Prova1 2001-1

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GAAL - PROVA 1 - 9:30h - 10/04/2001
Nome: .
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas
Questo˜es:
1. Considere o sistema

x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 3
x + 3y + az = a
(a) Para que valores de a o sistema tem soluc¸a˜o u´nica?
(b) Para que valores de a o sistema tem infinitas soluc¸o˜es?
(c) Para que valores de a o sistema na˜o tem soluc¸a˜o?
2. Seja A a matriz:

1 0 1 1
2 1 0 0
3 1 1 1
5 2 1 1

(a) Calcule a inversa da matriz A, caso exista.
(b) Resolva o sistema AX = 0.
3. Considere a matriz A:

1 1 0
0 1 0
1 1 1

(a) Determine o valor do escalar λ para o qual o det(A − λI) = 0, onde I e´
a matriz identidade, 3× 3.
(b) Usando o valor de λ encontrado na letra (a), resolva o sistema
(A− λI) = B, onde B = (1, 0, 1)t.
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
(a) det [(A+B)2] = [det(A+B)]2 para quaisquer matrizes A e B, n× n.
(b) Se A e´ uma matriz n×n tal que todos os elementos da diagonal principal
de A sa˜o diferentes de 0, enta˜o A e´ invert´ıvel.