Texto sobre parametrizacao de curvas e integrais de linha

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Universidade do Estado do Pará – UEPA 
Curso Licenciatura em Matemática 
Professor Francisco Junior 
Disciplina Cálculo II 
Aluno(a):__________________________________ Turma:__________ 
 
Texto sobre Curvas 
Curvas 
Definição 
 Dada uma função vetorial contínua ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗, , chamaos 
curva o lugar geométrico dos pontos do espaço que têm vetor posição ⃗( ) .] 
 
 
 
Representação Paramétrica de Curvas 
 Sejam 
 ( ) 
 ( ) (1) 
 ( ) 
Funções contínuas de uma variável real , definidas para [ ]. 
 As equações (1) são chamadas equações paramétricas de uma curva e é chamado 
parâmetro. 
 Dadas as equações paramétricas de uma curva, podemos obter uma equação vetorial 
´para ela. Basta considerar o vetor posição ⃗( ) de cada ponto da curva. As componentes de 
 ⃗( ) são precisamente as coordenadas do ponto. 
 
 
Escrevemos 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ 
 
Exemplos 
1ª) Equação vetorial: ⃗( ) ⃗ ( ) ⃗ ⃗⃗ 
 
 Equações paramétricas: ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
2ª) Equação vetorial : ⃗( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
 Equações paramétricas : ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Curva Plana e Curva Reversa 
 Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano do espaço. Uma curva 
que não é plana chama-se curva reversa. 
 
Curva Fechada e Curva Aberta 
 Uma curva parametrizada ⃗( ), com [ ], é dita fechada se ⃗( ) ⃗( ). 
 
Curva Simples e Curva não Simples 
 Se a cada ponto da curva parametrizada ⃗( ), [ ], corresponde um único valor do 
parâmetro , exceto para e , dizemos que a curva é simples. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Parametrização de uma Reta 
 A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser dada por 
 
 ⃗( ) ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
Onde ⃗ é chamado de vetor posição e ⃗⃗ de vetor direção e um parâmetro real. 
 
 
Exemplos: 
1ª) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto ( ) na 
direção do vetor ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗. 
Sol.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos ( ) e 
 ( 
 
 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parametrização de uma Circunferência 
 Uma equação vetorial da circunferência de raio e centro na origem, no plano , é 
 ⃗( ) ⃗ ⃗ , . 
 
Onde ( ) e ( ) são suas equações paramétricas. 
 
 
 Quando a circunferência não está centrada na origem, a equação vetorial é dada por 
 ⃗( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗( ) 
 
 
 
 
 
 
Onde ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ , com . 
Nesse caso, a equação vetorial é dada por 
 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ , . 
 
Exemplos: 
1ª) Obter as equações vetorial e paramétricas da circunferência no plano . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Obter as equações vetorial e paramétricas da circunferência 
no plano . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª) Dada a equação vetorial ⃗( ) ⃗ ⃗ ⃗⃗ que representa uma 
circunferência, determinar a correspondente equação cartesiana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parametrização de uma Elipse 
 Uma equação vetorial de uma elipse, no plano , com centro na origem e eixos nas 
direções e é 
 
 ⃗( ) ⃗ ⃗ , . 
 
 
Onde suas equações ( ) e ( ) . 
 No caso da elipse estar centrada fora da origem 
 
 
 
 
 
Sua equação vetorial é dada por 
 
 ⃗( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗( ) , 
 
Onde ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗ ⃗( ) ⃗⃗ ⃗ , com . 
 Nesse caso, sua equação vetorial é dada por 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ , . 
 
Exemplos: 
1ª) Escrever uma equação vetorial da elipse no plano . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Escrever uma equação vetorial da elipse 
( ) 
 
 
( ) 
 
 no plano . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parametrização de Outras Curvas 
 
Exemplos: 
1ª) Escrever uma equação vetorial para no plano . 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Escrever uma equação vetorial para no plano . 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares 
 
1ª) A posição de uma partícula no plano , no tempo , é dada por ( ) e ( ) . 
a) Escrever a função vetorial ⃗( ) que descreve o movimento dessa partícula. 
b) Onde se encontrará a partícula em e em ? 
 
2ª) O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser 
expresso pela função vetorial 
 
 ⃗( ) 
 
 
 ⃗ ( 
 
 
) ⃗ 
 
Onde é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante e . 
 
3ª) Obter uma equação cartesiana das seguintes curvas: 
a) ⃗( ) (
 
 
 ) 
b) ⃗( ) ( ) 
c) ⃗( ) ( ) 
 
4ª) Escrever uma equação vetorial para seguintes circunferências: 
a) 
b) 
c) 
 
5ª) Escrever uma equação vetorial para as seguintes elipses: 
a) 
b) 
 
6ª) Determinar uma representação da reta que passa pelo ponto , na direção do vetor ⃗⃗ , 
onde: 
a) ( 
 
 
 ) e ⃗⃗ ⃗ ⃗ 
b) ( ) e ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 
7ª) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos e , sendo: 
a) ( ) e ( ) 
b) ) ( ) e ( ) 
c) ) ( 
 
 
 ) e ( ) 
 
8ª) Determinar uma representação paramétrica da reta representada por: 
a) 
b) 
 
9ª) Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas: 
a) 
b) 
c) 
Curvas Suaves 
 Uma curva pode ter pontos angulosos. Por exemplo: 
 
 Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos 
angulosos. Em cada um de seus pontos, a curva possui uma única tangente que varia 
continuamente quando se move sobre a curva. 
 
Orientação de uma Curva 
 Se um ponto material desloca-se sobre uma curva , temos dois sentidos possíveis de 
percurso. A escolha de um deles como sentido positivo define uma orientação na curva . 
 Vamos supor que a curva seja representada por 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , [ ]. 
 Convencionamos chamar de sentido positivo sobre o sentido no qual a curva é 
traçada quando o parâmetro cresce de para . O sentido oposto é chamado sentido negativo 
sobre a curva . 
 
De acordo com nossa convenção, sempre que uma curva suave é representada por 
 
 
 
 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , [ ]. 
 é uma curva orientada e seu sentido positivo de percurso é o de valores crescentes do 
parâmetro . 
 
Definição 
 Dada uma curva orientada , representada por 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , [ ], 
a curva é definida como a curva com orientação oposta. 
 
Exemplo: No caso de uma circunferência de raio e centro na origem, 
 
 
Comprimento de Arco 
 Seja uma curva dada pela equação vetorial 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , [ ]. 
Vamos calcular o comprimento de um arco ̂ , com [ ]. 
 Seja 
 
 
 
Uma partição qualquer de [ ]. Indicamos por o comprimento da poligonal de vértices 
 ⃗( ) ⃗( ) ⃗( ). 
Então, intuitivamente, podemos afirmar que, se o limite de quando existe, esse 
limite define o comprimento do arco ̂ da curva , ou seja, 
 , onde . 
 
 Se a curva é suave e parametrizada por ⃗( ) , então 
 ∫ ⃗ ( ) 
 
 
 . 
 
Exemplo: Encontrar o comprimento de arco da curva parametrizada por ⃗( ) 
( ), do ponto ( ) a ( ).Função Comprimento de Arco 
 Na integral ∫ ⃗ ( ) 
 
 
 , se substituirmos o limite superior por um limite variável 
 , [ ], a integral transforma-se em uma função de . 
Escrevemos 
 ( ) ∫ ⃗ ( ) 
 
 
 . 
A função ( ) é chamada função comprimento de arco e mede o comprimento de arco de 
 no intervalo [ ]. 
 
Exemplo: Encontrar o comprimento de arco da circunferência de raio e centrada na origem. 
 
 
Reparametrização por Comprimento de Arco 
 É conveniente parametrizar algumas curvas usando como parâmetro o comprimento 
de arco . 
 Para reparametrizarmos uma curva suave , dada por 
 ⃗( ) ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ , [ ], 
Procedemos como segue: 
( ) calculamos ( ); 
( ) encontramos sua inversa ( ), com ; 
( ) finalmente, reescrevemos 
 ⃗⃗( ) ⃗( ( )) 
 ⃗⃗( ) ( ( )) ⃗ ( ( )) ⃗ ( ( )) ⃗⃗ , [ ]. 
 
Exemplo: Reparametrizar por comprimento de arco a curva 
 ⃗( ) ( ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Reparametrizar por comprimento de arco a curva dada por 
 ⃗( ) ( ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrais de Linha de Campo Escalar 
 O conceito de integral de linha de um campo escalar constitui uma generalização 
simples e natural do conceito de integral definida. 
Definição 
 Seja C uma curva suave, orientada, com ponto inicial A e ponto final B . Seja 
( , , )f x y z um campo escalar definido em cada ponte de C . Dividimos C em n pequenos 
arcos pelos pontos 
 
 
 
 
 
 
 Denotamos por is o comprimento do arco 1i iP P . Em cada arco 1i iP P , escolhemos 
um ponto iQ . 
 
Calculamos o valor de f no ponto iQ , multiplicamos este valor por is e formamos 
a soma 
1
( )
n
i i
i
f Q s

 . 
 A integral de linha de f ao longo de C , de A até B , que denotamos ( , , )
C
f x y z ds , 
é definida por 
max 0
0
( , , ) lim ( )
i
n
i i
s
iC
f x y z ds f Q s
 

  , 
quando o limite à direita existe. 
 
 A curva C é também chamada de Caminho de Integração. 
Se a curva C é suave por partes, a integral de linha sobre C é definida como a soma 
das integrais sobre cada parte suave de C . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
A ( , , )
C
f x y z ds também é denominada integral do campo escalar f em relação ao 
comprimento de arco C . 
 
Cálculo da Integral de Linha de Campo Escalar 
 Para calcular a integral de linha, necessitamos da equação que representa a curva C . 
1º Caso: Representamos a curva C por ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]h s x s i y s j z s k s a b    , onde s é o 
parâmetro comprimento de arco. 
 Neste caso, a integral de linha do campo escalar f é obtida por 
( , , ) ( ( ), ( ), ( )) .
b
C a
f x y z ds f x s y s z s ds  
Exemplo: 1ª) Calcular ( 2 )
C
x y ds , onde C é a curva dada por ( ) 3cos 3
3 3
s s
h s i sen j  , 
com 0 3s   . 
Sol.: Observe que as equações paramétricas são ( ) 3cos
3
s
x s  e ( ) 3
3
s
y s sen . 
Assim, temos 
3
0
3 3
0 0
3 3
0 0
( 2 ) 3cos 2.3
3 3
 3 cos 6
3 3
 3.3 6.3( cos )
3 3
C
s s
x y ds sen ds
s s
ds sen ds
s s
sen

 
 
 
   
 
 
  
 
  
 
2º Caso: Representamos a curva C por ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k   , com 0 1[ , ]t t t , onde t 
é um parâmetro qualquer. 
 Para calcularmos a integral de linha neste caso, fazemos uma mudança de variável 
( , , ) ( ( ), ( ), ( ))
b
C a
f x y z ds f x s y s z s ds  , 
de forma que obtemos 
1
0
( , , ) ( ( ), ( ), ( )) '( )
t
C t
f x y z ds f x t y t z t r t dt  , 
onde 2 2 2'( ) ( ') ( ') ( ')r t x y z   . 
 
Exemplo: 2º) Calcular 2 2( )
C
x y z ds  , onde C é a curva dada por 
( ) cosr t t i sent j t k   , do ponto (1,0,0)P até (1,0,2 )Q  . 
 
Sol.: 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 As propriedades das integrais de linha são análogas às propriedades das integrais 
definidas. 
 Seja C uma curva suave ou suave por partes e sejam ( , , )f x y z e ( , , )g x y z funções 
contínuas em cada ponto de C . 
 Temos, 
 
a) ( , , ) ( , , )
C C
kf x y z ds k f x y z ds  , onde k é uma constante. 
b)  ( , , ) ( , , )
C
f x y z g x y z ds = ( , , ) ( , , )
C C
f x y z ds g x y z ds  
c) SeC é uma curva com ponto inicial A e ponto final B , P um ponto entre A e B ; 1C a 
parte de C de A até P e 2C a parte de C de P até B , então 
1 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
C C C
f x y z ds f x y z ds f x y z ds    
 
Exercícios 
1ª) Calcular 3
C
xy ds , sendo C o triângulo de vértices (0,0), (1,0)A B e (1,2)C , no sentido 
anti-horário. (resposta: 6 2 5 ) 
2ª) Calcular a integral  2
C
x y z ds  , onde C é o segmento de reta que liga os pontos 
(1,2,3)A a (2,0,1)B . (resposta: 12) 
3ª) Calcular a integral  3
C
y z ds , onde C é o arco de parábola 2 , 1z y x  de 
(1,0,0)A a (1,2,4)B . (resposta: 
1
(17 17 1)
6
 ) 
 
Aplicação: Massa de um fio delgado 
 Consideremos um fio delgado de densidade variável, com a forma de uma curva C , 
como na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos considerar que sua densidade de massa ( , , )x y z seja constante sobre 
qualquer seção transversal de área S . Então o fio pode ser identificado com a curva C . 
 
 A função ( , , ) ( , , )f x y z x y z S é chamada densidade linear de massa ou massa por 
unidade de comprimento. 
fio delgado 
Curva no 
espaço 
 Se o fio é representado pela curva C e se a densidade no ponto ( , , )x y z é dada por 
( , , )f x y z , então uma aproximação da massa da parte do fio entre 1iP e iP é dada por 
 i if Q s . 
 
 
 
 
A massa total M do fio é aproximadamente igual à soma 
1
( )
n
i i
i
f Q s

 . 
 Portanto, pela definição de integral de linha de um campo escalar, temos 
 
( , , )
C
M f x y z ds  . 
 
Exemplo: 
1ª) Calcular a massa de um fio delgado com forma de um semicírculo de raio a , considerando 
que a densidade em um ponto P é diretamente proporcional a sua distância à reta que passa 
pelos pontos extremos. 
 
sol. : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integral de Linha de Campo Vetorial 
A integral de linha de um campo vetorial, também pode ser considerada como uma 
generalização natural do conceito de integral definida. Para compreender sua origem e 
utilidade, iniciamos explorando intuitivamente o conceito físico de trabalho. 
 
Trabalho Realizado por uma Força 
 Sejam  : ( ) ( ( ), ( ), ( )), ,C r t x t y t z t t a b  , uma curva suave e ( , , )f f x y z um 
campo de forças contínuo sobre C . O trabalho realizado por f para deslocar uma partícula 
ao longo de C , de A até B , é definido como 
 
max 0
1
lim ( ) ( )
i
n
i
t
i
w f r t r t t
 

  . (*) 
 Podemos observar que a somatória da expressão (*) é uma somatória de Riemann da 
função de uma variável    '( )f r t r t , sobre  ,a b . Portanto, podemos escrever 
    '
b
a
w f r t r t dt  . 
 
Exemplos: 
1ª) Calcular o trabalho realizado pela força 
1 1
( , ) ,f x y
x y
 
  
 
, para deslocar uma partícula, 
em linha reta, do ponto  1,2P até  3,4Q . 
sol.: Resposta: ln 6 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Calcular o trabalho realizado pela força  ( , , ) , 0, 2f x y z x z para deslocar uma 
partícula ao longo da poligonal que une os pontos      0,0,0 , 0,1,0 , 0,1,1A B C e 
 1, 1, 1D no sentido de A para D . 
Sol.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 
 Seja C uma curva suave dada por ( )r t , com  ,t a b . Seja  , ,f f x y z um 
campo vetorial definido e limitado sobreC . A integral curvilínea de f , ao longo de C , que 
denotamos por 
C
f d r , é definida por 
    '
b
C a
f dr f r t r t dt  , 
sempre que a integral a direita existir. 
 Quando a curva C é Suva por partes, definimos 
C
f d r como a soma das integrais 
sobre cada parte suave de C . 
 Se o campo f tem componentes 1 2,f f e 3f e           , , , ,r t x t y t z t t a b  , 
a integral curvilínea de f ao longo de C , pode ser escrita como 
 
                          1 2 3, , ' , , ' , , '
b
C a
f dr f x t y t z t x t f x t y t z t y t f x t y t z t z t dt     
 
 Essa equação nos sugere a notação 
 
 1 2 3
C C
f dr f dx f dy f dz    , 
tradicionalmente usada para representar a integral curvilínea de um campo vetorial. 
 
Propriedades 
 As integrais curvilíneas de um campo vetorial têm propriedades análogas as 
propriedades das integrais curvilíneas de um campo escalar, ou seja, dado um campo vetorial 
 1 2 3, ,f f f f contínuo e definido sobre uma curva suave C , representada por 
          , , , ,r t x t y t z t t a b  , temos 
a)  1 2 1 2
C C
k f dx f dy k f dx f dy    , onde k é uma constante. 
b)  1 2 3 1 2 3
C C C C
f dx f dy f dz f dx f dy f dz        
c) Se C é uma curva com ponto inicial A e ponto final B , P um ponto entre A e B ; 1C a 
parte de C de A até P e 2C a parte de C de P até B , então 
1 2
1 2 3 1 2 3
C C C
f dr f dx f dy f dz f dx f dy f dz        . 
d) A inversão do caminho de integração muda o sinal da integral curvilínea, ou seja, 
C C
f dr f dr

   . 
Exemplos: 
1ª) Calcular  2 3
C
xdx yzdy zdz  , ao longo da: 
a) parábola 2 , 2z x y  do ponto  0,2,0A ao ponto  2,2,4B ; Resposta: 28 
b) linha poligonal AOB onde O é a origem. 
Sol.: 
 
2ª) Calcular 
C
f d r , sendo  , ,f xz xy yz e C o caminho poligonal que une os pontos 
 1,0,0A ao ponto  0, 2, 2B , passando pelo ponto  1, 1, 0D . 
Sol.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1ª) Calcular o trabalho realizado pela força 
1 1
,
2 3
f
x y
 
  
  
 para deslocar uma partícula 
em linha reta do ponto  3, 4P até  1,0Q  . 
(resposta: 
3
ln
35
) 
2ª) Determinar o trabalho realizado pela força  
1 1
, ,f x y
x y
 
  
 
 para deslocar uma partícula 
ao longo da curava 
1
y
x
 do ponto  1,1 ao ponto 
1
2,
2
 
 
 
. 
(resposta: 0) 
 
3ª) Determine o trabalho realizado pela força constante f i j  para deslocar uma 
partícula ao longo da reta 1x y  do ponto  0,1A ao ponto  1, 0B . 
(resposta: 0) 
 
4ª) Calcular o trabalho realizado pela força 2f i x j z k   , sobre uma partícula ao longo 
da curva C , onde C é mostrada na figura abaixo. 
 
 
 
(resposta: 8) 
 
 
 
Nos exercícios de 5ª) a 7ª) determinar a integral curvilínea do campo vetorial f , ao longo 
da curva C dada. 
 
 
5ª)    2, , ,1 , ;f x y z x y xz C é o segmento de reta que une o ponto  2, 1, 0A ao ponto 
 0, 2, 2B . (resposta: 
4
ln 2
3
  ) 
6ª)    2, , ;f x y x y xy C é o arco da parábola, do ponto (0, 0) ao ponto (4,2). 
 (resposta: 
284
7
) 
7ª)    2, , ;f x y x y xy C é o segmento de reta que une o ponto (0, 0) ao ponto (4,2). 
(resposta: 
112
3
) 
8ª) Calcular a integral  
C
xdx ydy , onde C é o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e 
(1, 1) no sentido anti-horário. 
 
 
9ª) Calcule a integral 
C
ydx zdy xdz  
ao longo do segmento de reta  0,0,0 até  1,1,1 . 
 
1 
1 
2 
3 
2 3 
 
 0 
10ª) Calcule a integral de linha 
C
yzdx xzdy xydz  
ao longo da curva 3: , , , (0 1)t t tC x e y e z e t     . 
 
 
 
Bibliografia: _ Cálculo B 
 _ Mirian Buss e Marília Fleming 
 _ Editora Pearson do Brasil