6 - Conversão matricial de Denavit-Hartenberg

Prévia do material em texto

Conversão matricial de Denavit-
Hartenberg
Apresentação
O número de robôs utilizados em instalações industriais está cada vez maior, por conta de sua 
capacidade de realizar operações que requerem flexibilidade, rapidez e precisão. Grande parte das 
aplicações industriais dos robôs manipuladores exige que eles desenvolvam tarefas em relação a 
sua ferramenta terminal, o que envolve dados de seu posicionamento e orientação.
Como um robô precisa ser controlado por suas variáveis articulares no que se refere ao sistema de 
coordenadas cartesianas, é preciso utilizar metodologias que transformem as coordenadas. Isso 
deve ser feito com o uso de algoritmos numéricos rápidos, que ajudam a determinar o 
deslocamento de cada grau de liberdade para que o robô execute suas funções.
Assim, para que você conheça a prática dos manipuladores industriais, é importante dominar 
técnicas de cálculo utilizadas na movimentação de robôs.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a transformação homogênea empregada nas 
transformações geométricas que possibilitam a movimentação de juntas de robôs e manipuladores 
industriais. Também vai conhecer um importante conceito para o estudo de robôs, a matriz de 
Denavit-Hartenberg, e sua conversão.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Apresentar a transformação homogênea na resolução do problema da rotação e translação 
dos robôs.
•
Enunciar a construção da matriz de Denavit-Hartenberg para o estudo de robôs.•
Aplicar a conversão de Denavit-Hartenberg em manipuladores industriais.•
Desafio
A convenção de Denavit-Hartenberg (D-H) é uma abordagem amplamente empregada na análise 
cinemática de robôs, destinada a representar as relações entre suas articulações. Ela oferece um 
método organizado para descrever as transformações entre sistemas de coordenadas consecutivos 
ao longo das articulações e dos eixos dos manipuladores robóticos. A notação D-H é utilizada para 
sistematizar a descrição cinemática de um sistema mecânico articulado com n graus de liberdade.
 
Agora acompanhe a seguinte situação:
Nesse contexto, como se estivesse falando pessoalmente com Patrick, explique o que é a 
convenção D-H, assim como cada um dos quatro parâmetros utilizados para descrever a 
transformação homogênea. Depois elabore um infográfico ou um fluxograma que relacione esses 
parâmetros, de forma que fique claro que a convenção D-H será utilizada por você na modelagem 
de trajetória e de movimentação dos robôs que Patrick pretende adquirir para a fábrica de móveis.
Infográfico
Robôs móveis autônomos podem ser empregados na produção e montagem de diferentes produtos 
a fim de melhorar a agilidade e precisão fabril de indústrias. 
 
Para solucionar o problema da cinemática direta de robôs manipuladores, podem ser empregados 
vários métodos, entre eles a notação de Denavit-Hartenberg (D-H).
 
Neste Infográfico, veja a descrição detalhada dessa abordagem.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/0c835954-1038-4741-ab90-52f566e7b8c6/913d0dea-67e7-4c46-a99e-08296be45785.jpg
Conteúdo do livro
Trabalhar com robôs manipuladores contribui para o aumento da eficiência e precisão de uma linha 
de produção. Por isso, seu uso tem aumentado exponencialmente em todo o mundo nos últimos 
anos. O controle e planejamento dos movimentos desses robôs dependem de cálculos matemáticos 
e do uso de diferentes métodos e técnicas.
Nesse contexto, os controladores de robôs industriais desempenham papel crucial na execução 
precisa das tarefas atribuídas aos manipuladores, os quais dependem da interação entre teoria e 
prática. Para isso, é importante compreender os movimentos, as coordenadas e as posições dos 
manipuladores por meio de uma análise profunda das transformações geométricas e cinemáticas 
associadas a esses sistemas.
Assim, o conceito de transformação homogênea ajudará você a adquirir conhecimentos 
importantes sobre como resolver problemas relacionados à rotação e translação de robôs. A 
construção da matriz de Denavit-Hartenberg é uma ferramenta essencial para esse processo, pois 
auxilia na simplificação e representação eficiente das características cinemáticas dos 
manipuladores.
No capítulo Conversão matricial de Denavit-Hartenberg, base teórica desta Unidade de 
Aprendizagem, confira as características desse método e seu funcionamento — diferenciais para um 
profissional que pretende atuar com robótica no futuro da indústria.
Boa leitura.
CINEMÁTICA 
DIRETA DE ROBÔS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Apresentar a transformação homogênea na resolução do problema da ro-
tação e translação dos robôs.
 > Enunciar a construção da matriz de Denavit-Hartenberg para o estudo de 
robôs.
 > Aplicar a convenção de Denavit-Hartenberg em manipuladores industriais.
Introdução
A fim de executar as atividades para as quais foram designados, os controladores 
de robôs industriais utilizam microprocessadores, hardwares ou uma combinação 
dos dois. Para que os robôs “compreendam” as ordens e os direcionamentos 
dos controladores, é necessário descrever sistemas e sintetizar informações. As 
variáveis articulares dos robôs são a base dos sistemas de controle, que utilizam 
dados geométricos para efetivar cálculos sobre as possíveis posições dos mani-
puladores robóticos. Isso envolve movimentos de rotação e translação dos elos 
e das juntas de um robô manipulador.
Neste capítulo, você vai descobrir o que é a transformação homogênea, utili-
zada para resolver problemas de rotação e translação dos robôs. Além disso, verá 
como a construção da matriz de Denavit-Hartenberg influencia o estudo de robôs 
e exemplos de aplicações dessa matriz em manipuladores industriais.
Conversão matricial 
de Denavit-
Hartenberg
Roni Francisco Pichetti
Transformação homogênea
Nas indústrias, o uso da robótica envolve um desenvolvimento tecnológico 
e organizativo que vem tornando os processos produtivos mais eficientes 
em todos os níveis, com o objetivo de obter vantagens competitivas. Essas 
vantagens competitivas, aliadas a profundas inovações tecnológicas, estão 
abrindo espaço para novas formas de trabalho e de modelos de negócio. 
Nesse sentido, os desafios estão na necessidade de desenvolver sistemas 
produtivos inteligentes, fáceis de utilizar, mais flexíveis e ágeis, que se rela-
cionem de maneira eficiente e intuitiva com os operadores humanos, a fim de 
que os custos de produção e o desperdício sejam diminuídos, e a qualidade 
dos produtos, aumentada (Pires, 2018).
Nesse contexto, uma trajetória determinada de um robô manipulador 
precisa ser definida por um conjunto de ângulos associados ao movimento 
de cada um de seus graus de liberdade, que servirão como sinal de refe-
rência para o controle de posição de suas juntas. Essa transformação de 
coordenadas articulares em cartesianas geralmente é realizada em tempo 
real, para que a tarefa executada seja eficiente. Com base em um conjunto 
de variáveis articulares, obtêm-se a posição e a orientação dos elementos 
de um robô (Rosário, 2004).
Entretanto, quando os valores das variáveis articulares utilizadas como 
sinal de referência para o controle de posição das juntas são comparados 
com os valores das juntas, podem surgir erros, os quais aumentam conforme 
a velocidade de operação do robô. Por esse motivo, a implementação de um 
controlador de posições de um robô industrial depende do conhecimento 
da precisão cinemática do movimento do manipulador. Por consequência, é 
necessário estabelecer estratégias de controle de posição de juntas robóticas 
para que estas sejam eficientes e precisas, com erros próximo a zero. Isso é 
feito descrevendo o movimento do robô por equações que levam em conta 
sua arquitetura construtiva, a massa de seus elementos, as inércias, entre 
outros fatores (Rosário, 2004).
Um manipulador de um robô pode ser representado como umacadeia 
cinemática de corpos rígidos (elos) conectados por juntas ou articulações, 
como pode ser visto na Figura 1. Um extremo do robô manipulador está 
conectado a uma base; já o efetuador está montado em outra extremidade, 
que possibilita a manipulação de objetos (Aguirre, 2007).
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg2
Figura 1. Descrição dos elos e juntas de um robô manipulador.
Fonte: Aguirre (2007, p. 351).
Na robótica, é comum que utilizar dois tipos básicos de junta: 
 � de rotação;
 � de translação (prismática).
O movimento dessas juntas gera o movimento do efetuador, sendo que 
cada junta adiciona um grau de liberdade ou mobilidade (Aguirre, 2007). 
Cada par de elos, ou cada junta, representa um grau de liberdade (GDL) que 
está presente no robô. De forma geral, os três primeiros graus de liberdade 
de um sistema robótico visam a posicionar sua ferramenta no espaço de tra-
balho, enquanto os outros são responsáveis pela orientação. Uma vez que um 
efetuador esteja fixado em seu punho, é ele que efetua o trabalho e precisa 
ser acionado pelos diferentes pares de elos, para que seu posicionamento e 
sua orientação estejam de acordo com o necessário, em cada operação do 
robô (Munhoz, 2017).
São empregadas funções matemáticas para calcular a cinemática do robô 
e obter qualquer matriz de rotação ou de transformação e as trajetórias no 
espaço das juntas, bem como para definir velocidades e acelerações iniciais 
e finais. O conjunto de funções utilizadas é diretamente relacionado ao tipo 
de robô utilizado; ou seja, são empregadas funções otimizadas de acordo com 
o tipo de robô utilizado, em que a cinemática (direta ou inversa) foi obtida 
simbolicamente e otimizada (Pires, 2018).
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 3
Uma grande parte da cinemática do robô preocupa-se em estabelecer 
referenciais de coordenadas para representar as posições e orientações de 
objetos rígidos, com transformações entre esses referenciais de coordena-
das. Na verdade, a geometria do espaço tridimensional e dos movimentos 
rígidos desempenha um papel central em todos os aspectos da manipulação 
robótica. As transformações homogêneas combinam as operações de rotação 
e translação em uma única multiplicação de matriz e são empregadas para 
derivar as chamadas equações cinemáticas diretas de manipuladores rígidos 
(Spong; Hutchinson; Vidyasagar, 2020).
Assim, é necessário examinar as representações de pontos e vetores em 
um espaço euclidiano equipado com múltiplos referenciais de coordenadas. 
Em seguida, deve-se utilizar o conceito de matriz de rotação para representar, 
em linguagem matemática, posições e orientações físicas reais relacionadas 
a referenciais de coordenadas, a fim de rotacionar objetos. O objetivo é que, 
na sequência, seja possível combinar esses dois conceitos para construir 
matrizes de transformação homogênea, que podem ser empregadas para 
representar simultaneamente a posição e a orientação de um referencial 
de coordenadas em relação a outro. Além disso, matrizes de transformação 
homogêneas também podem ser utilizadas para realizar transformações de 
coordenadas (Spong; Hutchinson; Vidyasagar, 2020).
Outro conceito importante para compreender as matrizes de transfor-
mação homogênea é o vetor de deslocamento. O vetor de deslocamento é, 
basicamente, a diferença entre a posição inicial e a posição inicial do objeto 
que se quer movimentar. O cálculo do deslocamento (d) é feito por meio da 
subtração entre duas grandezas vetoriais: a coordenada da posição final 
menos a coordenada a posição inicial. Portanto, no caso da robótica indus-
trial, ele é utilizado para mostrar como a posição do efetuador muda, visto 
que a matriz de rotação não demonstra essa informação (Spong; Hutchinson; 
Vidyasagar, 2020).
Veja, portanto, que a transformação homogênea é uma técnica muito 
importante na robótica, empregada para representar as transformações 
geométricas, como rotação e translação, em um espaço tridimensional, e para 
modelar o movimento das juntas dos robôs e demais sistemas mecânicos. 
Basicamente, a transformação homogênea é representada por uma matriz 4 × 4 
(quatro por quatro), que possibilita a combinação de diversas transformações 
em uma única matriz, facilitando o processo de cálculo final de um objeto 
depois de um determinado número de operações (Rosário, 2004).
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg4
É importante deixar claro que, segundo Spong, Hutchinson e Vidyasagar 
(2020), para se obter o quadro final com referência ao quadro da base do 
robô, é possível utilizar o produto das matrizes de rotação (por exemplo, de 
um robô Cartesiano), por meio da seguinte equação:
Os autores esclarecem que essa relação é não verdadeira para a translação, 
com o vetor de deslocamento (d).
As transformações geométricas de rotação são obtidas por meio de uma 
permutação cíclica das coordenadas do primeiro até o terceiro eixo (Hearn; 
Baker; Carithers, 2014). Nesse caso, as variáveis de x passam a ser utilizadas 
para y, e as de y para z, como pode ser visto a seguir:
Perceba que isso muda somente o local das variáveis na matriz de trans-
formação, a fim de se obter uma rotação para um dos três eixos diferentes. 
Essa permutação cíclica é representada na Figura 2.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 5
Figura 2. Permutação cíclica dos eixos de coordenadas cartesianas para produzir os três 
conjuntos de equações de rotação do eixo de coordenadas.
Fonte: Hearn, Baker e Carithers (2014, p. 277).
Veja, a seguir, uma matriz de posições de ângulos coordenados (P’), que 
obterá resultados calculados com a multiplicação de uma matriz 4 × 4 de 
coordenadas homogêneas do vetor T por uma matriz de posições coordenadas 
iniciais (P): 
Considere x, y, z e 1 como as coordenadas originais, x’, y’, z’ e 1 como as novas 
coordenadas e a matriz 4 × 4 como a matriz da translação a ser realizada. As 
variáveis tx, ty e tz são as quantidades pelas quais se deseja transladar o objeto 
nas direções x, y e z, respectivamente, processo que também é chamado de 
adicionar offsets (desvios) (Hearn; Baker; Carithers, 2014).
Nesse caso, um objeto, ou elo de um robô, é transladado em três dimensões, 
transformando cada uma das posições de coordenadas definidoras do objeto. 
Depois, o elo é movimentado no novo local. Para um objeto representado 
como um conjunto de superfícies poligonais, é preciso realizar a translação de 
cada vértice para cada superfície e exibir novamente as facetas do polígono 
nas posições transladadas (Hearn; Baker; Carithers, 2014). 
Veja, na Figura 3, um objeto sendo transladado entre duas posições dife-
rentes em relação aos eixos (axis) x, y e z.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg6
Figura 3. Mudando a posição de um objeto com o vetor de translação T.
Fonte: Hearn, Baker e Carithers (2014, p. 275).
Já a transformação homogênea para uma rotação em três dimensões ao 
redor de um dos eixos principais (x, y ou z) é representada por três matrizes 
diferentes, uma para cada eixo (Hearn; Baker; Carithers, 2014). A matriz de 
transformação homogênea de rotação do eixo z é a seguinte:
Nesse caso, o parâmetro θ especifica o ângulo de rotação em torno do 
eixo z, e os valores da coordenada z permanecem inalterados por essa trans-
formação (Hearn; Baker; Carithers, 2014). Na Figura 4, é mostrada rotação de 
um objeto em torno do eixo z.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 7
Figura 4. Rotação tridimensional de um objeto do eixo z.
Fonte: Hearn, Baker e Carithers (2014, p. 277).
Perceba que o objeto estava no eixo x e é rotacionado para o eixo z, assim 
como acontece com a rotação das juntas em um robô industrial, tanto nesse 
mesmo eixo quanto entre os eixos x e y. Valores negativos para ângulos de 
rotação geram rotações no sentido horário, e a matriz identidade é produ-
zida quando se multiplica qualquer matriz de rotação por sua inversa. Como 
apenas a função seno é afetada pela mudança no sinal do ângulo de rotação, 
a matriz inversa tambémpode ser obtida trocando linhas e colunas (Hearn; 
Baker; Carithers, 2014).
As matrizes de transformação homogênea de rotação dos eixo x e y são 
estas:
As matrizes de transformação homogênea de rotação dos eixo x e y são 
ilustradas na Figura 5.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg8
Figura 5. Mudando a posição de um objeto com o vetor de translação T.
Fonte: Hearn, Baker e Carithers (2014, p. 278).
É possível combinar rotações e translações em uma única matriz de trans-
formação homogênea. Para isso, deve-se multiplicar as matrizes correspon-
dentes na ordem desejada. Por exemplo, se você deseja transladar e depois 
rotacionar a junta de um determinado elo, deve multiplicar as matrizes de 
translação e rotação nessa ordem (Rosário, 2004).
Como as matrizes de transformação homogênea são empregadas para 
representar as mudanças na posição e orientação objetos e juntas em um 
sistema de coordenadas 3D, elas são úteis para calcular sua posição final após 
uma série de operações de transformação. Isso é fundamental na cinemática 
direta e inversa de robôs, em que se deseja determinar a posição final do 
efetuador do robô com base em suas articulações (Rosário, 2004).
Construção da matriz de Denavit-
Hartenberg
A matriz de Denavit-Hartenberg (D-H) é uma técnica muito utilizada na ci-
nemática de robôs para representar a relação entre suas articulações. Ela é 
uma maneira sistemática de descrever a transformação entre sistemas de 
coordenadas consecutivos ao longo das juntos e eixos dos robôs manipula-
dores. Isso quer dizer que a mudança no tempo das coordenadas das juntas 
de um robô é tratada no modelo cinemático de um sistema articulado no 
espaço tridimensional (Rosário, 2004). 
A notação D-H é utilizada para sistematizar a descrição cinemática de um 
sistema mecânico articulado com n graus de liberdade. Nesse sentido, o método 
é empregado para obter somente as coordenadas do elemento terminal do 
robô. O modelo que utiliza essas informações pode ser utilizado em progra-
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 9
mas de geração de trajetórias, bem como para identificação de erros, visto 
que precisa somente das coordenadas do elemento terminal (Rosário, 2004).
De acordo com Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2020), na construção da 
matriz de D-H, para qualquer manipulador, o primeiro passo seria colocar 
os eixos coordenados em cada uma das juntas, que são os quadros. Ou seja, 
existem regras para a colocação dos eixos (x, y, z) em cada uma das juntas, 
como você pode ver a seguir.
1. O eixo z deve ser o eixo de rotação em uma junta de revolução ou a 
direção de movimento (deslocamento) da junta prismática.
2. O eixo x deve ser perpendicular ao eixo z de sua junta e ao eixo z da 
junta anterior. Para o primeiro quadro, como não existe junta anterior, 
o eixo x precisa apenas ser perpendicular ao eixo z de sua junta.
3. Todos os quadros devem obedecer a regra da mão direita. Com a palma 
da mão aberta e o polegar aberto de forma a ter um ângulo de 90° 
com os demais dedos, os dedos devem ser colocados sobre o eixo X, 
e o polegar, sobre o eixo z. O eixo y está na direção da palma da mão.
4. Cada eixo x precisa interceptar o eixo z do quadro anterior. Existem 
robôs que necessitam de um deslocamento virtual do quadro.
Assim, na convenção D-H, cada transformação homogênea é composta 
por quatro transformações básicas, sendo duas rotações e duas translações. 
Dessa forma, são necessários apenas quatro parâmetros para descrever a 
transformação homogênea em questão, o que diminui a complexidade. De 
fato, com o uso de outros métodos, são necessários mais de seis parâmetros 
para descrever as transformações homogêneas e as posições de ângulos 
coordenados (Aguirre, 2007).
Existem algumas formas de mostrar a matriz de D-H. Ela é construída 
com um número de linhas que corresponde ao número de quadros do robô 
menos uma unidade. Dessa forma, a tabela de D-H de um robô tem o número 
de linhas igual à quantidade de quadros do robô menos um.
A construção de uma matriz de Denavit-Hartenberg depende do seguintes 
parâmetros, que são os responsáveis pelo fato de a matriz de transformação 
ter sempre quatro colunas:
 � ângulo de rotação (θ);
 � deslocamento ao longo do eixo anterior (d);
 � comprimento da ligação (r);
 � ângulo de inclinação (α). 
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg10
O ângulo de rotação é definido pela escolha de um eixo de rotação que 
represente a rotação de uma junta i em relação a uma junta i – 1; ou seja, é 
um parâmetro que descreve o ângulo de rotação da junta atual em relação à 
junta anterior. Geralmente, a junta atual é escolhida ao longo do eixo z, mas 
isso pode variar de acordo com a configuração do robô. Em seguida, é preciso 
definir o ângulo entre o eixo atual da junta atual i e o eixo anterior da junta 
anterior i – 1, medindo em torno do eixo comum (Aguirre, 2007).
O deslocamento ao longo o eixo anterior é definido medindo a distância 
ao longo do eixo anterior da junta atual i até o ponto de interseção com o 
eixo de rotação da junta i – 1. Em outras palavras, esse parâmetro representa 
a distância entre a junta atual e a junta anterior ao longo do eixo de rotação 
da junta anterior (Aguirre, 2007). 
Já o comprimento da ligação, como o nome sugere, é definido medindo a 
distância ao longo o eixo de rotação da junta i até o eixo de rotação da junta 
i + 1. Ele é a medida ao longo do eixo de rotação da junta atual desde a junta 
anterior até a junta posterior, que são adjacentes (Aguirre, 2007).
Por fim, o ângulo de inclinação é estabelecido escolhendo-se um eixo de 
referência para a junta i + 1, que geralmente é ao longo do eixo x, podendo 
variar. Depois, define-se o eixo de referência da junta i + 1 ao medir em torno 
do eixo comum. Assim, esse parâmetro trata da descrição do ângulo de incli-
nação entre os eixos de rotação das juntas anterior e atual em relação a um 
eixo de referência (Aguirre, 2007).
Na Figura 6, os eixos z e zi da estrutura das juntas (joints) correspondem 
aos eixos de rotação. O link associado às juntas se estende ao longo do 
eixo x da estrutura. Essa é uma configuração simples, na qual as juntas e 
a rotação dos eixos são coplanares, ou seja, elas estão no mesmo plano. A 
distância abaixo do eixo x de uma junta até a próxima trata-se do parâmetro 
de comprimento da ligação. O ângulo de rotação da junta é especificado 
pela rotação da junta i + 1 em torno de seu eixo z em relação à direção do 
eixo z (Parent, 2012). Portanto, nesse caso, utilizam-se apenas dois dos 
quatro parâmetros de D-H.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 11
Figura 6. Dois parâmetros de Denavit-Hartenberg em juntas planares.
Fonte: Parent (2012, p. 186).
Por sua vez, as configurações não planares podem ser representadas 
incluindo também os outros dois parâmetros D-H. Nesse caso, como retra-
tado na Figura 7, o eixo x da i-ésima junta é definido como o segmento de 
linha perpendicular aos eixos z dos quadros i-ésimo e i + 1. O parâmetro de 
torção do link descreve a rotação do eixo z do quadro i + 1 em torno da linha 
perpendicular em relação ao eixo z do i-ésimo quadro, com seu ângulo de 
inclinação. Por sua vez, o parâmetro de deslocamento do link especifica a 
distância ao longo do eixo z até o quadro i + 1 do i-ésimo eixo x ao eixo i + 1 x, 
ou seja, o deslocamento ao longo o eixo anterior (Parent, 2012).
Figura 7. Quatro parâmetros de Denavit-Hartenberg em juntas não planares.
Fonte: Parent (2012, p. 187).
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg12
Após a definição dos quatro parâmetros da convenção D-H para cada junta 
do braço robótico, é possível criar a matriz de transformação homogênea que 
descreve a posição e a orientação da junta atual em relação à junta anterior 
(Rosário, 2004). 
A multiplicação das matrizes de todas as juntas do braço robótico 
gera a matriz de transformação completa, que representa a posição 
final da ponta do robô manipulador em relação à sua base. Isso quer dizer que 
os parâmetrosD-H possibilitam descrever a geometria e a cinemática de um 
braço robótico, calculando sua posição e orientação em relação a um sistema 
de coordenadas global. Isso torna essa técnica fundamental na análise e no 
controle de robôs manipuladores (Rosário, 2004).
Veja, na Figura 8, um exemplo de criação de uma matriz de D-H. Considere 
que um robô tem três quadros, então a tabela para compor a matriz deve ter 
2 linhas (3 – 1) e 4 colunas.
Figura 8. Exemplo de tabela para montagem de uma matriz de D-H.
Fonte: Adaptada de Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2020, p. 87).
Nesse caso, θ é a rotação em torno de Zn–1 para que Xn–1 fique igual a Xn nos 
diferentes quadros. Já α é a rotação ao redor de Xn para que Zn–1 fique igual 
a Zn, momento em que todo o quadro n – 1 é rotacionado. O parâmetro r é a 
distância entre o centro do quadro n – 1 e o centro do quadro n, ao longo da 
direção do eixo Xn. Já d é a distância entre o centro do quadro n – 1 e o centro 
do quadro n, ao longo da direção do eixo Zn–1.
Perceba que os valores de r e d são 0, a2, a1, 0. Isso significa que eles 
fazem parte de uma sequência numérica de uma progressão aritmética, em 
que an é o enésimo termo, an – 1 é o antecessor de an e an + 1 é o sucessor 
de an. Por exemplo, se todos os termos forem múltiplos de 5, a1 será igual a 
0 (5*0), a2 será igual a 5 (5*1) e assim sucessivamente, até o an ser igual a 5*n.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 13
Convenção de Denavit-Hartenberg em 
manipuladores industriais
Um algoritmo que utiliza a convenção de D-H e seus parâmetros pode ser 
um manipulador com n graus de liberdade, em que se determina um sistema 
de coordenadas para cada link do robô a partir do sistema de coordenada 
fixo à base de suporte até seu elemento terminal. As relações entre os links 
adjacentes são representadas por uma matriz de transformação homogênea 
4 × 4. Assim, o conjunto de matrizes de transformação homogênea permite 
obter um modelo cinemático do robô manipulador (Rosário, 2004).
A convenção D-H é muito empregada pelos fabricantes de robôs industriais 
no fornecimento de parâmetros, a fim de sistematizar a entrada de dados 
de um modelo. Porém, para realizar a modelagem e simulação gráfica, é 
preciso conhecer diversos pontos do robô, visando a construir formas sólidas 
primitivas (paralelepípedos, cilindros, entre outros) que representem o robô 
e o ambiente de trabalho, tornando possível a execução de testes de colisão 
com esse ambiente (Rosário, 2004).
Considere o exemplo, dado por Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2020), 
de um pulso esférico de um robô manipulador. Na Figura 9, é apresentada a 
estrutura esférica desse pulso, que conta com três elos, nos quais os eixos 
articulados z3, z4, z5 se cruzam em o, que é o centro do pulso.
Figura 9. A atribuição da estrutura esférica do pulso.
Fonte: Adaptada de Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2020, p. 90).
Nesse caso, as três variáveis conjuntas finais (θ4, θ5, θ6) são um conjunto 
de três ângulos de Euler (ϕ, θ e ψ) em relação às coordenadas o3, x3, y3 e z3. De 
maneira simplificada, o manipulador mostrado na Figura 9 pode ser repre-
sentado conforme a Figura 10, levando em consideração todos os quadros 
em seus respectivos lugares.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg14
Figura 10. A atribuição da estrutura esférica do pulso.
Fonte: Adaptada de Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2020, p. 90).
Observe que a relação entre o quadro 1 (a1) e o quadro 2 (a2) impossibilita 
que o eixo x2 intercepte o eixo x1. Para corrigir esse problema, é aplicado 
um deslocamento virtual, que faz o quadro 2 (a2) ficar exatamente sobre o 
quadro 1 (a1) (Spong; Hutchinson; Vidyasagar, 2020). Assim, a1 corresponde à 
distância do quadro 0 para o quadro 1, a2 corresponde à distância do quadro 
1 ao quadro 2 e a3 corresponde à distância do quadro 2 para o quadro 3. Nesse 
contexto, a soma a2 + a3 corresponde a d6. As matrizes geradas em virtude 
desse cálculo são apresentadas a seguir, bem como a tabela de D-H para 
esse manipulador (Figura 11).
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 15
Figura 11. Tabela para o cálculo da matriz de D-H do exemplo.
Fonte: Adaptada de Spong, Hutchinson e Vidyasagar (2020, p. 87).
Agora, suponha que o manipulador mostrado anteriormente esteja nas 
posição inicial com θ4 = 0°, θ5 = 0° e θ5 = 0°, e que a1 = 0 mm, a2 = 500 mm e 
a3 = 500 mm. É possível calcular a posição do efetuador resolvendo a matriz 
anterior. Sabendo que cos(0°) = 1 e que sen(0°) = 0, e substituindo os valores 
na matriz:
Ou seja, de acordo com a matriz apresentada antes da Figura 11, a posição 
do efetuado na condição inicial é [0,0,1000]. 
Agora, imagine que o manipulador foi movimentado para θ4 = 30°, θ5 = 45° 
e θ5 = 60°. A nova posição do efetuador é apresentada na seguinte matriz:
Logo, realizando os cálculos necessários com esses valores, a nova co-
ordenada do efetuador será [612,353,707]. A realização desses cálculos so-
mente é possível ao conhecer as medidas e os ângulos necessários para o 
preenchimento da tabela e, posteriormente, das matrizes para a aplicação 
da convenção de D-H.
Munhoz (2017, p. 40-41) descreve três etapas principais para utilizar os 
parâmetros D-H em manipuladores industriais:
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg16
1. Fixe um sistema de coordenadas local em cada elemento, que deve seguir as 
seguintes observações: 
a) Os elementos devem ser numerados progressivamente de 0 (base fixa) até o 
(efetuador). 
b) Numere as juntas a partir de 1 no 1o GDL. 
c) Fixe o eixo Z de rotação se a junta (i + 1) for articulada, e de deslocamento se a 
junta (i + 1) for prismática. 
d) Fixe o sistema de eixos de coordenadas 0 da base ao longo do eixo Z0. Para os 
demais sistemas de coordenadas, considere: 
i. Coloque no ponto de intersecção entre Z e Zi −1, se houver.
ii. Se Zi e Zi −1 forem paralelos, então a origem (i - 1) fica na junta i.
[...]
2. Utilize cada sistema de coordenadas local para definir os parâmetros de cada 
elemento. 
3. Os parâmetros devem ser substituídos na matriz homogênea genérica, para se 
obter uma matriz específica para cada elemento.
Para Munhoz (2017), a vantagem de utilizar esse método é que ele resolve 
de maneira integrada a questão da posição e da orientação de robôs manipu-
ladores, além de solucionar o problema por meio de sucessivas multiplicações 
de matrizes, conforme cada transformação. Assim, simplifica a modelagem e 
o controle de robôs, pois facilita o cálculo das transformações homogêneas 
entre os sistemas de coordenadas dos elos. Por consequência, contribui para 
diversas aplicações úteis na robótica industrial, como:
 � a modelagem cinemática;
 � o planejamento de trajetória; 
 � o controle de robôs; 
 � a calibração e manutenção;
 � a programação off-line (fora de uma rede de comunicação). 
Na modelagem cinemática, a convenção D-H trata da representação geo-
métrica dos elos e articulações do robô de maneira padronizada, o que auxilia 
no desenvolvimento de modelos matemáticos para calcular as posições e 
orientações do efetuador com base na posição das articulações. Isso ajuda a 
compreender o comportamento do robô em diferentes cenários e, portanto, a 
economizar tempo e recursos, com aplicações robóticas previamente testadas 
(Hearn; Baker; Carithers, 2014).
Quanto ao planejamento de trajetória, a D-H ajuda na criação de algoritmos 
que atuam na movimentação eficiente de robôs entre diferentes posições, 
o que melhora o tempo de ciclo dos robôs e a precisão de sua execução de 
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 17
tarefas. O controle de robôs também é facilitado, pois, com essa convenção, 
tem acesso a uma representação matemática clara e eficaz para controlar 
suas articulações. Isso é útil tanto para ajustar a velocidade de movimento 
das articulações do robô quanto para manter os efetuadores na trajetória 
desejada (Hearn; Baker; Carithers, 2014).
Sobre a calibração e manutenção, a D-H é útil para verificar se as medições 
e configurações das articulaçõesdos robôs estão corretas, de modo que 
sejam feitos ajustes sempre que necessário. Já a programação off-line se 
refere diretamente a um resultado da modelagem cinemática e dos testes, 
pois somente é possível se os movimentos tiverem sido testados virtualmente 
com os parâmetros D-H antes de serem planejados e executados no ambiente 
real. Isso pode contribuir para a redução do tempo de parada de produção 
em indústrias, por exemplo (Hearn; Baker; Carithers, 2014).
Os sistemas robóticos executam de maneira sistemática operações que 
permitem um maior controle de qualidade e minimizam o número de produ-
tos que não são produzidos em conformidade com os padrões de qualidade 
(Munhoz, 2017). Conforme Munhoz (2017, p. 145), “a montagem e a manipulação 
utilizando robôs industriais representam cerca de 33% das aplicações robóticas 
que envolvem, de forma expressiva, as indústrias automobilísticas e eletrô-
nica”. Nesse contexto, a D-H é utilizada em indústrias tanto automobilísticas 
quanto eletrônicas, por exemplo, para calcular as posições de articulações 
de robôs que fazem a instalação de componentes. Também pode ser útil em 
outros ramos da indústria, como no empacotamento, na inspeção de qualidade 
e no controle de robôs em geral.
Neste capítulo, você conheceu o conceito de transformação homogênea, 
utilizado na resolução de problemas de rotação e translação das juntas e 
articulações dos robôs manipuladores industriais. Além disso, você viu como 
a construção da matriz de Denavit-Hartenberg influencia o estudo de robôs. 
Por fim, conheceu exemplos de aplicações de seus parâmetros em diferentes 
atividades realizadas por manipuladores industriais.
Referências
AGUIRRE, L. A. (ed.). Enciclopédia de automática: controle e automação. São Paulo: 
Blucher, 2007. v. 3.
HEARN, D.; BAKER, P.; CARITHERS, W. Computer graphics with OpenGL. 4. ed. London: 
Pearson, 2014.
MUNHOZ, I. P. Robótica. Londrina: Editora e Distribuidor Educacional, 2017.
PARENT, R. Compute animation: algorithms and techniques. 3. ed. San Francisco: Morgan 
Kaufmann, 2012.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg18
PIRES, J. N. Robótica industrial: indústria 4.0. Lisboa: Lidel, 2018.
ROSÁRIO, J. M. Princípios de mecatrônica. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
SPONG, M. W.; HUTCHINSON, S.; VIDYASAGAR, M. Robot modeling and control. 2. ed. 
Hoboken: John Wiley & Sons, 2020.
Leituras recomendadas
GROOVER, M. Automação industrial e sistemas de manufatura. 3. ed. São Paulo: Pe-
arson, 2011.
SANTOS, W. E.; GORGULHO JÚNIOR, J. H. C. Robótica industrial: aplicação na indústria 
de manufatura e de processos. São Paulo: Érica, 2015.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os edito-
res declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Conversão matricial de Denavit-Hartenberg 19
Dica do professor
Muitos dos conhecimentos e das tecnologias utilizadas atualmente têm origens diferentes de suas 
utilidades atuais. O primeiro computador, por exemplo, foi criado na época da Segunda Guerra 
Mundial para realizar cálculos balísticos de forma rápida e precisa.
 
Do mesmo modo que o primeiro computador, a notação de Denavit e Hartenberg (D-H) teve 
origem como uma resposta à necessidade de desenvolver sistemas que descrevessem de maneira 
generalizada as relações geométricas complexas entre as diversas partes de um manipulador 
robótico.
 
Essa busca por uma representação sistemática e eficaz foi motivada pela demanda cada vez maior 
das indústrias por ferramentas matemáticas capazes de simplificar a análise, o planejamento e o 
controle de movimentos de aplicações robóticas avançadas em ambientes industriais.
 
Nesta Dica do Professor, conheça uma explicação sobre a história da notação D-H, bem como um 
exemplo de sua aplicação em problemas de posicionamento de veículos aéreos não tripulados.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/4e5e164c6928acd388ca50cb1d267b65
Exercícios
1) No campo da indústria, o uso de robôs manipuladores visa tornar os processos produtivos 
mais eficientes e precisos, sendo que a movimentação dos robôs precisa ser devidamente 
calculada, de acordo com os graus de liberdade disponíveis em cada um deles, a fim de evitar 
erros.
 
Nesse contexto, assinale a alternativa correta:
A) Surgem erros quando os valores das variáveis planares utilizadas como sinal de exclusão para 
o controle de posição das juntas são comparados com os valores das juntas.
B) Podem surgir erros quando os valores dos elos utilizados como sinal de referência para o 
controle de orientação das juntas são comparados com os valores das articulações.
C) Podem surgir erros quando os valores das variáveis articulares utilizadas como sinal de 
inclusão para o controle de velocidade das juntas são comparados com os valores dos elos.
D) Os erros de trajetória podem aumentar conforme a velocidade de operação do robô 
manipulador.
E) Os erros de trajetória podem diminuir conforme a velocidade de operação do robô 
manipulador.
O cálculo da cinemática direta de um robô manipulador depende do uso de funções 
matemáticas, a fim de obter matrizes sobre as transformações geométricas de cada 
articulação. A respeito desse assunto, veja as afirmações a seguir:
I. O cálculo da cinemática de robôs é feito utilizando funções otimizadas, conforme o tipo de 
robô manipulador.
II. O cálculo da cinemática de robôs é feito utilizando a mesma função para todos os tipos de 
robôs manipuladores.
III. A transformação homogênea é utilizada para representar as transformações geométricas 
das articulações de robôs em um espaço tridimensional.
IV. A transformação homogênea é representada por uma matriz dois por dois, que possibilita 
combinar duas transformações geométricas em uma única matriz.
2) 
V. A transformação homogênea é útil para modelar o movimento das juntas de robôs e 
demais sistemas mecânicos, por meio de matrizes. 
Sendo assim, está correto o que se afirma em:
A) I, III e V.
B) I, III e IV.
C) III e IV.
D) II e V.
E) I, III, IV e V.
3) A técnica de utilização da matriz de Denavit-Hartenberg depende da utilização de quatro 
parâmetros para representar a relação entre as articulações de um robô manipulador. Nesse 
sentido, relacione os três parâmetros citados com suas respectivas descrições e/ou 
características:
 
I. Deslocamento ao longo do eixo anterior.
 
II. Comprimento da ligação.
 
III. Ângulo de inclinação.
 
( ) É a representação da distância entre a junta atual e a junta anterior ao longo do eixo de 
rotação da junta anterior.
 
( ) É a descrição do ângulo de inclinação entre os eixos de rotação da junta atual e da junta 
anterior relacionada a um eixo de referência.
 
( ) É a representação da distância ao longo do eixo de rotação da junta atual, desde a junta 
anterior até a junta posterior.
 
Assinale a alternativa em que é apresentada a ordem correta:
A) I, II e III.
B) III, II e I.
C) I, III e II.
D) II, III e I.
E) III, I e II.
4) Com a definição dos quatro parâmetros da convenção de Denavit-Hartenberg, é possível 
utilizar matrizes para tratar das transformações geométricas das juntas de robôs 
manipuladores. 
Nesse contexto, assinale a alternativa correta:
A) A adição das matrizes de todas as juntas do braço robótico gera a matriz de evolução que 
representa a posição inicial da ponta do robô manipulador em relação à sua base.
B) A multiplicação das matrizes de algumas juntas do braço robótico gera a matriz de 
transformação parcial que representa a posição final da ponta do robô manipulador em 
relação a seu efetuador.
C) A subtração das matrizes de todas as juntas do braçorobótico gera a matriz de transformação 
completa que representa a posição final da ponta do robô manipulador em relação à sua base.
D) Os parâmetros de Denavit-Hartenberg (D-H) descrevem a simetria de um braço robótico, por 
meio do cálculo de matrizes com informações sobre tamanho e material de fabricação do 
robô em relação ao tipo de movimento que ele realiza.
E) Os parâmetros de Denavit-Hartenberg (D-H) descrevem a geometria e a cinemática de um 
braço robótico, por meio do cálculo de matrizes, com informações sobre sua posição e 
orientação em relação a um sistema de coordenadas global.
A convenção D-H é utilizada por fabricantes de robôs industriais para sistematizar a entrada 
de dados de um modelo. A construção da modelagem gráfica depende de conhecimento 
sobre a construção de formas sólidas primitivas (paralelepípedos, cilindros, entre outros) que 
representam o robô e seu ambiente de trabalho, para assim executar testes de maneira 
satisfatória. Nesse contexto, veja as afirmações a seguir: 
I. Uma das vantagens do uso da convenção D-H é que ela trata, de maneira integrada, o 
problema da posição e da orientação de robôs manipuladores. 
II. Uma das vantagens do uso da convenção D-H é que ela torna mais complexa e 
abrangente a modelagem e o controle de robôs. 
III. Uma das vantagens do uso da convenção D-H é que ela resolve os problemas de rotação 
e translação por meio de sucessivas multiplicações de matrizes. 
5) 
IV. Uma das vantagens do uso da convenção D-H é que ela torna mais simples a modelagem 
e o controle de robôs.
Sendo assim, está correto o que se afirma em:
A) I e III.
B) I, III e IV.
C) III e IV.
D) II e IV.
E) I, II e IV.
Na prática
A busca por fontes de energia sustentável vem dando espaço cada vez maior para a indústria de 
insumos para produção solar de energia, como aquelas que fabricam painéis solares.
 
Nesse contexto, a aplicação da convenção de Denavit-Hartenberg em manipuladores industriais 
pode desempenhar papel importante, aprimorando a eficiência da produção de maneira precisa e 
confiável.
 
Confira neste Na Prática o caso da indústria de placas solares EveryoneSun, que pretende 
aumentar a lucratividade do seu negócio e impulsionar a missão de fornecer energia renovável, 
utilizando as funcionalidades da convenção de Denavit-Hartenberg.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Análise da eficiência computacional para solução do problema 
da cinemática inversa de robôs seriais utilizando a Teoria de 
Bases de Gröbner
Neste link, conheça o projeto que faz uma análise da eficiência computacional na solução do 
problema da cinemática inversa de robôs manipuladores seriais, sendo investigadas duas 
abordagens: o método de Paul a partir da matriz obtida pelo algoritmo de Denavit-Hartenberg; e a 
Teoria de Bases de Gröbner.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Desenvolvimento, modelagem matemática e simulação de um 
braço robótico acionado por CLP
Neste artigo, conheça o projeto de desenvolvimento do protótipo de um manipulador robótico 
acionado por um Controlador Lógico Programável (CLP), e sua modelagem matemática. O objetivo 
do trabalho foi fazer a modelagem matemática da cinemática (direta, inversa e diferencial), assim 
como da dinâmica do manipulador robótico.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
A importância da modelagem matemática na engenharia: 
estudo de caso de robótica para reabilitação
Este estudo de caso exemplifica a importância da modelagem matemática na concepção de uma 
solução robotizada para aplicação na reabilitação física de acidentados e idosos. A modelagem 
https://proceedings.science/sbai-2019/trabalhos/analise-da-eficiencia-computacional-para-solucao-do-problema-da-cinematica-inver?lang=pt-br
https://periodicos.ufersa.edu.br/r4em/article/view/10649/10799
utilizada no trabalho definiu os sistemas de coordenadas de referência e as relações cinemáticas a 
partir da convenção de Denavit-Hartenberg.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
http://revistaredes.ielusc.br/index.php/revistaredes/article/view/64