Ints_Linha_Parte_01

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INTEGRAIS DE LINHA EM ℝ2
• INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPOS VETORIAIS
Um campo ou função vetorial em ℝ2 é uma aplicação 𝐹 que a cada ponto (𝑥, 𝑦) do plano faz
corresponder um vetor 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 ) do ℝ2 .
As funções 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 2𝑦2 , 3𝑦2 + 4𝑥𝑦) e 𝐺 𝑥, 𝑦 = (−𝑦, 𝑥) são exemplos de campos vetoriais
em ℝ2 .
Se 𝑧 = 𝜑(𝑥, 𝑦) é uma função escalar diferenciável, então
CAMPOS VETORIAIS
campo vetorial gradiente da função 𝜑 .
∇𝜑(𝑥, 𝑦) = (
𝜕𝜑
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) ,
𝜕𝜑
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) )
CURVAS PARAMETRIZADAS
Entendemos, comumente, uma curva no plano como o lugar geométrico dos pontos 𝑥, 𝑦 que
satisfazem uma equação da forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) ou, ainda, 𝑥 = 𝑔(𝑦). Porém, além dessa maneira, uma
curva plana C pode ser descrita na forma denominada paramétrica: os pontos da curva passam a
ser representados por meio de pares ordenados da forma (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ).
é o
Formalmente, dizemos que uma parametrização de uma curva plana C é uma função vetorial
𝑟: [𝑎, 𝑏] → ℝ2 , dada por 𝑟 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ),
onde cada 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] recebe o nome de parâmetro e tem interpretação usual como medida de
tempo, levando, por isso, a parametrização ser reconhecida como um movimento sobre a curva C,
tendo 𝑟(𝑡) como vetor posição.
O traço de uma curva parametrizada 𝑟, que denotamos por 𝑇𝑟(𝑟), é o conjunto imagem da função
𝑟: [𝑎, 𝑏] → ℝ2 , ou seja, 𝑇𝑟 𝑟 = { 𝑟(𝑡) ∈ ℝ2/ 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 } (É interessante observar que, de maneira
natural, identificamos o traço de uma curva parametrizada com a própria curva).
O traço de uma curva parametrizada não deve ser confundido com o seu gráfico, o qual vem a ser
o conjunto 𝐺𝑟 𝑟 = { (𝑡, 𝑟 𝑡 ) ∈ ℝ3/ 𝑡 ∈ 𝑎, 𝑏 }.
Em consideração às integrais que estudaremos, nos interessam parametrizações 𝑟: [𝑎, 𝑏] → ℝ2
que apresentem as seguintes características:
i) 𝑟: [𝑎, 𝑏] → ℝ2 é uma função contínua, com derivada de primeira ordem também contínua, isto
é, 𝑟 deve ser uma função de classe 𝐶1 .
ii) 𝑟(𝑎) é o ponto inicial da curva C e 𝑟(𝑏) é o seu ponto final, aspecto que concede à curva C uma
orientação positiva de acordo com os valores crescentes do parâmetro 𝑡 (a curva orientada
segundo os valores decrescentes do parâmetro 𝑡 é normalmente representada por −C ).
Se 𝑟 𝑎 = 𝑟(𝑏), então a curva C é, obviamente, fechada.
iii) Desde que a curva C não seja fechada, a função 𝑟, com domínio em [𝑎, 𝑏], deve ser injetora,
isto é, 𝑡𝛼 ≠ 𝑡𝛽 ⇒ 𝑟(𝑡𝛼) ≠ 𝑟(𝑡𝛽). Caso a curva seja fechada, então 𝑟 𝑎 = 𝑟(𝑏) e, assim, a
função 𝑟 deve ser injetora sobre o intervalo [𝑎, 𝑏[ .
Quando a função 𝑟 satisfaz as condições de injetividade acima, a curva C é dita simples. Se a
curva C não é simples, então, evidentemente, ela possui ponto(s) de auto-interseção.
iv) A derivada da função 𝑟 não deve se anular no intervalo ]𝑎, 𝑏[ , ou seja,
𝑑
𝑑𝑡
Ԧ𝑟(𝑡) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ ]𝑎, 𝑏[
(pontos nos quais a derivada se anula podem corresponder a “bicos” na curva C).
Quando a função 𝑟 possui derivada não-nula em ]𝑎, 𝑏[, a curva C é dita suave, lisa ou regular.
Uma curva C é suave por partes, se admite decomposição em uma quantidade finita de curvas
suaves.
1) A função 𝑟: [0, 1/3] → ℝ2 definida por 𝑟 𝑡 = (−3𝑡, 3𝑡 + 1) é uma parametrização do segmento
da reta 𝑥 + 𝑦 = 1, que vai do ponto (0, 1) ao ponto (−1, 2).
Não é difícil concluir que 𝑟: [1/2, 1] → ℝ2 definida por 𝑟 𝑡 = (1 − 2𝑡, 2𝑡) também é uma
parametrização desse mesmo caminho.
2) Se a curva C é uma circunferência com centro em (𝑎, 𝑏) e raio 𝑅 , então sua equação cartesiana,
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑅2 , facilita a compreensão do fato de a função 𝑟: [0, 2𝜋] → ℝ2 definida
por 𝑟 𝑡 = (𝑎 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑏 + 𝑅𝑠𝑒𝑛𝑡) ser uma parametrização para C, quando esta é percorrida
uma única vez no sentido positivo.
EXEMPLOS
As figuras que seguem exemplificam graficamente os conceitos apresentados em ii), iii) e iv).
Curva C suave, simples e orientada, com ponto 
inicial A e ponto final B.
Curva − C : a curva C com orientação invertida.
Uma curva que não é suave: a parábola semicúbica Ԧ𝑟 𝑡 = (1 + 𝑡3, 𝑡2), quando definida em um intervalo que 
contenha o ponto (1, 0) ( note que Ԧ𝑟′ 𝑡 = 0, 0 ⇒ 𝑡 = 0, e, assim, 𝑥 = 1 e 𝑦 = 0 ).
Uma curva que não é simples: a Lemniscata de
Bernoulli, curva que possui 𝑥2 + 𝑦2 2 = 𝑎2 𝑥2 − 𝑦2
como equação cartesiana e 𝑟2 = 𝑎2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 como
equação polar. Considerando-se 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, vê-se que
a lemniscata apresenta (𝜋/4, 0), (3𝜋/4, 0), (5𝜋/4, 0)
e (7𝜋/4 , 0) como pontos múltiplos ou de auto
intersecção.
Curva suave, orientada, fechada e simples, com
o ponto inicial A coincidindo com o ponto final B.
Seja 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 ) um campo vetorial contínuo sobre uma curva C, suave, ou suave
por partes, simples e orientada em ℝ2 .
A integral de linha de 𝐹 𝑥, 𝑦 sobre C, denotada por
A INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL EM
onde 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥Ԧ𝑖 + 𝑑𝑦 Ԧ𝑗 e ∘ representa produto escalar, vale
ℝ2
න
𝐶
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = න
𝐶
Ԧ𝐹(𝑥, 𝑦) ∘ 𝑑𝑢 ,
න
𝑎
𝑏
𝑃 𝑥, 𝑦 𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑥 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥a) , desde que a curva C corresponda a uma equação da forma
𝑦 = 𝑦(𝑥), para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 .
න
𝑐
𝑑
𝑃 𝑥 𝑦 , 𝑦 𝑥′ 𝑦 + 𝑄 𝑥(𝑦), 𝑦 𝑑𝑦b) , desde que a curva C corresponda a uma equação da forma
𝑥 = 𝑥(𝑦), para 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 .
න
𝑡1
𝑡2
𝑃 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) 𝑥′ 𝑡 + 𝑄 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 𝑦′(𝑡) 𝑑𝑡c) desde que a curva C seja parametrizada por meio de 
de uma função vetorial 𝑟: [𝑡1 , 𝑡2] → ℝ2 , dada por 𝑟 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ).
,
Teorema (Independência da Parametrização)
Parametrizações distintas de uma mesma curva C não provocam resultados distintos para a integral de
linha de um campo 𝐹(𝑥, 𝑦) sobre C, desde que preservem a orientação de C.
1)
EXEMPLOS
A integral do campo vetorial 𝐹 𝑥, 𝑦 = (6𝑥2𝑦, 𝑥𝑦) sobre a curva 𝑦 = 𝑥3 + 1, percorrida do ponto
−1, 0 ao ponto 1, 2 fica
න
−1
1
6𝑥2 𝑥3 + 1 + 𝑥 𝑥3 + 1 3𝑥2 𝑑𝑥 =
න
−1
1
3𝑥6 + 6𝑥5 + 3𝑥3 + 6𝑥2 𝑑𝑥 =
34
7
Aqui, a curva foi considerada como correspondendo
à equação 𝑦 = 𝑦 𝑥 = 𝑥3 + 1, para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
.
2) Para o cálculo da integral do campo vetorial 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 2𝑦2 , 3𝑦2 + 4𝑥𝑦) sobre a curva 𝑦 = 𝑥
da origem ao ponto 4, 2 , vamos representar o caminho sob a forma 𝑥 = 𝑦2 , para 0 ≤ 𝑦 ≤ 2.
න
0
2
𝑦2 + 2𝑦2 2𝑦 + 3𝑦2 + 4𝑦3 𝑑𝑦 =
Ficamos, então, com
.න
0
2
10𝑦3 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 48
3) Consideremos o arco da circunferência de centro (2, 0) e raio unitário percorrido, no sentido
horário, do ponto (1, 0) ao ponto (2, 1) para, sobre ele, calcularmos a integral do campo vetorial
𝐹 𝑥, 𝑦 = (−𝑦, 𝑥).
De acordo com o exemplo que apresentamos sobre parametrização de uma circunferência, temos,
neste caso, o caminho dado pelas equações 𝑥 𝑡 = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 , de 𝑡 = 𝜋 a 𝑡 = 𝜋/2, e,
portanto,
න
𝐶
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 =
.
න
𝜋
𝜋/2
[ 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 −𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑑𝑡 =
න
𝜋
𝜋/2
2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1 𝑑𝑡 = 2 −
𝜋
2