DOC-20250219-WA0058

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Centro de Ensino Superior do Amapá
Prof. Dr. Sérgio Orlando
Mecânica Geral / Sistemas Construtivos
Aula 03
Esta apostila tem como objetivo auxiliar os acadêmicos no estudo preliminar da disciplina.
Ela foi baseada nos livros da Bibliografia adotada. Por se tratar de um resumo, limitações são
evidentes, portanto, não eximi o acadêmico da necessidade do estudo dos livros indicados na
Bibliografica adotada.
1 Momento de uma força (M)
Uma força pode provocar tanto um deslocamento de um corpo quanto uma tendência em
rotacionar esse corpo em torno de um ponto ou um eixo. Essa tendência de rotacionar é
conhecida como momento de uma força ou torque (que significa Torcer).
1.1 Formulação escalar do momento de uma força.
Considere a Figura 1, onde uma força (
−→
F ) atua perpendicular ao cabo de uma chave de
grifo, distante (d) do eixo vertical do tubo. Podemos observar que essa força tende a provocar
a rotação do tubo em torno do seu eixo vertical. A rotação do tubo depende tanto do módulo
da força F quanto da distância d. Essa distância d é conhecida como braço da alavanca.
Matematicamente, o momento de uma força é definido pela Equação 1. A unidade de medida
no SI de momento de uma força é Newton - metro (N.m).
Figura 1: Representação de uma força atuando sobre uma chave de grifo. Adaptado da fonte
[1].
M = ±F.d (1)
Obs. 1 - Regras dos sinais.
1
1. Rotação no sentido horário: Momento negativo M = −F.d
2. Rotação no sentido anti-horário: Momento positivo M = +F.d
Obs.2 - Quando a força ou a linha de ação dela passar pelo eixo de rotação, não haverá
momento dessa força, ou seja, M = 0.
1.1.1 Teorema de Varignon.
O teorema de Varignon, diz que, o momento de uma força em relação a um ponto é igual
a soma dos momentos dos componentes da força em relação ao mesmo ponto [1, 2], conforme
Equação 2,
M(F1) = M(F1x) +M(F1y) (2)
1.1.2 Resultante de sistemas de forças bidimensionais.
Considere a Figura 2, onde três forças coplanares tendem a provocar uma rotação em relação
ao ponto O localizado no eixo z, Definimos momento resultante desse sistema de forças, como
sendo a soma algébrica de cada um dos momentos das forças em torno do ponto O, de acordo
com a Equação 3,
Figura 2: Representação de um sistema de forças em torno de um ponto O. Retirado da fonte
[2].
MR = M(F1) +M(F2) +M(F3) (3)
Exerćıcio
1. (Hibbeler) Determine os momentos da força de 800 N que atua sobre a estrutura na
Figura, em relação aos pontos A, B, C e D.
2
2. (Meriam) Calcule o módulo do momento da força de 600 N em relação ao ponto O da
base da Figura.
3. (Hibbeler) Determine o momento resultante das quatro forças que atua na haste mostrada
da Figura em relação ao ponto O.
4. (Hibbeler) Um força de 200 N atua sobre o suporte mostrado na Figura. Determine o
momento da força em relação ao ponto A.
3
5. (Hibbeler) A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo mostrado na
Figura. Determine o momento da força em relação ao ponto O.
6. (Meriam) Determine o momento da força de 800 N em relação ao ponto A e em relação
ao ponto O da Figura.
7. (Hibeller) Determine o momento de cada uma das três forças em relação ao ponto A da
Figura. Resolva o problema primeiro utilizando cada força como um todo e, depois, o
prinćıpio de Varignon.
8. (Meriam) Calcule o momento da força 90 N em relação ao ponto O para o θ = 15◦.
4
9. (Hibeller) Determine o ângulo θ para o qual a força de 500 N deve atuar em A para que
o momento dessa força em relação ao ponto B seja igual a zero.
1.2 Formulação vetorial do momento de uma força.
Em muitas situações a formulação escalar do momento de uma força já não é suficiente, como
é o caso do momento de forças cartesianas tridimensionais. Para isso, uma nova formulação é
necessária. Por isso, precisamos aprofundar primeiro o estudo dos vetores, agora com o cálculo
vetorial, mais precisamente o produto vetorial.
1.2.1 Produto vetorial.
Considere dois vetores
−→
A e
−→
B da Figura 3, formando um ângulo θ entre si. Quando queremos
analisar o comportamento de rotação de um em relação ao outro, realizamos o produto vetorial
descrito por
−→
A×
−→
B , lido como A vetor B. Como sugere o nome, o resultado do produto vetorial
é um outro vetor
−→
C .
Figura 3: Representação do produto vetorial. Retirado da fonte [2].
O módulo do vetor |
−→
C | definido pelo produto vetorial é dado por pela Equação 4,
5
|
−→
C | = |
−→
A ×
−→
B | = A.B.senθ (4)
Obs. O produto vetorial não é comutativo
−→
A ×
−→
B 6=
−→
B ×
−→
A . Isso é fácil de observar na
Figura 4 (a) e (b), conforme regra da mão direita.
Figura 4: Representação da regra da mão direita. Retirado da fonte [2].
Quando conhecemos os componentes de
−→
A e
−→
B , podemos calcular os componentes do pro-
duto vetorial através de um determinante de uma matriz, na qual os elementos da primeira linha
são os vetores unitários na ordem î, ĵ e k̂, os elementos da segunda linha são os componentes
do 1◦ vetor, e a terceira linha é dada pelo 2◦ vetor, conforme Equação 5,
−→
C =
−→
A ×
−→
B =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
Ax Ay Az
Bx By Bz
∣∣∣∣∣∣ (5)
Resolvemos esse determinante usando um regra bem simples, considerando os seguintes
sinais dos vetores unitários (+ , - , +) para os î, ĵ e k̂ respectivamente, transformando a matriz
(3× 3) em 3 matrizes (2× 2).
−→
C = î
∣∣∣∣Ay Az
By Bz
∣∣∣∣− ĵ ∣∣∣∣Ax Az
Bx Bz
∣∣∣∣+ k̂
∣∣∣∣Ax Ay
Bx By
∣∣∣∣
Como resultado teremos,
−→
C = (Ay.Bz − Az.By )̂i+ (Az.Bx − Ax.Bz)ĵ + (Ax.By − Ay.Bx)k̂
1.2.2 Formulação vetorial do momento de uma força.
Agora que já conhecemos o produto vetorial, podemos demonstrar a formulação vetorial do
momento de uma força. Considere 5 (a), onde uma força
−→
F atua no ponto A, induzindo uma
rotação em relação ao ponto O. Fazendo um prolongamento na lina de ação do vetor −→r na
Figura 5 (b), podemos operar o produto vetorial de −→r ×
−→
F , o resultado desse produtor vetorial
é denominado de momento de uma força, que é expresso pela Equação 6 e 7,
6
Figura 5: Representação da regra da mão direita. Retirado da fonte [2].
−→
M = −→r ×
−→
F (6)
−→
M = −→r ×
−→
F =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
rx ry rz
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣ = (ry.Fz − rz.Fy )̂i+ (rz.Fx − rx.Fz)ĵ + (rx.Fy − ry.Fx)k̂ (7)
onde −→r é o braço da alavana, que na forma vetorial é representado pelo vetor posição do ponto
O até qualquer ponto da linha de ação da força.
1.2.3 Teorema de Varignon.
Estendendo o Teorema de Varignon para três dimensões, vamos considerar a Figura 6, onde
podemos enunciar que o momento em um dado ponto é igual a soma de todos os momentos
nesse mesmo ponto, que é igual também ao momento da força resultante no ponto, conforme
Equação ??,
Figura 6: Representação do Teorema de Varignon. Retirado da fonte [1]
−→
M =
−→
M (F1) +
−→
M (F2) +
−→
M (F3)
−→
M = −→r ×
−→
F (1) +−→r ×
−→
F (2) +−→r ×
−→
F (3)
−→
M = −→r × (
−→
F (1) +
−→
F (2) +
−→
F (3))
−→
M = −→r ×
−→
F R (8)
7
1.2.4 Resultante de sistemas de forças tridimensionais.
Quando um corpo está sujeito a um sistema de forças cartesianas conforme Figura 7, pode-
mos encontrar o efeito que elas provocariam na rotação do corpo em torno do ponto O, através
da Equação 9, ou seja, o momento resultante será igual a soma de todos os momentos em
relação ao ponto O.
Figura 7: Representação de um sistema de forças. Retirado da fonte [2]
−→
M (R) =
∑−→
M =
−→
M (1) +
−→
M (2) +
−→
M (3)... (9)
Exerćıcio
1. (Hibeller) Determine o momento da força em A em relação ao ponto P. Expresse o resul-
tado como um vetor cartesiano.
2. (Hibeller) Determine o momento da força
−→
F no ponto A em relação ao ponto P. Expresse
o resultado como um vetor cartesiano.
8
3. (Hibeller) A força
−→
F = (600̂i+ 300ĵ–600k̂)N atua na extremidade da viga. Determine o
momento da força em relação ao ponto A.
4. (Meriam)Expresse a força
−→
F como um vetor em termos dos vetores unitários î, ĵ, k̂.
Determine os ângulos diretores (α, β, γ), que
−→
F faz com os eixos positivos x, y e z, e o
momento dessa força em relação ao ponto O.
9
5. (Meriam) O tensionador é apertado até que a força trativa no cabo AB seja de 2,4 kN.
Determine o momento da força atuando no ponto A em relação ao ponto O e determine
o módulo desse momento.
6. (Meriam) Uma força trativa
−→
T de módulo 10 kN é aplicada ao cabo preso no topo do
mastro ŕıgido em A, e preso ao chão em B. Determine o momento
−→
M de
−→
T em relação
ao eixo z que passa pela base O.
7. (Meriam) Ao levantar uma carga da posição B, desenvolve-se no cabo uma força trativa
−→
T
de 24 kN. Calcule o momento que
−→
T produz em relação à base O da grua de construção.
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8. (Meriam) Determine a resultante do sistema de força e torques que atuam no sólido
retangular em relação ao ponto O.
Referências
[1] MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica Para Engenharia: Estática. Volume 1 . [S.l.]:
Grupo Gen-LTC, 2000.
[2] HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. [S.l.]: Pearson Education do Brasil,
2005.
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