03-aula-distribuiobinomial

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CURSO DE ESTATÍSTICA I
Ricardo Bruno N. dos Santos
FACECON-PPGE (UFPA)
Distribuição Binomial, 
Poisson 
e
Hipergeométrica
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS: Imagine uma situação na qual
somente podem ocorrer dois possíveis resultados, “sucesso” e
“fracasso”. Veja alguns exemplos:
- uma venda é efetuada ou não em uma ligação de call center;
- um contribuinte pode ser adimplente ou inadimplente;
- uma guia recolhida pode ter seu preenchimento ocorrido de
forma correta ou incorreta; e
- um consumidor que entra em uma loja pode comprarou não
comprar um produto.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Essas situações correspondem à Distribuição de Bernoulli. Ou seja,
se associarmos uma variável aleatória x aos possíveis resultados do
experimento de forma que X=1 se o resultado for “sucesso” e X=0 se
o resultado for “fracasso”, então, a variável aleatória X, assim
definida, tem Distribuição de Bernoulli, com p sendo a probabilidade
de ocorrer “sucesso” e q = (1-p) a probabilidade de ocorrer
“fracasso”.
Ampliando a discussão, é importante frisar que a função de
probabilidade da Distribuição de Bernoulli é dada por:
𝑷 𝑿 = 𝒙 = 
𝑝 para 𝑥 = 1
𝑞 = 1 − 𝑝 para 𝑥 = 0
0 para 𝑥 diferente de 0 ou 1
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Dessa forma, a média e a variância serão obtidas por:
Média = 𝑝 (onde p corresponde à probabilidade de sucesso).
Variância = 𝑝 × 𝑞 (onde q corresponde à probabilidade de
fracasso).
Essa obtenção da estimativa de média e desvio padrão é
importante, pois, tais medidas, podem ser usadas para caracterizar a
situação e também para a definição da média e do desvio padrão da
distribuição binomial que será vista posteriormente.
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS
Contextualizando a Distribuição de Bernoulli, tem-se a seguinte
situação: a experiência tem mostrado que até fevereiro o motorista
que é parado em uma blitz tem 60% de chance de estar adimplente
em relação ao Imposto sobre a Propriedade de Veículos
Automotores (IPVA). Temos, portanto, uma probabilidade de sucesso
(o motorista não estar devendo o IPVA) de 0,6 e uma probabilidade
de estar devendo de 0,4 (vem da diferença 𝒒 = 𝟏 – 𝟎, 𝟔).
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Para que uma situação possa se enquadrar em uma distribuição
binomial, deve atender as seguintes condições:
- são realizadas n repetições (tentativas) independentes;
- cada tentativa é uma prova de Bernoulli (somente podem ocorrer 
dois possíveis resultados); e
- a probabilidade 𝑝 de sucesso em cada prova é constante.
Se uma situação atende a todas as condições anteriores,
então a variável aleatória 𝑋 = número de sucessos obtidos nas 𝑛
tentativas terá uma distribuição binomial com 𝑛 tentativas e 𝑝
probabilidades de sucesso.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
O problema da loja de Roupas do Martin
Considere as decisões de compra dos próximos três clientes que
entram na loja de roupas do Martin. Com base em experiências
passadas, o gerente da loja estima que a probabilidade de que
qualquer um dos clientes comprará é de 0,30. Qual é a probabilidade
de que dois primeiros dos próximos três clientes realizarão a
compra?
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Usando um diagrama de Árvore para identificar tal situação
temos:
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Verificando as quatro exigências para um experimento binomial,
nota-se que:
1 – São realizadas 3 repetições (tentativas) independentes;
2 – Cada uma das tentativas é uma prova de Bernoulli compra
(sucesso) ou o cliente não faz a compra (fracasso);
3 – A probabilidade p de sucesso em cada prova é constante, pois
𝑝 = 0,30 e 1 − 𝑝 = 0,70 é a mesma para todos os clientes.
O número de resultados experimentais resultado em exatamente x
sucessos e n ensaios pode ser calculado a partir da combinação,
onde (para 3 sucesso tem-se):
𝐶𝑥
𝑛 =
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
=
3!
3! 3 − 3 !
=
3 2 1
3 2 1 1
=
6
6
= 1
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A probabilidade de compra pelos primeiros dois clientes e de não-
compra pelo terceiro é dada por:
𝑝𝑝 1 − 𝑝
𝑝𝑝 1 − 𝑝 = 0,30 0,30 0,70 = 0,063
Duas outras sequências de resultados seguem-se em dois sucessos
e em um fracasso. As probabilidades para as três sequências,
envolvendo dois sucessos, são mostradas abaixo:
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Simbolicamente, temos: 𝑋 ~ 𝐵 (𝑛, 𝑝) com a interpretação:
A variável aleatória 𝑋 tem distribuição binomial (𝐵) com 𝑛 ensaios
e uma probabilidade p de sucesso (em cada ensaio).
A função binomial de probabilidade é expressa como:
𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪𝒙
𝒏𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 𝒏−𝒙
𝑷(𝑿 = 𝒙) – é a probabilidade de 𝑥 sucessos em 𝑛 ensaios;
𝒏 – é o número de ensaios;
𝑝 é probabilidade de “sucesso” em cada ensaio;
𝑞 = 1 − 𝑝 é a probabilidade de “fracasso” em cada ensaio;
𝐶𝑥
𝑛 =
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛−𝑥 !
- combinação de 𝑛 valores tomados de 𝑥 a 𝑥.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Fazendo o gráfico da probabilidade contra o número de ensaios
tem-se:
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Faça a aplicação aumentando no R o número de ensaios, o que
acontece?
A programação no R segue abaixo:
binouma frequência média de sucesso .
DISTRIBUIÇÃO POISSON
A função de probabilidade da Distribuição de Poisson será dada
por meio da seguinte expressão:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜇𝜇𝑥
𝑥!
Lembrando que:
𝑃 𝑋 = 𝑥 - Probabilidade de 𝑥 ocorrências em um intervalo
e =2,7182 (base dos logaritmos neperianos); e
 corresponde a frequência média de sucesso no intervalo contínuo
que se deseja calcular a probabilidade.
DISTRIBUIÇÃO POISSON
Exemplo: A análise dos dados dos últimos anos de uma empresa
de energia elétrica forneceu o valor médio de um blecaute por ano.
Pense na probabilidade de isso ocorrer no próximo ano:
a) Nenhum blecaute.
b) De 2 a 4 blecautes.
c) No máximo 2 blecautes.
Observe que o exemplo afirma que a cada ano acontece em média
um blecaute, ou seja, o número de sucesso ocorrido em um
intervalo contínuo. Verificamos que a variável tem Distribuição
Poisson:
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜇𝜇𝑥
𝑥!
DISTRIBUIÇÃO POISSON
Veja que aqui não é necessário fazer regra de três, pois as
perguntas são no intervalo de um ano. Então:  = 1
𝑎) 𝑃 𝑥 = 0 =
𝑒−1 1 0
0!
=
0,3679 1
1
= 0,3679
𝑏) 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3 + 𝑃 𝑥 = 4
=
𝑒−1 1 2
2!
+
𝑒−1 1 3
3!
+
𝑒−1 1 4
4!
= 0,1839 + 0,061 + 0,015
= 0,2599
DISTRIBUIÇÃO POISSON
𝑐) como já temos os valores de 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2 basta calcular o
valor para 𝑥 = 1
𝑃 𝑥 = 1 =
𝑒−1 1 1
1!
= 0,3679
𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2
= 0,3679 + 0,3679 + 0,1839
= 0,9197
Vejamos a mesma aplicação no R
Vamos usar a função dpois()
Vídeos/Estatística I - Poisson.mp4
Vídeos/Estatística I - Poisson.mp4
DISTRIBUIÇÃO POISSON
Uma característica da Distribuição de Poisson é que as estatísticas
da distribuição (média e variância) apresentam o mesmo valor, ou
seja, são iguais a  . Então, teremos:
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝜇
No próximo Slide temos a apresentação da Tabela de Poisson,
onde está destacada a probabilidade para 𝜇 = 10, 𝑥 = 5
DISTRIBUIÇÃO POISSON
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
A DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA é uma distribuição de
probabilidade discreta que descreve a probabilidade de se
retirar 𝑥 elementos do tipo 𝐴 numa sequência de 𝑛 extrações de
uma população finita de tamanho 𝑁, com 𝑟 elementos do tipo 𝐴 e
𝑁 − 𝑟 elementos do tipo 𝐵, sem reposição.
Seja um conjunto com 𝑁 elementos tal que existem 𝑟 elementos
do tipo 𝐴 e 𝑁 − 𝑟 elementos do tipo 𝐵. Um conjunto de 𝑛 elementos
é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do conjunto
de 𝑁 elementos. A variável aleatória 𝑋 denota o número de
elementos tipo 𝐴. Então, 𝑋 tem distribuição hipergeométrica e
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
𝑃 𝑋 = 𝑥|𝑁, 𝑟, 𝑛 =
𝑟
𝑥
𝑁−𝑟
𝑛−𝑥
𝑁
𝑛
=
𝐶𝑥
𝑟𝐶𝑛−𝑥
𝑁−𝑟
𝐶𝑛
𝑁 ,
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟
𝑃 𝑋 = 𝑥|𝑁, 𝑟, 𝑛 - Probabilidade de 𝑥 sucessos em n ensaios;
𝑛 – Número de ensaios;
𝑁 – número de elementos na população;
𝑟 – Número de elementos na população rotulados de sucesso.
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Um jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do
conjunto de cem dezenas de 00 a 99, com uma bola para cada
dezena e sem reposição. Num volante (cartão aposta) o jogador
pode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de acertar-
se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?
N: total de dezenas, N = 100
n: total de dezenas sorteadas/escolhidas pelo jogador), n = 10
r: total de dezenas premiadas, r = 6
X: total de sucessos, queremos X = 5
𝑃 𝑋 = 5 100,6,10 =
𝐶5
6𝐶10−5
100−6
𝐶10
100 =
252 × 90
1.192.052.400
= 0,000019
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Com relação a média e a variância da mesma temos:
𝜇 = 𝑛
𝑟
𝑁
𝜎2 =
𝑁−𝑛
𝑁−1
𝑛
𝑟
𝑁
1 −
𝑟
𝑁