e 2 brigadeiros. A cada mulher 5 caixas de suco,</p><p>2 empadinhas e 3 brigadeiros e para as crianças 2 caixas de suco, 2</p><p>empadinhas e 4 brigadeiros. Qual o número de pessoas convidadas</p><p>sabendo que não sobrou nem faltou nada?</p><p>140 caixas de suco 98 empadinhas 160 brigadeiros</p><p>H 2 2 2</p><p>M 5 2 3</p><p>C 2 2 4</p><p>16. Suponha que você fará um lanche, constando de leite desnatado, pudim</p><p>e calzone de frango e que disponha de R$ 1,80. Segundo os nutrici-</p><p>onistas um lanche deve conter 1350 calorias e 66g de protéınas para</p><p>cada 100g dos alimentos citados:</p><p>59</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.10. LISTA 2</p><p>100 gramas Calorias (cal) Protéınas (g) Preço (R$)</p><p>Leite desnatado 25 2 0,10</p><p>Pudim 300 12 0,30</p><p>Calzone de frango 100 14 0,40</p><p>Quais quantidades de cada alimento satisfazem exatamente as condições</p><p>acima?</p><p>60</p><p>IMEF - FURG</p><p>Caṕıtulo 3</p><p>Espaços Vetoriais</p><p>Objetivos principais do caṕıtulo</p><p>� Definir um espaço vetorial e reconhecer alguns espaços vetoriais im-</p><p>portantes.</p><p>� Determinar se um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço.</p><p>� Escrever um vetor como combinação linear de outros vetores.</p><p>� Determinar se um conjunto de vetores em um espaço vetorial é Line-</p><p>armente Independente.</p><p>� Reconhecer bases nos espaços vetoriais.</p><p>3.1 Introdução</p><p>Neste caṕıtulo, vamos estudar o tema principal da Álgebra Linear, que</p><p>é a teoria dos espaços vetoriais.</p><p>Vamos começar o estudo por dois conjuntos, das matrizes e dos vetores.</p><p>Esses conjuntos possuem muito em comum.</p><p>Nesses conjuntos está definida uma operação de adição dotada das pro-</p><p>priedades associativa, comutativa, existência de elemento neutro (matriz</p><p>nula ou vetor nulo) e toda matriz tem uma matriz oposta (idem para os</p><p>vetores). É posśıvel também multiplicar uma matriz ou vetor por um es-</p><p>calar (número real), essa operação satisfaz as propriedades associativa da</p><p>multiplicação por escalar, distributivas e existência do elemento neutro da</p><p>multiplicação por escalar.</p><p>Por eles terem muito em comum, é posśıvel agrupar todos em uma mesma</p><p>classe: a dos espaços vetoriais. A vantagem de agrupar esses conjuntos é</p><p>que podemos estabelecer resultados gerais, que podem ser aplicados a todos</p><p>os elementos desta classe. Os conjuntos que iremos estudar serão postos em</p><p>analogia aos vetores.</p><p>61</p><p>3.2. VETORES</p><p>3.2 Vetores</p><p>Quando medimos algum objeto, estamos usando um tipo de grandeza,</p><p>que possui intensidade, como é o caso de comprimento e massa. No entanto,</p><p>existem outras grandezas como força, que além da intensidade também pos-</p><p>sui uma direção e um sentido, são as grandezas vetoriais.</p><p>Um uso de vetores ocorre no armazenamento de um grande número</p><p>de dados. Vetores são utilizados em economia para facilitar o trabalho de</p><p>análise de dados, por exemplo, podemos armazenar números de negócios</p><p>feitos com as ações de um determinado grupo de empresas, entre valores de</p><p>ações em determinados dias e dos volumes de negócios nesses mesmos dias.</p><p>Esses dados, em forma vetorial, podem ser tratados estatisticamente para</p><p>calcular a média dos valores, correlação entre o valor das ações e o volume</p><p>de negócios.</p><p>Um vetor pode ser interpretado como uma matriz coluna ou matriz linha.</p><p>No entanto sua interpretação geométrica, mostra que um vetor é represen-</p><p>tado por um segmento de reta orientado, caracterizado por duas quantidades</p><p>(comprimento e direção).</p><p>Figura 3.1: Vetor no plano cartesiano</p><p>Um vetor tem seu ponto inicial na origem e seu ponto final em um</p><p>par (x,y) do plano cartesiano, conforme a Figura 3.1. Esse par ordenado</p><p>que representa o ponto final também representa o vetor, u = (x,y), são as</p><p>componentes do vetor. A notação usada para representar vetores pode ser</p><p>u⃗ com o uso de uma seta ou simplesmente u.</p><p>Considerando o vetor u no plano, esse vetor pode ser subdividido em</p><p>dois vetores: vx que possui a mesma direção do eixo Ox e o vetor vy que</p><p>possui a mesma direção do eixo Oy, então o vetor u será a soma dos dois</p><p>vetores u = vx + vy, observe a Figura 3.2.</p><p>62</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.2. VETORES</p><p>Figura 3.2: Decomposição do vetor u</p><p>Vamos introduzir dois vetores da base canônica do plano cartesiano que</p><p>chamamos de i e j, vetores de comprimento igual a 1, onde i representa</p><p>qualquer vetor paralelo ao eixo x e j representa qualquer vetor paralelo ao</p><p>eixo y. Desta forma, o vetor u poderá ser escrito como</p><p>u = vxi+ vyj.</p><p>Figura 3.3: Vetor escrito como combinação linear dos vetores i e j</p><p>Exemplo 3.2.1. Dividindo um vetor em suas componentes e escrevendo-</p><p>o em termos dos vetores i e j, podemos representar qualquer vetor apenas</p><p>especificando os valores de suas componentes vx e vy, isso facilita os cálculos</p><p>com vetores, vejamos alguns exemplos:</p><p>1. vetor v, no plano cartesiano em notação de componentes: v = 4i− 5j</p><p>ou v = (4,−5) ou em notação matricial v =</p><p>(</p><p>4</p><p>−5</p><p>)</p><p>. A representação</p><p>do vetor no plano cartesiano:</p><p>63</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.2. VETORES</p><p>Figura 3.4: Representação geométrica do vetor v no plano cartesiano</p><p>2. vetor w no espaço, em notação de componentes: w = 4i− 5j+ 3k ou</p><p>v = (4, − 5,3) ou em notação matricial v =</p><p> 4</p><p>−5</p><p>3</p><p>. Nesse caso,</p><p>temos o eixo Oz, portanto também introduzimos um terceiro vetor k</p><p>para definir a tripla ordenada de números reais que representa um</p><p>vetor ou ponto no espaço, conforme mostra a Figura 3.5:</p><p>Figura 3.5: Representação do vetor w no espaço</p><p>3.2.1 Operações</p><p>Operações vetoriais básicas: soma de vetores e a multiplicação por esca-</p><p>lar:</p><p>� Soma de vetores: geometricamente o vetor resultante da adição entre</p><p>dois vetores pode ser obtido pela lei do paralelogramo, representada</p><p>pela diagonal do paralelogramo, tendo os vetores como lados adja-</p><p>centes. Para somar dois vetores, somamos suas componentes corres-</p><p>64</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.2. VETORES</p><p>pondentes. Essa operação é dotada de algumas propriedades</p><p>como a</p><p>comutativa, associativa, a existência do elemento neutro aditivo e do</p><p>elemento oposto aditivo para cada vetor.</p><p>u+ v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2,y1 + y2)</p><p>� Multiplicação por escalar: o produto α−→u é obtido multiplicando o</p><p>comprimento do vetor pelo número real α, mantém o mesmo sentido</p><p>se α > 0 ou de sentindo oposto se α < 0. Para multiplicar um escalar</p><p>por um vetor, multiplique cada uma das componentes do vetor pelo</p><p>escalar. Esta operação também satisfaz algumas propriedades como a</p><p>associativa da multiplicação, distributiva e elemento neutro multipli-</p><p>cativo.</p><p>αu = α(x1,y1) = (αx1,αy1)</p><p>A soma de vetores e a multiplicação por escalar compartilham muitas</p><p>propriedades com a soma de matrizes e a multiplicação por escalar de</p><p>matrizes.</p><p>3.2.2 Quanto a visualização dos espaços</p><p>� O conjunto dos números reais pode ser visto geometricamente como</p><p>uma reta, a reta real, R.</p><p>� O conjunto de todos os pares ordenados de números reais, corres-</p><p>pondentes a pontos no espaço bidimensional e o de todas as ternas</p><p>ordenada s de números reais, correspondentes a pontos no espaço tri-</p><p>dimensional são denotados por R2 e R3 respectivamente.</p><p>� É posśıvel estender a ideia para o espaço de dimensão n (espaço n-</p><p>dimensional) Rn, constitúıdo por n-uplas ordenadas, que é o produto</p><p>cartesiano de n cópias da reta real R. A diferença entre esse casos é</p><p>que para n ≥ 4 não se dispõe de uma representação geométrica. Neste</p><p>caso, perdemos a visão geométrica de vetores, pois sáımos do espaço</p><p>tridimensional e passamos para um espaço n-dimensional. Não exis-</p><p>tindo representação geométrica para os pontos de Rn, tratamos alge-</p><p>bricamente, sem o recurso de visualização geométrica. Mas, é posśıvel</p><p>trabalhar com estes espaços da mesma maneira que em R3.</p><p>Exemplo 3.2.2. Vetor com n-uplas de números reais:</p><p>V = Rn = {(x1,x2,x3, · · · ,xn)/1,x2,x3, · · · ,xn ∈ R}.</p><p>65</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.2. VETORES</p><p>Exemplo 3.2.3. Vejamos alguns exemplos.</p><p>� Ao realizarmos uma série de experimentos e tomarmos n medições</p><p>numéricas a cada realização do experimento, temos um vetor com n</p><p>elementos v = (x1,x2,x3, · · · ,xn);</p><p>� Se uma empresa possui n postos de distribuição de cargas, em cada</p><p>instante de tempo a distribuição dos caminhões nos terminais pode ser</p><p>descrita pelas n-uplas, v = (x1,x2,x3, · · · ,xn);</p><p>� Podemos associar as imagens coloridas nas telas com cada pixel e três</p><p>números que descrevem o matiz, a saturação e o brilho, assim a imagem</p><p>pode ser vista como um vetor com 5-uplas v = (x,y,h,s,b);</p><p>� Na F́ısica, um vetor de R4: os quaternos (x,y,z,t), onde os três pri-</p><p>meiros termos representam as coordenadas, a posição no espaço e a</p><p>última representa o instante t em que o ponto ocupa tal posição.</p><p>3.2.3 Quanto as propriedades da soma de vetores e multi-</p><p>plicação por escalar</p><p>As operações válidas no espaço n-dimensional (Rn), são as mesmas dos</p><p>espaços bidimensional e tridimensional (R2 e R3, respectivamente). A ideia</p><p>é estender o conceito de vetor usando as propriedades algébricas mais impor-</p><p>tantes dos vetores como axiomas, que quando satisfeitos por um conjunto</p><p>de objetos, nos permitirão pensar nesses objetos como vetores. Vale res-</p><p>saltar que essas operações (adição e multiplicação por escalar) satisfazem</p><p>determinadas propriedades, que são as mesmas operações dos conjuntos de</p><p>matrizes, pois eles apresentam a mesma coincidência estrutural.</p><p>Definição 8. Definições de soma de vetores e multiplicação por</p><p>escalar em Rn</p><p>Considerando u = (x1,x2,x3, · · · ,xn) e v = (y1,y2,y3, · · · ,yn) vetores em</p><p>Rn e α um escalar em R:</p><p>definimos a soma de u e v sendo o vetor</p><p>u+ v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3, · · · ,xn + yn) ∈ Rn</p><p>e o múltiplo escalar de u por α o vetor</p><p>αu = (αx1,αx2,αx3, · · · ,αxn) ∈ Rn.</p><p>Como espaço bidimensional, o oposto de um vetor em Rn é</p><p>−u = (−x1,− x2,− x3, · · · ,− xn).</p><p>66</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>O vetor nulo em Rn é denotado por</p><p>0 = (0,0,0, · · · , 0).</p><p>Estas operações são chamadas de operações usuais entre vetores no Rn.</p><p>3.3 Espaços Vetoriais</p><p>Como já definimos Rn e comentamos sobre as propriedades básicas, va-</p><p>mos agora analisar sua estrutura básica. O conceito de espaço vetorial apa-</p><p>rece em algumas aplicações na matemática. Ao estudar as propriedades e a</p><p>estrutura do espaço vetorial, estudamos não só as propriedades do Rn, mas</p><p>também de outros espaços importantes. Nesta seção, vamos introduzir a</p><p>definição de espaço vetorial.</p><p>Definição 9. Seja um conjunto V , não-vazio, de objetos chamados vetores</p><p>no qual estão definidas duas operações:</p><p>Soma: u+ v (onde u,v e u+ v ∈ V )</p><p>Se u e v são objetos em V , então u+ v é um objeto em V .</p><p>Multiplicação por escalar: αu (onde α ∈ R e u, αu ∈ V )</p><p>A cada escalar α e a cada objeto u em V , αu é denominado múltiplo escalar</p><p>de u por α em V .</p><p>Será chamado de espaço vetorial se são satisfeitas:</p><p>A. Em relação à adição: Está definida uma adição em V que associa</p><p>a cada par de elementos u e v um único elemento em V , indicado</p><p>por u+ v e chamado de soma de u com v. Esta operação satisfaz as</p><p>seguintes propriedades, ∀u,v,w ∈ V :</p><p>A1. (u+ v) +w = u+ (v+w) (Propriedade Associativa)</p><p>A2. u+ v = v+ u (Propriedade Comutativa)</p><p>A3. Existência do elemento neutro 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u</p><p>A4. Para cada u ∈ V,∃(−u) ∈ V tal que u + (−u) = 0. Denominados</p><p>(−u) por elemento simétrico de u.</p><p>M. Em relação à multiplicação: Está definida uma multiplicação por</p><p>escalar em V que associa a cada escalar α ∈ R e a cada elemento</p><p>v ∈ V um único vetor αv ∈ V . Esta operação satisfaz as seguintes</p><p>propriedades, ∀α, β ∈ R e ∀u,v ∈ V :</p><p>67</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>M1. Existe um escalar em R, denotado por 1, tal que, 1u = u (Elemento</p><p>neutro da multiplicação por escalar)</p><p>M2. (αβ)u = α(βu) (Propriedade Associativa)</p><p>M3. (α+ β)u = αu+ βu (Propriedade Distributiva)</p><p>M4. α(u+ v) = αu+ αv (Propriedade Distributiva)</p><p>Então, V é um espaço vetorial real.</p><p>Consequências imediatas da definição:</p><p>� Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição);</p><p>� Cada vetor em V admite apenas um simétrico: u ∈ V , então (−u) ∈</p><p>V .</p><p>Observações:</p><p>� Os elementos u, v ∈ V são chamados vetores. A justificativa está</p><p>no fato de as operações de adição e multiplicação por escalar realizada</p><p>com esses elementos (conjuntos) de natureza tão distinta se comportam</p><p>de forma idêntica como se estivéssemos trabalhando com os próprios</p><p>vetores do Rn.</p><p>� Esta definição de Espaço Vetorial não especifica nem a natureza dos</p><p>vetores, nem das operações. Qualquer tipo de objeto pode ser um</p><p>vetor, e as operações de adição e multiplicação por escalar podem não</p><p>ter relação alguma com as operações usuais. A exigência é que os</p><p>axiomas sejam satisfeitos.</p><p>� A partir de agora usaremos a palavra vetor para designar um elemento</p><p>de um espaço vetorial.</p><p>Exemplo 3.3.1. A seguir temos uma lista de espaços vetoriais importantes.</p><p>As operações são as usuais em cada caso.</p><p>� R = conjunto de todos os números reais</p><p>� R2 = {(x,y);x,y ∈ R} conjunto de todos os pares ordenados</p><p>� R3 = {(x,y,z);x,y,z ∈ R} conjunto de todas as triplas ordenadas</p><p>� Rn = {(x1,x2,x3, · · · ,xn)/x1,x2,x3, · · · ,xn ∈ R} conjunto de todas as</p><p>n-uplas</p><p>� C(−∞,∞) = {f : R → R/f é cont́ınua} conjunto de todas as funções</p><p>cont́ınuas definidas na reta real</p><p>68</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>� Pn = {a0 + a1x+ · · ·+ anx</p><p>n; ai ∈ R} conjunto de todos os polinômios</p><p>de grau ⩽ n (juntamente com o polinômio nulo)</p><p>� P = conjunto de todos os polinômios</p><p>� Mn,n = conjunto de todas as matrizes quadradas n× n</p><p>� Mm,n = conjunto de todas as matrizes m× n</p><p>� Também são considerados espaços vetoriais toda reta (no plano ou no</p><p>espaço) que passa pela origem. E, todo plano que passa pela origem</p><p>do R3.</p><p>Na sequência, vamos exemplificar de que forma verificamos as proprie-</p><p>dades de espaços vetoriais:</p><p>Exemplo 3.3.2. Mostre que R2 = {(x,y);x,y ∈ R} é um espaço vetorial</p><p>real, com relação as operações usuais:</p><p>Dados u = (x1,y1) e v = (x2,y2) ∈ R2, então</p><p>(x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2,y1 + y2)</p><p>α(x1,y1) = (αx1,αy1)</p><p>Note que, um par ordenado pode ser um ponto ou um vetor no plano.</p><p>Solução: Para verificar as propriedades do espaço vetorial, vamos con-</p><p>siderar três vetores genéricos: u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3) ∈ R2</p><p>e α, β ∈ R:</p><p>69</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>A1. (u+ v) +w = u+ (v+w), pois</p><p>(u+ v) +w = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3))</p><p>= (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)</p><p>= ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3)</p><p>= (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3))</p><p>= (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))</p><p>= u+ (v+w)</p><p>A2. u+ v = v+ u, pois</p><p>u+ v = (x1, y1) + (x2, y2)</p><p>= (x1 + x2, y1 + y2)</p><p>= (x2 + x1, y2 + y1)</p><p>= (x2, y2) + (x1, y1)</p><p>= v+ u</p><p>A3. Existe 0 = (0,0) ∈ R2 tal que u+ 0 = u, pois</p><p>u+ 0 = (x1, y1) + (0,0)</p><p>= (x1 + 0, y1 + 0)</p><p>= (x1, y1)</p><p>= u</p><p>A4. Existe (−u) = (−x1,− y1) ∈ R2 tal que u+ (−u) = 0, pois</p><p>u+ (−u) = (x1, y1) + (−x1,−y1)</p><p>= (x1 − x1, y1 − y1)</p><p>= (0,0)</p><p>M1. 1 ∈ R tal que 1u = u, pois</p><p>1u = 1(x1, y1)</p><p>= (x1, y1)</p><p>= u</p><p>M2. (αβ)u = α(βu), pois</p><p>(αβ)u = ((αβ)x1, (αβ)y1)</p><p>= (α(βx1), α(βy1))</p><p>= α(βx1, βy1)</p><p>= α(β(x1, y1))</p><p>= α(βu)</p><p>70</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>M3. (α+ β)u = αu+ βu, pois</p><p>(α+ β)u = (α+ β)(x1, y1)</p><p>= ((α+ β)x1, (α+ β)y1)</p><p>= (αx1 + βx1, αy1 + βy1)</p><p>= (αx1, αy1) + (βx1, βy1)</p><p>= α(x1, y1) + β(x1, y1)</p><p>= αu+ βu</p><p>M4. α(u+ v) = αu+ αv</p><p>α(u+ v) = α((x1, y1) + (x2, y2))</p><p>= α(x1 + x2, y1 + y2)</p><p>= (αx1 + αx2, αy1 + αy2)</p><p>= (αx1, αy1) + (αx2, αy2)</p><p>= α(x1, y1) + α(x2, y2)</p><p>= αu+ αv.</p><p>Observação: Os śımbolos ⊕ e ⊙ são utilizados para indicar que a adição</p><p>e a multiplicação por escalar não são as usuais.</p><p>Exemplo 3.3.3. Exemplo de um conjunto que não é um espaço</p><p>vetorial. Mostre que o conjunto R2 = {(a,b)/a,b ∈ R} não é um espaço</p><p>vetorial com relação as seguintes operações:</p><p>(a,b) + (c,d) = (a+ c,b+ d)</p><p>k ⊙ (a,b) = (k2a,k2b),</p><p>para todos (a,b), (c,d) ∈ R2 e k ∈ R.</p><p>Solução: Inicialmente, observe que a operação de adição é a usual,</p><p>portanto as propriedades da adição são satisfeitas.</p><p>Dessa forma, vamos somente analisar os axiomas da multiplicação: con-</p><p>sideremos u = (a,b) ∈ R2 e α, β ∈ R, logo</p><p>M1. Existe 1 ∈ R tal que 1⊙ (a,b) = (1a,1b) = (a,b).</p><p>M2. (αβ)⊙ u = α⊙ (β ⊙ u), pois</p><p>(αβ)⊙ (a,b) = ((αβ)2a, (αβ)2b)</p><p>= (α2(β2a), α2(β2b))</p><p>= α⊙ (β2a, β2b)</p><p>= α⊙ (β ⊙ (a, b))</p><p>71</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>M3. (α+ β)⊙ u ̸= α⊙ u+ β ⊙ u, pois</p><p>(α+ β)⊙ (a,b) = ((α+ β)2a,(α+ β)2b)</p><p≯= (α2a, α2b) + (β2a,β2b)</p><p>= α⊙ u+ β ⊙ u.</p><p>Portanto, falha o axioma M3, ou seja, R2 com essas operações não é</p><p>espaço vetorial.</p><p>Exemplo 3.3.4. Exemplo de um conjunto com operação não usual,</p><p>que é espaço vetorial. Verifique que o conjunto V = {(x,x2) ∈ R2/x ∈</p><p>R}, com relação as seguintes operações:</p><p>(x,x2)⊕ (y,y2) = (x+ y, (x+ y)2)</p><p>k ⊙ (x,x2) = (kx,k2x2) = (kx,(kx)2),</p><p>para todos (x,x2), (y,y2) ∈ V e k ∈ R é espaço vetorial.</p><p>Solução: Para verificar as propriedades do espaço vetorial, vamos con-</p><p>siderar três vetores genéricos: u = (x, x2), v = (y, y2), w = (z, z2) ∈ V e</p><p>α, β ∈ R:</p><p>A1. (u⊕ v)⊕w = u⊕ (v⊕w), pois</p><p>((x, x2)⊕ (y, y2))⊕ (z, z2) = (x+ y, (x+ y)2)⊕ (z, z2)</p><p>= ((x+ y) + z, ((x+ y) + z)2)</p><p>= (x+ (y + z), (x+ (y + z))2)</p><p>= (x, x2)⊕ (y + z, (y + z)2)</p><p>= (x, x2)⊕ ((y, y2)⊕ (z, z2))</p><p>A2. u⊕ v = v⊕ u, pois</p><p>(x, x2)⊕ (y, y2) = (x+ y, (x+ y)2)</p><p>= (y + x, (y + x)2)</p><p>= (y, y2)⊕ (x, x2)</p><p>A3. Existe 0 = (0,0) = (0,02) ∈ V tal que u+ 0 = u, pois</p><p>(x, x2)⊕ (0,0) = (x+ 0, (x+ 0)2)</p><p>= (x, x2)</p><p>A4. Existe (−u) = (−x, (−x)2) ∈ V tal que u+ (−u) = 0, pois</p><p>(x, x2)⊕ (−x, (−x)2) = (x− x, (x− x)2)</p><p>= (0,0)</p><p>72</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.3. ESPAÇOS VETORIAIS</p><p>M1. 1 ∈ R tal que 1⊙ u = u, pois</p><p>1⊙ (x, x2) = (1x, 12x2)</p><p>= (x, x2)</p><p>M2. (αβ)⊙ u = α⊙ (β ⊙ u), pois</p><p>(αβ)⊙ (x, x2) = ((αβ)x, (αβ)2x2)</p><p>= (α(βx), α2(β2x2))</p><p>= α⊙ (βx, β2x2)</p><p>= α⊙ (β ⊙ (x, x2))</p><p>M3. (α+ β)⊙ u = α⊙ u⊕ β ⊙ u, pois</p><p>(α+ β)⊙ (x, x2) = ((α+ β)x, (α+ β)2x2)</p><p>= (αx+ βx, ((α+ β)x)2)</p><p>= (αx+ βx, (αx+ βx)2)</p><p>= (αx,(αx)2)⊕ (βx, (βx)2)</p><p>= α⊙ (x, x2)⊕ β ⊙ (x, x2)</p><p>M4. α⊙ (u⊕ v) = α⊙ u⊕ α⊙ v</p><p>α⊙ ((x, x2)⊕ (y, y2)) = α⊙ (x+ y, (x+ y)2)</p><p>= (α(x+ y), α2(x+ y)2)</p><p>= (αx+ αy, (αx+ αy)2)</p><p>= (αx, (αx)2)⊕ (αy, (αy)2)</p><p>= α⊙ (x, x2)⊕ α⊙ (y, y2).</p><p>Portanto, V é espaço vetorial.</p><p>3.3.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais:</p><p>a. V é o conjunto de todas as matrizes 2× 2 ,</p><p>[</p><p>c d</p><p>a b</p><p>]</p><p>onde c = d.</p><p>b. V é o conjunto de todas as matrizes de ordem 3× 1.</p><p>c. O conjunto de todas as triplas ordenadas (x,y,z) de números re-</p><p>ais com as operações (x1,y1,z1) ⊕ (x2,y2,z2) = (x2,y1 + y2,z2) e</p><p>α(x1,y1,z1) = (αx1, αy1, αz1).</p><p>d. O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais da</p><p>forma (x,0,0) com as operações (x,0,0) + (x′,0,0) = (x+ x′,0,0) e</p><p>α(x,0,0) = (αx,0,0).</p><p>73</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.4. SUBESPAÇO VETORIAL</p><p>e. R2 = {(a,b)/a,b ∈ R}, com a operação usual de adição, mas com</p><p>a multiplicação por um escalar definida como β⊙ (x,y) = (x, βy).</p><p>2. Seja V o segundo quadrante do plano xy, isto é, seja V = {(x,y) : x ≤</p><p>0, y ≥ 0}. Se u e v estão em V, será que u+ v está em V ? Justifique</p><p>sua resposta.</p><p>3. Nos itens abaixo, descreva o vetor nulo (o elemento neutro da soma)</p><p>do espaço vetorial:</p><p>(a) R4</p><p>(b) M3,4</p><p>4. Nos itens abaixo, descreva o elemento oposto de um vetor no espaço</p><p>vetorial:</p><p>(a) R3</p><p>(b) M3,4</p><p>(c) P4</p><p>5. Verifique se o conjunto C = {a+ bi/a,b ∈ R} dos números complexos</p><p>(i =</p><p>√</p><p>−1) é um espaço vetorial com as operações usuais, ou seja,</p><p>(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i</p><p>α(a+ bi) = αa+ (αb)i.</p><p>Respostas: 1: São espaços vetoriais: (a), (b), (d). 3. (a) 0 = (0,0,0,0), (b)</p><p>0 =</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p>0 0 0 0</p><p>. 4. (a) −u = (−x,− y,− z).</p><p>3.4 Subespaço Vetorial</p><p>Em algumas aplicações de álgebra linear, espaços vetoriais ocorrem como</p><p>subespaço de espaços maiores. Um exemplo, é o conjunto solução de um</p><p>sistema homogêneo de equações lineares em n variáveis é um subespaço de</p><p>Rn.</p><p>Um subconjunto não vazio de um espaço vetorial é um subespaço quando</p><p>é um espaço vetorial com as mesmas operações definidas no espaço vetorial</p><p>original.</p><p>Definição 10. Dado um espaço vetorial V , um subconjunto S, não vazio,</p><p>será um subespaço vetorial de V se:</p><p>a. Para quaisquer u, v ∈ S, tivermos u+ v ∈ S</p><p>74</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.4. SUBESPAÇO VETORIAL</p><p>b. Para quaisquer α ∈ R,u ∈ S, tivermos αu ∈ S</p><p>c. O vetor nulo 0 ∈ S.</p><p>Se um subconjunto S for parte de um espaço vetorial V conhecido, certos</p><p>axiomas não precisam ser verificados pois eles são herdados do conjunto V .</p><p>Exemplo 3.4.1. Um subespaço de R2. Seja S = {(x,y) ∈ R2; y =</p><p>kx e k ∈ R} = {(x,kx) ∈ R2}, uma reta que passa na origem. Então, S é</p><p>um subespaço vetorial do R2. Em particular, considere S = {(x,y) ∈ R2; y =</p><p>3x}.</p><p>Solução: Sejam u = (x1,3x1) e v = (x2,3x2) ∈ S, logo</p><p>(x1,3x1) + (x2,3x2) = (x1 + x2,3x1 + 3x2) = (x1 + x2,3(x1 + x2)) ∈ S</p><p>λ(x1,3x1) = (λx1,λ3x1) = (λx1,3λx1) ∈ S</p><p>Além disso, considerando o escalar λ = 0, temos que o vetor nulo (0,0) ∈ S.</p><p>Observe que se considerarmos dois vetores da reta, o vetor soma ainda é</p><p>da reta e se multiplicarmos o vetor por um escalar, o vetor resultante ainda</p><p>estará na reta.</p><p>Proposição 1. Se S é um subespaço vetorial V , então S também é um</p><p>espaço vetorial sobre R.</p><p>Exemplo 3.4.2. Um subconjunto de R2 que não é subespaço. Quando</p><p>a reta não passa na origem, por exemplo,</p><p>S = {(x,6− 3x);x ∈ R},</p><p>então o conjunto S não é um subespaço vetorial do R2.</p><p>75</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.4. SUBESPAÇO VETORIAL</p><p>Solução: Para ser espaço vetorial o vetor nulo (0,0) ∈ R2 precisa per-</p><p>tencer ao conjunto S, ou seja, (x,6−3x) = (0,0). Dessa forma, da igualdade</p><p>de vetores temos que x = 0 e ao mesmo tempo 6 − 3x = 0, o que é um</p><p>absurdo!!!! Portanto, S não é um subespaço vetorial de R2.</p><p>Exemplo 3.4.3. Verifique se o conjunto S = {(x,x2) ∈ R2/x ∈ R} é um</p><p>subespaço vetorial do R2 (operações usuais).</p><p>Solução: Inicialmente, observamos que escolhendo x = 0 temos que o</p><p>vetor nulo (0,0) ∈ S. Mas, considerando u</p><p>= (x, x2) e v = (y, y2) ∈ S,</p><p>u+ v = (x, x2) + (y, y2) = (x+ y, x2 + y2) ̸= (x+ y, (x+ y)2),</p><p>ou seja, u+ v /∈ S. Portanto, S não é um subespaço vetorial.</p><p>Observações:</p><p>• As condições do subespaço garantem que ao operar vetores em S não</p><p>obteremos vetores fora de S.</p><p>• Sendo válidas as condições citadas em S, os oito axiomas de espaço</p><p>vetorial também se verificam.</p><p>• Todo espaço vetorial V admite, pelo menos, dois subespaços, o próprio</p><p>espaço vetorial S = V . E S = {0} o subespaço zero. Estes subespaços</p><p>são chamados de subespaços triviais de V .</p><p>3.4.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Seja S = {(x,y,z) ∈ R3;x + y = 0}, verificar se S é um subespaço</p><p>vetorial.</p><p>2. Seja S = M2×3R =</p><p>{[</p><p>0 a b</p><p>0 a d</p><p>]</p><p>; a,b,d ∈ R</p><p>}</p><p>, o conjunto das matrizes</p><p>de ordem 2× 3, onde a primeira coluna todos os elementos são nulos.</p><p>S é um subespaço vetorial?</p><p>76</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.4. SUBESPAÇO VETORIAL</p><p>3. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de R3.</p><p>(a) Todos os vetores da forma (x,0,0).</p><p>(b) Todos os vetores da forma (x,1,1).</p><p>(c) Todos os vetores da forma (a,b,c), onde b = a+ c.</p><p>4. Dados os conjuntos a seguir, verificar quais são subespaços em relação</p><p>às operações de adição e multiplicação por um escalar:</p><p>a. S = {(x,y,z) ∈ R3;x = 6y e z = 0}</p><p>b. S = {(x,y,z) ∈ R3;x = z2}</p><p>c. S = {(x,y,z) ∈ R3; y = x+ 2 e z = 0}</p><p>d. S = {(x,x,x) ∈ R3;x ∈ R}</p><p>e. S =</p><p>{[</p><p>a b</p><p>b c</p><p>]</p><p>; a,b,c ∈ R</p><p>}</p><p>, conjunto das matrizes simétricas.</p><p>f. W =</p><p></p><p> b</p><p>−b</p><p>2b</p><p> ; b ∈ R</p><p></p><p>5. Determine se o conjunto dado é um subespaço de Pn para um valor</p><p>apropriado de n:</p><p>a. Todos os polinômios da forma p(t) = at2 com a ∈ R.</p><p>b. Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes in-</p><p>teiros.</p><p>Resposta: São subespaços os exerćıcios de número 1, 2, 3: (a) e (c); 4: a,d,e,f</p><p>e 5: a.</p><p>3.4.2 Interseção de subespaços vetoriais</p><p>Como espaços vetoriais são conjuntos, a interseção de dois subespaços</p><p>vetoriais do mesmo espaço vetorial V é também um subespaço vetorial de</p><p>V .</p><p>Em outras palavras, sejam U e W dois subespaços vetoriais de V . A</p><p>interseção de U e W , é representada por U ∩ W , onde U ∩ W = {v ∈</p><p>V ; v ∈ U e v ∈ W}. Dessa forma, U ∩W é um subespaço vetorial.</p><p>Note que, o conjunto interseção não é vazio pois cada um desses su-</p><p>bespaços contém o vetor nulo, então a interseção também possui o vetor</p><p>nulo.</p><p>Mas, a união de dois subespaços não é necessariamente um subespaço</p><p>de V .</p><p>77</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.4. SUBESPAÇO VETORIAL</p><p>3.4.3 Soma de subespaços vetoriais:</p><p>Considere U e W dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . A</p><p>soma de U e W , representada por U +W , é definida como o conjunto cujos</p><p>elementos são as somas de um elemento u ∈ U e um elemento de w ∈ W ou</p><p>seja,</p><p>U +W = {u+ w/u ∈ U e w ∈ W}.</p><p>3.4.4 Soma direta de subespaços vetoriais:</p><p>Considere agora dois subespaços vetoriais que não tem elementos em</p><p>comum tais que a soma deles seja o espaço vetorial do qual eles são su-</p><p>bespaços. Dizemos, que o espaço vetorial em questão é a soma direta de</p><p>seus subespaços.</p><p>Dados U e W dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V , a soma</p><p>direta de U e W, denotada por V = U ⊕W , se V = U +W e U ∩W = {0}.</p><p>Exemplo 3.4.4. Considere S1 = {(x,y,0);x,y, ∈ R} e S2 = {(0,0,z); z ∈ R}</p><p>dois subespaços vetoriais do R3, então R3 = S1 ⊕ S2.</p><p>Solução: Note que, qualquer vetor (x,y,z) ∈ R3 pode ser escrito da</p><p>seguinte forma:</p><p>(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z) ∈ S1 + S2.</p><p>Além disso, S1 ∩ S2 é o vetor nulo (0,0,0) ∈ R3. Portanto, R3 = S1 ⊕ S2.</p><p>3.4.5 Agora tente resolver!</p><p>1. Considere U e W dois subespaços vetoriais de V . Verifique que U+W</p><p>também é um subespaço vetorial de V .</p><p>78</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.5. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>3.5 Combinação Linear</p><p>Seguindo nosso estudo de espaços vetoriais, vamos analisar como cons-</p><p>truir um espaço vetorial a partir de elementos desse espaço. Desta forma,</p><p>usamos os conceitos de combinações lineares e de espaços vetoriais gerados.</p><p>Será útil sob diversos aspectos que possamos construir um elemento de</p><p>determinado conjunto a partir de outros. Um exemplo são os vetores que</p><p>podem ser constrúıdos a partir dos vetores i = (1,0) e j = (0,1), escrevendo</p><p>u = vxi+ vyj, onde vx e vy ∈ R.</p><p>Observando a Figura 3.6 mais a esquerda constrúımos o vetor u = (4,−</p><p>2), a partir da combinação u = 4i − 2j. Mas observamos que o mesmo</p><p>vetor pode ser escrito como combinação linear de dois vetores v e w, então</p><p>u = v + w, onde v = (2,4) e w = (2, − 6), conforme a Figura 3.6 mais a</p><p>direita.</p><p>Figura 3.6: Vetor u escrito como combinação linear</p><p>Consideremos então, dois ou mais vetores de um espaço vetorial, esses</p><p>vetores podem ser combinados usando-se as duas operações do espaço veto-</p><p>rial: adição e multiplicação por um escalar.</p><p>Definição 11. Sejam V um espaço vetorial real e v1, v2,..., vn vetores em</p><p>V . Um vetor v ∈ V é uma combinação linear de v1, v2,..., vn quando pode</p><p>ser escrito na forma</p><p>v =</p><p>∑n</p><p>i=1 αivi = α1v1 + α2v2...+ αnvn</p><p>onde α1, α2,..., αn são escalares.</p><p>Exemplo 3.5.1. Todo vetor em R2 é uma combinação linear dos vetores</p><p>i = (1,0) e j = (0,1).</p><p>Solução: Considerando um vetor qualquer (a,b) ∈ R2, temos</p><p>(a,b) = a(1,0) + b(0,1).</p><p>79</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.5. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo 3.5.2. Todo vetor em R3 é uma combinação linear dos vetores</p><p>i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1).</p><p>Solução: Considerando um vetor qualquer (a,b,c) ∈ R3, temos</p><p>(a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1).</p><p>O próximo exemplo mostra como determinar uma combinação linear.</p><p>Exemplo 3.5.3. (Determinação de uma combinação linear.) Escre-</p><p>ver o vetor v = (4,2,9) ∈ R3 como combinação linear dos vetores no conjunto</p><p>S : {v1 = (2,1,3), v2 = (1,0,3), v3 = (1,0,0)}.</p><p>Solução: Procuramos escalares a,b,c tais que: v = av1 + bv2 + cv3 ,</p><p>sendo assim:</p><p>(4,2,9) = a(2,1,3) + b(1,0,3) + c(1,0,0)</p><p>= (2a,a,3a) + (b,0,3b) + (c,0,0)</p><p>= (2a+ b+ c, a, 3a+ 3b).</p><p>Ao igualar as componentes correspondentes dos vetores acima obtemos</p><p>o seguinte sistema de equações lineares:</p><p>2a+ b+ c = 4</p><p>a = 2</p><p>3a+ 3b = 9</p><p>Resolvendo o sistema temos: a = 2, b = 1, c = −1, portanto o vetor v pode</p><p>ser escrito da seguinte forma</p><p>v = 2v1 + v2 − v3.</p><p>Exemplo 3.5.4. O vetor v = (1, 1, 2) ∈ R3 não é uma combinação</p><p>linear dos vetores v1 = (1, 0, 1) e v2 = (2, 1, 1).</p><p>Solução: Seguindo o mesmo procedimento anterior, procuramos escala-</p><p>res a e b tais que: v = av1 + bv2, então:</p><p>(1,1,2) = a(1,0,1) + b(2,1,1)</p><p>= (a,0,a) + (2b,b,b)</p><p>= (a+ 2b,b,a+ b).</p><p>Ao igualar as componentes correspondentes dos vetores acima obtemos</p><p>o seguinte sistema de equações lineares:</p><p>a+ 2b = 1</p><p>b = 1</p><p>a+ b = 2</p><p>80</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.5. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Não existe solução que satisfaça o sistema, pois pela equação 2: b = 1,</p><p>substituindo na equação 3, temos:</p><p>a+ 1 = 2 ⇔ a = 1</p><p>mas se a = 1 a equação 1 não será satisfeita: 1 + 2(1) = 1, o que não é</p><p>verdade pois 3 ̸= 1, então o sistema não tem solução e, portanto o vetor v</p><p>não pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados.</p><p>Exemplo 3.5.5. (Determinação de uma combinação linear.) Es-</p><p>creva o vetor v = (−3,15,18) como combinação linear dos vetores do con-</p><p>juntos S = {u1 = (2,0,7), u2 = (2,4,5), u3 = (2,− 12,13)}, se posśıvel.</p><p>Solução: Precisamos determinar escalares a, b, c tais que : v = au1 +</p><p>bu2 + cu3 , sendo assim:</p><p>(−3,15,18) = a(2,0,7) + b(2,4,5) + c(2,− 12,13)</p><p>= (2a,0,7a) + (2b,4b,5b) + (2c,− 12c,13c)</p><p>= (2a+ 2b+ 2c, 4b− 12c, 7a+ 5b+ 13c).</p><p>Ao igualar as componentes correspondentes dos vetores acima obtemos</p><p>o seguinte sistema de equações lineares:</p><p>2a+ 2b+ 2c = −3</p><p>4b− 12c = 15</p><p>7a+ 5b+ 13c = 18</p><p>Escrevendo esse sistema na forma de matriz ampliada, podemos resolver</p><p>pelo método do escalonamento:2 2 2 −3</p><p>0 4 −12 15</p><p>7 5 13 18</p><p></p><p>� L1 ↔ 1</p><p>2L1</p><p>� L3 ↔ L3 − 7L1</p><p>1 1 1 −3</p><p>2</p><p>0 4 −12 15</p><p>0 −2 6 57</p><p>2</p><p></p><p>� L2 ↔ 1</p><p>4L2</p><p>� L3 ↔ L3 + 2L2</p><p>81</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.5. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>1 1 1 −3</p><p>2</p><p>0 1 3 15</p><p>4</p><p>0 0 0 36</p><p></p><p>Observando a terceira linha, podemos concluir que o sistema</p><p>de equações é</p><p>inconsistente, o que significa que não há nenhum solução. De modo que, o</p><p>vetor v não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.</p><p>Exemplo 3.5.6. Verifique se v = (3, − 2,4) é uma combinação linear de</p><p>u1 = (1,0,− 1), u2 = (2,1,− 4), u3 = (−2,0,2).</p><p>Solução: Se v for combinação linear dos vetores u1, u2, u3, então po-</p><p>demos escrever v = au1 + bu2 + cu3, onde a, b, c ∈ R. Reescrevendo esta</p><p>expressão</p><p>(3,− 2,4) = a(1,0,− 1) + b(2,1,− 4) + c(−2,0,2) ⇔</p><p></p><p>a+ 2b− 2c = 3</p><p>b = −2</p><p>−a− 4b+ 2c = 4</p><p>O determinante da matriz dos coeficientes desse sistema fica∣∣∣∣∣∣</p><p>1 2 −2</p><p>0 1 0</p><p>−1 −4 2</p><p>∣∣∣∣∣∣ = (2)− (2) = 0</p><p>de modo que não existe solução única para esse sistema de equações,</p><p>portanto v não é uma combinação linear de u1, u2, u3.</p><p>Exemplo 3.5.7. Álgebra Linear Aplicada. Modelos de cores nas telas</p><p>de computadores.</p><p>As cores nas telas de computadores costumam ter por base o chamado</p><p>modelo RGB. As cores são criadas juntando porcentagens de três cores</p><p>primárias: vermelho, verde e azul, conhecidas como cores aditivas primárias.</p><p>Podemos identificar as cores primárias como vetores e criar outras a partir</p><p>de uma combinação linear entre elas.</p><p>82</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.5. COMBINAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo 3.5.8. (Uma combinação linear de matrizes.) A matriz</p><p>A =</p><p>[</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>]</p><p>é uma combinação linear das matrizes</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Solução: Note que, podemos escrever a matriz A da seguinte forma:[</p><p>2 3</p><p>1 4</p><p>]</p><p>= 2</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>+ 3</p><p>[</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>+ 1</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>]</p><p>+ 4</p><p>[</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>3.5.1 Agora tente resolver!</p><p>1. O vetor b =</p><p>11</p><p>−5</p><p>9</p><p>, é uma combinação linear dos vetores u =</p><p>10</p><p>1</p><p>,</p><p>v =</p><p>−2</p><p>3</p><p>−2</p><p> e w =</p><p>−6</p><p>7</p><p>5</p><p>?</p><p>2. V = M2(R) e considere:</p><p>v =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>1 1</p><p>]</p><p>, u =</p><p>[</p><p>−1 2</p><p>0 1</p><p>]</p><p>e w =</p><p>[</p><p>0 −1</p><p>2 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Escrever o vetor y =</p><p>[</p><p>1 8</p><p>0 5</p><p>]</p><p>como combinação de v,u,w.</p><p>3. Expressar o polinômio v = t2+4t−3 sobre R como combinação linear</p><p>dos polinômios p1 = t2 − 2t+ 5; p2 = 2t2 − 3t; p3 = t+ 3.</p><p>4. Expressar o polinômio v = t2+6t−10 sobre R como combinação linear</p><p>dos polinômios p1 = t2 − 2t+ 5; p2 = 2t2 − 3t; p3 = t+ 3.</p><p>5. Escreva o vetor nulo O ∈ R2 como combinação linear dos vetores</p><p>u = (2,1) e v = (2,3).</p><p>6. Verifique se o vetor u é uma combinação linear dos vetores do conjunto</p><p>V , onde u = (2,− 2,16 ,</p><p>1</p><p>6) e V = {(1,− 1,0,0),(2,0,1,1),(0,3,1,1)}.</p><p>7. Determinar o valor de k de modo que o vetor (−8,14,k) seja com-</p><p>binação linear dos vetores u = (2,− 3,2) e v = (−1,2,4).</p><p>Respostas: 1. x =</p><p>245</p><p>33</p><p>, y = −41</p><p>33</p><p>, z = − 2</p><p>11</p><p>; 2. a = 4, b = 3, c = −2;</p><p>3. a = −3, b = 2, c = 4; 4. a = −5, b = 3, c = 5; 6. a = 1, b =</p><p>1</p><p>2</p><p>, c = −1</p><p>3</p><p>;</p><p>7. k = 12.</p><p>83</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.6. SUBESPAÇOS GERADOS</p><p>3.6 Subespaços Gerados</p><p>Voltando ao exemplo dos vetores no plano cartesiano, sabemos que me-</p><p>diante combinações lineares dos vetores i e j, podemos construir qualquer</p><p>vetor no plano: u = vxi+ vyj. De forma análoga, qualquer vetor no espaço</p><p>pode ser constrúıdo usando os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0),k = (0,0,1)</p><p>e escrevemos u = vxi + vyj + vzk. Dizemos, então, que os vetores i, j e k</p><p>geram o espaço R3 de todos os vetores no espaço.</p><p>Definição 12. Seja S = {v1,v2, . . . ,vn} um subconjunto de um espaço veto-</p><p>rial V . O conjunto S é um conjunto gerador de V quando todo vetor em</p><p>V pode ser escrito como uma combinação linear de vetores em S. Nesses</p><p>casos, diz-se que S gera V .</p><p>Exemplo 3.6.1. O conjunto S = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gera o R3 porque</p><p>qualquer vetor v = (x,y,z) ∈ R3 pode ser escrito como v = x(1,0,0) +</p><p>y(0,1,0) + z(0,0,1).</p><p>Definição 13. Seja S = {v1,v2, . . . ,vn} um conjunto de vetores em um</p><p>espaço vetorial V , S ̸= ∅. Definimos o subespaço gerado por S, denotado</p><p>por [S], como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores em</p><p>S, ou seja,</p><p>[S] = {a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn},</p><p>onde a1, a2, . . . , an são escalares. Os vetores v1, v2, . . . , vn são chamados</p><p>geradores do subespaço [S], enquanto S é dito o conjunto gerador de</p><p>[S].</p><p>Observação:</p><p>• O subespaço gerado por S é também escrito como [S] = [v1,v2, . . . ,vn].</p><p>• Se S = ∅, então convencionamos que [S] = {0}.</p><p>Teorema 3.6.1. Se S = {v1,v2, . . . ,vn} é um conjunto de vetores em um</p><p>espaço vetorial V , então [S] é um subespaço de V . Além disso, [S] é o menor</p><p>subespaço de V que contém S, no sentido que todos os outros subespaços de</p><p>V que contém S devem conter [S].</p><p>Demonstração. Considere u1 = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn e u2 = b1v1 +</p><p>b2v2+ ...+ bnvn ∈ [S]. Devemos mostrar que [S] é fechado para soma e para</p><p>multiplicação por escalar. De fato,</p><p>u1 + u2 = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + · · ·+ (an + bn)vn ∈ [S]. Em outras</p><p>palavras, u1 + u2 é fechado para soma. E,</p><p>βu1 = β(a1v1+a2v2+...+anvn) = (βa1)v1+(βa2)v2+· · ·+(βan)vn ∈ [S],</p><p>ou seja, é fechado para a multiplicação por escalar.</p><p>Note que 0 ∈ [S], pois basta considerar uma combinação nula, ou seja,</p><p>considerando a1 = a2 = . . . = an = 0 temos 0 = 0v1 + 0v2 + . . .+ 0vn.</p><p>84</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.6. SUBESPAÇOS GERADOS</p><p>Para a última afirmação, sejaW um subespaço qualquer de V que contém</p><p>S, precisamos verificar que [S] ⊆ W . De fato, sejam v1, v2, . . . , vn ∈ S, mas</p><p>como S ⊂ W temos que v1, v2, . . . , vn ∈ W . Assim, como W é subespaço</p><p>vetorial a1v1+a2v2+. . .+anvn ∈ W , para a1, a2, . . . , an escalares. Portanto,</p><p>qualquer combinação linear de vetores de S está em W , isto é, [S] ⊆ W .</p><p>Exemplo 3.6.2. Os vetores i = (1,0), j = (0,1) geram o espaço vetorial</p><p>de R2 pois qualquer (x,y) ∈ R2 é uma combinação linear dos vetores i e j.</p><p>Então, [i,j] = R2.</p><p>Exemplo 3.6.3. R3 = [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]. Qualquer vetor do espaço</p><p>pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.</p><p>Observação: Considere o seguinte caso: {v1,v2,. . . ,vn} de um espaço</p><p>vetorial V , se w ∈ V é tal que w = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn. Então,</p><p>[v1,. . . ,vn,w] = [v1,. . . ,vn],</p><p>pois todo o vetor v que é uma combinação linear de v1,. . . ,vn,w é também</p><p>uma combinação linear de v1,. . . ,vn.</p><p>Definição 14. Seja S um conjunto finito de vetores do espaço vetorial V .</p><p>Dizemos que V é finitamente gerado se V = [S].</p><p>Nesta seção, todos os exemplos de espaços vetoriais são finitamente ge-</p><p>rados.</p><p>Exemplo 3.6.4. O espaço vetorial Pn dos polinômios de grau ⩽ n (com</p><p>coeficientes reais) é finitamente gerado por n+ 1 elementos.</p><p>Solução: Considere o seguinte conjunto de polinômios {1,t, t2, . . . , tn},</p><p>para todo t ∈ R, então Pn = [1,t, t2, . . . , tn]. De fato, qualquer polinômio</p><p>p(t) ∈ Pn pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>p(t) = a01 + a1t+ a2t</p><p>2 + . . .+ ant</p><p>n,</p><p>onde a0, a1, a2, . . . , an são escalares.</p><p>Exemplo 3.6.5. O espaço vetorial P de todos os polinômios (com coefici-</p><p>ente reais) não é finitamente gerado.</p><p>Solução: Seja S = {p1, . . . , pn} polinômios em P , onde pi é um polinômio</p><p>de grau i e pn o de maior grau. Qualquer combinação linear a1p1+. . .+anpn</p><p>tem grau ⩽ n, assim [S] contém somente polinômios de grau menor ou igual</p><p>ao de pn.</p><p>Porém, P é formado por todos os polinômios, ou seja, existem polinômios</p><p>de grau maior que o grau de pn, ou seja, [S] ̸= P para todo conjunto finito</p><p>S de P .</p><p>Importante: Vamos concentrar nosso estudo nos espaços vetoriais fini-</p><p>tamente gerados.</p><p>85</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>3.6.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Determinar os subespaços gerados do R3 gerados pelos seguintes con-</p><p>juntos:</p><p>a. A = {(6,− 4,1)}</p><p>b. A = {(1,0,1),(0,1,1),(−1,1,0)}</p><p>c. A = {(4,1,3)}</p><p>2. Determinar o subespaço gerado [A], para A = {(2, − 2),(−4,4)}. O</p><p>que representa geometricamente esse subespaço?</p><p>3. Considere o seguinte conjunto A = {(−1,3,−1),(1,−2,4)}. Determine</p><p>o subespaço [A] e o valor de k para que o vetor u = (5,k,11) pertença</p><p>a [A].</p><p>4. Mostre que os vetores (2,1) e (1,1) geram o R2.</p><p>3.7 Dependência e Independência Linear</p><p>Antes de apresentar a definição de conjuntos Linearmente Independentes</p><p>e Linearmente Dependentes, vamos analisar</p><p>uma situação: dados os vetores</p><p>u = (1,3) e v = (−3,− 9), vamos investigar se esses vetores geram ou não o</p><p>R2. Para isso, eles devem satisfazer e equação</p><p>(x,y) = a(1,3) + b(−3,− 9) ⇔ (x,y) = (a,3a) + (−3b,− 9b)</p><p>onde (x,y) é um vetor arbitrário, esta equação vetorial gera o seguinte sis-</p><p>tema de equações lineares {</p><p>a− 3b = x</p><p>3a− 9b = y</p><p>O determinante da matriz dos coeficientes desse sistema determina se</p><p>haverá ou não solução única para ele e, como consequência, se os vetores</p><p>dados geram ou não o espaço vetorial desejado. Neste caso, o determinante</p><p>é ∣∣∣∣ 1 −3</p><p>3 −9</p><p>∣∣∣∣ = (−9)− (−9) = 0.</p><p>Portanto, esses vetores não geram o espaço vetorial R2. Um das pro-</p><p>priedades dos determinantes diz que o determinante de uma matriz é zero</p><p>quando duas de suas linhas ou colunas são múltiplas, isto é, podem ser</p><p>expressas como uma combinação linear. No nosso caso, os dois vetores leva-</p><p>ram a matriz dos coeficientes de determinante zero, pois podemos escrever</p><p>os vetores como combinação linear, por exemplo v = −3u.</p><p>86</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>Fazendo o gráfico desses dois vetores, observamos pela Figura 3.7 que</p><p>eles estão sobre a mesma reta.</p><p>Figura 3.7: Vetores linearmente dependentes - estão sobre uma mesma reta</p><p>Dizemos, então neste caso que os vetores são linearmente dependentes,</p><p>pois é posśıvel escrever um como combinação linear do outro.</p><p>Desta forma, vamos então definir o que são vetores Linearmente Inde-</p><p>pendentes e Linearmente Dependentes.</p><p>Definição 15. Seja V um espaço vetorial e v1,v2, . . . ,vn ∈ V . Dizemos que</p><p>o conjunto {v1,v2, . . . ,vn} é Linearmente Independente (LI) ou que os</p><p>vetores v1,v2, . . . ,vn são Linearmente Independentes (LI), se a equação</p><p>vetorial</p><p>a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0</p><p>admite apenas a solução trivial: a1 = 0, a2 = 0, . . . , an = 0.</p><p>No caso em que exista algum ai ̸= 0, dizemos que {v1,v2, . . . ,vn} é Li-</p><p>nearmente Dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, . . . ,vn são Line-</p><p>armente Dependentes (LD).</p><p>Teorema 3.7.1. O conjunto {v1,v2, . . . ,vn} é Linearmente Dependente se,</p><p>e somente se, um destes vetores for uma combinação linear dos outros.</p><p>87</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>Demonstração. De fato, se {v1,v2, . . . ,vn} é LD então um dos coeficientes</p><p>da igualdade a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0 é diferente de zero. Vamos supor,</p><p>por exemplo, que a1 ̸= 0, logo</p><p>v1 = −a2</p><p>a1</p><p>v2 − . . .− an</p><p>an</p><p>vn,</p><p>ou seja, v1 é combinação linear dos outros. Reciprocamente, suponha que</p><p>v1 = a2v2 + . . .+ anvn. Dessa forma podemos escrever −1v1 + a2v2 + . . .+</p><p>anvn = 0, ou seja, existe pelo menos um coeficiente não nulo (a1 = −1), o</p><p>que significa que o conjunto {v1,v2, . . . ,vn} é LD.</p><p>Exemplo 3.7.1. O Conjunto S = {v1 = (1,2),v2 = (2,4)} em R2 é linear-</p><p>mente dependente porque v2 = 2v1.</p><p>Propriedades da Dependência e Independência Linear</p><p>Considere V um espaço vetorial.</p><p>1. Se A = {v} ⊂ V e v ̸= 0, então A é linearmente independente.</p><p>2. Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é linearmente</p><p>dependente.</p><p>3. Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é linearmente dependente, então</p><p>A é também linearmente dependente.</p><p>4. Se um conjunto A ⊂ V é linearmente independente, qualquer parte de</p><p>A1 de A é também linearmente independente.</p><p>5. SeA = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ V é linearmente independente eB = {v1,v2, . . . ,vn,w} ⊂</p><p>V é linearmente dependente, então w é combinação linear de v1,v2, . . . ,vn.</p><p>Observação: Considera-se, por definição, que o conjunto vazio, é line-</p><p>armente independente.</p><p>Exemplo 3.7.2. Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) ∈ R2 são linearmente</p><p>independentes.</p><p>Solução: Se a1(1,0) + a2(0,1) = (0,0), para a1 e a2 escalares, temos</p><p>através das operações entre vetores que (a1,a2) = (0,0), isto é, a1 = 0 e</p><p>a2 = 0.</p><p>Exemplo 3.7.3. De forma análoga os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e</p><p>k = (0,0,1) ∈ R3 também são linearmente independentes. Não é posśıvel</p><p>expressar o vetor j como combinação linear de i e k. De forma análoga para</p><p>as demais combinações.</p><p>Exemplo 3.7.4. Interpretação geométrica da dependência linear.</p><p>88</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>� Vetores linearmente independentes.</p><p>Vetores Linearmente Independentes.</p><p>Vetores Linearmente Independentes.</p><p>� Vetores linearmente dependentes.</p><p>89</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>Vetores Linearmente Dependentes.</p><p>Exemplo 3.7.5. Classificar o conjunto em LI ou LD: {(1,−1,−2),(2,1,1),(−1,0,3)}.</p><p>Solução: Para determinar independência ou dependência linear, pri-</p><p>meiro forme a equação vetorial:</p><p>av1 + bv2 + cv3 = 0</p><p>Se a única solução dessa equação for a = b = c = 0, então o conjunto é</p><p>Linearmente Independente. Caso contrário, o conjunto é Linearmente</p><p>Dependente. Expandindo esta equação temos:</p><p>a(1,− 1,− 2) + b(2,1,1) + c(−1,0,3) = (0,0,0)</p><p>(a,− a,− 2a) + (2b,b,b) + (−c,0,3c) = (0,0,0)</p><p>(a+ 2b− c,− a+ b,− 2a+ b+ 3c) = (0,0,0)</p><p>o que produz o sistema homogêneo de equações lineares em a, b,c abaixo:</p><p>a+ 2b− c = 0</p><p>−a+ b = 0</p><p>−2a+ b+ 3c = 0</p><p>A matriz ampliada do sistema é :</p><p> 1 2 −1 0</p><p>−1 1 0 0</p><p>−2 1 3 0</p><p>. Usando as seguintes</p><p>operações elementares,</p><p>� L2 ↔ L2 + L1</p><p>90</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>� L3 ↔ L3 + 2L1</p><p>Obtemos: 1 2 −1 0</p><p>0 3 −1 0</p><p>0 5 1 0</p><p> .</p><p>� L2 ↔ 1</p><p>3L2 1 2 −1 0</p><p>0 1 −1</p><p>3 0</p><p>0 5 1 0</p><p> .</p><p>� L1 ↔ L1 − 2L2</p><p>� L3 ↔ L3 − 5L2 1 0 −1</p><p>3 0</p><p>0 1 −1</p><p>3 0</p><p>0 0 8</p><p>3 0</p><p> .</p><p>� L3 ↔ 3</p><p>8L3</p><p>� L1 ↔ L1 +</p><p>1</p><p>3L3</p><p>� L2 ↔ L2</p><p>1</p><p>3L3 1 0 0 0</p><p>0 1 0 0</p><p>0 0 1 0</p><p> .</p><p>Isso implica que a única solução é a solução trivial a = b = c = 0. Então, o</p><p>conjunto é Linearmente Independente.</p><p>Exemplo 3.7.6. As funções f1(x) = x, f2(x) = sen(x) são linearmente in-</p><p>dependentes no espaço de funções F (−∞,∞), pois um não é múltiplo escalar</p><p>do outro.</p><p>Exemplo 3.7.7. As funções f1(x) = sen(2x), f2(x) = sen(x)cos(x) são</p><p>linearmente dependentes, pois pela identidade trigonométrica sen(2x) =</p><p>2sen(x)cos(x) verificamos a dependência linear das funções.</p><p>Exemplo 3.7.8. O conjunto</p><p>{[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>]}</p><p>é linear-</p><p>mente independente.</p><p>O próximo exemplo mostra como determinar a dependência ou inde-</p><p>pendência linear.</p><p>Exemplo 3.7.9. Verifique se o seguinte conjunto é Linearmente Indepen-</p><p>dente: {(1,2),(−1,− 3)} em R2.</p><p>91</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.7. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR</p><p>Solução: Para determinar independência ou dependência linear, pri-</p><p>meiro escrevemos a equação vetorial:</p><p>a1v1 + a2v2 = (0,0).</p><p>Se a única solução dessa equação for a1 = a2 = 0, então o conjunto</p><p>será linearmente independente, caso contrário será linearmente dependente,</p><p>expandindo a equação temos,</p><p>a1(1,2) + a2(−1,3) = (0,0)</p><p>(a1, 2a1) + (−a2,−3a2) = (0,0),</p><p>o que produz o sistema homogêneo de equações lineares:{</p><p>a1 − a2 = 0</p><p>2a1 − 3a2 = 0</p><p>Assim a única solução é a solução trivial: a1 = a2 = 0, ou seja, o conjunto</p><p>é linearmente independente.</p><p>Exemplo 3.7.10. Álgebra Linear Aplicada O efeito de morphing de</p><p>imagem é o processo de transformar uma imagem em outra gerando uma</p><p>sequência de imagens intermediárias sintéticas. Esta técnica possui uma</p><p>grande variedade de aplicações, como efeitos especiais de filmes, software de</p><p>progressão de idade e simulação de cicatrização de feridas e resultados de</p><p>cirurgia estética. O efeito de morphing de uma imagem usa um processo</p><p>chamado deformação, em que uma parte de uma imagem é distorcida. A</p><p>matemática por trás da deformação e do efeito de morphing pode incluir</p><p>a formação de uma combinação linear dos vetores que limitam uma parte</p><p>triangular da imagem e a realização de uma transformação afim para formar</p><p>novos vetores e uma parte distorcida da imagem.</p><p>3.7.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Classificar os seguintes conjuntos em Linearmente Independente ou</p><p>Linearmente Dependente:</p><p>a. {(2,− 1,0),(−1,3,0),(3,5,0)} ∈ R3</p><p>b. {(1,2,− 1),(2,4,− 2),(1,3,0)} ∈ R3</p><p>c. {2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2}</p><p>∈ P2</p><p>d. {1 + x, x+ x2, 1 + x2} ∈ P2</p><p>e. {(2,1,0,0),(1,0,2,1),(−1,2,0,− 1)} ∈ R4</p><p>f. {(1,1),(−1,1),(0,1)} ∈ R2</p><p>g. {(1,2),(−1,− 3)} ∈ R2</p><p>92</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>h. {1− t, 1 + t,t2} ∈ P2</p><p>i. {1, (t− 1), (t− 1)2} ∈ P2</p><p>2. Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2 × 3, verificar se o conjunto</p><p>{A,B,C} é LI ou LD:</p><p>A =</p><p>[</p><p>−1 2 1</p><p>3 −2 4</p><p>]</p><p>, B =</p><p>[</p><p>0 −1 2</p><p>−2 1 0</p><p>]</p><p>, C =</p><p>[</p><p>−1 0 5</p><p>−1 0 3</p><p>]</p><p>.</p><p>3. Determinar o valor de k para que seja Linearmente Independente o</p><p>conjunto: {(−1,0,2),(1,1,1),(k,− 2,0)}.</p><p>Respostas: 1 (a) LD; (b) LD; (c) LD; (d) LI; (e) LI; (f) LD; (g) LI; (h) LI;</p><p>(i) LI.</p><p>2. LI e 3. k ̸= −3.</p><p>3.8 Base e Dimensão</p><p>Nesta seção vamos continuar nosso estudo da estrutura de um espaço</p><p>vetorial V determinando o menor conjunto de vetores em V que descrevem</p><p>completamente V . Queremos determinar um conjunto de vetores geradores</p><p>de V tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar o</p><p>espaço vetorial V .</p><p>Estamos interessados em um número mı́nimo de vetores que sejam ne-</p><p>cessários para gerar um determinado espaço vetorial, para que isso seja</p><p>posśıvel, é necessário que nenhum deles seja linearmente dependente dos ou-</p><p>tros, pois senão um deles poderia ser gerado pelos demais e o conjunto não</p><p>seria mı́nimo.</p><p>Desta forma, para que um determinado número de vetores seja o con-</p><p>junto mı́nimo que gera um determinado espaço vetorial, é necessário que</p><p>eles gerem o espaço vetorial e que sejam linearmente independentes.</p><p>Definição 16. Um conjunto B = {v1, v2, . . . ,vn} de vetores em um espaço</p><p>vetorial V será uma base de V quando as condições abaixo são verdadeiras:</p><p>a) {v1, v2, . . . ,vn} é Linearmente Independente (garante que não há inter-</p><p>relação entre os vetores da base);</p><p>b) [v1, v2, . . . ,vn] = V , ou seja, B gera V (garante que há vetores da base</p><p>em número suficiente para fornecer coordenadas para todos os vetores</p><p>em V ).</p><p>Uma das propriedades mais importantes do conjunto {v1, v2,. . . ,vn} ser</p><p>uma base para V é o fato que qualquer vetor de V é escrito de maneira única</p><p>como uma combinação linear dos vetores v1, v2,. . . ,vn.</p><p>93</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>Exemplo 3.8.1. Exemplos de Bases Canônicas:</p><p>� R2 ⇒ Base canônica: e1 = (1,0), e2 = (0,1)</p><p>� R3 ⇒ Base canônica: e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)</p><p>� Rn ⇒ Base canônica: e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,...,0), e3 = (0,0,...,1)</p><p>� Base canônica das matrizes de ordem 2:</p><p>{[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>]}</p><p>.</p><p>Exemplo 3.8.2. Verifique se o conjunto B = {(2,1, − 1),(−1,0,1),(0,0,1)}</p><p>é uma base do R3.</p><p>Solução: Para que B seja uma base de R3, os vetores v1 = (2,1,−1), v2 =</p><p>(−1,0,1), v3 = (0,0,1) devem ser linearmente independentes e têm que gerar</p><p>o espaço R3.</p><p>Para mostrar que os vetores são LI, devemos mostrar que a única solução</p><p>de av1 + bv2 + cv3 = (0,0,0) é a = b = c = 0 (Solução Trivial).</p><p>E para mostrar que os vetores geram o R3, devemos mostrar que, para</p><p>qualquer vetor genérico u = (x,y,z) ∈ R3, a equação vetorial av1+bv2+cv3 =</p><p>(x,y,z) tem solução única.</p><p>Verificando se o conjunto é Linearmente Independente: devemos mostrar</p><p>que a única solução de av1 + bv2 + cv3 = (0,0,0) é a = b = c = 0 (Solução</p><p>Trivial). Para esse conjunto,</p><p>a(2,1,− 1) + b(−1,0,1) + c(0,0,1) = (0,0,0)</p><p>O sistema equivalente é: </p><p>2a− b = 0</p><p>a = 0</p><p>−a+ b+ c = 0</p><p>.</p><p>Nesse caso é fácil resolver o sistema linear correspondente e encontramos</p><p>que a = b = c = 0, portanto B é LI.</p><p>Vamos verificar que o conjunto gera o R3. Para mostrar que os vetores</p><p>geram o R3, a solução da equação vetorial av1 + bv2 + cv3 = (x,y,z) é única</p><p>e o vetor u = (x,y,z) pode ser escrito como combinação linear. Escrevendo</p><p>a combinação linear:</p><p>(x,y,z) = a(2,1,− 1) + b(−1,0,1) + c(0,0,1)</p><p>= (2a− b,a,−a+ b+ c)</p><p>94</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>O sistema de equações lineares correspondente é:</p><p>2a− b = x</p><p>a = y</p><p>−a+ b+ c = z</p><p>.</p><p>Para resolver essa etapa, podemos usar o escalonamento:</p><p>Escrevendo a matriz ampliada em relação as variáveis a,b e c:</p><p> 2 −1 0 x</p><p>1 0 0 y</p><p>−1 1 1 z</p><p> .</p><p>Com as seguintes operações elementares:</p><p>� L2 ↔ L1, obtemos</p><p> 1 0 0 y</p><p>2 −1 0 x</p><p>−1 1 1 z</p><p> .</p><p>� L2 ↔ L2 − 2L1</p><p>� L3 ↔ L3 + L1,  1 0 0 y</p><p>0 −1 0 x− 2y</p><p>0 1 1 z + y</p><p> .</p><p>� L2 ↔ −1L2</p><p>� L3 ↔ L3 − L2  1 0 0 y</p><p>0 1 0 −x+ 2y</p><p>0 0 1 z + x− y</p><p> .</p><p>� Temos a matriz ao final do escalonamento:</p><p> 1 0 0 y</p><p>0 1 0 −x+ 2y</p><p>0 0 1 z + x− y</p><p> .</p><p>Portanto, como temos pivôs em todas as linhas, o sistema é posśıvel deter-</p><p>minado (SPD). Portanto, os elementos do conjunto B geram qualquer vetor</p><p>do R3.</p><p>Observação: Note que</p><p>(x,y,z) = y(2,1,− 1) + (−x+ 2y)(−1,0,1) + (x− y + z)(0,0,1).</p><p>Por exemplo,</p><p>(2,1,2) = 1 · (2,1,− 1) + (2− 2(1))(−1,0,1) + (2− 1 + 2)(0,0,1)</p><p>= (2,1,− 1) + 0(−1,0,1) + 3(0,0,1).</p><p>95</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>Exemplo 3.8.3. Verifique se o conjunto B = {(2,3),(4,6)} é uma base do</p><p>V = R2.</p><p>Solução: a) B é Linearmente Independente?</p><p>a1(2,3) + a2(4,6) = (0,0)</p><p>{</p><p>2a1 + 4a2 = 0 ⇒ 2a1 = −4a2 ⇒ a1 = −2a2</p><p>3a1 + 6a2 = 0</p><p>3(−2a2) + 6a2 = 0</p><p>−6a2 + 6a2 = 0</p><p>Portanto, B é linearmente dependente e, dessa forma, não é base de V = R2.</p><p>Exemplo 3.8.4. Verifique se o conjunto B = {(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)} é uma</p><p>base do R3.</p><p>Solução: a) Primeiro vamos verificar se o conjunto é Linearmente In-</p><p>dependente: a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(0,0,1) = (0,0,0), temos</p><p>a = 0</p><p>2a+ b = 0</p><p>3a+ 2b+ c = 0</p><p>.</p><p>Resolvendo o sistema encontramos que a = b = c = 0, portanto B é LI.</p><p>b) Vamos verificar que o conjunto gera o R3. Sendo u = (x,y,z) um vetor</p><p>arbitrário em R3, para mostrar que u pode ser escrito como combinação</p><p>linear considere a equação</p><p>(x,y,z) = a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(0,0,1)</p><p>assim obtemos um sistema de equações lineares:</p><p>a = x</p><p>2a+ b = y</p><p>3a+ 2b+ c = z</p><p>.</p><p>E, dessa forma, (x,y,z) = x(1,2,3) + (y − 2x)(0,1,2) + (x − 2y + z)(0,0,1),</p><p>isto é, [(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)] = R3. Portanto, B é uma base do R3.</p><p>Teorema 3.8.1. Todo espaço vetorial V possui uma base.</p><p>Teorema 3.8.2. Se B = {v1,v2,. . . ,vn} for uma base de um espaço vetorial</p><p>V , então todo conjunto com mais de n vetores será Linearmente Dependente.</p><p>Exemplo 3.8.5. 1. Três ou mais vetores no plano R2 são sempre L.D.</p><p>96</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>2. Quatro ou mais vetores no espaço R3 são sempre LD.</p><p>3. Cinco ou mais matrizes de ordem 2× 2 (em M2(R)) são sempre LD.</p><p>Observação: O teorema anterior é equivalente a “Um espaço vetorial ge-</p><p>rado por n vetores tem no máximo n vetores Linearmente Independentes”</p><p>e tem como consequência que “Qualquer base de um espaço vetorial V tem</p><p>sempre o mesmo número de vetores”.</p><p>Teorema 3.8.3. (Unicidade da representação na base)</p><p>Se S = {v1, v2, . . . , vn} é uma base de um espaço vetorial V , então todo</p><p>vetor em V pode ser escrito de uma e de só uma maneira como combinação</p><p>linear de vetores em S.</p><p>Definição 17. A dimensão do espaço vetorial V é o número de vetores da</p><p>base de V . Assim, sendo V um espaço vetorial com uma base constitúıda</p><p>por n vetores, dizemos que V tem dimensão n, dimV = n.</p><p>Quando V consiste somente no vetor nulo, a dimensão de V é definida</p><p>como zero.</p><p>Esta definição permite identificar as dimensões dos espaços vetoriais fa-</p><p>miliares. No exemplo a seguir a dimensão é simplesmente o número de</p><p>vetores na base canônica.</p><p>Exemplo 3.8.6. Dimensões:</p><p>1. dim (R2) = 2;</p><p>2. dim (R3) = 3;</p><p>2.1 Dimensão de qualquer subespaço S do R3:</p><p>(a) dimS = 0, S = {0} é a própria origem do R3;</p><p>(b) dimS = 1, S é uma reta que passa na origem;</p><p>(c) dimS = 2, S é um plano que passa pela origem;</p><p>(d) dimS = 3, é o próprio R3.</p><p>3. Generalizando: dim (Rn) = n;</p><p>4. Se W é subespaço vetorial de V e dim(V ) = n então dim(W ) ≤ n.</p><p>Em particular, se dimW = n, teŕıamos que V = W .</p><p>5. Dimensão de uma matriz de ordem m× n: dim(Mm×n) = m× n;</p><p>6. dimPn = n+ 1.</p><p>Observações:</p><p>97</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>� Se temos um conjunto de n vetores que geram um espaço de dimensão</p><p>n, podemos garantir que este conjunto</p><p>é LI e, portanto, forma uma</p><p>base para o espaço.</p><p>� Se temos um conjunto de n vetores LI de um espaço de dimensão n,</p><p>podemos garantir que o conjunto gera o espaço e, portanto, forma uma</p><p>base para o mesmo.</p><p>� A dimensão de um subespaço vetorial pode ser determinada pelo número</p><p>de variáveis livres do seu vetor genérico.</p><p>� Se V = 0, ou seja, V é o espaço vetorial nulo, então o conjunto ∅ é</p><p>uma base para V , conforme nossas convenções. Logo, dimV = 0.</p><p>O próximo exemplo mostra como determinar a dimensão e uma base do</p><p>espaço vetorial dado um conjunto.</p><p>Exemplo 3.8.7. Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial:</p><p>S = {(x,y,z) ∈ R3/− 2x− y + z = 0}.</p><p>Solução: Resolvendo a equação: −2x− y + z = 0, isolando z (ou x, ou y )</p><p>tem-se: z = 2x + y, onde x e y são variáveis livres. Assim, qualquer vetor</p><p>(x,y,z) ∈ S pode ser escrito como:</p><p>(x,y,z) = (x,y,2x+ y)</p><p>ou</p><p>(x,y,z) = (x,0,2x) + (0,y,y)</p><p>= x(1,0,2) + y(0,1,1).</p><p>Logo, observe que todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores</p><p>(1,0,2) e (0,1,1). Como esses dois vetores geradores de S são LI, o conjunto</p><p>{(1,0,2),(0,1,1)} é uma base de S e a assim, a dimS = 2. Como cada variável</p><p>livre corresponde um vetor da base na igualdade (x,y,z) = x(1,0,2)+y(0,1,1),</p><p>conclui-se que o número de variáveis livres é a dimensão do espaço.</p><p>Observação: Uma base ordenada é uma base na qual fixamos a ordem</p><p>dos seus vetores, isto é, quem é o primeiro vetor, quem é o segundo vetor, e</p><p>assim sucessivamente.</p><p>Definição 18. Seja A uma matriz m × n. O espaço linha de A é o</p><p>subespaço de Rn gerado pelos vetores linha de A. E o espaço coluna de A</p><p>é o subespaço de Rn gerado pelos vetores coluna de A.</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p> .</p><p>98</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>Considerando a matriz A de tamanho m×n, os vetores linhas são vetores</p><p>em Rn e os vetores coluna são vetores em Rm. Veja o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 3.8.8. Determine os vetores linha e coluna da seguinte matriz:</p><p>A =</p><p>[</p><p>1 −2 9</p><p>3 −1 5</p><p>]</p><p>Solução: Observe que os vetores linha são: (1,− 2,9) e (3,− 1,5) ∈ R3.</p><p>E os vetores coluna são</p><p>[</p><p>1</p><p>3</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>−2</p><p>−1</p><p>]</p><p>e</p><p>[</p><p>9</p><p>5</p><p>]</p><p>∈ R2.</p><p>Teorema 3.8.4. Se a matriz A de tamanho m× n é equivalente por linhas</p><p>a uma matriz B (de mesmo tamanho), então o espaço linha de A é igual ao</p><p>espaço linha de B.</p><p>Teorema 3.8.5. Se uma matriz A é equivalente por linhas a uma matriz</p><p>B em forma escalonada por linhas, então os vetores linha não nulos de B</p><p>formam uma base do espaço linha de A.</p><p>Definição 19. A dimensão do espaço linha (ou coluna) de uma matriz A é</p><p>o posto de A que podemos denotar por posto(A).</p><p>Exemplo 3.8.9. Determinação de uma base e posto da matriz: A =</p><p>2 4 6</p><p>3 −2 −4</p><p>1 2 3</p><p>.</p><p>Solução: A forma escalonada da matriz A é dada pela matriz</p><p>B =</p><p>2 4 6</p><p>0 −8 −13</p><p>0 0 0</p><p> ,</p><p>os vetores linha não nulos de B, w1 = (2,4,6) e w2 = (0,− 8,− 13), formam</p><p>uma base do espaço linha de A. A matriz B possui duas linhas não nulas,</p><p>portanto, o posto de A é 2.</p><p>3.8.1 Componentes de um vetor</p><p>Considere o vetor v ∈ V como uma combinação linear da seguinte forma:</p><p>v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn.</p><p>Sendo B = {v1, v2,. . . ,vn} uma base de V . Os números α1,α2, ..., αn são</p><p>denominados componentes ou coordenadas de v em relação à base B e re-</p><p>presentamos por</p><p>vB = (α1,α2, ..., αn) ou vB =</p><p>α1</p><p>...</p><p>αn</p><p></p><p>99</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.8. BASE E DIMENSÃO</p><p>que chamamos de matriz de coordenadas ou (vetor coordenadas) de v em</p><p>relação a B.</p><p>Exemplo 3.8.10. No R2, consideremos as bases: A = {(1,0),(0,1)} (base</p><p>canônica) e B = {(2,0),(−1,2)} (base ordenada não canônica). Dado o vetor</p><p>v = (5,6) temos:</p><p>(5,6) = 5(1,0) + 6(0,1)</p><p>(5,6) = 4(2,0) + 3(−1,2)</p><p>Então, pela notação dada acima, tem-se:</p><p>vA =</p><p>[</p><p>5</p><p>6</p><p>]</p><p>vB =</p><p>[</p><p>4</p><p>3</p><p>]</p><p>Exemplo 3.8.11. A matriz de coordenadas de v em R2 em relação à base</p><p>ordenada (não canônica) B = {(2, − 1),(0,1)} é vB =</p><p>[</p><p>4</p><p>1</p><p>]</p><p>. Determine a</p><p>matriz de coordenadas de v em relação à base canônica B′ = {(1,0),(0,1)}</p><p>Solução: A matriz de coordenadas de v em relação a base B é vB =</p><p>[</p><p>4</p><p>1</p><p>]</p><p>assim</p><p>v = 4(2,− 1) + 1(0,1) = (8,− 4) + (0,1) = (8,− 3) = 8(1,0) + (−3)(0,1).</p><p>Portanto, a matriz de coordenadas de v em relação a B′ é</p><p>vB′ =</p><p>[</p><p>8</p><p>−3</p><p>]</p><p>.</p><p>Na Figura mais a esquerda o vetor v = (8, − 3) representado pela base</p><p>não canônica B e mais a direita o mesmo vetor representado com a base</p><p>canônica B′.</p><p>Figura 3.8: Representação do vetor v = (8,− 3) em relação as duas bases</p><p>100</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.9. LISTA 3</p><p>3.8.2 Agora tente resolver!</p><p>1. Verificar se v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0) e v3 = (3,3,4) formam uma base</p><p>do R3.</p><p>2. Verificar se os conjuntos abaixo formam uma base para os respectivos</p><p>conjuntos:</p><p>(a) B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} do R3.</p><p>(b) B = {(1,0), (0,1), (7,4)} do R2.</p><p>(c) B = {(2,1), (3,0)} do R2.</p><p>3. Explique por que S = {(1,3,0),(4,1,2),(−2,5,− 2)} não é uma base de</p><p>R3.</p><p>4. Determinar uma base do espaço solução do sistema:</p><p></p><p>x− y − z − t = 0</p><p>2x+ y + t = 0</p><p>z − t = 0</p><p>5. O conjunto A = {3,2x, − x2} é uma base de P2? Caso afirmativo,</p><p>determine o vetor coordenadas de −→v = 6−4x+3x2 em relação à base</p><p>A.</p><p>3.9 Lista 3</p><p>1. Mostrar se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação</p><p>por escalar definidos são ou não espaços vetoriais. Para aqueles que</p><p>não são citar os axiomas que não se verificam:</p><p>(a) R3,(x,y,z)+ (x′,y′,z′) = (x+x′,y+ y′,z+ z′) e k(x,y,z) = (0,0,0).</p><p>(b) {(x,3x,5x);x ∈ R} com as operações usuais.</p><p>(c) R2,(a,b) + (c,d) = (a,b) e α · (x,y) = (α2x,α2y).</p><p>(d) R2,(x,y) + (x′,y′) = (x+ x′,y + y′) e α · (x,y) = (α2x,α2y).</p><p>2. Verificar se o seguinte conjunto V = {f : R → R}, onde f e g ∈ V e</p><p>α ∈ R, definido por:</p><p>(f,g) → (f + g)(x) = f(x) + g(x)</p><p>(α,f) → (α,f)(x) = αf(x)</p><p>é um espaço vetorial.</p><p>3. Verificar quais dos subconjuntos de R2 são subespaços vetoriais de</p><p>R2 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar</p><p>usuais:</p><p>101</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.9. LISTA 3</p><p>(a) S = {(x,y)|y = −x}</p><p>(b) S = {(x,x2)|x ∈ R}</p><p>(c) S = {(x,y)|x+ 3y = 0}</p><p>(d) S = {(y,y)|y ∈ R}</p><p>4. Verificar se o conjunto dado é um subespaço vetorial: V = R5,W =</p><p>{(0,x2,x3,x4,x5)|xi ∈ R}.</p><p>5. Mostre que o seguinte subconjunto de R4 é um subespaço vetorial:</p><p>W = {(x,y,z,t) ∈ R4|x+ y = 0; z − t = 0}.</p><p>6. Verifique se o conjuntoW é um subespaço vetorialW = {(a,2a,3a);α ∈</p><p>R}, V = R3.</p><p>7. Nos itens abaixo, S não é um subespaço do espaço vetorial. Verifique:</p><p>(a) S é o conjunto de todos os vetores em R3, cuja terceira compo-</p><p>nente é −1.</p><p>(b) S é o conjunto de todos os vetores em R3 cujas componentes são</p><p>não negativas.</p><p>8. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto de Mn,n é um subespaço</p><p>de Mn,n com as operações usuais, justificando sua resposta:</p><p>(a) o conjunto de todas as matrizes n× n triangulares superiores</p><p>(b) o conjunto de todas as matrizes n× n com elementos inteiros</p><p>9. Escreva w como combinação linear de v1,v2,v3 : v1 = (1,1),v2 =</p><p>(−1,1),v3 = (3,0),w = (1,− 4).</p><p>10. Escreva a matriz A como combinação linear de: A1 =</p><p>[</p><p>1 −1</p><p>0 3</p><p>]</p><p>,A2 =[</p><p>1 1</p><p>0 2</p><p>]</p><p>, A3 =</p><p>[</p><p>2 2</p><p>−1 1</p><p>]</p><p>sabendo que A =</p><p>[</p><p>3 −1</p><p>−1 5</p><p>]</p><p>.</p><p>11. Escreva cada vetor como uma combinação linear dos vetores de S =</p><p>{v1 = (2,− 1,3),v2 = (5,0,4)}, se posśıvel:</p><p>(a) u = (−1,− 2,2)</p><p>(b) w = (1,1,− 1)</p><p>12. Classificar os seguintes subconjuntos do R2 em LI ou LD:</p><p>(a) S = {(2,− 1),(3,5)}</p><p>(b) S = {(1,3),(2,6)}</p><p>(c) S = {(−2,2),(3,5)}</p><p>102</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.9. LISTA 3</p><p>(d) S = {(0,0),(1,− 1)}</p><p>13. Classificar o seguinte subconjunto do R3 em LI ou LD:</p><p>(a) S = {(2,1,3),(0,0,0),(1,5,2)}</p><p>(b) S = {(−2,1,3),(2,9,− 3),(2,3,− 3)}</p><p>14. Nos itens abaixo, determine se o conjunto de vetores em P2 é linear-</p><p>mente independente ou linearmente dependente:</p><p>(a) S = {2− x,2x− x2,6− 5x+ x2}</p><p>(b) S = {1 + 3x+ x2,− 1 + x+ 2x2, 4x}</p><p>15. Quais dos conjuntos de vetores abaixo formam uma base para R2 ?</p><p>(a) {(1,3),(−1,1)}</p><p>(b) {(1,3),(−2,6)}</p><p>(c) {(1,2),(2,− 3),(3,2)}</p><p>(d) {(3,− 1),(2,3)}</p><p>(e) {(0,1),(0,2)}</p><p>16. Mostrar que os vetores v1 = (1,1,1),v2</p><p>necessário às três indústrias para</p><p>manter o sistema econômico.</p><p>� (Computação Gráfica) – Um exemplo de aplicação na computação</p><p>gráfica está na criação de um novo modelo de carro, que antes de ser</p><p>produzido, os engenheiros projetam e constroem um carro matemático</p><p>– um modelo de arame que existe apenas na memória do computador</p><p>e em terminais gráficos. O carro em modelo de arame é armazenado</p><p>na forma de muitas matrizes para cada componente principal.</p><p>1</p><p>1.2. INTRODUÇÃO</p><p>� (Criptografia) - Hoje em dia, o principal impulso para o desenvol-</p><p>vimento de códigos seguros é dado pelas comunicações confidenciais</p><p>entre computadores e em telecomunicações.</p><p>� (Construção de Curvas e Superf́ıcies) – O uso dos determinantes nos</p><p>permite resolver o problema analiticamente, assim é posśıvel construir</p><p>retas, ćırculos e seções cônicas em geral por pontos especificados no</p><p>plano.</p><p>1.2 Introdução</p><p>Matrizes são objetos de grande importância na elaboração de modelos</p><p>econômicos e são usadas em diversas áreas das ciências exatas e aparecem</p><p>em um grande número de problemas executados pelos computadores. Neste</p><p>caṕıtulo, vamos estudar alguns conceitos básicos sobre matrizes e determi-</p><p>nantes.</p><p>A fim de introduzir matrizes, observe a tabela 1, onde se encontram</p><p>relacionados algumas disciplinas para os dois primeiros anos do curso de</p><p>Sistemas de Informação.</p><p>Primero Ano Segundo Ano</p><p>Sistemas Int. I Ling. Form e Aut.</p><p>Algo. Est. Dados I Sist. Coorporativos I</p><p>Ativ. Int. Curr I Alg. Est. Dados II</p><p>Matemática I Ativ. Int. Curr II</p><p>Mat. Discreta Ges. Inf. Org.</p><p>Fund. Adm. Elementos de custos</p><p>Matemática II Arquit Comput.</p><p>Teo. Geral Adm. Int. Hum Comp.</p><p>Economia Organização de Comp.</p><p>Pela tabela acima observamos que ela é composta por linhas e colunas.</p><p>Nesse caso, temos 10 linhas (contando a linha da descrição das colunas) e 2</p><p>colunas. As linhas estão na posição horizontal e as colunas, na vertical.</p><p>Notamos que uma determinada combinação de linha e de coluna deter-</p><p>mina a informação sobre uma disciplina, cada uma destas combinações é</p><p>chamada célula. A tabela a seguir mostra quantas células existem na tabela</p><p>com relação as disciplinas, que estão distribúıdas em 9 linhas e 2 colunas.</p><p>2</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.2. INTRODUÇÃO</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>a31 a32</p><p>a41 a42</p><p>a51 a52</p><p>a61 a62</p><p>a71 a72</p><p>a81 a82</p><p>a91 a92</p><p>A cada célula associamos o śımbolo aij , onde i é o número de linha e j o</p><p>número de coluna à qual ela corresponde. Assim, obtemos uma tabela com</p><p>9 linhas (horizontais) e 2 colunas (verticais), a qual chamamos de matriz:</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>a31 a32</p><p>a41 a42</p><p>a51 a52</p><p>a61 a62</p><p>a71 a72</p><p>a81 a82</p><p>a91 a92</p><p></p><p>.</p><p>Vamos a alguns exemplos, a célula a61 da primeira tabela contém a disci-</p><p>plina Fundamentos de Administração; a célula a92 corresponde à disciplina</p><p>Organização de Computadores.</p><p>Observe agora o próximo exemplo, na tabela a seguir, estão as notas</p><p>parciais de alguns alunos, em três disciplinas:</p><p>Estudantes Matemática F́ısica Inglês</p><p>Estudante I 8,0 6,0 7,5</p><p>Estudante II 7,5 8,5 9,0</p><p>Estudante III 6,5 6,0 7,0</p><p>Estudante IV 9,0 8,0 8,5</p><p>Nesta tabela, temos informações em texto e informações numéricas. Po-</p><p>demos extrair somente a informação numérica e escrever uma tabela mais</p><p>compacta, que contenha somente as informações mais básicas do que se pre-</p><p>cisa. Em matemática, é mais comum operar com matrizes contendo dados</p><p>numéricos, a matriz que representa a tabela acima pode ser representada</p><p>por:</p><p>3</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.3. MATRIZES</p><p></p><p>8,0 6,0 7,5</p><p>7,5 8,5 9,0</p><p>6,5 6,0 7,0</p><p>9,0 8,0 8,5</p><p> .</p><p>Com base nestes exemplos, vamos definir formalmente uma matriz na</p><p>próxima seção.</p><p>1.3 Matrizes</p><p>Para representar uma matriz usamos letras maiúsculas A, B e os ele-</p><p>mentos como [aij ], [bij ]. Vamos trabalhar com matrizes cujos elementos são</p><p>números reais. Em geral, matrizes são representadas entre dois parênteses (</p><p>) ou entre dois colchetes [ ].</p><p>Definição 1. Se A é uma matriz de ordem m por n, isto é m linhas e</p><p>n colunas, então cada elemento numérico da matriz denotado por aij, é o</p><p>elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna.</p><p>Considere por exemplo uma matriz de 3 linhas e 3 colunas, portanto, a</p><p>ordem da matriz é 3× 3 (lê-se 3 por 3) e representamos por</p><p>A =</p><p> a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p> .</p><p>Exemplo 1.3.1. Matriz de ordem m por n: Am×n.</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>an1 an2 . . . amn</p><p> .</p><p>1.4 Tipos de Matrizes</p><p>Nesta seção vamos recordar os principais tipos de matrizes. Alguns tipos</p><p>de matrizes recebem nomes especiais, em geral, por apresentarem particu-</p><p>laridades, conforme veremos a seguir.</p><p>� Matriz Nula: É aquela em que todos seus elementos são nulos. Isto</p><p>é, aij = 0, para quaisquer i e j. As matrizes nulas fazem o papel do</p><p>número zero na adição de matrizes.</p><p>� Matriz Linha ou Vetor Linha: Esta matriz possui apenas uma linha,</p><p>isto é, m = 1. Portanto, A = [aij ]1×n.</p><p>4</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.4. TIPOS DE MATRIZES</p><p>� Matriz Coluna ou Vetor Coluna: Matriz com apenas uma coluna, isto</p><p>é, n = 1. Neste caso, A = [aij ]m×1.</p><p>� Matriz Quadrada: É uma matriz que possui o mesmo número de linhas</p><p>e colunas. Uma matriz quadrada n× n é dita de ordem n.</p><p>Exemplo 1.4.1. São matrizes quadradas:</p><p>A2×2 =</p><p>[</p><p>−3 2</p><p>10 4</p><p>]</p><p>, B3×3 =</p><p> 3 −5 4</p><p>6 −1 3</p><p>0 2 4</p><p></p><p>Observação:</p><p>Conceito de Diagonal Principal e Diagonal Secundária: Se A = [aij ]</p><p>é uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij , em que i =</p><p>j, constituem os elementos da diagonal principal. Assim, a diagonal</p><p>principal é formada pelos elementos</p><p>a11, a22, a33, · · · ann.</p><p>Os elementos aij , em que i + j = n + 1, constituem a diagonal se-</p><p>cundária. Então, a1n, a2(n−1), a3(n−2), · · · , an1, são os elementos da</p><p>diagonal secundária.</p><p>Exemplo 1.4.2.</p><p>A =</p><p>2 10 5</p><p>4 1 −8</p><p>7 5 3</p><p> .</p><p>É uma matriz quadrada de ordem 3, os elementos da diagonal principal</p><p>são 2, 1, 3 e os elementos da diagonal secundária são 5, 1, 7.</p><p>� Matriz Diagonal: Chamamos de matriz diagonal D = [dij ] uma ma-</p><p>triz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal</p><p>principal são nulos. Portanto, dij = 0, sempre que i ̸= j.</p><p>Exemplo 1.4.3.</p><p>D =</p><p>[</p><p>15 0</p><p>0 −3</p><p>]</p><p>.</p><p>� Matriz Escalar: Quando a matriz diagonal tem os elementos aij iguais</p><p>para i = j, chamamos de matriz escalar.</p><p>Exemplo 1.4.4.</p><p>A =</p><p>4 0 0</p><p>0 4 0</p><p>0 0 4</p><p> .</p><p>5</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.4. TIPOS DE MATRIZES</p><p>� Matriz Identidade: É uma matriz escalar onde os elementos da diago-</p><p>nal principal são iguais a 1. (aij = 1, para i = j). Notação: In, ou</p><p>simplesmente I.</p><p>Exemplo 1.4.5.</p><p>I2 =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>, I3 =</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p></p><p>� Matriz Triangular Superior: Uma matriz quadrada A =</p><p>[</p><p>aij</p><p>]</p><p>é dita</p><p>triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal</p><p>são nulos, isto é, aij = 0, para i > j.</p><p>Exemplo 1.4.6.</p><p>U =</p><p>3 4 1</p><p>0 2 −4</p><p>0 0 3</p><p> .</p><p>� Matriz Triangular Inferior: Uma matriz quadrada A =</p><p>[</p><p>aij</p><p>]</p><p>é dita</p><p>triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal</p><p>são nulos, isto é, aij = 0, para i < j.</p><p>Exemplo 1.4.7.</p><p>L =</p><p>1 0 0</p><p>6 5 0</p><p>4 7 8</p><p> .</p><p>� Matriz Transposta: A matriz transposta da matriz A, denotada por</p><p>AT ou At, é a matriz obtida escrevendo as colunas de A, na ordem,</p><p>como linhas. De maneira formal, dada uma matriz A = (aij), i =</p><p>1, . . . ,m e j = 1, . . . ,n, a sua matriz transposta é dada por At = (aji).</p><p>Exemplo 1.4.8. Dada a matriz A =</p><p>[</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>]</p><p>, a matriz trans-</p><p>posta é</p><p>At =</p><p>a11 a21</p><p>a12 a22</p><p>a13 a23</p><p></p><p>e</p><p>(At)t =</p><p>[</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>]</p><p>= A.</p><p>Propriedades da Matriz Transposta: Considere as matrizes A e</p><p>B de mesma ordem e λ um escalar (número real).</p><p>6</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>i. (A+B)t = At +Bt</p><p>ii. (λA)t = λAt</p><p>iii. (At)t = A</p><p>iv. (AB)t = BtAt</p><p>Observação: o número de linhas de A é igual ao número de colunas</p><p>de At. O número de colunas de A é igual ao número de linhas de At.</p><p>� Matriz Simétrica: Uma matriz A é simétrica se At = A, isto é, se seus</p><p>elementos</p><p>= (0,1,1),v3 = (0,0,1) geram o</p><p>R3.</p><p>17. Mostre que:</p><p>{[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 1</p><p>0 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>]</p><p>,</p><p>[</p><p>0 0</p><p>0 1</p><p>]}</p><p>é uma base de M(2,2).</p><p>18. Nos itens a seguir, explique por que S não é uma base de R2:</p><p>(a) S = {(−4,5),(0,0)}</p><p>(b) S = {(−3,2)}</p><p>(c) S = {(1,2),(1,0),(0,1)}</p><p>19. Determine geradores para os seguintes subespaços:</p><p>(a) W = {(x,y,z) ∈ R3, x− y − z = 0}</p><p>(b) W = {(x,y,z)R3,x− y − z = 0 ex+ 2y = 0}</p><p>20. Dados os seguintes subespaços do R4:</p><p>(a) S1 = {(a,b,c,d)|a+ b+ c = 0}</p><p>(b) S2 = {(a,b,c,d)|a− 2b = 0,c = 3d}</p><p>Determinar a dimensão de S1 e S2 e uma base de S1 e S2.</p><p>103</p><p>IMEF - FURG</p><p>3.9. LISTA 3</p><p>21. Determine o posto da matriz A =</p><p>1 1 −1</p><p>2 −3 1</p><p>1 −4 2</p><p>.</p><p>22. A matriz de coordenadas de v em R2 em relação à base ordenada (não</p><p>canônica) B = {(−2,3),(3,− 2)} é vB =</p><p>[</p><p>−1</p><p>4</p><p>]</p><p>. Determine a matriz de</p><p>coordenadas de v em relação à base canônica B′ = {(1,0),(0,1)}.</p><p>104</p><p>IMEF - FURG</p><p>Caṕıtulo 4</p><p>Transformações Lineares</p><p>Objetivos principais do caṕıtulo</p><p>� Determinar se uma transformação é linear.</p><p>� Determinar imagens de uma transformação.</p><p>� Determinar o núcleo de uma transformação linear.</p><p>� Decidir se uma transformação linear é injetora.</p><p>� Determinar a matriz canônica de uma transformação linear.</p><p>� Identificar transformações lineares definidas por reflexões, dilatações,</p><p>contrações, cisalhamentos e rotações.</p><p>4.1 Motivação</p><p>A computação gráfica está presente em vários campos, como por exem-</p><p>plo, no caso de um designer querer visualizar um objeto antes dele ser cri-</p><p>ado fisicamente. As transformações lineares nesse caso podem ser úteis,</p><p>pois podemos através de pontos gerar imagens e o software pode usar essas</p><p>informações para gerar visualizações em qualquer perspectiva. As trans-</p><p>formações lineares que produzem rotações podem gerar diferentes visua-</p><p>lizações.</p><p>Métodos estat́ısticos podem usar transformações lineares. Em análise</p><p>de regressão múltipla, existem duas ou mais variáveis independentes e uma</p><p>única variável dependente. Uma transformação linear é útil para encontrar</p><p>pesos a serem atribúıdos às variáveis independentes e para prever o valor da</p><p>variável dependente.</p><p>105</p><p>4.2. INTRODUÇÃO</p><p>4.2 Introdução</p><p>Neste caṕıtulo vamos aprender sobre funções que levam um espaço ve-</p><p>torial V em um espaço vetorial W . Esse tipo de função, ou aplicação, ou</p><p>também chamada de transformada T de um espaço V em W é uma regra</p><p>que associa a cada elemento de V , um único elemento do W . O conjunto V</p><p>é chamado de domı́nio e o conjunto W é chamado de contradomı́nio de T .</p><p>Podemos dizer que T é uma transformação do espaço vetorial V no</p><p>espaço vetorial W e denotamos por: T : V → W . A terminologia padrão de</p><p>função é usada para essas funções. No caso em que V = W , dizemos que a</p><p>transformação é um operador de V .</p><p>Figura 4.1: Transformações lineares entre espaços vetoriais</p><p>Pelo fato de T ser uma função, cada vetor v ∈ V tem um só vetor imagem</p><p>w ∈ W , tal que w = T (v).</p><p>Interesse: Estudar uma classe especial de funções definidas entre espaços</p><p>vetoriais que são aquelas que preservam as operações de adição e multi-</p><p>plicação por um escalar.</p><p>Exemplo 4.2.1. Considere a seguinte transformação: T : R → R definida</p><p>por T (x) = x+ 4. Se x = 1, então T (1) = 5.</p><p>Figura 4.2: T : R → R, onde T (x) = x+ 4</p><p>Exemplo 4.2.2. Considere a transformação T : R2 → R3 que associa ve-</p><p>tores v⃗ = (x,y) ∈ R2 com vetores w⃗ = (x,y,z) ∈ R3. Se a lei ou regra que</p><p>define esta transformação for T (x,y) = (x,y,x+ y) temos que:</p><p>106</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.2. INTRODUÇÃO</p><p>Se x = 1 e y = 2, então T (1,2) = (1,2,3).</p><p>Se x = 0 e y = 1, então T (0,1) = (0,1,1).</p><p>Figura 4.3: T : R2 → R3, onde T (x,y) = (x, y, x+ y)</p><p>Exemplo 4.2.3. Considere T : R3 → R3, onde T (x,y,z) = (x,y,0), que</p><p>representa uma projeção ortogonal do R3 no plano xOy. Esta transformação</p><p>leva um vetor qualquer do R3 na sua projeção sobre o plano xOy.</p><p>Figura 4.4: R3 → R3, onde T (x,y,z) = (x,y,0)</p><p>Exemplo 4.2.4. (Encontrando a imagem de uma transformação linear).</p><p>Use a função para encontrar a imagem de v, sabendo que: T : R3 → R3,</p><p>onde T (x,y,z) = (2x+ y,2y − 3z,x− z), para v = (2,− 1,3).</p><p>Solução: T (2,− 1,3) = (2(2)+ (−1),2(−1)− 3(3),2− 3) = (3,− 11,− 1).</p><p>Portanto, T (v) = (3,− 11,− 1) é a imagem de v pela transformação dada.</p><p>Exemplo 4.2.5. Considere um vetor qualquer v = (x,y,z) em R3 e defina</p><p>T : R3 → R2 onde T (x,y,z) = (2x+ y,x− y).</p><p>� determine a imagem de v = (2,1,4).</p><p>� determine a pré-imagem de w = (−1,2)</p><p>107</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Solução: Para v = (2,1,4), temos:</p><p>T (2,1,4) = (2(2) + 1,2− 1) = (5,1)</p><p>E, para a pré-imagem, se T (x,y,z) = (2x + y,x − y) = (−1,2), então para</p><p>determinar as variáveis x e y, resolvemos o seguinte sistema:{</p><p>2x+ y = −1</p><p>x− y = 2</p><p>Este sistema tem solução para x = 1</p><p>3 e y = −5</p><p>3 . Então, a pré-imagem de</p><p>(−1,2) é o conjunto em R3 que consiste do vetor (13 ,−</p><p>5</p><p>3 ,z).</p><p>4.3 Transformações Lineares</p><p>A ideia de uma transformação linear é a de generalizar o conceito de</p><p>funções lineares para envolver domı́nios e imagens que sejam espaços veto-</p><p>riais.</p><p>Definição 20. Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação</p><p>linear T : V → W é uma aplicação (função) que satisfaz as seguintes</p><p>condições:</p><p>T (u+ v) = T (u) + T (v), ∀u,v ∈ V</p><p>(Aditividade)</p><p>A imagem da soma é a soma das imagens.</p><p>T (λu) = λT (u), ∀u ∈ V e ∀λ ∈ R</p><p>(Homogeneidade)</p><p>A imagem de um vetor multiplicado por um escalar</p><p>é igual ao escalar multiplicado pela imagem.</p><p>Figura 4.5: Propriedades da Transformação Linear</p><p>Observação: Uma transformação linear T : V → V (neste casoW = V )</p><p>é chamada de operador linear.</p><p>108</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Exemplo 4.3.1. (Verificação de uma transformação linear.) Veri-</p><p>fique se T : R3 → R2, T (x,y,z) = (2x − 4y,x − 5z) é uma transformação</p><p>linear.</p><p>Solução: Para mostrar que T é uma transformação linear, devemos mos-</p><p>trar que ela preserva a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Para</p><p>isso, sejam u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2) vetores genéricos de R3. Con-</p><p>siderando que u + v = (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2),</p><p>então</p><p>T (u+ v) = T (x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2)</p><p>= (2(x1 + x2)− 4(y1 + y2),(x1 + x2)− 5(z1 + z2))</p><p>= (2x1 + 2x2 − 4y1 − 4y2,x1 + x2 − 5z1 − 5z2)</p><p>= (2x1 − 4y1,x1 − 5z1) + (2x2 − 4y2,x2 − 5z2)</p><p>= T (u) + T (v).</p><p>Seja λ ∈ R, então λu = λ(x1,y1,z1) = (λx1,λy1,λz1), logo</p><p>T (λu) = T (λx1,λy1,λz1)</p><p>= (2λx1 − 4λy1,λx1 − 5λz1)</p><p>= λ(2x1 − 4y1, x1 − 5z1)</p><p>= λT (u).</p><p>Portanto, T é uma transformação linear.</p><p>Exemplo 4.3.2. (Verificação de uma transformação linear.) Verifi-</p><p>que se T : R → R, T (x) = 5x é um operador linear.</p><p>Solução: Analogamente ao exemplo anterior, vamos mostrar que T pre-</p><p>serva a soma de vetores e a multiplicação por escalar. De fato, sejam u = x1</p><p>e v = x2 ∈ R, então</p><p>T (u+ v) = T (x1 + x2)</p><p>= 5(x1 + x2)</p><p>= 5x1 + 5x2</p><p>= T (u) + T (v).</p><p>Além disso, se λ ∈ R, então T (λu) = T (λx1) = 5λx1 = λ(5x1) = T (u).</p><p>Portanto, T é um operador linear. Observe no gráfico abaixo que esse</p><p>operador linear representa uma reta que passa pela origem.</p><p>109</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Figura 4.6: Exemplo da transformação T : R → R, T (x) = 5x</p><p>Exemplo 4.3.3. (Verificação de uma transformação linear.) Verifi-</p><p>car se T : M2×2 −→ M2×2 definida por:</p><p>T</p><p>[</p><p>a b</p><p>c d</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>b c− d</p><p>c+ d 2a</p><p>]</p><p>com elementos sobre os reais é uma transformação linear.</p><p>Solução: Para mostrar que T é uma transformação linear, você deve</p><p>mostrar que ela preserva a soma de vetores e multiplicação por escalar.</p><p>Para isso, chamamos dois vetores u =</p><p>[</p><p>a1 b1</p><p>c1 d1</p><p>]</p><p>e v =</p><p>[</p><p>a2 b2</p><p>c2 d2</p><p>]</p><p>e um</p><p>número real λ qualquer. E aplicamos as propriedades da soma de vetores e</p><p>da multiplicação por escalar:</p><p>110</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>A imagem da soma é a soma das imagens:</p><p>T (u+ v) = T</p><p>([</p><p>a1 b1</p><p>c1 d1</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>a2 b2</p><p>c2 d2</p><p>])</p><p>= T</p><p>([</p><p>a1 + a2 b1 + b2</p><p>c1 + c2 d1 + d2</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>b1 + b2 (c1 + c2)− (d1 + d2)</p><p>(c1 + c2) + (d1 + d2) 2(a1 + a2)</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>b1 c1 − d1</p><p>c1 + d1 2a1</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>b2 c2 − d2</p><p>c2 + d2 2a2</p><p>]</p><p>= T (u) + T (v)</p><p>A imagem de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao escalar</p><p>multiplicado pela imagem:</p><p>T (λu) = T</p><p>([</p><p>λa1 λb1</p><p>λc1 λd1</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>λb1 λ(c1 − d1)</p><p>λ(c1 + d1) λ2a1</p><p>]</p><p>= λ</p><p>[</p><p>b1 c1 − d1</p><p>c1 + d1 2a1</p><p>]</p><p>= λT (u).</p><p>Logo, é uma transformação linear.</p><p>Exemplo 4.3.4. (Exemplo de transformação linear) Simetria em</p><p>relação a origem. É uma transformação linear:</p><p>T : R3 → R3</p><p>u → −u.</p><p>Figura 4.7: Vetores simétricos em relação a origem no R3</p><p>111</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Exemplo 4.3.5. (Exemplo de uma transformação não linear.) Ve-</p><p>rifique que T : R → R, T (x) = x + 4 do exemplo 4.2.1 não é uma trans-</p><p>formação linear.</p><p>Solução: Sejam u = x1 e v = x2 ∈ R, então</p><p>T (u+ v) = T (x1 + x2)</p><p>= (x1 + x2) + 4</p><p>= x1 + 4 + x2</p><p≯= T (u) + T (v).</p><p>Portanto, T não é um operador linear.</p><p>Exemplo 4.3.6. (Exemplo de uma transformação não linear) Veri-</p><p>fique se T : R → R, T (x) = 5x− 1 é uma transformação linear.</p><p>Solução: Sejam u = x1 e v = x2 ∈ R, então</p><p>T (u+ v) = T (x1 + x2)</p><p>= 5(x1 + x2)− 1</p><p>= 5x1 + 5x2 − 1</p><p>= 5x1 − 1 + 5x2</p><p≯= T (u) + T (v).</p><p>Portanto, T não é uma transformação linear. Observe no gráfico abaixo</p><p>que essa transformação linear representa uma reta que não passa pela ori-</p><p>gem.</p><p>Figura 4.8: Exemplo da transformação T : R → R, T (x) = 5x− 1</p><p>112</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Exemplo 4.3.7. (Exemplo de uma transformação não linear) A</p><p>transformação T : R → R, T (x) = x2 também não é uma transformação</p><p>linear porque, em geral, (x1 + x2)</p><p>2 ̸= x21 + x22.</p><p>Observações:</p><p>� Em toda transformação linear T : V → W , a imagem do vetor 0 ∈ V é</p><p>o vetor 0 ∈ W , isto é, T (0) = 0. Este fato decorre da segunda condição</p><p>considerando o escalar λ = 0, pois</p><p>T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0.</p><p>Temos como consequência: se T (0) ̸= 0, então T não é uma trans-</p><p>formação linear.</p><p>� Cuidado que o fato de T (0) = 0 não garante que T seja uma trans-</p><p>formação linear. Por exemplo, a transformação T : R → R, T (x) = x2</p><p>é tal que T (0) = 0 mas T não é linear.</p><p>4.3.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Dada uma transformação T : R2 → R2 definida pela lei T (x,y) =</p><p>(x− 2y,x− y), encontre a imagem de u = (2,3) ∈ R2.</p><p>2. A transformação T : R2 → R2, tal que T (x,y) = x+ y + 1 é linear?</p><p>3. A transformação T : R2 → R3, tal que T (x,y) = (2x,0,x+ y) é linear?</p><p>4. A transformação T : R → R, tal que T (x) = 6x é linear?</p><p>5. A transformação T</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>[</p><p>x+ 1</p><p>y − z</p><p>]</p><p>é linear?</p><p>Respostas: 1. T (x,y) = (−4,− 1); 2. Não é linear. 3. É linear. 4. É linear.</p><p>5. Não é linear.</p><p>4.3.2 Propriedades das Transformações Lineares</p><p>Seja T uma transformação linear de V em W e sejam u e v vetores em</p><p>V . Então, as seguintes propriedades são válidas:</p><p>1. T (0) = 0, isto é, a transformação linear leva o vetor nulo no vetor</p><p>nulo;</p><p>2. T (−v) = −T (v), pois, −v = (−1)v então (−1)T (v) = −T (v)</p><p>3. T (u − v) = T (u) − T (v), pois, u − v = u + (−v), o que justifica a</p><p>igualdade;</p><p>113</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>4. Se v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn, então</p><p>T (v) = T (λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = λ1T (v1) + · · ·+ λnT (vn).</p><p>Esta propriedade sugere que uma transformação linear T : V →</p><p>W é determinada por sua ação em uma base de V . O que signi-</p><p>fica que, se {v1, v2, . . . , vn} é uma base do espaço vetorial V e se</p><p>T (v1), T (v2), . . . , T (vn) são dados, então T (v) pode ser determinado</p><p>para qualquer v em V .</p><p>O próximo exemplo ilustra a propriedade 4.</p><p>Exemplo 4.3.8. (Transformações Lineares e Bases) Considere a se-</p><p>guinte transformação, T : R3 → R3 tal que T (1,0,0) = (2,4,1) , T (0,1,0) =</p><p>(1,5,1) e T (0,0,1) = (1,0,1). Determine T (3,2,− 2).</p><p>Solução: O vetor (3,2,− 2) escrito na base canônica é</p><p>(3,2,− 2) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0)− 2(0,0,1)</p><p>então usando a propriedade 4 para escrever</p><p>T (3,2,− 2) = 3T (1,0,0) + 2T (0,1,0)− 2T (0,0,1)</p><p>T (3,2,− 2) = 3(2,4,1) + 2(1,5,1)− 2(1,0,1) = (6,12,3) + (2,10,2)− (2,0,2)</p><p>T (3,2,− 2) = (6,22,3)</p><p>4.3.3 Existência e Unicidade da Transformação Linear</p><p>Teorema 4.3.1. Sejam V e W espaços vetoriais reais. Sejam v1, v2, . . . , vn</p><p>uma base de V e w1, w2, . . . , wn uma base de W . Então existe uma única</p><p>transformação linear T : V → W tal que:</p><p>T (v1) = w1, T (v2) = w2, . . . , T (vn) = wn.</p><p>Vejamos um exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 4.3.9. (Determinação de uma transformação) Determine a</p><p>transformação linear, T : R3 → R3, tal que T (0,0,1) = (2,−2,4), T (0,1,1) =</p><p>(3,0,6) e T (1,1,1) = (1,1,− 3).</p><p>Solução: Como {(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)} é uma base, qualquer vetor</p><p>(x,y,z) ∈ R3, podemos escrever a seguinte combinação linear:</p><p>(x,y,z) = a(0,0,1) + b(0,1,1) + c(1,1,1)</p><p>Igualando os termos correspondentes, obtemos o sistema:</p><p>c = x</p><p>b+ c = y</p><p>a+ b+ c = z</p><p>114</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Resolvendo o sistema, c = x, b = y − x e a = z − y.</p><p>Podemos escrever a imagem como:</p><p>T (x,y,z) = aT (v1) + bT (v2) + cT (v3)</p><p>T (x,y,z) = (z − y)T (0,0,1) + (y − x)T (0,1,1) + xT (1,1,1)</p><p>T (x,y,z) = (z − y)(2,− 2,4) + (y − x)(3,0,6) + x(1,1,− 3)</p><p>T (x,y,z) = (2z − 2y,− 2z + 2y,4z − 4y) + (3y − 3x,0,6y − 6x) + (x,x,− 3x)</p><p>T (x,y,z) = (−2x+ y + 2z,x+ 2y − 2z,− 9x+ 2y + 4z)</p><p>Esta é a lei da transformação que leva vetores do R3 em vetores do</p><p>R3.Esta transformação é linear.</p><p>Exemplo 4.3.10. (Determinação de uma transformação) Determine</p><p>a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1,0,0) = (3,0), T (0,1,0) =</p><p>(1,− 1) e T (0,0,1) = (0,− 3). Além disso, determine v ∈ R3 tal que T (v) =</p><p>(2,4).</p><p>Solução: Expressando um vetor genérico (x,y,z) ∈ R3 como combinação</p><p>linear dos vetores da base do R3:</p><p>(x,y,z) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1).</p><p>Resolvendo o sistema: a = x, b = y e c = z. Então,</p><p>T (x,y,z) = aT (1,0,0) + bT (0,1,0) + cT (0,0,1)</p><p>T (x,y,z) = x(3,0) + y(1,− 1) + z(0,− 3)</p><p>T (x,y,z) = (3x+ y,− y − 3z)</p><p>Para determinar v, temos: T (v) = (2,4)</p><p>(2,4) = x(3,0) + y(1,− 1) + z(0,− 3){</p><p>3x+ y = 2</p><p>−y − 3z = 4</p><p>Portanto, v = (x,2− 3x,− 2 + x).</p><p>Exemplo 4.3.11. (A Transformação Identidade e a Transformação</p><p>Nula)</p><p>� A Transformação Identidade:</p><p>I : V → V</p><p>onde I(v) = v é uma transformação linear, pois</p><p>I(u+ v) = u+ v = I(u) + I(v)</p><p>I(λu) = λu = λI(u).</p><p>� A Transformação Nula:</p><p>T : V → W</p><p>onde T (v) = 0, para todo v. É uma transformação linear.</p><p>115</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>4.3.4 Transformação Linear dada por uma Matriz</p><p>Uma matriz Am×n determina uma transformação linear TA : Rn → Rm</p><p>definida por TA(v) = Av. Note que neste caso, a imagem de TA(v) = Av é</p><p>o produto da matriz A pelo vetor v ∈ Rn.</p><p>Sejam u,v ∈ Rn e λ ∈ R, então</p><p>TA(u+ v) = A(u+ v) = Au+Av = TA(u) + TA(v)</p><p>TA(λu) = A(λu) = λ(Au) = λTA(u)</p><p>Precisamos entender que uma matriz A de tamanho m×n define uma trans-</p><p>formação linear de Rn em Rm. Vejamos o próximo exemplo.</p><p>Exemplo 4.3.12. Considere a transformação linear: TA : Rn → Rm defi-</p><p>nida por TA(v) = Av. Determine as dimensões de Rn e Rm para a trans-</p><p>formação linear representada por cada matriz.</p><p>1. A =</p><p> 2 3 4</p><p>−1 5 3</p><p>2 −1 −2</p><p></p><p>2. A =</p><p> 2 −3 1 1</p><p>−1 2 3 −3</p><p>2 1 1 1</p><p></p><p>Solução:</p><p>1. O tamanho da matriz A é 3 × 3, então ela define uma transformação</p><p>linear de R3 em R3.</p><p>Av =</p><p> 2 3 4</p><p>−1 5 3</p><p>2 −1 −2</p><p>v1v2</p><p>v3</p><p> =</p><p>w1</p><p>w2</p><p>w3</p><p></p><p>2. O tamanho da matriz é 3 × 4, portanto a matriz define uma trans-</p><p>formação linear R4 em R3.</p><p>Exemplo 4.3.13. Polinômios. Seja Pn o espaço vetorial dos polinômios</p><p>de grau ≤ n e considere D : Pn → Pn−1 a aplicação derivada que a cada</p><p>polinômio associa sua derivada a qual também é um polinômio (com um grau</p><p>a menos). Dessa forma, D é uma transformação linear, pois pelas regras de</p><p>derivação temos:</p><p>D(f + g) = D(f) +D(g)</p><p>D(λf) = λD(f)</p><p>116</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Exemplo 4.3.14. (Interpretação geométrica do significado de uma</p><p>transformação).</p><p>Considere</p><p>T : R2 → R2, onde T (x,y) = (2x+ y,3x+ 2y).</p><p>Sendo u = (2, − 2) e v = (0,2) ∈ R2, então T (u) = (2,2) e T (v) = (2,4).</p><p>Observe que u+ v representa a diagonal do paralelogramo formado por u e</p><p>v e sua imagem T (u + v) também, já que é determinada por T (u) e T (v).</p><p>Portanto, T preserva a adição.</p><p>4.3.5 Agora tente resolver!</p><p>1. Nos itens abaixo, defina a transformação linear T : Rn → Rm por</p><p>TA(v) = Av e encontre as dimensões de Rn e Rm.</p><p>(a) a matriz A é de ordem 4× 2;</p><p>(b) a matriz A é de ordem 5× 5;</p><p>(c) a matriz A é de ordem 1× 4.</p><p>2. Considere a transformação linear: T : R2 → R3 tal que T (1,0) =</p><p>(2,1,4) e T (0,1) = (−2,0,3).</p><p>(a) determine a transformação T (x,y).</p><p>(b) determine T (4,− 2).</p><p>3. Verifique se T : R2 → R3 onde, T (x,y) = (7x + 4y,3x − y, − x − y) é</p><p>uma transformação linear e calcule T (3,3).</p><p>4. Determine a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1,1,1) =</p><p>(1,0), T (1,1,0) = (2,− 1) e T (1,0,0) = (4,− 3).</p><p>5. Encontre a lei que define a transformação: T : R2 → R2, tal que</p><p>T (1,1) = (1,0) e T (−1,1) = (1,2).</p><p>117</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.4. NÚCLEO DE UM TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>6. Encontre a lei que define a transformação: T : R2 → R3, tal que</p><p>T (1,2) = (3,− 1,5) e T (0,1) = (2,1,− 4).</p><p>Respostas: 1. (a) O tamanho da matriz é 4×2, portanto a matriz define uma</p><p>transformação linear R2 em R4. (b) O tamanho da matriz é 5× 5, portanto</p><p>a matriz define uma transformação linear R5 em R5. (c) O tamanho da</p><p>matriz é 1 × 4, portanto a matriz define uma transformação linear R4 em</p><p>R1. 2. (a)T (x,y) = (2x − 2y, x, 4x + 3y). 3. É linear. 4. T (x,y,z) =</p><p>(4x − 2y − z,−3x + 2y + z). 5. T (x,y) = (y, x − y). 6.T (x,y) = (−x +</p><p>2y,−3x+ y, 13x− 4y).</p><p>4.4 Núcleo de um Transformação Linear</p><p>Em se tratando de transformações lineares é posśıvel fazer comparações</p><p>com sistemas lineares, pois um sistema</p><p>a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1</p><p>a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2</p><p>...................................................</p><p>am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm</p><p>pode ser escrito como Ax = b, onde</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>. . . . . . . . . . . .</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p> , x =</p><p></p><p>x1</p><p>x2</p><p>:</p><p>xn</p><p> , b =</p><p></p><p>b1</p><p>b2</p><p>:</p><p>bn</p><p> ,</p><p>é uma transformação linear T : Rn → Rm. A matriz A é a matriz da</p><p>transformação linear. Um dos tipos de sistemas de equações lineares que</p><p>estudamos foram os sistemas homogêneos, do tipo Ax = 0, a solução desse</p><p>sistema é o conjunto de vetores x que a transformação linear A leva a 0</p><p>(a matriz nula correspondente). Esse conceito pode ser generalizado para a</p><p>ideia de núcleo de uma transformação linear, que é o conjunto de todos os</p><p>vetores (no sentido mais amplo da palavra) que a transformação leva até o</p><p>vetor 0.</p><p>Das propriedades de transformações lineares, sabemos que para qualquer</p><p>transformação linear T : V → W , o vetor nulo de V é levado no vetor nulo</p><p>de W , isto é T (0) = 0. Nesta seção nos perguntamos se existem outros</p><p>vetores v tais que T (v) = 0. A coleção de todos esses elementos é o núcleo</p><p>de T .</p><p>Definição 21. Seja T : V → W uma Transformação Linear. O núcleo,</p><p>N(T ) é um conjunto de todos os vetores v ∈ V que são levados por T no</p><p>vetor nulo de W , isto é, T (v) = 0.</p><p>N(T ) = {v ∈ V, T (v) = 0}</p><p>118</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.4. NÚCLEO DE UM TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Observação: o núcleo também pode ser indicado por Ker(T ) (Kernel).</p><p>Observação: Considere T : Rn → Rm a transformação linear T (x) =</p><p>Ax. Então o núcleo de T é igual ao espaço solução de Ax = 0.</p><p>Propriedades do Núcleo</p><p>Seja T : V → W uma Transformação Linear. Então, o núcleo de uma</p><p>transformação linear, N(T ), é um subespaço vetorial de V . Podemos verifi-</p><p>car que ele é fechado para soma de vetores e para multiplicação por escalar.</p><p>� Se v1 e v2 são vetores pertencentes a N(T ). Então, v1 + v2 ∈ N(T ),</p><p>pois: T (v1) = 0 e T (v2) = 0, logo</p><p>T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = 0 + 0 = 0.</p><p>� Se v ∈ N(T ) e λ ∈ R. Então T (λv) = λT (v) = λ0 = 0, o que implica</p><p>que λv está no núcleo.</p><p>Exemplo 4.4.1. (Determinação do Núcleo de uma Transformação</p><p>Linear) Determine o núcleo da transformação T : R2 → R2 tal que T (x,y) =</p><p>(x+ 2y,3x− 4y).</p><p>Solução: Para determinar o núcleo, devemos resolver em (x,y) a equação</p><p>T (x,y) = (x+ 2y,3x− 4y) = (0,0)</p><p>O núcleo é o conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo{</p><p>x+ 2y = 0</p><p>3x− 4y = 0</p><p>Que possui apenas a solução trivial (x,y) = (0,0), então conclúımos que</p><p>N(T ) = {(0,0)}.</p><p>Exemplo 4.4.2. (Determinação do Núcleo de uma Transformação</p><p>Linear) Determine o núcleo da transformação T : R4 → R3 tal que T (x,y,z,w) =</p><p>(x+ y + z + w, x+ w, x+ 2y + z).</p><p>Solução: Devemos resolver em (x,y,z,w) o seguinte sistema linear ho-</p><p>mogêneo </p><p>x+ y + z + w = 0</p><p>x+ w = 0</p><p>x+ 2y + z = 0</p><p>A solução do sistema homogêneo nos mostra que</p><p>N(T ) = {(x,− x, x,− x);x ∈ R}.</p><p>119</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.5. IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo 4.4.3. (Determinação do Núcleo de uma Transformação</p><p>Linear) Escreva o núcleo da transformação linear T : R2 → R dada por</p><p>T (x,y) = x− y</p><p>Solução: Temos que resolver x − y = 0, então x = y, de modo que o</p><p>núcleo de T é N(T ) = {(y,y); y ∈ R}</p><p>4.4.1 Transformação Linear Injetora</p><p>Definição 22. Uma Transformação Linear T : V → W é injetora quando</p><p>a pré-imagem de cada w na imagem é constitúıda por um único vetor. Isto</p><p>equivale a dizer que T é injetora se e somente se, para quaisquer u e v ∈ V ,</p><p>se T (u) = T (v) então que u = v.</p><p>Teorema 4.4.1. Seja T : V → W uma Transformação Linear. Então, T é</p><p>injetora se, e somente se, N(T ) = 0. Isto é, uma Transformação Linear é</p><p>injetora se o seu núcleo possui apenas o vetor nulo.</p><p>Demonstração. Inicialmente vamos supor T injetora e considerar v ∈ N(T ),</p><p>ou seja, T (v) = 0. Sabemos também que T (0) = 0, logo T (v) = T (0) e pela</p><p>injetividade de T , segue que v = 0. Portanto, N(T ) = 0.</p><p>Reciprocamente, vamos supor que N(T ) = 0 e considerar v1,v2 ∈ V tais</p><p>que T (v1) = T (v2). Logo,</p><p>0 = T (v1)− T (v2) = T (v1 − v2),</p><p>assim, v1 − v2 ∈ N(T ). Mas como por hipótese, o único elemento do núcleo</p><p>é o vetor nulo, segue que v1 − v2 = 0, ou seja, v1 = v2. Portanto, T é</p><p>injetora.</p><p>Exemplo 4.4.4. Considere as transformações dos exemplos anteriores:</p><p>a) T : R2 → R2, T (x,y) = (x + 2y,3x − 4y), onde N(T ) = {(0,0)} é</p><p>injetora.</p><p>b) T : R4 → R3, T (x,y,z,w) = (x + y + z + w,x + w,x + 2y + z), onde</p><p>N(T ) = {(x,− x,x,− x);x ∈ R}, não é injetora.</p><p>4.5 Imagem de uma Transformação Linear</p><p>Definição 23. Considere a Transformação Linear T : V → W . A imagem</p><p>de T , indicada por Im(T ), é o conjunto dos vetores w de W tais que existe</p><p>um vetor v em V que satisfaz T (v) = w, isto é,</p><p>Im(T ) = {w ∈ W/T (v) = w},</p><p>para algum v ∈ V .</p><p>120</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.5. IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Figura 4.9: Imagem da transformação</p><p>Propriedades da Imagem</p><p>Seja T : V → W uma Transformação Linear. Então a Im(T ) é um</p><p>subespaço vetorial de W . De fato:</p><p>� Se w1 e w2 são vetores pertencentes a Im(T ). Então w1+w2 ∈ Im(T )</p><p>pois:</p><p>∃ v1 ∈ V tal que T (v1) = w1</p><p>∃ v2 ∈ V tal que T (v2) = w2.</p><p>Então, w1 + w2 = T (v1) + T (v2) = T (v1 + v2).</p><p>� Seja w ∈ Im(T ) e λ ∈ R. Então λw ∈ Im(T ) pois ∃ v ∈ V tal que</p><p>T (v) = w. Logo, λw = λT (v) = T (λv).</p><p>Exemplo 4.5.1. (Determinação do Núcleo e Imagem) Determinar o</p><p>núcleo e a imagem de T : R3 → R3 tal que T (x,y,z) = (x− 3y,x− z,z − x).</p><p>Solução: </p><p>x− 3y = 0</p><p>x− z = 0</p><p>z − x = 0</p><p>Logo, o núcleo da transformação é N(T ) = {(3y,y,3y); y ∈ R}.</p><p>Para a imagem: </p><p>x− 3y = a</p><p>x− z = b</p><p>z − x = c</p><p>Então, a imagem: Im(T ) = {(a,b,c) ∈ R3; b = −c}.</p><p>Exemplo 4.5.2. Escreva a imagem da transformação linear T : R2 → R</p><p>dada por T (x,y) = x− y.</p><p>121</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.5. IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Solução: Como qualquer número real pode ser escrito como a diferença</p><p>de dois números reais, z = x−y para todo z ∈ R, x,y ∈ R, a imagem é dada</p><p>por Im = R.</p><p>Teorema 4.5.1. Teorema da Dimensão. Seja V um espaço de dimensão</p><p>finita e T : V → W uma Transformação Linear. Então,</p><p>dimN(T ) + dimIm(T ) = dimV.</p><p>Observação: Se T : V → W é linear, e {v1, · · · ,vn} gera V , então</p><p>{T (v1), · · · ,T (vn)} gera a Im(T ). De fato, seja w ∈ Im(T ). Então, T (v) =</p><p>w para algum v ∈ V . Como {v1, · · · ,vn} gera V , existem escalares λ1,λ2, . . . ,λn</p><p>tais que:</p><p>v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn</p><p>e</p><p>w = T (v) = T (λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn) = λ1T (v1) + · · ·+ λnT (vn)</p><p>Portanto, Im(T ) = [T (v1), . . . ,T (vn)].</p><p>Definição 24. Posto e Nulidade de uma transformação linear: Dada</p><p>uma transformação linear T : V → W , o posto de T é definido como</p><p>sendo igual à dimensão da imagem de T , isto é, posto(T ) = dimIm(T ).</p><p>E a nulidade de uma transformação linear é definida como sendo igual à</p><p>dimensão do núcleo de T , isto é, nulidade(T ) = dimN(T ).</p><p>4.5.1 Transformação Linear Sobrejetora e Isomorfismo</p><p>Definição 25. Se a imagem de uma Transformação Linear T : V → W é</p><p>igual ao contradomı́nio, dizemos que T é sobrejetora. Para que isto ocorra</p><p>é necessário que dim(Im(T )) = dim(W ) já que Im(T ) ⊂ W .</p><p>Observação: Seja T : V → W uma Transformação Linear. Se dimV =</p><p>dimW , então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora.</p><p>Exemplo 4.5.3. Considere T : R3 → R3, T (x,y,z) = (x− 3y,x− z,z − x),</p><p>do exemplo anterior. Podemos verificar que dimIm(T ) =dimV−dimN(T ) =</p><p>3− 1 = 2, portanto, a transformação não é sobrejetora.</p><p>Definição 26. Uma transformação linear T : V → W que é injetora e</p><p>sobrejetora é chamada de isomorfismo. Além disso, se V e W são espaços</p><p>vetoriais tais que existe um isomorfismo de V para W , então V e W são</p><p>isomorfos entre si.</p><p>Teorema 4.5.2. Dois espaços vetoriais de dimensões finitas V e W são</p><p>isomorfos se e somente se eles tem a mesma dimensão.</p><p>122</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.5. IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Exemplo 4.5.4. Os espaços vetoriais abaixo são isomorfos entre si:</p><p>� R4 = espaço de dimensão 4</p><p>� M4,1 = espaço de todas as matrizes 4× 1</p><p>� P3 = espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3</p><p>O exemplo diz que os elementos nesses espaços se comportam da mesma</p><p>maneira que um vetor arbitrário v = (v1,v2,v3,v4) ∈ R4.</p><p>4.5.2 Agora tente resolver!</p><p>1. Determine o núcleo da transformação T : R3 → R3, tal que T (x,y,z) =</p><p>(x+ 2y + 3z,x+ y + z,5x+ 7y + 9z). T é injetora?</p><p>2. Determine o núcleo da transformação T : R3 → R4, tal que T (x,y,z) =</p><p>(x+ 2y + 3z,x+ y + z,x+ y + 2z,x+ 3y + 3z).</p><p>3. Seja T : R3 → R2 a transformação linear tal que T (e1) = (1,2),</p><p>T (e2) = (0,1) e T (e3) = (−1,3), sendo e1,e2,e3 a base canônica de</p><p>R3.</p><p>(a) Determinar a N(T) e uma de suas bases. T é injetora?</p><p>(b) Determinar a Im(T) e uma de suas bases. T é sobrejetora?</p><p>4. Seja T : R2 → R3 a transformação linear tal que T (1,0) = (2,1,4),</p><p>T (0,1) = (−2,0,3). Determine a transformação T (x,y), verifique se a</p><p>transformação é linear, encontre o núcleo e a dimensão do núcleo.</p><p>5. Dado o operador linear T : R3 → R3, tal que T (x,y,z) = (x + 2y −</p><p>z, y+2z, x+3y+z), determinar o núcleo e a imagem da transformação</p><p>e suas dimensões.</p><p>6. Seja o operador linear T : R2 → R2 tal que T (x,y) = (2x+y, 4x+2y).</p><p>(a) Verifique se u = (1,− 2) e v = (2,− 3) ∈ N(T ).</p><p>(b) Verifique se u = (2,4) e v = (−1,3) ∈ Im(T ).</p><p>Respostas: 1. N(T ) = {(z,−2z, z), z ∈ R}. 2. N(T ) = {(0,0,0)}. 3.</p><p>T (x,y,z) = (x− z, 2x+ y + 3z) e N(T ) = {(z,−5z, z), z ∈ R}. 4. N(T ) =</p><p>{(0,0)}, dimN(T ) = 0. 5. N(T ) = {(5z,−2z, z), z ∈ R}, dimN(T ) = 1.</p><p>6. (a) u ∈ N(T ) e (b) u ∈ Im(T ).</p><p>123</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.6. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>4.6 Matriz de uma Transformação Linear</p><p>Observe as duas representações de transformações lineares:</p><p>T : R3 → R3, T (x,y,z) = (x− y,2x+ 2y − z,x− z)</p><p>e</p><p>T (x) = Ax =</p><p>1 −1 0</p><p>2 2 −1</p><p>1 0 −1</p><p></p><p>qual delas seria melhor?</p><p>A segunda representação seria melhor pois, é mais simples, fácil de ler,</p><p>fácil de usar em softwares matemáticos. Vamos ver que a representação</p><p>de transformações lineares por matrizes nos traz algumas vantagens. Nas</p><p>transformações lineares que envolvem espaços vetoriais de dimensões finitas,</p><p>a representação por matriz é sempre posśıvel.</p><p>Matriz canônica de uma transformação linear</p><p>Seja T : Rn → Rm uma transformação linear tal que, para os vetores da</p><p>base canônica de Rn : {e1, e2, . . . , en},</p><p>T (e1) =</p><p>a11</p><p>:</p><p>am1</p><p> , T (e2) =</p><p>a12</p><p>:</p><p>am2</p><p> , . . . , T (en) =</p><p>a1n</p><p>:</p><p>amn</p><p> .</p><p>Então, a matriz m× n onde as n colunas correspondem a T (ei):</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>: : : :</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p></p><p>é tal que T (v) = Av para todo v em Rn. A matriz A é chamada de</p><p>matriz canônica de T .</p><p>Exemplo 4.6.1. Determine a matriz canônica da transformação linear T :</p><p>R2 → R2, definida por T (x,y) = (2x− y,x+ 3y)</p><p>Solução: Vamos determinar as imagens com relação a base canônica de</p><p>R2</p><p>� Em notação vetorial:</p><p>T (1,0) = (2,1)</p><p>T (0,1) = (−1,3)</p><p>124</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.6. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>� Em notação matricial:</p><p>T</p><p>([</p><p>1</p><p>0</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>2</p><p>1</p><p>]</p><p>T</p><p>([</p><p>0</p><p>1</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>−1</p><p>3</p><p>]</p><p>Pela definição anterior, as colunas da matriz A são as imagens de T (1,0) e</p><p>T (0,1), então</p><p>A =</p><p>[</p><p>T (1,0) T (0,1)</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2 −1</p><p>1 3</p><p>]</p><p>Exemplo 4.6.2. Determine a matriz canônica da transformação linear T :</p><p>R3 → R3, onde T (x,y,z) = (2x+ y − z,− x+ 3y − 2z,3y + 4z)</p><p>Solução: Seguindo a mesma ideia do exemplo anterior, a transformação</p><p>acima tem sua representação matricial da seguinte forma:</p><p>A =</p><p> 2 1 −1</p><p>−1 3 −2</p><p>0 3 4</p><p></p><p>Matriz de uma transformação linear</p><p>Sejam T : V → W uma transformação linear, A é uma base de V e B é</p><p>uma base de W . Considere dimV = n e dimW = m. E,</p><p>A = {v1,v2, · · · , vn} base de V e B = {w1,w2,w3, · · · , wm} base de W .</p><p>Um vetor v ∈ V pode ser expresso por v = k1v1+k2v2+· · ·+knvn; ki ∈ R</p><p>e a imagem T (v) por</p><p>T (v) = k1T (v1) + k2T (v2) + · · ·+ knT (vn).</p><p>Agora, cada T (vi) ∈ W , logo T (vi) = a1iw1 + · · · + amiwm, 0 ⩽ i ⩽ n.</p><p>Assim,</p><p>T (v) = k1T (v1) + k2T (v2) + · · ·+ knT (vn)</p><p>= k1(a11w1 + · · ·+ am1wm) + · · ·+ kn(a1nw1 + · · ·+ amnwm)</p><p>= (a11k1 + · · ·+ a1nkn)w1 + · · ·+ (am1k1 + · · ·+ amnkn)wm.</p><p>Portanto, na forma matricial</p><p>[T (v)]B =</p><p> a11k1 + · · ·+ a1nkn</p><p>...</p><p>am1k1 + · · ·+ amnkn</p><p> =</p><p>a11 · · · a1n</p><p>...</p><p>am1 · · · amn</p><p></p><p>k1...</p><p>k2</p><p></p><p>125</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.6. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Ou</p><p>[T (v)]B = [T ]AB[v]A,</p><p>onde</p><p>[T ]AB =</p><p> a11 · · · a1n</p><p>...</p><p>am1 · · · amn</p><p> e [v]A =</p><p>k1...</p><p>k2</p><p></p><p>↑ · · · ↑</p><p>T (v1)B · · · T (vn)B</p><p>As colunas da [T ]AB são as componentes das imagens dos vetores da base A</p><p>em relação a base B. A matriz [T ]AB depende das bases A e B consideradas,</p><p>isto é, a cada dupla de bases corresponde uma particular matriz. Assim, uma</p><p>transformação linear poderá ter uma infinidade de matrizes para representá-</p><p>la. No entanto, fixadas as bases, a matriz é única.</p><p>Exemplo 4.6.3. Se a dimV = 2 e dimW = 3, a matriz [T ]AB tem 3 linhas</p><p>e 2 colunas:</p><p>[T ]AB =</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>a31 a32</p><p></p><p>Exemplo 4.6.4. Seja a matriz A =</p><p>[</p><p>2 1 2</p><p>1 0 −1</p><p>]</p><p>e consideremos a trans-</p><p>formação linear que indicaremos por TA.</p><p>TA : R3 → R2 : TA(x,y,z) = A</p><p>xy</p><p>z</p><p></p><p>=</p><p>[</p><p>2 1 2</p><p>1 0 −1</p><p>]xy</p><p>z</p><p></p><p>=</p><p>[</p><p>2x+ y + 2z</p><p>x− y</p><p>]</p><p>Observe que o vetor (x,y,z) esta na forma de matriz coluna para que a</p><p>operação com a matriz A estivesse bem definida.</p><p>Exemplo 4.6.5. Seja T : R3 → R2, T (x,y,z) = (x + 2y + z,2x − y) linear,</p><p>considere A = {v1,v2,v3} onde v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,1), v3 = (2, − 1,0) e</p><p>B = {w1,w2}, sendo w1 = (1,− 1) e w2 = (1,0).</p><p>a) Determinar [T ]AB.</p><p>b) Se v = (2,− 3,1) (vetor com componentes em relação à base canônica</p><p>do R3), calcular T (v)B utilizando a matriz T .</p><p>126</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.6. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR</p><p>Solução: a) A matriz [T ]AB =</p><p>[</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>]</p><p>.</p><p>Encontrando as imagens, temos: T (v1) = (1,2), T (v2) = (3,−1), T (v3) =</p><p>(0,5).</p><p>Escrevendo as imagens como combinação linear dos vetores de B:{</p><p>a11 + a21 = 1</p><p>−a11 = 2</p><p>Portanto, a11 = −2, a21 = 3. {</p><p>a12 + a22 = 3</p><p>−a12 = −1</p><p>Então,</p><p>a12 = 1, a22 = 2. {</p><p>a13 + a23 = 0</p><p>−a13 = 5</p><p>Por fim, a13 = −5, a23 = 5. A matriz final: [T ]AB =</p><p>[</p><p>−2 1 5</p><p>3 2 −5</p><p>]</p><p>.</p><p>b) Como v = (2, − 3,1) está expresso na base canônica, deve-se primei-</p><p>ramente, expressá-lo na base A. Escrevendo vA = (a, b, c) temos o seguinte</p><p>sistema linear </p><p>a+ 2c = 2</p><p>b− c = −3</p><p>b = 1</p><p>cuja solução é a = −6, b = 1 e c = 4, ou seja, vA = (−6,1,4). Portanto,</p><p>T (v)B =</p><p>[</p><p>−2 1 5</p><p>3 2 −5</p><p>]−6</p><p>1</p><p>4</p><p> =</p><p>[</p><p>33</p><p>−36</p><p>]</p><p>.</p><p>Observações:</p><p>� Caso as bases de A e B forem as canônicas, representa-se a matriz por</p><p>[T ] [T (v)] = [T ][v]</p><p>� Dada uma Transformação Linear a cada dupla de bases A e B corres-</p><p>ponde uma matriz [T ]AB.</p><p>Reciprocamente, dadas a matriz e uma dupla de bases A e B podemos</p><p>encontrar a lei que define T .</p><p>127</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.7. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>4.6.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Dadas as bases A = {(1,1),(1,0)} do R2 e B = {(1,2,0),(1,0,− 1),(1,−</p><p>1,3)} do R3 determinar a Transformação Linear T : R2 → R3 cuja</p><p>matriz:</p><p>[T ]AB =</p><p> 3 0</p><p>−1 2</p><p>1 4</p><p></p><p>2. Considere a seguinte operação T : R2 → R2, onde T (x,y) = (2x +</p><p>y,x− y) e considere A = {(1,1),(0,2)} do R2 e B = {(1,0),(1,1)} do R2</p><p>, determine a matriz da transformação [T ]AB.</p><p>3. Seja T : R2 → R3, T (x,y) = (x + y,3x − 2y,4x − 3y) linear, considere</p><p>A = {v1,v2} onde v1 = (1,1),v2 = (1,0) e B{w1,w2,w3}, sendo w1 =</p><p>(1,2,0) e w2 = (1,0,− 1), w3 = (1,− 1,3). Determinar [T ]AB.</p><p>4.7 Operações com Transformações Lineares</p><p>Adição</p><p>Sejam T1 : V → W e T2 : V → W transformações lineares. Chama-se</p><p>soma das transformações lineares</p><p>T1 + T2 : V → W</p><p>v → (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v), ∀v ∈ V.</p><p>Exemplo 4.7.1. Considere: T1 : R2 → R3, onde T1(x,y) = (2x + y, x −</p><p>y,−2x) e T2 : R2 → R3, onde T2(x,y) = (2x + y, 2x − y, y), determine</p><p>(T1 + T2)(x,y).</p><p>Solução: Assim como na adição de matrizes, a adição de transformações</p><p>lineares dever ser entre transformações de espaços vetoriais iguais. As trans-</p><p>formações dadas são R2 em R3, sendo assim é posśıvel realizar a operação</p><p>de adição, já que as matrizes terão o mesmo tamanho. Vamos escrever as</p><p>respectivas matrizes canônicas, observando que em cada coluna estão res-</p><p>pectivamente os coeficientes da cada variável:</p><p>T1(u) = A1 =</p><p> 2 1</p><p>1 −1</p><p>−2 0</p><p></p><p>e</p><p>T2(u) = A2 =</p><p>2 1</p><p>2 −1</p><p>0 1</p><p> .</p><p>128</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.7. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Portanto,</p><p>(T1 + T2)(x,y) =</p><p> 2 1</p><p>1 −1</p><p>−2 0</p><p>+</p><p>2 1</p><p>2 −1</p><p>0 1</p><p> =</p><p> 4 2</p><p>3 −2</p><p>−2 1</p><p> .</p><p>Em notação vetorial, (T1 + T2)(x,y) = (4x+ 2y, 3x− 2y,−2x+ y)</p><p>Multiplicação por escalar</p><p>Seja T : V → W uma transformação linear e α ∈ R. Chama-se produto</p><p>de T pelo escalar α a transformação linear</p><p>αT : V → W</p><p>v → (αT )(v) = αT (v), ∀v ∈ V.</p><p>Exemplo 4.7.2. Considere: T1 : R2 → R3, onde T1(x,y) = (2x + y,12x −</p><p>3y,− 5x), determine 3T1(x,y).</p><p>Solução: A matriz canônica é</p><p>T1(u) = A1 =</p><p> 2 1</p><p>1</p><p>2 −3</p><p>−5 0</p><p></p><p>e o escalar α = 3, portanto</p><p>3A1 = 3</p><p> 2 1</p><p>1</p><p>2 −3</p><p>−5 0</p><p> =</p><p> 6 3</p><p>3</p><p>2 −9</p><p>−15 0</p><p> .</p><p>Em notação vetorial, (3T1)(x,y) = (6x+ 3y,32x− 9y,− 15x).</p><p>Composição</p><p>Sejam T1 : Rn → Rm e T2 : Rm → Rp transformações lineares com ma-</p><p>trizes canônicas A1 e A2, respectivamente. A composta de T : Rn → Rp</p><p>definida por T (v) = T2(T1(v)), denotada por T = T2 ◦ T1 é uma trans-</p><p>formação linear. Além disso, a matriz canônica A de T é o produto das</p><p>matrizes:</p><p>A = A2A1</p><p>A multiplicação de matrizes não é comutativa, de modo que a ordem é</p><p>importante ao formar as compostas de transformações lineares. Em geral, a</p><p>composta T2 ◦ T1 não é o mesmo que T1 ◦ T2, observe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 4.7.3. Sejam T1 : R3 → R3, onde T1(x,y,z) = (2x + y, 0, x + z)</p><p>e T2 : R3 → R3, onde T2(x,y,z) = (x − y, z, y), determine T = T2 ◦ T1 e</p><p>T ′ = T1 ◦ T2</p><p>129</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.7. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES</p><p>Solução: as matrizes são: A1 =</p><p>2 1 0</p><p>0 0 0</p><p>1 0 1</p><p> e A2 =</p><p>1 −1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 1 0</p><p>. Então,</p><p>pela definição, T é</p><p>T = A2A1 =</p><p>1 −1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 1 0</p><p>2 1 0</p><p>0 0 0</p><p>1 0 1</p><p> =</p><p>2 1 0</p><p>1 0 1</p><p>0 0 0</p><p> .</p><p>E, T ′ é</p><p>T ′ = A1A2 =</p><p>2 1 0</p><p>0 0 0</p><p>1 0 1</p><p>1 −1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 1 0</p><p> =</p><p>2 −2 1</p><p>0 0 0</p><p>1 0 0</p><p> .</p><p>Definição 27. Transformação linear inversa: Se T1 : Rn → Rn e T2 : Rn →</p><p>Rn são transformações lineares tais que, para todo v em Rn, T2(T1(v)) = v</p><p>e T1(T2(v)) = v, então T2 é a inversa de T1 e T1 é dita inverśıvel.</p><p>Se a transformação T1 é inverśıvel, então a inversa é única e é denotada</p><p>por T−1</p><p>1 . Pode-se pensar que a inversa de uma transformação linear desfaz</p><p>o que a transformação T fez. Exemplo, Se uma transformação linear de R2</p><p>em R2 tal que T (2,4) = (3,1), se existe T−1 então T−1 leva (3,1) de volta a</p><p>pré-imagem por T , ou T−1(3,1) = (2,4). Vejamos um exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 4.7.4. (Determinação da inversa de uma Transformação</p><p>Linear) Dada a seguinte transformação linear: T : R3 → R3 definida por:</p><p>T (x,y,z) = (2x+ 3y+ z, x+ y+ z, 2x+ 4y+ z). Determine a inversa de T ,</p><p>se posśıvel.</p><p>Solução: A matriz canônica de T é:</p><p>2 3 1</p><p>1 1 1</p><p>2 4 1</p><p> Usando a eliminação</p><p>de Gauss-Jordan, verificamos que a matriz canônica possui inversa:</p><p>A−1 =</p><p> 3 −1 −2</p><p>−1 0 1</p><p>−2 2 1</p><p></p><p>Assim, a transformação linear T é inverśıvel e a matriz canônica de T−1</p><p>é A−1. Usando a matriz canônica para a inversa, obtemos a expressão para</p><p>T−1 fazendo:</p><p>A−1x =</p><p> 3 −1 −2</p><p>−1 0 1</p><p>−2 2 1</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p> 3x− y − 2z</p><p>−x + z</p><p>−2x+ 2y + z</p><p></p><p>ou</p><p>T−1(x,y,z) = (3x− y − 2z,−x+ z,−2x+ 2y + z)</p><p>130</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>4.7.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Sejam T1 : R2 → R3, T1(x,y) = (2x+ y,</p><p>1</p><p>2</p><p>x− 3y,− 5x) e T2 : R2 → R3,</p><p>T2(x,y) = (2x+</p><p>1</p><p>2</p><p>y,2x− 4y,6y), determine:</p><p>(a) T1 − T2</p><p>(b) 2T1 + T2</p><p>2. Sejam S e T transformações de R3 em R2 definidas por S(x,y,z) =</p><p>(2x+ y,2x+ 2y − z) e T (x,y,z) = (2x+ y − z,2y − 2z):</p><p>(a) Determine o núcleo da transformação S − T .</p><p>(b) Encontre a matriz canônica de 2S + 3T .</p><p>3. Considere S(x,y) = (x − 2y,y) e T (x,y) = (2x, − y), transformações</p><p>lineares R2 → R2, determine S ◦ T .</p><p>4. Considere as transformações, S : R3 → R4, onde S(x,y,z) = (x +</p><p>y,z,x− y,y+ z) e T : R2 → R3, tal que T (x,y) = (2x+ y,x− y,x− 3y),</p><p>determine S ◦ T .</p><p>Respostas: 1. (a) T1 − T2 = (12y,−</p><p>3</p><p>2x + y,−5x − 6y), (b) 2T1 + T2 =</p><p>(6x+ 5</p><p>2y, 3x− 10y,−10x+ 6y). 2. (a) N(T ) = {(0,0)}.</p><p>4.8 Transformações Lineares Planas</p><p>Os operadores lineares mais importante em R2 e R3 são os que produ-</p><p>zem reflexões, projeções e rotações. Nessa seção apresentamos interpretações</p><p>geométricas de transformações lineares representadas por matrizes elemen-</p><p>tares.</p><p>� Reflexões: As reflexões têm efeito de levar um ponto no plano xy</p><p>em sua imagem espelhada relativa a um dos eixos coordenados ou em</p><p>relação a uma reta ou em relação a origem.</p><p>� Reflexão em torno do eixo Ox:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (x,− y)</p><p>ou T (x,y) = (x,− y). Sendo sua matriz canônica: T =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>.</p><p>131</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Exemplo 4.8.1. Reflexão em torno do eixo Ox:</p><p>Figura 4.10: Reflexão do vetor v em relação ao eixo dos x.</p><p>Observe pelo gráfico que o vetor v = (3,4) através da transformação</p><p>de reflexão tem sua imagem em T (v) = (3,− 4):</p><p>T</p><p>([</p><p>3</p><p>4</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 −1</p><p>] [</p><p>3</p><p>4</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>3</p><p>−4</p><p>]</p><p>� Reflexão em torno do eixo Oy:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (−x,y)</p><p>ou T (x,y) = (−x,y). Matriz canônica: T =</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.2. Reflexão em torno do eixo Oy:</p><p>132</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Figura 4.11: Reflexão do vetor v em relação ao eixo dos y</p><p>Neste caso, o vetor v = (4,2) tem a sua imagem em T (v) = (−4,2),</p><p>pela transformação de reflexão em torno do eixo Oy:</p><p>T</p><p>([</p><p>4</p><p>2</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>] [</p><p>4</p><p>2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−4</p><p>2</p><p>]</p><p>� Reflexão na origem:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (−x,− y)</p><p>ou T (x,y) = (−x,− y). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 −1</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.3. Reflexão em torno da origem:</p><p>Figura 4.12: Reflexão de um ponto ou vetor em torno da origem.</p><p>133</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Nesta transformação um vetor qualquer,</p><p>por exemplo, v = (4,3) tem a</p><p>sua imagem em T (v) = (−4,− 3), pela transformação de reflexão em</p><p>torno da origem:</p><p>T</p><p>([</p><p>4</p><p>3</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 −1</p><p>] [</p><p>4</p><p>3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−4</p><p>−3</p><p>]</p><p>� Reflexão em torno da reta y = x:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (y,x)</p><p>ou T (x,y) = (y,x). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>0 1</p><p>1 0</p><p>]</p><p>.</p><p>� Reflexão em torno da reta y = −x:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (y,x)</p><p>ou T (x,y) = (−y,− x). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>0 −1</p><p>−1 0</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.4. Reflexão em torno da reta y = −x:</p><p>Figura 4.13: Reflexão de um ponto em relação a reta y = −x.</p><p>O ponto A(4,− 2) tem a sua imagem em T (A) = (2,− 4), pela trans-</p><p>formação de reflexão em torno da reta y = −x:</p><p>T</p><p>([</p><p>4</p><p>−2</p><p>])</p><p>=</p><p>[</p><p>0 −1</p><p>−1 0</p><p>] [</p><p>4</p><p>−2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2</p><p>−4</p><p>]</p><p>� Dilatações e contrações: Se α for um escalar não negativo, então o</p><p>operador T (x) = αx de R2 ou R3, tem efeito de aumentar ou diminuir o</p><p>tamanho do vetor, pelo fator α. Se 0 ≤ α ≤ 1 o operador é denominado</p><p>contração de fator α. Se α > 1, chama-se dilatação de fator α.</p><p>134</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>� Dilatação ou contração na direção do vetor:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → α(x,y)</p><p>ou T (x,y) = α(x,y). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>α 0</p><p>0 α</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.5. Dilatação do quadrado.</p><p>Figura 4.14: Dilatação do quadrado de fator α = 2.</p><p>Os vértices do quadrado são (0,0), (2,0), (2,2), (0,2), desta forma, po-</p><p>demos montar uma matriz P da seguinte forma:</p><p>P =</p><p>[</p><p>0 2 2 0</p><p>0 0 2 2</p><p>]</p><p>onde as colunas correspondem aos vértices do quadrado da Figura 4.14.</p><p>A matriz da transformação linear com α = 2 é :</p><p>T =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>0 2</p><p>]</p><p>Fazendo o produto TP :</p><p>TP =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>0 2</p><p>] [</p><p>0 2 2 0</p><p>0 0 2 2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 4 4 0</p><p>0 0 4 4</p><p>]</p><p>Portanto, para determinar a imagem de uma figura, basta fazer o</p><p>produto da matriz que representa a transformação linear pela matriz</p><p>formada pelos vértices da figura dada.</p><p>� Dilatação ou contração na direção do eixo dos x:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (αx,y)</p><p>135</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>ou T (x,y) = (αx,y). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>α 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.6. Dilatação na direção do eixo Ox.</p><p>Figura 4.15: Dilatação na direção do eixo dos x.</p><p>Seguindo a mesma ideia do exemplo anterior, os vértices do retângulo</p><p>são (0,0), (4,0), (4,2), (0,2), desta forma, podemos montar uma matriz</p><p>P da seguinte forma:</p><p>P =</p><p>[</p><p>0 4 4 0</p><p>0 0 2 2</p><p>]</p><p>onde as colunas correspondem aos vértices do retângulo. A matriz da</p><p>transformação linear com α = 2, que representa uma dilatação na</p><p>direção do eixo Ox é :</p><p>T =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Fazendo o produto TP :</p><p>TP =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>0 1</p><p>] [</p><p>0 4 4 0</p><p>0 0 2 2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 8 8 0</p><p>0 0 2 2</p><p>]</p><p>� Dilatação ou contração na direção do eixo dos y:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (x,αy)</p><p>ou T (x,y) = (x,αy). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 α</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.7. Dilatação na direção do eixo dos y.</p><p>136</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Figura 4.16: Dilatação na direção do eixo dos y.</p><p>� Projeção ortogonal sobre o eixo x:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (x,0)</p><p>ou T (x,y) = (x,0). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 0</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.8. Projeção sobre o eixo x:</p><p>Figura 4.17: Projeção do vetor sobre o eixo dos x.</p><p>Existem também projeções sobre o eixo Oy ou sobre uma reta y = x.</p><p>� Cisalhamento na direção do eixo x:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (x+ αy,y)</p><p>137</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>ou T (x,y) = (x+ αy,y). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>1 α</p><p>0 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Exemplo 4.8.9. Efeito de cisalhamento na direção do eixo x. Observe</p><p>o efeito sobre a imagem:</p><p>Figura 4.18: Figura inicial que será aplicada a transformação de cisalha-</p><p>mento.</p><p>Com efeito do cisalhamento:</p><p>Figura 4.19: Imagem após a transformação de cisalhamento na direção do</p><p>eixo Ox.</p><p>os vértices da figura inicial são (1,1), (3,1), (6,1), (8,1), (4,3), (5,3), (3,5), (6,5),</p><p>138</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>desta forma, podemos montar uma matriz P da seguinte forma:</p><p>P =</p><p>[</p><p>1 3 6 8 4 5 3 6</p><p>1 1 1 1 3 3 5 5</p><p>]</p><p>onde as colunas correspondem aos vértices da figura inicial. A matriz</p><p>da transformação linear com α = 1, que representa um cisalhamento</p><p>na direção do eixo Ox é :</p><p>T =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Fazendo o produto TP :</p><p>TP =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>] [</p><p>1 3 6 8 4 5 3 6</p><p>1 1 1 1 3 3 5 5</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2 4 7 9 7 8 8 11</p><p>1 1 1 1 3 3 5 5</p><p>]</p><p>onde as colunas correspondem aos vértices da segunda imagem.</p><p>� Cisalhamento na direção do eixo y:</p><p>T : R2 → R2</p><p>(x,y) → (x,y + αx)</p><p>ou T (x,y) = (x,y + αx). Matriz canônica:</p><p>[</p><p>1 0</p><p>α 1</p><p>]</p><p>.</p><p>� Rotação:</p><p>Tθ : R2 → R2</p><p>(x,y) → (xcosθ − ysenθ, xsenθ + ycosθ)</p><p>Matriz canônica da rotação no sentido anti-horário:</p><p>[</p><p>cosθ −senθ</p><p>senθ cosθ</p><p>]</p><p>.</p><p>Figura 4.20: Rotação do ponto em relação a um determinado ângulo θ.</p><p>139</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Exemplo 4.8.10. Esboce a imagem do quadrado unitário, com vértices em</p><p>(0,0), (1,0), (1,1), (0,1) pela seguinte transformação: T é uma contração re-</p><p>presentada por T (x,y) = (x,y4 ).</p><p>Solução: a matriz P é composta pelos vértices do quadrado unitário,</p><p>inseridos por coluna P =</p><p>[</p><p>0 1 1 0</p><p>0 0 1 1</p><p>]</p><p>. A matriz da transformação linear</p><p>com α = 1</p><p>4 , que representa uma contração na direção do eixo Oy é :</p><p>T =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>4</p><p>]</p><p>Fazendo o produto TP :</p><p>TP =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>4</p><p>] [</p><p>0 1 1 0</p><p>0 0 1 1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 1 1 0</p><p>0 0 1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>]</p><p>Imagem:</p><p>Figura 4.21: Quadrado inicial e sua imagem pela transformação.</p><p>Exemplo 4.8.11. Determine a matriz canônica da seguinte sequência de</p><p>transformações do triângulo e esboce a imagem final:</p><p>140</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Figura 4.22: Triângulo inicial</p><p>� a expansão de fator α = 3</p><p>� cisalhamento vertical de fator α = 2</p><p>Solução: a matriz P é composta pelos vértices do triângulo</p><p>original, inseridos por coluna, P1(0,0), P2(2,2) e P3(0,4) P =</p><p>[</p><p>0 2 0</p><p>0 2 4</p><p>]</p><p>.</p><p>A matriz da expansão de fator α = 3 é: A1 =</p><p>[</p><p>3 0</p><p>0 3</p><p>]</p><p>.</p><p>A matriz canônica do cisalhamento vertical de fator α = 2 é: A2 =[</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>]</p><p>.</p><p>Pela sequência das transformações, primeiro foi aplicada a transformação</p><p>de expansão, gerando uma imagem. Depois sobre essa imagem então uma</p><p>nova transformação foi aplicada, a transformação de cisalhamento vertical.</p><p>Separando por etapas temos:</p><p>� Primeiro: a expansão de fator α = 3[</p><p>x′</p><p>y′</p><p>]</p><p>= A1</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>3 0</p><p>0 3</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>onde</p><p>[</p><p>x′</p><p>y′</p><p>]</p><p>é a imagem da primeira transformação e A1 =</p><p>[</p><p>3 0</p><p>0 3</p><p>]</p><p>é a</p><p>matriz canônica da transformação de dilatação.</p><p>141</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>� Segundo: cisalhamento vertical de fator α = 2, essa transformação será</p><p>aplicada a primeira imagem, isto é, no vetor</p><p>[</p><p>x′</p><p>y′</p><p>]</p><p>, gerando a imagem</p><p>final</p><p>[</p><p>x′′</p><p>y′′</p><p>]</p><p>, então:</p><p>[</p><p>x′′</p><p>y′′</p><p>]</p><p>= A2</p><p>[</p><p>x′</p><p>y′</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>] [</p><p>x′</p><p>y′</p><p>]</p><p>,</p><p>e A2 =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>]</p><p>é a matriz canônica da transformação de cisalhamento</p><p>vertical (na direção do eixo dos y).</p><p>A matriz canônica da sequência de transformação é a multiplicação das</p><p>matrizes canônicas T = A2A1 nessa ordem. Portanto escrevemos,[</p><p>x′′</p><p>y′′</p><p>]</p><p>= A2A1</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 0</p><p>2 1</p><p>] [</p><p>3 0</p><p>0 3</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>3 0</p><p>6 3</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>.</p><p>Aplicando a matriz canônica da sequência sobre a matriz P ,</p><p>TP =</p><p>[</p><p>3 0</p><p>6 3</p><p>] [</p><p>0 2 0</p><p>0 2 4</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0 6 0</p><p>0 18 12</p><p>]</p><p>.</p><p>A matriz resultante apresenta os pares ordenados da imagem do ob-</p><p>jeto, P ′</p><p>1(0,0), P</p><p>′</p><p>2(6,18) e P ′</p><p>3(0,12). A Figura 4.23 ilustra a transformação, o</p><p>triângulo em azul.</p><p>142</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS</p><p>Figura 4.23: Triângulo inicial e sua imagem pela transformação.</p><p>Observação: O exemplo ilustrou que A2A1 é a matriz canônica de T ,</p><p>usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes escrevemos</p><p>T (v) = T2(T1(v)) = T2(A1v) = A2(A1v) = (A2A1)v.</p><p>Podemos generalizar essa ideia para cobrir a composta de n transformações</p><p>lineares. Isto é, se as matrizes canônicas de T1, T2, . . . , Tn são A1, A2, . . . , An</p><p>respectivamente, então a matriz canônica da composta é representada por</p><p>A = AnAn−1 · · ·A2A1.</p><p>Observem a ordem dada da sequência de transformações para realizar a</p><p>multiplicação</p><p>das matrizes, lembrando que na multiplicação de matrizes não</p><p>143</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.9. TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO</p><p>é válida a propriedade comutativa.</p><p>O uso das transformações lineares no espaço seguem de forma análoga</p><p>as transformações no plano.</p><p>4.9 Transformações Lineares no Espaço</p><p>Nesta seção apresentamos alguns exemplos de transformações lineares</p><p>do R3 no R3 e uma visão geométrica delas.</p><p>� Dilatações e contrações: Se α for um escalar não negativo, então o</p><p>operador T (x) = αx de R2 ou R3, tem efeito de aumentar ou diminuir o</p><p>tamanho do vetor, pelo fator α. Se 0 ≤ α ≤ 1 o operador é denominado</p><p>contração de fator α. Se α > 1, chama-se dilatação de fator α.</p><p>� Dilatação ou contração na direção do vetor:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → α(x,y,z)</p><p>ou T (x,y,z) = α(x,y,z). Matriz canônica:</p><p>α 0 0</p><p>0 α 0</p><p>0 0 α</p><p> .</p><p>Figura 4.24: Dilatação do vetor.</p><p>� Projeção ortogonal sobre o plano xy:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → (x,y,0)</p><p>ou T (x,y,z) = (x,y,0). Matriz canônica:</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 0</p><p> .</p><p>144</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.9. TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO</p><p>Exemplo 4.9.1. Projeção sobre xy</p><p>Figura 4.25: Projeção do vetor no plano xy.</p><p>� Projeção ortogonal sobre o plano xz:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → (x,0,z)</p><p>ou T (x,y,z) = (x,0,z). Matriz canônica:</p><p>1 0 0</p><p>0 0 0</p><p>0 0 1</p><p> .</p><p>� Rotação anti-horária em torno do eixo Oz positivo pelo ângulo</p><p>θ:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → (xcosθ − ysenθ,xsenθ + ycosθ,z)</p><p>ou T (x,y,z) = (xcosθ − ysenθ,xsenθ + ycosθ,z).</p><p>Matriz canônica:</p><p>cosθ −senθ 0</p><p>senθ cosθ 0</p><p>0 0 1</p><p> .</p><p>145</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.9. TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO</p><p>Figura 4.26: Rotação em torno do eixo Oz.</p><p>� Rotação anti-horária em torno do eixo y positivo pelo ângulo</p><p>θ:</p><p>Matriz canônica:</p><p> cosθ 0 senθ</p><p>0 1 0</p><p>−senθ 0 cosθ</p><p> .</p><p>� Rotação anti-horária em torno do eixo x positivo pelo ângulo</p><p>θ:</p><p>Matriz canônica:</p><p>1 0 0</p><p>0 cosθ −senθ</p><p>0 senθ cosθ</p><p> .</p><p>Em cada caso, a rotação é orientada no sentido anti-horário (usando</p><p>a regra da mão direita) relativo ao eixo especificado.</p><p>� Reflexão em relação ao plano xy:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → (x,y,− z)</p><p>ou T (x,y,z) = (x,y,− z). Matriz canônica:</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 −1</p><p> .</p><p>146</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.9. TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO</p><p>Figura 4.27: Reflexão de um ponto em relação ao plano xy.</p><p>� Reflexão em relação ao plano xOz:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → (x,− y,z)</p><p>ou T (x,y,z) = (x,− y,z). Matriz canônica:</p><p>1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 1</p><p> .</p><p>� Reflexão pela origem:</p><p>T : R3 → R3</p><p>(x,y,z) → (−x,− y,− z)</p><p>ou T (x,y,z) = (−x,− y,− z). Matriz canônica:</p><p>−1 0 0</p><p>0 −1 0</p><p>0 0 −1</p><p> .</p><p>4.9.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Descreva em palavras, a transformação linear T : R2 → R2 que tem a</p><p>seguinte matriz</p><p>[</p><p>1 0</p><p>−8 1</p><p>]</p><p>.</p><p>2. Encontre as matrizes canônicas das transformações lineares:</p><p>(a) A transformação reflete um vetor em torno do eixo y.</p><p>(b) Dilatação ao longo do eixo y com fator 2.</p><p>(c) Contração ao longo do eixo x com fator 1/5.</p><p>147</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.10. LISTA 4</p><p>(d) A transformação faz uma rotação de 45◦ no sentido anti-horário</p><p>em torno da origem de um vetor.</p><p>(e) Reflexão em torno da reta y = −x.</p><p>(f) Reflexão em torno da reta y = 2x.</p><p>(g) T estende um vetor por um fator de 3 na componente x e por um</p><p>fator de 4 na componente y.</p><p>3. Dado o vetor v = (−1,2), determine a imagem deste vetor pela trans-</p><p>formação especificada:</p><p>(a) uma reflexão no eixo x;</p><p>(b) uma reflexão no eixo y;</p><p>(c) uma reflexão pela reta y = x.</p><p>4. Encontre a matriz de S ◦ T por multiplicação pela matriz [S][T ]:</p><p>(a) T</p><p>[</p><p>x1</p><p>x2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>x1 − x2</p><p>x1 + x2</p><p>]</p><p>, S</p><p>[</p><p>y1</p><p>y2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2y1</p><p>−y2</p><p>]</p><p>(b) T</p><p>x1x2</p><p>x3</p><p> =</p><p>[</p><p>x1 + x2 − x3</p><p>2x1 − x2 + x3</p><p>]</p><p>, S</p><p>[</p><p>y1</p><p>y2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>4y1 − y2</p><p>−y1 + y2</p><p>]</p><p>Respostas: 1. Cisalhamento vertical de fator α = −8. 2. (a)</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>, (b)[</p><p>1 0</p><p>0 2</p><p>]</p><p>. 3. (−1,− 2), (1,2), (2,1) 4. (a)</p><p>[</p><p>2 −2</p><p>−1 −1</p><p>]</p><p>(b)</p><p>[</p><p>2 5 −9</p><p>3 −3 4</p><p>]</p><p>4.10 Lista 4</p><p>1. Dentre as transformações T : R2 → R2 definidas pelas seguintes leis,</p><p>verificar quais são lineares:</p><p>(a) T (x,y) = (x− 2y, 2x+ 6y)</p><p>(b) T (x,y) = (x2,y2)</p><p>(c) T (x,y) = (x+ 1,y)</p><p>(d) T (x,y) = (y − x,0)</p><p>(e) T (x,y) = (x2y,x− y)</p><p>(f) T (x,y) = (x+ 3,y)</p><p>2. Dentre as transformações T : R3 → R3 definidas pelas seguintes leis,</p><p>verificar quais são lineares:</p><p>(a) T (x,y,z) = (x− y, 2x,− 2y + z)</p><p>148</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.10. LISTA 4</p><p>(b) T (x,y,z) = (x+ y,− y + z,0)</p><p>(c) T (x,y,z) = (x+ y2,y,z)</p><p>(d) T (x,y,z) = (y − x,0,z + 1)</p><p>(e) T (x,y,z) = (x− 2y,y + 2z,3x)</p><p>3. Considere a seguinte aplicação T :: R2 → R3, onde T (x,y) = 3x −</p><p>λy,λx+ λ,y). Verifique em que caso(s) a transformação é linear:</p><p>(a) λ = 2</p><p>(b) λ = x</p><p>(c) λ = 0</p><p>4. Seja a transformação T : R3 → R3, onde T (0,1,2) = (−5,4,−6), T (1,1,0) =</p><p>(0,1,1), T (1,0,− 1) = (3,− 2,4):</p><p>(a) Determine T (x,y,z).</p><p>(b) Determine o núcleo N(T ) e a dimensão do núcleo.</p><p>5. Seja a transformação T : R2 → R3, onde T (1,− 1) = (3,1,1), T (1,0) =</p><p>(2,3,1), determine T (x,y).</p><p>6. Seja a transformação T : R2 → R3, onde T (0,1) = (3,2,1), T (−1,1) =</p><p>(1,1,− 1), determine T (x,y).</p><p>7. Encontre a lei que define a transformação T : R2 → R2, onde T (1,1) =</p><p>(1,0), T (−1,1) = (1,2).</p><p>8. Encontre a lei que define a transformação T : R3 → R2, onde T (1,0,0) =</p><p>(2,4), T (0,1,0) = (2,2), T (0,0,1) = (2,0).</p><p>9. Seja a transformação T : R2 → R3, onde T (1,2) = (3,− 1,5), T (0,1) =</p><p>(2,1,− 4), determine T (x,y).</p><p>10. Nos exerćıcios abaixo encontre o núcleo, a dimensão do núcleo, a ima-</p><p>gem, a dimensão da imagem, verifique se a transformação é injetora e</p><p>sobrejetora:</p><p>(a) T : R2 → R2, T (x,y) = (2x+ y,− 4x− 2y).</p><p>(b) T : R2 → R2, T (x,y) = (x+ 3y,− 2x+ 6y).</p><p>(c) T : R2 → R2, T (x,y) = (3x− 2y,6x− 4y).</p><p>(d) T : R3 → R3, T (x,y,z) = (2x+ y + 3z,x+ 2y,y + z).</p><p>(e) T : R3 → R3, T (x,y,z) = (2x− y − 3z,− x+ 2y − 3z,x+ y + 4z).</p><p>(f) T : R3 → R3, T (x,y,z) = (x− y − 2z,− x+ 2y + z,x− 3z).</p><p>(g) T : R3 → R3, T (x,y,z) = (x− y + z,2x+ y,2x− 2y + 2z).</p><p>149</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.10. LISTA 4</p><p>11. Determinar uma transformação linear T : R3 → R4 tal que N(T ) =</p><p>{(x,y,z) ∈ R3/z = x− y}.</p><p>12. Encontrar uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é</p><p>gerada por (1,3,− 1,2) e (2,0,1,− 1).</p><p>13. Determine a matriz de transformação, das seguintes transformações</p><p>planas:</p><p>(a) Reflexão em torno do eixo y, seguida de um cisalhamento de fator</p><p>3 na direção horizontal.</p><p>(b) Rotação de 60◦, seguida de uma reflexão em relação ao eixo y.</p><p>(c) Rotação de um ângulo θ, seguida de uma reflexão na origem.</p><p>(d) Reflexão em torno da reta y = −x, seguida de uma dilatação de</p><p>fator 2 na direção do eixo x e, finalmente, um cisalhamento de</p><p>fator 3 na direção vertical.</p><p>(e) Uma projeção sobre o eixo x, seguida de uma reflexão em torno</p><p>da reta y = x.</p><p>14. Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem da reflexão do</p><p>vetor (−2,3) e represente no gráfico seu efeito:</p><p>(a) no eixo x;</p><p>(b) no eixo y;</p><p>(c) na reta y = x.</p><p>15. Dada a transformação T : R2 → R2. Esboce no gráfico um vetor</p><p>genérico v = (x,y) do domı́nio e de sua imagem T (v) e determine o</p><p>tipo de transformação que ocorreu:</p><p>(a) T (x,y) = (</p><p>1</p><p>3</p><p>x,y)</p><p>(b) T (x,y) = (3x,− 2y)</p><p>(c) T (x,y) = (2x,y)</p><p>(d) T (x,y) = (x,4y)</p><p>16. Determine a matriz da transformação linear T : R3 → R3 que repre-</p><p>senta a sequência de transformações: Primeiro uma projeção sobre o</p><p>plano xy, seguida de uma rotação anti-horária em torno do eixo x por</p><p>um ângulo θ.</p><p>17. Determinar em cada caso, a matriz de transformação linear T : R3 →</p><p>R3 que representa as seguintes transformações:</p><p>(a) Projeção sobre o plano yz.</p><p>150</p><p>IMEF - FURG</p><p>4.10. LISTA 4</p><p>(b) Projeção sobre o plano xz.</p><p>(c) Rotação anti-horária em torno do eixo y.</p><p>(d) Rotação anti-horária em torno do eixo z.</p><p>(e) Reflexão em torno do plano xz.</p><p>(f) Reflexão em torno do plano yz.</p><p>18. Determine a matriz da transformação linear T : R3 → R3 que repre-</p><p>senta a sequência de transformações: Primeiro uma reflexão em torno</p><p>do plano yz, seguida de uma rotação anti-horária em torno do eixo</p><p>y</p><p>por um ângulo θ.</p><p>19. Esboce cada uma das imagens pela transformação especificada:</p><p>(a) T é uma reflexão no eixo x.</p><p>(b) T é o cisalhamento representado por T (x,y) = (x+ y,y)</p><p>(c) T é uma expansão e contração representada por T (x,y) = (3x,</p><p>1</p><p>2</p><p>y).</p><p>151</p><p>IMEF - FURG</p><p>Caṕıtulo 5</p><p>Autovalores e Autovetores</p><p>Objetivos principais do caṕıtulo</p><p>� Determinar os autovalores e autovetores associados.</p><p>� Determinar os autovalores e autovetores de uma transformação linear.</p><p>� Determinar se uma matriz é diagonalizável.</p><p>� Reconhecer as propriedades de matrizes simétricas.</p><p>� Determinar uma matriz ortogonal que diagonalize ortogonalmente uma</p><p>matriz simétrica.</p><p>5.1 Motivação</p><p>Autovalores e Autovetores envolvem aplicações importantes como por</p><p>exemplo na estat́ıstica, para modelar crescimento populacional, resolver sis-</p><p>temas de equações diferenciais lineares de primeira ordem e na mecânica</p><p>quântica. Também são usados na diagonalização de matrizes e classificação</p><p>de formas quadráticas, por isso sua importância dentro da álgebra linear.</p><p>5.2 Introdução</p><p>A ideia é analisar um determinado aspecto de um operador linear T , ou</p><p>seja, uma transformação linear de um espaço vetorial V nele próprio.</p><p>Começamos nos perguntando: quando A é uma matriz n × n, existem</p><p>vetores não nulos v em Rn tais que Av é múltiplo escalar de v?</p><p>A questão é: investigar se dado um operador linear T : V → V , que ve-</p><p>tores de V são transformados em múltiplos de si mesmo? Esta investigação</p><p>nos leva aos conceitos de autovalor e autovetor.</p><p>152</p><p>5.2. INTRODUÇÃO</p><p>Antes de apresentar a definição, vamos analisar dois exemplos e o efeito</p><p>de multiplicar uma matriz por um vetor, os exemplos mostram o efeito da</p><p>mesma matriz sobre vetores distintos.</p><p>Exemplo 5.2.1. Considere a matriz A =</p><p>[</p><p>1 −1</p><p>1 3</p><p>]</p><p>e o vetor v = (2,1),</p><p>vamos calcular Av e representar v e Av no plano cartesiano.</p><p>Solução: Calculando Av :</p><p>Av =</p><p>[</p><p>1 −1</p><p>1 3</p><p>] [</p><p>2</p><p>1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>5</p><p>]</p><p>.</p><p>Representando ambos no gráfico:</p><p>Figura 5.1: Representação do vetor v e Av</p><p>Observe que aqui o efeito da matriz sobre o vetor v = (2,1) foi alterar</p><p>além da direção o seu módulo.</p><p>Exemplo 5.2.2. Considere a matriz A =</p><p>[</p><p>1 −1</p><p>1 3</p><p>]</p><p>e o vetor v = (1, − 1),</p><p>vamos calcular Av e representar v e Av no plano cartesiano.</p><p>Solução: Calculando Av :</p><p>Av =</p><p>[</p><p>1 −1</p><p>1 3</p><p>] [</p><p>1</p><p>−1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>2</p><p>−2</p><p>]</p><p>.</p><p>Representando ambos no gráfico:</p><p>153</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Figura 5.2: vetor v e Av são múltiplos</p><p>Neste exemplo, o único efeito da matriz sobre o vetor v = (1, − 1) foi</p><p>alterar o módulo, pois a direção do vetor permanece a mesma. Observe que</p><p>aqui Av = 2v.</p><p>Desta forma, conclúımos que em alguns casos obtemos Av = λv, onde λ</p><p>é um número real. Nesses casos, chamamos o vetor v de autovetor da matriz</p><p>A e o número real λ de autovalor, conforme veremos a seguir.</p><p>5.3 Autovalores e Autovetores</p><p>Nesta seção apresentamos a definição do conceito de autovalores, como</p><p>determinar os autovalores e autovetores da matriz associada e suas propri-</p><p>edades. Vamos considerar apenas matrizes quadradas, então T : V → V</p><p>também chamado de operador linear, leva vetores do espaço vetorial V nele</p><p>próprio.</p><p>Definição 28. Seja T : Rn → Rn um operador linear. Se existe um vetor</p><p>v ∈ Rn(v ̸= 0) e λ ∈ R, tal que T (v) = λv dizemos que λ é um autovalor e</p><p>v um autovetor de T associado a λ.</p><p>Retomando o caso das matrizes, considerando A uma matriz de ordem</p><p>n× n, então um vetor não nulo v em Rn é denominado autovetor de A se</p><p>Av for um múltiplo escalar de v, isto é,</p><p>154</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Se λ é o autovalor de A e v é um autovetor de A associado a λ, então</p><p>a multiplicação do vetor v por A produz um vetor λv que é paralelo ao vetor</p><p>v, conforme mostra o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 5.3.1. Interpretação geométrica do problema em R2.</p><p>Figura 5.3: Interpretação geométrica.</p><p>Observações:</p><p>� Os autovalores também são conhecidos como valores caracteŕısticos</p><p>ou valores próprios. E os autovetores como vetores caracteŕısticos ou</p><p>vetores próprios.</p><p>� Um autovetor não pode ser nulo. Permitir que v seja o vetor nulo</p><p>tornaria a definição sem sentido, porque A0 = λ0 é verdade para</p><p>todos os valores reais de λ.</p><p>� Um autovalor nulo, no entanto, é posśıvel.</p><p>155</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Exemplo 5.3.2. Considere o seguinte operador linear T : R2 → R2 tal que</p><p>T (x,0) = (x,0). Todos os vetores da forma v = (x,0), x ̸= 0 são autovetores</p><p>associados ao autovalor λ = 1, uma vez que T (v) = 1v</p><p>Exemplo 5.3.3. O vetor v = (5,2) é o autovetor do operador linear:</p><p>T : R2 → R2,T (x,y) = (4x+ 5y, 2x+ y)</p><p>T (v) = T (5,2) = (4.5 + 5.2, 2.5 + 2)</p><p>= (30,12)</p><p>= 6(5,2)</p><p>= 6v</p><p>e λ = 6 é um autovalor de A.</p><p>Exemplo 5.3.4. Seja v =</p><p>[</p><p>1</p><p>1</p><p>]</p><p>o autovetor de A =</p><p>[</p><p>4 1</p><p>1 4</p><p>]</p><p>. Encontre o</p><p>autovalor correspondente.</p><p>Av =</p><p>[</p><p>4 1</p><p>1 4</p><p>] [</p><p>1</p><p>1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>5</p><p>5</p><p>]</p><p>= 5</p><p>[</p><p>1</p><p>1</p><p>]</p><p>Desta forma, λ = 5 é um autovalor de A e v = (1,1) autovetor associado</p><p>ao autovalor λ.</p><p>Exemplo 5.3.5. Dependendo do sinal e da magnitude do autovalor λ asso-</p><p>ciado a v, a operação Av = λv comprime ou dilata v pelo fator λ, invertendo</p><p>o sentido quando λ for negativo.</p><p>Figura 5.4: Dilatação, contração e inversão de sentido do vetor</p><p>5.3.1 Cálculo dos autovalores e autovetores</p><p>Para determinar os autovalores e os autovetores de uma dada matriz A</p><p>de ordem n, retornamos a definição de autovalor e autovetor. Considere A</p><p>uma matriz n × n, temos Av = λv ⇔ Av − λv = 0, onde 0 é o vetor nulo.</p><p>156</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Para reescrever a expressão acima com v em evidência, conforme escrito a</p><p>seguir, precisamos escrever λv como λInv:</p><p>Av = λv ⇔ Av − λv = 0 ⇔ (A− λIn)v = 0.</p><p>Escrevemos desta forma pois λ é um número real e só podemos somar ou</p><p>subtrair matrizes de mesma ordem, multiplicando λ pela matriz identidade</p><p>In de mesma ordem que a matriz A isto será posśıvel. A última equação é</p><p>um sistema de equações lineares homogêneo, onde (A − λI) é a matriz dos</p><p>coeficientes, v a matriz das variáveis, esse sistema possui soluções não nulas</p><p>se e somente se a matriz dos coeficientes (λI −A) for não inverśıvel, isto é,</p><p>se seu determinante é nulo. Desta forma, chegamos ao seguinte teorema.</p><p>Teorema 5.3.1. Se A for uma matriz de ordem n , então:</p><p>� λ é um autovalor de A se, e só se, λ satisfaz a equação:</p><p>det(λI −A) = 0.</p><p>A equação det(λI−A) = 0 é a equação caracteŕıstica de A, além disso</p><p>expandindo para a forma polinomial</p><p>|λI −A| = λn + cn−1λ</p><p>n−1 + · · ·+ c2λ</p><p>2 + c1λ+ c0</p><p>é o polinômio caracteŕıstico de A. Assim, os autovalores da matriz A</p><p>de ordem n correspondem às ráızes do polinômio caracteŕıstico de A.</p><p>� Os autovetores de A associados a λ são as soluções não nulas de</p><p>(λI −A)v = 0.</p><p>(λI −A)v = 0 representa o sistema linear homogêneo correspondente.</p><p>Vejamos agora alguns exemplos de como aplicar o teorema acima para</p><p>determinar os autovalores e autovetores de matrizes de ordem 2 e ordem 3.</p><p>Cálculo de autovalores e autovetores de matrizes de ordem 2</p><p>Exemplo 5.3.6. (Determinação de autovalores e autovetores) De-</p><p>termine os autovalores e autovetores associados a matriz A =</p><p>[</p><p>2 −12</p><p>1 −5</p><p>]</p><p>.</p><p>Solução: Começamos pela determinação dos autovalores através da</p><p>equação caracteŕıstica correspondente:</p><p>det(λI −A) =</p><p>∣∣∣∣ [</p><p>λ 0</p><p>0 λ</p><p>]</p><p>−</p><p>[</p><p>2 −12</p><p>1 −5</p><p>] ∣∣∣∣</p><p>157</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Observe que aqui a matriz identidade deve ser de ordem 2, já que matriz</p><p>A é 2× 2.</p><p>det(λI −A) =</p><p>∣∣∣∣ λ− 2 12</p><p>−1 λ+ 5</p><p>∣∣∣∣ = (λ− 2)(λ+ 5)− (12)(−1)</p><p>Resolvendo o determinante da matriz, temos:</p><p>λ2 + 3λ+ 2 = 0</p><p>As ráızes da equação, são os autovalores:</p><p>λ1 = −1;λ2 = −2</p><p>Para determinar os autovetores, precisamos resolver o sistema homogêneo</p><p>representado por (λI−A)v = 0, duas vezes, visto que as ráızes são distintas.</p><p>Primeiro para λ1 = −1 e depois para λ2 = −2.</p><p>Substituindo o valor de λ na expressão acima, obtemos a matriz dos</p><p>coeficientes. Para λ1 = −1,</p><p>(−1)I −A =</p><p>[</p><p>−1− 2 12</p><p>−1 −1 + 5</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−3 12</p><p>−1 4</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>O sistema homogêneo associado é:{</p><p>−3x+ 12y = 0</p><p>−x+ 4y = 0</p><p>Pelo escalonamento:</p><p>[</p><p>−3 12 0</p><p>−1 4 0</p><p>]</p><p>, com a operação L2 ↔ L1, temos:[</p><p>−1 4 0</p><p>−3 12 0</p><p>]</p><p>e com a operação L2 ↔ L2 − 3L1 a matriz se reduz por linhas a:[</p><p>−1 4 0</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>Desta forma, −x + 4y = 0, portanto, a solução do Sistema é: −x = −4y,</p><p>então x = 4y. Conclúımos que, v1 = (4y,y) é o autovetor associado ao</p><p>autovalor λ1.</p><p>Para λ2 = −2,</p><p>(−2)I −A =</p><p>[</p><p>−2− 2 12</p><p>−1 −2 + 5</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−4 12</p><p>−1 3</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>158</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>O sistema homogêneo associado é:{</p><p>−4x+ 12y = 0</p><p>−x+ 3y = 0</p><p>Pelo escalonamento:</p><p>[</p><p>−4 12 0</p><p>−1 3 0</p><p>]</p><p>, com a operação L2 ↔ L1, temos:[</p><p>−1 3 0</p><p>−4 12 0</p><p>]</p><p>E a operação L2 ↔ L2 − 4L1 que se reduz por linhas a:[</p><p>−1 3 0</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>Então, −x+ 3y = 0, a solução do Sistema é: −x = −3y, portanto x = 3y e</p><p>o vetor, v1 = (−3y,y) é o autovetor associado ao autovalor λ2 = −2.</p><p>Concluindo, temos: para λ1 = −1, v = (4y,y) = y(4,1) e para λ2 = −2,</p><p>v = (−3y,y) = y(−3,1), para y ̸= 0.</p><p>Exemplo 5.3.7. (Determinação de autovalores e autovetores) De-</p><p>terminar os autovalores e autovetores da matriz A =</p><p>[</p><p>1 3</p><p>−2 6</p><p>]</p><p>.</p><p>Solução: Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior, começamos</p><p>pela determinação dos autovalores:[</p><p>λ− 1 −3</p><p>2 λ− 6</p><p>]</p><p>= 0</p><p>(λ− 1)(λ− 6) + 6 = 0.</p><p>Então, obtemos</p><p>λ2 − 7λ+ 12 = 0.</p><p>As ráızes da equação são:</p><p>λ1 = 3, λ2 = 4</p><p>que são os autovalores da matriz A. O sistema homogêneo de equações</p><p>lineares, permite determinar seus respectivos autovetores:</p><p>Para λ1 = 3 [</p><p>3− 1 −3</p><p>2 3− 6</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>isto é: {</p><p>2x− 3y = 0</p><p>2x− 3y = 0</p><p>159</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>O sistema admite uma infinidade de soluções: y =</p><p>2</p><p>3</p><p>x. Assim, vetores</p><p>v1 = (x, 23x) = x(1,23), x ̸= 0, são autovetores associados ao autovalor λ1 = 3.</p><p>Para λ2 = 4 [</p><p>4− 1 −3</p><p>2 4− 6</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>isto é: {</p><p>3x− 3y = 0</p><p>2x− 2y = 0</p><p>O sistema admite uma infinidade de soluções: y = x. Assim, vetores v2 =</p><p>(x,x) = x(1,1), x ̸= 0, são autovetores associados ao autovalor λ1 = 4.</p><p>Exemplo 5.3.8. (Determinação de autovalores e autovetores) En-</p><p>contre os autovalores e autovetores do operador:</p><p>Solução: Seguindo os mesmos passos do exemplo anterior: T : R2 → R2,</p><p>tal que T (x,y) = (−x,y)</p><p>A =</p><p>[</p><p>−1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>det(λI −A) = 0</p><p>det</p><p>[</p><p>λ− (−1) 0</p><p>0 λ− 1</p><p>]</p><p>= (λ+ 1)(λ− 1) = 0</p><p>Desta forma, obtemos:</p><p>λ2 − 1 = 0</p><p>As ráızes da equação, são os autovalores:</p><p>λ1 = 1;λ2 = −1</p><p>Para determinar os autovetores, precisamos resolver o sistema homogêneo</p><p>representado por (λ−A)v = 0, primeiro para λ1 = 1 e depois para λ2 = −1.</p><p>Para λ1 = 1, [</p><p>1 + 1 0</p><p>0 1− 1</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>O sistema homogêneo é: {</p><p>2x = 0</p><p>A solução do Sistema é: x = 0. Portanto, v1 = (0,y) é o autovetor associado</p><p>ao autovalor λ1.</p><p>Para λ2 = −1 [</p><p>−1 + 1 0</p><p>0 −1− 1</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>160</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>O sistema homogêneo é: {</p><p>2y = 0</p><p>A solução do Sistema é: y = 0. Portanto, v2 = (x,0) é o autovetor associado</p><p>ao autovalor λ2.</p><p>Caso de uma matriz de ordem 3</p><p>Considere uma matriz quadrada A de ordem 3, definimos os autovalores e</p><p>autovetores de A como sendo os autovalores e autovetores da transformação</p><p>induzida por A, em relação à base canônica do R3.</p><p>T : R3 → R3</p><p>T (v) = Av</p><p>Cuja matriz é</p><p>A =</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p></p><p>Se v e λ são, respectivamente, um autovetor e um autovalor do operador</p><p>T , eles são as soluções da equação Av = λv, pois T (v) = Av e T (v) = λv,</p><p>queremos os valores de λ tais que Av = λv, v ̸= 0 e v é uma matriz coluna</p><p>3× 1.</p><p>λv −Av = 0</p><p>Sendo v = Iv (I matriz identidade). Para que esse sistema homogêneo</p><p>admita soluções não nulas,</p><p>v =</p><p>xy</p><p>z</p><p> ̸=</p><p>00</p><p>0</p><p> .</p><p>devemos ter, det(λI −A) = 0, reescrevendo:</p><p>det</p><p>λ 0 0</p><p>0 λ 0</p><p>0 0 λ</p><p>−</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p> = 0</p><p>det</p><p>λ− a11 −a12 −a13</p><p>−a21 λ− a22 −a23</p><p>−a31 −a32 λ− a33</p><p> = 0</p><p>A equação det(λI −A) = 0 é a equação caracteŕıstica do operador T</p><p>ou da matriz A e as ráızes da equação correspondem aos autovalores do</p><p>operado T ou da matriz A.</p><p>161</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>O det(λI − A) é um polinômio em λ chamado polinômio caracteŕıstico.</p><p>Para os autovetores: a substituição de λ pelos valores no sistema ho-</p><p>mogêneo de equações lineares (λ − A)v = 0 permitem determinar os auto-</p><p>vetores associados.</p><p>Exemplo 5.3.9. (Determinação de autovalores e autovetores) De-</p><p>termine os autovalores e autovetores associados a matriz A =</p><p>1 0 4</p><p>3 1 2</p><p>0 0 −3</p><p> .</p><p>Solução: Começamos pela determinação dos autovalores através da</p><p>equação caracteŕıstica correspondente:</p><p>det(λI −A) =</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>λ 0 0</p><p>0 λ 0</p><p>0 0 λ</p><p>−</p><p>1 0 4</p><p>3 1 2</p><p>0 0 −3</p><p> ∣∣∣∣∣∣</p><p>Observe que aqui a matriz identidade deve ser de ordem 3, já que matriz</p><p>A é 3× 3.</p><p>det(λI −A) =</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>λ− 1 0 −4</p><p>−3 λ− 1 −2</p><p>0 0 λ+ 3</p><p>∣∣∣∣∣∣ = (λ− 1)(λ− 1)(λ+ 3)</p><p>As ráızes da equação, são os autovalores:</p><p>λ1 = 1;λ2 = −3</p><p>Para determinar os autovetores, precisamos resolver o sistema homogêneo</p><p>representado por (λI−A)v = 0, duas vezes, visto que as ráızes são distintas.</p><p>Primeiro para λ1 = 1 e depois para λ2 = −3.</p><p>Substituindo o valor de λ na expressão acima, obtemos a matriz dos</p><p>coeficientes. Para λ1 = 1,</p><p>(1)I −A =</p><p>1− 1 0 −4</p><p>−3 1− 1 −2</p><p>0 0 1 + 3</p><p>xy</p><p>z</p><p> ⇔</p><p> 0 0 −4</p><p>−3 0 −2</p><p>0 0 4</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>00</p><p>0</p><p></p><p>O sistema homogêneo associado é:</p><p>−4z = 0</p><p>−3x− 2z = 0</p><p>4z = 0</p><p>Isto significa que x = z = 0, portanto, o autovetor associado é v =</p><p>(0,y,0) = y(0,1,0).</p><p>Para λ2 = −3,</p><p>162</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>(−3)I−A =</p><p>−3− 1 0 −4</p><p>−3 −3− 1 −2</p><p>0 0 −3 + 3</p><p>xy</p><p>z</p><p> ⇔</p><p>−4 0 −4</p><p>−3 −4 −2</p><p>0 0 0</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>00</p><p>0</p><p></p><p>O sistema homogêneo associado é:{</p><p>−4x− 4z = 0</p><p>−3x− 4y − 2z = 0</p><p>Então, pela primeira equação x = −z, substituindo na segunda equação,</p><p>−3x− 4y− 2z = 0, temos: 3z− 4y− 2z = 0 e y = 1</p><p>4z. O vetor associado ao</p><p>autovalor é v = (−z,14z,z) ou v = (−4z,z,4z) = z(−4,1,4), pois um múltiplo</p><p>do vetor também é solução do sistema.</p><p>Se um autovalor λi ocorre como uma raiz múltipla (k vezes) do po-</p><p>linômio caracteŕıstico, então λi tem multiplicidade k. No exemplo anterior</p><p>o autovalor λ = 1 tem multiplicidade 2.</p><p>Exemplo 5.3.10. Determine os autovalores e autovetores da seguinte trans-</p><p>formação linear T : R3 ⇒ R3, T (x,y,z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z)</p><p>Solução: a matriz da transformação linear é:</p><p> 1 0 0</p><p>−2 −1 0</p><p>2 1 2</p><p></p><p>obtendo a equação caracteŕıstica: det(λI −A) = 0 :</p><p>det(λI −A) =</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>λ 0 0</p><p>0 λ 0</p><p>0 0 λ</p><p>−</p><p> 1 0 0</p><p>−2 −1 0</p><p>2 1 2</p><p> ∣∣∣∣∣∣</p><p>det(λI −A) =</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>λ− 1 0 0</p><p>2 λ+ 1 0</p><p>−2 −1 λ− 2</p><p>∣∣∣∣∣∣ = (λ− 1)(λ+ 1)(λ− 2) = 0</p><p>Assim os autovalores são λ1 = 1, λ2 = −1 e λ3 = 2, que são os elementos</p><p>da diagonal principal da matriz da transformação, pois a matriz é triangular</p><p>inferior. Estudamos no caṕıtulo de matrizes e determinantes, nas proprieda-</p><p>des de determinantes que se a matriz A é triangular (superior ou inferior),</p><p>então det(A) = a11a22a33 . . . ann, isto é, é igual ao produto dos elementos da</p><p>diagonal principal.</p><p>Para determinar os autovetores, precisamos resolver o sistema homogêneo</p><p>representado por (λI −A)v = 0,</p><p>Para λ = 1, a matriz dos coeficientes é</p><p>(1)I −A =</p><p>1− 1 0 0</p><p>2 1 + 1 0</p><p>−2 −1 1− 2</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p> 0 0 0</p><p>2 2 0</p><p>−2 −1 −1</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>00</p><p>0</p><p></p><p>163</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>O sistema correspondente é:{</p><p>2x+ 2y = 0</p><p>−2x− y − z = 0</p><p>Um autovetor é: v1 = (−z,z,z).</p><p>Para λ = −1, a matriz dos coeficientes é</p><p>(−1)I−A =</p><p>−1− 1 0 0</p><p>2 −1 + 1 0</p><p>−2 −1 −1− 2</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>−2 0 0</p><p>2 0 0</p><p>−2 −1 −3</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>00</p><p>0</p><p></p><p>O sistema correspondente é:</p><p>−2x = 0</p><p>2x = 0</p><p>−2x− y − 3z = 0</p><p>O que implica que x = 0, e y = −3z, então o autovetor é: v2 = (0,− 3z,z).</p><p>Para λ = 2, a matriz dos coeficientes é</p><p>(2)I −A =</p><p>2− 1 0 0</p><p>2 2 + 1 0</p><p>−2 −1 2− 2</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p> 1 0 0</p><p>2 3 0</p><p>−2 −1 0</p><p>xy</p><p>z</p><p> =</p><p>00</p><p>0</p><p></p><p>O sistema correspondente</p><p>é:</p><p>x = 0</p><p>2x+ 3y = 0</p><p>−2x− y = 0</p><p>O que implica que x = 0, e y = 0, então o autovetor é: v3 = (0,0,z).</p><p>Resumo</p><p>Para determinar os autovalores e autovetores de uma matriz A de ordem n:</p><p>1. Escreva a equação caracteŕıstica |λI − A| = 0. Ela será uma equação</p><p>polinomial de grau n na variável λ.</p><p>2. Determine as ráızes reais da equação caracteŕıstica que serão os autova-</p><p>lores de A.</p><p>3. Para cada autovalor λi, encontre os autovetores associados, resolvendo</p><p>o sistema homogêneo (λiI − A)v = 0. Isso pode exigir a redução por</p><p>linhas da matriz dos coeficientes. E ressaltamos que as soluções devem</p><p>não triviais.</p><p>Observação: Se um autovalor λi ocorre como uma raiz múltipla (k</p><p>vezes) do polinômio caracteŕıstico, então λi tem multiplicidade k.</p><p>164</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>Propriedades</p><p>Considerando A uma matriz de ordem n e k um escalar qualquer.</p><p>I. Se v é um autovetor associado ao autovalor λ de um operador linear</p><p>T , o vetor kv, para qualquer real k ̸= 0 é também autovetor de T</p><p>associado ao mesmo λ.</p><p>De fato, T (v) = λv e T (kv) = kT (v) = k(λv) ou T (kv) = λ(kv), o que</p><p>mostra o vetor kv é o autovetor associado ao autovalor λ.</p><p>II. Se λ é um autovalor de um operador linear T : V → V , o conjunto</p><p>Sλ de todos os vetores v ∈ V , inclusive o vetor nulo, associado ao</p><p>autovalor λ, é um subespaço vetorial de V.</p><p>De fato, se v1, v2 ∈ Sλ:</p><p>T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)</p><p>= λv1 + λv2</p><p>= λ(v1 + v2).</p><p>Portanto, v1 + v2 ∈ Sλ.</p><p>E analogamente αv1 ∈ Sλ α ∈ R</p><p>T (αv1) = αT (v1) = α(λv1)</p><p>Assim, o subespaço Sλ = { v ∈ V/T (v) = λv} é denominado subespaço</p><p>associado ao autovalor.</p><p>III. Se λ é um autovalor de A, então λ é autovalor de At.</p><p>IV. Se λ é um autovalor de A, então λk é autovalor de Ak.</p><p>Exemplo 5.3.11. É verdade que 5 é autovalor para A =</p><p>6 −3 1</p><p>3 0 5</p><p>2 2 6</p><p>?</p><p>Solução: O valor 5 será um autovalor de A ⇔ a equação (A− 5I) = 0</p><p>possui solução não trivial.</p><p>A− 5I =</p><p>6 −3 1</p><p>3 0 5</p><p>2 2 6</p><p>−</p><p>5 0 0</p><p>0 5 0</p><p>0 0 5</p><p> =</p><p>1 −3 1</p><p>3 −5 5</p><p>2 2 1</p><p></p><p>Próximo passo é escalonar a matriz ampliada do sistema homogêneo:1 −3 1 0</p><p>3 −5 5 0</p><p>2 2 1 0</p><p>L2 → L2 − 3L1;L3 → L3− 2L2</p><p>165</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.3. AUTOVALORES E AUTOVETORES</p><p>1 −3 1 0</p><p>0 4 2 0</p><p>0 8 −1 0</p><p>L3 → L3 − 2L2</p><p>1 −3 1 0</p><p>0 4 2 0</p><p>0 0 −5 0</p><p></p><p>A− 5I é uma matriz inverśıvel e 5 não é autovalor de A.</p><p>Observação: Chamamos de auto-espaço de A associado ao autovalor</p><p>λ, o espaço solução do sistema homogêneo (λI −A) = 0.</p><p>Exemplo 5.3.12. Determine uma base para o auto-espaço associado a cada</p><p>autovalor:</p><p>1. A =</p><p>[</p><p>5 0</p><p>2 1</p><p>]</p><p>λ1 = 1 e λ2 = 5.</p><p>Solução:</p><p>Para o item 1, λ1 = 1[</p><p>5− 1 0</p><p>2 1− 1</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>O sistema homogêneo correspondente é:{</p><p>4x = 0</p><p>2x = 0</p><p>a solução do sistema é x = 0. Sendo assim, v1 = {(0,y); y ∈ R} = [(0,1)], é</p><p>o auto-espaço associado ao autovalor λ2 = 1.</p><p>Para λ2 = 5 [</p><p>5− 5 0</p><p>2 1− 5</p><p>] [</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>0</p><p>0</p><p>]</p><p>O sistema homogêneo correspondente é:{</p><p>2x− 4y = 0</p><p>uma solução para o sistema é 2x = 4y, então x = 2y. Assim, v2 =</p><p>{(2x,x);x ∈ R} = [(2,1)], é o auto-espaço associado ao autovalor λ2 = 5.</p><p>Observação: Se A for uma matriz triangular superior (ou inferior), ou</p><p>diagonal de ordem n, então os autovalores de A são as entradas da diagonal</p><p>principal de A.</p><p>Exemplo 5.3.13. Determinar os autovalores da matriz triangular: A =2 0 0</p><p>4 5 0</p><p>1 −3 4</p><p>.</p><p>166</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>Solução:∣∣∣∣∣∣</p><p>λ− 2 0 0</p><p>4 λ− 5 0</p><p>1 −3 λ− 4</p><p>∣∣∣∣∣∣ = (λ− 2)(λ− 5)(λ− 4) = 0.</p><p>Assim, os autovalores são λ1 = 2, λ2 = 5 e λ1 = 4, que são os elementos</p><p>da diagonal principal.</p><p>5.3.2 Agora tente resolver!</p><p>1. Verifique se existem autovalores reais para a matriz A =</p><p>[</p><p>−16 10</p><p>−16 8</p><p>]</p><p>.</p><p>2. Encontre os autovalores e autovetores das matrizes:</p><p>(a) A =</p><p> 4 0 1</p><p>−2 1 0</p><p>−2 0 1</p><p></p><p>(b) A =</p><p>5 6 2</p><p>0 −1 −8</p><p>1 0 −2</p><p></p><p>3. Sejam A =</p><p>[</p><p>1 6</p><p>5 2</p><p>]</p><p>, u =</p><p>[</p><p>6</p><p>−5</p><p>]</p><p>, v =</p><p>[</p><p>3</p><p>−2</p><p>]</p><p>. Será que u e v são autove-</p><p>tores de A?</p><p>4. É verdade que</p><p>[</p><p>1</p><p>4</p><p>]</p><p>é autovetor para</p><p>[</p><p>−3 1</p><p>−3 8</p><p>]</p><p>? Caso seja, determine</p><p>o autovalor.</p><p>5.4 Diagonalização de Operadores</p><p>A seção anterior discutiu o problema de autovalor. Agora vamos estudar</p><p>outro problema clássico na álgebra linear, chamado de problema da diago-</p><p>nalização. A questão agora é, dada uma matriz A de ordem n, será que</p><p>existe uma matriz invert́ıvel P tal que P−1AP é uma matriz diagonal? E,</p><p>dada uma matriz A de ordem n, existem n autovetores de A Linearmente</p><p>Independentes?</p><p>O produto P−1AP é denominado transformação de semelhança da ma-</p><p>triz A.</p><p>Definição 29. Se A e B são matrizes quadradas, dizemos que B é seme-</p><p>lhante a A se existir alguma matriz invert́ıvel P tal que B = P−1AP.</p><p>Observação: Se B for semelhante a A, então também é verdade que A</p><p>é semelhante a B.</p><p>167</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>Definição 30. Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se for seme-</p><p>lhante a alguma matriz diagonal, ou seja, se existir alguma matriz invert́ıvel</p><p>P tal que P−1AP é uma matriz diagonal. Nesse caso, dizemos que P dia-</p><p>gonaliza A.</p><p>Com base na definição, o problema da diagonalização pode ser enunci-</p><p>ado como quais matrizes quadradas são diagonalizáveis? Claramente, toda</p><p>matriz diagonal D é diagonalizável, pois D = I−1DI, onde I é a matriz</p><p>identidade.</p><p>Observação:</p><p>1. A e P−1AP tem o mesmo determinante.</p><p>2. A é invert́ıvel se, e só se , P−1AP é invert́ıvel.</p><p>Teorema 5.4.1. (Condição para a diagonalização) A matriz A de ordem n</p><p>é diagonalizável, se e somente se tiver n autovetores Linearmente Indepen-</p><p>dentes.</p><p>Corolário 1. Se T : V → V é linear, de dimensão n e T possui auto-</p><p>valores distintos, o conjunto {v1,v2, . . . , vn}, formado pelos correspondentes</p><p>autovetores é uma base de V .</p><p>Exemplo 5.4.1. Uma matriz diagonalizável.</p><p>A matriz,</p><p>A =</p><p>[</p><p>−11 36</p><p>−3 10</p><p>]</p><p>é diagonalizável, porque P =</p><p>[</p><p>−3 −4</p><p>−1 −1</p><p>]</p><p>, tem a propriedade de que</p><p>P−1AP =</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 −2</p><p>]</p><p>= D.</p><p>As colunas da matriz P são os autovetores da matriz A. De modo que,</p><p>os autovetores são linearmente independentes. E a matriz,</p><p>D =</p><p>[</p><p>λ1 0</p><p>0 λ2</p><p>]</p><p>representa uma matriz diagonal principal formada pelos autovalores de A.</p><p>Exemplo 5.4.2. Considere a matriz A =</p><p>1 −1 4</p><p>3 2 −1</p><p>2 1 −1</p><p> com seus respec-</p><p>tivos autovalores λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 3 e os autovetores associados:</p><p>v1 = (−1,4,1), v2 = (−1,1,1), v3 = (1,2,1).</p><p>168</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>Como os autovalores são distintos, a base formada pelos autovetores:</p><p>{(−1,4,1), (−1,1,1), (1,2,1)} é linearmente independente. A matriz D apre-</p><p>senta os respectivos autovalores:</p><p>D =</p><p>1 0 0</p><p>0 −2 0</p><p>0 0 3</p><p></p><p>5.4.1 Passos para diagonalizar uma matriz</p><p>Seja A uma matriz n× n.</p><p>1. Encontre n autovetores linearmente independentes paraA (se posśıvel),</p><p>com autovalores associados λ1, λ2, . . . , λn. Se não existirem n autove-</p><p>tores linearmente independentes, então A não é diagonalizável.</p><p>2. Escreva a matriz P de ordem n × n, cujas colunas consistem nos au-</p><p>tovetores. Então, P =</p><p>[</p><p>v1 v2 . . . vn</p><p>]</p><p>.</p><p>3. A matriz D = P−1AP será uma matriz diagonal com os autovalores</p><p>correspondentes aos autovetores como entradas diagonais sucessivas.</p><p>A ordem dos autovetores usados para formar P determinará a ordem</p><p>em que os autovalores aparecem na diagonal principal de D.</p><p>Exemplo 5.4.3. Encontrando P que diagonaliza A.</p><p>A =</p><p>[</p><p>9 1</p><p>4 6</p><p>]</p><p>Para determinar os autovalores escrevemos:</p><p>det</p><p>[</p><p>9− λ 1</p><p>4 6− λ</p><p>]</p><p>= 0</p><p>A equação caracteŕıstica é: λ2 − 15λ+ 50 = 0.</p><p>Os autovalores são: λ1 = 10 e λ2 = 5.</p><p>Resolvendo o sistema homogêneo correspondente, obtemos os autoveto-</p><p>res: v1 = (1,1) e v2 = (1,−4). Temos dois vetores da base, observe que esses</p><p>vetores são Linearmente Independentes.</p><p>Portanto, a matriz P :</p><p>P =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>1 −4</p><p>]</p><p>diagonaliza a matriz A. A matriz A é diagonalizável, pois</p><p>P−1AP =</p><p>[</p><p>10 0</p><p>0 5</p><p>]</p><p>= D.</p><p>169</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>5.4.2 Diagonalização e Transformações Lineares</p><p>Em termos de Transformações Lineares, o problema da diagonalização</p><p>pode ser enunciado</p><p>simétricos - elementos espelhados pela diagonal principal -</p><p>são iguais, isto é, aij = aji.</p><p>Exemplo 1.4.9. A =</p><p>[</p><p>2 5</p><p>5 1</p><p>]</p><p>, At =</p><p>[</p><p>2 5</p><p>5 1</p><p>]</p><p>a matriz A é simétrica.</p><p>B =</p><p> 3 −1 5</p><p>−1 2 −4</p><p>5 4 0</p><p>, Bt =</p><p> 3 −1 5</p><p>−1 2 4</p><p>5 −4 0</p><p> a matriz B não é simétrica.</p><p>� Matriz Antissimétrica: Uma matriz A é anti-simétrica se At = −A, ou</p><p>de modo equivalente, se cada aij = −aji. Os elementos da diagonal</p><p>principal são nulos, já que aii = −aii implica aii = 0.</p><p>Exemplo 1.4.10. M =</p><p> 0 5 −2</p><p>−5 0 3</p><p>2 −3 0</p><p>, M t =</p><p> 0 −5 2</p><p>5 0 −3</p><p>−2 3 0</p><p> a</p><p>matriz M é anti-simétrica.</p><p>� Traço de uma matriz: dada uma matriz quadrada A cujos elementos</p><p>são designados por aij , i = 1, . . . ,n e j = 1, . . . ,n, seu traço é definido</p><p>por tr(A) =</p><p>∑n</p><p>i=1 aij .</p><p>Exemplo 1.4.11. Calcule o traço da matriz A =</p><p>1 0 −1</p><p>6 5 0</p><p>4 7 8</p><p>.</p><p>Como a matriz é de ordem 3, temos: tr(A) = a11+a22+a33, portanto:</p><p>tr(a) = 1 + 5 + 8 = 14.</p><p>1.5 Operações com Matrizes</p><p>Antes de definir as operações matriciais, precisamos estabelecer o critério</p><p>de igualdade de duas matrizes.</p><p>Definição 2. Igualdade entre matrizes: Duas matrizes A = [aij ]m×n e</p><p>B = [bij ]m×n, são iguais se possuem o mesmo tamanho (m× n) e aij = bij,</p><p>para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.</p><p>7</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>Exemplo 1.5.1. As matrizes A =</p><p>1 4 −1</p><p>6 −1 0</p><p>2 7 8</p><p> e B =</p><p>1 4 −1</p><p>6 −1 0</p><p>2 7 8</p><p> são</p><p>iguais, pois todos os seus elementos são iguais. Podemos escrever A = B.</p><p>1.5.1 Soma de Matrizes</p><p>Somar duas matrizes de mesmo tamanho A = [aij ]m×n eB = [bij ]m×n,</p><p>indicamos por A + B, é a matriz C = [cij ]m×n obtida somando-se os ele-</p><p>mentos correspondentes de A e B. Portanto, cij = aij + bij ,∀i,j.</p><p>Atençã</p><p>o!</p><p>Só faz sentido somar e subtrair matrizes de mesma ordem.</p><p>Exemplo 1.5.2. Se A =</p><p>[</p><p>3 4</p><p>7 8</p><p>]</p><p>e B =</p><p>[</p><p>2 6</p><p>8 9</p><p>]</p><p>, então</p><p>A+B =</p><p>[</p><p>3 4</p><p>7 8</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>2 6</p><p>8 9</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>3 + 2 4 + 6</p><p>7 + 8 8 + 9</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>5 10</p><p>15 17</p><p>]</p><p>Exemplo 1.5.3. A tabela a seguir mostra a quantidade de Smartphones</p><p>dispońıveis em estoque em cada filial de uma determinada rede de lojas</p><p>Samsung Motorola Apple LG</p><p>Loja Rio Grande 120 80 30 65</p><p>Loja Pelotas 100 95 50 90</p><p>Loja Camaquã 90 45 40 45</p><p>Na tabela estão representados os estoques de cada Smartphones em cada</p><p>loja, sendo que as linhas representam as lojas e as colunas representam as</p><p>quantidades de cada marca de Smartphones. A matriz que representa a</p><p>tabela é:</p><p>A =</p><p> 120 80 30 65</p><p>100 95 50 90</p><p>90 45 40 45</p><p> .</p><p>Suponha que as lojas estejam recebendo um novo carregamento, o estoque</p><p>será atualizado e portanto na matriz B estão as quantidades que estarão</p><p>dispońıveis para cada uma das lojas da rede:</p><p>B =</p><p> 20 15 0 10</p><p>10 5 6 12</p><p>0 4 9 5</p><p></p><p>O novo estoque, incluindo essa nova remessa, será dado pela soma dos</p><p>elementos da matriz A com os elementos da matriz B:</p><p>8</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>E =</p><p> 120 + 20 80 + 15 30 + 0 65 + 10</p><p>100 + 10 95 + 5 50 + 6 90 + 12</p><p>90 + 0 45 + 4 40 + 9 45 + 5</p><p></p><p>A matriz E representa o estoque final:</p><p>E =</p><p> 140 95 30 75</p><p>110 100 56 102</p><p>90 49 49 50</p><p> .</p><p>Propriedades da soma de matrizes</p><p>Considere as matrizes A, B e C de tamanhos m× n, temos:</p><p>i. A+ (B + C) = (A+B) + C (Propriedade Associativa da soma);</p><p>ii. A + 0 = 0 + A = A (Elemento neutro, onde 0 denota a matriz nula</p><p>m× n);</p><p>iii. −A+A = A−A = 0 (Elemento oposto);</p><p>iv. A+B = B +A (Propriedade Comutativa da soma).</p><p>Demonstração: Vamos verificar a propriedade [iv.], deixando as demais</p><p>a cargo do leitor.</p><p>iv. A+B = B +A</p><p>A = [aij ], B = [bij ]</p><p>A+B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ] = [bij + aij ] = B +A</p><p>Observação: Definimos a operação de subtração de maneira usual,</p><p>sendo dadas as matrizes A e B, temos A−B = A+ (−B).</p><p>1.5.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar</p><p>Na linguagem de matrizes, frequentemente nos referimos aos números</p><p>reais como escalares. O produto por um escalar é o produto de uma matriz</p><p>por um número real, que se faz multiplicando cada célula da matriz pelo</p><p>número real.</p><p>Sendo assim, o produto de uma matriz A por um escalar λ (número real)</p><p>é uma matriz B = [bij ] tal que: bij = λaij , onde a matriz B é um múltiplo</p><p>escalar da matriz A.</p><p>9</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>Exemplo 1.5.4. Voltando ao nosso exemplo do estoque de smartphones,</p><p>vamos supor que a rede de lojas decida fazer uma liquidação que diminua</p><p>seu estoque pela metade. Podemos calcular o estoque desejado, multiplicando</p><p>cada elemento da matriz E por 0,5 (observem que alguns números não são</p><p>inteiros):</p><p>E1 =</p><p> 0,5 · 140 0,5 · 95 0,5 · 30 0,5 · 75</p><p>0,5 · 110 0,5 · 100 0,5 · 56 0,5 · 102</p><p>0,5 · 90 0,5 · 49 0,5 · 49 0,5 · 50</p><p> = 70 47,5 15 37,5</p><p>55 50 28 51</p><p>45 24,5 24,5 25</p><p> .</p><p>Exemplo 1.5.5. Considere λ = −2 e a matriz A =</p><p>[</p><p>2 −1 5</p><p>4 0 −3</p><p>]</p><p>, então</p><p>(−2)A é:</p><p>(−2)</p><p>[</p><p>2 −1 5</p><p>4 0 −3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>(−2)2 (−2)− 1 (−2)5</p><p>(−2)4 (−2)0 (−2)− 3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−4 2 −10</p><p>−8 0 6</p><p>]</p><p>Exemplo 1.5.6. Dadas as matrizes A =</p><p>[</p><p>2 −1 5</p><p>4 0 −3</p><p>]</p><p>e B =</p><p>[</p><p>1 −1 2</p><p>2 0 −4</p><p>]</p><p>.</p><p>Calcule 2A+B.</p><p>2A+B = 2 ·</p><p>[</p><p>2 −1 5</p><p>4 0 −3</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>1 −1 2</p><p>2 0 −4</p><p>]</p><p>=[</p><p>4 −2 10</p><p>8 0 −6</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>1 −1 2</p><p>2 0 −4</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>5 −3 12</p><p>10 0 −10</p><p>]</p><p>Propriedades da multiplicação por escalar</p><p>Dados λ e β escalares e as matrizes Am×n e Bm×n, temos:</p><p>i. (λβ)A = λ(βA)</p><p>ii. (λ+ β)A = λA+ βA</p><p>iii. λ(A+B) = λA+ λB</p><p>iv. 1 ·A = A</p><p>v. 0 ·A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz</p><p>A, teremos a matriz nula.</p><p>Demonstração: Vamos verificar a propriedade [iii.], deixando as demais a</p><p>cargo do leitor.</p><p>iii. λ(A+B) = λA+ λB</p><p>λ(A+B) = [λ(aij + bij)] = [λaij + λbij ] = λA+ λB.</p><p>10</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>1.5.3 Multiplicação de Matrizes</p><p>A notação de somatório</p><p>A notação de somatório é muito útil e amplamente usada em matemática.</p><p>Vamos exemplificar alguns casos em que usamos esta notação antes de apre-</p><p>sentar um problema que envolve a operação de multiplicação de matrizes.</p><p>Observe que a notação</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>ai representa</p><p>a1 + a2 + · · ·+ an.</p><p>A letra i é o ı́ndice do somatório. Se a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, então</p><p>3∑</p><p>i=1</p><p>ai = a1 + a2 + a3 = 2 + 4 + 6 = 12.</p><p>A notação</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aixi representa</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aixi = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.</p><p>No caso de matrizes, observe o seguinte exemplo.</p><p>Exemplo 1.5.7. Dadas as seguintes matrizes, A = [2 1 3] e B =</p><p> 1</p><p>2</p><p>−2</p><p>,</p><p>o produto A ·B pode ser expresso em notação de somatório:</p><p>A ·B = a1b1 + a2b2 + a3b3 = 2(1) + 1(2) + 3(−2) =</p><p>3∑</p><p>i=1</p><p>anbn</p><p>Usaremos esta notação na operação de multiplicação de matrizes. Desta</p><p>forma, vamos começar considerando a seguinte aplicação:</p><p>Exemplo 1.5.8. Agricultura: Um produtor cultiva duas culturas, bergamota</p><p>e laranja. O produtor envia cada uma dessas culturas para três pontos de</p><p>venda diferentes:</p><p>A =</p><p>[</p><p>120 80 100</p><p>112 90 125</p><p>]</p><p>onde aij representa o número de unidades da cultura i que o produtor</p><p>envia para o ponto de venda j. A próxima matriz representa o lucro por</p><p>unidade:</p><p>B =</p><p>[</p><p>$3,70 $3,50</p><p>]</p><p>Determine o produto BA e indique o que cada elemento da matriz repre-</p><p>senta.</p><p>11</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>BA =</p><p>[</p><p>$3,70 $3,50</p><p>] [ 120 80 100</p><p>112 90 125</p><p>]</p><p>BA =</p><p>[</p><p>(3,70)120 + (3,50)112 (3,70)80 + (3,50)90 (3,70)100 + (3,50)125</p><p>]</p><p>BA =</p><p>[</p><p>$836 $611 $807,50</p><p>]</p><p>Desta forma, cada elemento representa o lucro total em cada loja.</p><p>Definição 3. Considere as matrizes A = [aij ]m×k e B = [bij ]k×n. O produto</p><p>da matriz A pela matriz B, definida por C = AB, de ordem m × n, isto é,</p><p>C = [cij ]m×n é tal que</p><p>cij =</p><p>k∑</p><p>p=1</p><p>aipbpj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aikbkj .</p><p>Atenç</p><p>ão!</p><p>Só faz sentido definirmos o produto AB de duas matrizes</p><p>quando o número de colunas de A for igual ao número de</p><p>linhas de B. Portanto,</p><p>Am×k.Bk×n = Cm×n</p><p>Exemplo 1.5.9. Novamente retornamos ao exemplo dos smartphones, Exem-</p><p>plo 1.5.3. Agora os gerentes das lojas possuem uma tabela com o valor de</p><p>cada um dos modelos de smartphones, esses preços estão na tabela abaixo:</p><p>Samsung Motorola Apple LG</p><p>Preço (R$) 950,00 1.000,00 2.000,00 890,00</p><p>Vamos representar a parte numérica da matriz como</p><p>P =</p><p></p><p>950,00</p><p>1.000,00</p><p>2.000,00</p><p>890,00</p><p></p><p>como: Para uma transformação linear T : V → V ,</p><p>existe uma base B de V tal que a matriz de T relativa a B seja diagonal?</p><p>A resposta é sim quando a matriz canônica de T é diagonalizável.</p><p>5.4.3 Diagonalização de matrizes simétricas</p><p>Vamos estudar agora, um tipo de matriz que temos certeza que é diago-</p><p>nalizável: uma matriz simétrica.</p><p>Definição 31. Uma matriz quadrada A é simétrica quando é igual à sua</p><p>transposta: A = At.</p><p>Propriedades de matrizes simétricas</p><p>Se A é uma matriz simétrica n × n, então as propriedades listadas a</p><p>seguir são verdadeiras:</p><p>1. A é diagonalizável.</p><p>2. Todos os autovalores de A são reais.</p><p>3. Se λ é um autovalor de A com multiplicidade k, então λ tem k auto-</p><p>vetores linearmente independentes.</p><p>Exemplo 5.4.4. Seja A =</p><p>[</p><p>a b</p><p>b c</p><p>]</p><p>uma matriz simétrica, a equação carac-</p><p>teŕıstica de uma matriz simétrica tem apenas ráızes reais.</p><p>O polinômio caracteŕıstico de A é</p><p>det</p><p>[</p><p>λ− a −b</p><p>−b λ− c</p><p>]</p><p>= λ2 − (a+ c)λ+ ac− b2 = 0</p><p>Como um polinômio quadrático em λ, seu discriminante é ∆ = (a−c)2+4b2.</p><p>Esse discriminante é a soma de dois quadrados, portanto deve ser zero ou</p><p>positivo. Se ∆ = 0, então a = c e b = 0, o que significa que A já é diagonal.</p><p>Então,</p><p>A =</p><p>[</p><p>a 0</p><p>0 a</p><p>]</p><p>Por outro lado, se ∆ > 0, então pela fórmula quadrática, o polinômio carac-</p><p>teŕıstico de A tem duas ráızes reais distintas, então A possui dois autovalores</p><p>reais distintos. Logo, A também é diagonalizável nesse caso.</p><p>170</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>Matrizes Ortogonais</p><p>Para diagonalizar uma matriz quadrada, precisamos encontrar uma ma-</p><p>triz inverśıvel P tal que P−1AP seja diagonal. Para as matrizes simétricas,</p><p>P pode ser escolhida de modo a ter a propriedade especial que P−1 = P t.</p><p>Essa propriedade é definida abaixo.</p><p>Definição 32. Uma matriz quadrada P é ortogonal quando é inverśıvel e</p><p>P−1 = P t.</p><p>Observação: Uma matriz P de ordem n é ortogonal se e somente se</p><p>seus vetores coluna formam um conjunto ortonormal.</p><p>Quando uma matriz A é simétrica, a matriz P será base ortogonal, é</p><p>conveniente então, que P além de ser ortogonal seja ortonormal, o que se</p><p>obtém normalizando cada vetor.</p><p>Teorema 5.4.2. Seja A uma matriz n× n simétrica. Se λ1 e λ2 são auto-</p><p>valores distintos de A, os respectivos autovetores v1 e v2 são ortogonais.</p><p>Demonstração: Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos de A com autovetores</p><p>v1 e v2. Assim, Av1 = λ1v1 e Av2 = λ2v2. Para demonstrar o teorema,</p><p>usamos a forma matricial do produto escalar</p><p>v1 · v2 = vt1v2</p><p>Assim, podemos escrever</p><p>λ1(v1 · v2) = (λ1v1) · v2</p><p>= (Av1) · v2</p><p>= (Av1)</p><p>tv2</p><p>= (vt1A</p><p>t)v2</p><p>= (vt1A)v2</p><p>= vt1(Av2)</p><p>= vt1(λ2v2)</p><p>= v1 · (λ2v2)</p><p>= λ2(v1 · v2).</p><p>Isto implica que (λ1 − λ2)(v1 · v2) = 0. além disso, λ1 ̸= λ2, de modo que</p><p>v1 · v2 = 0, o que significa que v1 e v2 são ortogonais.</p><p>Exemplo 5.4.5. Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza A.</p><p>A =</p><p>[</p><p>5 3</p><p>3 5</p><p>]</p><p>171</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>1º passo: determinar todos os autovalores, o polinômio caracteŕıstico é:</p><p>λ2 − 10λ+ 16 = 0. Assim os autovalores são: λ1 = 2 e λ2 = 8</p><p>2º passo: encontrar os autovetores associados e para cada um encontrar o</p><p>vetor unitário (encontrar os autovetores e depois normalize-os):</p><p>Para λ1 = 2, a solução do sistema homogêneo é y = −x, então o auto-</p><p>vetor é:</p><p>v1 = x(1,− 1)</p><p>e o vetor normalizado é:</p><p>u1 =</p><p>1√</p><p>2</p><p>(1,− 1).</p><p>Para λ2 = 8, a solução do sistema homogêneo é y = x, então o autovetor</p><p>associado é:</p><p>v2 = x(1, 1)</p><p>normalizando:</p><p>u2 =</p><p>1√</p><p>2</p><p>(1,1)</p><p>verificamos que</p><p>u1 · u2 = 0.</p><p>3º passo: os resultados dos passos anteriores produzem um conjunto</p><p>ortonormal de autovetores. Utilize esses vetores para montar a matriz P a</p><p>partir dos vetores unitários u1 e u2:</p><p>P [u1, u2] =</p><p></p><p>1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p>− 1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p></p><p>4ºPasso: A matriz P−1AP = P tAP = D será diagonal.</p><p>1√</p><p>2</p><p>− 1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p></p><p>P tAP =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>0 8</p><p>]</p><p>= D.</p><p>A matriz P é ortogonal. A matriz P é diagonalizadora, pois, D = P tAP .</p><p>172</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.4. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES</p><p>Aplicação de Autovalores e autovetores</p><p>Rotação de uma cônica: Vamos realizar uma rotação de eixos para elimi-</p><p>nar o termo xy na equação quadrática: 3x2− 10xy+3y2+16</p><p>√</p><p>2x− 32 = 0.</p><p>Essa expressão quadrática é da forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,</p><p>que na forma matricial pode ser escrita:</p><p>XtAX +</p><p>[</p><p>d e</p><p>]</p><p>X + f =</p><p>[</p><p>x y</p><p>] a</p><p>b</p><p>2</p><p>b</p><p>2</p><p>c</p><p>[</p><p>x</p><p>y</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>d e</p><p>] [x</p><p>y</p><p>]</p><p>+ f</p><p>A matriz da forma quadrática associada será:</p><p>A =</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−5 3</p><p>]</p><p>.</p><p>Os autovalores são: λ1 = 8 e λ2 = −2, com autovetores: v1 = (−1,1) e</p><p>v2 = (−1,− 1).</p><p>A matriz P será ortogonal e seu determinante será 1 ou −1. Para uma</p><p>cônica cuja equação ax2 + bxy+ cy2 + dx+ ey+ f = 0, a rotação X = PX ′</p><p>elimina o termo xy quando P é uma matriz ortogonal, com determinante</p><p>igual 1, que diagonaliza a matriz da forma quadrática A. Isto é, P tAP =</p><p>D. Assim, para o exemplo, a matriz P a seguir apresenta os autovetores</p><p>normalizados:</p><p>P =</p><p>−</p><p>1√</p><p>2</p><p>− 1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p>− 1√</p><p>2</p><p> =</p><p>[</p><p>cosθ −senθ</p><p>senθ cosθ</p><p>]</p><p>.</p><p>Observe que o determinante de P é igual a 1, então a matriz P é uma</p><p>rotação, onde θ é o ângulo de rotação da cônica medido do eixo x positivo</p><p>ao eixo x′ positivo. Como cos135◦ = − 1√</p><p>2</p><p>e sen135◦ =</p><p>1√</p><p>2</p><p>, então o ângulo</p><p>de rotação é de 135◦. Finalmente o produto das matrizes:</p><p>[</p><p>d e</p><p>]</p><p>PX ′ =</p><p>[</p><p>16</p><p>√</p><p>2 0</p><p>] −</p><p>1√</p><p>2</p><p>− 1√</p><p>2</p><p>1√</p><p>2</p><p>− 1√</p><p>2</p><p>[</p><p>x′</p><p>y′</p><p>]</p><p>= −16x′ − 16y′,</p><p>segue que a equação da cônica girada é λ1(x</p><p>′)2+λ2(y</p><p>′)2+</p><p>[</p><p>d e</p><p>]</p><p>PX ′+f = 0.</p><p>Assim temos,</p><p>8(x′)2 − 2(y′)2 − 16x′ − 16y′ − 32 = 0.</p><p>Na forma padrão, a equação é</p><p>(x′ − 1)2</p><p>1</p><p>− (y′ + 4)2</p><p>4</p><p>= 1</p><p>que é a equação de uma hipérbole.</p><p>173</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.5. LISTA 5</p><p>5.4.4 Agora tente resolver!</p><p>1. Encontre os autovalores e autovetores das seguintes transformações</p><p>lineares:</p><p>(a) T (x,y) = (2x− y,4x− 3y)</p><p>(b) T (x,y) = (5x− y,x+ 3y)</p><p>2. Encontre a equação caracteŕıstica da matriz:</p><p>(a)</p><p>[</p><p>7 2</p><p>3 5</p><p>]</p><p>(b)</p><p>[</p><p>4 −3</p><p>3 1</p><p>]</p><p>5.5 Lista 5</p><p>1. Determinar os autovalores e autovetores das seguintes transformações</p><p>lineares:</p><p>(a) T : R2 → R2 , T (x,y) = (x+ 2y,− x+ 4y)</p><p>(b) T : R2 → R2 , T (x,y) = (2x+ 2y, x+ 3y)</p><p>(c) T : R2 → R2 , T (x,y) = (5x− y, 3x+ y)</p><p>(d) T : R2 → R2 , T (x,y) = (y,−x)</p><p>2. Calcular os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:</p><p>(a) A =</p><p>[</p><p>1 3</p><p>−1 5</p><p>]</p><p>(b) A =</p><p>[</p><p>2 1</p><p>3 4</p><p>]</p><p>(c) A =</p><p>1 −1 0</p><p>2 3 2</p><p>1 1 2</p><p></p><p>(d) A =</p><p>3 −1 −3</p><p>0 2 −3</p><p>0 0 −1</p><p></p><p>3. Determinar o operador linear T : R2 → R2, tal que λ1 = 1,λ2 = 3,</p><p>associados aos autovetores v1 = (y,− y) e v2 = (0,y)</p><p>4. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma</p><p>matriz P que diagonaliza A e calcular P−1AP .</p><p>174</p><p>IMEF - FURG</p><p>5.5. LISTA 5</p><p>(a)</p><p>[</p><p>2 4</p><p>3 1</p><p>]</p><p>(b)</p><p>[</p><p>9 1</p><p>4 6</p><p>]</p><p>(c)</p><p> 1 2 1</p><p>−1 3 1</p><p>0 2 2</p><p></p><p>5. Seja A =</p><p>[</p><p>0 2</p><p>1 1</p><p>]</p><p>(a) Ache os autovalores de A e de A−1;</p><p>(b) Quais são os autovetores correspondentes?</p><p>6. Mostre que a matriz</p><p>[</p><p>4 4</p><p>0 4</p><p>]</p><p>não é diagonalizável.</p><p>7. Encontre os autovalores da matriz simétrica</p><p>[</p><p>2 1</p><p>1 2</p><p>]</p><p>.</p><p>8. Encontre a equação caracteŕıstica e os autovalores da matriz triangular</p><p>ou diagonal:</p><p>(a)</p><p>7 1 4</p><p>0 3 2</p><p>0 0 −4</p><p></p><p>(b)</p><p>10 3 0</p><p>0 4 2</p><p>0 0 −6</p><p></p><p>(c)</p><p></p><p>−6 0 0 0</p><p>0 6 0 0</p><p>0 0 4 0</p><p>0 0 0 2</p><p></p><p>(d)</p><p></p><p>10 0 0 0</p><p>0 2 0 0</p><p>0 0 −1 0</p><p>0 0 0 2</p><p></p><p>175</p><p>IMEF - FURG</p><p>Caṕıtulo 6</p><p>Gabaritos</p><p>6.1 Gabaritos das listas</p><p>Lista 1 da seção 1.8</p><p>1. A =</p><p>0 −1 −2</p><p>3 2 1</p><p>8 7 6</p><p> e B =</p><p>−1 −3 −5</p><p>2 0 −2</p><p>7 5 3</p><p>.</p><p>2. x = −4, y = 5,z = −2, t =</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>3. a)simétrica, b) antissimétrica.</p><p>4.</p><p>[</p><p>2 21</p><p>15 11</p><p>]</p><p>;</p><p>[</p><p>−9 34</p><p>−4 2</p><p>]</p><p>;</p><p>[</p><p>17 −112</p><p>112 −39</p><p>]</p><p>;</p><p>[</p><p>−478 198</p><p>198 −82</p><p>]</p><p>.</p><p>5.</p><p>[</p><p>−34 −33 −36 −12</p><p>24 −9 30 −12</p><p>]</p><p>.</p><p>6. A =</p><p> 2 12</p><p>6 −6</p><p>−3 7</p><p>; B =</p><p>1 2 1</p><p>2 3 6</p><p>3 7 4</p><p>; C =</p><p>[</p><p>2 10 4</p><p>−7 2 5</p><p>]</p><p>.</p><p>7. 3× 4.</p><p>8. 3 linhas.</p><p>9.</p><p>[</p><p>−1 −12</p><p>30 −1</p><p>]</p><p>;</p><p>[</p><p>−63 −34</p><p>85 −63</p><p>]</p><p>;</p><p>[</p><p>11 −16</p><p>40 11</p><p>]</p><p>.</p><p>10. a)y = 5, z = 4, x = 6; b)y = 4, x = 0, z qualquer.</p><p>11.</p><p>[</p><p>2700</p><p>6240</p><p>]</p><p>.</p><p>176</p><p>6.1. GABARITOS DAS LISTAS</p><p>12.</p><p>[</p><p>260 340</p><p>440 560</p><p>]</p><p>.</p><p>13.</p><p>106 64</p><p>164 100</p><p>212 128</p><p>.</p><p>14.</p><p>[</p><p>11 14 6</p><p>]</p><p>.</p><p>15. a)x = 5,− 4; b)x</p><p>= 5,3.</p><p>16. Como o det(A) = 0, a matriz A não tem inversa.</p><p>17. Área = −1</p><p>2(−13), portanto, Área = 6,5u.a. Usamos o sinal nega-</p><p>tivo devido ao fato do valor do determinante ser −13, desta forma,</p><p>fornecemos um valor positivo para a área do triângulo.</p><p>Lista 2 da seção 2.10</p><p>1.</p><p>2. a)SI; b)x =</p><p>46</p><p>37</p><p>, y = −18</p><p>37</p><p>,z =</p><p>76</p><p>37</p><p>. c)x = 48, y = 12, z = −13;</p><p>d)x =</p><p>3</p><p>2</p><p>, y = 0, z =</p><p>3</p><p>2</p><p>; e) SI; f)x = 1, y = −7, z = 3.</p><p>3.</p><p> 0 −1 1</p><p>2 −1 0</p><p>−1 1 0</p><p>.</p><p>4. a =</p><p>1</p><p>3</p><p>, b = −7</p><p>3</p><p>, c = −8.</p><p>5.</p><p></p><p>−9</p><p>4</p><p>5</p><p>2</p><p>−3</p><p>4</p><p>−1</p><p>2</p><p>1 −1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>−1</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>6. boa sorte!</p><p>7. a)</p><p> 1</p><p>5</p><p>1</p><p>10 −1</p><p>5</p><p>1</p><p>70</p><p>3</p><p>70</p><p>1</p><p>5</p><p>6</p><p>35</p><p>1</p><p>70</p><p>2</p><p>5</p><p>; b)</p><p> 4 −2 5</p><p>2 −4</p><p>3</p><p>8</p><p>3</p><p>−4 7</p><p>3 −17</p><p>3</p><p>.</p><p>8. x = y = z = 0 todos os itens.</p><p>9. x = −5z − 7, y = 3z + 5.</p><p>10. a) p(x) = 3x2 − 18x+ 29; b) p(x) = 2x.</p><p>177</p><p>IMEF - FURG</p><p>6.1. GABARITOS DAS LISTAS</p><p>11. x =</p><p>3</p><p>2</p><p>y, z =</p><p>1</p><p>2</p><p>y, w =</p><p>3</p><p>2</p><p>y.</p><p>12. x =</p><p>1</p><p>4</p><p>w, y =</p><p>5</p><p>4</p><p>w, z =</p><p>3</p><p>4</p><p>w.</p><p>13. x =</p><p>1</p><p>3</p><p>w, y = w, z =</p><p>2</p><p>3</p><p>w.</p><p>14. c1 = 7, c2 = 2</p><p>15. x = 11, y = 14, z = 24.</p><p>16. x = 2, y = 4, z = 1.</p><p>Lista 3 da seção 3.9</p><p>1. b) é espaço vetorial.</p><p>2. verificar todas as propriedades.</p><p>3. a), c), d) são subespaços.</p><p>4. é subespaço vetorial.</p><p>5. verificar as propriedades do subespaço vetorial.</p><p>6. é subespaço.</p><p>7. a) não é fechado para soma de vetores; b) não é fechado para a mul-</p><p>tiplicação por escalar.</p><p>8. a) subespaço; b) não é subespaço.</p><p>9. a = −4− b; c =</p><p>5</p><p>3</p><p>+</p><p>2</p><p>3</p><p>b</p><p>10. A = 2A1 −A2 +A3</p><p>11. a)u = 2v1 − v2; b) w não pode ser escrito como combinação linear.</p><p>12. a) LI; b) LD; c) LI; d) LD</p><p>13. a) LD; b) LD</p><p>14. a) LD; b) LI</p><p>15. a), b) d)</p><p>16. (x,y,z) = xv1 + (y − x)v2 + (z − y)v3</p><p>17. mostrar que é LI e gera o conjunto.</p><p>18. a) LD; b) não gera R2; c) LD</p><p>178</p><p>IMEF - FURG</p><p>6.1. GABARITOS DAS LISTAS</p><p>19. a)W = [(1,1,0),(1,0,1)]; b) W = [(−2,1,− 3)]</p><p>20. a) dimS1 = 3; b) dimS2 = 2.</p><p>21. o posto de A é 2.</p><p>22. vB′ =</p><p>[</p><p>14</p><p>−11</p><p>]</p><p>.</p><p>Lista 4 da seção 4.10</p><p>1. São lineares a), d).</p><p>2. São lineares a), b), e).</p><p>3. Apenas item c).</p><p>4. T (x,y,z) = (x− y − 2z,− x+ 2y + z,x− 3z)</p><p>5. T (x,y) = (2x− y,3x+ 2y,x)</p><p>6. T (x,y) = (2x+ 3y,x+ 2y,2x+ y)</p><p>7. T (x,y) = (y,y − x)</p><p>8. T (x,y,z) = (2x+ 2y + 2z,4x+ 2y)</p><p>9. T (x,y,z) = (−x+ 2y,y − 3x,13x− 4y)</p><p>10. a) N(T ) = {(x, − 2x)/x ∈ R}; b) N(T ) = {(0,0)}; c) N(T ) =</p><p>{(2</p><p>3</p><p>y,y)/y ∈ R}; d) N(T ) = {(0,0,0)}; e) N(T ) = {(0,0,0)}; f)</p><p>N(T ) = {(3z,z,z)/z ∈ R}; g) N(T ) = {(−1</p><p>3</p><p>z,</p><p>2</p><p>3</p><p>z,z)/z ∈ R}.</p><p>11. Uma delas é T (x,y,z) = (−x+ y + z, 0, x− y − z, 0).</p><p>12. Uma delas é T (x,y,z) = (x+ 2y, 3x,−x+ y, 2x− y).</p><p>13. a)</p><p>[</p><p>−1 3</p><p>0 1</p><p>]</p><p>; b)</p><p>−1</p><p>2</p><p>√</p><p>3</p><p>2√</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>; c)</p><p>[</p><p>−cosθ senθ</p><p>−senθ −cosθ</p><p>]</p><p>; d)</p><p>[</p><p>0 −2</p><p>−1 −6</p><p>]</p><p>; e)</p><p>[</p><p>0 0</p><p>1 0</p><p>]</p><p>.</p><p>14. gráfico</p><p>15. gráfico</p><p>179</p><p>IMEF - FURG</p><p>6.1. GABARITOS DAS LISTAS</p><p>16.</p><p>1 0 0</p><p>0 cosθ 0</p><p>0 senθ 0</p><p> .</p><p>17. apresentar as respostas em notação matricial: a) T (x,y,z) = (0,y,z);</p><p>b) T (x,y,z) = (x,0,z); e)T (x,y,z) = (x,− y,z); f) T (x,y,z) = (−x,y,z).</p><p>18.</p><p>−cosθ 0 senθ</p><p>0 1 0</p><p>senθ 0 cosθ</p><p> .</p><p>19. gráfico</p><p>Lista 5 da seção 5.5</p><p>1. a)λ1 = 3; v1 = (y,y);λ2 = 2; v2 = (y,y); b) λ1 = 1; v1 = y(2,1);λ2 =</p><p>4; v2 = x(1,1); c)λ1 = 4;λ2 = 2; v1 = x(1,1), v2 = (1,3);d) não existem</p><p>valores reais.</p><p>2. a) (λ1 = 2; v1 = y(3,1);λ2 = 4; v2 = y(1,1)); b) λ1 = 1; v1 =</p><p>y(−1,1);λ2 = 5; v2 = x(1,3)); c) λ1 = 1; v1 = (x,0, − x);λ2 = 2; v2 =</p><p>(−2z,2z,z);λ3 = 3; v3 = (x,−2x,−x)); d) λ1 = −1; v1 = (x,x,x);λ2 =</p><p>2; v2 = (x,x,0);λ3 = 3; v3 = (x, 0,0)).</p><p>3. T (x,y) = (x,2x+ 3y).</p><p>4. a) P =</p><p>[</p><p>1 4</p><p>−1 3</p><p>]</p><p>, P−1AP =</p><p>[</p><p>−2 0</p><p>0 5</p><p>]</p><p>; b) P =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>1 −4</p><p>]</p><p>, P−1AP =[</p><p>10 0</p><p>0 5</p><p>]</p><p>; c) P =</p><p>2 1 0</p><p>1 0 1</p><p>2 1 −2</p><p>, P−1AP =</p><p>3 0 0</p><p>0 2 0</p><p>0 0 1</p><p> .</p><p>5. a) A : λ1 = 2; v1 = (x,x);x ∈ R;λ2 = −1, v2 = (−2y, y); y ∈ R.</p><p>Para A−1 : λ1 = −1; v1 = (−2y, y); y ∈ R;λ2 =</p><p>1</p><p>2 , v2 = (x,x);x ∈ R.</p><p>6. existe apenas um autovalor.</p><p>7. λ = 1, λ = 3.</p><p>8. a)−λ3+6λ2+19λ−84 = 0, autovalores: 7,3,−4; b)−λ3+8λ2+44λ−</p><p>240 = 0, autovalores: 10,4, − 6; c)λ4 − 6λ3 − 28λ2 + 216λ − 288 = 0,</p><p>autovalores: −6,6,4,2; d)λ4 − 13λ3 + 30λ2 + 4λ− 40 = 0, autovalores:</p><p>10,2,− 1,2.</p><p>Bibliografia</p><p>1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Álgebra Linear, São Paulo: Pearson Ma-</p><p>kron Books, 1987.</p><p>180</p><p>IMEF - FURG</p><p>6.1. GABARITOS DAS LISTAS</p><p>2. Boldrini, J.L. Álgebra Linear, Campinas: Harbra, 1986.</p><p>3. Lima, E. L.Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear, Coleção Matemática</p><p>Universitária. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.</p><p>4. Anton, H. e RORRES, C. Álgebra Linear e Aplicações, São Paulo:</p><p>Brakmen, 2001.</p><p>5. Larson. R. Elementos de Álgebra Linear ; revisão técnica: Eduardo</p><p>Garibaldi; assistente de revisão técnica: Cleber Colle; tradução: He-</p><p>lena Ávila de Castro. São Paulo, SP: Cengage, 2017.</p><p>6. Lay, D.C. Álgebra Linear e suas aplicações, Rio de Janeiro: LTC Edi-</p><p>tora, 2007.</p><p>7. Sandoval Junior, L. Álgebra Linear: para ciências econômicas, contábeis</p><p>e administração, São Paulo: Cengage Learning, 2010.</p><p>8. Franco, N.B., Álgebra Linear, São Paulo: Pearson Education do Brasil,</p><p>2016.</p><p>181</p><p>IMEF - FURG</p><p>Representamos a matriz P dos preços como uma matriz coluna para simpli-</p><p>ficar as contas envolvendo essa matriz.</p><p>Se o gerente da Loja de Rio Grande quiser calcular o valor total de seu</p><p>novo estoque de smartphones, ele deve multiplicar a quantidade dispońıvel</p><p>de smartphones pelo preço de cada modelo e somar o resultado para todos</p><p>os modelos:</p><p>140·950+95·1000+30·2000+75·890 = 133000+95000+60000+66750 = 354.750</p><p>12</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>Portanto, isto equivale a multiplicar os elementos da primeira linha da</p><p>matriz E que apresenta os estoques dispońıveis na Loja de Rio Grande, pelos</p><p>elementos da matriz P dos preços na ordem em que eles aparecem em cada</p><p>matriz.</p><p>Para saber o valor total do estoque de cada loja, a gerência geral deve</p><p>fazer também os produtos entre a segunda e a terceira linhas da matriz E,</p><p>pela matriz coluna P , o resultado é</p><p>EP =</p><p> 140 95 30 75</p><p>110 100 56 102</p><p>90 49 49 50</p><p></p><p></p><p>950,00</p><p>1.000,00</p><p>2.000,00</p><p>890,00</p><p></p><p>R =</p><p> 354.750,00</p><p>407.280,00</p><p>277.00,00</p><p></p><p>O valor de cada linha representa o valor total do estoque de smartphones</p><p>de cada loja.</p><p>Exemplo 1.5.10. Dadas as matrizes:</p><p>A =</p><p>[</p><p>1 −2 3</p><p>0 2 4</p><p>]</p><p>, B =</p><p> 2 0</p><p>−1 3</p><p>1 −4</p><p></p><p>Calcule AB.</p><p>O produto das duas matrizes é a matriz C = (cij), de ordem 2× 2, cuja</p><p>o primeiro elemento c11 é dado pela soma do produto de cada elemento da</p><p>linha 1 pelos elementos da coluna 2, da forma que segue:</p><p>AB =</p><p>[</p><p>1 −2 3</p><p>0 2 4</p><p>] 2 0</p><p>−1 3</p><p>1 −4</p><p> =</p><p>[</p><p>1 · 2 + (−2) · (−1) + 3 · 1 . . .</p><p>. . . . . .</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>7 . . .</p><p>. . . . . .</p><p>]</p><p>.</p><p>Para calcular c12, multiplicamos cada elemento da primeira linha da</p><p>matriz A pelo elemento correspondente na segunda coluna da matriz B :</p><p>AB =</p><p>[</p><p>1 −2 3</p><p>0 2 4</p><p>] 2 0</p><p>−1 3</p><p>1 −4</p><p> =</p><p>[</p><p>7 1 · 0 + (−2) · (3) + 3 · (−4)</p><p>. . . . . .</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>7 −18</p><p>. . . . . .</p><p>]</p><p>.</p><p>O elemento c21 é calculado multiplicando a segunda linha da matriz A</p><p>pela primeira coluna da matriz B :</p><p>13</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>AB =</p><p>[</p><p>1 −2 3</p><p>0 2 4</p><p>] 2 0</p><p>−1 3</p><p>1 −4</p><p> =</p><p>[</p><p>7 −18</p><p>0 · 2 + 2 · (−1) + 4 · 1 . . .</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>7 −18</p><p>2 . . .</p><p>]</p><p>.</p><p>Por fim, o elemento c22 é calculado multiplicando a segunda linha da</p><p>matriz A pela segunda coluna da matriz B :</p><p>AB =</p><p>[</p><p>1 −2 3</p><p>0 2 4</p><p>] 2 0</p><p>−1 3</p><p>1 −4</p><p> =</p><p>[</p><p>7 −18</p><p>2 0 · 0 + 2 · (3) + 4 · (−4)</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>7 −18</p><p>2 −10</p><p>]</p><p>.</p><p>Observe que a matriz C resultante da multiplicação das matrizes A e</p><p>B, possui o mesmo número de linhas que a primeira matriz (A) e o mesmo</p><p>número de colunas da segunda matriz (B).</p><p>Propriedades da Multiplicação</p><p>Dadas quaisquer matrizes A, B,C de tamanhos convenientes e λ ∈ R,</p><p>são válidas as seguintes propriedades:</p><p>i. (AB)C = A(BC) (Propriedade Associativa da multiplicação);</p><p>ii. (A+B)C = AC +BC (Propriedade Distributiva);</p><p>iii. A(B + C) = AB +AC (Propriedade Distributiva;)</p><p>iv. ImA = AIn = A (Propriedade da matriz identidade).</p><p>v. (λA)B = A(λB) = λ(AB).</p><p>Observações:</p><p>1. A multiplicação matricial não é, em geral, comutativa (AB ̸= BA).</p><p>2. Se o produto de duas matrizes for a matriz zero, não podemos concluir</p><p>que A = 0 ou B = 0.</p><p>3. Indicamos a potência de uma matriz A do seguinte modo: A2 = AA;</p><p>A3 = A2A; A(n+1) = AnA (onde A é uma matriz quadrada).</p><p>Exemplo 1.5.11. Se A =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>]</p><p>, encontre uma fórmula para An.</p><p>Solução:</p><p>A2 = AA =</p><p>[</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>] [</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>]</p><p>14</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES</p><p>A3 = A2A =</p><p>[</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>] [</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 3</p><p>0 1</p><p>]</p><p>Portanto,</p><p>An = AA · · ·A =</p><p>[</p><p>1 n</p><p>0 1</p><p>]</p><p>4. A matriz identidade é o elemento neutro multiplicativo nas operações</p><p>de multiplicações de matrizes.</p><p>5. A ordem em que aparecem as matrizes é importante:</p><p>� ∄AB e ∄BA;</p><p>� ∃AB e ∄BA;</p><p>� ∄AB e ∃BA;</p><p>� ∃AB e ∃BA.</p><p>Exemplo 1.5.12. � ∄AB e ∄BA: No caso em que: A2×2 e B3×3.</p><p>� ∃AB e ∄BA: No caso em que: A2×2 e B2×3.</p><p>1.5.4 Agora tente resolver!</p><p>1. Escrever a matriz A = [aij ] nos seguintes casos:</p><p>(a) A matriz A é do tipo 2 × 3, com aij = 4, para i ̸= j e aij = 2</p><p>para i = j.</p><p>(b) A matriz A é de ordem 3 com aij = i3 − j.</p><p>2. Determinar os valores de x e y para que as seguintes matrizes sejam</p><p>iguais:</p><p>A =</p><p>[</p><p>4x 2</p><p>8 y − 4</p><p>]</p><p>, B =</p><p>[</p><p>8 2</p><p>8 3</p><p>]</p><p>3. Dadas as matrizes:</p><p>A =</p><p>[</p><p>6 5</p><p>−9 7</p><p>]</p><p>, B =</p><p>[</p><p>5 8</p><p>10 7</p><p>]</p><p>, C =</p><p> 10 −3 4</p><p>5 7 4</p><p>−9 1 4</p><p> , D =</p><p>[</p><p>5 1 −2</p><p>3 6 7</p><p>]</p><p>Calcule se posśıvel:</p><p>(a) AB −BA</p><p>(b) 4A+D</p><p>(c) Determinar o dobro de C</p><p>(d) Multiplicar a matriz D por</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>15</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.6. MATRIZES INVERSÍVEIS</p><p>4. Dada as matrizes: A =</p><p> 4 0 3</p><p>1/2 2 1</p><p>−4 8 −9</p><p>, B =</p><p>1 −3 2</p><p>2 5 −3</p><p>4 2 0</p><p>, C =1 5</p><p>0 2</p><p>4 3</p><p>. Calcule:</p><p>(a) (AB)t</p><p>(b) (4C)t</p><p>5. Sejam A, B, C, D e D matrizes com tamanhos: A : 2 × 4, B : 3 × 2,</p><p>C : 4× 2, D : 1× 2 e E : 3× 2. Se definida, determine o tamanho da</p><p>matriz, caso contrário, explique o motivo.</p><p>(a) A+ C</p><p>(b) AB</p><p>(c) AC</p><p>(d) B + E</p><p>(e) DA</p><p>(f) BA</p><p>Algumas Respostas: 1(b):</p><p> 0 −1 −2</p><p>7 6 5</p><p>26 25 24</p><p>; 2. x = 2, y = 7;</p><p>3. dica: use o aplicativo do GeoGebra para realizar os cálculos. (a)(</p><p>122 2</p><p>28 −122</p><p>)</p><p>, (b) não é posśıvel realizar a operação, (c)</p><p> 20 −6 8</p><p>10 14 8</p><p>−18 2 8</p><p>.</p><p>4 (a)</p><p> 16 17</p><p>2 −24</p><p>−6 21</p><p>2 34</p><p>8 −5 −32</p><p>. 5. dica: observar o tamanho correspon-</p><p>dente das matrizes e identificar se a operação está bem definida e</p><p>dizer o tamanho da matriz resultante, quando for posśıvel. Por exem-</p><p>plo, (a) A+C a ordem da matriz A é 2× 4 e da matriz C é 4× 2, não</p><p>é posśıvel realizar a operação de adição pois as matrizes não possuem</p><p>o mesmo tamanho.</p><p>1.6 Matrizes Inverśıveis</p><p>Nesta seção a ideia é encontrar a inversa de uma matriz se ela existir.</p><p>Vamos começar pensando na seguinte equação nos números reais ax = b.</p><p>Para resolver essa equação, começamos multiplicando ambos os lados da</p><p>equação por a−1, com a ̸= 0:</p><p>16</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.6. MATRIZES INVERSÍVEIS</p><p>ax = b</p><p>(a−1a)x = a−1b</p><p>(1)x = a−1b</p><p>x = a−1b</p><p>Observem que o número a−1 é o inverso multiplicativo de a porque</p><p>a−1a = 1 (o elemento neutro da multiplicação). Como seria no caso das</p><p>matrizes? Vimos que o produto entre matrizes, além de não ter a pro-</p><p>priedade comutativa (isto é, em geral, AB ̸= BA), também não temos a</p><p>existência do elemento inverso. Para que tal elemento exista, devemos ter</p><p>que, dada uma matriz A, exista uma matriz A−1tal que</p><p>AA−1 = A−1A = In</p><p>Sendo In alguma matriz identidade do tipo n × n, pois de acordo com o</p><p>produto de matrizes, A deve ser n×m e A−1 deve ser m×n se AA−1 = In.</p><p>De forma semelhante, devemos ter A−1 do tipo n ×m e A deve ser m × n</p><p>se A−1A = In. Isto só acontecerá se ambas as matrizes forem do tipo n×n,</p><p>isto é quadradas.</p><p>Portanto, uma matriz só pode ter inversa se for uma matriz quadrada.</p><p>Que é uma condição necessária, mas não suficiente para ter inversa.</p><p>Definição 4. Uma matriz A quadrada de ordem n é inverśıvel (ou não</p><p>singular) se existe uma matriz B de ordem n × n tal que AB = BA = In,</p><p>onde In é a matriz identidade. A matriz B é a inversa multiplicativa de A e</p><p>representamos por A−1. Uma matriz que não possui inversa é não inverśıvel</p><p>(ou singular).</p><p>Exemplo 1.6.1. Dada a matriz A =</p><p>[</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>]</p><p>, sua inversa é A−1 =</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>pois:</p><p>AA−1 =</p><p>[</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>] [</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>= I2</p><p>A−1A =</p><p>[</p><p>3 −5</p><p>−1 2</p><p>] [</p><p>2 5</p><p>1 3</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>]</p><p>= I2</p><p>Observação: Uma matriz quadrada A cujo determinante é nulo é cha-</p><p>mada de matriz singular. A matriz singular não tem inversa. Se a matriz</p><p>quadrada A possui determinante diferente de zero é chamada de matriz não-</p><p>singular. A matriz não-singular possui inversa.</p><p>Observação: As matrizes não quadradas não possuem inversas.</p><p>17</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.7. DETERMINANTES</p><p>Propriedades das matrizes inversas</p><p>Se as A e B são matrizes quadradas de ordem n e inverśıveis:</p><p>i. Se a matriz A possui inversa, esta é única (det A ̸= 0);</p><p>ii. Se A é uma matriz não-singular, então A−1 é invert́ıvel e (A−1)−1 = A;</p><p>iii. A e B são invert́ıveis, então A ·B é invert́ıvel e (A ·B)−1 = B−1 ·A−1;</p><p>iv. Se A é uma matriz invert́ıvel, então (At)−1 = (A−1)t.</p><p>Exemplo 1.6.2. Determinação de matriz inversa de ordem 2</p><p>[</p><p>5 3</p><p>4 2</p><p>]</p><p>Solução: Primeiro</p><p>calculamos o determinante da matriz A: detA = 10−</p><p>12 = −2, então</p><p>A−1 =</p><p>1</p><p>−2</p><p>[</p><p>2 −3</p><p>−4 5</p><p>]</p><p>A−1 =</p><p>[</p><p>−1 3</p><p>2</p><p>2 −5</p><p>2</p><p>]</p><p>.</p><p>Verifique se AA−1 = A−1A = I.</p><p>No caṕıtulo de Sistemas Lineares vamos determinar inversas de matrizes</p><p>usando a eliminação de Gauss-Jordan, método que será usado para deter-</p><p>minar matrizes inversas de ordem n.</p><p>1.7 Determinantes</p><p>Os determinantes são usados em diversas situações da matemática. No</p><p>cálculo do produto vetorial, no cálculo de áreas, volumes, equações da reta,</p><p>planos, etc. Portanto, é de extrema importância o seu estudo.</p><p>Se A é uma matriz quadrada de ordem n, o determinante da matriz</p><p>A, indicamos por det(A), é um número real que obtemos operando com os</p><p>elementos de A.</p><p>1.7.1 Determinante de um matriz quadrada de ordem 1 e 2</p><p>Apenas em matrizes quadradas é posśıvel calcular um determinante. Va-</p><p>mos começar com o caso mais simples.</p><p>Se a matriz possui apenas um elemento, n = 1: A = [a11], o determinante</p><p>é o próprio escalar: det(A) = a11.</p><p>Definição 5. O determinante da matriz: A =</p><p>(</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>)</p><p>é,</p><p>det(A) = |A| = a11a22 − a21a12.</p><p>O determinante é a diferença dos produtos das duas diagonais da matriz.</p><p>18</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.7. DETERMINANTES</p><p>1.7.2 Determinante de um matriz quadrada de ordem supe-</p><p>rior a 2</p><p>Se a matriz quadrada for de ordem superior a 2 para definir o determi-</p><p>nante é necessário o uso de menores e cofatores.</p><p>Definição 6. O menor Mij do elemento aij é o determinante da matriz ob-</p><p>tida pela exclusão da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz A. O cofator</p><p>Cij da entrada aij é Cij = (−1)i+jMij.</p><p>Exemplo 1.7.1. Considere a seguinte matriz:</p><p>A =</p><p> 2 1 0</p><p>−1 3 −2</p><p>2 5 1</p><p> .</p><p>O menor e o cofator de a22 é obtido excluindo a segunda linha e a segunda</p><p>coluna de A:</p><p>M22 =</p><p>[</p><p>2 0</p><p>2 1</p><p>]</p><p>= 2− 0 = 2</p><p>C22 = (−1)2+2M22 = (−1)42 = 2</p><p>Os menores e os cofatores de uma matriz podem diferir apenas do si-</p><p>nal.Observe que as posições ı́mpares (i+j é ı́mpar) possuem sinais negativos</p><p>e as pares (i+ j é par) tem sinais positivos.</p><p>Definição 7. O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é a</p><p>soma dos elementos na primeira linha de A multiplicado por seus respectivos</p><p>cofatores,</p><p>det(A) =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>a1jC1j = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n</p><p>Essa definição nos confirma que o determinante de um matriz de ordem</p><p>2 é det(A) = a11a22 − a12a21. É posśıvel realizar a expansão por cofatores</p><p>por linha ou por coluna. Considerando uma matriz de ordem n, a expansão</p><p>pela i-ésima linha é:</p><p>det(A) =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>aijCij = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin.</p><p>E, a expansão da j-ésima coluna:</p><p>det(A) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>aijCij = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj .</p><p>Não é necessário encontrar cofatores de elementos nulos, pois zero mul-</p><p>tiplicado pelo seu cofator é zero. Desta forma, escolher a linha ou coluna da</p><p>matriz que possui mais elementos nulos (se houver) é geralmente a melhor</p><p>opção.</p><p>19</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.7. DETERMINANTES</p><p>Exemplo 1.7.2. Considere uma matriz de ordem 3, realizando a expansão</p><p>pela primeira linha de uma matriz e combinando as definições de meno-</p><p>res, cofatores e determinantes, faremos uma definição geral para calcular o</p><p>determinante:</p><p>det(A) =</p><p>3∑</p><p>j=1</p><p>a1jC1j = a11C11 + a12C12 + a13C13</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>a1 a2 a3</p><p>b1 b2 b3</p><p>c1 c2 c3</p><p>∣∣∣∣∣∣ = a1</p><p>∣∣∣∣ b2 b3</p><p>c2 c3</p><p>∣∣∣∣− a2</p><p>∣∣∣∣ b1 b3</p><p>c1 c3</p><p>∣∣∣∣+ a3</p><p>∣∣∣∣ b1 b2</p><p>c1 c2</p><p>∣∣∣∣</p><p>Seja qual for a linha usada na expansão, usa-se um esquema de alternância</p><p>de sinais. Observe que em qualquer uma das expansões acima, o determi-</p><p>nante 2× 2 é obtido excluindo-se a linha e a coluna que contêm o elemento</p><p>que está multiplicando o determinante.</p><p>Vamos aplicar essa ideia no próximo exemplo.</p><p>Exemplo 1.7.3. Calcule o determinante de</p><p>A =</p><p> 2 1 0</p><p>−1 3 −2</p><p>2 5 1</p><p></p><p>Expandindo a matriz ao longo da primeira linha temos:</p><p>det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13</p><p>det(A) = 2M11 − 1M12 + 0C13</p><p>det(A) = 2</p><p>∣∣∣∣ 3 −2</p><p>5 1</p><p>∣∣∣∣− 1</p><p>∣∣∣∣ −1 −2</p><p>2 1</p><p>∣∣∣∣</p><p>det(A) = 2(13)− 1(3) = 23</p><p>Exemplo 1.7.4. Vamos repetir o mesmo racioćınio para calcular um de-</p><p>terminante de quarta ordem, da seguinte matriz:</p><p>A =</p><p></p><p>0 2 1 0</p><p>0 1 9 8</p><p>5 6 7 2</p><p>3 1 4 6</p><p></p><p>Aplicando o método temos:</p><p>det(A) =</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>0 2 1 0</p><p>0 1 9 8</p><p>5 6 7 2</p><p>3 1 4 6</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>20</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.7. DETERMINANTES</p><p>= 0·(−1)1+1·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 9 8</p><p>6 7 2</p><p>1 4 6</p><p>∣∣∣∣∣∣+2·(−1)1+2·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>0 9 8</p><p>5 7 2</p><p>3 4 6</p><p>∣∣∣∣∣∣+1·(−1)1+3·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>0 1 8</p><p>5 6 2</p><p>3 1 6</p><p>∣∣∣∣∣∣+0·(−1)1+4·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>0 1 9</p><p>5 6 7</p><p>3 1 4</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>det(A) = 0 + 2 · (−1) · (−224) + 1 · (1) · (−128) + 0</p><p>det(A) = 448− 128 = 320.</p><p>Observação: Os sinais + ou − são determinados pela distribuição:+ - +</p><p>- + -</p><p>+ - +</p><p></p><p>considerando determinantes de ordem três.</p><p>Propriedades dos Determinantes</p><p>i. O determinante de uma matriz quadrada A não se altera se trocam as</p><p>linhas pelas colunas, (det(At) = det(A)).</p><p>ii. Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constitúıda de elementos</p><p>todos nulos, o determinante é nulo.</p><p>iii. Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante</p><p>é nulo.</p><p>iv. Se a matriz A é triangular (superior ou inferior), então det(A) =</p><p>a11a22a33 . . . ann, isto é, é igual ao produto dos elementos da diago-</p><p>nal principal.</p><p>v. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determi-</p><p>nante fica multiplicado por esta constante.</p><p>vi. det(A ·B) = det(A) · det(B)</p><p>Observação: Uma matriz é inverśıvel se, e somente se, det(A) ̸= 0.</p><p>Exemplo 1.7.5. Dada a matriz A =</p><p>[</p><p>3 2</p><p>1 1</p><p>]</p><p>, podemos obter a matriz</p><p>B =</p><p>[</p><p>12 8</p><p>1 1</p><p>]</p><p>, multiplicando a linha 1 da matriz A por 4. Calculando os</p><p>determinantes das duas matrizes, temos:</p><p>det(A) =</p><p>∣∣∣∣ 3 2</p><p>1 1</p><p>∣∣∣∣ = 3(1)− 2(1) = 1</p><p>det(B) =</p><p>∣∣∣∣ 12 8</p><p>1 1</p><p>∣∣∣∣ = 12(1)− 8(1) = 4</p><p>Percebemos que detB = 4detA. Esse exemplo, justifica a propriedade v.</p><p>21</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.7. DETERMINANTES</p><p>Exemplo 1.7.6. Aplicações de determinantes: Equação do plano pas-</p><p>sando por três pontos. Uma equação do plano que passa pelos pontos distin-</p><p>tos (1,3,0), (2,4,1) e (2,− 3,2) é</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>x y z 1</p><p>1 3 0 1</p><p>2 4 1 1</p><p>2 −3 2 1</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0</p><p>Expandindo por cofatores o lado esquerdo da igualdade ao longo da primeira</p><p>linha,</p><p>x ·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>3 0 1</p><p>4 1 1</p><p>−3 2 1</p><p>∣∣∣∣∣∣− y ·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 0 1</p><p>2 1 1</p><p>2 2 1</p><p>∣∣∣∣∣∣+ z ·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 3 1</p><p>2 4 1</p><p>2 −3 1</p><p>∣∣∣∣∣∣− 1 ·</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 3 0</p><p>2 4 1</p><p>2 −3 2</p><p>∣∣∣∣∣∣ = 0</p><p>Resolvendo os determinantes,</p><p>x(8)− y(1) + z(−7)− (5) = 0</p><p>a equação do plano é 8x− y − 7z − 5 = 0.</p><p>1.7.3 Agora tente resolver!</p><p>1. Resolver a equação desenvolvendo o determinante do primeiro membro</p><p>da esquerda pela terceira coluna e observando a alternância de sinais:∣∣∣∣∣∣</p><p>4 6 x</p><p>5 2 −x</p><p>7 4 2x</p><p>∣∣∣∣∣∣ = −128</p><p>2. Resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣</p><p>x+ 3 x+ 1 x+ 4</p><p>4 5 3</p><p>9 10 7</p><p>∣∣∣∣∣∣ = −7</p><p>3. Calcule o determinante da matriz: A =</p><p>3 0 6</p><p>3 0 2</p><p>4 −7 8</p><p>, usando as duas</p><p>formas vistas em aula.</p><p>4. Calcule o determinante da matriz A:</p><p></p><p>3 6 4 0</p><p>3 2 0 1</p><p>0 2 −1 2</p><p>2 0 2 0</p><p></p><p>22</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.8. LISTA 1</p><p>5. Dada a matrizM =</p><p>2 4 3</p><p>2 1 4</p><p>4 3 6</p><p>, determine os determinantes: det(M12),</p><p>det(M31).</p><p>6. Seja A =</p><p>[</p><p>3 1</p><p>4 2</p><p>]</p><p>. Responda:</p><p>(a) Escreva 5A. É verdade que det5A = 5detA?</p><p>(b) Multiplique apenas a primeira linha da matriz A por 5 e verifique</p><p>a propriedade v dos determinantes.</p><p>Respostas: 1) x = 2. 2) x = 1. 3) det(A) = −84. 4) det(A) = 64; 5)</p><p>det(M12) = −4 e det(M31) = 13.</p><p>1.8 Lista 1</p><p>1. Sendo as matrizes A = [aij ] e B = [bij ], quadradas de ordem 3 com</p><p>aij = i2 − j e bij = i2 − 2j, qual é o valor de A−B?</p><p>2. Calcule x, y, z e t para que 2 ·</p><p>[</p><p>x</p><p>4 y</p><p>−z t</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>x 9</p><p>6 3</p><p>]</p><p>+</p><p>[</p><p>2 x+ y</p><p>z 2 + z</p><p>]</p><p>.</p><p>3. Sendo A =</p><p>4 10 1</p><p>0 5 −9</p><p>3 7 2</p><p>, B =</p><p>0 −5 2</p><p>7 1 7</p><p>3 2 1</p><p></p><p>Classificar como simétrica ou antissimétrica a matriz resultante:</p><p>(a) A+At</p><p>(b) B −Bt</p><p>4. Considere as seguintes matrizes:</p><p>A =</p><p>[</p><p>3 6</p><p>4 4</p><p>]</p><p>, B =</p><p>[</p><p>−7 3</p><p>3 −1</p><p>]</p><p>e C =</p><p>[</p><p>9 −8</p><p>8 5</p><p>]</p><p>Calcule: 3A+B; 3A− 2C, C2, B3 e verifique se AB = BA.</p><p>5. Calcule AB onde, A =</p><p>[</p><p>−4 −1 −4</p><p>0 −3 6</p><p>]</p><p>, B =</p><p>3 3 7 2</p><p>2 9 −4 4</p><p>5 3 3 0</p><p>.</p><p>6. Determine a transposta de cada matriz:</p><p>A =</p><p>[</p><p>2 6 −3</p><p>12 −6 7</p><p>]</p><p>, B =</p><p>1 2 3</p><p>2 3 7</p><p>1 6 4</p><p> e C =</p><p> 2 −7</p><p>10 2</p><p>4 5</p><p></p><p>23</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.8.</p><p>LISTA 1</p><p>7. Se uma matriz A é 2× 3 e o produto AB é uma matriz 2× 4 qual é o</p><p>tipo da matriz B?</p><p>8. Quantas linhas C precisa ter para que CB seja uma matriz 3× 2?</p><p>9. Sejam A =</p><p>[</p><p>3 −2</p><p>5 3</p><p>]</p><p>, f(x) = x2 + 2x+ 6. Calcule:</p><p>(a) A2</p><p>(b) A3</p><p>(c) f(A)</p><p>10. Calcule x,y,z para que a matriz A seja simétrica:</p><p>(a) A =</p><p>3 5 x</p><p>y −8 4</p><p>6 z 2</p><p></p><p>(b) A =</p><p>−2 4 2x</p><p>y z 3</p><p>x 3 1</p><p></p><p>11. A empresa ForFia produz três modelos de véıculos o X10, X100, X1000.</p><p>Em cada modelo podem ser instalados até dois tipos de airbags, AB1</p><p>e AB2. A tabela a seguir mostra a quantidade de unidades de airbags</p><p>instalados em cada modelo,</p><p>X10 X100 X1000</p><p>AB1 2 2 0</p><p>AB2 4 4 2</p><p>No último mês de julho foram produzidos 600 véıculos do modelo X10,</p><p>750 do modelo X100 e 420 do modelo X1000. Quantos véıculos com</p><p>os dois modelos de airbags foram montados no referido mês.</p><p>12. Uma malharia confecciona três (3) tipos de camisetas, A, B e C onde</p><p>são usadas estampas do tipo P1 e G1. O número máximo de estampas</p><p>por modelo é</p><p>P1 G1</p><p>Camiseta A 2 3</p><p>Camiseta B 1 4</p><p>Camiseta C 2 2</p><p>O número de camisetas fabricadas de cada modelo no mês de maio</p><p>foram 60 do modelo A, 40 do modelo B e 50 do modelo C. Já no mês</p><p>de junho foram 100 do modelo A, 40 do modelo B e 50 do modelo C.</p><p>Quantas camisetas de cada estampa foram confeccionadas nos referidos</p><p>meses?</p><p>24</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.8. LISTA 1</p><p>13. Uma indústria que produz equipamentos eletrônicos de dois (2) mode-</p><p>los diferentes Y1 e Y2. Na montagem de cada equipamento são utili-</p><p>zados transistores, capacitores e resistores. Na tabela abaixo estão as</p><p>quantidades de cada item para cada modelo</p><p>Y1 Y2</p><p>Transistores 5 4</p><p>Capacitores 8 6</p><p>Resistores 10 8</p><p>Foram solicitados para os meses de agosto 10 modelos do Y1 e 14</p><p>modelos do Y2. E, no mês de setembro foram solicitados 8 modelos do</p><p>tipo Y1 e 6 do tipo Y2. Determine o total de transistores, capacitores</p><p>e resistores que serão utilizados para atender às encomendas em cada</p><p>mês.</p><p>14. A tabela abaixo representa as quantidades de vitaminas A, E e K</p><p>respectivamente obtidas em cada unidade de alimentos X1 e X2:</p><p>A E K</p><p>Alimento X1 4 1 0</p><p>Alimento X2 1 4 2</p><p>Ingerindo 2 unidades do alimento X1 e 3 unidades do alimento X2</p><p>quanto iremos consumir de cada tipo de vitamina? Interprete sua</p><p>resposta.</p><p>15. (Resolução de uma equação). Determine x, resolvendo o determinante:</p><p>(a)</p><p>∣∣∣∣ x+ 2 14</p><p>1 x− 3</p><p>∣∣∣∣ = 0</p><p>(b)</p><p>∣∣∣∣ x− 4 1</p><p>1 x− 4</p><p>∣∣∣∣ = 0</p><p>16. (Exerćıcio de investigação). Determinante e matriz inversa. Uma ma-</p><p>triz quadrada possui inversa se det(A) ̸= 0, portanto, verifique se a</p><p>matriz A =</p><p> 3 −6 0</p><p>2 3 2</p><p>−1 2 0</p><p> tem inversa calculando seu determinante.</p><p>17. (Aplicação de determinantes). Área de um triângulo no plano cartesi-</p><p>ano (xy). A área de um triângulo com vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)</p><p>é</p><p>Área = ±1</p><p>2</p><p>det</p><p>x1 y1 1</p><p>x2 y2 1</p><p>x3 y3 1</p><p></p><p>25</p><p>IMEF - FURG</p><p>1.8. LISTA 1</p><p>onde o sinal ± é escolhido de modo a fornecer uma área positiva.</p><p>Com base na definição determine a área do triângulo cujos vértices</p><p>são (1,2),(6,4),(5,1).</p><p>26</p><p>IMEF - FURG</p><p>Caṕıtulo 2</p><p>Sistemas Lineares e Matriz</p><p>Inversa</p><p>Objetivos principais do caṕıtulo</p><p>� Reconhecer uma equação linear de n variáveis.</p><p>� Determinar se um sistema de equações lineares é consistente ou incon-</p><p>sistente.</p><p>� Resolver um sistema não homogêneo de equações lineares.</p><p>� Usar a eliminação de Gauss e substituição regressiva para resolver um</p><p>sistema de equações lineares.</p><p>� Usar matrizes e eliminação de Gauss com substituição regressiva para</p><p>resolver um sistema de equações lineares.</p><p>� Resolver um sistema homogêneo de equações lineares.</p><p>� Configurar e resolver um sistema de equações para ajustar uma função</p><p>polinomial a um conjunto de pontos.</p><p>2.1 Motivação</p><p>Um problema fundamental que normalmente é encontrado na descrição</p><p>matemática de fenômenos f́ısicos é o da solução simultânea de um conjunto</p><p>de equações. Tais fenômenos são descritos por um conjunto de m equações</p><p>em que se deseja determinar a solução de n variáveis de interesse, chamadas</p><p>incógnitas.</p><p>A matemática antiga, desenvolvida no ocidente (principalmente na Eu-</p><p>ropa) poucas são as aparições de sistemas de equações lineares. Já no Oriente</p><p>o assunto mereceu atenção maior.</p><p>27</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os</p><p>sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu</p><p>sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método</p><p>de resolução por eliminação que consiste em anular coeficientes por meio de</p><p>operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos nove</p><p>caṕıtulos sobre a arte da matemática, um texto datado do século 111 a.C.</p><p>Mas apenas no Japão do século XVII, chegou-se a noção de determinan-</p><p>tes através do estudo de sistemas lineares. No ocidente o uso de determinan-</p><p>tes, ligados a sistemas lineares, surgiu anos depois, num trabalho de Leibniz</p><p>(o mesmo que desenvolveu, paralelamente à Newton, o cálculo diferencial).</p><p>A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações e</p><p>n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do</p><p>escocês Colin Maclaurin (1698-1746), publicada em 1748. Mas o nome do</p><p>súıço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nessa publicação. Cramer</p><p>também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução</p><p>à Análise das curvas planas.</p><p>Sistemas de equações lineares surgem em uma ampla variedade de aplicações,</p><p>como ajuste de curva polinomial, análise de redes, equiĺıbrio de equações</p><p>qúımicas, modelos econômicos. Antes de definirmos um sistema linear, va-</p><p>mos relembrar o que são equações lineares.</p><p>2.2 Introdução</p><p>Definição 2.2.1. Uma Equação Linear é uma equação de primeiro grau,</p><p>onde x1, x2, x3, . . . xn são as variáveis e que pode ser escrita como</p><p>a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b</p><p>e a1, a2,. . ., an e b são números reais, e xi são as variáveis (incógnitas).</p><p>Exemplo 2.2.1. 4x1 − 5x2 + 2 = x1 é uma equação linear.</p><p>4x1 − 5x2 = x1x2 não é uma equação linear.</p><p>Exemplo 2.2.2. Lembrando da geometria anaĺıtica, a equação de um plano</p><p>no espaço tridimensional tem a forma ax+ by+ cz+d = 0, onde a,b,c,d são</p><p>contantes, é uma equação linear em três variáveis x,y,z.</p><p>2.2.1 Soluções e Conjuntos Solução</p><p>Uma solução de uma equação linear em n variáveis é uma sequência de</p><p>números reais que satisfazem a equação, por exemplo, a equação:</p><p>4x1 − 5x2 + 2 = x1 ⇒ 3x1 − 5x2 = −2.</p><p>Para x1 = 1 e x2 = 1 a equação possui solução.</p><p>O conjunto de todas as soluções de uma equação linear é o seu conjunto</p><p>solução e quando encontramos esse conjunto, teremos resolvido a equação.</p><p>28</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>2.2.2 Sistemas de Equações Lineares a n incógnitas</p><p>Um sistema de equações lineares a n incógnitas é um conjunto de m</p><p>equações, cada uma das quais é linear nas mesmas incógnitas. Assim,</p><p>a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1</p><p>a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2</p><p>...................................................</p><p>am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm</p><p>(2.1)</p><p>É um sistema de m equações lineares L1, L2,. . ., Lm nas n incógnitas</p><p>x1, x2, . . ., xn, onde aij e bi são constantes. O sistema 2.1 é chamado de</p><p>sistema homogêneo se todos seus termos constantes bi são nulos, isto é, se</p><p>b1 = 0, b2 = 0, . . ., bm = 0. Caso contrário, o sistema é não-homogêneo.</p><p>No exemplo a seguir, vamos começar pensando em um sistema de duas</p><p>equações em duas variáveis.</p><p>Exemplo 2.2.3. Encontre uma solução para o sistema:</p><p>{</p><p>2x+ 3y = 18</p><p>3x+ 4y = 25</p><p>.</p><p>Começamos isolando a variável x da primeira equação:</p><p>2x+ 3y = 18 → 2x = 18− 3y → x =</p><p>18− 3y</p><p>2</p><p>Agora substitúımos x na segunda equação e achamos o valor de y:</p><p>3x+ 4y = 25 → 3(</p><p>18− 3y</p><p>2</p><p>) + 4y = 25</p><p>54</p><p>2</p><p>− 9y</p><p>2</p><p>+ 4y = 25</p><p>27− y</p><p>2</p><p>= 25 → y</p><p>2</p><p>= 2 → y = 4</p><p>Com o valor de y determinamos o valor de x:</p><p>x =</p><p>18− 3y</p><p>2</p><p>→ x =</p><p>18− 3(4)</p><p>2</p><p>→ x = 3.</p><p>Logo a solução do</p><p>sistema é y = 4 e x = 3. De acordo com a solução,</p><p>percebemos que esse sistema tem exatamente uma solução. Nesse caso, o</p><p>sistema é classificado como compat́ıvel e posśıvel determinado, pois existe</p><p>uma solução e ela é única.</p><p>Um sistema de equações lineares é chamado compat́ıvel se admite solução,</p><p>isto é, se existe uma sequência de números s1, . . . , sn, com a propriedade de</p><p>que cada equação do sistema seja satisfeita quando x1 = s1, . . . ,xn = sn sejam</p><p>substitúıdas. Caso contrário o sistema é incompat́ıvel.</p><p>De acordo com o número de soluções, um sistema linear é classificado</p><p>como:</p><p>29</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>� Sistema imposśıvel: Quando o sistema não admite solução - SI (sistema</p><p>inconsistente).</p><p>� Sistema Posśıvel Determinado: Quando o sistema admite uma única</p><p>solução - SPD (sistema consistente).</p><p>� Sistema Posśıvel Indeterminado: Quando o sistema admite infinitas</p><p>soluções - SPI (sistema consistente).</p><p>2.2.3 Representação Gráfica</p><p>Vamos analisar os gráficos das soluções dos seguintes sistemas lineares:</p><p>Exemplo 2.2.4.</p><p>{</p><p>x− y = −2∗</p><p>−x+ y = 4∗</p><p>Por substituição: Isolamos x na primeira equação:</p><p>x = −2 + y</p><p>Após, substituindo na segunda equação:</p><p>−(−2 + y) + y = 4</p><p>2− y + y = 4</p><p>2 = 4</p><p>Observe que há uma inconsistência, não existem pontos que satisfaçam</p><p>ambas equações. O gráfico mostra duas retas paralelas.</p><p>Sistema Imposśıvel: Não possui solução.</p><p>Exemplo 2.2.5.</p><p>{</p><p>2x− 3y = −1∗</p><p>−x+ 3y = 1∗</p><p>30</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>Pela segunda equação temos:</p><p>x = −1 + 3y</p><p>substituindo na primeira equação:</p><p>2(−1 + 3y)− 3y = −1</p><p>−2 + 6y − 3y = −1</p><p>3y = 1</p><p>y =</p><p>1</p><p>3</p><p>Para x:</p><p>x = −1 + 3(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>x = 0</p><p>Portanto, o par (0,</p><p>1</p><p>3</p><p>), satisfaz as equações do sistema linear. Dizemos</p><p>então, que o sistema linear é posśıvel determinado, possui apenas uma única</p><p>solução. O gráfico mostra duas retas que se interceptam.</p><p>Sistema Posśıvel Determinado: O sistema possui exatamente uma solução.</p><p>Exemplo 2.2.6.</p><p>{</p><p>2x− 4y = −2</p><p>−2x+ 4y = 2</p><p>2x = −2 + 4y</p><p>x = −1 + 2y</p><p>substituindo na segunda equação:</p><p>−2(−1 + 2y) + 4y = 2</p><p>2− 4y + 4y = 2</p><p>2 = 2</p><p>O sistema é chamado de sistema posśıvel indeterminado, pois possui infinitos</p><p>pontos que satisfazem ambas equações. O gráfico mostras retas coincidentes.</p><p>31</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>Sistema Posśıvel Indeterminado: O Sistema possui infinitas soluções.</p><p>Observação: Suponha três planos π1, π2 e π3, definidos por três equações</p><p>lineares. Neste caso, podemos obter oito posições relativas entre os planos:</p><p>quatro com soluções incompat́ıveis e quatro com soluções posśıveis.</p><p>� Podemos ter uma interseção vazia (SI);</p><p>� A interseção pode ser uma reta (SPI);</p><p>� A interseção pode ser um ponto (SPD).</p><p>Exemplo 2.2.7. Os gráficos a seguir ilustram algumas situações.</p><p>x</p><p>y</p><p>Sistema Posśıvel e Determinado</p><p>32</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>x</p><p>y</p><p>Sistema Indeterminado</p><p>x</p><p>y</p><p>Sistema Posśıvel Indeterminado</p><p>2.2.4 Notação Matricial</p><p>Podemos escrever o sistema 2.1 da seguinte forma matricial:</p><p>Ax = b</p><p>onde</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>. . . . . . . . . . . .</p><p>am1 am2 . . . amn</p><p></p><p>é a matriz dos coeficientes, de ordem m× n. E,</p><p>x =</p><p></p><p>x1</p><p>x2</p><p>...</p><p>xn</p><p></p><p>33</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.2. INTRODUÇÃO</p><p>é a matriz das variáveis (incógnitas), de ordem n × 1. E a matriz dos</p><p>termos independentes é dada por</p><p>b =</p><p></p><p>b1</p><p>b2</p><p>...</p><p>bn</p><p> .</p><p>2.2.5 Matriz Ampliada</p><p>A matriz ampliada de um sistema linear do tipo 2.1, é dada por:</p><p>A =</p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n b1</p><p>a21 a22 . . . a2n b2</p><p>. . . . . . . . . . . . . . .</p><p>am1 am2 . . . amn bm</p><p> (2.2)</p><p>Exemplo 2.2.8. Escreva o seguinte sistema na forma matricial:</p><p>S =</p><p></p><p>2x2 − 4x3 = 4</p><p>2x1 − 4x2 + x3 = 2</p><p>4x1 − 3x2 + 5x3 = 2</p><p>A matriz ampliada do sistema S do exemplo anterior fica:</p><p>A =</p><p> 0 2 −4 4</p><p>2 −4 1 2</p><p>4 −3 5 2</p><p></p><p>Portanto, quando nos referimos a linha (0,2,−4,4), estamos nos referindo</p><p>a primeira equação do sistema S. A última coluna corresponde aos termos</p><p>independentes.</p><p>2.2.6 Agora tente resolver!</p><p>1. Encontre um sistema de equações lineares correspondente à matriz:</p><p>(a) </p><p>1 0 1 0 6</p><p>0 1 0 0 −10</p><p>0 0 1 0 9</p><p>0 1 0 1 2</p><p></p><p>(b)  1 2 1 0</p><p>2 1 0 0</p><p>1 4 1 0</p><p></p><p>34</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.3. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE LINHAS</p><p>2.3 Operações Elementares de linhas</p><p>Observando os dois sistemas abaixo você saberia dizer qual sistema é</p><p>mais fácil de resolver algebricamente?</p><p>−x− y + z = −2</p><p>3x− 5y + z = −34</p><p>7x− y + z = −50</p><p>ou</p><p></p><p>−x− y + z = −2</p><p>−8y + 4z = −40</p><p>4z = −24</p><p>O sistema linear à direita é mais fácil de resolver, por quê?</p><p>Observe que o sistema à direita está na forma escalonada por linhas, o</p><p>que significa que está em um padrão de degraus de escada, pois na segunda</p><p>linha não temos a variável x e na terceira linha não configuram mais as</p><p>variáveis x e y. O que torna a terceira linha do sistema (3◦ equação) mais</p><p>simples para resolver e por substituição regressiva é posśıvel determinar o</p><p>valor das outras duas incógnitas.</p><p>Mas o que foi feito para simplificar o sistema, você saberia explicar?</p><p>Para resolver o sistema de equações original, utilizamos operações que</p><p>transformam um sistema de equações em outro, equivalente a ele. A ideia</p><p>é fazer operações que levem a um sistema equivalente cuja solução seja evi-</p><p>dente. Essas operações são chamadas de operações elementares e são as</p><p>seguintes:</p><p>� Trocar de posição duas das equações. Indicamos que as equações Li e</p><p>Lj trocaram suas posições (simbolicamente Li ↔ Lj).</p><p>� Substituir uma equação por um múltiplo escalar de si mesma. In-</p><p>dicamos que a equação Li foi substitúıda por kLi (Simbolicamente</p><p>Li ↔ kLi).</p><p>� Substituir uma equação por um múltiplo de outra equação somada a</p><p>si mesma. Indicamos que a equação Lj foi substitúıda pela soma de</p><p>kLi e Lj (Simbolicamente Lj ↔ Lj + kLi).</p><p>Observação: Se um dado sistema linear S1 foi obtido de um sistema</p><p>linear S através de operações elementares, dizemos que S1 é equivalente à</p><p>S. Embora as operações elementares de linhas sejam fáceis de fazer, elas</p><p>podem envolver uma grande quantidade de aritmética, de modo que é fácil</p><p>cometer erros. A sugestão é anotar a operação elementar de linhas</p><p>feita em cada passo para ajudar a verificar os cálculos.</p><p>2.3.1 Matriz Escalonada</p><p>Uma matriz A está na forma escalonada (ou escada), se o número de</p><p>zeros que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a</p><p>35</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.4. ELIMINAÇÃO DE GAUSS E SUBSTITUIÇÃO REGRESSIVA</p><p>cada linha, até que sobre apenas linhas nulas, se houverem. Se existirem</p><p>linhas nulas elas devem aparecer na parte inferior da matriz. Uma matriz</p><p>ampliada quando aplicada à ela as operações elementares, torna-se uma</p><p>matriz escalonada reduzida por linhas. Estas operações simplificam muito</p><p>as etapas necessárias para determinar a solução do sistema associado.</p><p>Exemplo 2.3.1. Exemplos de matrizes na forma escada.2 4 5</p><p>0 3 6</p><p>0 0 2</p><p>,</p><p>4 5 8</p><p>0 0 1</p><p>0 0 0</p><p>,</p><p>9 5 6 3</p><p>0 0 3 6</p><p>0 0 0 1</p><p></p><p>Exemplo 2.3.2. Exemplo de matriz que não está na forma escada.0 4 3</p><p>1 0 −6</p><p>0 0 0</p><p></p><p>Observação: Todo sistema linear (matriz) é equivalente a um sistema</p><p>(matriz) escalonado.</p><p>2.4 Eliminação de Gauss e substituição regressiva</p><p>Reescrever um sistema de equações na forma escalonada por linhas em</p><p>geral envolve uma série de sistemas equivalentes, usando as três operações</p><p>elementares. Esse processo é chamado de eliminação de Gauss em homena-</p><p>gem ao matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).</p><p>A ideia é usar a eliminação de Gauss com substituição regressiva. Em-</p><p>bora existam diversas maneiras de começar, a sugestão é trabalhar a partir</p><p>do canto esquerdo de cima do sistema, mantendo a variável x no canto es-</p><p>querdo de cima e eliminando os outros termos em x da primeira coluna.</p><p>Para começar vamos adotar o seguinte procedimento:</p><p>� Primeiro vamos escrever a matriz aumentada que representa o sistema</p><p>de equações lineares.</p><p>� Depois, vamos utilizar as operações</p><p>elementares de linhas para rees-</p><p>crever a matriz na forma escalonada (padrão de degraus que é formado</p><p>pelos elementos não nulos da matriz).</p><p>� E por fim, escrever o sistema de equações lineares correspondente à</p><p>matriz na forma escalonada por linhas e usar a substituição regressiva</p><p>para encontrar a solução.</p><p>Vamos utilizar o seguinte exemplo para ilustrar todos os passos, nossa</p><p>ideia inicial é obter um sistema equivalente ao original, mais simples e usar</p><p>a substituição regressiva para alcançar a solução.</p><p>36</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.4. ELIMINAÇÃO DE GAUSS E SUBSTITUIÇÃO REGRESSIVA</p><p>Exemplo 2.4.1. Resolva o sistema de equações lineares por eliminação de</p><p>Gauss e substituição regressiva:</p><p>−x− y + z = −2</p><p>3x− 5y + z = −34</p><p>7x− y + z = −50</p><p>Primeiro, vamos escrever o sistema linear em forma de matriz ampliada:−1 −1 1 −2</p><p>3 −5 1 −34</p><p>7 −1 1 −50</p><p></p><p>observe que as três primeiras colunas representam respectivamente os</p><p>coeficientes das variáveis do sistema. A última coluna apresenta os termos</p><p>independentes.</p><p>Vamos usar o elemento a11 como elemento pivô para eliminar os elemen-</p><p>tos a21, a31. Para realizar esses passos devemos escolher operações elemen-</p><p>tares que nos auxiliem eliminar as entradas abaixo do elemento pivô, mas</p><p>para facilitar as operações vamos multiplicar a primeira linha por −1, assim</p><p>nosso elemento pivô será a11 = 1:</p><p>� L1 ↔ (−1)L1, obtemos:</p><p>1 1 −1 2</p><p>3 −5 1 −34</p><p>7 −1 1 −50</p><p></p><p>Feito isso, as próximas operações vão eliminar os elementos abaixo do</p><p>pivô da primeira linha:</p><p>� Com a operação L2 ↔ L2 + (−3)L1, obtemos:</p><p>1 1 −1 2</p><p>0 −8 4 −40</p><p>7 −1 1 −50</p><p></p><p>� E com a operação L3 ↔ L3 + (−7)L1, obtemos a nova linha três:1 1 −1 2</p><p>0 −8 4 −40</p><p>0 −8 8 −64</p><p>.</p><p>Observe que até aqui eliminamos os elementos abaixo do pivô a11 =</p><p>1. Conforme hav́ıamos comentado, mantemos a variável x no canto</p><p>esquerdo de cima e eliminamos os outros termos em x da primeira</p><p>coluna.</p><p>Agora, devemos eliminar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna</p><p>a22 = −8.</p><p>� A operação que precisamos agora é L3 ↔ L3 + (−1)L2, para obter a</p><p>nova linha três:</p><p>1 1 −1 2</p><p>0 −8 4 −40</p><p>0 0 4 −24</p><p></p><p>37</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.4. ELIMINAÇÃO DE GAUSS E SUBSTITUIÇÃO REGRESSIVA</p><p>Ao final desta última operação transformamos o sistema original em um</p><p>sistema equivalente mais simples, que esta na forma escalonada e, portanto,</p><p>a primeira parte esta completa. Vamos reescrever o sistema correspondente</p><p>à matriz escalonada e usar a substituição regressiva:</p><p>x+ y − z = 2</p><p>−8y + 4z = −40</p><p>4z = −24</p><p>Por substituição regressiva, pela 3◦ equação temos: 4z = −24, portanto</p><p>z = −6.</p><p>Pela 2◦ equação −8y + 4z = −40, substituindo o valor de z, obtemos</p><p>−8y + 4(−6) = −40, portanto y = 2.</p><p>Finalmente, pela 1◦ equação x+ y − z = 2, temos que x = −6.</p><p>Portanto, esse sistema é classificado como: Sistema Posśıvel Deter-</p><p>minado e seu conjunto solução é S = {(−6,2,− 6)}.</p><p>Sugerimos o hábito de verificar sua solução ao substitui-la em cada uma</p><p>das equações do sistema original. Verificando a solução acima:</p><p>� Equação 1: −x− y + z = −2 −→ −(−6)− (2) + (−6) = −2</p><p>� Equação 2: 3x− 5y + z = −34 −→ 3(−6)− 5(2) + (−6) = −34</p><p>� Equação 3: 7x− y + z = −50 −→ 7(−6)− (2) + (−6) = −50</p><p>Verificamos a solução!</p><p>A eliminação de Gauss com substituição regressiva, funciona bem para</p><p>resolver sistemas lineares de ordem 3. Para este algoritmo, a ordem na qual</p><p>você executa as operações elementares de linhas é importante.</p><p>Opere da esquerda para a direita por colunas, usando operações</p><p>elementares por linhas para obter zeros em todos os elementos abaixo dos</p><p>elementos que chamamos de pivôs, que estão localizados na diagonal prin-</p><p>cipal da matriz das variáveis.</p><p>Vamos resolver mais um exemplo.</p><p>Exemplo 2.4.2. Dado o seguinte sistema, resolva usando a eliminação de</p><p>Gauss e substituição regressiva:</p><p>S =</p><p></p><p>x+ 2y − 4z = −4</p><p>2x+ 5y − 9z = −10</p><p>3x− 2y + 3z = 11</p><p>38</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.5. ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN</p><p>Primeiro, vamos escrever o sistema linear em forma de matriz ampliada:1 2 −4 −4</p><p>2 5 −9 −10</p><p>3 −2 3 11</p><p></p><p>Vamos usar o elemento a11 como elemento pivô para eliminar os elemen-</p><p>tos a21, a31. As seguintes operações elementares são:</p><p>� L2 ↔ L2 − 2L1, obtemos:</p><p>1 2 −4 −4</p><p>0 1 −1 −2</p><p>3 −2 3 11</p><p></p><p>� aplicando na matriz anterior L3 ↔ L3−3L1, obtemos:</p><p>1 2 −4 −4</p><p>0 1 −1 −2</p><p>0 −8 15 23</p><p></p><p>� L3 ↔ L3 + 8L2, obtemos:</p><p>1 2 −4 −4</p><p>0 1 −1 −2</p><p>0 0 7 7</p><p></p><p>� E, finalmente, L3 ↔</p><p>1</p><p>7</p><p>L3:</p><p>1 2 −4 −4</p><p>0 1 −1 −2</p><p>0 0 1 1</p><p> .</p><p>Ao final desta última operação transformamos o sistema S em um sis-</p><p>tema equivalente mais simples, que esta na forma escalonada e, portanto, a</p><p>primeira parte esta completa. Vamos reescrever o sistema correspondente à</p><p>matriz escalonada e usar a substituição regressiva:</p><p>S =</p><p></p><p>x+ 2y − 4z = −4</p><p>y − z = −2</p><p>z = 1</p><p>Por substituição regressiva, temos: z = 1, y = −1, x = 2. Este sistema</p><p>é classificado como: Sistema Posśıvel Determinado.</p><p>Deixamos a cargo do leitor a verificação da solução.</p><p>2.5 Eliminação de Gauss-Jordan</p><p>Um segundo método de eliminação, denominado Eliminação de Gauss-</p><p>Jordan, utiliza o mesmo processo de aplicar operações elementares por linhas</p><p>até obter uma matriz escalonada reduzida.</p><p>No exemplo a seguir apresentamos uma matriz escalonada reduzida.</p><p>39</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.5. ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN</p><p>Exemplo 2.5.1. Exemplo de uma matriz escalonada reduzida. Observe a</p><p>seguinte matriz: 1 0 0 −5</p><p>0 1 0 4</p><p>0 0 1 −2</p><p></p><p>ela está na forma escalonada reduzida, observe que a resposta para cada</p><p>uma das variáveis fica explicita na própria matriz. O conjunto solução é</p><p>S = {(−5,4,−2)}. A ideia do método é seguir com as operações elementares</p><p>até que a matriz ampliada nos apresente a solução do problema. Seguimos</p><p>com o mesmo processo, observando que o elemento pivô de cada linha deve</p><p>ser sempre igual a 1 e abaixo (ou acima) do elemento pivô da referida linha,</p><p>os demais elementos devem ser nulos.</p><p>No próximo exemplo vamos resolver um sistema de equações lineares não</p><p>homogêneo pelo método da eliminação de Gauss-Jordan.</p><p>Exemplo 2.5.2. Vamos resolver o seguinte sistema linear pela eliminação</p><p>de Gauss-Jordan: </p><p>x− 2y + 3z = 9</p><p>−x+ 3y = −4</p><p>2x− 5y + 5z = 17</p><p>� Primeiro vamos escrever a matriz aumentada do sistema.</p><p>� Utilizar as operações elementares de linhas para reescrever a matriz</p><p>na forma escalonada reduzida, isto é, até obter uma matriz ampliada</p><p>no mesmo formato do exemplo anterior, apenas com elementos iguais</p><p>a 1 na diagonal principal e demais elementos todos nulos.</p><p>A matriz ampliada do sistema linear é:</p><p> 1 −2 3 9</p><p>−1 3 0 −4</p><p>2 −5 5 17</p><p>.</p><p>Operações elementares: Observe que na matriz ampliada o elemento pivô</p><p>da primeira linha é a11 = 1, então, as duas primeiras operações devem zerar</p><p>os elementos abaixo dele que são a21 = −1 e a31 = 2.</p><p>� Operação: L2 ↔ L2 + (1)L1, obtemos a nova linha dois:1 −2 3 9</p><p>0 1 3 5</p><p>2 −5 5 17</p><p> .</p><p>40</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.5. ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN</p><p>� Operação: L3 ↔ L3 + (−2)L1, obtemos a nova linha três:1 −2 3 9</p><p>0 1 3 5</p><p>0 −1 −1 −1</p><p> .</p><p>A primeira parte está completa, abaixo do pivô da primeira linha todos</p><p>os elementos são nulos.</p><p>A próxima operação deve observar se o elemento pivô da segunda</p><p>linha é igual a 1, se não for a primeira operação deve transformar esse</p><p>elemento. Nesse caso, o elemento pivô é a22 = 1, então devemos zerar</p><p>os elementos acima e abaixo dele, serão mais duas operações.</p><p>� Operação: L1 ↔ L1 + (2)L2, obtemos a nova linha um:1 0 9 19</p><p>0 1 3 5</p><p>0 −1 −1 −1</p><p> .</p><p>� Operação: L3 ↔ L3 + L2, obtemos a nova linha três:1 0 9 19</p><p>0 1 3 5</p><p>0 0 2 4</p><p> .</p><p>Segunda parte conclúıda. Agora observe que o elemento a33 = 2, desta</p><p>forma a próxima operação deve transformar esse elemento pivô em 1</p><p>e depois devemos zerar os elementos acima dele na matriz.</p><p>� Operação: L3 ↔ 1</p><p>2L3, obtemos a nova linha três:</p><p>1 0 9 19</p><p>0 1 3 5</p><p>0 0 1 2</p><p> .</p><p>� Operação: L1 ↔ L1 + (−9)L3, obtemos a nova linha um:1 0 0 1</p><p>0 1 3 5</p><p>0 0 1 2</p><p> .</p><p>� Operação: L2 ↔</p><p>L1 + (−3)L3, obtemos a nova linha dois:1 0 0 1</p><p>0 1 0 −1</p><p>0 0 1 2</p><p> .</p><p>Ao final do escalonamento temos uma matriz escalonada reduzida, a matriz</p><p>dos coeficientes possui apenas elementos zero e um, observe que a aparência</p><p>da matriz lembra a matriz identidade. A solução do sistema é x = 1, y = −1</p><p>e z = 2 ou S = {(1,− 1,2)}. Portanto, é um sistema Posśıvel Determinado.</p><p>41</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.6. SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>2.6 Soluções de um Sistema de Equações Lineares</p><p>Até aqui estudamos os métodos de solução e os exemplos resolvidos apre-</p><p>sentaram como solução sistemas posśıveis determinados, com uma única</p><p>solução.</p><p>Nesta seção, vamos apresentar exemplos dos demais tipos de solução.</p><p>1. Sistema Imposśıvel (SI): Suponha que a última equação do sistema</p><p>escalonado seja 0x1+0x2+ · · ·+0xn = bm, com m ̸= 0, é uma equação</p><p>degenerada.</p><p>Exemplo 2.6.1. Se ao final do escalonamento o sistema equivalente</p><p>for: {</p><p>x+ 1</p><p>2y = 0</p><p>0x+ 0y = −1</p><p>Nessa situação temos uma equação linear imposśıvel ou incom-</p><p>pat́ıvel que é aquela em que todos os coeficientes valem zero e o termo</p><p>independente é diferente de zero.</p><p>Não existe nenhum valor de x e y capaz de satisfazer a segunda</p><p>equação. Portanto, o sistema é incompat́ıvel (SI).</p><p>O próximo exemplo também apresenta como solução um sistema im-</p><p>posśıvel.</p><p>Exemplo 2.6.2. Considere o seguinte sistema:</p><p>x+ 2y + 6z = 1</p><p>2x+ 5y + 15z = 4</p><p>3x+ y + 3z = −6</p><p>A matriz ampliada do sistema linear é:</p><p>1 2 6 1</p><p>2 5 15 4</p><p>3 1 3 −6</p><p>.</p><p>Operações elementares: Observe que na matriz ampliada o elemento</p><p>pivô da primeira linha é a11 = 1 e abaixo dele temos os elementos</p><p>a21 = 2 e a31 = 3. Desta forma, as duas primeiras operações devem</p><p>zerar esses dois elementos.</p><p>� Com a operação L2 ↔ L2 + (−2)L1, obtemos a nova linha dois:1 2 6 1</p><p>0 1 3 2</p><p>3 1 3 −6</p><p></p><p>42</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.6. SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>� E com a operação L3 ↔ L3 + (−3)L1, obtemos a nova linha três:1 2 6 1</p><p>0 1 3 2</p><p>0 −5 −15 −9</p><p></p><p>O próximo elemento que deve ser nulo é a32 = −5, abaixo do pivô</p><p>da segunda linha a22 = 1.</p><p>� Com a operação: L3 ↔ L3 + 5L2, observe a nova linha três:1 2 6 1</p><p>0 1 3 2</p><p>0 0 0 1</p><p></p><p>Neste caso, como interpretar essa solução? Ela existe?</p><p>Nessa situação temos uma equação linear imposśıvel ou incom-</p><p>pat́ıvel que é aquela em que todos os coeficientes das variáveis são</p><p>nulos e o termo independente é diferente de zero.</p><p>Não existe nenhum valor para x, y e z capaz de satisfazer a terceira</p><p>equação. Portanto, o sistema é incompat́ıvel ou imposśıvel (SI).</p><p>2. Sistema posśıvel indeterminado quando o número de equações é</p><p>menor que o número de variáveis m < n o sistema é posśıvel indeter-</p><p>minado (SPI).</p><p>Exemplo 2.6.3. Aqui ao final do escalonamento temos uma equação</p><p>nula. {</p><p>2x+ y = 5</p><p>6x+ 3y = 15[</p><p>2 1 5</p><p>1 3 15</p><p>]</p><p>→ obtemos</p><p>[</p><p>1 1</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>0 0 0</p><p>]</p><p>∴</p><p>{</p><p>x+ 1</p><p>2y = 5</p><p>2</p><p>0x+ 0y = 0</p><p>Equação nula: É aquela em que todos os coeficientes e o termo</p><p>independente valem zero. Todo par ordenado é solução da equação.</p><p>A solução desse sistema possui infinitas possibilidades: S = {(5/2 −</p><p>1/2y,y) ∈ R2/y ∈ R}.</p><p>Observação: Suponha que um sistema S (comm equações e n variáveis</p><p>originalmente) tenha sido escalonado e, retiradas as equações (linhas)</p><p>do tipo 0 = 0, restam p equações (p ≤ m) com n variáveis. O valor</p><p>n–p é chamado de grau de liberdade (ou número de variáveis livres)</p><p>do sistema, isto significa dizer que a solução do sistema é apresentada</p><p>com n–p variáveis. No último exemplo o número de variáveis livres é</p><p>um. A variável livre é a variável y.</p><p>O próximo exemplo é uma sistema com três equações e três variáveis</p><p>(incógnitas), veremos como apresentar uma solução para este caso.</p><p>43</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.6. SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>Exemplo 2.6.4. Considere o seguinte sistema:</p><p>x− 3y − 2z = −5</p><p>y − z = 4</p><p>−2x+ 3y + 7z = −2</p><p>� Primeiro vamos escrever a matriz aumentada do sistema.</p><p>� Utilizar as operações elementares de linhas para reescrever a ma-</p><p>triz na forma escalonada (padrão de degraus que é formado pelos</p><p>elementos não nulos da matriz).</p><p>� E por fim, escrever o sistema de equações lineares correspondente</p><p>à matriz na forma escalonada por linhas e usar a substituição</p><p>regressiva para encontrar a solução, se posśıvel.</p><p>A matriz ampliada do sistema linear é:</p><p> 1 −3 −2 −5</p><p>0 1 −1 4</p><p>−2 3 7 −2</p><p>.</p><p>Operações elementares: Observe que na matriz ampliada o elemento</p><p>pivô da primeira linha é a11 = 1 e abaixo dele apenas o elemento da</p><p>última linha não é nulo. Então, a primeira operação deve anular o</p><p>elemento a31 = −2</p><p>� Com a operação L3 ↔ L3 + 2L1, obtemos a nova linha três:1 −3 −2 −5</p><p>0 1 −1 4</p><p>0 −3 3 12</p><p></p><p>Agora para obter o padrão escada, o próximo elemento que deve</p><p>ser nulo está abaixo do pivô da segunda coluna a22 = 1, isto é,</p><p>o elemento a32 = −3, para zerar esse elemento usamos a linha 2</p><p>como referência, não mais a linha 1.</p><p>� E com a operação L3 ↔ L3 + 3L2, obtemos a nova linha três:1 −3 −2 −5</p><p>0 1 −1 4</p><p>0 0 0 0</p><p></p><p>Observe que neste caso a nova linha três possui apenas elementos</p><p>nulos, como interpretar essa solução?</p><p>O sistema original possui três equações, ao final do escalonamento</p><p>perdemos uma equação, isto é, a matriz ampliada possui uma linha</p><p>apenas com elementos nulos.</p><p>Nesse caso, ficamos com duas equações e três incógnitas (ou variáveis).</p><p>O sistema possui solução, ele é consistente, apenas duas incógnitas fi-</p><p>caram em função de uma terceira, conforme veremos agora finalizando</p><p>a solução do problema.</p><p>44</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.6. SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>A matriz final na forma escalonada é</p><p>1 −3 −2 −5</p><p>0 1 −1 4</p><p>0 0 0 0</p><p>, reescrevendo</p><p>em notação de sistemas de equações lineares:{</p><p>x− 3y − 2z = −5</p><p>y − z = 4</p><p>Pela segunda equação y − z = 4, temos que y = 4 + z.</p><p>Substituindo na primeira equação, x− 3(4 + z)− 2z = −5,</p><p>x− 12− 3z − 2z = −5</p><p>x− 5z = −5 + 12</p><p>x = 7 + 5z</p><p>O Sistema é classificado como Posśıvel Indeterminado, com infinitas</p><p>soluções, pois existe uma variável livre, que neste caso é a variável z.</p><p>O conjunto solução é S = {(7 + 5z,4 + z,z)}. Uma solução particular</p><p>poderia ser, por exemplo, para z = 1, S = {(12,5,1)}.</p><p>3. Sistema posśıvel determinado quando o número de equações, ao</p><p>final do escalonamento, é igual ao número de incógnitas m = n, o</p><p>sistema é posśıvel determinado (SPD).</p><p>Exemplo 2.6.5. Nesse caso ao final do escalonamento o número de</p><p>equações se manteve igual ao número de variáveis.{</p><p>2x+ y = 5</p><p>x− 3y = 6</p><p>[</p><p>2 1 5</p><p>1 −3 6</p><p>]</p><p>→ obtemos</p><p>[</p><p>1 0 3</p><p>0 1 −1</p><p>]</p><p>∴</p><p>{</p><p>x = 3</p><p>y = −1</p><p>Este sistema possui uma única solução, (SPD). O conjunto solução</p><p>x = 3, y = −1.</p><p>Resumo:</p><p>Não tem solução =⇒ Sistema imposśıvel (SI)</p><p>Tem solução posśıvel =⇒ Solução única =⇒ Sistema posśıvel determinado (SPD)</p><p>⇓</p><p>Infinitas soluções =⇒ Sistema posśıvel Indeterminado (SPI)</p><p>45</p><p>IMEF - FURG</p><p>2.6. SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>Prinćıpios</p><p>1. Se um sistema escalonado tem uma equação nula, ela pode ser retirada</p><p>do sistema, sem alterar sua solução.</p><p>2. Se um sistema escalonado tem uma equação imposśıvel, o sistema é</p><p>imposśıvel, caso contrário, o sistema é posśıvel.</p><p>3. Eliminadas as equações nulas de um sistema escalonado posśıvel ele</p><p>é determinado, se o número de equações restantes é igual ao número</p><p>de incógnitas, e, indeterminado, se o número de equações restantes é</p><p>menor que o número de incógnitas.</p><p>Agora vamos resolver alguns exerćıcios de aplicação de sistemas de equações</p><p>lineares não homogêneos.</p><p>2.6.1 Agora tente resolver!</p><p>1. Encontre o único polinômio de grau 2 que passa pelos pontos (2,4), (−4,4)</p><p>e (1,− 1).</p><p>2. Determine os coeficientes a, b, c da equação da circunferência x2+y2+</p><p>ax+by+c = 0, que passa pelos pontos P1(3,1), P2(6,−2) e P3(3,−5).</p><p>3. Determine os coeficientes a, b, c da equação da circunferência x2+y2+</p><p>ax + by + c = 0, que passa pelos</p>