Estatística - Probabilidades

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Estatística
Probabilidades
Professor Fabrício Biazotto
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Estatística
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Variável representa a intensidade com que o atributo ocorre no fenômeno estudado.
a) Uma variável pode ser:
Discreta (ou descontinua) – quando a menor diferença não-nula entre dois valores possíveis 
dessa variável é finita. Normalmente resulta de contagem.
Continua – pode assumir o valor de qualquer número real. Normalmente resulta de mensura-
ção.
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Em Estatística, uma Distribuição de Probabilidade descreve a chance que uma variável pode 
assumir ao longo de um espaço de valores.
Principais Distribuições de Probabilidade
1 – Variáveis Aleatórias Discretas 
a) Distribuição de Bernoulli
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso ou 
fracasso nessa tentativa.
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1, ou seja, 
q = 1 − p.
Seja X o número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o valor 0 que 
corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao sucesso, com 
probabilidade p.
P(X = 0) = q e P(X = 1) = p
Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de BERNOULLI, e sua função de 
probabilidade é dada por:
P(X = x) = px· q1−x
 
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A esperança da distribuição de Bernoulli é 
E(X) = p 
Variância é V (X) = p . q.
b) Distribuição Binomial
A probabilidade de um evento A ocorrer exatamente k vezes em um determinado experimento 
aleatório é dada por:
Onde: n = número de eventos e k = é o número de favoráveis dentro dos eventos.
Vale observar que se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade 
de não realização desse evento (insucesso) é 1 – p = q.
c) Distribuição de Poisson
Na distribuição binomial, se n for muito grande, enquanto a probabilidade p da ocorrência 
de um evento for próxima de zero, o evento será denominado raro. Na prática, considera-se 
um evento como raro quando o número de tentativas é, pelo menos, igual a 50 (n ≥ 50), ao 
passo que n.p é menor que 7. Nesses casos, a distribuição binomial é muito aproximada da de 
Poisson, com λ = n . p.
A distribuição de Poisson 
Representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de 
fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
1 – Chamadas telefônicas por unidade de tempo; defeitos por unidade de área; acidentes por 
unidade de tempo;
2 – Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
3 – Número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio por unidade de área;
4 – Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.
De modo geral, dizemos que a variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson com 
parâmetro λ > 0, se:
Onde k = 0, 1, 2, ... (número de ocorrências em determinado intervalo de tempo), e representa 
o número médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado.
e = 2,71828... (número neperiano).
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Questões
1. Uma urna contém 15 bolas brancas e 25 bo-
las vermelhas. Uma bola é retirada da urna 
e a variável aleatória X anota o número de 
bolas brancas obtidas. Calcule a média e a 
variância de X e determinar P(X).
2. Um dado não viciado é lançado 3 vezes. 
Qual é a probabilidade do resultado 5 ocor-
rer exatamente 2 vezes?
3. Um telefone recebe, em média, cinco cha-
madas por minuto. Supondo que a distri-
buição de Poisson seja adequada nessa si-
tuação, calcular a probabilidade de que o 
telefone não receba chamadas durante um 
intervalo de um minuto.
No problema anterior, calcular a probabili-
dade de se obter no máximo duas chama-
das em quatro minutos.
4. Em um experimento binomial com três 
provas, a probabilidade de ocorrerem dois 
sucessos é doze vezes a probabilidade de 
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as 
probabilidades de sucesso e fracasso são, 
em percentuais, respectivamente, iguais a:
a) 80 % e 20 % 
b) 30 % e 70 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 20 % e 80 % 
e) 25 % e 75 %. 
5. O número de petroleiros que chegam a uma 
refinaria ocorre segundo uma distribuição 
de Poisson, com média de dois petroleiros 
por dia. Desse modo, a probabilidade de a 
refinaria receber no máximo três petrolei-
ros em dois dias é igual a:
a) 32/73 e^ – 4
b) 71/3 e^4
c) 71/3 e^ – 4
d) 71/3 e^-2
e) 32/3 eˆ – 2. 
Gabarito: 1. E(X) = 3/8 (37,5%) e V (X) = 15/64 (aprox.. 23,4%) 2. 5/72 (aprox. 7%) 3. e–5 (aprox. 0,0067) / 221.e–20 (aprox. 
zero) 4. D 5. C